ESTIMASI TITIK
Setiap karakteristik dari distribusi populasi disebut dengan parameter. Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada harga observasi sampel. Statistik merupakan bentuk dari estimasi titik. Metode untuk menemukan estimasi titik/estimator dari suatu parameter adalah 1. Metode Likelihood Maksimum (MLE) 2. Metode Momen (MME) 3. Metode Kuadrat Terkecil
A. METODE MENCARI ESTIMATOR
1. Metode Likelihood Maksimum Definisi: Jika x1, x2,..., x n adalah sampel randomdari populasi dengan parameter, maka fungsi Likelihood didefinisikan L f x, x,..., x f x f x... f x 1 i1 dengan sebagai parameter 2 n n 1 f x i 2 n
Cara mencari estimator a. Tentukan fungsi Likelihood L(θ), dengan θ sebagai parameter. Karena fungsi Likelihood sangat kompleks, maka untuk mempermudah dilakukan transformasi ke bentuk logaritma natural. b. Mencari nilai maksimum dl d 0 ln L d ln L d 0
Contoh: 1. X adalah variabel random berdistribusi Bernoulli dengan parameter p. Carilah estimator untuk p dengan MLE. 2. Jika X variabel random berdistribusi eksponensial dengan parameter θ, maka carilah estimator untuk θ dengan MLE. 3. Jika x, 1 x2,..., x n adalah variabel random yang independen masing-masing berdistribusi Bernoulli dengan parameter p. Carilah estimator untuk p dengan MLE.
4. Jika x 1, x2, x3,..., x n adalah variabel random yang independen masing-masing berdistribusi eksponensial dengan parameter θ. Carilah estimator untuk θ dengan MLE. 5. Jika X adalah variabel random berdistribusi binomial dengan parameter p. Carilah estimator untuk p dengan MLE.
Contoh: 1. X adalah variabel random berdistribusi Bernoulli dengan parameter p. Carilah estimator untuk p dengan MLE. 2. Jika X variabel random berdistribusi eksponensial dengan parameter θ, maka carilah estimator untuk θ! 3. Jika X variabel random berdistribusi normal dengan parameter μ dan σ 2 carilah estimator untuk μ dan σ 2.
3. Jika x 1, x2, x3,..., x n adalah variabel random yang independen masing-masing berdistribusi eksponensial dengan parameter θ. Carilah estimator untuk θ! 4. Jika x, 1 x2,..., x n adalah variabel random yang independen masing-masing berdistribusi binomial dengan parameter p. Carilah estimator untuk p! 5. Jika x 1 x,..., x n adalah variabel random yang independen, 2 dan mempunyaai fungsi densitas f i 1 x p 1 p x i carilah estimator untuk p dengan MLE.
2. Metode Momen Definisi: Mean sampelke k darisuatu observasix m ' k n i1 n x k i x k 1, x 2,..., x mean dari pangkat ke k yang disajikan dengan m n ' k adalah, dimana
Pada dasarnya metode momen tert umpu pada penyelesaian dari m ' k dimana ' k ' k E k X, k 1,2,..., p (k banyaknya parameter) Sehingga untuk k 1 k 2 dan seterusnya. m m x ' 1 ' 2 2 x E E E E 1 X EX X X X 2 2
Catatan: karena tidak semua distribusi mempunyai momen, maka metode ini belum tentu dapat digunakan untuk semua distribusi.
Soal: 1. Jika x, 1 x2,..., x n variabel random yang independen berdistribusi eksponensial dengan parameter θ. Carilah estimator untuk θ dengan MME.
Soal: Jika x, 1 x2,..., x n sampel random dengan fungsi densitas 2 x f x, untuk 0 x 2 carilah estimator untuk θ dengan MME!
Soal: Jika x, 1 x2,..., x n sampel random dengan fungsi densitas f x x 1, untuk 0 x 1 carilah estimator untuk θ dengan MME!
Soal: Jika densitas x x,..., 1, 2 f x n sampel random dengan fungsi x 1 x, untuk 0 x 1 carilah estimator untuk θ dengan MME!
Soal: Jika x, 1 x2,..., densitas f x x n sampel random dengan fungsi 1 1 x, untuk 0 x 1 carilah estimator untuk θ dengan MME!
Soal: Jika x, 1 x2,..., x n sampel random yang independen dengan distribusi yang mempunyai fungsi densitas f 1 x i x x e, untuk x 0 i 2 i carilah estimator untuk β dengan MLE dan MME!
B. SIFAT ESTIMATOR
1. Estimator Unbiased Definisi: Suatu estimator ˆ dikatakan estimator unbiased atau estimator tak bias dari jika E ˆ
Diketahui x adalah estimator dari μ. Buktikan bahwa x merupakan estimator unbiased dari μ!
Contoh: Jika x, 1 x2,..., x n independen dan adalah variabel random yang Eksp( ), dengan i 1,2,...,n x i Selidiki apakah estimator θ unbiased!
2. Varian Minimum Definisi: ˆ dikatakan estimator unbiased dengan varian minimum dari, apabila varian dari ˆ memenuhiketidaksamaan Cramer- Rao, Var yaitu 1 ˆ 2 ne d ln f ( x) d
Teorema Jika ˆ estimator unbiased dari dan memenuhi 1 Var ˆ 2 d ln f ( x) ne d maka ˆ merupakan UMVUE UMVUE = Uniform Minimum Variance Unbiased Estimator. CRLB untuk ne CRLB = Cramer Rao Lower Bound. 1 d ln f ( x) d 2 untuk.
Contoh: x x,... x n Jika, 1 2 adalah variabel random yang independen dan Eksp( ), dengan i 1,2,...,n x i a. Carilah CRLB untuk θ! b. Apakah ˆ merupakan UMVUE untuk θ!
3. Estimator Konsisten Definisi: ˆ suatu estimator dikatakan konsisten parameter jika : a. ˆ unbiased b. lim Var n ˆ 0 dari
Contoh: Dari contoh di atas, selidiki apakah ˆ merupakan estimator yang konsisten!
Diketahui x, 1 x2,..., x n masing-masing adalah sampel random yang independen dengan fungsi densitas f 1 2 i i x x e untuk x 0 i a. Carilah estimator untuk α dengan MME. b. Selidiki apakah unbiased. x i ˆ c. Apakah merupakan UMVUE untuk? ˆ d. Apakah merupakan estimstor konsisten? ˆ
Diketahui x, 1 x2,..., x n masing-masing adalah sampel random yang independen dengan fungsi densitas f 1 2 i x x e untuk 0 x i x i 3 2 a. Carilah estimator untuk α dengan MLE. b. Carilah estimator untuk α dengan MME. c. Selidiki apakah ˆ unbiased. d. Apakah ˆ merupakan UMVUE untuk α? e. Apakah ˆ merupakan estimstor konsisten? i