BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional Khusus : Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa dapat : 1. Menentukan basis pada ruang Euclid R dan R 3.. Menentukan hasil operasi ektor pada ruang Euclid R dan R 3. 3.1. Operasi Aljabar Vektor Sebelum membahas operasi aljabar ektor, terlebih dahulu akan diingatkan kembali pengertian ektor dan skalar. Vektor adalah segmen garis yang mempunyai arah dan panjang. Secara geometris ektor digambarkan dengan anak panah yang mempunyai pangkal dan ujung. B A Vektor AB Vektor-ektor yang mempunyai arah dan panjang yang sama dikatakan ekialen.
Vektor-ektor ekialen Definisi : Jika dan w adalah dua ektor sebarang maka + w, disebut jumlah ektor dan w, diperoleh sebagai berikut : letakkan ektor w sehingga titik awal w berimpit dengan titik akhir dari, maka ektor + w dinyatakan oleh panah dari titik awal ke titik ujung w. w w +w w+ w Penjumlahan ektor Vektor yang panjangnya nol dinamakan ektor nol dan dinyatakan dengan 0. Penjumlahan dengan ektor nol didefinisikan 0 + = + 0 = Jika sebarang ektor tak nol, maka (negatif ) adalah ektor yang mempunyai besaran sama seperti tetapi arahnya berlawanan dengan. Pengurangan dua ektor didefinisikan sebagai penjumlahan dengan negatif ektor. w = + ( w)
w -w -w - w- w Negatif ektor Pengurangan ektor Definisi : Perkalian ektor tak nol dengan skalar (bilangan real tak nol) k didefinisikan sebagai ektor yang panjangnya k kali panjang dan arahnya sama dengan arah jika k > 0, dan berlawanan arah dengan arah jika k < 0. 1-3 Perkalian ector dengan skalar Vektor pada Bidang (R ) Misalkan suatu ektor pada bidang, titik awal diletakkan pada pusat sistem koordinat, dan titik ujung terletak pada koordinat ( 1, ), maka ( 1, ) dinamakan komponen dari. Dalam hal ini ditulis = ( 1, ). Secara geometri 1 menyatakan komponen pada sumbu x dan menyatakan komponen pada sumbu y.
Jika = ( 1, ) dan w = (w 1, w ) adalah ektor-ektor pada bidang (R ), maka ekialen dengan w jika dan hanya jika 1 = w 1 dan = w. Jika = ( 1, ) dan w = (w 1, w ), maka berlaku 1. + w = ( 1+w 1, +w ). k = (k 1, k ) dengan k suatu skalar Contoh : Misalkan = (, 1) dan w = (1, 3), maka + w = (, 1) + (1, 3) = ( +1, 1+3) = ( 1, 4) = (, 1) = (.( ),.1) = ( 4, ) w = (, 1) (1, 3) = ( 1, 1 3) = ( 3, ) w = (1, 3) (, 1) = (1 ( ), 3 1) = (3, ) +w w w- -w Operasi aljabar ektor Kadang-kadang ektor diletakkan sedemikian sehingga titik awalnya tidak terletak pada pusat koordinat. Misalkan titik awalnya adalah P 1(x 1,y 1) dan titik ujungnya adalah P (x,y ) maka P1 P = ( x x1, y y1). Komponen P 1P didapat dengan mengurangkan
koordinat tititk awal dari koordinat titik ujung. Jika dijelaskan dengan gambar, didapat pula P1 P = OP OP1 = ( x, y ) ( x1, y1) = ( x x1, y y1) Contoh : OP 1 P 1 P OP Jika = ( 1, ) adalah ektor di R maka panjang ektor (disebut norm ) didefinisikan sebagai = 1 + Jika P 1(x 1, y 1) dan P (x, y ) adalah dua titik di R, maka jarak dua titik tersebut didefinisikan sebagai norm dari ektor P 1 P, yaitu d = ( x x1) + ( y y1)
Vektor pada Ruang (R 3 ) Misalkan suatu ektor pada ruang (R 3 ), maka komponen dari adalah ( 1,, 3) yang secara geometri 1 menyatakan komponen pada sumbu x dan menyatakan komponen pada sumbu y dan 3menyatakan komponen pada sumbu z. Jika = ( 1,, 3) dan w = (w 1, w, w 3), maka 1. ekialen dengan w jika dan hanya jika 1 = w 1, = w, 3 = w 3.. + w = ( 1+w 1, +w, 3+w 3) 3. k = (k 1, k, k 3) dengan k suatu skalar Jika P 1(x 1, y 1, z 1) dan P (x, y, z ) adalah titik-titik di R 3, maka P 1 P = (x -x 1, y -y 1, z -z 1) Jika w = (w 1, w, w 3) suatu ektor di R 3, maka panjang ektor (norm) w didefinisikan sebagai w = w 1 + w + w3 Jika P 1(x 1, y 1, z 1) dan P (x, y, z ) adalah dua titik di R 3, maka jarak antara dua titik tersebut adalah norm dari ektor P P 1, yaitu d Contoh : = ( x x1) + ( y y1) + ( z z1) Norma ektor = (3, 4, 0) adalah = 3 + 4 + 0 = 5
Jarak di antara titik P 1(, 1, 0) dan P (4, 3, 1) adalah d = ( 4 ) + ( 3 1) + ( 1 0) = 4 + 16 + 1 = 1 Kaidah dasar ilmu hitung ektor akan ditunjukkan di dalam teorema berikut ini. Teorema : Jika u, dan w adalah ektor-ektor di dalam R atau R 3 dan k, l adalah skalar, maka hubungan yang berikut akan berlaku. 1. u + = + u. (u + ) + w = u + ( + w) 3. u + 0 = 0 + u = u 4. u + (-u) = 0 5. k(l u) = (kl) u 6. k(u + ) = k u + k 7. (k +l) u = k u + l u 8. 1 u = u
3.. Perkalian Titik pada Vektor Perkalian titik atau dot product dan sifat-sifat ilmu hitung dari perkalian ini akan diberikan dalam definisi berikut : Yang dimaksud sudut antara ektor u dan adalah sudut yang dibentuk antara ektor u dan yang telah dialokasikan sehingga titik asal keduanya berimpit. Definisi : Jika u dan adalah ektor-ektor di dalam R atau R 3 dan θ adalah sudut di antara u dan (0 q p), maka perkalian titik (dot product) atau perkalian dalam Eucliden antara u dan, dinotasikan dengan u. didefinisikan dengan u. = u cosθ Dari definisi tersebut, jika u = 0 atau = 0 maka jelas u. = 0. Misalkan O P = u = (u 1, u, u 3) dan O Q = = ( 1,, 3) ektorektor tak nol di R 3 z P(u 1, u,u 3 ) u Q( 1,, 3 ) O x q y Pandang segitiga OPQ. Menurut hukum kosinus pada segitiga, tentu berlaku
P Q = u + u cos θ (*) Mengingat bahwa P Q = u maka P Q = - u. Karena definisi hasil kali titik, persamaan (*) di atas dapat ditulis sebagai 1 u. = ( u + - u ) (**) Karena u = u 1 + u + u3, = 1 + + 3, dan - u = ( 1 u1) + ( u ) + ( 3 u3 ), dengan penyerdehanaan akan diperoleh u. = u 11 + u + u33 Secara sama berlaku pada R. Jika u = (u 1, u ) dan = ( 1, ) ektorektor tak nol di R maka u. = u 11 + u Teorema : Misalkan u dan adalah ektor-ektor di dalam R atau R 3. a.. = b. Jika u dan masing-masing tidak nol dan θ adalah sudut antara kedua ektor tersebut, maka θ adalah sudut lancip jika hanya jika u. > 0 θ adalah sudut tumpul jika hanya jika u. < 0
θ adalah sudut siku-siku jika hanya jika u. = 0 Jika sudut antara ektor u dan siku-siku maka dikatakan bahwa kedua ektor itu orthogonal dan dituliskan u. Jadi ektor u dan akan orthogonal jika u. = 0. Teorema : Misalkan u,, dan w adalah ektor-ektor di dalam R atau R 3 dan k adalah skalar, maka a. u. =.u b. u.( + w) = u. + u.w c. k(u.) = (ku). = u.(k) d.. > 0 jika 0 dan. = 0 jika = 0 Adakalanya kita perlu menyatakan suatu ektor u ke dalam bentuk jumlahan dua suku, yang satu sejajar ektor tak nol p sedang yang lain tegak lurus terhadap p. Keadaan ektor u dan dua ektor jumlahannya dapat digambarkan sebagai berikut. w u w 1 p Kita dapat melihat bahwa w = u - w 1 sehingga kita peroleh
w 1 + w = w 1 + (u - w 1) = u Dalam hal ini ektor w 1 dinamakan proyeksi orthogonal u pada p atau disebut pula komponen ektor u sepanjang p, dinotasikan dengan proy pu. Vektor w dinamakan komponen ektor u yang orthogonal terhadap p. Karena w = u - w 1 maka w = u - proy pu. Teorema : Misalkan u dan adalah ektor-ektor di dalam R atau R 3 dan k adalah skalar, maka proy u u. u. = dan u - proy u = u Pada R 3, misalkan i, j, dan k menyatakan ektor satuan siku-siku berturut-turut pada komponen x, y, dan z yaitu i = (1,0,0), j = (0,1,0), dan k = (0,0,1). Dapat dilihat bahwa i j, j k, dan k i serta berlaku i = j = k = 1. Dengan ektor satuan ini, setiap ektor dalam R 3 dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari perkalian skalar dengan ektor i, j, dan k. Contoh : Vektor (,-1,3) dapat dinyatakan sebagai i - j + 3k sebab (,-1,3) = (1,0,0) - (0,1,0) + 3(0,0,1).
3.3. Perkalian Silang pada Vektor Pada sub bab di atas telah dibahas operasi perkalian dua ektor yang hasilnya berupa skalar, pada sub bab ini akan dibahas operasi perkalian dua ektor yang hasilnya berupa ektor. Definisi : Misalkan u = (u 1, u, u 3) dan = ( 1,, 3) ektor-ektor di R 3. Hasil kali silang dari u dan, dinotasikan dalam u ä adalah ektor yang didefinisikan sebagai u ä = (u 3 - u 3, u 3 1 - u 1 3, u 1 - u 1) atau dapat ditulis u u3 u1 u3 u1 u u =,, 3 1 3 1 Hubungan hasil kali titik dan hasil kali silang diberikan dalam teorema berikut. Teorema : Jika u dan adalah ektor-ektor di R 3, maka a. u.(uä) = 0 b..(uä) = 0 c. u = u (u.) (Identitas Lagrange) Sifat-sifat perkalian silang didefinisikan sebagai berikut. Teorema : Jika u, dan w adalah ektor-ektor di R 3, k sebarang skalar, maka :
a. uä = -(äu) b. uä( + w) = (uä) + (uäw) c. (u + ) ä w = (uäw) + (äw) d. k (uä) = (ku)ä = uä(k) e. uä 0 = 0ä u = 0 f. uäu = 0 Jika i = (1,0,0), j = (0,1,0), dan k = (0,0,1) menyatakan ektor satuan sikusiku di R 3, maka 0 0 1 0 1 0 i j =,, = ( 0, 0, 1) = k 1 0 0 0 0 1 Secara sama akan diperoleh pula jäk = i, käi = j jäi = -k, käj = -i, iäk = -j iäi = jäj = käk = 0 Oleh karena itu hasil kali silang u dan dapat dinyatakan pula sebagai : i u u3 u1 u3 u1 u u = i j + k = u1 3 1 3 1 1 j u k u3 3 Jika norma ektor mempunyai tafsiran geometri sebagai panjang suatu ektor, maka norma uä juga mempunyai tafsiran geometri yang khas. Dari identitas Lagrange
u = u (u.) dan definisi u. = u cos θ dengan q menyatakan besar sudut antara u dan, maka u = u ( u cos θ) = u ( 1 cos θ) = u sin θ sehingga diperoleh u = u sin θ Jika digambarkan, sin θ adalah tinggi jajaran genjang dengan sisi u dan. Ini berarti u menyatakan luas jajaran genjang tersebut. sin θ q u 3.4. Kombinasi linear dan kebebasan linear Pada sub bab-sub bab di atas, kita telah membahas ektor-ektor di R dan R 3 berikut beberapa operasinya. Vektor-ektor di R dapat kita nyatakan dalam bentuk -tupel ( 1, ) sedangkan ektor-ektor di R 3 kita nyatakan dalam bentuk 3-tupel ( 1,, 3) dengan 1,, dan 3 adalah bilangan-bilangan real. Vektor-ektor tersebut dapat kita perumum dengan menuliskannya dalam bentuk n-tupel (1,,..., n) dengan 1,,
..., n masing-masing adalah bilangan real. Himpunan semua ektor berbentuk n-tupel ini dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan R n. Dengan perumuman ini, operasi penjumlahan, perkalian skalar, dan hasil kali dalam didefinisikan secara sama seperti pada R dan R 3. Jika u = (u 1, u,..., u n) dan = ( 1,,..., n) ektor-ektor di R n dan k skalar, maka u + = (u 1+ 1, u +,, u n+ n) k = (k 1, k,..., k n) u. = u + u + K + u n 1 1 n u 1 + u + un = u K + Kita perhatikan bahwa operasi yang berlaku pada R n di atas, merupakan perumuman operasi yang sama yang berlaku pada R dan R 3. Kita dapat menunjukkan bahwa sifat-sifat yang berlaku pada R dan R 3 terkait dengan operasi di atas juga berlaku pada R n. Sekarang kita akan memperumum ektor beserta himpunan penghimpunnya dalam suatu sistem, yang akan berlaku tidak hanya pada R, R 3, dan R n tetapi juga pada sistem yang lain. Definisi : Misalkan V sebuah himpunan yang dilengkapi dengan dua operasi yang kita definisikan yaitu penjumlahan (+) dan perkalian
skalar (bilangan real). Jika untuk setiap u,, dan w elemen pada V dan k, l sebarang skalar berlaku aksioma-aksioma : 1. u + œ V. u + = + u 3. u + ( + w) = (u + ) + w 4. Ada 0 œ V sehingga u + 0 = 0 + u = u untuk setiap u œ V. 5. untuk setiap u œ V ada -u œ V, disebut negatif u, sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 6. k u œ V untuk setiap skalar k 7. (k +l) u = k u + l u 8. k(u + ) = k u + k 9. k(l u) = (kl) u 10. 1 u = u maka V kita sebut sebagai ruang ektor. Dalam hal ini elemen V kita sebut sebagai ektor. Elemen 0 pada aksioma 4 kita sebut ektor nol. Aksioma 1 dan 6 menunjukkan bahwa penjumlahan dua ektor dan perkalaian skalar dengan ektor menghasilkan suatu ektor. Contoh : a. Himpunan V = R n dengan operasi di atas merupakan ruang ektor.
b. Himpunan titik-titik pada sebuah garis yang melalui titik asal pada R akan membentuk ruang ektor. c. Himpunan titik-titik pada R yang terletak pada kuadran pertama bukanlah ruang ektor. d. Himpunan semua matriks berukuran x dengan elemen bilangan real, ditulis M x(r), merupakan ruang ektor. Sifat penting ektor diberikan pada teorema berikut. Teorema : Milakan u elemen suatu ruang ektor V dan k sebarang skalar, maka berlaku : a. 0u = 0 b. k 0 = 0 c. (-1)u = -u d. Jika k u = 0 maka k = 0 atau u = 0 Kadang-kadang untuk suatu keperluan, kita mengambil suatu himpunan bagian dari suatu himpunan yang masih memiliki kaidahkaidah seperti yang berlaku pada himpunannya. Hal ini juga terjadi pada ruang ektor. Definisi : Misalkan W himpunan bagian dari ruang ektor V. Jika W merupakan ruang ektor dengan operasi penjumlahan dan
perkalian skalar seperti yang didefinisikan pada V maka W disebut ruang bagian (subspace) dari V. Dengan definisi tersebut untuk menunjukkan apakah suatu himpunan bagian dari suatu ruang ektor merupakan ruang bagian, kita harus memeriksa apakah ke sepuluh aksioma ruang ektor juga berlaku pada himpunan bagian tersebut. Akan tetapi pada kenyataannya ada aksiomaaksioma yang otomatis berlaku pada ruang bagian karena aksioma tersebut diwarisi dari himpunannya. Aksioma tersebut adalah aksioma, 3, 7, 8, 9, dan 10. sehingga yang harus dibuktikan tinggal aksioma 1, 4, 5, dan 6. Teorema berikut memberikan cara lebih singkat karena aksioma 4 dan 5 dapat pula dihilangkan. Teorema : Misalkan W himpunan bagian dari ruang ektor V. Himpunan bagian W merupakan ruang bagian dari V jika hanya jika memenuhi: a. Jika u, œ V maka u + œ V b. Jika u œ V dan k sebarang skalar maka k u œ V Dua kondisi di atas menyatakan bahwa W tertutup di bawah operasi penjumlahan dan tertutup di bawah operasi perkalian skalar. Pada ruang ektor berlaku operasi penjumlahan ektor dan perkalian skalar dengan ektor. Kombinasi dari dua operasi tersebut menghasilkan suatu ektor yang kita definisikan sebagai berikut.
Definisi : Vektor w dikatakan sebagai kombinasi linear (linear combination) dari ektor-ektor 1,,, n jika w dapat dinyatakan dalam bentuk w = k 1 1 + k + k n n dengan k i, i=1,,,n adalah skalar-skalar. Definisi : Vektor-ektor 1,,, n dikatakan merentang ruang ektor V jika setiap ektor dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari ektor-ektor 1,,, n, ditulis V = span{ 1,,, n}. Definisi : Jika S = { 1,,, n} adalah himpunan ektor-ektor, maka persamaan k 1 1 + k + k n n = 0 mempunyai paling sedikit satu penyelesaian yaitu k 1 = 0, k = 0,, k n = 0 Jika ini merupakan satu-satunya penyelesaian maka S dinamakan himpunan bebas linear (linear independent). Jika ada pemecahan lain maka S dinamakan himpunan bergantung linear / himpunan tak bebas linear (linear dependent). Dengan kata lain S = { 1,,, n} himpunan bebas linear jika k 1 1 + k + k n n = 0 mengakibatkan k 1 = 0, k = 0,, k n = 0. Sedangkan S = { 1,,, n} himpunan tak bebas linear jika k 1 1 + k + k n n = 0 dan terdapat i=1,,...,n dengan k i 0. Definisi : Misalkan V suatu ruang ektor dan S = { 1,,, n} himpunan ektor-ektor anggota V. Himpunan S disebut basis untuk V jika :
a. S bebas linear b. S merentang V Ruang ektor V dikatakan berdimensi hingga (finite dimensional) jika V memuat himpunan berhingga ektor-ektor yang merupakan basis. Jika tidak ada himpunan seperti ini maka V dikatakan berdimensi tak hingga (infinite dimensional). TUGAS RUMAH Materi : Perkalian Silang. 1. Jika u = (-1,-1,-1) dan = (,0,), carilah sebuah ektor yang ortogonal kepada ke dua ektor u dan.. Carilah luas segitiga yang mempunyai titik-titik sudut P(,0,-3), Q(1,4,5) dan R(7,,9). 3. Misalkan u = (-1,3,) dan w = (1,1,-1), carilah semua ektor x yang memenuhi u x x = w. 4. Buktikan bahwa (u + k) x = u x. Materi : Ruang Vektor.