Sudaratno Sudirham Fungsi dan Grafik
Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org
Buku Fungsi dan Grafik (pdf) tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dan www.ee-cafe.org
Pembatasan Pembahasan Fungsi dan Grafik dibatasi hana padafungsi dengan peubah bebas tunggal ang berupa bilangan nata
Keseluruhan bahasan mengenai fungsi dan grafik akan mencakup. Pengertian Tentang Fungsi. Fungsi Linier 3. Gabungan Fungsi Linier 4. Mononom dan Polinom 5. Bangun Geometris 6. Fungsi Trigonometri 7. Gabungan Fungsi Sinus 8. Fungsi Logaritma Natural 9. Fungsi Eksponensial. Fungsi Hiperbolik. Fungsi dalam Koordinat Polar
Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain maka dikatakan bahwa merupakan fungsi
panjang sebatang batang logam ( ) merupakan fungsi temperatur ( ) Secara umum pernataan bahwa merupakan fungsi dituliskan disebut peubah tak bebas nilaina tergantung Contoh: f () disebut peubah bebas bisa bernilai sembarang Walaupun nilai bisa berubah secara bebas, namun nilai tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi Dalam pelajaran ini kita hana akan melihat ang berupa bilangan nata. Selain bilangan nata kita mengenal bilangan kompleks ang dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks.
Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas bervariasi. Ada tiga macam rentang nilai aitu: rentang terbuka a < < b a a dan b tidak termasuk dalam rentang b rentang setengah terbuka a b a < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak rentang tertutup a b a b a dan b masuk dalam rentang
Sistem koordinat - atau koordinat sudut-siku (koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes) Bidang dibatasi oleh dua sumbu, aitu sumbu mendatar ang kita sebut sumbu- dan sumbu tegak ang kita sebut sumbu-. Bidang terbagi dalam 4 kuadran aitu Kuadran I, II, III, dan IV Q[-,] II R[-3,-3] 3 - -3-4 P[,] -4-3 - - 3 4 - III sumbu- I IV S[3,-] Posisi titik pada bidang dinatakan dalam koordinat [, ] sumbu-
Kurva dari Suatu Fungsi Kita lihat fungsi:, 5 Setiap nilai akan menentukan satu nilai - 3 4 dst. -,5,5,5 dst. P,5,5,5 -,5 - Q R 3 4 Kurva, 5 Titik P, Q, R, terletak pada kurva Kemiringan kurva: (kita baca: delta per delta )
Kekontinuan Suatu fungsi ang kontinu dalam suatu rentang nilai tertentu, akan membentuk kurva ang tidak terputus dalam rentang tersebut. Suatu fungsi f() ang terdefinisi di sekitar c dikatakan kontinu di c jika dipenuhi dua sarat: () fungsi tersebut memiliki nilai ang terdefinisi sebesar f(c) di c; () nilai f() akan menuju f(c) jika menuju c; pernataan ini kita tuliskan sebagai lim f ( ) f ( c) c ang kita baca: limit f() untuk menuju c sama dengan f(c).
Contoh: u() Terdefinisikan di aitu ( untuk adalah ) / - -5 5 Tak terdefinisikan di ( untuk tidak dapat ditentukan nilaina) / -
Simetri. Jika fungsi tidak berubah apabila kita ganti dengan maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-;. Jika fungsi tidak berubah apabila dan dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. 3. Jika fungsi tidak berubah apabila diganti dengan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-. 4. Jika fungsi tidak berubah jika dan diganti dengan dan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [,].
Contoh: 6,3 tidak berubah bila diganti (simetris terhadap sumbu-) 3-6 -3 3 6,5 3 tidak berubah jika dan diganti dengan dan (simetris terhadap titik [,]) -3-6 + 9 tidak berubah jika: diganti dan diganti dengan dan dan dipertukarkan diganti dengan
Pernataan Fungsi Bentuk Implisit Pernataan fungsi Pernataan bentuk implisit + + + f () 8 disebut bentuk eksplisit. dapat diubah ke bentuk eksplisit / + + ( 8) Walaupun tidak dinatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas ± 8 4( 8) 4-4 - 4-4 -8
Fungsi Bernilai Tunggal Contoh: Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi ang hana memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas 8 4,5,6,8 + -,8-3 4 -,6 4-4 - 4,8 -,8 log 3 4
Fungsi Bernilai Banak Contoh: Fungsi bernilai banak adalah fungsi ang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas ± 5-3 -5 3 / ± / - -
Fungsi Dengan Banak Peubah Bebas Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banak peubah-bebas: w f (,, z, u, v) Fungsi dengan banak peubah bebas juga mungkin bernilai banak, misalna ρ + + z Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinatakan sebagai ρ + + + z
Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinatakan dalam skala sumbu- dan sumbu-, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinatakan oleh jarak titik ke titik-asal [,] ang diberi simbol r, dan sudut ang terbentuk antara r dengan sumbu- ang diberi simbol θ Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut rcosθ θ r P rsinθ r sin θ r cosθ r + θ tan ( / )
Contoh: r ( cosθ) 3 P[r,θ] r θ -5-3 - - - -3 Bentuk ini disebut cardioid
Contoh: rθ,5 P[r,θ] r,5 θ - 3 -,5 -
Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai dari sampai +. k Contoh: 4 5-5 5-4 3.5
Persamaan Garis Lurus ang melalui [,] m garis lurus melalui [,] kemiringan garis lurus - 3 4 kemiringan m, dibaca : "delta "delta " " Contoh: 8 6 4-3 4 - -4-6 -,5,5 m < m >
Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus titik potong dengan sumbu- 8 6 4-4 - - 3 4 Secara umum, persamaan garis lurus ang tergeser sebesar b ke arah sumbu- positif adalah ( b) m menunjukkan pergeseran sebesar b ke arah sumbu- positif pergeseran ke arah sumbu- m + b m + a 8 6 4-4 ( ) - 3 4 - titik potong dengan sumbu- m( a) menunjukkan pergeseran sebesar a ke arah sumbu- positif Bentuk umum persamaan garis lurus pergeseran ke arah sumbu-
Contoh: 8 6 memotong sumbu di 4 4-3 4 - -4 m memotong sumbu di 4 Persamaan garis: 4 atau ( ) dapat dilihat sebagai garis melalui (,) aitu - ang tergeser kearah sumbu- atau tergeser kearah sumbu- + 4
Persamaan Garis Lurus ang melalui dua titik 8 6 4 P [, ] Q [, ] - 3 - -4 m m Persamaan garis lurus melalui [,] ang sejajar dengan garis ang melalui P dan Q Garis ini harus digeser hingga melalui P dan Q Contoh: 8 6 4-3 4 - -4 [,4] [3,8] 8 4 m 3 persamaan garis: b atau ( a) 4 b 8 (3 a) b a ( + ) +
Perpotongan Garis Lurus Dua garis: + a b dan a + b Koordinat titik potong P harus memenuhi: b b P a a P a P + b a + + b a b atau P a P + b Contoh: 3 - -5 5 - - -3 P + 3 dan 4 8 Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan maupun. + 3 4 8 5,5 + 3 5,5 + 3 4 P Titik potong: P[(5,5), 4] P
Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nata Contoh: Suatu benda dengan massa m ang mendapat gaa F akan memperoleh percepatan a F ma v ( t) v + at Contoh: Beda tegangan antara anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah V Kuat medan listrik: Gaa pada elektron: V E l F e ee Percepatan pada elektron: a ev l F m e e anoda ] gaa fungsi linier dari V l katoda percepatan fungsi linier dari F e Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V?
Contoh: Contoh: Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan ang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaa tarikan merupakan fungsi linier dari panjang tarikan. F k gaa Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan. i GV konduktansi panjang tarikan konstanta pegas V R resistansi G R G dan R adalah tetapan kerapatan arus i j A V RA Luas penampang konduktor R ρ l A resistivitas panjang konduktor
Contoh: Peristiwa difusi: materi menembus materi lain materi masuk di a C a materi keluar di a C Peristiwa difusi mencapai keadaan mantap,jika konsentrasi materi C a di a dan C di bernilai konstan Fluksi materi ang berdifusi ke arah J D dc d koefisien difusi gradien konsentrasi Fluksi materi ang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi Inilah Hukum Fick Pertama ang secara formal menatakan bahwa fluksi dari materi ang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.
Fungsi Anak Tangga Fungsi anak tangga satuan u() u() 5 u( ) untuk untuk < Fungsi ini memiliki nilai ang terdefinisi di muncul pada Secara umum ku() amplitudo Contoh: 5 3,5u ( ) 5-4,5u( )
Fungsi anak tangga tergeser ku( a) Pergeseran sebesar a ke arah sumbu- positif Contoh: 5 3,5u ( ) 5-4
Fungsi Ramp au() kemiringan Fungsi ini baru muncul pada karena ada faktor u() ang didefinisikan muncul pada (fungsi anak tangga) Fungsi ramp satuan : u() kemiringan a Fungsi ramp tergeser: a( g) u( g) Contoh: 6 5 4 u() u() 3 3,5(-)u(-) - 3 4 Pergeseran searah sumbu-
Pulsa Contoh: Pulsa merupakan fungsi ang muncul pada suatu nilai tertentu dan menghilang pada > persamaan: au( ) au( ) lebar pulsa : lebar pulsa - 3 4 - u(-) + u(-) u(-) { u( ) u( ) } - u( ) perioda Deretan Pulsa:
Perkalian Ramp dan Pulsa { ( ) u( )} mu( ) A u ramp ma pulsa hana mempunai nilai dalam selang lebarna { u ) u( )} ( maka juga akan bernilai dalam selang lebar pulsa saja Contoh: 8 3 6 4 u(),5{u(-)-u(-3)} - 3 4 5
Contoh: 8 6 4 3 m{u()-u(-b)} mu() {u()-u(-b)} b - 3 4 5
Gabungan Fungsi Ramp au( ) + b( ) u( ) + c( ) u( ) +... Contoh: 3 u() ( )u( ) 8 u() 4-4 3 4 5 Kemiringan ang berlawanan membuat 3 bernilai konstan mulai dari tertentu ( )u( ) -8
Contoh: 5 5-5 - 3 u() 4( )u( ) 3 4 5 u() lebih cepat menurun dari maka 3 menurun mulai dari tertentu 4( )u( )
Contoh: Pulsa ini membuat 3 hana bernilai dalam selang 3 5 5 3 {u() 4(-)u(-)}{u(-)-u(-3)} u() -5-3 4 5 4(-)u(-)
Mononom
Mononom Mononom adalah pernataan tunggal ang berbentuk k n Mononom Pangkat Dua: Contoh: 9 8 7 6 5 4 3 5 k 3-3 - - 3 memiliki nilai minimum Karena,maka jika k > > jika k < < -5-4 -3 - - 3 4 5 - -4-6 -8 - memiliki nilai maksimum
Pergeseran kurva mononom pangkat dua 3 ( ) + 3 Pergeseran ke arah sumbu- positif 5 ( ) -5-3 - 3 5 Pergeseran ke arah sumbu- positif
Contoh: Mononom Pangkat Genap pada umumna 4 3 6 3 -.5 - -.5.5.5 6 3 4 6 8 6 4 -.5 - -.5.5.5 Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai kurva di sekitar titik puncak Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k ang sama maka mereka berpotongan di titik P[,k] Koordinat titik potong antara kurva Kurva : 6 3 Kurva : 6 3 4 6 4 3 dan 6 dan dan 3 dan 3 3 4 4 ( ) 3 4 6 ( 3) 8 Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-
Mononom Pangkat Ganjil 3 -.5 - -.5 -.5.5 - -3 5 3 Pangkat ganjil terendah: linier Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [,] aitu titik ang merupakan titik belok Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k ang sama maka mereka berpotongan di titik P[,k] Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [,]
Mononom Pangkat Tiga 3 3 5 4 3-5 -4-3 - - - 3 4 5 - -3-4 -5 3 Mononom pangkat tiga Simetris terhadap [,] 6 4 3-5 -3-3 5 - -4-6 Pergeseran ke arah sumbu- positif ( ) 3 + ( ) 3 Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah sumbu- positif
Polinom
Polinom Pangkat Dua a + b + c 5 5 33 4 +5 5 - -5 Kurva masing-masing komponen (mononom) dari polinom: + 5 + 3 5/ - 5-5 Penjumlahan mononom pertama dan ke-dua: Perpotongan dengan sumbu- 5 + 5 + 5
sumbu simetri 5/4 5 4 +5 sumbu simetri 5 5 +5+3 4 +5-5/ - -5-5 Sumbu simetri dari + 5 5 memotong sumbu- di: 4 Penambahan komponen 3 3 memberikan: + 5 + 3 Koordinat titik puncak: 5 / 4 3,75 5 4 5 + 5 4 + 3 5,5
a +b +c a Polinom Pangkat Dua secara umum Sumbu simetri: a b a ac b a b a c a b a b a c a b a 4 4 4 + + + + + Pergeseran ke arah kiri sumbu- Pergeseran ke arah negatif sumbu- a ac b 4 4
Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua 3 a + b + c + d 9 8 3 3 4 + 9 8 - - 4 3 - - Mononom pangkat tiga ( ) Dan Polinom pangkat dua ( ) Penjumlahan: 3 + 3 memotong sumbu- di 3 titik Hal ini tidak selalu terjadi Tergantung dari nilai koefisien
3 a + b + c + d 3 + - - 5 3 + - a Kasus: a kurang positif Penurunan kurva di daerah negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hana memotong sumbu- di titik Titik potong ke-3 jauh di sumbu- negatif 3 - a Kasus: a terlalu positif Penurunan di daerah negatif sangat tajam Tak ada titik potong dengan sumbu di daerah negatif Hana ada satu titik potong di positif 3
3 a + b + c + d b + c + d 3 + - 5-5 - 3 a k 3-3 + a < Kurva 3 berpotongan dengan sumbu- di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan ang ke-tiga berada jauh di daerah positif Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu- di satu tempat
Simetri jika fungsi tidak berubah apabila kita ganti dengan maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-; jika fungsi tidak berubah apabila dan dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. jika fungsi tidak berubah apabila diganti dengan, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-. jika fungsi tidak berubah jika dan diganti dengan dan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [,].
Nilai Peubah Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hana nilai-nata dari dan ang kita perhatikan Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks Contoh: + ± Apabila >, maka ( - ) < Dalam hal demikian ini kita membatasi hana pada rentang Karena kurva ini simetris terhadap garis, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang
Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat Koordinat titik potong dengan sumbu- dapat diperoleh dengan memberi nilai, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu- diperoleh dengan memberi nilai. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai ataupun maka kurva tidak memotong sumbu- maupun sumbu- Contoh: + Titik potong dengan sumbu- adalah P[,] dan Q[,]. Titik potong dengan sumbu- adalah R[,] dan S[, ] Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu- maupun sumbu-
Asimptot Suatu garis ang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menentuhna, disebut asimptot Contoh: ( ) + ± ( + ) 4 tidak boleh < agar ( ) > -4 4-4 haruslah < atau > Tidak ada bagian kurva ang berada antara dan. Garis vertikal dan adalah asimptot dari kurva
Jarak Antara Dua Titik Jika P[ p, p ) dan Q[ q, q ], maka PQ ( p q ) + ( p q ) Contoh: 8 6 [3,8] PQ (3 ) + (8 4) 4 [,4] - 3 4 - -4
Parabola Bentuk kurva k disebut parabola PQ (PR ( p) p) + Q[,p] [,] + k P[,] R[, p] PR ( + p) P terletak pada kurva Q terletak di sumbu- p garis sejajar sumbu- R terletak pada garis ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ PR Q disebut titik fokus parabola Garis disebut direktrik Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktrikna p + p + p + p + + p 4 p k 4 p p 4k 4 p
Contoh: Parabola,5 dapat kita tuliskan 4,5 Direktrik: p, 5 Titik fokus: Q[,(,5)]
Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama terhadap satu titik tertentu ang disebut titik pusat lingkaran Jika titik pusat lingkaran adalah [,] dan jari-jari lingkaran adalah r r + + r persamaan lingkaran berjari-jari r berpusat di [.] Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh a kearah sumbu- dan sejauh b ke arah sumbu- ( a) + ( b) r Persamaan umum lingkaran berjari-jari r berpusat di (a,b)
Contoh: (,5) + (,5) r,5 r - [,],5 r - +
Elips Elips adalah tempat kedudukan titik ang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips X[,] P[-c, ] Q[c, ] ) ( XP c + + ) ( XQ c + ( ) a c c a ) ( ) ( misalkan kita XQ XP + + + + + ) ( c a c a + ) ( ) ( 4 4 ) ( c c a a c + + + + + ) ( ) ( c a c + + + c c a c c a + + + + c a a kwadratkan kwadratkan sederhanakan XQ XP PXQ : segitiga di c a c a > > + + b a c a b
a + b [ a,] [,b] X[,] P[-c, ] Q[c, ] [a,] sumbu pendek b [, b] sumbu panjang a Elips tergeser b b,5 ( p) ( q) + a a a b q,5 - (,5) (,5) +,5 - p,5
Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik ang selisih jarakna antara dua titik tertentu adalah konstan X(,) P[-c,] Q[c,] ) ( XP c + + ) ( XQ c + a c c XQ XP ) ( ) ( + + + ) ( ) ( c a c + + + + ) ( ) / ( c a a c + a c a Dalam segitiga PXQ, selisih (XP XQ) < PQ c < a c a b b a kwadratkan dan sederhanakan kwadratkan persamaan hiperbola
a b b c a + X(,) -c c [-a,] [a,] Kurva tidak memotong sumbu- Tidak ada bagian kurva ang terletak antara a dan a
Kurva Berderajat Dua Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah A + B + C + D + E + F Persamaan parabola: B C D F ; A ; E 4 p Lingkaran: B D E ; A ; C ; F Bentuk A dan C adalah bentuk-bentuk berderajat dua ang telah sering kita temui pada persamaan kurva ang telah kita bahas. Namun bentuk B ang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini
Perputaran Sumbu Koordinat Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu- a a a a a ) ( ) ( ) ( ) ( + + + + ) ( ) ( a a a + + a Mempetukarkan dengan tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis, ) ( ) ( ) ( ) ( a a a a a + + + + + Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri ang terputar 45 o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumna, aitu sumbu-. -5 5-5 P[-a,-a] Q[a,a] X[,]
Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, r sin θ + cos θ Fungsi Cosecan r θ O - [,] -θ Q P csc θ sin θ Fungsi sinus PQ sin θ PQ r PQ Fungsi Tangent tan θ PQ OQ P Q tan( θ) OQ sin θ cosθ PQ OQ tan θ - P Fungsi Secan Fungsi Cosinus OQ cos θ OQ r sec θ cosθ OQ Fungsi Cotangent OQ cosθ cot θ PQ sin θ OQ OQ cot( θ) P Q PQ cot θ
Relasi-Relasi cosα sinα cosβ sinα sinα sinβ β α β - [,] cosα sinβ cosα cosβ -
Relasi-Relasi cosα sinα cosβ α β - [,] β sinα sinα sinβ cosα sinβ cosα cosβ sin( α + β) cos( α + β) sin αcosβ + cosαsinβ cosα cosβ sin αsinβ - Karena sin( β) sinβ cos( β) cosβ sin( α β) sin αcosβ cosαsinβ cos( α β) cosαcosβ + sin αsinβ
Contoh: a). b). c). sin(α) cos(α) sin( α + α) cos( α + α) cos(α) cos cos sin αcosα + cosαsin α sin αcosα cosα cosα sin αsin α cos α sin α + sin α α α sin α cos(α) + cos α cos(α) cos α cos(α) sin α cos(α) sin α
Contoh: d). sin( α + β) sin( α β) sin αcosβ + cosαsinβ sin αcosβ cosαsinβ sin( α + β) + sin( α β) sin α cosβ sin α cosβ sin( α + β) + sin( α β) e). cos( α + β) cosα cosβ sin αsin β cos( α β) cosαcosβ + sin αsinβ f). cos( α + β) + cos( α β) cos( α β) cosα cosβ cosα cosβ + sin αsinβ cosα cosβ cos( α + β) + cos( α β) cos( α + β) cosα cosβ sin αsinβ cos( α β) cos( α + β) sin αsinβ sin αsinβ cos( α β) cos( α + β)
Fungsi Trigonometri Normal
Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat - Fungsi Sinus Fungsi Cosinus sin() perioda cos() perioda π π π π π π π - - sin( ) cos( π / ) pergeseran fungsi cosinus sejauh π/ ke arah sumbu- positif Contoh: o o o sin 56 cos(56 9 ) cos34 o
Fungsi Tangent sin θ cosθ 3-3π/4 -π/ -π/4 π/4 π/ 3π/4 - - -3 asimptot tan θ sin θ cosθ cot Rentang: -π/4 < tanθ < π/4 π/4 < tanθ < 3π/4 dst. Lebar rentang: π/ θ
Fungsi Cotangent sin θ cosθ asimptot 3-3π/4 -π/ -π/4 π/4 π/ 3π/4 - - -3 cosθ cot θ sin θ tan θ Rentang: < tanθ < π/ -π/ < tanθ < dst. Lebar rentang: π/
3 -,5π -π -,5π,5π π,5π - - -3 Fungsi Secan sec( ) cos( ) Rentang: -π/ < tanθ < π/ π/ < tanθ < 3π/ dst. Lebar rentang: π asimptot 3 -,5π -π -,5π,5π π,5π - - -3 Fungsi csc( ) Cosecan sin( ) Rentang: < tanθ < π -π< tanθ < dst. Lebar rentang: π
Fungsi Trigonometri Inversi
Sinus Inversi arcsin sin atau sin Sudut ang sinusna π π,5π,5π - - -,5,5 -,5π sin π π -,5π Kurva nilai utama -π/ < sin - <π/ cos tan Kurva lengkap - < <
Cosinus Inversi cos cos - π π,75π,5π,5π cos π - -,5,5 sin Kurva lengkap Kurva nilai utama < cos - < π - < < tan
Tangent Inversi tan tan,5π π,5π -3 - - 3 -,5π -π -,5π Kurva lengkap,5π,5π - -5 5 -,5π -,5π Kurva nilai utama π < tan π < sin + tan cos + +
Cotangent inversi cot cot dengan nilai utama < cot < π π +,5π - -5 5 Kurva nilai utama < cot < π tan sin cos + +
Secan Inversi π,75π,5π sec cos dengan nilai utama sec π sec +,5π sec -4-3 - - 3 4 Kurva nilai utama < sec < π sin cos tan + +
Cosecan Inversi csc sin dengan nilai utama csc,5π,5π π csc π -4-3 - - 3 4 -,5π -,5π Kurva nilai utama π csc π tan + csc sin cos + +
Banak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal ang merupakan fungsi waktu, seperti misalna gelombang cahaa, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas Tiga besaran karakteristik fungsi sinus Asin( + θ) Asin(πf t + θ ) sudut fasa amplitudo frekuensi siklus Selain frekuensi siklus, f, kita mengenal juga frekuensi sudut, ω, dengan hubungan ω πf
Fungsi sinus adalah fungsi periodik aitu fungsi ang memenuhi hubungan f ( t T ) f ( t) Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah: f T perioda A T A T t -A T s t -A Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi periodik walaupun tidak berbentuk sinus.
Contoh: Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penusunna 4 4-5 5-4 3 cos f t t -5 5 t -4 + 3 cos f t 4-4 -5 5 + 3cos πft cos(π( f ) t) t -5 5-4 + 3cos π ft cos(π( f) t + π Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa menentukan bentuk gelombang gabungan / 4)
Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan juga oleh jumlah komponen sinus ang terlibat Komponen-komponen sinus ang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa Komponen sinus dengan f disebut komponen fundamental Di atas komponen fundamental adalah Harmonisa ke- dengan frekuensi f Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f dst. Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan ang disebut komponen searah
Contoh: Gabungan fungsi sinus ang membentuk gelombang persegi sinus dasar (fundamental). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3. harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5. harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7. hasil penjumlahan sampai pada harmonisa ke-.
Spektrum Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik ang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum. Ada dua spektrum aitu Spektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudona. Frekuensi tertinggi, f maks, adalah frekuensi harmonisa ang amplitudona sudah dapat diabaikan. Frekuensi terendah, f min, adalah frekuensi komponen fundamental aitu, atau jika spektrum mengandung komponen searah Lebar Pita Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi ang merupakan selisih f maks dan f min
Contoh: Suatu persamaan gelombang: + 3cos(πf t) + 5cos(π ft π / ) + 7,5cos(π4 ft + π ) Frekuensi f f 4 f Amplitudo 3 5 7,5 Sudut fasa π/ π 4 π Amplitudo 3 Sudut Fasa π/ 3 4 5 π/ 3 4 5 Frekuensi [ f ] π Frekuensi [ f ] Spektrum Amplitudo Spektrum Sudut-fasa
Deret Fourier Penguraian suatu sinal periodik menjadi suatu spektrum sinal tidak lain adalah pernataan fungsi periodik kedalam deret Fourier fungsi periodik f [ a cos(πnf t) + b sin(πnf ] ( n n t t) a + ) Koefisien Fourier Contoh: T t a a b n A / π A / π n A / ; n b n genap; n a n n ganjil
Contoh: Contoh: T A t n b n a n n A a A a n n n untuk semua ganjil genap; / 4 / π π n n A b n a A a n n untuk semua untuk semua / π T A t
Bilangan Natural Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e Bilangan e ini, seperti halna bilangan π, adalah bilangan-nata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan angka di belakang koma, nilaina adalah e,788884 ln e ln e a a ln e a
Fungsi Logaritma Natural Definisi ln 6 5 4 3 /t ln 3 4 luas bidang antara fungsi /t dan sumbu- ang dibatasi oleh t dan t t ln dt t Kurva ln ln e,5,5 -,5 - -,5 - ln e 3 4 e,788884..
Sifat-Sifat ln a ln a + ln ln ln ln a; a n ln n ln ln e ln e ln bernilai negatif untuk <
Fungsi Eksponensial Antilogaritma Antilogaritma adalah inversi dari logaritma ln Fungsi Eksponensial e Fungsi eksponensial ang sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif a e u( ) ; Faktor u() membuat fungsi ini muncul pada Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul pada t
Kurva Fungsi Eksponensial e a,8,6,4, e e Makin negatif eksponen fungsi ini, makin cepat ia menurun mendekati sumbu-,5,5,5 3 3,5 4 Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalna (aitu nilai pada ), pada saat /a Pada saat 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-, nilai fungsi sudah di bawah % dari nilai awalna Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada 5/a
Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A dengan waktu sebagai peubah bebas adalah Ae at u( t) Ae t / τ u( t) ang dituliskan dengan singkat Ae at Ae t / τ τ /a disebut konstanta waktu makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menurun Pada saat t 5τ, nilai fungsi sudah di bawah % dari A fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t 5τ
Gabungan Fungsi Eksponensial A Ae t / τ Ae A t / τ ( t / τ t τ ) e e / t/τ 3 4 5
Fungsi Hiperbolik Definisi Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh) sinh ; cosh e e e e + Fungsi hiperbolik ang lain e e e e e e e e + + sinh cosh coth ; cosh sinh tanh e e e e + sinh csch ; cosh sech
Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik 4 3 e - - - - sinh e e e -3-4
cosh e + e 4 3 e sinh - - - - -3-4
cosh 4 3 - - - sech cosh
csch sinh 4 3 sinh - - - - -3 csch -4
4 3 coth cosh sinh tanh - - - sinh cosh coth - -3-4
Identitas Jika untuk sin dan cos kita kenal hubungan: cos + sin untuk sinh dan cosh terdapat hubungan cosh sinh e + + e 4 e + e 4 4 4 Beberapa Identitas: cosh v sinh v tanh v sech coth v csch cosh v + sinh v v e v v cosh v sinh v e v
Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku P( P, P ) P r θ [,] P P[r,θ] P r sin θ P r cosθ
Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[,] dalam koordinat sudut-siku adalah + c [,] r θ Dalam koordinat polar persamaan ini menjadi ( r cosθ) + ( r sin θ) c
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,] dalam koordinat sudut-siku adalah ( a) + c r θ [,] Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi a ( r cosθ a) + ( r sin θ) c
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku adalah ( a) + ( b) c b r θ [,] a Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi ( r cosθ a) + ( r sin θ b) c
Contoh: r ( cosθ) 3 P[r,θ] r θ -5-3 - - - -3 Bentuk ini disebut cardioid
Contoh: r 6cosθ 3 P[r,θ] r θ -5-3 - 3 5 - - -3
Contoh: rθ,5,5 r θ P[r,θ] - 3 θ π -,5 θ 3π θ 4π θ π -
Persamaan Garis Lurus l P[r,θ] O r θ a l : r cos θ a
P[r,θ] l : r sin θ l b b O θ r
P[r,θ] l : r cos(β θ) 3 a l 3 r A a θ α O β
P[r,θ] l : r cos(θ β) 4 a r a θ l 4 β O
Parabola, Elips, Hiperbola Eksentrisitas titik fokus direktriks D Parabola: Elips: A k e s e s F r θ < Hiperbola: e s > B P[r,θ] k r cosθ Eksentrisitas: e s PF PD r k + r cosθ Dengan pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus parabola, elips, dan hiperbola. r e ( k + r cos θ) e k + e r cos θ s s esk r es cosθ,5 k k r (misal e,5cos θ cosθ s,5) k r (misal e s ) cosθ s
Lemniskat dan Oval Cassini Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, ang merupakan tempat kedudukan titik-titik ang hasil kali jarakna terhadap dua titik tertentu bernilai konstan θ π F [a,π] θ π/ P[r,θ] r θ θ F [a,] ( PF ) ( r sin θ) + ( a + r cosθ) ( PF ) ( r sin θ) + ( a r cosθ) r + a Buat b dan a berrelasi b ka + ar cosθ k 4 b a 4 4 Misalkan r PF PF b r + a ( r + a + ar cosθ) ( r + a ar cosθ) 4 4 + a 4 4 + a r ( cos r + a a r cos θ θ) 4 4 ar cosθ r + a a r cos θ r 4 a r cos θ + a 4 ( k 4 ) r a cos θ ± a cos θ ( k 4 )
Lemniskat 4 r a cos θ ± a cos θ ( k ) Kondisi khusus: k r a cos θ θ π/,6 Kurva dengan a Kondisi khusus: k >, misal k, θ π/,5 θ π, -,5 - -,5 -,,5,5 θ θ π θ - - -,5 -,6 -
Oval Cassini r a cos θ ± a cos θ ( k 4 ) Kondisi khusus: k <, misalkan k,8 θ π/,5 θ π,5 - - -,5 - θ -,5
Bahan Kuliah Terbuka Fungsi dan Grafik Sudaratno Sudirham