PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 8-14) Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada Juni 2014 Outline 1 Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Mean dan Variansi Fungsi Pembangkit Momen (MGF) 2 Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Distribusi Spesial Diskrit Distribusi Spesial Kontinu 3 Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi Sifat Variabel Random 4 Minggu 13,14:RANTAI MARKOV Persaman Chapman Kolmogorov Klasifikasi State

Outline 1 Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Mean dan Variansi Fungsi Pembangkit Momen (MGF) 2 Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Distribusi Spesial Diskrit Distribusi Spesial Kontinu 3 Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi Sifat Variabel Random 4 Minggu 13,14:RANTAI MARKOV Persaman Chapman Kolmogorov Klasifikasi State Outline 1 Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Mean dan Variansi Fungsi Pembangkit Momen (MGF) 2 Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Distribusi Spesial Diskrit Distribusi Spesial Kontinu 3 Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi Sifat Variabel Random 4 Minggu 13,14:RANTAI MARKOV Persaman Chapman Kolmogorov Klasifikasi State

Jika n 1, maka E(X ) merupakan momen pertama di sekitar titik nol. Untuk n 2, maka E(X 2 ) merupakan momen kedua dari variabel random X di sekitar titik nol. Secara umum, momen suatu variabel random tidak selalu ada. Bila suatu variabel random tidak punya mean, dikatakan variabel random tersebut tidak punya momen pertama. Ada dua hal yang penting untuk suatu variabel random, yakni, mean dan variansi yang akan dibahas dalam subbab Outline 1 Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Mean dan Variansi Fungsi Pembangkit Momen (MGF) 2 Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Distribusi Spesial Diskrit Distribusi Spesial Kontinu 3 Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi Sifat Variabel Random 4 Minggu 13,14:RANTAI MARKOV Persaman Chapman Kolmogorov Klasifikasi State Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Dalam bab ini, diperkenalkan konsep tentang momen dari variabel, mean dan variansi dari variabel random. Definisi 1.1 Momen ke n di sekitar titik asal dari suatu variabel random X, ditulis E(X n ), adalah { E(X n x R ) X x n f (x) jika X diskrit, x n f (x) jika X kontinu. untuk n 0, 1, 2, 3,...,

Mean dan Variansi Definisi 1.2 Misalkan X adalah variabel random yang mempunyai fungsi densitas probabilitas (pdf) f (x). Mean dari variabel random X didefinisikan sebagai µ X sum x RX xf (x)jika X diskrit (1) bila harganya berhingga. xf (x)dxjika X kontinu (2) Mean adalah ukuran tendensi sentral dari suatu distribusi variabel random X. Mean juga biasa disebut sebagai harga harapan dari variabel random X dan ditulis E(X ) dari kata Expectation of X. Mean dan Variansi Contoh 1.3 Variabel random X berdistribusi uniform pada interval (2, 7), berapa mean dari X? Jawab: Pdf dari variabel random X adalah f (x) { 1 5 jika 2 < x < 7, 0 untuk harga x yang lain Sehingga, mean atau harga harapan dari X adalah µ X E(X ) 7 2 xf (x)dx x 1 5 dx [ 1 10 x 2 ] 7 2 1 (49 4) 10

Mean dan Variansi Teorema 1.4 Misal X adalah suatu variabel random dengan pdf f (x). Jika a dan b adalah dua bilangan riil, maka E(ax + b) ae(x ) + b (3) Definisi 1.5 Misal X adalah suatu variabel random dengan mean µ X. Variansi dari X, ditulis Var(X ) atau σx 2, didefinisikan sebagai Var(X ) σ 2 X E(X µ X ) 2 (4) Mean dan Variansi Teorema 1.6 Jika X adalah suatu variabel random dengan mean µ X dan variansi σ 2 X, maka σ 2 X E(X 2 ) µ 2 X (5) Teorema 1.7 Jika X adalah suatu variabel random dengan mean µ X dan variansi σ 2 X, maka Var(aX + b) a 2 Var(X ) (6) dimana a dan b adalah bilangan riil konstanta.

Mean dan Variansi Contoh 1.8 Misal X mempunyai fungsi peluang: f (x) { 2x k 2 untuk 0 x k, 0 yang lainnya. Berapa nilai k, bila Var(X ) 2? Contoh 1.9 Jika pdf dari variabel random X diberikan oleh: { 1 x untuk x < 1 f (x) 0 yang lainnya, Maka, berapa variansi dari X? Fungsi Pembangkit Momen (MGF) Fungsi pembangkit momen (MGF) adalah fungsi riil yang dapat dibangkitkan untuk semua momen dari variabel radom. Definisi 1.10 Misal X adalah suatu variabel random dengan fungsi pdf f (x). Fungsi riil M : R R yang didefinisikan sebagai M(t) E(e tx ) (7) disebut fungsi pembangkit momen dari X, jika mean-nya ada untuk semua t dalam selang interval h < t < h untuk suatu h > 0. Pada umumnya,tidak semua variabel random mempunyai fungsi pembangkit momen. Tetapi, jika fungsi pembangkit momen dari suatu variabel random ada, maka fungsi pembangkit momennya unique. Dengan menggunakan definisi mean dari variabel random, diperoleh representasi dari M(t) secara eksplisit, yakni: { x R X e tx f (x) jika X diskrit

Fungsi Pembangkit Momen (MGF) Contoh 1.11 Misal X adalah variabel random yang mempunyai fungsi pembangkit momen M(t) dan n adalah suatu bilangan asli. Berapa turunan ke-n dari M(t) pada t 0? Contoh 1.12 Tentukan MGF dari variabel random X yang mempunyai pdf: { e x untuk x > 0, f (x) 0 yang lainnya. Kemudian, tentukan mean dan variansi-nya! Contoh 1.13 Misal variabel random X mempunyai MGF, M(t) (1 t) 2 untuk t < 1. Berapa moment ketiga dari X? Penyelesaian: Hitung turunan ketiga dari M(t) pada t 0 untuk menghitung momen ketiga dari X, M(t) (1 t) 2 Fungsi Pembangkit Momen (MGF) M (t) 2(1 t) 3 M (t) 6(1 t) 4 M (t) 24(1 t) 5 Dengan demikian, momen ketiga dari X adalah Teorema 1.14 E(X 3 24 Misal X adalah suatu variabel ) random (1 0) 5 dengan 24 fungsi pembangkit momen M X (t). Jika a dan b adalah dua bilangan riil konstanta, maka M X +a (t) e at M X (t) (8) M bx (t) M X (bt) (9) ( M X +a (t) e a t ) b t M X b b (10)

Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Dalam bab ini dibahas beberapa distribusi penting. Dalam aplikasi, memungkinkan untuk menentukan bahwa distribusi mempunyai bentuk spesial yang diketahui. Biasanya distribusi spesial tergantung pada satu atau lebih dari satu parameter dan apabila harga numeris dari parameter diketahui, distribusi tertentu dengan lengkap. Distribusi Spesial Diskrit Distribusi Bernoulli Sebuah eksperimen terdiri hanya satu trial, misal terdapat hanya 2 kejadian yaitu E dan E c yang dapat direpresentasikan sebagai head dan tail pada lemparan uang satu kali, mendapatkan barang rusak atau bagus pada pengambilan satu item dari suatu lot barang produksi pabrik, atau secara umum sukses atau gagal pada trial suatu eksperimen. Misal pada suatu eksperimen, probabilitas E terjadi dengan probabilitas p P(E) dan E c terjadi dengan probabilitas q P(E c ) 1 p. Variabel random X yang berharga 0 atau 1 ini disebut variabel Bernoulli, dan hasil eksperimen yang hanya mempunyai 2 outcome disebut Bernoulli trial. Khususnya bila suatu eksperimen mempunyai 2 hasil yaitu sukses (E) atau gagal (E c ) maka variabel Bernoulli yang berkorespondensi dengannya adalah { 1 bila e E, X (e) 0 bila e E c. Pdf X dapat disajikan sebagai f (0) q dan bila f (1) p. Disebut distribusi Bernoulli, yang secara matematis disajikan sebagai

Distribusi Spesial Diskrit Contoh 2.1 Eksperimen melempar sebuah dadu bersisi 4. Taruhan diletakkan pada hasil mata dadu 1. Jadi E {1}, E c {2, 3, 4}, dan p 1/4. Contoh 2.2 Eksperimen mengambil kelereng secara random dari koleksi 10 kelereng hitam dan 20 kelereng putih. Dalam hal ini dapat dipandang hitam sabagai sukses dan putih sebagai gagal atau sebaliknya.mendapatkan kartu hitam yang dikatakan sukses, p 10/30 1/3 dan q 20/30 2/3 Distribusi Spesial Diskrit Distribusi Binomial Kadang diperlukan eksperimen yang lebih kompleks, misalnya sejumlah trial Bernoulli yang diulang n kali secara independen, masing-masing dengan probabilitas sukses p. X menunjukkan banyaknya sukses, dikenal dengan pdf Binomial, dengan pdf dari X disajikan sebagai f (x) ( n x ) p x q n x x 0, 1, 2,...n (12) atau ditulis dengan notasi X B(n, p) dibaca X berdistribusi Binomial dengan banyak trial n dan probabilitas sukses untuk satu trial p, 0 p 1

Distribusi Spesial Diskrit Akan diturunkan beberapa sifat umum distribusi binomial. Bila X B(n, p), maka n M X (t) E(e tx ) e tx f (x) x0 ( ) n n e tx p x q n x x ( ) n n (pe t ) x q n x x ( ) n n (pe t ) x q n x x x0 x0 x0 (pe t + q) n M X (t) n(pet + q) n 1 pe t, dengan demikian E(X ) M X (0) np. Selanjutnya M X (t) n(n 1)(pe t + q) n 2 p 2 e 2t + n(pe t + q) n 1 pe t, yang berarti E(X ) M X (0) n(n 1)p 2 + np, sehingga Var(X ) E(X 2 ) [E(X )] 2 npq Distribusi Spesial Diskrit Distribusi Hipergeometri Misal populasi terdiri dari N item, M diantaranya tipe 1, sisanya N M item dari tipe 2. Misal n item diambil secara random tanpa pengembalian, dan X banyaknya item tipe 1 yang terambil. Dalam hal ini X dikatakan berdistribusi hipergeometri, sering ditulis dengan notasi X H(n, M, N). Pdf diskrit dari X diberikan oleh ( ) ( ) M N M f (x) x n x ( ) N, x 0, 1, 2,... min(n, m) (13) n Dapat ditunjukkan bahwa E(x) nm/n V (x) n(m/n)(1 M/N)(N n)/(n 1)

Distribusi Spesial Diskrit Teorema 2.3 Apabila X berdistribusi Hipergeometri X H(n, M, N), x 0, 1,...n maka untuk N dan M dengan M N p, konstanta positif berlaku ( ) ( ) M N M ( ) x n x n lim ( ) p x (1 p) n x, (14) N,M N x n yang berarti bahwa distribusi binomial merupakan pendekatan dari distribusi hipergeometri. Distribusi Spesial Diskrit Distribusi Geometri Pandang kembali trial bernoulli dengan probabilitas sukses p E(X ). Pada distribusi binomial banyaknya trial tertentu yaitu n, dan variabel yang menjadi perhatian adalah banyaknya sukses. Sekarang pandang banyaknya trial yang diperlukan untuk menghasilkan sejumlah sukses yang ditentukan. Misal banyaknya trial yang diperlukan untuk mendapatkan sukses yang pertama adalah X, maka X dikatakan berdistribusi Geometri dengan parameter p, diberi notasi X Geo(p) dengan bentuk pdf sebagai berikut: g(x) pq x 1, x 1, 2, 3,... dan p 1 q (15) Sifat probabilitas dipenuhi karena 0 < p < 1 dan g(x; p) p q x 1 x1 x1 p(1 + q + q 2 +...) p p 1

Distribusi Spesial Diskrit Teorema 2.4 Apabila X berdistribusi Geometri, X Geo(p) maka X mempunyai sifat memoryless yaitu P(X > j + k/x > j) P(X > k) (16) Contoh 2.5 Sampel dengan pengembalian. Lima buah kelereng diambil dari koleksi 10 kelereng hitam dan 20 kelereng putih, pengambilan dengan pengembalian. X merupakan banyaknya kelereng hitam yang terambil. Hitung P(X 2) dan tulis pdf dari X. Penyelesaian : Untuk mengambil 2 kelereng hitam, dengan konsekuensi 3 kelereng putih karena diambil 5 kelereng maka didapat ( ) (10 ) 5 2 ( ) 20 3 P(X 2) 2 30 30 Dengan cara yang sama pdf dari X adalah ( ) (10 ) 5 x ( 20 P(X x) x 30 30 ) 5 x Distribusi Spesial Kontinu Distribusi Uniform Variabel random kontinu terbatas pada interval (a, b) dan berharga konstan dalam interval tersebut. Dengan sifat probabilitas berakibat c 1/(b a) karena 1 b a cdx c(b a). Distribusi spesial ini disebut distribusi uniform pada interval (a, b) dengan pdf f (x; a, b) 1 b a a < x < b (17) dan nol untuk X yanf lain, diberi notasi X Unif (a, b) CDF dari X unif (a, b) mempunyai bentuk 0 x a x a F (x; a, b) b a a < x < b 1 b E(X ) a + b 2 (b a)2 Var(X ) 12 (18)

Distribusi Spesial Kontinu Distribusi Gamma Distribusi kontinu yang sering terjadi pada aplikasi disebut distribusi Gamma. Nama ini diambil dari adanya hubungan dengan suatu fungsi yang disebut fungsi Gamma. Definisi 2.6 Fungsi Gamma yang dinotasikan dengan Γ(κ) untuk setiap κ > 0, diberikan oleh Γ(κ) 0 t κ 1 e t dt (19) Sebagai contoh, jika κ 1, maka Γ(1) 0 e t dt 1. Fungsi Gamma mempunyai beberapa sifat yang bermanfaat yang disajikan dalam teorema berikut: Distribusi Spesial Kontinu Teorema 2.7 Fungsi Gamma memenuhi beberapa sifat: Γ(κ) (κ 1)Γ(κ 1) ; κ > 1 (20) Γ(n) (n 1)! ; n 1, 2,... (21) ( ) 1 Γ π (22) 2

Distribusi Spesial Kontinu Contoh 2.8 Banyaknya penguapan dalam inci di suatu sungai merupakan variabel random X yang berdistribusi Gamma, X Gam(0, 2; 6). Hitung probabilitas banyaknya penguapan melebihi suatu level, misalnya 2 inci. Penyelesaian: Contoh 2.9 P[X > 2] 1 2 (0, 2) 6 Γ(6) x 6 1 e x/0.2 dx 1 F (2; 0, 2, 6) 5 i0 10 i i! e 10 0.067 Hitung mean dan variansi dari distribusi Γ(κ) Penyelesaian: M X (t) e tx x κ 1 e x/θ 0 θ κ dx Γ(κ) 1 θ κ x κ 1 e (t 1/θ)x dx Γ(κ) Distribusi Spesial Kontinu Dengan substitusi u (t 1/θ)x, didapat M X (t) ( 1 θ 1 Distribusi Eksponensial t) κ θ κ u κ 1 e u du Γ(κ) 0 Variabel random kontinu X mempunyai M X (t) (1 θt) κ distribusi Eksponensial dengan parameter θ > 0 diberi notasi t < X 1/θ Exp(θ) bila mempunyai pdf berbentuk Dengan memasukkan t 0 pada derivatif pertama dan kedua dari M X t didapat f (x; θ) 1 θ e x/θ, x > 0 (23) 0 dan nol untuk x yang lain. CDF dari X adalah M X (0) κθ(1 θt) κ 1 κθ F (x; θ) 1 M X (0) κ(κ + 1)θ 2 e x/θ, (1 θt) κ 2 x > 0 κ(κ + 1)θ 2 (24) θ merupakan parameter skala.

Distribusi Spesial Kontinu Distribusi eksponensial adalah keadaan kusus distribusi Gamma yaitu X Exp(θ) identik dengan X Gam(θ, 1) sehingga pdf Eksponensial mempunyai mean dan variansi Theorem 1 E(X ) 1θ θ Var(X ) 1θ 2 θ 2 Untuk variabel random kontinu X, X Exp(θ) berlaku untuk semua a > 0 dan t > 0. Bukti : P[X > a + t/x > a] P[X > t] (25) P[X > a + t/x > a] P[X > a + t dan X > a] P[X > a] P[X > a + t] P[X > a] e (a+t)/θ e a/θ P[X > t] Distribusi Spesial Kontinu Contoh 2.10 Misal komponen tertentu, sebut K mempunyai waktu tahan hidup X dalam jam yang berdistribusi X Exp(100). Hitung probabilitas komponen berusia paling sedikit 50 jam. Penyelesaian: Probabilitas komponen berusia paling sedikit 50 jam adalah P[X 50] 1 F (50; 100) e 0,0,5 0, 6065

Distribusi Spesial Kontinu Distribusi Normal f (x; µ, σ) 1 σ 2π exp { 1 2 [ ] } x µ 2 untuk < x <, dimana < µ < dan 0 < σ <. Biasa diberi notasi X N(µ, σ 2 ). σ (26) Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Definisi 3.1 Fungsi densitas probabilitas bersama (pdf bersama) dari variabel random diskrit berdimensi k, X (X 1, X 2,... X k ) adalah f (x 1, x 2,... x k ) P[X 1 x 1, X 2 x 2,... X k x k (27) untuk semua harga x (x 1, x 2,... x k ) dari X.

Contoh 3.2 Dari 1 dek kartu bridge diambil 5 buah kartu. x 1 banyaknya kartu merah. x 2 banyaknya kartu daun. pdf bersama dari (x 1, x 2 ) adalah ( ) ( ) ( 25 13 f (x 1, x 2 ) x 1 x 2 ( 52 5 13 5 x 1 x 2 ) ) x 1 0, 1,...5 x 2 0, 1,...5. Perluasan distribusi hipergeometri: N item terdiri dari M 1 tipe 1, M 2 tipe 2 dst M k tipe k. x i banyaknya item tipe i. x (x 1,..., x k ). ( ) ( ) ( ) M1 M2 N Mi... x 1 x 2 n x i f (x 1,..., x k ) ( ) (28) N n

Contoh 3.3 Distribusi Multinominal (k + 1) kejadian saling asing E 1,..., E k+1 p i P(E i ) i 1, 2,..., k + 1 x i n(e i ) x (x 1,..., x k ) berdistribusi multinominal X Mult(n, p 1,..., p k ) f (x 1,... x k ) n! x 1!... x k+1! px 1 1 px 2 2... px k+1 k+1 (29) Teorema 3.4 Fungsi f (x 1,..., x k ) adalah pdf bersama untuk vektor random diskrit X (X 1,..., X k ) bhb dipenuhi a. f (x 1,..., x k ) 0 untuk setiap (x 1,..., x k ) b. x 1... x k f (x 1,..., x k ) 1 Definisi 3.5 Pasangan (X 1, X 2 ) dari variabel random diskrit mempunyai pdf bersama f (x 1, x 2 ), pdf marginal dari X 1 & X 2 adalah f 1 (x 1 ) x 2 f (x 1, x 2 ) f 2 (x 2 ) x 1 f (x 1, x 2 ) & (30)

Definisi 3.6 Pasangan (X 1, X 2 ) dari variabel random kontinu mempunyai pdf bersama f (x 1, x 2 ), pdf marginal dari X 1 & X 2 adalah f 1 (x 1 ) x 2 f (x 1, x 2 ) f 2 (x 2 ) x 1 f (x 1, x 2 ) & (31) Definisi 3.7 Sebarang fungsi f (x 1, x 2,..., x n ) dikatakan pdf bersama vektor random berdimensi k bila dan hanya bila a. f (x 1,..., x k ) 0 untuk setiap (x 1,..., x k ) b.... f (x 1,..., x k )dx 1... dx k 1 Definisi 3.8 Cumulative Distribution Function (CDF), atau fungsi distribusi kumulatif, bersama dari k variabel random X 1, X 2,..., X k didefinisikan sebagai F (x 1, x 2,..., x n ) P[X 1 x 1, X 2 x 2,..., X n x n ] (32) Definisi 3.9 Vektor random berdimensi k, X (X 1, X 2,..., X k ) disebut kontinu bila terdapat fungsi f (x 1, x 2,..., x k ) yang merupakan fungsi densitas probabilitas (pdf) bersama sedemikian hingga CDF bersamanya dapat ditulis F (x 1, x 2,..., x k ) xk x1... f (t 1,..., t k )dt 1,..., dt k (33) untuk setiap x (x 1, x 2,..., x n ). Teorema 3.10 Fungsi F (x 1, x 2 ) adalah CDF bivariat bila dan hanya bila memenuhi lim 1, x 2 ) x 1 F (, x 2 ) 0, x 2 lim 1, x 2 ) x 2 F (x 1, ) 0, x 1 lim F (x 1 1, x 2 ) F (, ) 1 x 2

Contoh 3.11 X 1 adalah konsentrasi zat pada trial pertama suatu eksperimen, sedangkan X 2 adalah konsentrasi zat pada trial kedua. Dianggap pdf bersama kedua variabel random adalah f (x 1, x 2 ) 4x 1 x 2 ; 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1. Hitung CDF F (x 1, x 2 ) Penyelesaian: CDF bersama adalah F (x 1, x 2 ) x2 x2 x1 x1 f (t 1, t 2 )dt 1 dt 2 4t 1 t 2 dt 1 dt 2 x 2 1 x 2 2 ; 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1 Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi Definisi 3.12 Probabilitas bersyarat Bila X 1 dan X 2 variabel random diskrit atau kontinu dengan pdf bersama f (x 1, x 2 ), maka fungsi densitas probabilitas bersyarat untuk X 2 disyaratkan X 1 x 1 didefinisikan sebagai: f (x 2 /x 1 ) f (x 1, x 2 ) f (x 1 ) (34) untuk setiap x 1 sedemikian hingga f (x 1 ) > 0, dan nol untuk yang lain.

Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi Contoh 3.13 Pdf bersama pasangan X 1 dan X 2 adalah f (1, 1) 0, 5 f (1, 2) 0, 1 f (2, 1) 0, 1 f (2, 2) 0, 3 Hitung probabilitas X 1 1 degan syarat X 2 1 Penyelesaian : f X2 (1) x 1 f (x 1, 1) f (1, 1) + f (2, 1) 0, 6 f (X 1 1/X 2 1) P(X 1 1, X 2 1) P(X 2 1) f (1, 1) f X2 (1) 0, 5 0, 6 5 6 Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi Definisi 3.14 Variabel Random Independen. Variabel random X 1, X 2,..., X k dikatakan independen bila untuk setiap a i < b i P(a 1 X 1 b 1,..., a k X k b k ) k i1 P(a i X i b(35) i ) Teorema 3.15 Variabel random X 1, X 2,..., X k independen bila dan hanya bila F (x 1, x 2,..., x k ) F (x 1 )F (x 2 )... F (x k ) (36) f (x 1, x 2,..., x k ) f (x 1 )f (x 2 )... f (x k ) (37)

Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi Akan disajikan bagaimana menghitung harga harapan fungsi variabel random U(X ) yang merupakan fungsi dari variabel random X 1, X 2,..., X n. Teorema 3.16 X (X 1,..., X k ) mempunyai pdf bersama f (x 1,..., x k ). Bila Y u(x 1,..., x k ) merupakan fungsi dari X, maka E(Y ) E X (u(x 1,..., x k )) dengan E X (u(x 1,..., x k )) x 1 E X (u(x 1,..., x k )) u(x 1,..., x k )f (x 1,..., x k ) untuk X disk x k... u(x 1,..., x k )f (x 1,..., x k )dx 1... dx k untuk X x k x 1

Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi Teorema 3.17 X (X 1,..., X k ) mempunyai pdf bersama f (x 1,..., x k ). Bila Y u(x 1,..., x k ) merupakan fungsi dari X, maka E(Y ) E X (u(x 1,..., x k )) dengan E X (u(x 1,..., x k )) x 1 x k u(x 1,..., x k )f (x 1,..., x k ) ; untuk X di E X (u(x 1,..., x k )) x k... x 1 u(x 1,..., x k )f (x 1,..., x k )dx 1... dx k ; untuk X ko Teorema 3.18 Bila X 1 dan X 2 mempunyai pdf bersama f (x 1, x 2 ), maka E(X 1 + X 2 ) E(X 1 ) + E(X 2 ) (38) Teorema 3.19 Bila X dan Y variabel random independen, maka untuk sebarang fungsi g(x) dan h(y) berlaku: E(g(X )h(y )) E(g(X ))E(h(Y )) (39) Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi Definisi 3.20 Kovariansi antara dua variabel random X 1 dan X 2, diberi notasi Teorema 3.21 Cov(X, Y ) σ XY E [(X µ X )(Y µ Y )] (40) X (X 1,..., X k ) mempunyai pdf bersama f (x 1,..., x k ). Bila Y u(x 1,..., x k ) merupakan fungsi dari X, maka E(Y ) E X (u(x 1,..., x k )) dengan E X (u(x 1,..., x k )) x 1 x k u(x 1,..., x k )f (x 1,..., x k ) ; untuk X di E X (u(x 1,..., x k )) x k... x 1 u(x 1,..., x k )f (x 1,..., x k )dx 1... dx k ; untuk X ko Teorema 3.22 Bila X dan Y dua variabel random, a dan b konstanta, maka Cov(aX, by ) ab Cov(X, Y ) (41) Cov(X + a, Y + b) ab Cov(X, Y ) (42) Cov(X, ax + b) a Var(X ) (43)

Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi Teorema 3.23 Bila X dan Y dua variabel random independen, maka Cov(X, Y ) 0 Teorema 3.24 Bila X 1 dan X 2 dua variabel random dengan pdf bersama f (x 1, x 2 ) maka Var(X 1 + X 2 ) Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) (44) dan Var(X 1 + X 2 ) Var(X 1 ) + Var(X 2 ) (45) bila X 1 dan X 2 independen. Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi Definisi 3.25 Bila X dan Y variabel random dengan variasi σ 2 X dan σ2 Y dan kovariansi σ XY Cov(X, Y ), maka koefisien korelasi antara X dan Y adalah ρ σ XY σ X σ Y (46)

Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi Contoh 3.26 Pdf bersama pasangan X dan Y adalah f (x, y) 1 20 ; 0 < x < 10, x 1 < y < x + 1 Hitung korelasi antara variabel random X dan Y. Penyelesaian : Variansi dari X adalah σ1 2 (10)2 12 25 3, variansi dari Y adalah σ2 2 (10)2 12 + 22 12 26 3, dan kovariansi antara X dan Y adalah σ 12 E(XY ) E(X )E(Y ) 25 3. Sehingga, koefisien korelasi antara X dan Y adalah ρ 25 3 25 3 26 3 25 26 0, 981 Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi Definisi 3.27 Bila X dan Y variabel random dengan pdf bersama f (x, y), maka harga harapan bersyarat dari Y untuk X x diberikan oleh { y yf (y/x) ; bila X dan Y diskrit E(Y /x) yf (y/x) ; bila X dan Y kontinu. y

Minggu 13,14:RANTAI MARKOV Proses Stokasik adalah koleksi variabel random [X (t), t T ], yaitu X (t), t T merupakan variabel random. Indeks t merupakan waktu, X (t) dikatakan state dari proses pada waktu t. Misal X (t) bisa merupakan banyaknya pelanggan yang memasuki supermarket pada waktu t, atau banyaknya pelanggan pada waktu t, atau total penjualan pada waktu t. Himpunan T disebut indeks set dari proses. Bila T merupakan himpunan kontabel, proses disebut proses waktu diskrit. Bila T merupakan interval bilangan real, proses stokastik disebut proses waktu kontinu. Misal {X n, n 1, 2,..., n} disebut proses stokastik waktu diskrit dengan indeks bilangan bulat non-negatif, sementara {X (t), t 0} disebut proses stokastik waktu kontinu dengan indeks bilangan real non-negatif. Pandang proses stokastik {X n, n 0, 1, 2,... } yang harganya sebanyak berhingga atau kontabel. Bila X n i, maka proses dikatakan pada state i pada waktu n. Misal proses pada state i, probabilitas pada waktu berikutnya pada state j dinotasikan dengan P ij tanpa memandang state pada waktu sebelumnya. P{X n+1 j/x n i, X n 1 i n 1,..., X 1 i 1, X 0 i 0 } P ij (47) untuk semua state i 0, i 1,..., i n 1 dan semua n > 0. Proses stokastik semacam ini disebut Rantai Markov. Persamaan 47 dapat diberi interpretasi sebagai berikut, untuk suatu rantai Markov, distribusi bersyarat state yad X n+1 diberikan state yang lalu X 0, X 1,..., X n 1 dan state sekarang X n, adalah independen terhadap state yang lalu, dan hanya tergantung pada state sekarang. Karena probabilitas non-negatif dan karena Harga P ij menunjukkan bahwa proses dari state i akan berpindah ke state j. Karena probabilitas non-negatif dan karena proses harus membuat transisi ke suatu state maka P ij 0, i, j 0, Pij 1, i 0, 1,... (48)

P adalah matriks probabilitas transien satu step P ij P 00 P 01 P 02 P 10 P 11 P 12... P i0 P i1 P i2... Contoh 4.1 Ramalan Cuaca Misal kemungkinan hari hujan besok tergantung pada kondisi cuaca sebelumnya yaitu dari hari ini hujan atau tidak, dan tidak tergantung pada hari kemarin. Misal bila bari ini hujan, probabilitas besok hujan adalah α, sedang bila hari ini tidak hujan, probabilitas besok hujan adalah β. Hitung matriks probabilitas transisi situasi di atas Penyelesaian : P 00 Probabilitas hari ini hujan, besok hujan P 01 Probabilitas hari ini hujan, besok tidak hujan P 00 Probabilitas hari ini tidak hujan, besok hujan P 01 Probabilitas hari ini tidak hujan, besok tidak hujan Jadi, matriks probabilitas transisinya adalah ( ) α 1 α P

Contoh 4.2 Sistim Komunikasi Pandang sistem komunikasi yang mentransmit digit 0 dan 1. Setiap digit yang ditransmit melalui beberapa fase, pada setiap fase mempunyai probabilitas p untuk tidak berubah. Misal {X n, n 0, 1,... } adalah rantai Markov dengan matriks probabilitas transisi: ( ) p 1 p P 1 p p Contoh 4.3 Seekor kucing bernama Gery bertempramen ceria(c), sedang(s) atau murung(m). Bila dia ceria hari ini, maka ia akan C,S, atau G dengan probabilitas 0, 5; 0, 4; 0, 1. Bila dia sedang-sedang hari ini, probabilitas akan C,S, atau G adalah 0, 3; 0, 4; 0, 3. Bila dia murung hari ini, probabilitas akan C,S, atau G adalah 0, 2; 0, 3; 0, 5. Tulis matriks probabilitas transisinya. Penyelesaian : P 00 0, 5 P 01 0, 4 P 02 0, 1 dan seterusnya, sehingga matriks probabilitas transisinya adalah 0, 5 0, 4 0, 1 P 0, 3 0, 4 0, 3 0, 2 0, 3 0, 5

Persaman Chapman Kolmogorov Telah didefinisikan probabilitas transisi satu step P i,j, yang akan dikembangkan menjadi probabilitas transisi n step P n ij yaitu probabilitas proses dari state i akan berada pada state j setelah n transisi. Tentu saja P 1 ij P ij. P n ij P[X n+m j/x m i], n 0; i, j 0 (49) Persaman Chapman Kolmogorov Teorema 4.4 Persamaan Chapman Kolmogorov memberikan metode untuk menghitung probabilitas transisi n step. Persamaan ini adalah P n+m ij Pik n Pm kj, untuk setiap n, m dan setiap i, j (50) k0 Bukti : Pernyataan ini dapat dibuktikan sebagai berikut: P n+m ij P[X n+m j/x m i] P[X n+m j, X n k/x 0 i] k0 P[X n+m j/x n k, X 0 i]p[x n k/x 0 i] k0 k0 P n ik Pm kj

Persaman Chapman Kolmogorov Bila P (n) adalah matriks probabilitas transisi n step P n ij maka dari persamaan 50 didapat P n+m P n P m dengan menyatakan perkalian matriks. Khususnya Maka dengan induksi, P (2) P(1 + 1) P P P 2 P (n) P(n 1 + 1) P n 1 P P n Contoh 4.5 Dari contoh 4.1, α 0, 7 dan β 0, 4. Hitung probabilitas akan hujan setelah 4 hari bila diketahui hari yang ditentukan hujan. Penyelesaian : Matriks probabilitas transisi 1 step adalah ( ) 0, 7 0, 3 P 0, 4 0, 6 Dengan demikian, P (2) P ( 2 ) ( ) 0, 7 0, 3 0, 7 0, 3. 0, 4 0, 6 0, 4 0, 6 ( ) State j dikatakan asesibel untuk 0, 61 state 0, 39 i bila Pij n > 0 untuk suatu n > 0. Hal ini mengakibatkan 0, 52state 0, 48 j asesibel dari state i bila dan hanya bila mulai dari i ada ( kemungkinan proses ) akan berada di 0, 5749 0, 4251 state j. Hal ini benar karena jika j tidak asesibel dari i, maka 0, 5668 0, 4332 ( / ) P(memasuki Probabilitas yang state diinginkan j/berawal adalah dari state P00 4 i) 0, 5749 P (X n j) X 0 1 Klasifikasi State 0 n0 P(X n j/x 0 i) n0 n0 Dua state i dan j yang asesibel satu dengan yang lain disebut berkomunikasi dan ditulis i j. Sebagai catatan, setiap state berkomunikasi dengan dirinya sendiri karena dengan definisi: P 0 ii P(X 0 i/x 0 i) 1 P n ij

Klasifikasi State Relasi komunikasi memenuhi tiga sifat berikut 1 State i komunikasi dengan state i, untuk setiap i 0. 2 State i komunikasi dengan state j, maka state j komunikasi dengan state i. 3 State i komunikasi dengan state j, state j komunikasi dengan state k, maka state i komunikasi dengan state k. Sifat 1 dan 2 dapat diturunkan langsung dari sifat komunikasi, sedang untuk sifat 3 misal i komunikasi dengan state j, state j komunikasi dengan state k, maka terdapat n dan m sedemikian hingga Pij n > 0,Pjk m > 0. Dengan Chapman Kolmogorov didapat: P n+m ik PirP n rk m Pn ij Pjk m (51) n0 Klasifikasi State Dengan demikian, state k asesibel dari state i. Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa state i asesibel dari state k. Sehingga state i dan k berkomunikasi. Dua state saling berkomunikasi dikatakan berada dalam satu kelas. Suatu akibat yang mudah diturunkan dari 1, 2, dan 3, bahwa dari setiap kelas dari state adalah sama atau saling asing. Dengan kata lain, konsep komunikasi membagi ruang state menjadi sejumlah kelas yang separabel. Rantai markov disebut iredusibel bila hanya terdapat satu kelas yaitu jika semua state berkomunikasi satu dengan yang lain.

Klasifikasi State Contoh 4.6 Pandang rantai Markov terdiri dari 3 state 0, 1, 2 dengan matriks probabilitas transisi P 1 2 1 2 1 0 3 1 2 0 1 1 4 4 2 3 Tunjukkan bahwa rantai Markov ini iredusibel. Penyelesaian: Sebagai contoh adalah memungkinkan untuk pergi dari state 0 ke state 2 yaitu dari state 0 ke 1 dengan probabilitas 1 2 kemudian dari state 1 ke state 2 dengan probabilitas 1 4. Dengan demikian rantai Markov ini iredusibel.