MATEMATIKA. Jilid 2. SMP dan MTs Kelas VIII. J. Dris Tasari. PUSAT KURIKULUM PERBUKUAN Departemen Pendidikan Nasional

Transkripsi

1

2 Untuk Sekolah Menengah Pertama dan Madrasah Tsanawiyah MTMTIK Jilid SMP dan MTs Kelas VIII J. ris Tasari PUST KURIKULUM PRUKUN epartemen Pendidikan Nasional

3 Hak cipta pada Kementerian Pendidikan Nasional. ilindungi Undang-Undang. MTMTIK Jilid untuk SMP dan MTs Kelas VIII J. ris; Tasari. Matematika I. Judul II. ris, J. IV. rfantony III. Tasari ris J Matematika/penulis, J. ris, Tasari ; editor, rfantony ; ilustrator, Yudi W. - Jakarta : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Kementerian Pendidikan Nasional, 0. jil.: ilus. ; foto ; 5 cm. untuk SMP dan MTs kelas VIII Termasuk bibliografi Indeks ISN (no.jil.lengkap) ISN (jil..). Matematika Studi dan Pengajaran I. Judul II. Tasari III. rfantony IV. Yudi W Hak cipta buku ini dialihkan kepada Kementerian Pendidikan Nasional dari penulis J. ris, Tasari iterbitkan oleh Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementerian Pendidikan Nasional Tahun 0 uku ini bebas digandakan sejak November 00 s.d. November 05 diperbanyak oleh :.

4 Kata Sambutan Puji syukur kami panjatkan ke hadirat llah SWT, berkat rahmat dan karunia-nya, Pemerintah, dalam hal ini, Kementerian Pendidikan Nasional, sejak tahun 007, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional. uku teks pelajaran ini telah dinilai oleh adan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 9 Tahun 009 tanggal Februari 009. Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Kementerian Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia. uku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Kementerian Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (download), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. iharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sebagai sumber belajar ini. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaikbaiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan. Jakarta, Juni 0 Kepala Pusat Kurikulum dan Perbukuan iii

5 P rakata Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha sa karena atas karunia- Nyalah penulis dapat menyelesaikan buku ini. uku Matematika untuk SMP dan MTs ini terdiri atas tiga jilid, yaitu jilid untuk kelas VII, jilid untuk kelas VIII, dan jilid untuk kelas IX. uku ini disusun dengan menitikberatkan pada pemahaman konsep yang benar. Materi dalam buku ini disajikan secara sistematis, mulai dari hal yang konkret ke yang abstrak dan dari yang sederhana ke yang kompleks. Soal-soal dalam buku ini pun disajikan dengan sangat variatif, baik jenisnya maupun tingkat kesulitannya. engan demikian, siswa diharapkan mampu menguasai konsep yang disajikan dengan baik, bukan sekadar menghafal konsep dan mengerjakan soal dengan cepat. uku ini juga menyajikan soal-soal kontekstual yang merupakan penerapan konsep matematika dalam kehidupan sehari-hari. Tujuannya adalah agar siswa lebih tertarik untuk mempelajari matematika karena sangat banyak manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari. Namun demikian, penulis menyadari bahwa masih banyak hal yang dapat dikembangkan dari buku ini. Untuk itu, saran positif dari para pembaca, terutama guru dan siswa sebagai pengguna buku ini, sangat penulis harapkan untuk perbaikan pada edisi mendatang. esar harapan penulis agar buku ini dapat menjadi buku pilihan bagi siswa dan guru dalam proses pembelajaran di sekolah. Penulis iv

6 Petunjuk Penggunaan uku alam kehidupan sehari-hari, banyak sekali permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menerapkan konsep matematika. Oleh karena itu, penting bagi kita untuk mempelajari konsep matematika. elajar matematika tidak terlepas dari memahami dan mengerti setiap konsep dalam matematika sehingga diperlukan suatu cara yang praktis, sistematis, dan efisien untuk menyampaikan konsep-konsep matematika. Untuk itu, buku ini disusun secara sistematis dengan tujuan agar lebih mudah dipahami oleh siswa. uku ini juga menyajikan contoh-contoh yang aplikatif dari materi tiap bab dalam kehidupan. Hal ini bertujuan agar siswa mampu mengeksplorasi suatu persoalan (problem solving) dan mengajak siswa untuk mengembangkan kompetensi matematika melalui penalaran, pembuktian, melakukan komunikasi, serta memilih simbol atau lambang yang tepat untuk menyampaikan gagasan melalui bahasa matematika. dapun komponen dari setiap bab pada buku ini adalah sebagai berikut. Halaman Pembuka ab Halaman pembuka bab berisi judul bab dan tujuan pembelajaran agar siswa mengetahui dan lebih fokus dalam mempelajari materimateri yang ada dalam bab tersebut. Selain itu, pada halaman ini juga disajikan pengantar awal bab yang menceritakan salah satu aplikasi dari materi yang akan dipelajari. Uji Kompetensi wal ab Uji kompetensi awal bab disajikan dengan tujuan untuk mengingatkan siswa pada materi sebelumnya. Ini merupakan prasyarat yang harus dimiliki oleh siswa. Soal-soal yang disajikan akan mengingatkan siswa tentang topik yang terdahulu sebagai pengantar untuk mempelajari materi yang akan dibahas. Uraian Materi Uraian materi disampaikan dengan bahasa lugas, mudah dipahami dan disertai dengan gambar-gambar untuk memperjelas materi yang sedang dijelaskan. Melalui gambar, diharapkan dapat membantu siswa dalam memahami materi yang sedang dijelaskan. Materi juga disajikan melalui pertanyaan-pertanyaan ataupun kegiatan (tugas) yang bertujuan agar siswa memahami konsep materi yang diajarkan melalui proses mengamati, menyelidiki (mencari) dan menemukan sendiri konsep materi tersebut. ontoh Soal Pada bagian ini, siswa akan diajarkan dan dilatih untuk mahir menggunakan konsep yang telah didapat di dalam uraian materi. Melalui tahap ini, siswa juga dipacu untuk dapat menemukan suatu strategi atau trik untuk menyelesaikan soal-soal yang sulit. Latihan dan Soal-Soal Kontekstual agian ini berfungsi untuk mengetahui sejauh mana pemahaman siswa terhadap materi yang telah disajikan dan mengukur kemahiran siswa untuk dapat memecahkan suatu persoalan atau masalah dalam kehidupan. Math Quiz Kolom ini bertujuan untuk memperkaya pengetahuan siswa dan juga sebagai ajang diskusi. Untuk iingat Kolom ini disajikan untuk menambah wawasan atau informasi tambahan yang berhubungan dengan materi yang sedang dibahas. Kegiatan Kolom ini disajikan dalam bentuk tugas mandiri atau berkelompok. Tugas-tugas yang diberikan bertujuan untuk memperkuat pemahaman siswa terhadap materi tiap bab. Rangkuman Rangkuman disajikan di setiap akhir bab berupa ringkasan materi pada bab yang bersangkutan. Hal ini untuk melatih siswa bagaimana cara menyarikan materi-materi penting pada bab yang bersangkutan. Uji Kompetensi Uji kompetensi berupa soal-soal yang bervariasi jenis dan tingkat kesulitannya yang disajikan di setiap akhir bab. agian ini disajikan dengan tujuan melatih siswa untuk mengingat kembali pemahaman konsep secara menyeluruh yang telah diajarkan dengan mengerjakan setiap soal-soal yang diberikan. v

7 aftar Isi Kata Sambutan... Prakata... Petunjuk Penggunaan uku... aftar Isi... iii iv v vi ab Faktorisasi Suku ljabar. Operasi Hitung entuk ljabar.... Pemfaktoran entuk ljabar.... Operasi Pecahan entuk ljabar plikasi Faktorisasi Suku ljabar dalam Kehidupan... Uji Kompetensi ab... 7 ab Relasi dan Fungsi. Relasi Fungsi.... Nilai Fungsi plikasi Konsep Fungsi dalam Kehidupan... 9 Uji Kompetensi ab... 5 ab Persamaan Garis Lurus. Sifat-Sifat Persamaan Garis Lurus Persamaan Garis dan Koordinat Titik Potong ua Garis plikasi Persamaan Garis Lurus dalam Kehidupan... 7 Uji Kompetensi ab ab Sistem Persamaan Linear ua Variabel. entuk-entuk Sistem Persamaan Linear ua Variabel Penyelesaian Sistem Persamaan Linear ua Variabel plikasi Sistem Persamaan Linear ua Variabel dalam Kehidupan Uji Kompetensi ab... 9 ab 5 alil Pythagoras. Menjelaskan dan Menentukan alil Pythagoras ara Menggunakan alil Pythagoras plikasi alil Pythagoras dalam Kehidupan.... Rumus Jarak (Materi Pengayaan)... Uji Kompetensi ab Latihan Ulangan Umum Semester... 9 vi

8 ab 6 Lingkaran. Lingkaran dan agian-agiannya.... esaran-esaran pada Lingkaran plikasi Konsep Lingkaran dalam Kehidupan... 0 Uji Kompetensi ab 6... ab 7 Garis Singgung Lingkaran. Sifat-Sifat Garis Singgung Lingkaran Panjang Garis Singgung plikasi Garis Singgung dalam Kehidupan Lingkaran alam dan Lingkaran Luar Segitiga Uji Kompetensi ab ab 8 Kubus dan alok. agian-agian Kubus dan alok ara Melukis Kubus dan alok Jaring-Jaring Kubus dan alok Luas Permukaan Kubus dan alok Volume Kubus dan alok... 8 F. plikasi Kubus dan alok dalam Kehidupan Uji Kompetensi ab ab 9 Limas dan Prisma Tegak. agian-agian Limas dan Prisma Tegak esaran-esaran pada Limas dan Prisma Tegak plikasi Limas dan Prisma Tegak dalam Kehidupan Uji Kompetensi ab 9... Latihan Ulangan Umum Semester... aftar Pustaka... 8 Glosarium... 9 aftar Simbol dan Notasi... 0 Kunci Jawaban... Indeks... 5 vii

9

10 Faktorisasi Suku ljabar Sumber: Ilmu Pengetahuan Populer Tujuan Pembelajaran Menyelesaikan operasi bentuk aljabar Menentukan faktorfaktor suku aljabar Menyelesaikan operasi pecahan bentuk aljabar. K etika di kelas VII kalian sudah mempelajari konsep aljabar penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis, serta perkalian dan pembagian suku-suku sejenis dan tidak sejenis. Masih ingatkah kalian dengan materi itu? Kalian harus memahami materi itu sebelum mempelajari bab ini. Pada pembahasan bab ini materi tersebut akan digunakan dan akan dikembangkan lagi sampai operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat untuk suku satu, suku dua, dan suku banyak. Penerapan konsep aljabar dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak, salah satunya di bidang kimia. Seorang ilmuwan kimia ingin memasukkan cairan alkohol dan asam cuka ke dalam tabung reaksi. Volume alkohol dan asam cuka yang dimasukkan ke dalam tiap tabung harus sama dan tidak ada cairan yang tersisa. Volume alkohol yang tersedia 60 cc dan asam cuka 0 liter. gar volume alkohol dan asam cuka yang dimasukkan ke dalam tiap tabung sama, dapatkah kalian menentukan jumlah tabung yang dibutuhkan? erapakah volume tiap cairan zat yang harus dimasukkan ke dalam tiap tabung agar volume alkohol dan asam cuka tiap tabung sama? pakah hal tersebut dapat dikerjakan dengan faktorisasi suku aljabar? ab Faktorisasi Suku ljabar

11 Uji Kompetensi wal Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.. Jabarkanlah a. (x + y) =... b. (x y) =.... Hitunglah a. a + a =.... Jabarkanlah b. 7b b =... a. (a + b) (a b) =... b. (a + b) (a + b) =... c. (a b) (a b) =.... Sederhanakanlah a. a + b + a + 7b =... b. 5ab a ab + 5a =... Operasi Hitung entuk ljabar i kelas VII kalian telah mempelajari operasi hitung bentuk aljabar. Masih ingatkah kalian syarat suatu suku dapat dijumlahkan atau dikurangkan? Untuk mengingat kembali, perhatikan penjelasan berikut. Istilah-Istilah dalam entuk ljabar i kelas VII kalian telah dikenalkan dengan penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar, misalnya 8x + xy +. entuk aljabar tersebut terdiri atas suku, yaitu 8x, xy, dan. Huruf x dan xy disebut peubah (variabel), sedangkan angka di depan peubah disebut koefisien. ngka yang tidak diikuti dengan peubah disebut konstanta (bilangan tetap). Pada bentuk xy, angka, x dan y dinamakan faktor. entuk 8x, xy, dan dinamakan suku. Suku-suku pada bentuk aljabar ada yang sejenis dan tidak sejenis. apatkah kalian menjelaskan perbedaan antara koefisien dan konstanta dalam bentuk aljabar? Suku-Suku Sejenis dan Tidak Sejenis entuk x dan 0,5x, ax dan ( a + )x, 7x dan x disebut suku-suku sejenis dalam x, sedangkan 7x dan 8y, x dan xy bukan suku-suku sejenis, biasa disebut suku-suku tak sejenis. Untuk lebih memahami istilah di atas, coba kalian perhatikan penjelasan tabel di bawah ini. No. a. b. c. d. e. Suku 8x, 6x, dan 9x y, y, dan 8y xy, 5x y, dan 6x y pq, 8xy, dan 5ab 6x y, xy z, dan xyz Sejenis/Tak Sejenis Sejenis Sejenis Tidak Sejenis Tidak Sejenis Tidak Sejenis Matematika SMP dan MTs Kelas VIII

12 Untuk iingat Pangkat Suatu nilai yang diletakkan di sebelah kanan atas suatu bilangan atau peubah, contoh: x n, dibaca x pangkat n dan mempunyai arti, x dikalikan dengan dirinya sendiri sampai n kali. Pada (a) suku-sukunya sejenis karena peubahnya sama. Pada (b) suku-sukunya sejenis karena peubah dan pangkat peubahnya sama. Pada (c) suku-sukunya tidak sejenis karena pangkat peubahnya berbeda. Pada (d) suku-sukunya tidak sejenis karena peubahnya berbeda. Pada (e) suku-sukunya tidak sejenis karena peubah dan pangkat peubahnya berbeda. pa yang dapat kalian simpulkan mengenai pengertian suku sejenis dalam suatu bentuk aljabar? uatlah definisinya dengan menggunakan kata-katamu sendiri. entuk aljabar yang mempunyai suku-suku yang tidak sejenis lebih dari satu disebut suku banyak atau polinomial. Misalnya x + y, 6 + x + x, dan 7a + 8b + c. Pada operasi bentuk aljabar juga dikenal suku banyak sebagai berikut. a. Suku dua atau binomial adalah suku banyak dengan dua suku, misalnya x + x, a + b; b. Suku tiga atau trinomial adalah suku banyak dengan tiga suku, misalnya x + x + 7, x + y + z. Penjumlahan dan Pengurangan entuk ljabar i kelas VII kalian telah belajar penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar. Masih ingatkah kalian cara mengerjakan penjumlahan x + x? oba kalian kerjakan sendiri dengan menggunakan sifat perkalian bilangan bulat yang telah kalian pelajari. agaimana hasil penjumlahannya? pakah hasilnya sama dengan cara berikut? x dapat diartikan x + x + x sehingga x + x = (x + x + x) + (x + x) = 5x. Selanjutnya untuk mempermudah penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar, ada beberapa sifat penting yang berlaku pada penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar. a. Sifat komutatif Jika a dan b merupakan bentuk aljabar maka berlaku sifat komutatif a + b = b + a. Selidikilah sifat tersebut dengan mengganti a = x dan b = x. b. Sifat asosiatif Jika a, b dan c merupakan bentuk aljabar maka berlaku sifat asosiatif a + (b + c) = (a + b) + c. Selidikilah dengan mengganti a = x, b = x, dan c = x. ab Faktorisasi Suku ljabar

13 c. Sifat distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan Jika a, b dan c merupakan bentuk aljabar maka berlaku: (i) sifat distributif penjumlahan, a (b + c) = ab + ac (ii) sifat distributif pengurangan, a (b c) = ab ac Selidikilah sifat di atas dengan mengganti a = x, b = x, dan c = x. d. Sifat lawan mati hal berikut dan ingat kembali sifat aturan tanda pada operasi perkalian bilangan bulat yang telah kalian pelajari di kelas VII. 8 = 6 sama dengan 8 + ( ) karena + ( ) = 8 0 = 8 sama dengan 8 + (0) karena... 8 ( ) = sama dengan... x y = sama dengan x + ( y) karena + ( y) = y oba kalian tebak dan jawab sendiri titik-titik di atas pada bukumu. andingkan dengan jawaban teman-temanmu. Hal apa yang dapat kalian simpulkan? pakah sama dengan kesimpulan berikut? Mengurangkan b dari a sama dengan menjumlahkan a dengan lawan dari b, ditulis a b = a + ( b). Selanjutnya coba kalian perhatikan bentuk aljabar di bawah ini. x + y + 6z + 8x + y 9z entuk aljabar yang kompleks seperti di atas dapat disederhanakan dengan mengelompokkan suku-suku yang sejenis. x + y + 6z + 8x + y 9z = (x + 8x) + (y + y) + (6z 9z) = x + 5y z Selain dengan mengelompokkan suku-suku sejenis, penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis dari bentuk aljabar dapat pula dipermudah dengan cara mengelompokkan dan menyusun ke bawah. ontoh SOL. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar di bawah ini. a. x y + 8x b. xy + 8az + z y Penyelesaian: Sifat komutatif a. x y + 8x = x + 8x y Sifat distributif = ( + 8)x y = x y Matematika SMP dan MTs Kelas VIII

14 b. xy + 8az + z y = xy y + 8az + z = (x )y + (8a + )z. Kurangkan 6a + 8b c dengan a b + c dengan cara: a. mengelompokkan b. menyusun ke bawah Penyelesaian: a. mengelompokkan (6a + 8b c) (a b + c) = 6a + 8b c a + b c = (6a a) + (8b + b) + ( c c) = (6 )a + (8 + )b + ( )c = a + b + ( 5)c Sifat lawan = a + b 5c b. menyusun ke bawah 6a + 8b c a b + c a + b 5c ari uraian materi dan contoh soal di atas, apa yang dapat kalian simpulkan mengenai syarat suatu suku dapat dijumlahkan atau dikurangkan? LTIHN. Tentukan nama suku dan koefisien a dari suku-suku banyak di bawah ini. a. 6a 6 b. a a a + 7 c. 5a 6x + 7 d. a a e. 6a + a f. 7xy xa. Tentukan penjumlahan suku banyak berikut. a. a + b dan a + b + 6 b. x y + 8 dan 5y + 6x c. 7xy y z dan x 5y 6z d.6ax 7ay + 0by dan 7ax + 8ay 0by. Sederhanakanlah. a. (a + b c) + (a b + c) + (7a + b c) b. (x y) + (x + z) c. (x y ) (x 7y ) d. (x y + 6z) (8x y + z) (x 6y z) Perkalian entuk ljabar a. Perkalian suatu ilangan dengan Suku ua Sebelum kalian memahami perkalian suatu bilangan dengan suku dua, ada beberapa aturan tanda pada operasi perkalian bilangan bulat. turan tersebut adalah sebagai berikut. (+) (+) = + ( ) (+) = (+) ( ) = ( ) ( ) = + ab Faktorisasi Suku ljabar 5

15 Perkalian suatu bilangan dengan suku dua dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan. Untuk menunjukkan sifat distributif perkalian tersebut, coba kalian perhatikan penjelasan Gambar.. S T R S TT R k k ka kb k P a U b Q P a U U b Q Gambar. PQRS a + b L PQRS = k(a + b) L PQRS = L PUTS + L UQRT = ka + kb ari uraian di atas kita dapat menyimpulkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan seperti berikut. Jika k R, (a + b) adalah suku dua, maka k(a + b) = ka + kb (sifat distributif terhadap penjumlahan) engan perumpamaan yang serupa, cobalah kamu buktikan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan. Jika kamu benar maka kamu akan mendapati hubungan seperti berikut. Jika k R, (a b) adalah suku dua maka k(a b) = ka kb (sifat distributif terhadap pengurangan) ontoh SOL k(a + b) = ka + kb Selesaikanlah perkalian di bawah ini. a. (x + y) b. (x y) c. x(x y + z) Penyelesaian: Untuk mempermudah menyelesaikan soal-soal di atas, gunakanlah sifat distributif dan cara skema berikut ini. a. (x + y) = (x + y) = x + y Sifat distributif c. (x y) = (x y) = (x) ( y) = 6x + 9y aturan tanda d. x(x y + z) = x(x y + z) = x(x) x( y) x(z) = 6x + 8xy xz s s s 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VIII

16 b. Perkalian Suku ua dengan Suku ua Untuk mengetahui sifat distributif untuk perkalian suku dua perhatikan penjelasan berikut. S R S c R a + b a a L L b c d b P Q P c + d Gambar. PQRS L L c d Q L PQRS = (a + b)(c + d) L PQRS = L + L + L + L = ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) Sifat-sifat distributif dapat digunakan untuk menjabarkan perkalian suku dua, yakni sebagai berikut. (a + b) (a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a + ab + ba + b = a + ab + b (a + b) (a b) = a(a b) + b(a b) = a ab + ba b = a b (a b) (a b) = a(a b) b(a b) = a ab ba + b = a ab + b Math Quiz entuk penjabaran perkalian suku dua dengan suku tiga atau lebih, dapat juga dilakukan dengan sifat distributif. oba diskusikan dengan temanmu. agaimana bentuk penjabaran perkaliannya? ontoh SOL engan menggunakan sifat distributif dan skema, jabarkanlah perkalian suku dua di bawah ini. a. (a + 6) (a b) c. ( x) (x 8) b. (a + ) (a + 7) Penyelesaian: Menggunakan sifat distributif a. (a + 6) (a 6) = a(a 6) + 6(a 6) = 6a 8a + a 6 = 6a 6a 6 b. (a + ) (a + 7) = a(a + 7) + (a + 7) = a + a + a + = a + 7a + c. ( x) (x 8) = (x 8) x(x 8) = x 8x + 6x = 8x + 8x ab Faktorisasi Suku ljabar 7

17 LTIHN. Uraikanlah perkalian berikut. a. 6(a + b) d. b ( a b) b. 5(a + b) e. 6a(a b + c) c. 7a(a b) f. c (a b ). Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabar berikut. a. ( a + 7b) (a + b) b. 6(a + a b 7ab) a(5a b + 5ab) c. (ab + b c) (c b + 6a) d. b (a b c) 5a (a b c). Jika = a + b + c = a b c, dan = a b c hitunglah: a. + d. + b. + e. 5 + c. f. +. Nyatakan bentuk perkalian dua suku berikut menjadi bentuk penjumlahan. a. (a + ) (a + ) b. (a + b) (a b) c. (a b) (a b) d. (y ) (y + 5) e. (x + ) (x ) 5 Pemangkatan Suku a. Pemangkatan Suku Pangkat atau eksponen adalah perkalian berulang, misalnya: =. Untuk pemangkatan suku juga dilakukan hal yang sama, misalnya: a = a a a dan (a + ) = (a + ) (a + ) = a + a +. a adalah contoh pemangkatan suku satu (a + ) adalah contoh pemangkatan suku dua ontoh SOL Tentukan: a. (8a) c. (a + b) b. ( 9ab) d. (a 5b) Penyelesaian: a. (8a) = 8a 8a = 6a b. ( 9ab) = ( 9ab) ( 9ab) = 8a b c. (a + b) = (a) + (a) (b) + (b) = a + ab + 9b d. (a 5b) = (a) + (a) ( 5b) + ( 5b) = a 0ab + 5b b. Pemangkatan Suku ua Kalian telah mengetahui pemangkatan suku satu dan suku dua sederhana. Sekarang, kalian diminta untuk menjabarkan pemangkatan suku dua dengan bentuk (a + b) untuk pangkat yang lebih dari dua. Kerjakan penjabarannya itu sendiri dan bandingkan hasilnya dengan teman-temanmu. pakah hasilnya sama seperti di bawah ini. 8 Matematika SMP dan MTs Kelas VIII

18 (a + b) = a + a b + ab + b (a + b) = a + a b + 6a b + ab + b oba kalian amati pola bilangan yang terbentuk dari koefisien variabel-variabel hasil pemangkatan di atas, yaitu,,, dan,, 6,,. apatkah kalian menemukan cara yang mudah untuk menentukan koefisien variabel-variabel hasil pemangkatan dengan mengamati pola bilangan yang terbentuk? pakah cara yang kalian dapatkan sama dengan cara yang ditemukan oleh laise Pascal (6 66) pada uraian berikut? Pemangkatan suku dua (a + b) 0 (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) 5 Pola dasar segitiga Pascal ontoh SOL Tentukan hasil pemangkatan berikut ini. a. (a + b) b. (a b) c. (a b) Penyelesaian: a. (a + b) = (a) + (a)(b) + (b) = a + ab + b b. (a b) = (a + ( b)) = a + (a)( b) + ( b) = a ab + b c. (a b) = (a + ( b)) = a + (a )( b) + (a)( b) + ( b) = a a b + (a)(b ) + ( b ) = a a b + ab b Setelah memerhatikan contoh soal di atas, jelaskan perbedaan pemangkatan suku dua (a + b) dengan suku dua bentuk yang lain. LTIHN. Tentukanlah pemangkatan bentuk aljabar berikut. a. (a) d. (p ) b. ( 6a b) e. ( x y ) c. ( 9x ) f. (5 st ). Selesaikanlah pemangkatan bentuk aljabar berikut. a. (x x) d. (p q) 5 b. (y x) e. (7a+ b) c. (x y) f. (p 6) 6 ab Faktorisasi Suku ljabar 9

19 Pembagian suku-suku sejenis dan tidak sejenis pada pembagian bentuk aljabar memiliki aturan yang sama dengan operasi pembagian bilangan bulat. Pembagian pada bentuk aljabar akan lebih mudah dilakukan dengan mencari faktor-faktor persekutuan dari suku yang dibagi dan suku pembaginya. 9ay a = a y a (faktor persekutuan 9ay dan a adalah a) = y erikut ini sifat-sifat yang berlaku pada pembagian bentuk aljabar. Untuk a dan b bilangan bulat positif berlaku: a. 6 Pembagian Suku Sejenis dan Suku tidak Sejenis a a x y = a x y dan a x a y = a x + y b. a x : a = y ax a y = a x + y c. sifat distributif pemangkatan terhadap pembagian x a b = a x x k dan a x b k = a kx kx b b ontoh SOL Sederhanakanlah bentuk aljabar berikut. a. b. c. d. 5a ab ( ) ( ) a + b a + b a a b (Pembagian suku tak sejenis) (Pembagian suku sejenis) : a (Pembagian suku sejenis) (Pembagian suku tak sejenis) Penyelesaian: a. b. c. d. 5a ab = 5 a b ( ) ( ) = a + b a + b a : a = a a b a = ( ) b = 5 a b a = = 8 a b a LTIHN. Sederhanakanlah bentuk aljabar berikut. xy x a. c. x 8x e. ( a b) ( b + a) g. a ( b) ( ab) b. 5abc ac d. kl k l f. abc ab ab h. 9a ( b) b 0 Matematika SMP dan MTs Kelas VIII

20 . Tentukanlah bentuk paling sederhana dari pembagian berikut. a. a b : ab b. 0x y : ( 5x) c. (k l k) : ( kl) d. 6x y z : (xyz z) e. 8r st : Pemfaktoran entuk ljabar Pada subbab sebelumnya, kita telah mempelajari perkalian suku dua dengan menggunakan sifat distributif yang menghasilkan bentuk penjumlahan, yaitu k(a + b) = ka + kb. Jika bentuk penjumlahan ka + kb diubah ke bentuk perkalian k(a + b) dengan memisahkan faktor persekutuan (faktor yang sama), berarti kita telah melakukan pemfaktoran (faktorisasi) bentuk ka + kb menjadi faktor-faktornya, yaitu k dan (a + b). Pemfaktoran dalam bentuk aljabar adalah mengubah bentuk penjumlahan suku-suku menjadi perkalian faktor-faktornya. Pemfaktoran entuk ax + ay dan ax ay ontoh SOL Pemfaktoran bentuk ax + ay dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, sedangkan bentuk ax ay dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif terhadap pengurangan. Sukusuku yang memiliki faktor yang sama dapat difaktorkan dengan menggunakan sifat distributif sebagai berikut. ax + ay = a(x + y) ax ay = a(x y) Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar di bawah ini. a. ax + ay b. ax + bx + ay + by c. 8a b + ab d. x y + 6x y 0xy Penyelesaian: a. ax + ay = a(x + y) (Gunakan sifat distributif) b. ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b) (Gunakan sifat distributif) c. 8a b + ab = ab(8ab) + (ab) () = ab(8ab + ) (Pisahkan faktor yang sama) d. x y + 6x y 0xy = (xy)x + (xy) xy (xy)5y = (xy)(x + xy 5y) (Pisahkan faktor yang sama) ab Faktorisasi Suku ljabar

21 Pemfaktoran entuk x + xy + y dan x xy + y Pemfaktoran bentuk x + xy + y dan x xy + y akan menghasilkan suatu bentuk kuadrat. ara pemfaktoran dari bentuk-bentuk di atas dapat kalian pahami pada uraian berikut ini. x + xy + y = x + xy + xy + y = x(x + y) + y(x + y) x xy + y = x xy xy + y = x(x y) xy + y = (x + y)(x + y) = (x + y) ari uraian di atas, diperoleh rumus pemfaktoran bentuk kuadrat sempurna. x + xy + y = (x + y) x xy + y = (x y) = x(x y) y(x y) = (x y)(x y) = (x y) ontoh SOL engan menggunakan rumus bentuk pemfaktoran di atas, faktorkanlah bentuk aljabar di bawah ini. a. x + 6x + 9 c. x x + b. x x + d. 9a + a + Penyelesaian: a. x + 6x + 9 = x + (x) + = (x + ) b. x x + = (x) (x) + = (x) (x)() + = (x ) c. x x + = x (x) + () = (x ) d. 9a + a + = (a) + (a)() + () = (a + ) Pemfaktoran entuk Selisih ua Kuadrat entuk (x y ) ini sering disebut selisih dua kuadrat. Hasil pemfaktoran dari bentuk selisih dua kuadrat dapat dinyatakan sebagai perkalian dua faktor sebagai berikut. x y =x xy + xy y =x(x y) + y(x y) = (x + y)(x y) ari uraian di atas diperoleh rumus pemfaktoran bentuk x y sebagai berikut. x y = (x + y)(x y) Math Quiz agaimanakah pemfaktoran dari bentuk berikut? a. ab ac b. ax by + ay bx iskusikanlah dengan temanmu, apakah hasil pemfaktorannya sama bentuknya dengan hasil pemfaktoran selisih dua kuadrat? Matematika SMP dan MTs Kelas VIII

22 ontoh SOL engan menggunakan rumus bentuk pemfaktoran di atas, faktorkanlah bentuk aljabar di bawah ini. a. x 6 c. x y b. a 7ab Penyelesaian: a. x 6 = x 6 = (x 6) (x + 6) b. a 7ab = a(a 9b ) = a(a (b) ) = a(a + b)(a b) c. x y =(x ) (y ) = (x + y )(x y ) = (x + y )(x + y)(x y) LTIHN 5. Faktorkanlah. a. 00ab 5ac d. 6x w + 8xw b. 5ab 0ab e. p(x + y) r(x + y) c. 9xy + 5x f. 5ab 0b 5bc. Faktorkanlah. a. ac + bc + ad + bd b. pr + ps + qr + qs c. x y xz + yz d. ac ad + bc 6bd. Faktorkanlah. a. (a + b) b. (x y) 5 c. x + y a xy d. (x + y) (x + 9). Faktorkanlah. a. x + 6x + 9 b. x 0x + 5 c. x + xy + y d. 5x + 0xy + y e. x x + f. a + a + a g. a ab + b h. a x + axc + c 5. Faktorkanlah. a. p 6 e. x 50y b. 5 a b 6 f. a b c. x 9 g. a b ab d. 8x 6b h. p Pemfaktoran entuk x + px + q Untuk mengetahui cara memfaktorkan bentuk x + px + q, coba kalian amati perkalian berikut. (x + 8)(x + 5) = x(x + 5) + 8(x + 5) s s = x + 5x + 8x + 0 = x + x + 0 t t t oba kalian amati proses pemfaktoran dari salah satu contoh bentuk x + px + q, yaitu x + x + 0 menjadi perkalian faktor-faktornya di ruas kiri. engan kalimat dan kata-katamu sendiri, tuliskan secara jelas cara pemfaktoran dari bentuk x + px + q dengan membalik tahapan perkalian di atas. andingkan cara kalian dengan teman-teman yang lain dan bandingkan pula dengan cara pada uraian berikut. t ab Faktorisasi Suku ljabar

23 Misalkan a, b R dengan p = a + b dan q = a b maka x + px + q = x + (a + b) x + a b = x + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + a) (x + b) ari uraian di atas, diperoleh rumus pemfaktoran bentuk x + px + q sebagai berikut. x + px + q = (x + a)(x + b) dengan syarat p = a + b dan q = ab Ini berarti untuk memfaktorkan bentuk x + px + q dapat dilakukan dengan mencari dua bilangan yang merupakan faktor-faktor dari q, tetapi jumlah dari kedua bilangan tersebut harus sama dengan p. ontoh SOL Faktorkanlah. a. x + 6x + 8 b. x x Penyelesaian: a. a + b = 6 a = a b = 8 b = x + 6x + 8 = (x + a) (x + b) = (x + ) (x + ) atau dapat diselesaikan dengan cara x + 6x + 8 = x + (x + x) + 8 = (x + x) + (x + 8) = x(x + ) + (x + ) = (x + ) (x + ) Untuk iingat Faktor Suatu bilangan yang membagi habis bilangan lain maka bilangan yang membagi adalah faktor dari bilangan yang dibagi. ontoh: 6 : = dan 6 : = maka dan adalah faktor dari 6 b. a + b = a = a b = b = x x = (x + ) (x ) atau dapat diselesaikan dengan cara x x = x + (x x) = (x + x) (x + ) = x(x + ) (x + ) = (x )(x + ) 5 Pemfaktoran entuk px + qx + r Untuk mengetahui cara pemfaktoran bentuk px + qx + r, coba kalian amati perkalian berikut. (x + )(x + ) = x(x + ) + (x + ) =8x + 6x + 6x + 8 =8x8x + x + t = 8 t oba kalian amati proses pemfaktoran dari salah satu contoh bentuk px + qx + r, yaitu 8x + x + menjadi perkalian faktor-faktornya di ruas kiri. Matematika SMP dan MTs Kelas VIII

24 ontoh SOL engan kalimat dan kata-katamu sendiri, tuliskan secara jelas pemfaktoran bentuk px + qx + r dengan membalik tahapan perkalian di atas. andingkan cara kalian dengan teman-teman yang lain dan bandingkan pula dengan cara pada uraian berikut. Misalkan a, b, c, d R dan berlaku hubungan p = ac, q = ad + bc dan r = bd maka px + qx + r = acx + (ad + bc)x + bd =acx + adx + bcx + bd =ax(cx + d) + b(cx + d) = (ax + b) (cx + d) ari uraian di atas diperoleh rumus pemfaktoran bentuk px + qx + r sebagai berikut. px + qx + r = (ax + b) (cx + d) dengan syarat p = ac, q = ad + bc dan r = bd ila pr = ac(bd) = ad(bc), di sini terlihat bahwa ad dan bc merupakan faktor-faktor dari pr dan jika ad dan bc dijumlahkan akan menghasilkan q (koefisien x). Ini berarti untuk memfaktorkan bentuk px + qx + r dapat dilakukan dengan cara mencari dua bilangan yang merupakan faktor-faktor dari pr, tetapi jumlah dari kedua bilangan tersebut harus sama dengan q. Faktorkanlah. a. 6x x + 6 b. x + 7x + 5 Penyelesaian: a. erdasarkan konsep di atas, jika (ax + b) dan (cx + d) adalah faktor dari 6x x + 6, maka harus berlaku bahwa ad bc = p r = (6) (6) = 6 dan ad + bc = q =. Selanjutnya kita harus menentukan nilai-nilai dari ad dan bc yang merupakan faktor dari pr dan jumlahnya sama dengan q, yaitu: ad = () ( ) = 9 bc = ( ) () = ad bc = 6 dan ad + bc = 9 + ( ) = ari uraian di atas, diperoleh nilai-nilai yang memenuhi a =, b =, c =, dan d =. Jadi, 6x x + 6 = (ax + b) (cx + d) = (x ) (x ). b. x + 7x + 5 ua bilangan yang merupakan faktor pr = ()(5) = 0 dan jumlahnya sama dengan q = 7, yaitu: ad = () () = bc = (5) () = 5 ad. bc = 0 dan ad + bc = + 5 = 7 maka nilai-nilai yang memenuhi a =, b = 5, c =, dan d = Jadi, x + 7x + 5 = (x + 5) (x + ). ab Faktorisasi Suku ljabar 5

25 LTIHN 6 Faktorkanlah. a. x + 7x + 0 b. c c 0 c. a + ab b d. x xy 8y e. a ab + 60b f. a ab 60b g. x + 8x + h. 5x x i. a + 8a 5 j. a 7ab b k. 6x + 7x + l. y y Penyederhanaan Pembagian Suku entuk aljabar a dapat disederhanakan menjadi, demikian a juga dengan bentuk ( a + ) dapat disederhanakan menjadi. ( a + ) entuk a a dan ( a + ) dapat disederhanakan karena mempunyai faktor-faktor yang sama. Sering kali bentuk-bentuk ( a + ) aljabar tersebut tidak mempunyai faktor yang sama, sehingga tidak dapat disederhanakan atau dibagi. iasanya bentukbentuk yang tidak dapat dibagi atau disederhanakan tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu. Sederhanakanlah a. b. ontoh SOL x x x x x 9 Penyelesaian: a. b. x x = ( x )( x + ) = x + x x x x 9 = ( x )( x + ) = x + x LTIHN 7. Sederhanakanlah. a. b. c. a a 7abc ab ( x ) x. Sederhanakanlah. a. a + b a + b d. e. f. 5ax bx x b( e + f) de ( + f) 5( a b) 0( ac bc) b. c. d. e. f. a + b + c a + b + c a + b + da + db ( a + b) a b + ca cb ac bc 6a + ab + d + db a + 6ab a b ( cb ac) ac bc 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VIII

26 . Tentukan bentuk paling sederhana dari bentuk aljabar berikut. a. x x b. x x 6 x + c. d. 6x x 9x x x + x e. f. x + x + 9 x + x 6x x 8x x LTIHN 8. engan menggunakan bentuk a b = (a + b) (a b), hitunglah: a. 0 9 c. 6 7 b d engan menggunakan bentuk (a + b) = a + b + ab, hitunglah: 7 Pemangkatan Konstanta dan Suku entuk pemangkatan konstanta dasarnya adalah pemangkatan bilangan atau angka, misalnya 9,, 0 99 dan lainnya. Untuk bentuk-bentuk tertentu pada pemangkatan konstanta dapat digunakan kaidah atau aturan dari pemangkatan suku dan juga pemfaktoran, yaitu sebagai berikut. a b = (a + b) (a b) (a + b)(a + b) =a + b + ab (a + b)(a b) = a + b ab Misalnya: a = (0 + 99) (0 99) = 00 = 00 b. = (0 + ) = = = c. 9 = (0 ) = = = 6 a. c. b. 5 d. 8. engan menggunakan bentuk (a b) = a + b ab, hitunglah: a. 9 c. 8 b. 8 d. 8 Operasi Pecahan entuk ljabar Pada subbab sebelumnya telah dipelajari operasi bentuk aljabar. Pada pembahasan kali ini akan dipelajari operasi pecahan bentuk aljabar. Pada prinsipnya operasi pecahan bentuk aljabar sama seperti operasi pecahan biasa. Untuk mengetahui lebih jelas operasi pecahan bentuk aljabar, perhatikan penjelasan berikut. ab Faktorisasi Suku ljabar 7

27 Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan entuk ljabar Prinsip suatu penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar sama dengan penjumlahan dan pengurangan pecahan pada bilangan bulat, yaitu dengan menyamakan penyebut dari masing-masing pecahan tersebut. Untuk a, b, c, d R maka secara umum bentuk penjumlahan atau pengurangan pecahan bentuk aljabar dapat ditulis sebagai berikut. a c + b c = a a c b c = a + c c b, c 0 dan a c + b d b, c 0 dan a c b d ad + bc =, c 0, d 0 cd = ad bc cd, c 0, d 0 pa syarat dua pecahan bentuk aljabar dapat dijumlahkan dan dikurangkan? ontoh SOL Selesaikanlah. x x a. + b. 5 + ( x + ) ( x ) Penyelesaian: a. x x x x x + x 5x + = + = = b. 5 + ( x + ) ( x ) = 5 ( x + ) ( x + ) ( x ) + ( x + ) ( x + ) ( x ) = 5 ( x ) + ( x + ) ( x + ) ( x ) = 5x 5 + x + 6 ( x + ) ( x ) = 7x 9 ( x + ) ( x ) LTIHN 9. Sederhanakanlah. a. b. x x x + + x x 5x + + c x 5 d. a b c + a + b a + b a + b e. a b 5b a b + 5b + 5b 5b 8 Matematika SMP dan MTs Kelas VIII

28 . Sederhanakanlah. a. b. c. + x y x + y a ab a b + x 9 ( x ) d. e. f. x x x x x 8 x + 5x + 6 a 5a + a a + Perkalian dan Pembagian Pecahan entuk ljabar a. Perkalian Pecahan Hasil kali pecahan bentuk aljabar akan menghasilkan sebuah pecahan yang pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan pecahan yang diberikan. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk a, b, p, q R berlaku a p b q = ab pq ; p, q 0 ontoh SOL Selesaikanlah: Penyelesaian: a. a 7a a. 8 = a 7a a b. x 6y y x + b. x 6y y = x + ( x + ) ( x ) 6y ( x ) = y y ( x + ) b. Pembagian Pecahan Membagi suatu bilangan dengan pecahan akan memberikan hasil yang sama jika bilangan itu dikalikan dengan kebalikan dari pecahan. Hasil bagi pecahan bentuk aljabar akan menghasilkan sebuah pecahan yang dibagi dikalikan dengan kebalikan dari pecahan pembagi yang diberikan. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut. Untuk a, b, p, dan q R berlaku: a p : b q = a p q b = aq ; p, b 0 pb dengan a p pecahan yang dibagi dan b q pecahan pembagi. ab Faktorisasi Suku ljabar 9

29 obalah kalian buktikan dan selidiki bahwa membagi suatu bilangan dengan pecahan hasilnya akan sama dengan mengalikan bilangan itu dengan kebalikan dari bilangan pecahannya. ontoh SOL Selesaikanlah pembagian pecahan berikut. a. ( a + b) ( a + b) : c d b. b b : c + c Penyelesaian: a. ( a + b) ( a + b) ( a + b) : = c d c d ( a + b) = d c b. b b : c + c b = c + c b = b ( c + ) ( c + )( c ) bc ( ) = b LTIHN 0. Selesaikanlah bentuk berikut ini. a. ( r + s) sr ( + s) b. uu ( + r) ( u + r) : r r c. x : y d. e. r s : t x x + x 6y r s rs rt t y y f. a + b c a c a g. ab ab : c 6c x y 5x + 5y + d b. Sederhanakanlah. a. b. xyz 6xyz 9( x ) 8( y ) c. ( + d)( d) d( d) d. e. f. ( x ) x x x xy xz xy 6xy xy 9xy Pemangkatan pada Pecahan entuk ljabar Pemangkatan merupakan salah satu operasi hitung pada bilangan. Operasi pangkat dapat digunakan pada bentuk aljabar, demikian juga pada pecahan bentuk aljabar, seperti yang dapat kalian pahami pada contoh berikut. 0 Matematika SMP dan MTs Kelas VIII

30 ontoh SOL Selesaikanlah. Penyelesaian: a. a c c. a d + c a. a c = a c. c d a + c = d ( a + c) b. ab c d. a c a + c b. ab c = ab d. a c c a + c = ( a c ) ( a + c) LTIHN. Jabarkanlah a. a b b. a a c. a d. a + + b a e. f. g. h. a + ac ab ac + abc bc a + ac ab ac + abc bc. Selesaikanlah perpangkatan pada pecahan aljabar berikut. a. a e. a b 0 5a b. a a f. c. 6a b g. ax 6bx d. a + h. a x x x x + x 6 + 5x x 6 + 5x a a 0 Sederhanakanlah. a. ontoh SOL 6 ( x + ) xy + x y b. 8 Gabungan Operasi Hitung pada Pecahan entuk ljabar Gabungan operasi hitung pada pecahan bentuk aljabar adalah penggunaan operasi hitung tambah, kali, bagi dan pangkat secara bersamaan pada pecahan bentuk aljabar. Gabungan operasi hitung pada bentuk aljabar urutan pengerjaannya sesuai dengan pengerjaan pada operasi hitung bilangan bulat. Operasi hitung yang berada di dalam kurung dikerjakan terlebih dahulu kemudian operasi pangkat. Selanjutnya, perkalian atau pembagian dan terakhir operasi penjumlahan atau pengurangan. gar kalian mengerti, coba amati contoh berikut. y x 5y : x 6x + y x ab Faktorisasi Suku ljabar

31 Penyelesaian: a. 6 ( x + ) xy + x y 8 = 6( y ) ( x + )( x) + xy xy xy 8 = 6y ( x + x) + xy xy xy 8 = ( y + x + x) y 8 = y + x + x y b. 5 y x y 6x x 5y : + = + x 6x y x x y y x 6x 5 = + y 9xy = ( ) + + = 6x 9x 9xy 5 9xy 5x 5 9xy K GIT N Kerjakan bersama kelompok belajarmu. arilah soal kontekstual yang berhubungan dengan gabungan operasi hitung pecahan bentuk aljabar dari sumber-sumber lain, seperti buku di perpustakaan maupun internet. Kerjakan soal tersebut dan laporkan hasilnya pada gurumu. LTIHN Sederhanakanlah. a. a b c x : f. d y x 5 x + b. x a g. x x 5xy + y x + xy y : x xy y x + 6xy + 9y c. 6ab a 0a : h. 5bc c c x xy + xy y : xy x + y xy d. 5mn n : n 6 i. a a a + 5a + 6 a a 7a + 5a + e. y x + x 9 y x x y j. ab x + b bc bx b c a + b ( ) Matematika SMP dan MTs Kelas VIII

32 Gambar. uah jambu dan bagian-bagiannya. 5 Penyederhanaan Pecahan dalam ljabar Pecahan aljabar adalah pecahan dengan pembilang dan penyebutnya adalah suku-suku banyak. Menyederhanakan suatu pecahan pada dasarnya adalah mengubah pecahan sedemikian sehingga pembilang dan penyebut tidak mempunyai faktor persekutuan terbesar (FP). Jika P adalah pembilang dan Q adalah penyebut suku banyak maka pecahan dalam bentuk aljabar ditulis: P Q, Q 0 Perhatikan pecahan bentuk aljabar di bawah ini. a. x 5y b. b b b b c. x x x + 5x + 6 Sebuah pecahan rasional dapat disederhanakan dengan membagi pecahan tersebut dengan faktor persekutuan terbesar (FP) dari pembilang dan penyebutnya. Misalkan P Q adalah pecahan rasional dengan Q 0 dan R adalah faktor persekutuan terbesar dari P dan Q maka secara umum bentuk penyederhanaannya dapat ditulis: P Q = P Q : : R R ontoh SOL Sederhanakanlah. a. b. a a a a 9 a a Penyelesaian: a. a a a = 9 = ( a ) ( a + ) ( a ) ( a + ) ( a + ) a ( a + ) ; b a a a = = = = = ( + a) + + a ()() a a 9 a + a + a a 9 a + a a + a a 9 ( + a) a ( + a)( a )( a + ) a ( )( ), a a a, a + ab Faktorisasi Suku ljabar

33 LTIHN. Sederhanakanlah.. Sederhanakanlah. a. b. c. a a a a + a + a + a 6 6a 9b 8a + 7b d. e. f. x p p x x 0 8p 9 p 5 m + m + m + 7 a. b. a + a a a + x x + x x c. d. + + a a a + a a a + b b a b a + b + a a + a a Penerapan faktorisasi suku aljabar banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari dan juga pada bidang ilmu lain, seperti contoh berikut. Joko dan Ucok mempunyai pita, yaitu pita hitam dan pita putih dengan panjang masing-masing pita 6 m dan 8 dm. Kedua pita itu akan dipotong menjadi potonganpotongan yang sama panjang dan banyaknya potongan tiap pita harus sama. Jika kedua pita itu dipotong habis tanpa sisa, berapakah panjang potongan terpanjang yang dapat dihasilkan? Penyelesaian: pita plikasi Faktorisasi Suku ljabar dalam Kehidupan s s hitam (x) = 6 m putih (y) = 8 dm Gambar. Orang sedang memotong sebuah pita Untuk mendapatkan potongan-potongan yang sama dari setiap pita tersebut tanpa ada pita yang tersisa, kalian harus menentukan panjang masing-masing pita yang akan dipotong. Untuk menjawabnya, kalian harus mencari FP dari panjang kedua pita tersebut. FP dari panjang kedua pita itu adalah. 6x : 8y : x = = y m dm Membagi panjang tiap pita dengan FP dari panjang kedua pita itu. gar didapat potongan yang sama dan tidak ada sisa potongan maka tiap pita harus dipotong menjadi potongan. Pita hitam dipotong setiap m dan pita putih dipotong setiap dm. Jadi, panjang potongan pita terpanjang yang dihasilkan adalah meter. Matematika SMP dan MTs Kelas VIII

34 . Seorang ilmuwan kimia diberi tugas untuk memasukkan cairan alkohol dan asam cuka ke dalam tabung reaksi. Volume alkohol yang dimasukkan ke dalam tiap tabung harus sama dan tidak ada cairan yang tersisa begitu juga dengan asam cuka. Volume alkohol yang tersedia 60 cc dan asam cuka 0 liter. a. erapa jumlah tabung yang dibutuhkan? b. erapakah volume tiap cairan zat yang harus dimasukkan ke dalam tiap tabung agar volume alkohol dan asam cuka pada tiap tabung sama?. Perhatikan gambar berikut ini. Gambar tersebut merupakan gambar sebuah taman yang panjangnya a dan lebarnya b. i tengah taman terdapat kolam yang diameternya r. Nyatakan luas taman di luar kolam dalam a, b, dan r.. Pada sebuah taman terdapat kolam dengan ukuran seperti pada gambar di bawah ini. Nyatakanlah luas taman di luar kolam dalam x. m x m x m r b m a Tugas Siswa Kerjakanlah tugas berikut secara berkelompok atau bersama teman sebangkumu. mbil seutas tali dengan panjang 9 meter, lalu potong menjadi bagian yang tidak sama. Jika potongan pertama dibuang separuhnya, potongan kedua dibuang sepertiganya, dan potongan ketiga dibuang seperempatnya, sisa potongan itu menjadi sama panjang. erapakah panjang potonganpotongan tali yang terbuang? apatkah kamu menjawab pertanyaan tersebut dengan menggunakan operasi bentuk aljabar? iskusikanlah dengan teman-temanmu. ab Faktorisasi Suku ljabar 5

35 . Penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis ax bx + cx = (a b + c)x. Penggunaan sifat distributif. Hasil kali suku dua k(a ± b) = ka ± kb a. (x + a)(x + b) = x + (a + b)x + ab b. (x ± a) = x ± ax + a c. (x + a)(x a) = x a. Pemfaktoran a. ax bx = (a b)x b. x + xy + y = (x + y) c. x + (b + c)x + bc = (x + b)(x + c) d. x y = (x + y)(x y) e. acx + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d) 5. Pecahan a. Penyederhanaan pecahan ab ac b = ; a, c 0 c b. Operasi pecahan () Penjumlahan a c + b c = a + c a c + b d = ad () Perkalian a p b ; c 0 + cd bc ; c, d 0 b ab = ; p, q 0 q pq () Pembagian a p RNGKUMN : b a q q = aq p b = pb ; p, b 0 () Perpangkatan a a ab ab c = dan = ; c 0 c c c 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VIII

36 Pilihan ganda. Koefisien x dari x + x + 5y adalah... a. c. 5 b. d. 6. Jumlah dari a b + 5c dengan a 5b + 7c adalah... a. 7a b + c c. 7a b + c b. 7a 7b + c d. 7a 7b c. Hasil pengurangan a + b c dari a b + c adalah... a. a + 5b c c. a 5b + c b. a 5b + c d. a b c. Hasil dari (a b + c) adalah... a. a 8b + c b. a + 8b + c c. a 8b c d. a + 8b c 5. Hasil dari (x + ) (x ) adalah... a. x x + 6 c. x + x + 6 b. x x 6 d. x + x 6 6. Hasil dari ( x) ( x) adalah... a. x 5x + 6 c. x 5x 6 b. x + 5x 6 d. x + 5x 6 7. Hasil dari (x + by) adalah... a. x + byx 9b y b. x byx 9b y c. x + 6byx + 9b y d. x 6byx + 9b y Uji Kompetensi ab erilah tanda silang ( ) pada huruf a, b, c, atau d pada jawaban yang benar. 8. Hasil dari (ax + by) adalah... a. a x + abyx + 9b y b. x + byx 9b y c. a x 6abyx + 9b y d. a x abyx + b y 9. Hasil dari (x ) (x + ) adalah... a. x x + c. x b. x + x + d. x + 0. Hasil dari (x 5y) ( x 5y) adalah... a. x 0xy + 5y b. x 5y c. 5y x d. x + 0xy + 5y. Pemfaktoran dari x x + x adalah... a. (x )(x ) c. (x + ) (x ) b. (x )(x + ) d. (x + ) (x + ). Faktorisasi dari 9x 6 adalah... a. (9x 6)(x ) c. (9x )(x + ) b. (x + )(x ) d. (x )(x 9). Hasil dari 98 8 adalah... a c b d entuk faktor dari a + a + adalah... a. (a + ) c. (a + )(a + ) b. (a + )(a + ) d. (a + )(a + ) 5. entuk faktor dari x x a. (x 7)(6x 5) c. (x 5)(x 7) b. (x 5)(x 7) d. (6x 7)(x 5) 6. entuk sederhana dari adalah... a. b. x y x + xy + y x x + y y c. d. x x x y x + xy + y xy 7. entuk sederhana dari + + a a a adalah... a. b. ( a )( a ) c. a ( a + )( a ) d. a y y ( a )( a + ) a a + a + a Uji Kompetensi ab 7

37 8. entuk (a b + c) =.... Sederhanakanlah. a. (x + 5x x ) (x x + x + ) b. (7x + 6) (x 0x + ). Sederhanakanlah. a. 9( y) 6( y) b. [b + 5 (b a)] c. ( 0a) + ( 0a). Jabarkanlah. a. (7a + )(7a ) b. a(a 7) (a + )(a 7) c. (a + b) (b + c) d. [(u ) + v][(u ) v]. Nyatakan menjadi bentuk paling sederhana. 5 0ab a. c. r s ab 98rs b. a. a + 9b + c ab + ac 6bc b. a + 9b + c + ab ac + 6bc c. a + 9b + c ab ac + 6bc d. a + 9b + c ab + ac + 6bc 9. entuk sederhana dari : sai ( 6x + 7x ) ( x 5x ) x + x x + 5x Selesaikanlah soal-soal di bawah ini. ( yz) 8( yz ) d. 6uv 7uv 5. Faktorkanlah. a. ax + ay bx by d. 6 x 6x + x b. ax + a x e. x ax bx + ab c. a ax + ca cx 6. Faktorkanlah. a. x xy 5y b. x xy + y = 5x 5y + 6 c. a b 5abc 8c d. a a Faktorkanlah. a. x + x + 5 c. a b 6ab + 7 b. x 6xy + 0y d. 00x 96y 8. Sederhanakanlah a. b. c. d. e. x + x x + 5x a a + a 5 a + 9 6c c + 6 c + 0c 8 a + a + b + x b a b x Sederhanakanlah. a. b. t t 5 t + y y 6 y t t y 8b a 9b 5x x t 6 6t + 9 6y Nyatakan menjadi bentuk paling sederhana. a. b. a. x 7 x y + y xy + x xy + x y + y + 9 x x + x x c. x x b. x + 7 d. x x x 7 0. ila a = + x x maka a + + =... a + a a. b. ( + x)( + x) x ( x)( x) x c. d. ( + x)( x) x ( x)( x) x + 8 Matematika SMP dan MTs Kelas VIII

38 Relasi dan Fungsi Sumber: Tujuan Pembelajaran Memahami pengertian relasi Menyatakan relasi suatu himpunan dalam bentuk diagram panah, diagram artesius, dan pasangan berurutan Memahami pengertian fungsi, daerah asal, daerah lawan, dan daerah kawan Menyatakan fungsi dalam diagram panah, diagram artesius, dan pasangan berurutan Memahami pemetaan dan korespondensi satu-satu serta menghitung banyaknya pemetaan atau korespondensi satusatu dari suatu fungsi Menghitung nilai fungsi, menggambar bentuk grafik suatu fungsi, dan menerapkannya untuk menyelesaikan masalah. P ada suatu ujian, seorang siswa dapat menyelesaikan 0 soal dalam waktu 90 menit. apatkah kamu menentukan waktu yang diperlukan siswa untuk menyelesaikan soal? 0 soal? 0 soal? agaimanakah caranya? Untuk menyelesaikan persoalan tersebut kamu menggunakan aturan fungsi. Ini merupakan salah satu contoh penggunaan dari fungsi. Masih banyak contoh lain dari penggunaan aturan fungsi. Pelajarilah bab ini dengan saksama sehingga kamu dapat menyebutkan contoh-contoh lain dari penerapan aturan fungsi.

39 . Selesaikanlah perkalian di bawah ini. a. (x + y) c. x(x ) b. (x y) d. x(x 5x + ). arilah hasil dari: a. (x + )(x ) c. (x + )(x ) b. ( x)( x) Uji Kompetensi wal Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.. Faktorkanlah. a. x + 6x + 9 c. x + x + b. x x +. Sederhanakanlah. a. a a a 9 b. a + 0 6a a 5 Pada bab sebelumnya kalian telah belajar mengenai operasi bentuk aljabar. Kalian harus sudah memahami materi tersebut sebelum mempelajari materi pada bab ini. Kalian akan menerapkan operasi bentuk aljabar pada bab ini. Untuk memahami konsep tentang fungsi, terlebih dahulu kalian harus mengetahui apa yang dimaksud dengan relasi, sebab fungsi merupakan bagian khusus dari suatu relasi dan tidak semua relasi merupakan sebuah fungsi. Relasi Pengertian Relasi Tiga orang anak, yaitu nto, udi, dan de masing-masing menyukai buah-buahan. nto suka durian dan jeruk, udi suka melon, dan de suka jeruk dan mangga. Keterangan di atas dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan, yaitu himpunan anak-anak dan himpunan buah-buahan. Misalkan himpunan anak-anak adalah = (nto, udi, de) dan himpunan buah-buahan adalah = (durian, melon, jeruk, mangga). Menurut kalian hubungan/relasi apakah yang mungkin terjadi antara kedua himpunan di dalam cerita di atas? andingkan jawabanmu dengan penjelasan berikut. Himpunan dan dapat dihubungkan atau mempunyai relasi menyukai. Kalian dapat menggambarkan relasi (hubungan) antara himpunan dan seperti Gambar.. ua himpunan berbeda mempunyai hubungan atau relasi yang diperlihatkan oleh masing-masing anggota kedua himpunan. Setelah kalian memahami penjelasan di atas, tuliskan dengan kata-katamu sendiri pengertian relasi dan bandingkan dengan pernyataan berikut ini. Suatu relasi dari himpunan ke himpunan terjadi jika ada anggota himpunan dan yang berpasangan (saling berelasi). menyukai Gambar. Relasi himpunan dan 0 Matematika SMP dan MTs Kelas VIII

40 ontoh SOL iketahui ada empat orang ayah, yaitu mir, ndi, nas, dan mir. mir mempunyai anak bernama Mamad dan Hamid. ndi mempunyai anak bernama Santi. nas mempunyai anak namanya li dan mir mempunyai anak bernama nto. Tentukanlah relasi yang mungkin. Penyelesaian: Misalkan adalah himpunan ayah, maka = (mir, ndi, nas, mir) dan adalah himpunan anak maka = (Mamad, Hamid, Santi, li, nto). Kedua himpunan itu mempunyai hubungan ayah dari atau dapat dikatakan bahwa himpunan dan himpunan dihubungkan dengan relasi ayah dari. ayah dari satu kurangnya dari 5 Gambar. Relasi satu kurangnya dari Menyatakan Relasi dari Himpunan ke Himpunan Untuk menyatakan relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu diagram panah, diagram artesius, dan pasangan berurutan. a. iagram Panah ara menyatakan relasi yang paling sederhana adalah dengan diagram panah. Misalkan dan masing-masing adalah himpunan. Untuk menyatakan relasi himpunan dan digunakan tanda panah (). Misalkan = {,,, } dan = {,,, 5}. Jika himpunan dan dihubungkan dengan relasi satu kurangnya dari, diagram panah yang menunjukkan hubungan kedua himpunan tersebut ditunjukkan pada Gambar.. Relasi satu kurangnya dari pada contoh di atas artinya untuk setiap anggota satu kurangnya dari pasangannya di anggota. ontoh SOL iketahui = {,, 5, 7,, } dan {, 7, 0,, 77} dihubungkan dengan relasi faktor prima dari. Tentukan diagram dari relasi kedua himpunan. Penyelesaian: nggota-anggota himpunan yang menjadi pasangan/faktor prima dari anggota-anggota himpunan adalah sebagai berikut.,, 5 7, 7 faktor prima dari 0 faktor prima dari 77 faktor prima dari faktor prima dari faktor prima dari tidak ada tidak ada ab Relasi dan Fungsi