DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU A. TUJUAN PRAKTIKUM Melalui praktikum Modul II ini diharapkan praktikan dapat: 1. Mengenal jenis dan karakteristik dari beberapa distribusi peluang. 2. Menguji dan memahami central limit theorem. 3. Melakukan pengujian terhadap fungsi distribusi peluang dari suatu data. B. TEORI PENDUKUNG PRAKTIKUM 1. Distribusi Peluang Distribusi peluang merupakan tabel, grafik atau rumus yang memberikan nilai peluang dari sebuah peubah/variabel acak. Berdasarkan karakteristik peubah acaknya, distribusi peluang dapat dibedakan menjadi dua, yakni distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinyu. 2. Distribusi peluang diskrit Distribusi peluang diskrit adalah distribusi peluang dimana semesta peubah acaknya dapat dihitung atau berhingga, misalnya peubah acak sebuah lemparan dadu bernilai 1 hingga 6. Apabila himpunan pasangan terurut (x, f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi masa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskrit x maka untuk setiap kemungkinan hasil x berlaku: a. f(x) > 0 b. f ( x) 1 c. P (X=x) = f(x) Beberapa distribusi peluang diskrit adalah : a. Distribusi seragam (Uniform) Pada distribusi ini setiap peubah acak memiliki nilai peluang yang sama. Jika X adalah adalah suatu peubah acak dengan nilai x 1, x 2,, x k 13 Laboratorium Teknik Industri
masing-masing memiliki nilai peluang yang sama, maka distribusi seragam dapat dituliskan: ( ; ) = 1, =,,,. Contoh distribusi seragam adalah distribusi peluang munculnya angka dadu (1 hingga 6) ketika dilempar, yaitu 1/6. b. Distribusi Binomial Distribusi Binomial merupakan distribusi peluang yang dihasilkan dari proses Bernoulli yang memiliki empat karakteristik utama, yaitu: 1) Percobaan dilakukan pengulangan sebanyak n kali. 2) Tiap percobaan memiliki dua hasil saja yakni: sukses atau gagal. 3) Peluang sukses (p) pada setiap percobaan adalah konstan. 4) Pengulangan percobaan harus bebas (independent) satu sama lain, artinya hasil eksperimen yang satu tidak mempengaruhi hasil eksperimen yang lainnya. Sebuah percobaan Bernoulli dengan peluang sukses p dan peluang gagal q = 1-p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X (jumlah kejadian sukses dalam n kali percobaan) dapat dituliskan: n b(x;n;p) = p x q n-x, x = 0, 1, 2,..., n. x Peluang terambilnya kartu As di setiap pengambilan satu kotak kartu merupakan salah satu contoh percobaan Bernoulli. c. Distribusi Hipergeometrik Cara sederhana untuk membedakan distribusi Hipergeometrik dengan distribusi Binomial adalah dengan melihat proses penarikan sampelnya. Pada distribusi Binomial, antar percobaan bersifat bebas sedangkan pada distribusi Hipergeometrik peluang sukses percobaan saat ini bergantung pada hasil percobaan sebelumnya. Percobaan Hipergeometrik memiliki sifat berikut: 1) Sampel acak ukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda 14 Laboratorium Teknik Industri
2) Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya, N- k, diberi nama gagal, sehingga distribusi peluang peubah acak Hipergeometrik X (banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k bernama gagal ialah: h(x; N, n, k) = k N k nn x N n x = 1, 2,..., n. Pengunaan distribusi Hipergeometrik terdapat banyak bidang, antara lain pada penerimaan sampel, pengujian elektronik dan pengendalian mutu. d. Distribusi Poisson Eksperimen Poisson adalah eksperimen yang menghasilkan nilai dari suatu peubah acak X, yaitu jumlah keluaran yang terjadi selama satu selang waktu atau di antara suatu daerah. Misalkan, jumlah panggilan telepon per jam yang diterima oleh suatu kantor, banyaknya hari sekolah di tutup karena banjir, banyaknya kertas rijek karena salah ketik dll. Percobaan Poisson berasal dari proses Poisson yang memiliki sifat sebagai berikut: 1) Jumlah keluaran yang muncul dalam suatu rentang waktu atau suatu daerah tidak dipengaruhi (independent) terhadap jumlah keluaran yang terjadi di rentang waktu atau daerah yang lain yang terpisah. 2) Peluang bahwa yang satu keluaran akan muncul dalam selang waktu yang sangat pendek atau daerah yang kecil adalah proporsional dengan panjang selang waktu atau luas dari daerah. 3) Peluang muncul lebih dari satu keluaran dalam selang waktu yang amat pendek atau daerah yang kecil dapat diabaikan. 15 Laboratorium Teknik Industri
Distribusi peluang acak Poisson X yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu tertentu dinyatakan dengan t diberikan oleh: e t ( t) x p(x;λt) = x = 0, 1, 2,... x! dimana t menyatakan banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu atau daerah, sedangkan e = 2,71828... Distribusi Poisson dianggap sebagai pendekatan pada distribusi Binomial apabila n (banyaknya percobaan) adalah besar, sedangkan p (probabilitas sukses) sangat kecil. 3. Distribusi Peluang Kontinyu Distribusi peluang kontinyu adalah peubah acak yang dapat memperoleh semua nilai pada skala kontinyu. Ruang sampel kontinyu adalah bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga banyaknya. Syarat dari distribusi kontinyu adalah apabila fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinyu X yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan riil R bila: a. F(x) > 0 untuk semua x R b. f ( x) dx 1 c. P(a<X<b) = f ( x) dx 16 Laboratorium Teknik Industri
Beberapa contoh distribusi kontinyu antara lain: a. Distribusi Normal Distribusi Normal disebut juga Gausian distribution adalah salah satu fungsi distribusi peluang berbentuk lonceng seperti gambar berikut. µ x Berdasarkan gambar di atas, distribusi Normal akan memiliki beberapa ciri diantaranya: 1) Kurvanya berbentuk garis lengkung yang halus dan berbentuk seperti genta. 2) Simetris terhadap rataan (mean). 3) Kedua ekor/ ujungnya semakin mendekati sumbu absisnya tetapi tidak pernah mamotong. 4) Jarak titik belok kurva tersebut dengan sumbu simetrisnya sama dengan σ 5) Luas daerah di bawah lengkungan kurva tersebut dari - ~ sampai + ~ sama dengan 1 atau 100 %. Distribusi Normal memiliki dua parameter yaitu rataan (µ) dan simpangan baku (σ). Jika X merupakan peubah acak, maka fungsi padat X dengan distribusi normal dinyatakan dengan n(x;µ σ) = 1 (1/ 2)[( x) / ) 2 2 2 dengan π = 3,14... dan e = 2,71828... e 17 Laboratorium Teknik Industri
b. Distribusi Eksponensial Distribusi Eksponensial memiliki pertalian erat dengan distribusi Poisson. Jika pada Poisson, peubah acak poisson X menggambarkan jumlah keluaran yang terjadi pada suatu selang waktu atau luas daerah tertentu, maka peubah acak Eksponensial X menggambarkan panjang rentang waktu antara suatu kejadian dengan kejadian lainnya. Gambar kurva distribusinya di gambarkan di bawah ini: y 0 x Dalam hal ini peubah acak X pada distribusi Poisson berkisar antara 0 sampai tak terhingga (0 < x < ) dan bersifat kontinyu. Peubah acak kontinyu X berdistribusi Eksponensial dengan parameter, fungsi densitasnya diberikan oleh: dimana > 0. c. Distribusi Gamma ( ) = 1 0, > 0, untuk x lainnya Distribusi Gamma memiliki hubungan yang erat dengan distribusi Eksponensial, karena distribusi Eksponensial merupakan salah satu bentuk khusus dari distribusi Gamma. Jika peubah acak kontinyu X 18 Laboratorium Teknik Industri
berdistribusi Gamma dengan parameter dan maka fungsi densitasnya dapat dirumuskan sebagai berikut: 1 ( ) /, > 0 = Γ( ) 0 untuk lainnya dimana > 0 dan > 0, sedangkan () merupakan fungsi Gamma yang dirumuskan sebagai Γ( ) = Pada kasus khusus, yaknik jika =1, maka fungsi distribusi Gamma akan menjadi distribusi Eksponensial. Penerapan kedua distribusi banyak dijumpai untuk menggambarkan permasalahanpermasalahan antrian dan keandalan. d. Distribusi Chi-kuadrat Distribusi ini memegang peranan penting dalam statistika inferensi, terutama untuk uji hipotesis dan penaksiran parameter. Pada dasarnya distribusi Chi-kuadrat juga merupakan bentuk khusus dari distribusi Gamma, yakni ketika nilai = v/2 dan = 2, dimana v adalah derajat kebebasan yang merupakan bilangan integer positif. Peubah acak kontinyu X berdistribusi Chi-kuadrat (derajat kebebasan v), jika fungsi densitasnya dapat dirumuskan dengan 1 / /, > 0 ( ) = 2 Γ( ) 2 0 untuk lainnya e. Distribusi Weibull Seperti distribusi Eksponensial dan distribusi Gamma, distribusi Weibull banyak diterapkan pada persoalan keandalan dan pengujian panjang umur (life testing) suatu komponen. Peubah acak kontinyu X berdistribusi Weibull dengan parameter, jika fungsi densitasnya diberikan oleh 19 Laboratorium Teknik Industri
( ) = dimana > 0 dan > 0., > 0 0 untuk lainnya 4. Uji Kebaikan-suai (Goodness-of-fit test) Uji ini dilakukan untuk menentukan apakah suatu populasi mempunyai suatu distribusi teoritis tertentu. Uji tersebut didasarkan atas sejauh mana tingkat kedekatan/kesesuaian yang ada antara frekuensi pengamatan dan frekuensi harapan. Uji kebaikan-suai ini didasarkan pada besaran: = ( ) dimana 2 merupakan nilai peubah acak yang distribusi samplingnya dihampiri oleh distribusi Chi-kuadrat dengan derajat kebebasan v = k-1, sedangkan o i dan e i masing-masing menunjukkan frekuensi amatan dan harapan ke-i. C. ALAT DAN BAHAN 1. Komputer 2. Kancing D. PROSEDUR PRAKTIKUM 1. Dalam praktikum ini anda melakukan melakukan percobaan Bernauli dan melakukan pembuktian terhadap central limit theorem. 2. Setiap praktikan akan diberikan 1 toples kancing dengan warna tertentu yang merepresentasikan produk yang cacat. 3. Lakukan pengambilan: a. Sebuah kancing dengan pengembalian sebanyak 100 pengulangan b. Sebuah kancing tanpa pengembalian sebanyak 100 pengulangan 4. Lakukan pencatatan hasil dan hitung proporsi produk cacat di setiap pengambilan. 5. Lakukan pengujian distribusi hasil dengan menggunakan uji goodness of fit dan simpulkan. 20 Laboratorium Teknik Industri
6. Asisten akan memberikan data lengkap tentang lead time pengerjaan suatu produk. 7. Dengan menggunakan Ms. Excel lakukan proses random sampling dengan ukuran: a. 10 sampel dengan 1000 pengulangan; b. 30 sampel dengan 1000 pengulangan; 8. Catat nilai rata-rata lead time sampel dan buat histogram lalu lakukan pengujian apakah sampling rata-rata berdistribusi normal. E. TUGAS LAPANGAN 1. Lakukan pengamatan di lapangan terhadap kejadian kedatangan suatu obyek pada suatu pelayanan. Diskusikan dengan asisten. 2. Lakukan pencatatan waktu kedatangan tiap obyek selama minimal 8 jam. 3. Buat histogram: a. waktu rata-rata kedatangan obyek b. waktu antar kedatangan obyek 4. Lakukan pengujian apakah data (a) mengikuti distribusi Poisson dan data (b) mengikuti distribusi eksponensial, lakukan analisa dan laporkan. 5. Dikumpulkan dalam 1 minggu F. REFERENSI 1. Dajan, Anto, 1986. Pengantar Metode Statistik Jilid II. Penerbit LP3ES, Jakarta. 2. Supranto, 1994. Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2. Penerbit Erlangga, Jakarta. 3. Walpole, Ronald E, 1995. Pengantar Statistik Edisi Ke-4. PT Gramedia, Jakarta. 21 Laboratorium Teknik Industri