BB III MSLH GEOMETRI N PEMECHNNY Menurut Posamentier dan Stepelmen (1986), masalah dalam geometri mencakup: 1. Membuktikan teorema atau berbagai akibat situasi geometri secara sistematis a. menggunakan geometri Euclides. b. menggunakan aljabar, aritmetika, geometri analitik, atau vektor.. Melukis bangun.. Menentukan ukuran unsur geometri dalam situasi yang problematik. Menurut Polya, yang kedua dan ketiga memiliki kesamaan: yaitu menentukan sesuatu berupa lukisan, atau hasil perhitungan. Secara umum strategi pemecahan masalah geometri sama dengan yang telah dikemukakan pada Bab II. Namun secara khusus perlu diperhatikan hal-hal sebagai berikut. 1. Pada pembuktian sering digunakan dasar-dasar analisis, yang dalam pelaksanaannya juga memuat strategi bergerak dari belakang.. Pada masalah geometri, gambar seringkali tidak cukup hanya dituangkan dari halhal yang telah diketahui dari masalahnya. Seringkali diperlukan adanya garis-garis pertolongan yang perlu dibuat untuk menjembatani hipotesis dan konklusinya.. Karena dalam penyelesaian masalah geometri sering tidak terlepas dari aritmetika dan aljabar (termasuk geometri analitik dan geometri transformasi), maka pengetahuan dasar dan keterampilan penerapan aritmetika dan aljabar perlu dimiliki pemecah masalah geometri. B. Masalah Pembuktian Salah satu cara membuktikan kebenaran suatu pernyataan dikenal dengan metode analitik (Posamentier dan Stepelmen,1986:117), yang menjembatani masalah yang muncul antara hipotesis dan konklusi. Metode ini memuat serangkaian langkah mun-dur yang berawal konklusi dan berakhir pada hipotesis. engan kata lain, keseluruhan bukti dapat dikonstruksi dengan berawal dari konklusi dan pemecah masalah mengaju-kan pertanyaan: Langkah sebelumnya yang bagaimanakah yang menghasilkan langkah atau tahapan ini? Setelah memperoleh jawabnya, pertanyaan yang sama diajukan lagi yang terkait dengan jawaban yang baru saja diperoleh, sampai seluruh langkah dengan urutan logis hingga menemukan jawabnya secara terbalik. Setelah sampai pada hipotesisnya, buktinya LKRIS: PPM 004 19
dituliskan secara terbalik dari pemikiran analisisnya tadi, sehingga cara ini sering dikenal sebagai strategi bergerak dari belakang. Tiga langkah penting dalam menggunakan analisis adalah: 1. Menganalisis hipotesis: Sketsa atau yang dibuat hendaknya mendekati atau tepat sama dengan kenyataan masalahnya. Beri nama-nama dan tanda-tanda/simbolsimbol yang sesuai (titik sudut, sudut yang siku atau yang sama, ruas garis yang sama panjang, garis-garis yang sejajar dan sebagainya). Gambar yang baik akan mempermudah dalam menganalisis masalahnya.. Menganalisis konklusi atau kesimpulan (yang hendak dibuktikan): Perhatikan konklusinya, dan bagaimana akan sampai ke kesimpulan itu, atau langkah-langkah apa saja yang menuntun paling dekat ke arah konklusi itu. Sangat membantu kiranya jika pemecah masalah mempertimbangkan pengalaman konklusi serupa yang pernah digunakan atau diperoleh dalam masalah lain. Kemudian majulah selangkah hal-hal atau apa saja sebelumnya yang dapat menuntun ke hal yang terdekat pada konklusi tersebut.. Menemukan hubungan antara hipotesis dan konklusi. alam memperoleh hubungan ini berbagai sifat, teorema, strategi dan teknik penyelesaian yang sebelumnya pernah dipelajari perlu dikuasai secara lengkap dan dapat segera diterapkan dalam menganalisis hubungan yang mungkin ada. Contoh 1: Jika panjang sisi-sisi suatu segitiga adalah a, b, dan c, buktikanlah bahwa: (ab + bc + ca) (a + b + c) < 4(ab + bc + ca) Karena tidak jelas mulai dari mana hubungan-hubungan itu muncul, maka salah satu cara ialah melihat dari belakang atau melihat hasil. Perhatikan pertidaksamaan pertama: (ab + bc + ca) (a + b + c) (ab + bc + ca) a + b + c + (ab + bc + ca) ab + bc + ca a + b + c a + b + c ab bc ca 0 a + b + c ab bc ca 0 (kedua ruas dikalikan ) (a ab + b ) + (b bc + c ) + (c ca + a ) 0 (a b) + (b c) + (c a) 0 LKRIS: PPM 004 0
Hal terakhir benar karena kuadrat bilangan real pasti non negatif. emikian juga jumlah beberapa kuadrat bilangan real pasti non negatif Karena itu untuk membuktikan kebenaran pertidaksamaan pertama (ruas kiri dan tengah), dilakukan sebagai berikut: Jika a, b, dan c panjang sisi-sisi segitiga, maka pastilah: (a b) 0 (b c) 0 (c a) 0 Jumlahnya: (a b) + (b c) + (c a) 0 (a ab + b ) + (b bc + c ) + (c ca + a ) 0 dan seterusnya menggunakan langkah dari bawah ke atas (dari belakang ke depan) pada analisis yang berupa bentuk-bentuk yang ekuivalen di atas, sehingga diperoleh bukti bahwa: (ab + bc + ca) (a + b + c) (1) engan cara sama, untuk membuktikan (a + b + c) < 4(ab + bc + ca), pertidaksamaan tersebut dijabarkan lebih dahulu: (a + b + c) < 4(ab + bc + ca) a + b + c + (ab + bc + ca) < 4(ab + bc + ca) a + b + c < (ab + bc + ca) a + b + c < a(b + c) + b(a + c) + c(b + a) Hal ini benar, karena dalam setiap segitiga dengan panjang sisi a, b, dan c, berlaku: a < (b + c) sehingga a < a(b + c) b < (a + c) sehingga b < b(a + c) c < (b + a) sehingga c < c(b + a) engan demikian maka untuk membuktikan kebenaran pertidaksamaan kedua (ruas tengah dan kanan), dimulai dengan: Untuk setiap segitiga dengan panjang sisi a, b, dan c, panjang sebuah sisi kurang dari jumlah panjang dua sisi lainnya, sehingga: a < (b + c) a < a(b + c) b < (a + c) b < b(a + c) c < (b + a) c < c(b + a) iperoleh: a + b + c < a(b + c) + b(a + c) + c(b + a), yang dengan bergerak dari belakang dari yang disajikan di atas diperoleh: (a + b + c) < 4(ab + bc + ca) () ari (1) dan () diperoleh bukti bahwa: (ab + bc + ca) (a + b + c) < 4(ab + bc + ca) LKRIS: PPM 004 1
Catatan: alam praktik pembuktian dengan cara ini, penjabaran (analisis) dari yang harus dibuktikan dikerjakan di luar tempat pengerjaan pembuktian. Contoh : Ruas garis B adalah sebuah talibusur sebuah lingkaran yang salah satu diameternya adalah ruas garis B ( ). Titik E adalah proyeksi titik pada B. Buktikanlah bahwa BE B = (B) ari masalah di atas, situasinya digambar: iketahui: Lingkaran (C, C ) E B Buktikan: BE B = (B) nalisis: B E C Gambar.1 1. BE B = (B) BE B dapat dibuktikan jika kita dapat menunjukkan bahwa =. B B. BE B = dapat dibuktikan jika kita dapat menunjukkan bahwa BE ~ B. B B engan demikian perlu ditarik ruas garis.. BE dapat dibuktikan sebangun dengan B jika dapat ditunjukkan bahwa mereka memiliki dua sudut sama besar (atau syarat kesebangunnan lainnya). 4. B adalah sudut persekutuan kedua segitiga. 5. BE dan B keduanya siku-siku. BE siku-siku karena titik E proyeksi titik pada B. B siku-siku karena menghadap busur setengah lingkaran (ingat, B diameter). Karena itu maka kesebangunan BE dan B dipenuhi. Tibalah pembuktiannya disajikan. Bukti: Tarik. B = 90 o, karena busur B adalah busur setengah lingkaran. Perhatikan BE dan B Gambar. B = B BE dan B sebangun (mempunyai sudut sama, berarti BE = B sudut sama) BE B kibat kesebangunan tersebut: = BE B = (B) (terbukti) B B B E C LKRIS: PPM 004
Kadang-kadang sulit untuk melakukan langkah-langkah terurut logis seperti yang dicontohkan di atas. Pemaksaan kadang dilakukan untuk membuktikan kebenaran, yaitu membawanya kepada situasi yang relevan. Tentu saja hal ini memerlukan pengetahuan geometri yang lebih luas, agar langkah yang ditempuh sungguh mengarah kepada penalaran yang benar sehingga kebenaran buktinya dapat dipertanggung jawabkan. Pemaksaan ini memberikan kemungkinan pemecahan masalah masih berada dalam lingkup geometri, tetapi juga dapat keluar melalui jalur lain, misalnya geometri analitik. Contoh Buktikanlah bahwa dalam setiap jajargenjang, jumlah kuadrat panjang diagonalnya sama dengan dua kali jumlah kuadrat panjang sisi-sinya. iketahui: jajargenjang BC. Buktikan : (C) + (B) = ((B) + () ) Bukti: Cara I t C t (Pemikiran awal: jumlah kuadrat panjang E B B F sisi terkait dengan teorema Pythagoras. Gambar. Karena itu maka masalahnya dipaksa dibawa ke segitiga siku-siku. Jadi perlu bantuan garis sehingga terjadi segitiga siku-siku). Tarik E dan CF tegaklurus B (lihat gambar) Misalkan E = BF = dan E = CF = t alam segitiga siku-siku BE: (B) = t + (B ) = t + (B) (B) +, dan pada segitiga siku-siku E t + = () ari kedua hubungan di atas didapat (B) = () + (B) (B) (*) Pada segitiga siku-siku CF: (C) = t + (B + ) = t + (B) + (B) +, Melalui substitusi t + = () didapat: (C) = () + (B) + (B) (**) ari penjumlahan kesamaan (*) dan (**) didapatkan: : (C) + (B) = ((B) + () ) (terbukti). Bukti: Cara II Y Jajargenjang BC diletakkan dalam sistem koordinat Kartesius. Jika koordinat, B dan berturutturut (0, 0), (a, 0), dan (b, c) maka (0, c) (b, c) C(b + a, c) X koordinat C adalah (b + a, c) O (0, 0) (b, 0) B(a, 0) (b + a, 0) Gambar.4 LKRIS: PPM 004
Karena bentuk kuadrat ruas garis terkait dengan rumus jarak antara dua titik, maka hubungan yang diperoleh adalah: (C) = ( C ) + (y C y ) = (b + a 0) + (c 0) = b + ab + a + c (B) = ( B ) + (y y B ) = (b a) + (c 0) = b ab + a + c (C) + (B) = (a + b + c ) (^) B = a, sehingga (B) = a (B) = ( B ) + (y y C ) = (b + a a) + (c c) = b + c Jika nilai (B) dan (B) digantikan pada (^) diperoleh: (C) + (B) = ((B) + (B )) (terbukti Contoh 4 Jika ketiga segiempat terkecil pada Gambar.5 adalah persegi-persegi yang kongruen, buktikanlah bahwa B C jumlah besar sudut B dan C adalah 45 o. Penalaran: Gambar.5 Tidak mudah untuk melakukan kegiatan bergerak dari belakang seperti pada contoh di atas. Namun memperhatikan tujuan pembuktian merupakan satu hal sangat penting. Perhatian pada tujuan dapat membantu mencari jembatan antara yang diketahui dan yang diminta untuk dibuktikan. Tujuan soal ini terkait dengan sudut 45 o. Pertanyaan yang muncul adalah dimana atau kapan sudut 45 o itu terjadi. Salah satu di antaranya adalah pada segitiga siku-siku samakaki. Karena itu perlu dibentuk suatu segitiga samakaki. Penjumlahan kedua sudut dapat dilakukan dengan memindahkan salah satu di antaranya. Cara yang dapat dilakukan adalah dengan pencerminan. ari kedua bahan jembatan di atas dapat disusun jembatan yang menghubungkan antara yang diketahui dan yang akan dibuktikan atau konklusinya, yaitu: Bagaimana dengan pencerminan dapat dibentuk suatu segitiga sama kaki. F B C Bukti: 1. Cerminkan C terhadap garis, diperoleh E besar C = E. Besar B + C = besar BE Gambar.6 E LKRIS: PPM 004 4
. Tarik BE FB dan BCE kongruen karena F = BC, F = C = 90 o, dan FB = CE. kibatnya BE = B (#) besar FB = CEB 4. Besar BE = 180 o FB CBE = 180 o ( FB + CBE) = 180 o 90 o = 90 o. (##) 5. ari (#) dan (##) didapat: BE siku-siku samakaki, sehingga besar BE = 45 o. 6. Jadi jumlah besar B + C = besar BE = 45 o. (terbukti). B. Masalah Menemukan alam masalah menemukan sesuatu dalam geometri (berupa lukisan atau bilangan), strategi umumnya seperti yang dikemukakan pada bagian pendahuluan bab ini, termasuk juga yang diuraikan pada Bab II. Masalah lukisan lebih banyak terkait dengan sifat-sifat yang berlaku dalam geometri, sedangkan dalam menemukan, selain konsep dan prinsip dalam geometri, sering memerlukan kemampuan dalam aritmetika dan aljabar. Contoh 1 Berapakah banyak diagonal sebuah segi-0? Masalah di atas diselesaikan secara induktif dengan pola. Menggambar sekaligus segi-0 beraturan beserta semua diagonalnya memuat kesulitan teknis, baik karena diperlukan gambar yang cukup besar dan penghitungan banyak diagonal yang sangat mungkin beberapa diagonal dihitung lebih dari sekali. Karena itu digunakan strategi menyederhanakan masalah. imulai dari poligon yang memiliki diagonal yaitu segi-4, kemudian segi-5, segi-6, dan segi-7 untuk memperoleh polanya. Perhatikan banyak diagonal pada segi-n berikut. segi-4 segi-5 segi-6 segi-7 Banyak diagonal: > 5 > 9 >14 + +4 +5 Gambar.7 LKRIS: PPM 004 5
engan memperhatikan pola penambahannya, yaitu +, +4, +5, dan seterusnya, maka pada segi-0 terdapat 405 buah diagonal. Contoh Pada Gambar.8 di samping, segi-4-nya adalah persegi dengan panjang sisi 1 satuan dan garis lengkungnya masing-masing adalah busur seperempat lingkaran. Hitunglah luas daerah yang diarsir. Penyelesaian Gambar.8 lternatif 1 icari lebih dahulu separo gambar yang dimaksud, C sehingga diperoleh Gambar.9. Luas yang diarsir adalah setengah dari luas seperempat lingkaran berjari-jari 1, dipotong luas setengah persegi, yaitu 4 1 π 1 1 = 4 1 π 1. Luas seluruhnya yang diarsir = ( 4 1 π 1 ) = 1 π 1 Gambar.9 B lternatif Pengalaman menunjukkan, bahwa lternatif 1 adalah yang paling sering digunakan. Namun ada penyelesaian unik yang pernah dikemukakan siswa tetapi jarang ditemukan yaitu menggunakan pendekatan komplementer sebagai berikut. Yang dicari pertama adalah separo daerah tak terarsir, misal daerah tak terarsir BC pada Gambar.10, yang diperoleh dari luas daerah persegi, dikurangi dengan luas seperempat lingkaran berpusat. Hasilnya adalah 1 1 π. Berarti luas dua bagian 4 yang tak terarsir adalah (1 1 π.) = 1 π. 4 Luas daerah yang diarsir adalah komplemennya, yaitu luas persegi dikurangi yang tidak diarsir = 1 ( 1 π) = 1 π 1. LKRIS: PPM 004 6
lternatif C Seorang siswa yang tajam penglihatannya menemukan bahwa jika dihitung luas seperempat I lingkarannya, yaitu 1 π = 1 π, bagian II 4 II terhitung dua kali. Karena itu jika dikurangi dengan daerah tak terarsir, harus dikurangi lagi dengan daerah II (yang terarsir) yang tadi terhitung dua kali. Hal itu sama saja dengan mengurangi dengan luas Gambar.10 III B persegi. Jadi hasilnya adalah sama dengan luas dua buah seperempatan lingkaran ( 1 π) dikurangi luas persegi = 1 π 1. Contoh : alam BC, titik-titik P, Q, dan R berturutturut terletak pada sisi B, BC, dan C. P : PB = BQ : QC = CR : R = 1 :. Hitunglah perbandingan luas PQR : luas BC. Jawab: Tarik R BC dan E BC. engan demikian maka R E. alam CE, R E dan CR : C = 1 : 4. Luas Luas nalog: RQC BC = 1 1 Luas PR Luas BC R : E = CR : C = 1 : (1 + ) = 1 : 4 CQ R = CB E = 16 dan CQ R 1 = = CB E 4 4 16 Luas Luas PBQ BC Jadi luas yang PQR = (1 16 ) Luas BC = 16 7 Luas BC tau: L PQR : L BC = 7 : 16. Catatan: 1) Untuk yang telah memahami bahwa: = 16 C {1} E R {} [] (1) P () Q [1] Gambar.11 B LKRIS: PPM 004 7
Jika dua segitiga mempunyai sebuah sudut sama besar maka perbandingan luasnya sebanding dengan perbandingan hasil kali panjang sisi-sisi yang mengapit sudut tersebut, maka pemecahan masalah di atas lebih dipermudah. Misal: PR dan BC bersudut sama yaitu sudut, Karena itu maka Luas PR P R = = Luas BC B C P R 1 = =. Hal yang sama dapat B C 4 4 16 dikenakan terhadap segitiga-segitiga lainnya di luar PQR di dalam BC. ) kibat langsung dari hubungan di atas adalah, jika dua buah segitiga sebangun, maka perbandingan luasnya sebanding dengan perbandingan kuadrat panjang sebuah sisi seletaknya. ) Perbandingan luas tersebut dapat diperluas untuk setiap dua poligon sebangun. Perbandingan luas dua poligon sebangun sebanding dengan perbandingan kuadrat sebuah sisi seletaknya. Contoh 4: alam BC, B = 15, BC = 14, dan C = 1. garis tinggi dan garis bagi sudut B memotong di titik E. Hitung panjang E. (Soal ini mencakup substansi garis tinggi dan garis bagi suatu segitiga). iketahui: BC; a = 14, b = 1, c = 15. BC. 15 Besar BE = BE. 1 E Hitung: E o Jawab: s = (14 + 1 + 15)/ = 1. o B C = t a = s( s a )( s b )( s c ) 14 a Gambar.1 = 1(1 14)(1 1)(1 15) 14 1 = 1 7 8 6 7 1 = 7 7 = 1 Pada B yang siku-siku di : B = B = 5 144 = 81 B = 9 LKRIS: PPM 004 8
Pada B, BE merupakan garis bagi sudut B, sehingga E : E = B : B = 9 : 15 = : 5 Jika E =, maka E = 1 : (1 ) = : 5 5 = 6 8 = 6 = 4,5 Jadi E = 4,5. Contoh 5 Hitunglah luas sebuah segi-8 yang titik-titik sudutnya terletak selingkaran, empat sisi panjangnya masing-masing cm dan empat sisi lain panjangnya masing-masing cm. Masalah di atas akan dipecahkan dengan beberapa cara, untuk dapat menggambarkan berbagai strategi yang dapat digunakan untuk memecahkan sebuah masalah. Penyelesaian lternatif 1 Misalkan bangun yang dimaksud adalah segidelapan BCEFGH dengan pusat lingkaran luar titik O. Pada Gambar.1. C = E = EF = FG = cm dan CB = B = H = HG = cm. E F P C M O B Q Luas segi delapan adalah jumlah 4 kali luas OE dan 4 kali luas OB. G H Gambar.1 Karena panjang E dan B diketahui, yang diperlukan adalah garis tinggi segitigasegitiga tersebut, yang tidak lain adalah apotema terhadap talibusur E dan B, yaitu OP dan OQ. Keduanya masing-masing terletak pada segitiga siku-siku E dan BE sehingga ada sifat-sifat kesejajaran dan kesebandingan yang dapat digunakan. Berikut ini penyelesaiannya. Tarik apotema-apotema OP dan OQ, talibusur EB dan. Pada BE, B menghadap diameter E. Jadi besar BE = 90 o atau EB B OQ apotema OQ B. Berarti EB OQ. dengan demikian OQ = 1 EB. LKRIS: PPM 004 9
engan penalaran sama diperoleh OP = 1. Tarik B. Perhatikan MB dan CB: Besar MB = CB (keduanya menghadap busur bertalibusur sepanjang cm), B = B Besar MB = CB (keduanya menghadap busur bertalibusur sepanjang cm), MB. CB kibatnya: M = C = cm. Berarti EM siku-siku (di ) sama kaki (E = M = cm), sehingga EM = cm. nalog: BM siku-siku (di B) sama kaki.(bm = B = cm) sehingga M = cm. iperoleh: = M + M = ( + ) cm OP = 1 = 1 ( + ) cm BE = BM + ME = ( + ) cm OQ = 1 BE = 1 ( + ) cm. Luas OE = 1 E OP = 1 1 ( + ) cm = 1 ( + ) cm Luas OB = 1 B OQ = 1 1 ( + ) cm = ( + ) cm. 4 Luas segi delapan BCEFGH = 4 (L OE + L OB ) = 4 ( 1 ( + ) + ( + )) cm 4 = (4 + 6 + 9 + 6 ) cm = (1 + 1 ) cm lternatif Karena segidelapan itu memiliki 4 sisi masing-masing sepanjang cm dan 4 sisi masing-masing sepanjang cm, maka segi delapan tersebut merupakan bagian dari sebuah persegi yang dapat digambar sebagai berikut: Kemungkinan (i) Kemungkinan (ii) y y y y (i) Gambar.14 y y y (ii) y LKRIS: PPM 004 0
ari gambar (i): = = 4 1 = ari gambar (ii): y = y = y = Luas segi-8 = ( + ) 4 1 Luas segi-8 = ( + y) 4 1 y = ( +) 4 1 4 1 = ( + ) 4 1 = 18 + 1 + 4 9 = 9 + 1 + 8 4 = 1 + 1 = 1 + 1 engan kedua cara di atas diperoleh hasil sama, luas segi-8 tersebut = (1 + 1 ) cm. lternatif Untuk menentukan luas segi-8 yang memiliki 4 sisi berukuran cm dan 4 sisi berukuran cm, dipandang seperempat bagian daripadanya, yaitu yang memuat sebuah sisi berukuran cm dan sebuah sisi berukuran cm. Seperempat bagiannya dapat digambarkan seperti Gambar.15. Misalkan panjang jari-jari lingkaran luar segi-8 tersebut = R. Luas segi-8 = 4 luas segi-4 OBC p B = 4 (L OB + L OCB ) = 4 ( 1 Rp + 1 Rq) q = R(p + q) (^) Pada B: p + (R q) = (teorema Pythagoras) O E C p + R Rq + q = 4 Gambar.15 R Rq = 4, karena p + q = R R(R q) = 4 R q = 4 R (*) Pada EBC: q + (R p) = 9 (teorema Pythagoras) q + R Rp + p = 9 R Rp = 9, karena p + q = R R( R p) = 9 R p = 9 R (**) ari (*) dan (**) diperoleh: R p q = 1 1 p + q = R R R LKRIS: PPM 004 1
ari (^) diperoleh L segi-8 = R( p + q) = R (R 1 ) = 4R 1 (o) R R q = R 9 R q = 9(R 9/4) q = 9 81/(4R ) 4 R p = R 1 R p = 4(R 1) p = 4 16/(4R ) R = p + q = 1 97/(4R ) Misalkan R =, maka = 1 97/(4); > 0 4 5 + 97 = 0 = 5 ± 5 16 97 8 ; > 0 = 5 + 115 8 = 5 + 4 8 = 1 + 6 R = 1 + 6 yang jika digantikan pada (o) diperoleh: L segi-8 = 4 1 + 6 1 = 6 + 1 1 = 1 + 1 Jadi Luas segi-8 BCEFGH = (1 + 1 ) cm. LKRIS: PPM 004