-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny
Agenda Bagian : Matriks Invers Bagian : Eliminasi = Faktorisasi: A = LU Bagian : Transpos dan Permutasi Anny
Bagian MATRIKS INVERS Anny
Pendahuluan Matriks invers dari sebuah matriks persegi A dinotasikan dengan A -. A - A = I A - Ax = x Sebuah matriks A mungkin juga tidak memiliki inversnya (A - tidak eksis) Perkalian A - dengan Ax = b menghasilkan A - Ax = A - b x = A - b Anny
Definisi Sebuah matriks dikatakan invertible jika terdapat sebuah matriks A - sedemikian hingga A - A = I dan AA - = I. Tidak semua matriks memiliki invers Invers akan ada jika dan hanya jika eliminasi menghasilkan n pivot (pertukaran baris dibolehkan). Eliminasi dapat menghasilkan solusi Ax = b tanpa secara eksplisit menghitung A -. Anny 5
Definisi () Sebuah matriks tidak mungkin memiliki dua matriks invers yang berbeda. Misal BA = I, AC = I, maka B = C B(AC) = (BA)C BI = IC B = C Jika A memiliki invers (invertible), maka satusatunya solusi Ax = b adalah x = A - b. Misal terdapat vektor bukan nol x sedemikian hingga Ax =, maka A tidak memiliki invers. Jika A invertible, maka Ax = hanya memiliki solusi x = A - = (zero vector) Anny 6
Definisi () Sebuah matriks x mempunyai invers (invertible) jika dan hanya jika ad bc tidak sama dengan nol Nilai ad bc adalah determinan matriks A. Sebuah matriks diagonal memiliki invers jika tidak terdapat nilai nol pada diagonalnya. Anny 7
Contoh Apakah matriks A berikut memiliki invers? Sebutkan tiga alasannya. A Tidak. Determinan A =. Jumlah pivot yang tidak sama dengan hanya (bukan ). Ax = untuk x = (, -) Anny 8
Invers Perkalian Matriks AB Hasil perkalian matriks AB memiliki invers jika dan hanya jika matriks A dan B masingmasing memiliki invers dan ukurannya sama. Invers matriks AB: AB - = B - A - AA - = I (AB) B - A - =A(BB - )A - = AIA - =AA - = I Aturan reverse order : Anny 9
Contoh Jika matriks eliminasi E mengurangi 5 kali baris pertama dari baris kedua, invers matriks E - menambahkan 5 kali baris pertama ke baris kedua. Matriks persegi memiliki karakteristik jika AB = I maka BA = I Anny
Eliminasi Gauss-Jordan Meski persamaan Ax = b dapat dipecahkan dengan x = A - b, menghitung A - kemudian mengalikannya dengan b kadang kurang efisien. Dengan eliminasi solusi x dapat langsung dicari. Dengan eliminasi juga, matriks invers A - juga dapat dihasilkan Ide dasar Gauss-Jordan adalah mencari solusi AA - = I, yakni dengan menentukan setiap kolom matriks A -. Anny
Eliminasi Gauss-Jordan () Matriks A dikalikan kolom pertama matriks A - (sebut kolom ini x ) menghasilkan kolom pertama matriks I (sebut kolom ini e ) Persamaannya: Ax = e = (,, ) Dua persamaan yang lain: Ax = e = (,, ) Ax = e = (,, ) Anny
Eliminasi Gauss-Jordan () Metode Gauss-Jordan menghitung A - dengan mencari solusi ketiga persamaan tsb (jika matriksnya x), atau n persamaan jika matriksnya nxn. Misal terdapat sebuah matriks K: Matriks identitas I: Untuk mencari K - : Matriks gabungan [K I]: Lakukan eliminasi dengan meng-nol-kan elemen dibawah pivot pertama: Lakukan eliminasi dengan meng-nol-kan elemen dibawah pivot kedua: Anny
Eliminasi Gauss-Jordan () Matriks diatas kolom pertamanya adalah U (upper triangular), pivot pada diagonalnya adalah, /, dan /. Selanjutnya metode Gauss-Jordan menghasilkan bentuk reduksi (nilai nol diatas pivot: Anny
Eliminasi Gauss-Jordan (5) Langkah terakhir metode Gauss-Jordan adalah membagi setiap baris dengan nilai pivot pada baris yang bersangkutan, sehingga pivot yang baru adalah : Tiga kolom terakhir matriks diatas adalah K - yang dicari Anny 5
Karakteristik Matriks K dan K - K K Anny 6 Matriks K symmetric pada diagonal utamanya, begitu pula matriks K -. Matriks K tridiagonal (hanya tiga nilai bukan nol pada diagonalnya). Matriks K - adalah dense matrix tanpa ada nilai nol. Hasil perkalian pivot matriks U: *(/)*(/) =. Nilai ini merupakan determinan dari K.
Contoh Untuk matriks A =, tentukan A - dengan eliminasi Gauss-Jordan. [A I] = Langkah Eliminasi: Langkah Eliminasi: Dibagi dengan pivot: A - = Anny 7 7 7 7 7 7
Contoh Untuk matriks L =, tentukan L - dengan eliminasi Gauss-Jordan. [L I] = Langkah Eliminasi: Langkah Eliminasi: Langkah Eliminasi : L - = Anny 8 5 5 5 5 5 5
Bagian ELIMINASI = FAKTORISASI: A = LU Anny 9
Faktorisasi Matriks Matriks A merupakan hasil perkalian dua atau tiga matriks spesial yang lain. Dari eliminasi, faktor matriks A adalah matriks triangular L dan U: A = LU. U: matriks upper triangular dengan nilai-nilai pivot pada diagonalnya. Dengan eliminasi matriks A dapat diubah menjadi U. L: matriks lower triangular yang dapat digunakan untuk mengubah matriks U kembali menjadi A. Anny
Faktorisasi Matriks () Matriks A berukuran x: 6 8 Baris kedua diatas adalah faktorisasi matriks A: LU = A Untuk matriks x, matriks A akan dikalikan dengan E, E, dan E untuk menjadi matriks U. asumsi tidak ada pertukaran baris pada matriks A Jika invers dari matriks-matriks eliminasi dikalikan dengan sistem, dihasilkan A = (E - E - E - )U = LU. Anny
Faktorisasi Matriks () A = LU adalah eliminasi tanpa ada pertukaran baris pada A. Matriks U memiliki nilai-nilai pivot pada diagonalnya. Matriks L memiliki nilai pada diagonalnya. Pengali l ij berada di bawah diagonal matriks L. Misal, matriks A = Eliminasi akan mengurangkan ½ kali baris dari baris, l = ½, kemudian mengurangkan / kali baris dari baris, l = /. Berapa L? Berapa U? Perkalian LU menghasilkan A: Anny
Contoh Sebuah matriks x: Tentukan matriks L dan U! Pola spesial: Jika sebuah baris pada A berawal dengan nol, begitu pula baris pada L Jika sebuah kolom pada A berawal dengan nol, begitu pula kolom pada U Anny
A = LDU Diagonal matriks L bernilai Diagonal matriks U berisi nilai pivot Jika matriks U dibagi dengan pivotnya, akan dihasilkan matriks U yang diagonalnya bernilai Anny
Bagian TRANSPOS DAN PERMUTASI Anny 5
Transpos Transpos matriks lower triangular adalah matriks upper triangular Transpos A + B = (A + B) T = A T + B T Transpos AB = (AB) T = B T A T Jika A = LDU, berapa A T? Transpos A - = (A - ) T = (A T ) - Anny 6
Inner Product Jika ada dua vektor x dan y, berapa inner product dari x dan y? Nilai tsb dapat juga diperoleh menggunakan perkalian matriks: x T y A T adalah matriks yang menjadikan dua nilai inner product dari x dan y sama: Anny 7
Matriks Simetrik Matriks simetrik: A T = A Contoh: Invers matriks simetrik menghasilkan matriks simetrik juga Contoh: Anny 8
Matriks Simetrik Sebuah matriks berukuran m x n jika ditranspos kemudian dikalikan dengan matriks tsb menghasilkan matriks persegi simetrik (m x n) T n x m (n x m)(m x n) (n x n) Menggunakan karakteristik transpos perkalian matriks, berapa transpos dari R T R? (R T R) T = R T (R T ) T = R T R Anny 9
Matriks Simetri pada Eliminasi Jika A matriks simetrik, bentuk A = LDU berubah menjadi A = LDL T Perhatikan transpos dari LDL T! (LDL T ) T = (L T ) T D T L T = LDL T Anny
Matriks Permutasi Karakteristik matriks permutasi P: Memiliki satu nilai di setiap baris dan di setiap kolom Jika ditranspos akan menghasilkan matriks permutasi juga Perkalian antar matriks permutasi menghasilkan matriks permutasi juga Dibentuk dari matriks identitas I, kemudian baris-barisnya ditukar Anny
Matriks Permutasi x Terdapat 6 matriks permutasi x: I, P, P, P, P P, P P Untuk matriks dengan orde n, ada berapa matriks permutasi? n! P - juga matriks permutasi P - = P T Anny
PA = LU Pada eliminasi, kadang pertukaran baris diperlukan, sehingga P E P E A = U A = (E - P - E - P - )U Jika pertukaran baris direpresentasikan menggunakan sebuah matriks permutasi P, ada dua kemungkinan cara melakukan semua pertukaran baris yang diperlukan: sebelum eliminasi, sehingga PA = LU sesudah eliminasi, sehingga A = L P U MATLAB menggunakan PA = LU Anny
Latihan Pertemuan Chapter.5 Problem,, 5, 7 Chapter.6 Problem,, 5 Chapter.7 Problem,, Anny