Untuk Sekolah Menengah Pertama dan Madrasah Tsanawiyah MTEMTIK Jilid SMP dan MTs Kelas IX J. Dris Tasari PUST KURIKULUM DN PERUKUN Departemen Pendidikan Nasional
Hak cipta pada Kementerian Pendidikan Nasional. Dilindungi Undang-Undang. MTEMTIK Jilid untuk SMP dan MTs Kelas IX J. Dris; Tasari. Matematika I. Judul II. Dris, J. IV. rfantony III. Tasari Dris J Matematika/penulis, J. Dris, Tasari ; editor, rfantony ; ilustrator, Yudi W. - Jakarta Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Kementerian Pendidikan Nasional, 0. jil.: ilus. ; foto ; 5 cm. untuk SMP dan MTs kelas IX Termasuk bibliografi Indeks ISN 978-979-095-66- (no.jil.lengkap) ISN 978-979-095-667- (jil..). Matematika Studi dan Pengajaran I. Judul II. Tasari III. rfantony IV. Yudi W 50.07 Hak cipta buku ini dialihkan kepada Kementerian Pendidikan Nasional dari penulis J. Dris, Tasari Diterbitkan oleh Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementerian Pendidikan Nasional Tahun 0 uku ini bebas digandakan sejak November 00 s.d. November 05 diperbanyak oleh :.
Kata Sambutan Puji syukur kami panjatkan ke hadirat llah SWT, berkat rahmat dan karunia-nya, Pemerintah, dalam hal ini, Kementerian Pendidikan Nasional, sejak tahun 007, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional. uku teks pelajaran ini telah dinilai oleh adan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 9 Tahun 009 tanggal Februari 009. Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Kementerian Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia. uku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Kementerian Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (download), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sebagai sumber belajar ini. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaikbaiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan. Jakarta, Juni 0 Kepala Pusat Kurikulum dan Perbukuan iii
P rakata Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas karunia-nyalah penulis dapat menyelesaikan buku ini. uku Matematika untuk SMP dan MTs ini terdiri atas tiga jilid, yaitu jilid untuk kelas VII, jilid untuk kelas VIII, dan jilid untuk kelas IX. Setiap pokok bahasan pada tiap bab dalam buku ini disusun berdasarkan Standar Isi 006. Hal ini sesuai dengan Peraturan Materi Pendidikan Nasional Nomor Tahun 006 yang dikembangkan menjadi Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). uku ini disusun dengan menitikberatkan pada pemahaman konsep yang benar. Materi dalam buku ini disajikan secara sistematis, mulai dari hal yang konkret ke yang abstrak dan dari yang sederhana ke yang kompleks. Soal-soal dalam buku ini pun disajikan dengan sangat variatif, baik jenisnya maupun tingkat kesulitannya. Dengan demikian, siswa diharapkan mampu menguasai konsep yang disajikan dengan baik, bukan sekadar menghafal konsep dan mengerjakan soal dengan cepat. uku ini juga menyajikan soal-soal kontekstual yang merupakan penerapan konsep matematika dalam kehidupan sehari-hari. Tujuannya adalah agar siswa lebih tertarik untuk mempelajari matematika karena sangat banyak manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari. Namun demikian, penulis menyadari bahwa masih banyak hal yang dapat dikembangkan dari buku ini. Untuk itu, saran positif dari para pembaca, terutama guru dan siswa sebagai pengguna buku ini, sangat penulis harapkan untuk perbaikan pada edisi mendatang. esar harapan penulis agar buku ini dapat menjadi buku pilihan bagi siswa dan guru dalam proses pembelajaran di sekolah. Penulis iv
Petunjuk Penggunaan uku Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menerapkan konsep matematika. Oleh karena itu, penting bagi kita untuk mempelajari konsep matematika. elajar matematika tidak terlepas dari memahami dan mengerti setiap konsep dalam matematika sehingga diperlukan suatu cara yang praktis, sistematis, dan efisien untuk menyampaikan konsep-konsep matematika. Untuk itu, buku ini disusun secara sistematis dengan tujuan agar lebih mudah dipahami oleh siswa. uku ini juga menyajikan contoh-contoh yang aplikatif dari materi tiap bab dalam kehidupan. Hal ini bertujuan agar siswa mampu mengeksplorasi suatu persoalan (problem solving) dan mengajak siswa untuk mengembangkan kompetensi matematika melalui penalaran, pembuktian, melakukan komunikasi, serta memilih simbol atau lambang yang tepat untuk menyampaikan gagasan melalui bahasa matematika. dapun komponen dari setiap bab pada buku ini adalah sebagai berikut. Halaman Pembuka ab Halaman pembuka bab berisi judul bab dan tujuan pembelajaran agar siswa mengetahui dan lebih fokus dalam mempelajari materimateri yang ada dalam bab tersebut. Selain itu, pada halaman ini juga disajikan pengantar awal bab yang menceritakan salah satu aplikasi dari materi yang akan dipelajari. Uji Kompetensi wal ab Uji kompetensi awal bab disajikan dengan tujuan untuk mengingatkan siswa pada materi sebelumnya. Ini merupakan prasyarat yang harus dimiliki oleh siswa. Soal-soal yang disajikan akan mengingatkan siswa tentang topik yang terdahulu sebagai pengantar untuk mempelajari materi yang akan dibahas. Uraian Materi Uraian materi disampaikan dengan bahasa lugas, mudah dipahami dan disertai dengan gambar-gambar untuk memperjelas materi yang sedang dijelaskan. Melalui gambar, diharapkan dapat membantu siswa dalam memahami materi yang sedang dijelaskan. Materi juga disajikan melalui pertanyaan-pertanyaan ataupun kegiatan (tugas) yang bertujuan agar siswa memahami konsep materi yang diajarkan melalui proses mengamati, menyelidiki (mencari) dan menemukan sendiri konsep materi tersebut. ontoh Soal Pada bagian ini, siswa akan diajarkan dan dilatih untuk mahir menggunakan konsep yang telah didapat di dalam uraian materi. Melalui tahap ini, siswa juga dipacu untuk dapat menemukan suatu strategi atau trik untuk menyelesaikan soal-soal yang sulit. Latihan dan Soal-Soal Kontekstual agian ini berfungsi untuk mengetahui sejauh mana pemahaman siswa terhadap materi yang telah disajikan dan mengukur kemahiran siswa untuk dapat memecahkan suatu persoalan atau masalah dalam kehidupan. Math Quiz Kolom ini bertujuan untuk memperkaya pengetahuan siswa dan juga sebagai ajang diskusi. Untuk Diingat Kolom ini disajikan untuk menambah wawasan atau informasi tambahan yang berhubungan dengan materi yang sedang dibahas. Kegiatan Kolom ini disajikan dalam bentuk tugas mandiri atau berkelompok. Tugas-tugas yang diberikan bertujuan untuk memperkuat pemahaman siswa terhadap materi tiap bab. Rangkuman Rangkuman disajikan di setiap akhir bab berupa ringkasan materi pada bab yang bersangkutan. Hal ini untuk melatih siswa bagaimana cara menyarikan materi-materi penting pada bab yang bersangkutan. Uji Kompetensi Uji kompetensi berupa soal-soal yang bervariasi jenis dan tingkat kesulitannya yang disajikan di setiap akhir bab. agian ini disajikan dengan tujuan melatih siswa untuk mengingat kembali pemahaman konsep secara menyeluruh yang telah diajarkan dengan mengerjakan setiap soal-soal yang diberikan. v
Daftar Isi Diunduh dari SE.Mahoni.com Kata Sambutan... Prakata... Petunjuk Penggunaan uku... Daftar Isi... iii iv v vi ab. Kesebangunan Dua angun Datar.... Dua Segitiga yang Kongruen atau Sama Sebangun... 8. Segitiga-Segitiga Sebangun... 8 D. plikasi Kesebangunan dalam Kehidupan... E. Foto atau Model erskala... 6 Uji Kompetensi ab... 9 ab. Luas Selimut dan Volume Tabung, Kerucut, dan ola.... esar Perubahan Volume... 7. plikasi angun Ruang Sisi Lengkung dalam Kehidupan... 5 Uji Kompetensi ab... 56 ab. Pengumpulan, Penyajian, dan Penafsiran Data... 60. Ruang Sampel dan Titik Sampel Percobaan... 75. Kejadian dan Peluang Kejadian... 77 D. plikasi Statistika dalam kehidupan... 8 Uji Kompetensi ab... 86 Latihan Ulangan Umum Semester... 90 ab Kesebangunan angun Datar angun Ruang Sisi Lengkung Statistika dan Peluang Pangkat Tak Sebenarnya. Pangkat Tak Sebenarnya Dinyatakan ke entuk Lain... 96. ara Menyelesaikan Operasi Pangkat Tak Sebenarnya... 0. plikasi Pangkat Tak Sebenarnya dalam Kehidupan... 09 Uji Kompetensi ab... ab 5 arisan dan Deret. Pola ilangan Sederhana.... Deret ritmetika dan Deret Geometri... 9 c. plikasi arisan dan Deret dalam Kehidupan... Uji Kompetensi ab 5... Latihan Ulangan Umum Semester... 6 Daftar Pustaka... 9 Glosarium... 0 Daftar Simbol dan Notasi... Kunci Jawaban... Indeks... 5 vi
Kesebangunan angun Datar Sumber: www.salillas.net Tujuan Pembelajaran Menemukan sifatsifat bangun datar yang sebangun dan kongruen Menemukan sifatsifat dua segitiga sebangun Menemukan sifatsifat dua segitiga kongruen Menggunakan konsep kesebangunan dalam pemecahan masalah. M asih ingatkah kalian tentang konsep perbandingan yang telah dipelajari di kelas VII? Konsep perbandingan ini harus kalian pahami terlebih dahulu sebelum mempelajari konsep kesebangunan bangun datar, karena pada pembahasan konsep kesebangunan akan berhubungan dengan perbandingan. Dalam kehidupan sehari-hari konsep kesebangunan banyak kegunaannya, misalnya untuk mengukur tinggi suatu menara atau pohon. Perhatikan gambar di atas. Tahukah kalian nama bangunan pada gambar di atas? Tahukah kalian berapa tinggi bangunan itu? Dapatkah kalian jika ditugaskan untuk mengukur tinggi bangunan tersebut hanya dengan menggunakan tongkat dan penggaris? Sulit, bukan? Kalian mungkin akan mengalami kesulitan. Namun, setelah kalian mempelajari konsep kesebangunan, kalian akan dapat melakukannya. Inilah salah satu kegunaan konsep kesebangunan dalam kehidupan sehari-hari. ab Kesebangunan angun Datar
Uji Kompetensi wal Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.. Dua buah persegi dengan masingmasing sisinya cm dan 8 cm. Tentukan perbandingan keliling dan luas kedua persegi.. Dalam menit, seorang pelari menempuh jarak 900 m. Tentukan jarak yang ditempuh pelari selama menit.. Enam belas orang dapat menyelesaikan pekerjaan dalam 0 hari. Jika ada 0 orang sebelum pekerjaan dimulai, berapa hari pekerjaan ini selesai?. Di suatu asrama tersedia 90 kg beras yang cukup dikonsumsi 00 orang selama hari. Jika asrama itu berkurang 0 orang, cukup berapa harikah beras tersebut? Kesebangunan Dua angun Datar Masih ingatkah kalian mengenai perbandingan yang telah dipelajari di kelas VII? Kalian harus mengingat lagi materi tersebut karena pada permasalahan berikut berhubungan dengan materi tersebut. Untuk lebih jelas lagi, perhatikan pembahasan berikut. Syarat Dua angun Datar yang Kongruen Di sekolah dasar kalian telah mempelajari mengenai pencerminan. oba sekarang kalian gambar sebuah persegi panjang D pada buku tulismu, kemudian cerminkan terhadap sebuah garis. Perhatikan Gambar.. D Gambar. Pencerminan persegi panjang D erilah nama persegi panjang hasil pencerminan itu, misal PQRS. Guntinglah persegi panjang PQRS tersebut, kemudian impitkan dengan persegi panjang D. Setelah itu, salin dan lengkapilah tabel berikut pada bukumu. Panjang Sisi Sama Tidak Panjang dan PQ...... Panjang dan QR...... Panjang D dan RS...... Panjang D dan SP...... esar Sudut Sama Tidak dan P...... dan Q...... dan R...... D dan S...... Jika isi dari tabel di atas semua sama maka persegi panjang tersebut mempunyai sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. angun-bangun yang memiliki sifat demikian itu disebut bangun yang sama dan sebangun atau kongruen. Matematika SMP dan MTs Kelas IX
. ontoh SOL D erdasarkan uraian di atas, dapatkah kamu membuat kesimpulan syarat kekongruenan dua bangun datar?. = D (sudut siku-siku) Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Jadi, dan D kongruen. S D adalah persegi, merupakan garis bagi. uktikan dan D kongruen. Penyelesaian: Kita selidiki panjang sisi-sisi yang bersesuaian. Karena D persegi maka: = D ; = D = (berimpit) Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. Kita selidiki besar sudut-sudut yang bersesuaian. Karena adalah garis bagi sehingga membagi dan menjadi dua bagian yang sama besar maka: = D = D P Q PQRS adalah layang-layang. pakah PQS dan QRS kongruen? Penyelesaian: Kita selidiki panjang sisi-sisi yang bersesuaian QS = QS (berimpit) kan tetapi, sisi-sisi yang bersesuaian lainnya PS RS ; PQ QR Hal ini berarti ada sisi-sisinya yang bersesuaian tidak sama panjang. Jadi, PQS tidak kongruen dengan QRS. R LTIHN. Dari bangun-bangun pada a, b, c, d, dan e tuliskan segitiga yang kongruen? a. D d. S R b. W Z e. c. X N 0 M o o K x x Y x x J P L G I 60 Q 0 H. Perhatikan PQR dan QPS pada gambar di bawah ini. Jika PS = QR, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? R S. Perhatikan PQR dan RST pada gambar di bawah ini. Diketahui PQ sejajar ST. R S P P T Q Q ab Kesebangunan angun Datar
a. pakah sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang? b. pakah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar? c. pakah kedua segitiga tersebut kongruen?. Perhatikan gambar di bawah ini. D E Titik D, E, dan F, masing-masing adalah titik tengah,, dan. Sebutkanlah: a. sudut-sudut yang sama besar dengan ; F b. sisi-sisi yang sama panjang dengan F; c. segitiga-segitiga yang kongruen. 5. Perhatikan gambar di bawah ini. D E Sebuah trapesium sama kaki D dengan diagonal sisi D dan, serta berpotongan di E. Sebutkanlah a. sudut-sudut yang sama besar dengan E; b. segitiga-segitiga yang kongruen. Syarat Dua angun Datar yang Sebangun Marilah kita perhatikan persegi panjang D dan PQRS pada Gambar.. kan kita selidiki hubungan sisi-sisi kedua persegi panjang itu. S R D cm 6 cm 0 cm P 0 cm Q Gambar. Persegi panjang D dan PQRS Perhatikanlah panjang sisi-sisi dari kedua persegi panjang di atas. Dari Gambar., kita peroleh: PQ QR 0 = = 0 6 = = sisi -sisi yang bersesuaian sebanding. Karena panjang sisi yang lain sama dengan sisi yang telah diketahui, maka cukup dua sisi yang diselidiki. Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian pada dua persegi panjang yang sebangun adalah sebanding. Untuk sudut, karena semua sudut persegi panjang merupakan siku-siku maka dapat dikatakan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Matematika SMP dan MTs Kelas IX
Dua bangun datar dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. R ontoh SOL Perhatikan bangun jajargenjang di bawah ini. D U 0 6 cm 0 8 cm S 5 cm T E 6 cm H Y 6 cm 5 cm 50 V 6 cm W X cm 0 F Dari gambar di atas, selidiki: a. apakah D dan EFGH sebangun? b. apakah D dan VWXY sebangun? c. apakah D dan RSTU sebangun? Penyelesaian: a. Karena D merupakan jajargenjang maka = D = 6 cm dan D = = 5 cm. EFGH juga merupakan jajargenjang maka EF = GH = 6 cm dan EH = FG = cm. Dengan demikian, diperoleh 6 = EF 6 5 EF FG = FG G karena dapat dikatakan bahwa EF FG jajargenjang D dan EFGH tidak sebangun. b. Telah diketahui = 0, V = 50, dan VWXY merupakan. Dengan demikian, diperoleh W = 80 V = 80 50 = 0 karena W, dapat dikatakan bahwa jajargenjang D dan VWXY tidak sebangun. c. Karena D merupakan jajargenjang maka = D = 6 cm dan D = = 5 cm. RSTU juga merupakan jajargenjang maka RS = UT = 8 cm dan RU = ST = 6 cm. Dengan demikian, diperoleh 6 = RS 8 5 RS ST = ST 6 karena dapat dikatakan bahwa RS ST jajargenjang D dan RSTU tidak sebangun. Sebagai bahan latihan, selidiki apakah EFGH dan RSTU sebangun? LTIHN. Manakah di antara bangun-bangun di bawah ini yang pasti sebangun? a. Persegi panjang f. Jajargenjang b. Layang-layang g. elah ketupat c. Segitiga siku-siku h. Persegi d. Segitiga sama sisi i. Lingkaran e. Segitiga sama kaki. Diketahui F = F, panjang D = 8 cm, = cm, dan FE = 0 cm. Tentukanlah bangun-bangun yang sebangun. E D F ab Kesebangunan angun Datar 5
. Pada gambar di D samping diketahui. 5 5 = F = = 90 E EDF = DF = 5 Tentukanlah bangunbangun yang sebangun. F. Kalian tentu sudah biasa melihat foto dengan ukuran seperti tampak pada gambar di bawah ini. 6 oba kalian selidiki apakah foto-foto itu sebangun. 5. Diskusikan dengan teman sebangkumu. ndi sedang mengecat kamar tidur dan kamar mandi. Dinding kamar tidur berukuran tinggi m dan lebar m. Dinding kamar mandi berukuran tinggi m dan lebar m. a. pakah ukuran kamar tidur dan kamar mandi sebangun? Jika ya, berapa perbandingannya? b. Jika untuk mengecat kamar tidur dibutuhkan kaleng, berapa kaleng yang dibutuhkan untuk mengecat kamar mandi? c. pakah perbandingan banyak cat yang digunakan sama dengan perbandingan ukuran kamar? Perhitungan pada angun-angun yang Kongruen dan Sebangun Kalian tentunya sudah jelas mengenai syarat dua bangun datar kongruen dan sebangun. Sekarang marilah kita gunakan dalam perhitungan.. ontoh SOL D Diketahui persegi panjang D dan PQRS kongruen. Jika sisi = 8 cm dan = 6 cm, hitunglah panjang PQ, QR, dan PR. Penyelesaian: Persegi panjang D dan PQRS kongruen maka: PQ = = 8 cm QR = = 6 cm PR dapat dicari dengan menggunakan dalil Pythagoras, sebagai berikut. PR = PQ + QR = 8 + 6 = 6 + 6 = 00 P S R Q PR = 00 = 0 Jadi, panjang PR adalah 0 cm.. Perhatikan gambar di bawah ini. Segitiga dan DE sebangun, dengan = 9 cm, = 5 cm, dan D = 6 cm. a. Tentukan sudut-sudut yang bersesuaian. b. Hitung panjang D dan E. c. Jika = p, tentukan ED dan DE. E D 6 Matematika SMP dan MTs Kelas IX
Penyelesaian: a. = DE = DE ED = b. () = () () = 5 9 = = cm D = D = 6 = cm Karena dan DE sebangun maka berlaku E = D E 5 = E = 5 E = 5 cm c. = p ED = = p DE = 80 90 ED = 90 p LTIHN. cm D cm D dan PQRS adalah dua bangun yang kongruen. Jika = cm, D = cm, hitunglah QR. P S R Q Trapesium EFG dan D adalah sebangun dan berimpit pada titik sudut. a. Tentukan panjang GF dan E. b. Jika GFE = a, tentukan.. Perhatikan gambar di bawah ini. S cm R cm T. N M U T P 0 cm Q K L R S Persegi panjang KLMN kongruen dengan persegi panjang RSTU. Jika KL = 6 cm dan LM = 8 cm, hitunglah RT. PQR dan STR adalah sebangun dan berimpit di R. a. Tentukan panjang RQ, PR. b. Jika sudut QRP = x, tentukan QPR. 5. Persegi panjang D dan PQRS sebangun dengan = cm, QR = 6 cm, dan perbandingan : PR = :.. Perhatikan gambar di bawah ini. D D 0 cm S R G F cm 5 cm 9 cm E a. Hitunglah PQ dan. b. Jika luas D = 6 cm, hitung luas PQRS. P Q ab Kesebangunan angun Datar 7
Dua Segitiga yang Kongruen atau Sama Sebangun Pada subbab sebelumnya kalian telah mempelajari syarat dua bangun datar yang kongruen. Pada pembahasan berikut akan dipelajari lebih mendalam salah satu dari bangun datar tersebut, yaitu segitiga. Untuk lebih jelas lagi mengenai dua segitiga yang kongruen, perhatikanlah pembahasan berikut. Syarat Dua Segitiga Kongruen Dari subbab sebelumnya kalian tentu telah mengetahui syarat dua bangun datar yang kongruen, yaitu sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Karena segitiga merupakan bangun datar maka syaratsyarat di atas juga berlaku untuk menyatakan dua segitiga yang kongruen. Namun, kedua syarat di atas masih dapat dikembangkan lagi sebagai berikut. a. Ketiga Sisi yang ersesuaian Sama Panjang (si, si, si) Perhatikan Gambar.. Untuk menyelidiki apakah dan JKL kongruen, dapat kita gunakan cara-cara berikut ini. ara Kita jiplak dengan menggunakan plastik transparan atau kertas kalkir, kemudian kita gunting. Hasil guntingan ini kita impitkan pada JKL. Titik berimpit dengan titik J, titik berimpit dengan titik K, dan titik berimpit dengan titik L. tepat menutupi JKL sehingga kita peroleh bahwa sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Jadi, dan JKL kongruen. ara Dari Gambar. kita ketahui bahwa = = = JK KL sisi -sisi yang bersesuaian sama panjang. LJ Dengan menggunakan sisi-sisi yang bersesuaian ini, mari kita selidiki sudut-sudut yang bersesuaian. L J K Gambar. dan JKL 8 Matematika SMP dan MTs Kelas IX
J L Gambar. dan JKL, kedua sisi yang bersesuaian sama panjang K Jika = JK, = JL, dan = KL; apakah = J? Untuk membuktikan hal itu kita pakai kebalikannya, kita misalkan = JK, = JL, dan KL. Marilah kita perhatikan Gambar.. Dari Gambar. terlihat bahwa J. Dengan demikian, terbukti bahwa jika = JK, = KL, dan = LJ; maka = J. Hal ini juga berlaku untuk dan. Secara umum dapat kita tarik kesimpulan bahwa jika pada dua segitiga sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang maka sudut-sudut yang bersesuaian juga sama besar. Jadi, terbukti bahwa dan JKL kongruen. Untuk selanjutnya, dalam membuktikan dua segitiga yang kongruen kita boleh hanya membuktikan bahwa sisisisi yang bersesuaian sama panjang. Jika sisi-sisi yang bersesuaian pada dua segitiga sama panjang maka kedua segitiga itu kongruen. ontoh SOL.. Diketahui sama kaki, dengan D R sebagai titik tengah. uktikan bahwa D dan D kongruen. Penyelesaian: P Q Perhatikan gambar kedua segitiga di atas. uktikan dan PQR kongruen. Penyelesaian: Perhatikan dan PQR = PR (diketahui) = PQ (diketahui) = QR (diketahui) Karena ketiga sisi yang bersesuaian sama besar maka dan PQR kongruen (si, si, si). D = (sama kaki), D = D (D titik tengah ), D = D (merupakan sisi persekutuan). Karena ketiga sisinya sama panjang, D dan D kongruen (si, si, si). b. Dua Sisi yang ersesuaian Sama Panjang dan Sudut yang Diapit Sama esar (si, su, si) Marilah kita perhatikan kedua segitiga pada Gambar.5. Kongruenkah kedua segitiga tersebut? Dari Gambar.5, kita ketahui bahwa = XZ; = X; dan = XY. ab Kesebangunan angun Datar 9
Dengan menggunakan pembuktian seperti pada bagian a cara kedua, kita peroleh = YZ, sehingga = XZ, = XY, dan = QR. Karena ketiga sisi yang bersesuaian pada dan XYZ sama panjang maka dan XYZ kongruen (si, su, si). obalah kalian lakukan pembuktian dengan cara lain seperti pada kegiatan berikut. K EGIT N Gambar.5 menunjukkan dan XYZ memiliki dua sisi sama panjang dan sudut yang diapit sama besar.. Jiplak Gambar.5 dengan menggunakan plastik trasnparan atau kertas kalkir.. Letakkan hasil jiplakanmu di atas XYZ! pakah dan XYZ saling berimpit?. Sebutkan sisi-sisi dan sudut-sudut yang saling menempati. erdasarkan hasil kegiatan di atas, dapat disimpulkan jika dua segitiga memiliki dua sisi bersesuai sama panjang dan sudut yang diapit sama besar maka kedua segitiga itu... X Gambar.5 dan XYZ, dua sisi sama panjang dan sudut yang diapit sama besar Z Y ontoh SOL E Pada gambar di atas, = E dan D =. uktikan dan DE kongruen. D Penyelesaian: Perhatikan dan DE = E (diketahui) = DE = 90 D = (diketahui) Karena kedua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapit sama besar maka dan DE kongruen (si, su, si). c. Satu Sisi Sama Panjang dan Dua Sudut ersesuaian yang Terletak pada Sisi itu Sama esar (su, si, su) agaimana dengan kedua segitiga pada Gambar.6? Kongruenkah kedua segitiga ini? Marilah kita selidiki bersama. Dari Gambar.6 diketahui = P = Q kita peroleh = R. = PQ 0 Matematika SMP dan MTs Kelas IX
R P Q Gambar.6 dan PQR, satu sisi sama panjang dan dua sudut bersesuaian yang terletak pada sisi itu sama besar. Karena ketiga sudut yang bersesuaian sama besar dan salah satu sisi yang bersesuaian sama panjang maka dua sisi yang bersesuaian juga sama panjang. Mengapa demikian? Karena jika salah satu sisi yang bersesuaian pada dan PQR tidak sama panjang maka salah satu sudut yang bersesuaian juga tidak akan sama besar. Padahal sudah diketahui ketiga sudut yang bersesuaian itu sama besar. Dengan menggunakan pembuktian seperti pada bagian a cara kedua, kita peroleh = QR dan = PR. Karena ketiga sisi yang bersesuaian pada dan PQR sama panjang maka dan PQR kongruen (su, si, su). obalah kalian lakukan pembuktian dengan cara lain, seperti pada kegiatan berikut. K EGIT N Gambar.6 menunjukkan dan PQR memiliki satu sisi sama panjang dan dua sudut yang terletak pada sisi itu sama besar.. Jiplak Gambar.6 dengan menggunakan plastik transparan atau kertas kalkir, kemudian himpitkan dan PQR. Periksalah, apakah dan PQR saling tepat menutupi atau berimpit?. Sebutkan sisi-sisi dan sudut-sudut bersesuaian yang saling menempati. erdasarkan hasil kegiatan di atas, dapat disimpulkan jika dua segitiga memiliki satu sisi sama panjang dan dua sudut bersesuaian yang terletak pada sisi itu sama besar maka dua segitiga itu... ontoh SOL mir akan menghitung lebar sungai di dekat tendanya. mir telah menggambar desain yang akan digunakan untuk menghitung lebar sungai itu. Perhatikan gambar di samping. Dari gambar tersebut diketahui MN NP, PQ NP, dan O di tengah-tengah NP. a. pakah MNO dan QPO kongruen? erikan alasanmu. b. Garis mana yang dapat digunakan untuk menghitung lebar sungai? M N O P Q ab Kesebangunan angun Datar
Penyelesaian: a. MNO dan QPO kongruen (su, si, su) yaitu: N = P = 90 NO = OP (O merupakan titik tengah NP) NOM = POQ (sudut bertolak belakang). b. Garis PQ, karena MNO dan QPO kongruen maka garis PQ = MN. MN merupakan lebar sungai. d. Dua Sudut ersesuaian Sama esar dan Satu Sisi yang ersesuaian Sama Panjang (su, su, si) Marilah kita perhatikan lagi kedua segitiga di bawah ini. kan kita buktikan apakah kedua segitiga itu kongruen? M K L Gambar.7 dan KLM, dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang Dari Gambar.7 kita ketahui = K; = M; dan = KL. Karena = K, = M, maka = L Dengan menggunakan pembuktian seperti pada bagian c sebelumnya, kita peroleh = LM dan = KM. Karena ketiga sisi yang bersesuaian pada dan KLM sama panjang maka dan KLM kongruen (su, su, si). obalah kamu lakukan pembuktian dengan cara lain seperti pada kegiatan berikut. K EGIT N Gambar.7 menunjukkan dan KLM memiliki dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang.. Jiplaklah Gambar.7 dengan menggunakan plastik transparan atau kertas kalkir, kemudian himpitkan dan KLM. Periksalah, apakah dan KLM saling tepat menutupi atau berimpit?. Sebutkan sisi-sisi dan sudut-sudut bersesuaian yang saling menempati. erdasarkan hasil kegiatan di atas, dapat disimpulkan jika dua segitiga memiliki dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian maka dua segitiga itu... Math Quiz Jika ada dua buah segitiga memiliki sudut-sudut bersesuaian sama besar, apakah kedua segitiga itu kongruen? Hal apa yang dapat kamu simpulkan dari jawaban pertanyaan tersebut? Matematika SMP dan MTs Kelas IX
ontoh SOL Perhatikan gambar di bawah ini. F E Pada gambar di samping, titik adalah titik tengah E. uktikan dan EF kongruen. Penyelesaian: Perhatikan dan EF = FE = 90 = EF (bertolak belakang) = E ( titik tengah E) Karena kedua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang maka dan EF kongruen (su, su, si). e. Dua Sisi ersesuaian Sama Panjang dan Satu Sudut yang ersesuaian Sama esar (si, si, su) Sekarang kalian perhatikan dan PQR di bawah ini. T R S Gambar.8 dan RST, dua sisi sama panjang dan satu sudut sama besar Untuk mengetahuinya, lakukanlah kegiatan berikut. K EGIT N Gambar.8 menunjukkan dan RST memiliki dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang bersesuaian sama besar.. Jiplaklah Gambar.8 dengan menggunakan plastik transparan atau kertas kalkir, kemudian himpitkan dan RST. Periksalah, apakah dan RST saling tepat menutupi atau berimpit?. Sebutkan sisi-sisi dan sudut-sudut bersesuaian yang saling menempati. erdasarkan hasil kegiatan di atas, dapat disimpulkan jika dua segitiga memiliki dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang bersesuaian sama besar maka dua segitiga itu... ab Kesebangunan angun Datar
ontoh SOL F Pada gambar di atas, = F dan = FG. uktikan dan FG kongruen. G Penyelesaian: Perhatikan dan FG = F (diketahui) = FG (diketahui) = FG (bertolak belakang) Karena dua sisi bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang bersesuaian sama besar maka dan FG kongruen (si, si, su). K EGIT N Gambarlah segitiga-segitiga berikut ini pada kertas karton. Kemudian, lipatlah segitiga-segitiga itu sehingga hasil lipatan membentuk segitiga yang kongruen. () () () () (5) (6) (7) (8). Dari hasil lipatan segitiga-segitiga di atas, segitiga manakah yang menghasilkan segitiga yang kongruen?. pa yang dapat kalian simpulkan dari kegiatan di atas hubungannya dengan kongruensi? LTIHN. Sebuah layang-layang D dengan diagonal terpanjang, D = dan D =. uktikan D dan kongruen.. Sebuah segitiga sama kaki. Titik D di tengah-tengah sehingga DE = E DE. uktikan bahwa E dan E kongruen. D. Perhatikan gambar di bawah ini. G D E Titik E adalah titik tengah. Jika ED = E dan EDG = EF, buktikan bahwa ED dan E kongruen. F Matematika SMP dan MTs Kelas IX
. Pada trapesium sama kaki D, ditarik dua buah garis yang membentuk diagonal sisi D dan yang berpotongan di titik E. Jika D = D dan D =, buktikan bahwa D dan D kongruen. 5. Perhatikan gambar di R samping. Jika P = Q dan PR = QR, buktikan S T bahwa PSE dan E QTE kongruen. P Q 6. Perhatikan gambar di bawah ini. F D E Pada ditarik garis berat dari memotong di D. Dari titik dan masing-masing ditarik garis sehingga E dan F tegak lurus D. uktikan bahwa FD dan ED kongruen. 7. Sebuah antena televisi berdiri tegak lurus dengan tanah. Dari titik,, dan D di tanah ditarik kabel ke puncak antena. Perhatikan gambar di bawah ini. D O Panjang kawat yang menghubungkan puncak antena ke titik,, dan D sama panjang. pakah cukup informasi untuk menyimpulkan bahwa O, O, dan OD kongruen? K EGIT N Perhatikan bentuk rangka bagian atas pada gambar foto rumah di samping. Desain dari bagian tersebut terlihat pada gambar di sampingnya. D O E F G Sumber: majalah SRI, edisi Maret 996 DO G dan OD membagi G menjadi bagian sama panjang. Dengan menggunakan plastik transparan buktikan bahwa OD dan DOG kongruen kemudian jelaskan di depan kelas. Perbandingan Sisi-Sisi Dua Segitiga Kongruen Telah kita ketahui bahwa salah satu syarat dua segitiga kongruen adalah sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. Karena panjang sisinya sama maka perbandingan dari kedua sisi tersebut adalah. Untuk lebih jelasnya mari kita perhatikan Gambar.9. ab Kesebangunan angun Datar 5
Dari Gambar.9 kita peroleh: = PQ, maka PQ = = QR, maka QR = = RP, maka RP = R Perbandingan sisi-sisi pada dua segitiga kongruen adalah. Perhitungan Panjang Sisi Dua Segitiga Kongruen Dari pembahasan sebelumnya telah kita ketahui syaratsyarat dua segitiga kongruen dan begitu pula perbandingan sisi-sisinya. Pada pembahasan kali ini syarat tersebut akan kita gunakan untuk melakukan perhitungan. Mari kita perhatikan contoh di bawah ini. Q P Gambar.9 dan PQR kongruen ontoh SOL Diketahui D D adalah persegi dengan panjang rusuknya F 0 cm. Jika E = EF, E hitunglah panjang E. Penyelesaian: Perhatikanlah E dan FE. E = E (berimpit) E = EF (diketahui) E = FE (sudut siku-siku) E dan FE kongruen (su, su, si) Karena E dan FE kongruen, maka F = = 0 cm. Sekarang perhatikanlah DEF. EDF = 5 (D diagonal sisi persegi D) DEF = 80 90 5 = 5 Karena kedua sudutnya sama besar maka DEF merupakan segitiga sama kaki, EF = DF. Dari soal diketahui E merupakan garis bagi D maka E = EF. Padahal EF = DF, maka E = DF. E = DF = D F = 0 0 (D diagonal sisi) = 0( ) cm Jadi, panjang E adalah 0( ) cm. LTIHN 5. Pada gambar di samping, PR = QR = 0 cm dan PRQ = 60. a. uktikan PSR dan QTR kongruen. b. uktikan PTU dan QUS P kongruen. T R 60 U S Q c. Hitunglah besar RQT, RPS, dan TUS.. Diketahui D adalah jajargenjang. a. uktikan = D dan D = D 6 Matematika SMP dan MTs Kelas IX
b. Jika = 80 dan D = 0, tentukan, D, dan D.. adalah segitiga sama kaki dengan =. Titik E adalah titik tengah dan garis DE tegak lurus. a. uktikan bahwa =. b. Jika = cm dan = 0 cm, hitunglah: (i) E, (ii) DE, dan (iii) D serta D.. D adalah jajargenjang dengan F dan ED tegak lurus. = 0, = 0, = cm, dan = cm. 5. a. uktikan F = E. b. uktikan = D. c. Hitung besar DE. D D adalah trapesium sama kaki dengan dan sama besar, yaitu 5. Jika D = = D = 8 cm, hitunglah keliling D. D F E kibat dari Dua Segitiga Kongruen Kita telah mengetahui bahwa jika ada dua segitiga kongruen maka sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudutsudut yang bersesuaian sama besar. Dapat kita katakan bahwa bentuk dan ukuran dua segitiga kongruen adalah sama. Hal ini mengakibatkan keliling dan luas kedua segitiga juga sama. Untuk lebih jelasnya marilah kita perhatikan contoh berikut ini. ontoh SOL R 5 = 6 9= cm Diberikan dan PQR kongruen. Luas = 5 cm. Hitunglah panjang QR. Penyelesaian: L = 5 = P Q Panjang = 9 cm. Karena dan PQR kongruen maka PQ = = 9 cm. PR = = cm. Dengan demikian QR = PQ + PR = 9 + = 8 + = 5 QR = QR = 5 Jadi, panjang QR = 5 cm. ab Kesebangunan angun Datar 7
obalah kalian cari dari buku, majalah, atau sumber lain mengenai akibat dari dua segitiga kongruen kemudian bacakan di depan kelas. Segitiga-Segitiga Sebangun Pada subbab sebelumnya telah kalian pelajari dua segitiga yang kongruen. Tentunya sekarang kalian sudah memahami materi tersebut. Pada pembahasan berikut akan dipelajari segitiga-segitiga yang sebangun. pa perbedaan kongruen dan sebangun? Setelah kalian mempelajari subbab berikut kalian akan dapat membedakannya. Perbedaan Pengertian Sebangun dan Kongruen Dua Segitiga Dari subbab sebelumnya telah kita ketahui bahwa: dua bangun datar dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Karena segitiga merupakan bangun datar maka ketentuan di atas juga berlaku untuk segitiga. Selain itu juga telah kita ketahui bahwa: dua segitiga dikatakan kongruen jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. Dari definisi di atas apa yang dapat kalian simpulkan mengenai hubungan dua segitiga kongruen dan sebangun? Syarat Dua Segitiga Sebangun Dari bagian sebelumnya telah kita peroleh bahwa dua segitiga dikatakan sebangun jika a. sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, dan b. sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Syarat-syarat di atas dapat kalian kembangkan lagi menjadi sebagai berikut. a. Dua Sudut yang ersesuaian Sama esar (su, su) Marilah kita perhatikan Gambar.0. Dari Gambar.0 di samping diketahui = = E Karena kedua sudutnya sama maka sudut yang lain juga sama, yaitu = D. D E Gambar.0 dan ED 8 Matematika SMP dan MTs Kelas IX
Selanjutnya, marilah kita selidiki sisi-sisinya. Untuk menyelidikinya cobalah kalian ukur sisi-sisi pada kedua segitiga di atas. Jika kalian cermat, maka kalian akan memperoleh E D = 75, = =, 6, =, 75 cm, 75 cm ED 5, = = 56,, 75 cm ontoh SOL Perhatikan gambar di bawah ini. D x adalah segitiga siku-siku. uktikan bahwa D dan sebangun. Penyelesaian: Perhatikan D dan Misalkan D = x, maka D = 90 x D = 90 D = = 90 Jadi, kita peroleh sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Dengan demikian, dan ED sebangun. Jika dua sudut yang bersesuaian pada dua segitiga sama besar maka dua segitiga itu sebangun. obalah kalian buktikan dengan cara lain. = 80 D D = 80 90 D = 90 (90 x ) = x D = x D = = x D = 80 90 x = 90 x = 80 90 = 90 x D = 90 x D = = 90 x Karena dua sudut yang bersesuaian sama besar, maka D dan sebangun (su, su). b. Ketiga Sisi yang ersesuaian Sebanding (si, si, si) obalah kalian perhatikan Gambar.. R N L M Gambar. PQR dan LMN P Q ab Kesebangunan angun Datar 9
Diberikan LN PR LM = = PQ MN QR Marilah kita selidiki sudut-sudut yang bersesuaian dari dua segitiga itu. Untuk itu jiplaklah LMN Gambar. dengan plastik transparan atau kertas kalkir, kemudian potong daerah sudutnya. Impitkan masing-masing ke sudut yang bersesuaian pada PQR. Math Quiz Jika dua segitiga memiliki satu sudut sama besar dan dua sisi bersesuaian yang mengapit sudut itu sebanding, buktikan bahwa dua segitiga tersebut sebangun. N R L M P Gambar. Sudut-sudut dari PQR dan LMN yang bersesuaian Jika kalian cermat maka akan diperoleh L berimpit dengan P, maka L = P M berimpit dengan Q, maka M = Q N berimpit dengan R, maka N = R Kita peroleh bahwa sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Dengan demikian, PQR dan LMN sebangun. Jika ketiga sisi yang bersesuaian pada dua segitiga sebanding maka dua segitiga itu sebangun. Dapatkah kalian membuktikan dengan cara lain? Q ontoh SOL 5 cm cm cm E 5 cm cm F G 9 cm dan EFG adalah segitiga siku-siku. uktikan dan EFG sebangun. Penyelesaian: Perhatikan dan EFG Pada, = cm, = cm, dan = 5 cm. Pada EFG, EF = cm, FG = 9 cm, dan EG = 5 cm. EF = = FG = 9 = EG = 5 5 = Jadi, dan EFG sebangun karena ketiga sisi yang bersesuaian sebanding. 0 Matematika SMP dan MTs Kelas IX
e D x c b x f d o E a o Gambar. Segitiga Salah satu syarat untuk menentukan dua segitiga sebangun adalah jika sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Perhatikanlah Gambar.. Jika dan DE sebangun maka sisisisi yang bersesuaian sebanding, yaitu D Perbandingan Sisi Dua Segitiga Sebangun = E DE = atau e b + e e b + e d a + d Perhitungan Panjang Sisi pada Segitiga Dengan menggunakan sifat-sifat kesebangunan, kita dapat menentukan panjang salah satu sisi segitiga yang belum diketahui dari dua buah segitiga. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. = = d a + d = c f ea + ed = bd + ed ea = bd e b = d a e Jadi, b = d a ontoh SOL. Perhatikanlah bangun di bawah ini. M 60 D a = cm, D = cm, dan M = 6 cm. Jika M dan MD sebangun, tentukanlah: a. panjang M; b. MD jika M = a. Penyelesaian: D a. = M M = M 6 M = 6 M = 8 M = 8 =,5 cm b. M = a, maka DM = a karena M dan DM sehadap. Jumlah sudut dalam segitiga adalah 80, maka MD = 80 MD DM = 80 60 a = 0 a = (0 a) Jadi, MD = (0 a). Sisi-sisi adalah cm, 6 cm, dan 8 cm. Jika sebangun dengan PQR dan perbandingan sisi-sisinya 5, tentukanlah sisi-sisi PQR. ab Kesebangunan angun Datar
Penyelesaian: Misalkan: p, q, dan r adalah sisi-sisi dari PQR, maka 6 8 = = sehingga diperoleh p q r (i) (ii) (iii) p = 5 p = 5 cm 6 q = 5 q = 0 cm 8 r = 5 r = 0 cm Nilai p, q, dan r masing-masing adalah 5 cm, 0 cm, dan 0 cm. Jadi, sisi-sisi PQR adalah 5 cm, 0 cm, dan 0 cm.. Perhatikan gambar di bawah ini. Ruas garis XY DE. Jika DE = 5 cm, DX = 6 cm, XY = 6 cm, dan = 8 cm, tentukan: a. panjang q; b. panjang p. Penyelesaian: a. D 6 q X 8 X D p 6 5 Y = XY DE q q + 6 = 6 5 5q = 6 (q + 6) 5q = 6q + 6 E 5q 6q = 6 q = 6 9 q = cm b. dan YX sebangun X = XY p = 8 6 6p = 8 6p = p = 6 p = 5 cm. D dan PDRQ adalah persegi dengan sisi masing-masing 6 cm dan cm, tentukan panjang (T + QS). Penyelesaian: (R) = (RD) + (D) = () + (6) = 00 cm R = 0 cm Perhatikan QSR dan RD. QSR = RD = 90 dan SRQ = RD (sudut sehadap), maka QSR dan RD sebangun. Oleh karena QSR dan RD sebangun, berlaku perbandingan QS RD Q P S R D 6 QR = QS R = 0 QS = 0 = 7, cm T Matematika SMP dan MTs Kelas IX
Perhatikan T dan RD. T = RD = 90 dan T = DR (sudut sehadap), maka T dan RD sebangun. Oleh karena T dan RD sebangun, berlaku perbandingan T D = T R 6 = 6 0 T = 56 0 T =,8 cm Panjang (T + QS) =,8 + 7, = 0 cm. Jadi, panjang T + QS = 0 cm. LTIHN 6. Hitunglah x dan y. 6 5. Tentukan nilai a dan b dari gambar di bawah ini. a. c. a b 6 6 b. a d. 8 b y 8 b. Sebuah segitiga siku-siku di. Titik D terletak pada dan D. Jika D = cm dan D = 9 cm, hitunglah D,, dan.. Tentukanlah nilai x dan y pada gambar di bawah. x y 5 P 6 x R 8 0 a 5 Q a 8 b 8 8 b 5. Pada gambar trapesium D, D // PQ // dan DP : P = :. Jika D = 6 cm, = 8 cm, hitunglah PQ, PS, SQ. 6. Perhatikan gambar di bawah ini. 6 cm cm E D Hitunglah EF dan FG. 7. Perhatikan gambar di bawah ini. G F D dan ED saling berpelurus. Hitung perbandingan x : y. 8. Perhatikan gambar di bawah ini. R P x y a D Q x b S E 7 R + RQ = 80. Hitung a dan b. D 9 Q y 6 P ab Kesebangunan angun Datar
9. D adalah layang-layang dengan D = 6 cm, = 8 cm, D = D = 90. Diagonal layang-layang berpotongan di E. Jika PQ sejajar dan melalui E, hitung PQ. 0. Diketahui yang siku-siku di, dengan =. Jika N terletak pada sehingga N = 90 N, buktikan bahwa N = N. D plikasi Kesebangunan dalam Kehidupan Seperti yang telah dijelaskan pada bagian depan bahwa konsep kesebangunan banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya untuk mengukur tinggi gedung, lebar sungai, dan lebar jalan. Untuk mengukur tinggi gedung kita dapat membandingkan panjang bayangan seseorang dengan bayangan gedung. ontoh SOL. Perhatikan gambar berikut. a m 0 m Panjang bayangan sebuah pohon adalah 0 m. Pada saat yang sama, seorang anak menancapkan sebatang tongkat yang tingginya,5 m di depan pohon tersebut. ayangan tongkat dan pohon berimpit. Jika bayangan tongkat m, tentukan tinggi pohon tersebut. Penyelesaian: sehingga sudut yang lainnya juga sama, yaitu E =. Dengan demikian, dan DE sebangun maka sisi-sisi yang bersesuaian sebanding, yaitu: ED = D 5, = 0 = 0, 5 = 0 m Jadi, tinggi pohon adalah 0 m.. Perhatikan gambar berikut. U E,5 m? S T m D 8 m Misalkan = panjang bayangan pohon D = panjang bayangan tongkat DE = tinggi tongkat = tinggi pohon Pada DE dan diperoleh DE = DE = = 90 Dari pelabuhan, sebuah kapal bergerak ke utara sejauh 6 km, kemudian ke timur sejauh 0 km. Jika kapal tersebut bergerak lagi ke utara km dan sampai di pelabuhan, hitunglah jarak terdekat antara pelabuhan dan. Matematika SMP dan MTs Kelas IX
Penyelesaian: E 6 km D km Misal E = jarak tempuh kapal dari pelabuhan ke utara E = jarak tempuh kapal ke timur = jarak tempuh kapal bergerak lagi ke utara dan sampai di pelabuhan Dapat dikatakan E = 6 km, E = 0 km, dan = km. Pada DE dan D diperoleh DE = D (saling bertolak belakang) ED = D = 90 sehingga sudut yang lainnya juga sama, yaitu =. Dengan demikian, DE dan D sebangun maka E = DE dan E = D + DE = 0 D 6 = 0 DEDE DE = 6 (0 DE) DE = 80 6 DE 0 DE = 80 DE = 80 = km 0 DE = km dan D = 0 DE maka D = 0 = 8 km Karena DE siku-siku di E maka diperoleh: (D) = (E) + (DE) (D) = 6 + = 00 D = 00 = 0 km Karena DE dan D sebangun maka E = D D 6 = 0 D D = 0 = 0 cm 6 Jadi, jarak terdekat antara pelabuhan dan adalah: = D + D = 0 + 0 = 50 km.. Sebuah foto diletakkan pada selembar karton berukuran 0 cm 0 cm. Di sebelah kanan dan kiri karton itu masih terdapat karton selebar cm. Di sebelah atas foto terdapat karton selebar 5 cm. Jika foto dan karton sebangun, tentukan panjang karton di sebelah bawah foto yang tidak tertutup foto. Penyelesaian: Misalkan l = panjang karton di sebelah bawah foto yang tidak tertutup foto panjang karton = 0 cm lebar karton = 0 cm lebar foto = 0 ( + ) = cm panjang foto = x cm karena foto dan karton sebangun maka sisi-sisinya bersesuaian sebanding, yaitu { cm 0 cm 5 cm l =? x panjang karton = { cm 0 cm lebar foto lebar karton x 0 = 0 0x = 0 x = 960 0 x = cm Jadi, panjang karton di sebelah bawah foto yang tidak tertutup foto adalah: l = 0 ( + 5) = 0 7 = cm ab Kesebangunan angun Datar 5
. Sebatang pohon dengan tinggi 8 m terletak di depan sebuah menara yang berjarak 60 m. ayangan puncak menara dan pohon berimpit. Jika bayangan pohon 0 m, berapakah tinggi menara?. Dari pelabuhan, kapal bergerak ke selatan sejauh 0 km, kemudian ke timur sejauh 9 km. Jika kapal tersebut bergerak lagi ke selatan sejauh 5 km dan sampai di pelabuhan, hitunglah jarak terdekat antara pelabuhan dan.. Sebuah taman berbentuk persegi panjang berukuran 0 0 m. Di dalam taman terdapat kolam berbentuk persegi panjang berukuran m 8 m dan di sekeliling kolam terdapat jalan selebar m. Jelaskan apakah: a. taman dan kolam itu sebangun; b. taman dan tepi jalan itu sebangun.. Seorang peneliti akan mengukur lebar sungai. Dia mengambil garis lurus di tepi sungai sepanjang 8 m. Kemudian peneliti berdiri di titik tegak lurus yang berjarak 6 m dari D, dan DE = 8 m. obalah kalian bantu peneliti itu untuk mengukur lebar sungai tersebut. 8 m 5. Perhatikanlah gambar di bawah ini. tonggak sinar matahari pemancar ayangan sebuah tonggak kayu yang tingginya,8 m adalah m. Pada saat yang sama bayangan sebuah pemancar radio adalah 5 m. agaimana cara mengukur tinggi pemancar? 6. Seorang anak kecil ingin mengukur jari-jari matahari. Ia membuat lubang pada kertas yang berjarak 60 cm di atas tanah. Jika diameter bayangan lubang kertas pada tanah adalah,8 mm dan jarak bumi matahari adalah 50 juta km, tentukan jari-jari matahari. (Untuk mempermudah perhitungan gunakan kalkulator) D 6 m 8 m E E Foto atau Model erskala (Materi Pengayaan) Sebuah foto atau model berskala mempunyai bentuk yang sama dengan bentuk aslinya atau bentuk sebenarnya. Ukuran-ukuran foto atau model berskala tersebut diperbesar atau diperkecil terhadap ukuran sebenarnya dengan perbandingan yang sama. 6 Matematika SMP dan MTs Kelas IX
Jadi, bagian-bagian yang bersesuaian pada foto atau model berskala dengan bangun aslinya memiliki perbandingan yang sama. Pada keadaan demikian, foto atau model berskala dikatakan sebangun dengan bangun aslinya. Hal ini karena dua bangun dikatakan sebangun jika memiliki bentuk yang sama walaupun ukuran dua bangun itu berbeda. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Gambar. berikut ini. LTIHN 7. x (i) 5 m Gambar. cm (ii) cm Gambar.(ii) merupakan model dari Gambar.(i) sehingga bagian-bagian yang bersesuaian sebanding. agianbagian yang bersesuaian itu adalah panjang model dengan panjang sebenarnya, tinggi model dengan tinggi sebenarnya, dan lebar pada model dengan lebar sebenarnya. Karena sisi-sisi yang bersesuaian sebanding maka dapat ditulis panjang pada model panjang sebenarnya Sebuah mobil dengan ukuran tinggi = 0,6 m, panjang,8 m dan lebar =,8 m. Jika mobil tersebut dibuat modelnya dengan ukuran lebar cm. Hitunglah ukuran model mobil tersebut. tinggi pada model = = tinggi sebenarnya lebar pada model lebar sebenarnya Dengan menggunakan perbandingan di atas, maka dapat dihitung panjang mobil sebenarnya pada Gambar. yaitu: panjang pada model panjang mobil sebenarnya panjang mobil sebenarnya = 5 = lebar pada model lebar mobil sebenarnya Jadi, panjang mobil sebenarnya = 5 = 5 m. Sebuah rumah dibuat modelnya dengan ukuran panjang cm, lebar = 8 cm, dan tinggi = cm. Jika lebar rumah sebenarnya 9 m, tentukanlah panjang dan tinggi sebenarnya.. Sebuah kulkas dengan panjang m, lebar 0,5 m, dan tinggi m akan dibuat modelnya. Jika ukuran panjang pada model adalah 0 m, hitunglah: b. luas seluruh sisi model kulkas; c. volume model kulkas. ab Kesebangunan angun Datar 7
RNGKUMN. Dua bangun datar dikatakan kongruen jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.. Dua bangun datar dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.. Syarat dua segitiga kongruen adalah sebagai berikut. a. Ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang (si, si, si). b. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang diapit sama panjang (su, si, su). c. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapit sama besar (si, su, si). d. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang (su, su, si). e. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang bersesuaian sama besar (si, si, su).. Jika dua segitiga kongruen maka keliling dan luas kedua segitiga sama. 5. Syarat dua segitiga sebangun adalah sebagai berikut. a. Dua sudut yang bersesuaian sama besar. b. Ketiga sisi yang bersesuaian sebanding. 6. Syarat dua segitiga kongruen adalah sebagai berikut. a. Dua sudut yang bersesuaian sama besar b. Ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang. 8 Matematika SMP dan MTs Kelas IX
Pilihan ganda Uji Kompetensi ab erilah tanda silang ( ) pada huruf a, b, c, atau d pada jawaban yang benar.. Dua buah segitiga sama kaki adalah sebangun jika... a. sudut puncaknya sama b. panjang kaki-kakinya sama c. garis tinggi pada alasnya sama d. alas dan sudut puncaknya sama. Pada gambar di samping, =, D =. D kongruen D menurut... a. sisi, sudut, sisi b. sisi, sudut, sudut c. sisi, sisi, sudut D d. sisi, sisi, sisi. Pada gambar di samping, = dan E = E. E kongruen E menurut aturan... a. sisi, sudut, sisi E b. sisi, sisi, sisi c. sisi, sisi, sudut d. sisi, sudut, sudut. Perhatikan gambar berikut. D = E, DM dan EM adalah kongruen, E dan D adalah kongruen, hal tersebut dapat dinyatakan dengan aturan... a. sisi, sudut, sudut D b. sisi, sudut, sisi M c. sudut, sisi, sudut d. sisi, sudut, sisi E 5. Pada gambar di bawah, banyaknya segitiga yang kongruen adalah... a. b. c. d. 5 6. D adalah layang-layang dengan D dan adalah diagonal-diagonalnya. anyaknya segitiga yang kongruen... a. D b. c. d. 5 7. 8. Jika kedua bangun di atas sebangun, maka nilai x adalah... a. c. 8 b. d. D 6 9 x 6 Kedua bangun di atas sebangun. Panjang RQ adalah... a. 8 c. b. 0 d. 6 9. Dua bidang datar di bawah ini yang pasti sebangun adalah... a. layang-layang b. segitiga sama kaki c. belah ketupat d. segitiga siku-siku sama kaki S 8 P 8 R Q Uji Kompetensi ab 9
0. Sebuah foto ditempatkan pada sebuah karton yang berukuran 0 8 cm. Di sebelah atas, kiri, dan kanan tadi masih terdapat sisa karton yang lebarnya 5 cm. Jika foto sebangun dengan karton, lebar sisa karton yang terdapat di bagian bawah adalah... cm. a. c. b. d. 5. Nilai x dari gambar di bawah ini adalah... 0 a. 6 0 b. 6 x 0 c. d. 0. Pada gambar di bawah, D adalah persegi panjang dengan DE dan F. Jika = 8 cm, = 6 cm maka panjang F adalah... E D a. 6, cm c.,8 cm b.,6 cm d. 7, cm. Jika D adalah persegi dengan panjang sisi a cm dan E adalah garis bagi D maka panjang E adalah... a. a ( ) c. a ( ) b. ( a a) d. ( a a). Pada gambar di bawah ini, jika E = E, E = E maka pernyataan yang benar adalah... a. E = D D b. D = E c. E = d. = F 5. D adalah jajargenjang. Jika luas EFD adalah 0 cm, maka luas D adalah... a. 0 cm c. 0 cm b. 0 cm d. 60 cm 6. Pada gambar di bawah, DE =, E = 6 cm, D = cm, dan E = cm. Panjang D adalah... a. 8 cm E b. cm c. 5 cm d. 6 cm D 7. Perhatikan gambar di bawah ini. 8 D E 8 Jika kedua persegi tersebut kongruen dengan panjang rusuk 8 cm, luas daerah yang diarsir adalah... a. 6 c. 6 b. d. 8 8. Dua segitiga dikatakan kongruen jika: (i) ketiga sisinya sama panjang (ii) ketiga sudutnya sama besar (iii) dua sisi sama panjang dan sudut diapitnya sama besar (iv) satu sisi sama panjang dan dua sudut pada sisi itu sama besar Pernyataan di atas yang benar adalah... a. (i), (ii), dan (iii) b. (i), (ii), dan (iv) c. (i), (iii), dan (iv) d. semua benar 8 F 8 0 Matematika SMP dan MTs Kelas IX