Modul 04 Pertidaksamaan 4.1. Pengertian Pertidaksamaan Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan (<, <, > atau >) dan mengandung variabel. Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti menentukan semua nilai variabel yang menyebabkan pertidaksamaan tersebut bernilai benar. Nilai-nilai ini disebut penyelesaian (akar) dari pertidaksamaan. Contoh-contoh pertidaksamaan dengan satu variabel. Pengertian Interval Interval atau selang dapat dinyatakan dalam garis bilangan dan himpunan. Untuk menggambarkan batas-batas interval pada garis bilangan, biasanya digunakan tanda atau. (Lingkaran penuh) : Berarti bilangan pada tanda ini termasuk kedalam interval (lingkaran kosong) : Berarti bilangan pada tanda itu tidak termasuk kedalam interval. Berikut ini adalah bentuk-bentuk dari suatu interval yang dinnyatakan dalam garis bilangan dan dalam bentuk himpunan. 1
Garis Bilangan 1. Interval tertutup Himpunan 2. Interval setengah tertutup 3. Interval terbuka 4. Interval setengah garis 4.2. Sfat-sifat Pertidaksamaan Beberapa sifat pertidaksamaan yang sangat penting untuk menentukan penyelesaian suat pertidaksamaan. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut. 1) Sifat tak negatif 2) Sifat transitif Untuk a, b, c bilangan real : Jika a < b dan b < c maka a < c Jika a > b dan b > c maka a > c 3) Sifat penjumlahan Untuk a, b, c bilangan real : Jika a < b maka a + c < b + c Jika a > b maka a + c > b + c Sifat penjumlahan menyatakan bahwa jika keda ruas pertidaksamaan dijumlahkan dengan bilangan yang sama, tanda pertidaksamaan tetap. 4) Sifat perkalian Untuk a, b, c bilangan real : Jika a < b an c > 0 maka ac < bc 2
Jika a > b an c > 0 maka ac > bc Jika a < b an c < 0 maka ac > bc Jika a > b an c < 0 maka ac < bc Sifat perkalian menyatakan bahwa jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan (real) positif yang sama, tanda ketidaksamaan tetap (tidak balik). Akan tetapi, jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan (real) negatif yang sama, tanda ketidaksamaan dibalik. 5) Sifat kebalikan(invers perkalian) Untuk Jika a > 0 maka > 0 Jika a < 0 maka < 0 Sifat kebalikan menyatakan bahwa tanda dari suatu bilangan dan kebalikannya adalah sama. Jika suatu bilangan adalah negatif, kebalikan bilangan ini juga negatif. 4.3. Menyelesaikan pertidaksamaan linear Perhatikan pertidaksamaan berikut : 3x + 1 < 5 Pada pertidaksamaan tersebut, pangkat variabel x adalah 1. Pertidaksamaan yang memuat pangkat tertinggi dari variabel x adalah dinamakan pertidaksamaan linear. Berarti 3x + 1 < 5 merupakan pertidaksamaan linear. Contoh 1 Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut untuk peubah pada bilangan real, dan gambarkan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan! a. 5x 2 < 8 b. 2x + 7 > x + 4 3
c. 2x 5 < 6x + 3 Jawab a. 5x 2 < 8 5x < 10 x < 2 Jadi HP = { x x < 2} Bilangan 3 tidak termasuk b. 2x + 7 > x + 4 2x > x 3 X > - 3 Jadi HP = {x x > - 3} c. 2x 5 < 6x + 3 2x < 6x + 8-4x < 8 X > -2 Jadi HP = {x x > -2} Contoh 2 Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear dengan Tanda Ketidaksamaan Ganda a. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan -3 < 6x -1 < 3 Jawab : -3 < 6x -1 < 3...(*) Secara umum, pertidaksamaan dengan tanda ganda duselesaikan dengan memisahkannya menjadi dua pertidaksamaan, seperti berikut : -3 < 6x 1 dan 6x 1 < 3-2 < 6x dan 6x < 4 < x dan x < 4
< x dan x < X > -. dan x < Penyelesaian pertidaksamaan (*) adalah yang memenuhi dan. Penyelesainnya dapat diperoleh dengan bantuan garis bilangan, seperti pada gambar berikut. Penyelesaian 1 Penyelesaian 2 Penyelesaian 1 dan 2 Alternatif: Oleh karena variabel x hanya terdapat diruas tengah pertidasamaan, Anda dapat menyelesaikannyasecara lebih cepat tanpa perlu memisahkannya menjadi dua bagian, seperti berikut : a. - 3 < 6x -1 < 3-2 < 6x < 4 b. 2x 1 < x + 1 < 3 x (**) Oleh karena variable tidak hanya terdapat diruas tengah pertidaksamaan, melainkan terdpat di ketiga ruas, Anda hanya dapat 5
menyelesaikannya dengan memisahkan pertidaksamaan tersebu menjad dua bagian prtidaksamaan, seperti berikut. 2x 1 < + 1 dan x + 1 < 3 - x 2x x < 1 + 1 dan x + x < 3-1 X < 2 dan 2x < 2 x < 2. dan x < 1 Penyelesaian pertidaksamaan (**) adalah memenuhi dan. Penyelesaian yang memenuhi dan dapatanda peroleh dengan menggunakan bantuan garis bilangan seperti berikut. x < 2 Penyelesaian 1 x < 1 Penyelesaian 2 x < 1 Irisan penyelesaian 1 dan 2 Jadi, HP = {x x < 1, x R} 4.4. Pengertian pertidaksamaan kuadrat Pertidaksamaan kuadrat (atau) pertidaksamaan pangkat dua) adalah suatupertidaksamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya dua. Berikut ini adalah contoh-contoh pertidaksamaan kuadrat. Seperti halnya dengan persamaan kuadrat, pertidasamaan kuadrat dapat ditulis dalam bentuk baku (bentuk umum) berikut ; 4.5. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat Dengan Garis Bilangan Selesaikan pertidaksamaan berikut: x 2 + x 6 < 0 Anda mulai dengan mengganti simbol ketidaksamaan (< 0) dengan tanda sama dengan (=) sehingga diperoleh persamaan kuadrat x 2 + x 6 = 0, kemudian menentukan akar-akar PK tersebut dan melukiskannya pada garis bilangan. 6
(x + 3) (x 2) = 0 Pemfaktoran x + 3 = 0 x = - 3 atau : x 2 = 0 x = 2 Akar-akar penyelesaian persamaan ini memisahkan garis bilangan menjadi tiga interval : x < -3; -3 < x < 2; dan x > 2. Oleh karena tanda ketidaksamaanya tidak mengandung tanda = maka -3 dan 2 bukanlah penyelesaian dari x 2 + x -6 < 0. Dengan demikian, penyelesaian dari ketidaksamaan tersebut terdapat dalam salah satu atau lebih dari ketiga interval diatas. Semua nilai dalam suatu inteval ini disubstitusikannya kedalam ruas kiri pertidaksamaan diperoleh : x = 1 x 2 + x 6 = (1) 2 + (1) 6 = -4 (negatif) x = -1 x 2 + x 6 = (-1) 2 + (-1) 6 = -6 (negatif) x 2 + x 6 14 6 0-4 -6-6 -4 0 6 14 x -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 tanda x 2 + x -6 + + 0 - - - - 0 + + Dari gambar diperoleh; Untuk interval x < -3 maka x 2 + x 6 > 0 ( + ) Untuk interval -3 < x < 2 maka x 2 + x 6 < 0 ( ) Ntuk interval x > 2 maka x 2 + x 6 > 0 ( + ) Dengan demikian penyelesaian dari x 2 + x 6 < 0 ( ) adala interval -3 < x < 2. Adapun penyelesaian dari x 2 + x 6 > 0 (+) adalah interval dari x 2 + x 6 < 0? Oleh karena dalam kasus ini tanda ketidaksamaannya mengandung tanda sama denga maka nilai x = -3 dan x = 2 termasuk dalam penyelesaian. Jadi penyelesaian dari x 2 + x 6 < 0 adalah interval -3 < x < 2. 7
Secara umum, untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan kuadrat, Anda tentukan dahulu akar-akar dari persamaan kuadrat yang berkaitan. Untuk selanjutnya, akar PK ini disebut titik kritis. Titik-titik kritis ini akan mampu membagi garis bilangan atas beberapa interval. Oleh karena tanda dalam setiap interval selalu sama, untuk setiap interval Anda hanya perlu menguji satu nilai variabel saja. Untuk jelasnya, pelajariah contoh-contoh berikut: Contoh Pertidaksamaan Kuadrat (Dua Titik Kritis) Selesaikan x 2 > - 2x 3 Jawab : Pertama, ubah pertidaksamaan kuadrat ke bentuk bakunya (ruas kanan dibuat nol) -x 2 + 2x + 3 > 0 Selanjutnya buat koefisien x 2 menjadi positif dengan mengalikan 1 pada kedua ruas. Ingat, mengalikan bilangan denganbilangan negatif selalu memblik tanda dari pertidaksamaan. Dari sini diperoleh. x 2 2x 3 < 0.(*) untuk itu, tentukan titik kritisnya dengan menyelesaikan persamaan x 2-2x - 3 = 0 x 2 2x 3 = 0 (x 3) (x + 1) = 0 X 3 = 0 X = 3 Atau x + 1 = 0 x = -1 kedua titik kritis ini akan memisahkan garis bilangan atas tiga interval. Oleh karena tanda ketidaksamaannnya mengandng tanda sama dengan (<), titik- itik kritis x = -1 dan x = 3 termasuk penyelesaian. Oleh karena itu, titiktitik kritis digambar dengan tanda (lingkaran penuh). Selanjutnya, anda uji titik sebarang dalam setiap interval untuk mengetahui tanda setiap ineterval. Untuk interval x < - 3 ambil x = -2 x 2 2x 3 = (-2) 2 2 (-2) 3 = 5 > 0 (+) Untuk interval -1 < - 3 ambil x = 0 x 2 2x 3 = (0) 2 (0) 3 = -3 < 0 (-) Untuk interval x > 3 ambil x = 4 x 2 2x 3 = (4) 2 2 (4) 3 = 5 > 0 (+) Dengan demikian, diperoleh hail berikut. 8
Dalam interval x < - 3, x 2 2x 3 > 0 (+) -1 < x < 3, x 2 2x 3 < 0 (-) x > 3, x 2 2x -3 > 0 (+) Jadi penyelesaian dari pertidaksamaan x 2 > - 2x 3 atau ekuivalen dengan x 2 2x 3 < adalah -1 < x < 3. (ingat, tanda lingkaran penuh ( ) Bagaimana jika Anda diminta untuk menyelesaikan x 2 < -2x 3 atau ekuivaln dengan x 2 2x 3 > 0? Dari garis diatas diperoleh penyelesaiannya, yaitu x < -1 atau x > 3. Contoh Pertidaksamaan kuadrat (satu titik kritis) Selesaikan x 2 2x > -1 Jawab: Pertama ubah dahulu pertidaksamaan kuadrat ke bentuk bakunya (ruas kanan dibuat menjadi nol). x 2 2x > -1 x 2 2x + 1 > 0 (*) Pertidaksamaan (*) adalah pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula. x 2 2x > -1. Pertidaksamaan (*) inilah yang akan diselesaikan. Adapun titik-titik kritisnya sebagai berikut. x 2 2x + 1 = 0 (x 1) (- 1 ) = 0 x 1 = 0 x = 1 atau x 1 =0 x = 1 Oleh karena itu titik kritisnya hanya satu,yaitu x = 1, garis bilangan terbagi atas dua interval. Ambil titik uji x = 0 dalam interval x < 1 dan x = 2 dalam interval x > 1. x = 0 x 2 2x + 1 = 0 2 (0) + 1 = 1 > 0 (+) x = 2 x 2 2x + 1 = (2) 2 2(2) + 1 = 1 > 0 )+) Dengan demikian, penyelesaian dari pertidaksamaan x 2 2x > -1 atau dengan ekuivalen x 2 2x + 1 > 0 adalah x < 1 atau x > 1 atau dapat ditulis 9
sebagai x R dengan x 1. Penyelesaian ini ditunjukkan dalam garis dibawah ini. Seangkan himpunan penyelesaiannya adalah : HP = {x x < 1 atau x > 1, x R} Atau HP = {x x R dan x 1} Bagaimana jika Anda diminta untuk menyelesaikan pertidaksamaan x 2 2x > -1 atau ekuivalen dengan x 2 2x + 1 > 0? Penyelesaiannya adalah x < 1 atau x > 1 atau dapat ditulis sebagai : x R. Himpunan penyelesaiannya adalah HP = { x x < 1 atau x > 1, x R } Atau HP = { x x R } Bagaimana jika anda diminta menyelesaikan pertidaksamaan x 2 2x < - 1 atau ekuivalen dengan x 2 2x + 1 < 0? Tidak ada satupun nilai yang memnuhi pertidaksamaan tersebut. Jadi pertidaksamaan x 2 2x < -1 tidak memiliki peyelesaian atau hmpunan penyelesaiannya atau himpunan penyelesainnya adalah himpunan kusong, ditulis HP = { } atau Contoh pertidaksamaan kuadrat (tak memiliki titik kritis) Selesaikan x 2 + x + 2 > 0 Jawab: Pertama, tentukan nilai titik kritisnya dengan menyelesaikan x 2 + x + 2 = 0. Persamaan kuadrat ini tidak bisa difaktorkan sehingga Anda perlu menghitung dahulu nilai diskriminannya. Koefisien-koefisien, PK x 2 + x + 2 = 0 dalah a = 1 ; b = 1 ; c = 2. D = b 2 4ac = (1) 2 4 (1) (2) = -7 < 0 Oleh karena D < 0, jelas pertidaksamaan tidak memiliki titik kritis yang real. Akibatnya, penyelesaian dalam kasus ini tidak membagi garis bilanga menjadi beberapa bagian. Dengan demikian, x 2 + x + 2 akan memiliki tanda yang sama sepanjang keseluruhan garis bilangan dan tidak bergantung pada nilai titik uji yang Anda pilih. Oleh karena salah satu titik uji x = 0 memberikan x 2 + x + 2 = 10
0 2 + 0 + 2 > 0, setiap bilangan real adalah penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan (x 2 + x + 2 > 0). Ini dilukiskan pada garis dibawah ini dan himpunan penyelesaian dan pertidaksamaan x 2 + x + 2 > 0 adalah HP = { x x Adapun pertidaksamaan x 2 + x + 2 < 0 tidak memliki penyelesaiannya atau HP = { }. ==================== 11