COVER LUAR.

PEDOMAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SEKOLAH DASAR COVER LUAR DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN TAMAN KANAK-KANAK DAN SEKOLAH DASAR JAKARTA, 2009 i

Pedoman Pembelajaran Matematika Sekolah Dasar Penyempurnaan dari Bahan Pembinaan Matematika Sekolah Dasar yang diterbitkan oleh Direktorat Pendidikan Dasar, Ditjen Dikdasmen, Depdiknas Jakarta Tahun 998 Dicetak Oleh Kegiatan Pengembangan Sistem dan Pengelolaan SD Direktorat Pembinaan TK dan SD Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2009 ii

KATA PENGANTAR EDISI REVISI TAHUN 2009 Peningkatan mutu pengajaran membaca, menulis, dan berhitung di sekolah dasar merupakan salah satu program Direktorat Pembinaan TK dan SD. Program ini sejalan dengan upaya peningkatan kualitas pembelajaran matematika dan bahasa Indonesia di sekolah dasar. Pemberlakuan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan sebagai amanat dari Peraturan Pemerintah No. 9 Tahun 2005 tentang Standar Nasional Pendidikan, menuntut sekolah untuk secara aktif berperan sebagai subyek pendidikan. Sekolah bukan hanya sebagai pelaksana kurikulum tetapi juga harus mengembangkan kurikulum serta melaksanakannya sesuai dengan kondisi setempat. Tuntutan ini bukanlah sesuatu yang mudah untuk dilaksanakan, karena selama ini kurikulum disusun secara nasional. Pedoman ini merupakan penyempurnaan dari Buku Pembinaan Matematika Sekolah Dasar yang disesuaikan dengan Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 22 Tahun 2006 tentang Standar Isi untuk Satuan Pendidikan Dasar dan Menengah. Melalui pedoman ini diharapkan dapat membantu dan bermanfaat bagi guru dalam memecahkan beberapa permasalahan pembelajaran Matematika. Jakarta, Juli 2009 Direktur Pembinaan TK dan SD Drs. Mudjito AK, M.Si. NIP 95604598203002 iii

KATA PENGANTAR Peningkatan mutu pengajaran membaca, menulis, dan berhitung di sekolah dasar merupakan salah satu program Direktorat Pendidikan Dasar sebagai pelaksanaan dari amanat Garis-garis Besar Haluan Negara. Dalam rangka meningkatkan profesionalitas guru sesuai dengan program tersebut, dilakukan berbagai upaya peningkatan mutu pengajaran matematika dan bahasa Indonesia. Buku ini disusun sebagai bahan referensi bagi guru baik dalam mengikuti pendidikan dan pelatihan maupun dalam melaksanakan tugas sehari-hari. Isi serta materi yang terkandung dalam buku ini disusun dengan mempertimbangkan hal-hal sebagai berikut.. Kurikulum sekolah dasar tahun 2004 2. Rekomendasi hasil lokakarya pengkajian dan perumusan materi penataran baca tulis hitung sekolah dasar, Direktorat Pendidikan Dasar di Yogyakarta tahun 996. 3. Hasil konsultasi teknis Direktorat Pendidikan Dasar dengan ahli bahasa dan matematika di Jakarta tahun 997. 4. Hasil tes baca tulis hitung bagi guru dan siswa sekolah dasar yang diselenggarakan sejak tahun 994/995. Mudah-mudahan buku ini dapat berfungsi sebagaimana yang diharapkan. Jakarta, 3 Agustus 998 Direktur Pendidikan TK dan SD Ttd. Drs. Achmad DS NIP. 3 2 700 iv

DAFTAR ISI BAB I BILANGAN DAN OPERASINYA... A. Tahap Penguasaan Matematika... B. Struktur Bilangan... 2 C. Penjumlahan... 2 D. Pengurangan... 5 E. Perkalian... 7 F. Pembagian... 3 G. Pengerjaan Hitung Campuran Tanpa Kurung... 8 H. Hukum Komutatif, Assosiatif, dan Distributif... 26 I. Bilangan Berpangkat... 28 J. Penarikan Akar Kuadrat... 28 K. Penarikan Akar Pangkat Tiga... 32 BAB II PECAHAN DAN OPERASINYA... 35 A. Jenis-jenis Pecahan... 35 B. Pengenalan Pecahan... 36 C. Pecahan Senilai... 38 D. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan... 40 E. Perkalian Pecahan... 44 F. Pembagian Pecahan... 46 G. Hitung Campuran pada Pecahan... 48 H. Pecahan Desimal dan Operasinya... 49 I. Persen dan Permil... 54 BAB III GEOMETRI SEKOLAH DASAR... 58 A. Bidang Datar... 58 B. Simeteri Lipat dan Putar... 69 C. Bangun Ruang... 7 BAB IV PENGUKURAN... 79 A. Ukuran Panjang... 79 B. Ukuran Luas... 80 v

C. Ukuran Isi (Volume)... 84 D. Ukuran Berat... 87 E. Ukuran Waktu... 90 F. Ukuran Lainnya... 92 BAB V STATISTIK... 94 A. Pengertian... 94 B. Statistika untuk SD... 94 C. Koleksi Data... 95 D. Tabulasi Data... 96 E. Penyajian Data... 00 F. Ukuran Tendensi Pusat... 07 BAB VI SOAL CERITA DAN CARA PENGERJAANNYA... A. Tahap dalam Mengerjakan Soal Cerita... B. Contoh Soal Cerita untuk Kelas IV SD... C. Contoh Soal Cerita untuk Kelas V SD... 7 D. Contoh Soal Cerita untuk Kelas VI SD... 28 Lampiran... 4 DAFTAR PUSTAKA... 45 vi

BAB I BILANGAN DAN OPERASINYA A. Tahap Penguasaan Matematika Secara umum terdapat 4 tahapan aktivitas dalam rangka penguasaan materi pelajaran matematka di dalam pembelajaran, yaitu:. Penanaman konsep 2. Pemahaman konsep 3. Pembinaan keterampilan 4. Penerapan konsep Tahap penanaman konsep merupakan tahap pengenalan awal tentang konsep yang akan dipelajari siswa. Pada tahap ini pengajaran memerlukan penggunaan benda konkrit sebagai alat peraga. Tahap pemahaman konsep merupakan tahap lanjutan setelah konsep ditanamkan. Pada tahap ini penggunaan alat peraga mulai dikurangi dan bentuknya semi konkrit sampai pada akhirnya tidak diperlukan lagi. Tahap pembinaan keterampilan merupakan tahap yang tidak boleh dilupakan dalam rangka membina pengetahuan siap bagi siswa. Tahap ini diwarnai dengan latihan-latihan seperti mencongak dan berlomba. Pada tahap pengajaran ini alat peraga sudah tidak boleh digunakan lagi. Tahap penerapan konsep yaitu penerapan konsep yang sudah dipelajari ke dalam bentuk soal-soal terapan (cerita) yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari. Tahap ini disebut juga sebagai pembinaan kemampuan memecahkan masalah.

B. Struktur Bilangan Semesta bilangan yang dipelajari siswa di sekolah dasar meliputi bagian-bagian berikut. Bilangan asli adalah, 2, 3, 4, Bilangan cacah adalah 0,, 2, 3, 4, Bilangan bulat adalah, -4, -3, -2, -, 0,, 2, 3, Bilangan pecah (biasa dan desimal) adalah bilangan yang tidak utuh (bulat) misalnya / 2 ; / 3 ; / 4 ; 0,2; dan sebagainya Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk p/q dengan p&q bilangan bulat dan q 0. Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dituliskan dalam bentuk p/q, misalnya 3, 5, 7, dan sebagainya Semua bilangan rasional dan irrasional merupakan bilangan real (nyata). Struktur bilangan real dapat dilihat pada bagan sebagai berikut.... -3-2 - 0 2 3 4 5... Bil. Negatif Nol Bil. Cacah Bil. Asli Bilangan Bulat Bilangan Pecahan ( / 2, 23%,...) Bil. Rasional Bil. Irrasional ( 3, 5, 7,...) Bil. Real (Nyata) C. Penjumlahan Penjumlahan merupakan operasi hitung dasar yang pertama dipelajari siswa. Yang perlu diperhatikan pada pengajaran penjumlahan antara lain:. Untuk menanamkan konsep penjumlahan harus menggunakan benda-benda konkrit yang sama atau sejenis Pedoman Pembelajaran Matematika SD 2

sebagai alat peraga, misalnya buku dijumlahkan dengan buku, meja dengan meja, kambing dengan kambing, dan sebagainya. Misalnya, 3 + 2 = 5 2. Penjumlahan bersusun segera dikenalkan setelah penjumlahan bisa ditanamkan, misal: 7 + 2 = 7 4 + 3 = 4 2 + 3 + 2 + 34 = 2 24 + 53 = 24 34 + 53 + 3. Penjumlahan tanpa teknik menyimpan harus mendahului pengajaran penjumlahan dengan teknik menyimpan. Contoh: a. Tanpa menyimpan 2 + 3 = 6 + 4 = 4 + 2 = 2 + 0 = 7 + = 5 + 22 = b. Dengan teknik menyimpan 8 + 3 = 26 + 56 = 2 + 9 = 76 + 39 = 27 + 34 = 45 + 7 = 4. Siswa kelas I harus terampil mengerjakan penjumlahan tanpa teknik menyimpan serta penjumlahan yang hasilnya paling besar 0, termasuk terampil melakukan pasangan jumlah sepuluh sebagai berikut: Pedoman Pembelajaran Matematika SD 3

+ 9 = 0 satu sembilan (s-s) 2 + 8 = 0 dua delapan (d-d) 3 + 7 = 0 tiga tujuh (t-t) 4 + 6 = 0 empat enam (e-e) 5 + 5 = 0 lima lima (l-l) 5. Contoh keterampilan dalam penjumlahan adalah pada soal tentang penjumlahan dari banyak bilangan yang disusun ke bawah. Perhatikan cara mengerjakan penjumlahan dari beberapa bilangan dengan teknik menyimpan pada penjumlahan bersusun sebagai berikut. 3 3 3 4 7. 8. 6 7. 2 3 4 5 6 7. 8. 4. 3. 6. 7. 8 9. 9. 6. 3 4 + 3 9 0 3 5 Teknik penjumlahan di atas ialah dengan menyimpan puluhan (dengan tanda/noktah) setiap jumlahnya sepuluh atau lebih, sedangkan satuannya dilanjutkan (dijumlahkan) dengan bilangan berikutnya. Teknik penjumlahan tersebut di atas sudah boleh mulai diajarkan di kelas II, misalnya pada saat menghitung perkalian sebagai penjumlahan berulang. Contoh: 5x8=8+8+8+8+8=40 8 8 8 8 8 + 40 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 4

Penerapan teknik tersebut antara lain untuk menghitung nilai rata-rata kelas, dimana kita harus menjumlahkan seluruh nilai kemudian membaginya dengan jumlah siswa. Latihan.. 2786 2. 723 3. 4863 473 4567 238 5768 8634 634 923 7895 25 46 6789 63 8476 346 428 2386 7880 9862 723 234 782 4567 6525 345 8678 + 4726 + 8926 + 4. Hitung jumlah bilangan s.d. 30 dengan cara noktah! 5. + 2 + 3 + 5 + 7 + + 3 + 7 + 9 + 23 + 29 + 3 + 37 + 4 + 47 + 5 + 53 + 59 = D. Pengurangan Penanaman konsep pengurangan menggunakan peragaan yang berbeda dari penjumlahan. Untuk awal pengajaran konsep pengurangan, guru perlu menggunakan kata-kata yang sudah dikenal anak, misal: dimakan, diambil, dijual, hilang, pecah, rusak, dan sebagainya. Pedoman Pembelajaran Matematika SD 5

Contoh: 7 3 = 4 ada diambil sisa 7 bola 3 bola 4 bola Contoh peragaan dalam pengenalan operasi pengurangan yang tidak tepat adalah sebagai berikut. 7-3 = 4 Cara peragaan dengan gambar seperti di atas tidak tepat, karena yang dilihat oleh anak adalah 7 bola dan 3 bola, sehingga bisa salah pengertian menjadi 0 bola, padahal yang dimaksud adalah 7 bola diambil 3 bola. Bandingkan dengan cara disilang pada gambar bola yang sudah dikurangi. Pengurangan bersusun dikenalkan bersesuaian dengan pengurangan biasa. Tahap-tahap mengerjakan pengurangan tidak diuraikan dalam buku ini. Dalam hal ini diperlukan peranan guru dalam menjelaskan cara mengerjakannya. Contoh: 4-2 = 4 26-5 = 26 2-5 - Pengurangan dengan teknik meminjam dikenalkan setelah pengurangan tanpa teknik meminjam dikuasai anak. Pedoman Pembelajaran Matematika SD 6

Contoh soal pengurangan tanpa meminjam 24 6 78 48 85 2-4 - 22-36 - 32-47 68 82 23 24 28-9 - 47-8 - 9 - Latihan.2. 2347 20345 = 2. 782 4386 = 3. 783 2496 = 4. 6827 2939 = 5. 423 2534 = 6. 742 623 + 423 = 7. 470 580 + 270 = 8. 365 475 + 625 = 9. 84 423 + 577 = 0. 632 642 + 858 = E. Perkalian. Pengenalan Operasi Perkalian Pengenalan operasi perkalian dapat dilakukan dengan berbagai cara. Beberapa contoh pengenalan operasi perkalian adalah sebagai berikut. a. Peragaan dengan mengumpulkan benda secara berulang, misal untuk 3 x 4 dikumpulkan/diambil 4 buah benda sebanyak 3 kali, kemudian dihitung seluruhnya. b. Menghitung berulang, misalnya untuk 3 x 4, siapkan 4 benda kemudian benda tersebut dihitung 3 kali secara berulang, hitungan terakhir merupakan jawaban. Pedoman Pembelajaran Matematika SD 7

c. Penjumlahan berulang (definisi), misalnya: 3 x 4 = 4 + 4 + 4 (tiga kali empatnya) (bukan 3 + 3 + 3 + 3) 3 x 6 = 6 + 6 + 6 (tiga kali enamnya) (bukan 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3) 2. Pemahaman terhadap Operasi Perkalian Pada tahap pemahaman terhadap operasi perkalian proses pengajarannya berangsur-angsur mengurangi alat peraga dari benda konkrit sampai akhirnya hanya menggunakan simbolsimbol bilangan dan perkalian dan diberikan latihan-latihan. Contoh soal latihan untuk kelas II: 2 x 5 = 7 x 3 = 4 x 7 = 4 x 3 = 5 x 6 = 8 x 5 = 3. Pembinaan Keterampilan Perkalian Pembinaan keterampilan pada perkalian dimaksudkan untuk memberikan bekal pengetahuan siap bagi peserta didik. Dengan berbekal pengetahuan siap, diharapkan siswa dapat mengerjakan soal-soal dengan cepat dan tepat. Dalam rangka membantu siswa cepat menghafal perkalian diperlukan kegiatan belajar mengajar yang disajikan secara variatif dan kreatif. Sebagai contoh kreasi dalam mengajar perkalian adalah sebagai berikut. Pedoman Pembelajaran Matematika SD 8

a. Perkalian 9 dengan menggunakan jari (untuk kelas II) 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ibu jari tangan kiri ibu jari tangan kanan Contoh: ) 9 x 3 =...? Jari nomor 3 dijadikan batas untuk jari sebelah kiri dan kanan, yaitu sebelah kiri ada 2 jari dan sebelah kanan ada 7 jari. 2 3 4 2 7 Jadi, 9 x 3 = 27 5 6 7 8 9 0 2) 9 x 4 =...? 2 3 4 7 8 9 0 5 6 3 6 Jadi, 9 x 4 = 36 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 9

3) 9 x 7 =...? 2 3 4 5 6 7 8 9 Jadi, 9 x 7 = 63 6 3 b. Perkalian bilangan 6-9 dengan menggunakan jari BELUM DIBUAT - Pemberian angka simetris dan urut ari jari manis (6) ke ibu jari (0). - Untuk mewakili 8, jari tangan kiri nomor 6, 7, dan 8 turun. Untuk mewakili 7, jari tangan kanan nomor 6 dan 7 turun. - yang turun dijumlahkan sebagai puluhan (2+3=5), yang di atas dikalikan sebagai satuan (3x2=6). - sehingga diperoleh 8x7=56. - Khusus untuk 6x6 dan 6x7 cara ini sebaiknya tidak dipaksakan karena hasil kali dari jari yang di atas lebih dari 0. Pedoman Pembelajaran Matematika SD 0

c. Perkalian istimewa Perkalian istimewa adalah perkalian bilangan tertentu dengan bilangan tertentu, sehingga hasilnya pun tertentu. Contoh: ) Perkalian dengan 0 Perkalian bilangan bulat dengan 0 dilakukan dengan hanya menuliskan 0 pada bilangan yang dikali. Contoh: 5 x 0 = 50 2 x 0 = 20 275 x 0 = 2750 2) Perkalian dengan Perkalian dengan dilakukan dengan menempatkan jumlah angka-angka bilangan yang dikali di tengah-tengahnya. Contoh: 27 x = 297 (9 berasal dari 2+7) 43 x = 473 (7 berasal dari 4+3) Jika jumlahnya lebih dari 0, maka angka di depan ditambah. Contoh: 76 x = 836 (7+6=3 3 ditengah dan 7+) 87 x = 957 (8+7=5 5 ditengah dan 8+) 3) Perkalian dengan 2,5 Perkalian dengan 2,5 terkait dengan 8, kuncinya adalah 8 x 2,5 = 00. Perhatikan contoh berikut. 6 x 2,5 = 2 x 8 x 2,5 = 2 x 00 = 200 Pedoman Pembelajaran Matematika SD

32 x 2,5 = 4 x 8 x 2,5 = 4 x 00 = 400 88 x 2,5 = x 8 x 2,5 = x 00 = 00 4) Perkalian dengan / 9, 33 / 3, 4 2 / 7, 6 2 / 3 Perkalian dengan bilangan-bilangan ini analog dengan perkalian dengan 2,5 bahwa hasil perkalian ini hasilnya 00. kunci dari perkalian ini adalah sebagai berikut. 9 x / 9 = 00 3 x 33 / 3 = 00 7 x 4 2 / 7 = 00 6 x 6 2 / 3 = 00 5) Perkalian dengan 2, 4, 5, dan 25 Perkalian dengan bilangan-bilangan tersebut juga memiliki ciri khusus yang dihubungkan denga bilangan puluhan seperti 0, 00, 000, dan sebagainya.silahkan para pembaca mempelajarinya lebih lanjut. 4. Penerapan Operasi Perkalian Supaya operasi perkalian tidak hanya merupakan pengetahuan semata, maka harus diterapkan ke dalam kehidupan sehari-hari dalam bentuk soal cerita. Misalnya, a. setiap siswa kelas III membawa 5 buku tulis, berapa banyak buku tulis dalam kelas tersebut jika jumlah siswanya ada 35 anak? Pedoman Pembelajaran Matematika SD 2

b. sebuah truk memuat 50 buah karung yang setiap karung berisi 25 kg beras. Berapa kwintal beras yang dimuat truk tersebut? Latihan.3. 75 x 0 =... 2. 2634 x 00 =... 3. 4275 x =... 4. 235 x =... 5. 32 x 2,5 =... 6. 96 x 2,5 =... 7. 27 x 33 / 3 =... 8. 4 2 / 7 x 2 =... 9. 6 2 / 3 x 36 =... 0. 4 2 / 7 x 77 =... F. Pembagian. Pengenalan operasi Pembagian Pembigian mulai diajarkan di kelas II. Pengenalan operasi pembigian dilakukan dengan peragaan benda konkrit, sebagai berikut: a. Membagi secara merata Misal, berapakah 0 : 2? ) Cara pertama, siapkan 0 benda, kemudian bagilah secara merata kepada 2 anak. Banyaknya benda pada setiap anak merupakan jawaban. Pedoman Pembelajaran Matematika SD 3

2) Cara kedua, siapkan 2 kotak, kemudian hitunglah s.d. 0 sambil memberi tanda ke kotak-kotak secara bergantian. Banyaknya tanda pada setiap kotak merupakan jawaban. b. Mengelompokkan 0 : 2 = 5 0 : 2 = 5 Siapkan 0 benda, kemudian kelompokkan dua-dua, maka banyaknya kelompok merupakan jawaban. 0 : 2 = 5 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 4

2. Pemahaman Operasi Pembagian Pembagian merupakan kebalikan (invers) dari perkalian. 3 x 4 = 2 2 : 4 = 3 dan 2 : 3 = 4 4 x 7 = 28 28 : 7 = 4 dan 28 : 4 = 7 Pada tahap pemahaman konsep pembagian pemakaian alat peraga berangsur-angsur dihilangkan, dan mulai memanfaatkan hubungan antara pembagian dan perkalian. 3. Pembinaan Keterampilan dan penerapan Operasi Pembagian Target keterampilan pada operasi pembagian adalah pembagian bersusun pendek. Proses pengerjaan pembagian bersusun tidak dipaparkan dalam buku ini. Dalam proses belajar mengajar peranan guru sangat menentukan dalam mengajarkan proses pembagian bersusun. Contoh: 8587 5727 3 2576 5 78635 24 5 7 28 5 25 26 36 24 35 2 3 2 0 0 35 35 0 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 5

Penerapan konsep pembagian dilakukan dengan memberikan soal cerita yang menyangkut pembagian. Sebagai contoh: a. Sebuah truk mengangkut 50 kwintal beras yang dimasukkan dalam 00 karung. Berapa kg isi setiap karung? b. Sebuah SD mendapat bantuan 50 pak buku yang setiap pak berisi 2 eksemplar buku tulis. Bantuan tersebut dibagikan kepada murid kelas I dan II yang jumlahnya 60 anak. Berapa eksemplar buku yang diterima setiap anak? 4. Pembagian Lebih Lanjut a. Pembagian Bersisa Pada pembagian bersisa, sisanya tidak boleh ditulis langsung di belakang koma. Contoh pembagian dengan menuliskan sisanya. 572 5 7863 7863 : 5 = 572 sisa 3 5 tidak boleh ditulis langsung 572,3 28 25 36 35 3 0 3 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 6

b. Pembagian dengan Hasil Desimal Pembagian bersisa bisa diselesaikan dengan hasil desimal, yaitu sampai beberapa angka di belakang koma. Contoh: 35,5 8 284 284 : 8 = 35,5 24 44 40 40 diberi 0, ditulis koma pada jawaban 40 0 Kadang-kadang hasilnya tidak berhenti sehingga perlu dibulatkan sampai jumlah angka desimal yang dikehendaki. Cara membulatkan adalah dengan nemperhatikan angka di belakang pembulatan, dengan aturan sebagai berikut. ) lebih dari 5 dibulatkan ke atas (ditambahkan ke atas) 2) kurang dari 5 dibulatkan ke bawah (atau dihilangkan) Contoh: 7,0833 2 85 85 : 2 = 7,08333 7,08 (dibulatkan) 84 0 diberi 0, ditulis koma pada jawaban 0 0 dibagi 2 tidak bisa, hasilnya = 0 00 diberi 0 lagi, lalu dibagi 2, dst. 96 40 36 4 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 7

Latihan.4 Contoh pembulatan yang lain: 7 : 3 = 5,66666... = 5,67 (6 dibulatkan ke atas) 56 : 9 = 6,22222... = 5,22 (2 berikutnya dihilangkan) 27 :7 = 3,8574... = 3,86 (7 dibulatkan ke atas) c. Pembagian dengan Nol Pembagian dengan nol (0) tidak dibicarakan (tidak didefinisikan) dalam matematika. Sebagai contoh, 2:0 = 2/0 tidak ada (tidak didefinisikan), karena diisi dengan bilangan berapa pun selalu salah.. 275 : 5 =... sisa... 2. 4756 : 5 =... sisa... 3. 325 : 2 =... sisa... 4. 479 : 6 =... sisa... 5. 876 : 9 =... sisa... 6. (4 x 5) : 0 =... 7. (50 : 5 ) x 6 =... 8. 78 : (3 x 2) =... 9. (37,5 : 3) x 64 =... 0. (28 4 / 7 : 2) x 49 =... G. Pengerjaan Hitung Campuran Tanpa Kurung. Aturan Pengerjaannya Pada pengerjaan hitung campuran tanpa kurung dikerjakan dengan aturan kali-bagi lebih kuat dari tambah-kurang, kali dan bagi sama kuat, tambah dan kurang sama kuat. Pengerjaan hitung campuran dengan mempergunakan aturan kali-bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang dikenal Pedoman Pembelajaran Matematika SD 8

dengan Aturan/Kaidah Matematika, dikenal juga dengan prinsip pipolondo dengan ketentuan sebagai berikut: a. Dikerjakan sesuai dengan tingkat/level dari setiap operasi, yaitu: Pangkat, Akar Kali,bagi Tambah,kurang b. Opersi hitung yang levelnya lebih tinggi dikerjakan dulu pangkat dan akar lebih tinggi daripada kali, bagi, tambah, dan kurang. Kali dan bagi lebih tinggi daripada tambah dan kurang) c. Operasi hitung yang levelnya sama dikerjakan sesuai urutannya (pangkat dan akar sama kuat, kali dan bagi sama kuat, tambah dan kurang sama kuat) d. Berlaku untuk kalkulator jenis biasa (dengan catatan ditekan tombol sesuai dengan kaidahnya), dan sesuai dengan kalkulator jenis scientific (cara kerjanya sudah disesuaikan dengan kaidah matematika). 2. Pembahasan tentang Aturan/Kaidah Matematika Berlakunya pengerjaan hitung campuran sesuai dengan aturan/kaidah Matematika dapat dilihat dengan jelas pada beberapa referensi dan pembahasan sebagai berikut: a. Studi Referensi/Perpustakaan ) Kurikulum 968 Pada kelas III ditulis dengan jelas bahwa jika ada dua operasi yang berlainan tingkat, maka yang mempunyai tingkat lebih tinggi dikerjakan terlebih dahulu, sedangkan yang mempunyai tingkat sama dikerjakan sesuai dengan Pedoman Pembelajaran Matematika SD 9

urutan penulisan. Walapun secara yuridis Kurikulum 968 sudah tidak berlaku lagi, namun materi dan konsep yang dibawa akan tetap berlaku sampai kapan pun. 2) Dalam kurikulum Pendidikan Dasar 994 pada GBPP Kelas IV Cawu pada pokok bahasan perkalian secara implisit tertulis contoh: 7 x 285 = 7 x (200 + 80 + 5) = 7 x 200 + 7 x 80 + 7 x 5 = 400 + 560 + 35 = 995 Dengan demikian secara tidak langsung pengerjaannya menggunakan aturan kali lebih kuat daripada tambah, walapun ditulis di belakang tetap dikerjakan terlebih dahulu. 3) Dalam buku Basic Mathematical Skill oleh Robert A. Carman & Marilyn J. Carman, John & wiley Sons, Inc., Canada, terdaftar dalam Library of Conggress Cataloging in Publication Data, pada halaman 94-95 secara implisit pada bagian Decimals tertulis contoh: 86,42 = 8 x 0 + 6 x + 4 x /0 + 2 x /00 = 80 + 6+4/0 + 2/00 Dengan demikian buku ini secara tidak langsung juga menggunakan aturan kali lebih kuat daripada tambah, walapun ditulis di belakang tetap di kerjakan terlebih dahulu. 4) Dalam buku Paket kelas IV halaman 38 terbitan Balai Pustaka, sesuai dengan Kurikulum 994 ditulis dengan jelas: a) kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang yang lebih kuat dikerjakan dulu Pedoman Pembelajaran Matematika SD 20

b) kali dan bagi sama kuat, tambah dan kurang sama kuat, yang di depan dikerjakan dulu b. Pembahasan Materi ) Dari definisi perkalian bahwa perkalian merupakan penjumlahan penjumlahan berulang, diperoleh kali lebih kuat daripada jumlah. Contoh: 3x4 = 4+4+4, maka diperoleh 2+3x4 = 2+4+4+4 = 2+2 = 4 (bukan 20) 2) Rumus keliling persegi panjang biasa digunakan: Keliling (K) = 2 x p + 2 x l (p = panjang, l = lebar). Jika panjangnya 5 cm dan lebarnya 4 cm, maka kelilingnya dapat dihitung sebagai berikut: Keliling = 2 x p + 2 x l = 2 x 5 + 2 x 4 = 0 + 8 = 8, jadi keliling 8 cm Tak seorangpun akan mengerjakan seperti berikut: Keliling = 2 x 5 + 2 x 4 = 0 + 2 x 4 = 2 x 4 = 48, jadi keliling 48 cm 3) Dari definisi bilangan eksponen (pangkat) seperti 4 2 = 4 x 4, maka diperoleh bahwa 2 + 4 2 = 2 + 4 x 4 = 2 + 6 = 8 (ternyata secara langsung kali dikerjakan terlebih dahulu) 4) Dalam aljabar terdapat soal: jika a = 3 dan b = 4 berapakah 2a + 5b? Jawaban yang benar: 2a + 5b = 2x3 + 5x4 = 6 + 20 = 26 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 2

Jawaban salah: 2a + 5b = 2x3 + 5x4 = 6+5 x 4 = x 4 = 44 5) Pembagian merupakan invers dari perkalian. Tanda bagi (:) dapat ditulis dengan / (garis miring), dan di beberapa kalkulator tertulis. 3 3 : 4 = -- atau 3 / 4, maka 4 3 3 x 5 3 : 4 x 5 = -- x 5 = ------ =... 4 4 Perhatikan bahwa pada soal 3:4x5 pembagian (3:4) dikerjakan dulu menjadi 3/4, baru hasilnya dikalikan dengan 5. Dengan demikian, antara kali dan bagi sama kuat, atau dikerjakan yang depan dulu. Hal ini dengan perkembangan teknologi, karena sesuai dengan kalkulator jenis apapun, bahasabahasa pemrograman komputer (seperti Basic, Pascal, dll.) serta paket-paket program komputer (seperti WordStar, Word Perfect, Lotus 23, Microsoft Word, Microsoft Excel, Dbase, dll.). Contoh: Soal Komputer Hasil 8 : 4 x 2 8/4*2 4 (bukan ) 0 : 2 x 5 0/2*5 25 (bukan ) 6) Pada pokok bahasan persamaan kuadrat (SLTP) terdapat fungsi kuadrat sebagai berikut. Pedoman Pembelajaran Matematika SD 22

f(x) = 2x 2 + 3x + 5; jika x = 4 maka: f(4) = 2.4 2 + 3.4 + 5 = 2.6 + 3.4 + 5 (pangkat dikerjakan dulu) = 32 + 2 + 5 (kali dikerjakan dulu) = 49 c. Pembahasan Lebih Lanjut ) Dalam bagian-bagian dari disiplin ilmu Matematika seperti Kalkulus, Aljabar, Aritmetika, Trigonometri, Eksponensial, Persamaan Differensial dan Integral, Statistika, Probabilitas, Teori Himpunan, Matematika Terapan, dan lain-lain selalu berlaku prinsip/kaidah Matematika dalam pengerjaannya. 2) Bahasa-bahasa program komputer seperti Basic, Pascal, Fortran, selalu menerapkan aturan/kaidah Matematika. 3) Paket-paket komputer sepeti WordStar, Lotus 23, Word Perfect, Dbase, Microsoft Excel, dan lain-lain selalu memberlakukan kaidah Matematika. 4) Terdapat beberapa jenis kakulator yang cara kerjanya berbeda: a) Kalkulator biasa (dalam komputerisasi disebut standard) - bekerja sesuai dengan urutan penulisan/penekanan tombol - jumlah tombol relatif sedikit dan biasanya tidak tersedia tanda kurung - harganya relatif murah, - dipakai untuk sekali pengerjaan hitung seperti tambah, kurang, kali, atau bagi saja. Bila pengerjaannya lebih dari satu maka diperlukan tanda = berkali-kali sesuai dengan masalahnya. b) Kakulator Scientific - bekerja sesuai dengan prinsip/kaidah Matematika, bukan urutan menekan tombol Pedoman Pembelajaran Matematika SD 23

- jumlah tombolnya relatif banyak - harganya relatif mahal - diprogam untuk kepentingan statistik dan mendukung ilmu karena tersedia tomboltombol eksponen, sinus, cosinus, tangen, dan lain-lain. c) Fraction Calculator Saat ini telah muncul kalkulator yang dapat menuliskan pecahan biasa yang disebut fraction calculator, dan di Jepang dikenal dengan Calculator for School yang prinsip kerjanya sesuai dengan prinsip Matematika sehingga di Jepang tidak terjadi dua pendapat yang berbeda tentang pengerjaan hitung campuran yang tidak menggunakan tanda kurung, karena tersedia kalkulator untuk sekolah. Jenis kalkulator ini walapun jumlah tombolnya tidak selengkap kalkulator scientific, tetapi cara kerjanya sama dengan kalkulator scientific. d) Hipotesa - tidak semua orang mengetahui tentang adanya dua jenis kalkulator - para pengguna kalkultor belum tentu mengetahui secara optimal bagaimana menggunakan kalkulator semaksimal mungkin. - perlu disediakan waktu tersendiri untuk mempelajari bagaimana cara menggunakan kalkulator yang benar. d. Contoh Penyelesaian Soal. 25 + 3 x 60 = 25 + 80 = 205 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 24

Latihan.5 2. 43 4 x 5 = 43 20 = 23 3. 45 x 0 : 5 = 450 : 5 = 90 4. 8 : 4 x 2 = 2 x 2 (bukan 8: 8) = 4 5. 30-30 : 0 x 3 = 30-3 x 3 = 30 9 = 2 6. 50-50+30x0:20 = 00 +300 :20 = 00 + 5 = 5 7. 75 x 20 + 40 x 5 = 500 + 200 = 700 8. 45-25 + 40 x 3 = 45-25 + 20 = 20 +20 = 40 9. 00 : 5x 7 + 6 = 20 x 7 + 6 = 40 + 6 = 46 0. 47 x 65 + 65 x 53 = 65 x (47+ 53) = 65 x 00 = 6500. 48 x 2,5 + 56 =... 2. 63 x /9 450 : 5 =... 3. 2 x + 60 x 2,5 =... 4. 45 + 63 + 77 x 4 2 / 7 =... 5. 64 x 2,5 + 35 x 4 2 / 7 =... 6. 44 x 25 + 60 x 50 =... 7. 750-30 x 33 / 3 +25 =... 8. 625 + 475 x 0 65 =... 9. 72 x 6 2 / 3 +25 x =... 0. 36 x 6 2 / 3 + 88 x 2,5 =... Pedoman Pembelajaran Matematika SD 25

H. Hukum Komutatif, Assosiatif, dan Distributif Hukum (sifat) komutatif (pertukaran tempat) yaitu sifat yang dimiliki oleh suatu operasi walapun bilangannya ditukar tempat hasilnya tetap. Hukum komutatif dimiliki oleh penjumlahan dan perkalian, dengan rumus sebagai berikut. Penjumlahan a + b = b + a Contoh: Contoh: 23 x 0 = 0 x 23 5 + 58 = 58 + 5 45 x 7 = 7 x 45 49 + 67 = 67 + 49 Hukum (sifat) Assosiatif (pengelompokan) adalah hukum atau sifat yang dimiliki oleh suatu operasi walaupun dilakukan pengelompokan berbeda hasilnya tetap. Hukum assosiatif dimiliki oleh penjumlahan dan perkalian, dengan rumus sebagai berikut. Penjumlahan (a+b) = c = a + (b+c) Perkalian a x b = b x a Perkalian (axb) x c = a x (bxc) Contoh: Contoh: ( 9 x 25 ) x 4 = 9 x (25 x 4) ( 5+58 ) + 42 = 8 + (58+42) = 9 x 00 = 8 + 00 = 900 = 8 (7 x 2,5 ) x 8 = 7 x (2,5 x 8) ( 49 + 86 ) + 4 = 49 + (86+4) = 7 x 00 = 49 + 00 = 700 = 49 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 26

Hukum distributif (penyebaran) adalah hukum sifat penyebaran suatu operasi terhadap operasi yang lain. Hukum distributif berlaku pada perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan dengan rumus sebagai berikut. Contoh: a x (b + c) = a x b + a x c a x (b - c) = a x b - a x c. 25 x (400 + 25) = 25 x 400 + 25 x 25 = 0.000 + 625 = 0625 2. 75 x (500 + 0) = 75 x 500 + 75 x 0 = 37500 + 750 = 38250 3. 2,5 x (00) = 2,5 x 00 + 2,5 x 88 = 250 + 00 = 2350 4. 48 x (200 2,5) = 48 x 00 + 48 x 2,5 = 4800-600 = 4200 5. 36 x (500 6 2 / 3 ) = 36 x 500 36 x 6 2 / 3 = 8000 600 = 7400 6. 7,5x8,7 + 7,5x,3 = 7,5 x (8,7 +,3) = 2,7 x 20 = 254 Catatan: Ketiga hukum (sifat) tersebut digunakan dengan tujuan untuk membuat penyelesaian lebih mudah. Pedoman Pembelajaran Matematika SD 27

Latihan.6 Terapkan hukum distributif pada soal-soal berikut.. 47,5 x (200 + 0) =... 2. 2,5 x (400 + 64) =... 3. / 9 x (49 + 8) =... 4. 37,5 x (200 24) =... 5. 6 2 / 3 x (300 36) =... 6. 7 x 86 + 7 x 4 =... 7. 25 x 73 + 73 x 75 =... 8. 46 x 23 + 46 x 787 =... 9. 6,23x4,63 + 83,77x4,63 =... 0. 2,8x47,9 2,8x47,9 =... I. Bilangan Berpangkat Arti dari a b (dibaca a pangkat b) adalah: a b = a x a x a... x a b faktor Contoh:. 4 2 = 4 x 4 = 6 2. 3 3 = 3 x 3 x 3 = 27 3. 2 2 + 3 3 = 4 + 9 = 3 4. 5 2-3 2 = 25-9 = 6 5. 2 3 x 3 2 = 8 x 9 = 72 J. Penarikan Akar Kuadrat Penarikan akar kuadrat dengan simbol adalah invers (kebalikan) dari kuadrat atau pangkat 2, dengan hubungan sebagai berikut. Pedoman Pembelajaran Matematika SD 28

a 2 = b b = a (jika a 2 = b maka b = a). Contoh: 4 = 2, karena 2 2 = 4 9 = 3, karena 3 2 = 9 44 = 2, karena 2 2 = 44 25 + 6 = 5 + 4 = 9 9 x 4 = 3 x 2 = 6 Cara menarik akar kuadrat ada beberapa macam antara lain dengan menggunakan cara faktorisasi, bersusun, dan pendekatan tabel.. Cara faktorisasi a. Berapakah 625? 625 625 = 5 4, maka 625 = 5 4 = 5 4/2 = 5 2 5 25 = 25 5 25 b. Berapakah 44? 5 5 44 44 = 2 4 x 3 2, maka 44 = 2 4/2 x 3 2/2 = 2 2 x 3 2 72 = 2 2 36 2 8 2 9 3 3 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 29

2. Cara bersusun Cara ini menggunakan bentuk seperti bersusun. Penjelasan rinci tidak dituliskan dalam buku ini dan hanya disajikan dalam bentuk diagram sebagai berikut. Contoh, berapakah 625? Bilangan yang kuadratnya mendekati 6 625 = 25 2x2 = 4 - x2 225 4. x. = 225 - tanda titik (.) harus diisi dengan bilangan 0 yang sama, dalam hal ini 5, supaya 45 x 5 = 225. Contoh 2, berapakah 289? Bilangan yang kuadratnya mendekati 3 289 = 7 x = - x2 89 2. x. = 89 - tanda titik (.) harus diisi dengan bilangan 0 yang sama, dalam hal ini 7, supaya 27 x 7 = 89. Pedoman Pembelajaran Matematika SD 30

3. Cara pendekatan tabel Tabel A Satuan Hasil Kuadrat Bil Satuan CONTOH 0 0 625 =... Potonglah dua angka dari belakang 2 4 6.25 3 9 Perhatikan angka 6, akar 6 adalah 2 4 6 lebih 625 = 2... 5 5 Satuannya adalah 5, yang menghasilkan 5 6 6 adalah 5 625 = 25 7 9 8 4 (Hanya berlaku untuk bilangan kuadrat) 9 Tabel B Puluhan Hasil Kuadrat Bil Hasil Kuadrat CONTOH 0 00 784 =... 20 400 Potonglah dua angka dari belakang 30 900 7.84 40 600 Perhatikan angka 7, akar 7 adalah 2 50 2500 lebih 784 = 2... 60 3600 Satuannya adalah 4, yang menghasilkan 4 70 4900 adalah 2 atau 8 22 atau 28 80 6400 Perhatikan tabel kedua B, 784 terletak di 90 800 antara 400 dan 900 tetapi dekat ke 900, 00 0000 maka akarnya juga dekat 30 784 = 28 (Hanya berlaku untuk bilangan kuadrat) Pedoman Pembelajaran Matematika SD 3

[ [ K. Penarikan Akar Pangkat Tiga Penarikan akar pangkat 3 adalah invers (kebalikan) dari bilangan berpangkat 3, dengan hubungan sebagai berikut. a 3 = b 3 b = a (jika a 3 = b maka 3 b = a). Cara menarik akar pangkat tiga dapat dilakukan dengan menggunakan cara faktorisasi prima atau dengan pendekatan tabel.. Cara faktorisasi Contoh. 3 926 =... Perhatikan cara mencari faktor dari 926 sebagai berikut. 3 3 3 7 7 9 2 6 Dengan menggunakan pemfaktoran 3 0 8 7 disamping diperoleh hasil 926 = 3 3 x 7 3, 0 2 9 sehingga 3 926 = 3 (3 3 x 7 3 ) = 3 4 3 3 3 3 x 3 7 3 = 3 x 7 = 2 4 9 7 Contoh 2. 3 3824 =... 3 8 2 4 Dari diagram di samping diperoleh 2 6 9 2 hasil 3824 = 2 9 x 3 3, sehingga 2 3 4 5 6 3 3824 = 2 9/3 x 3 3/3 = 2 3 x 3 = 24 2 7 2 8 2 8 6 4 2 4 3 2 2 [ 2 6 2 0 8 2 5 4 2 2 7 3 9 3 3 Catatan: Pedoman Pembelajaran Matematika SD 32

Mencari akar pangkat tiga dengan cara faktorisasi tidak selalu berhasil karena terdapat bilangan kubik yang berasal dari bilangan prima yang relatif besar pangkat 3. Sebagai contoh 6859 = 9 3, untuk mendapatkan 9 sebagai faktor dari 6859 merupakan suatu hal yang relatif sulit, karena 9 merupakan bilangan prima yang cukup besar. 2. Cara Pendekatan Tabel Tabel C Satuan Pangkat 3 Bil Satuan CONTOH 0 0 3 2.67 =... Potonglah tiga angka dari belakang 2 8 2.67 3 7 Akar pangkat 3 dari 2 adalah 2 lebih 4 4 3 2.67 = 2... 5 5 Satuannya adalah 7, yang menghasilkan 7 6 6 adalah 3 3 2.67 = 23 7 3 8 2 (Hanya berlaku untuk bilangan kubik) 9 9 DIAGRAM MENCARI AKAR PANGKAT 3 3 2.67 = 2 3 2.67 = 23 2 x 2 x 2 = 8 yang menghasilkan 7 adalah 3 3 x 3 x 3 = 27 3 50.653 = 3 3 50.653 = 37 3 x 3 x 3 = 27 yang menghasilkan 3 adalah 7 4 x 4 x 4 = 64 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 33

Latihan.7. 024 =... 2. 900 =... 3. 676 + 576 =... 4. 2 x 44 =... 5. 729 : 8 =... 6. 3 8000 =... 7. 3 3824 =... 8. 3 35937 + 3 2952 =... 9. 3 33 x 3 9683 =... 0. 3 42875 : 3 343 =.... 625 + 3 54872 =... 2. 369 + 3 74.088 =... 3. 4225-3 24.389 =... 4. 2,5 x 64 + 6 2/3 x 3 4096 =... 5. /9 x 324 + 4 2/7 x 3 2952 =... Pedoman Pembelajaran Matematika SD 34

BAB II PECAHAN DAN OPERASINYA A. Jenis-jenis Pecahan Pecahan terdiri dari beberapa jenis (nama) dan cara penulisan, yaitu:. Pecahan biasa, yaitu pecahan yang ditulis dengan pembilang, penyebut, dan garis per mendatar atau miring. Contoh: 3 --, --, dan -- yang kadang ditulis 3 / 4, / 4, dan / 2 4 4 2 2. Pecahan campuran, yaitu pecahan yang memiliki bagian bulat dan bagian pecahan. Contoh: 3 2 2--, 3--, dan 4-- (kadang-kadang ditulis 2 3 / 4, 3 / 4, dan 4 / 2 ) 4 3 2 Pada bilangan 2 3 / 4, 2 adalah bagian bulat dan 3 / 4 bagian pecah. Pada bilangan 3 / 4, 3 adalah bagian bulat dan / 4 bagian pecah. Pada bilangan 4 / 2, 4 adalah bagian bulat dan / 2 bagian pecah. 3. Pecahan desimal, yaitu pecahan persepuluhan yang ditulis dengan menggunakan tanda koma (dalam bahasa Inggris ditulis dengan tanda titik). Pedoman Pembelajaran Matematika SD 35

Contoh: 2,5 dua koma lima,06 satu koma nol enam 0,7 nol koma tujuh Perhatikan bahwa dalam penulisan bilangan desimal, tanda koma (,) merupakan tanda desimal, bukan tanda baca. Perhatikan pada 2,5! a. 2,5 dibaca dua koma satu lima (bahasa Inggris two point one five) bukan dua lima belas persepuluh, karena 2,5 = 2,50 = 2,500 = 2,5000, dan seterusnya. b. Angka pada 2,5 bukan satuan tetapi perseratusan, sehingga tidak bisa dibaca lima belas. 4. Persen, yaitu pecahan perseratus yang dilambangkan dengan notasi %. Contoh: 0%, 25%, dsb. 5. Permil, yaitu pecahan perseribu yang dilambangkan dengan notasi 0 / 00. Contoh: 25 0 / 00, 27 0 / 00, dsb. B. Pengenalan Pecahan. Membaca Pecahan -- atau / 2 dibaca satu perdua, seperdua atau setengah 2 -- atau / 4 dibaca satu perempat, seperempat atau seperempat 4 3 -- atau 3 / 4 dibaca tiga perempat 4 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 36

Perhatikan pecahan berikut. 3 disebut pembilang 4 disebut penyebut Dengan demikian pada pecahan-pecahan: 5, 8, 9, 7, 0, 2,5,8,9,7,0,2 disebut pembilang, 2 3 5 6 6 3 2,3,5,6,6,,3 disebut penyebut 2. Pecahan dengan Gambar Pada gambar di atas masing-masing bangun dibagi menjadi 2 bagian yang sama, sehingga setiap bagian besarnya / 2. Pada gambar di atas masing-masing bangun dibagi menjadi 3 bagian yang sama, sehingga setiap bagian besarnya / 3. Pada gambar di atas masing-masing bangun dibagi menjadi 4 bagian yang sama, sehingga setiap bagian besarnya / 4. Pedoman Pembelajaran Matematika SD 37

3. Pecahan pada garis Bilangan 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 - - - - - - 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 - - - - - - 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 - - - - - - 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 C. Pecahan Senilai Jika pembilang dan penyebut dikali dengan bilangan yang sama, maka nilai pecahan itu tetap/sama. Contoh: 2 pembilang dikali 2 -- = -- 2 4 penyebut dikali 2 3 pembilang dikali 3 -- = -- 2 6 penyebut dikali 3 4 pembilang dikali 4 -- = -- 2 8 penyebut dikali 4 2 3 4 Jadi, -- nilainya sama dengan --; --; --. 2 4 6 8 Jika pembilang dan penyebut dibagi dengan bilangan yang sama, maka nilai pecahan itu tetap/sama. Pedoman Pembelajaran Matematika SD 38

Contoh: 2 6 pembilang dibagi 2 --- = -- 8 9 penyebut dibagi 2 2 2 pembilang dibagi 6 --- = -- 8 3 penyebut dibagi 6 2 6 2 Jadi, --- = -- = -- 8 9 3 Pecahan campuran dapat ditulis ke dalam bentuk pecahan biasa dengan pembilang lebih besar daripada penyebut. Contoh: 2x5+ 5-- = --------- = --- 2 2 2 3 4x3+3 5 3-- = --------- = --- 4 4 4 Pecahan biasa dengan pembilang lebih besar dari penyebut dapat ditulis ke dalam bentuk pecahan campuran. Contoh: 23 3 --- = 5 karena 23 : 4 = 5 sisa 3 4 4 5 --- = 2 karena 5 : 7 = 2 sisa 7 7 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 39

Latihan 2.. 2. 6 = 5. 3 = 9. 8 = 9 8 4 20 27 9 6 = 8 6. 3 = 8 0. 24 = 9 4 48 8 3. 6 = 7. 3 =. 36 = 6 9 45 4 32 54 4. 6 = 48 8. 3 = 30 2. 20 = 5 9 4 24 D. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan dengan Penyebut sama Contoh: a. b. 2 2 2 + 2 4 + = = 5 5 5 5 3 2 3-2 - = = 5 5 5 5 3 3 + 4 c. + = = = 4 4 4 4 d. 3 3-2 - = = = 4 4 4 4 2 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 40

Latihan 2.2. 2. 3 2 5 3 + = 4. - 6 6 6 6 4 2 5 3 + = 5. - 7 7 7 7 = = 3. 5 3 7 5 + = 6. - 8 8 8 8 = 2. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan dengan Penyebut tidak sama Contoh: + = 2 3 Cara menyelesaikan penjumlahan tersebut harus disamakan penyebutnya. Untuk menyamakan penyebut carilah pecahan yang senilai dari kedua pecahan tersebut, kemudian carilah yang penyebutnya sama. = 2 = 3 = 4 = 5 dan = 2 = 3 = 4 = 5 2 4 6 8 0 3 6 9 2 5 Dari pecahan-pecahan di atas diperoleh bahwa = 3 dan = 2 sehingga + = 3 + 2 = 2+3 = 5 2 6 3 6 2 3 6 6 6 6 Perhatikan contoh-contoh berikut dan sempurnakan yang belum selesai. a. b. 2 2+ 3 + = + = = 2 4 4 4 4 4 3 + = + = = 2 6 6 6 6 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 4

c. d. + = + = = 2 3 6 6 6 2 2- - = - = = 2 4 4 4 4 4 e. f. Latihan 2.3. 2. 3. 3 - = - = = 2 6 6 6 6 3 2 - = - = = 2 3 6 6 6 2 3 3 + = 4. - 3 4 5 2 2 7 2 + = 5. - 2 5 8 4 3 3 7 2 + = 6. - 4 5 9 3 = = = 3. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Campuran a. Penjumlahan Pedoman Pembelajaran Matematika SD 42

Latihan 2.4. ) 2 + 3 = 2 2 + 3 = 2 5 = 3 2 4 4 4 4 4 2) 2 + 3 2 = 2 + 3 + + 2 2 3 2 3 b. Pengurangan = 5 + 3 + 4 6 6 = 5 + = 5 + = 6 3 2 - = 3 4-3 = 2 3 2 6 6 6 3 2 + 2 5 = 7. 2-3 6 2 3 4 3 + 2 = 8. 3 3 - = 5 2 4 2 3. 8 3 + 2 = 9. 6-2 5 4 3 6 6 2. 7 6 7 6 = = 4. 5. 6. 2 6 7 2 + 3 = 0. 5 5-2 3 6 6 2 = 2 + 2 3 =. 7-3 5 5 7 3 6 = + 4 5 = 2. 4 5-2 3 9 6 2 = Pedoman Pembelajaran Matematika SD 43

E. Perkalian Pecahan. Perkalian Bilangan Asli dengan Pecahan Contoh peragaan dengan gambar. 2 3 x 2/3 3 = n /3 2 3 6 n = 3 = 2 3 3 x 3/4 4 2/4 = n /4 9 n = = 2 2 3 4 4 Contoh tanpa gambar. 3 x = + + = ++ = 3 atau 3 + = 3 x = 3 4 4 4 4 4 4 4 x 4 4 4 x = + + + = +++ = 4 atau 4 x = 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2. Perkalian Pecahan Biasa dengan Pecahan Biasa Mengalikan pecahan dengan pecahan sama dengan mengalikan pembilang dengan pembilang per penyebut kali penyebut. Contoh: 3 x 2 = 3 x 2 = 6 = 4 3 4 x 3 2 2 5 x 2 = 5 x 2 = 0 7 3 7 x 3 2 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 44

Latihan 2.5. 3 x 3 = 6. 2 x 3 5 4 3 5 = 2. 3 x 3 = 7. 4 x 3 = 7 4 5 4 3. 5 x 2 = 8. 5 x 2 = 6 3 8 3 4. 2 x 6 = 9. 2 x 2 = 3 3 5. 3 x 0 = 0. 3 x 32 = 5 8 3. Perkalian Pecahan Campuran Cara mengerjakan perkalian dengan pecahan campuran adalah dengan mengubah bentuk pecahan campuran menjadi pecahan biasa, kemudian pembilang kali pembilang per penyebut kali penyebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. 2 x 3 = 5 x 3 = 5 x 3 = 5 = 7 2 4 2 4 2 x 4 8 8 4 3 x 2 = 9 x 5 = 9x5 = 95 = 7 4 2 4 2 4x2 8 8 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 45

Latihan 2.6. 3 2 x 3 = 6. 4 3 x 0 =. 2 x 2 2 3 5 5 2 3 = 2. 3 3 x 3 = 7. 6 2 x 0 = 2. 3 3 x 2 3 = 5 4 3 4 5 3. 3 x 5 = 8. 2 x 5 = 3. 3 2 x 3 = 2 8 3 3 5 4. 5. 2 x 8 = 9. 2 x 3 = 4. 2 x 3 5 = 2 2 4 4 6 3 2 x 9 = 0. 3 x 30 = 5. 5 2 x 4 3 = 3 5 7 4 F. Pembagian Pecahan Pembagian dengan pecahan dilakukan dengan cara yang mudah, yaitu dengan mengubah menjadi perkalian. Dibagi dengan suatu pecahan biasa sama dengan dikalikan dengan kebalikan bilangan pembagi. Contoh: 4 2 4 2 -- : -- =... -- bilangan yang dibagi dan -- pembagi 5 3 5 3 Pembagian dengan pecahan sama dengan perkalian dengan kebalikan pembagi, maka 4 2 4 3 2 3 : = x pembagi dibalik menjadi, yang dibagi tetap, 5 3 5 2 3 2 4 2 4 3 2 2 sehingga diperoleh : = x = 4x3 5 3 5 2 5x2 = 0 = = 0 5 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 46

Contoh-contoh lain: a. 3 2 3 3 9 : = x = 3x3 4 3 4 2 4x2 = 8 = 8 b. 3 3 2 3x2 6 : = x = = = 5 2 5 5x 5 5 c. 5 2 5 3 5x3 5 : = x = = 8 3 8 2 8x2 6 d. 2 2 2 5 0 2 : = x = 2x5 = = 3 5 3 2 3x2 6 3 e. 7 2 7 3 2 5 : = x = 7x3 = = 8 3 8 2 8x2 6 6 Pembagian untuk pecahan campuran analog dengan pembagian dengan pecahan biasa, hanya bentuk pecahan campuran diubah terlebih dahulu menjadi pecahan biasa. Perhatikan contoh berikut ini. 3 3 2 x2 22 0 5 2 : = : = x = = = = 4 2 4 2 4 3 4x3 2 2 6 Latihan 2.7. 2 : = 6. 8 : 2 2 3 2. 3 : = 7. 3 : 2 4 4 3 = 3. : 2 = 8. 3 : 2 2 5 3 = = 4. 2 : 4 = 9. 2 : = 3 2 2 5. 6 : 3 = 0. 3 2 : 2 2 5 5 3 = Pedoman Pembelajaran Matematika SD 47

G. Hitung Campuran pada Pecahan Jika dalam satu soal berisi 2 operasi atau lebih dan tidak terdapat tanda kurung, maka harus dikerjakan sesuai dengan peraturan yang berlaku, yaitu:. Kali dan bagi harus dikerjakan dulu sebelum tambah dan kurang; 2. Kali dan bagi sama kuat dikerjakan sesuai dengan urutan penulisan; 3. Tambah dan kurang sama kuat dikerjakan sesuai dengan urutan penulisan. Contoh: a. 3 + 2 - = 9 + 2 6-4 = 2 5-4 = 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 b. 2 x 3 + 2 = ( 5 x 6 ) + 2 (kali dikerjakan dulu) 2 5 5 2 5 5 = 5x6 2x5 + 2 = 80 + 4 = 84 = 9 2 5 0 0 0 5 c. 3 3 : + = ( 5 : 4 ) + (bagi dikerjakan dulu) 4 3 2 4 3 2 = ( 5 x 3 ) + 4 4 2 = 5x3 + 4x4 = 45 + 8 6 6 2 = 53 = 4 5 6 6 d. 3 3 : x 2 2 = ( 5 : 3 ) x 8 = ( 5 x 2 ) x 8 4 2 3 4 2 3 4 3 3 = 30 x 8 = 240 = 6 2 2 3 36 3 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 48

Latihan 2.8. 2 + 3 3 + = 4. 2 2 : 3 x 2 = 2 5 2 5 2 3 2. x 3 3 - = 5. 2 : 3-2 = 4 4 2 5 4 5 3. 2 + 5 2 x = 6. 2 3 6 3 2 3 5 + 3 5 : 6 = H. Pecahan Desimal dan Operasinya. Pengubahan (konversi) Pecahan Biasa dan Desimal Pecahan desimal adalah pecahan persepuluhan yang ditulis dengan tanda koma (titik dalam bahasa Inggris). Pengubahan (konversi) pecahan desimal ke pecahan biasa dilakukan dengan mengartikan pecahan tersebut kemudian menyederhanakannya. Contoh: 0,5 artinya 5 = 0,2 artinya 2 = 0 2 0 5 0,05 artinya 5 = 0,75 artinya 75 = 3 00 20 00 4 Konversi pecahan biasa ke bentuk desimal tidak selalu tepat sehingga kadang-kadang diperlukan pembulatan. Contoh: /3 = 0,33333... (dengan memakai pembagian bersusun) = 0,333 (tiga angka di belakang koma) = 0,33 (dua angka di belakang koma) = 0,3 (satu angka di belakang koma) Pedoman Pembelajaran Matematika SD 49

2/3 = 0,66666... (dengan memakai pembagian bersusun) = 0,667 (tiga angka di belakang koma) = 0,67 (dua angka di belakang koma) = 0,7 (satu angka di belakang koma) Nilai tempat pada pecahan desimal sangat penting terutama dalam operasi hitung akan menentukan hasil. Salah dalam menentukan nilai tempat akan berakibat salah pula hasil perhitungannya. Perhatikan contoh berikut. 25,25 = 2x0 + 5x + x + 2 x + 5 x 0 00 000 perseribu perseratus persepuluh satuan puluhan 2. Penjumlahan Pecahan Desimal Ada dua macam cara mengerjakan penjumlahan pecahan desimal, yaitu dengan mengembalikan ke bentuk pecahan biasa dan dengan menggunakan penjumlahan bersusun. Contoh: a. 0,25 + 0,40 = 25 + 40 = 65 = 0,65 00 00 00 b. 0,34 + 0,26 = 34 + 26 = 60 = 0,60 00 00 00 c. 0,25 + 0,425 = 25 + 425 = 550 = 0,550 00 00 00 d. 0,6 + 0,3 = 6 + 3 = 9 = 0,9 0 0 0 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 50

Penjumlahan bersusun pecahan desimal dilakukan dengan menyusunnya ke bawah, tanda desimal harus lurus sehingga satuan lurus satuan, koma lurus koma, persepuluhan lurus persepuluhan, perseratusan lurus perseratusan, perseribuan lurus perseribuan, dan seterusnya. Contoh: a. 0,245 + 0,234 0,245 0,234 + 0,479 b. 0,40 + 0,5 + 0,235 0,40 0,5 0,235 +,35 c. 2,45 + 2,4 + 25,275 2,45 2,4 25,275 + 40,25 d. 40,75 +,8 + 25,485 40,75,8 25,485 + 68,035 3. Pengurangan Pecahan Desimal Pengurangan pecahan desimal dilakukan dengan menyusunnya ke bawah, tanda desimal harus lurus sehingga satuan lurus satuan, koma lurus koma, persepuluhan lurus persepuluhan, perseratusan lurus perseratusan, perseribuan lurus perseribuan, dan seterusnya. Pedoman Pembelajaran Matematika SD 5

Contoh: a. 0,85-0,35 0,85 0,35-0,50 b. 2,75 -,4 2,75,4 -,35 c. 2,8-4,75 2,8 4,75-8,05 4. Perkalian Pecahan Desimal Dalam perkalian bilangan desimal banyak angka desimal (di belakang koma) kedua faktor menentukan banyaknya angka desimal hasil perkalian. Contoh: a. 0,25 x 0,5 = 0,25 atau 25 x 5 = 25x5 = 25 = 0,25 00 0 000 000 b. 0,5 x 0,7 = 0,05 atau 5 x 7 = 5x7 = 05 = 0,05 00 0 000 000 c. 2,4 x 0,8 =,92 atau 24 x 8 = 24x8 = 92 =,92 0 0 00 00 d. 2,5 x 2,4 2,5 angka desimal 2,4 x angka desimal 500 250 + 30,00 2 angka desimal Pedoman Pembelajaran Matematika SD 52

e. 0,8 x 0,5 + 0,75 0,8 angka desimal 0,5 x angka desimal 0,40 2 angka desimal 0,75 +,5 Khusus perkalian bilangan desimal dengan kelipatan 0, dapat dilakukan dengan menggeser tanda koma ke kanan sesuai dengan jumlah 0. jika angka desimal habis, maka dituliskan 0 di belakangnya. Contoh: a. 0,235 x 0 = 2,35 (tanda koma geser angka ke kanan) b.,234 x 00 = 23,4 (tanda koma geser 2 angka ke kanan) c.,45 x 000 = 450 (tanda koma geser 3 angka ke kanan) 5. Pembagian Pecahan Desimal Pada pembagian bilangan desimal banyak angka desimal (di belakang koma) dari bilangan yang dibagi maupun pembagi menentukan banyaknya angka desimal hasil pembagian. Contoh: a.,25 : 0,5 = 25 : 5 = 25 x 0 = 25 = 2,5 00 0 00 5 0 b. 7,2 : 0,8 = 72 : 8 = 72 x 0 = 9 0 0 0 8 c. 6,3 : 0,7 = 6,3 = 6,3x0 = 63 = 9 0,7 0,7x0 7 d.,75 : 0,5 =,75 =,75x00 =,75 0,5 0,5x00 50 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 53

I. Persen dan Permil. Persen (%) Persen artinya perseratus yang dilambangkan dengan tanda %. Contoh: 5 = 5% ; 25 = 25% ; 0 = 0% 00 00 00 Terdapat beberapa bilangan persen istimewa berkaitan dengan pecahan sederhana. Pada contoh berikut terdapat hubungan antara persen dan pecahannya. a. 00% = b. 50% = / 2 c. 33 / 3 % = / 3 d. 25% = ¼ e. 20% = / 5 f. 6 2 / 3 % = / 6 g. 4 2 / 7 % = / 7 h. 2,5% = / 8 i. / 9 % = / 9 2. Permil ( 0 / 00 ) Permil artinya perseribu yang dilambangkan dengan tanda 0 / 00. Contoh: 250% = 250 = ; 75% = 75 = 3 ; 000% = 000 4 000 40 Di bawah ini contoh penggunaan persen dan permil pada soal. 2 / 2 % dari Rp7.200,00 = -- x Rp7.200,00 = Rp900,00 8 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 54

3 37 / 2 % dari Rp5.600,00 = -- x Rp5.600,00 = Rp2.00,00 8 2 4--% dari Rp6.300,00 = -- x Rp6.300,00 = Rp900,00 7 7 Latihan 2.9. 2,75 + 4,05,60 =.... 2,75 : 0,3 =... 2. 45,65 + 7,5 2,75 =... 2. 4,8 :,6 =... 3. 20,85 2,45 + 6,2 =... 3. 9,6 :,2 =... 4. 2,75 3,48 + 2,95 =... 4. 8,4 : 0,7 =... 5. 24,5 + 24,5 2,02 =... 5. 2,5 : 2,5 =... 6.,60 x 2,5 =... 6. 4,8:,2 + 2,5x0,6 =... 7. 2,5 x 8,6 =... 7. 7,2:,8 + 22,5x0,4 =... 8. 0,75 x,2 =... 8. 25%:,2+37 / 2 %x4,8 =... 9. 2,8 x 0,30 =... 9. 7,5:75%+87 / 2 %x7,2 =... 0. 0,45 x 0,3 =... 20.,05 : 5% + 2,5 x 0,25 =... 3. Perbandingan Perbandingan adalah suatu bentuk pecahan yang digunakan untuk membandingkan antara dua keadaan (jumlah). Notasi perbandingan adalah : (titik dua) dan dibaca dibanding. Beberapa penggunaan perbandingan dapat dilihat pada contoh berikut. a. Jumlah siswa suatu SD 250 anak, terdiri dari 50 anak perempuan dan 00 anak laki-laki. Tuliskan perbandingan jumlah anak perempuan terhadap anak laki-laki! Pedoman Pembelajaran Matematika SD 55

Jawab: Perbandingan siswa perempuan dan laki-laki adalah 50 : 00 atau 3 : 2 (dibaca 3 dibanding 2) b. Umur ayah 50 tahun, umur ibu 45 tahun, umur anak 20 tahun. Tuliskan perbandingan umur ketiganya! Jawab: Umur ayah : umur ibu : umur anak = 50 : 45 : 20 = 0 : 9 : 4 (dibaca 0 dibanding 9 dibanding 4) c. Uang A Rp5.000,00, uang B Rp4.000,00, dan uang C Rp3.000,00. tuliskan perbandingannya! Jawab: Uang A : Uang B : Uang C = 5000 : 4000 : 3000 = 5 : 4 : 3 d. Modal seorang pedagang Rp50.000,00 dan hasil penjualan Rp60.000,00. tuliskan perbandingan antara modal dan hasil penjualan! Jawab: Modal : penjualan = 50.000 : 60.000 = 5 : 6 e. Uang A : Uang B = 3 : 2. selisih uang mereka Rp600,00. berapa rupiah uang masing-masing? Jawab: Uang A : Uang B = 3 : 2 Selisihnya Rp600,00, selisih perbandingannya (3 : 2) adalah 3 2 =. jadi bagian = Rp600,00 Jadi, Uang A = 3 x Rp600,00 = Rp.800,00 dan Uang B = 2 x Rp600,00 = Rp.200,00 Pedoman Pembelajaran Matematika SD 56

Latihan 2.0. Seorang pedagang mendapat untung 4 2 / 7 %. Kalau hasil penjualannya Rp480.000,00, berapa rupiah untungnya dan berapa rupiah modalnya? 2. Uang Amir / 2 x uang Basuki. Uang Basuki 2 x uang Cordial. Uang Cordial Rp50.000,00. berapa rupiah uang Amir dan uang Basuki masing-masing? 3. Perbandingan antara umur ayah, ibu, dan anak 5 tahun yang akan datang adalah 0 : 9 : 4. kalau umur anak sekarang 5 tahun, berapa umur ayah dan ibu masing-masing sekarang? 4. Perbandingan modal tiga pedagang Ali, Bakri, dan Udin adalah 4 : 3 :. jika selisih modal Bakri dan Udin Rp300.000,00, berapa modal mereka masing-masing? Pedoman Pembelajaran Matematika SD 57

BAB III GEOMETRI SEKOLAH DASAR A. Bidang Datar. Persegi (Bujursangkar) A B * keempat sisinya sama panjang * keempat sudutnya siku-siku * Keliling = 4 x sisi * Luas = sisi x sisi C Contoh: D a. Berapakah luas persegi yang panjang sisinya 2,5 cm? Jawab: Luas = sisi x sisi = 2,5 cm x 2,5 cm = 6,25 cm 2 b. Berapakah keliling persegi yang luasnya 8 cm 2? Jawab: Keliling = 4 x sisi Sisi = 8 cm = 9 cm Keliling = 4 x 9 cm = 36 cm Pedoman Pembelajaran Matematika SD 58

Latihan 3. Lengkapilah tabel berikut untuk persegi (bujursangkar)! Sisi (cm) Keliling (cm) Luas (cm 2 ) 2...... 4......... 20...... 36......... 8...... 49 2,5......,2......... 8,8......... 20,25 2. Persegi Panjang A B * keempat sudutnya siku-siku * sisi yang sejajar sama panjang * Keliling = 2 x (p + l) * Luas = p x l (panjang x lebar) C D Contoh: a. Suatu persegi panjang berukuran panjang 5 cm dan lebar 4 cm. Berapa cm kelilingnya dan berapa cm 2 luasnya? Jawab: Keliling = 2 x (p + l) = 2 x (5 cm + 4 cm) = 2 x 9 cm = 8 cm Catatan: Dalam menghitung luas ada beberapa cara penulisan dan semuanya dipakai, yaitu: Pedoman Pembelajaran Matematika SD 59