Pertemuan 5 Alin 2017 Bilqis

Pertemuan 5 Alin 2017 Bilqis Vektor 2 dan 3 Dimensi Dot Product, Ruang n-euclidean bilqis 1

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Mengetahui definisi Vektor Dimensi 2 dan Vektor Dimensi 3 Dapat menghitung dot product. Dapat menerapkan dot product pada contoh kasus bilqis 2

Vektor di Ruang-2 Vektor di Ruang-3 bilqis 3

3.1) Vektor -> Pengantar Vektor : Besaran skalar yang mempunyai arah ex : gaya, ke kanan bernilai (+), ke kiri bernilai (-) Secara geometris, B vektor v = AB A disebut titik awal/inisial A v B disebut titik akhir/terminal Arah panah = arah vektor Panjang panah = besar vektor Simbol vektor : v Skalar vektor : v + Vektor : 2 dimensi - * 3 dimensi + - * bilqis 4

B v A vektor v = AB A disebut titik awal/inisial B disebut titik akhir/terminal Vektor-vektor ekivalen Dianggap sama Panjang dan arahnya sama bilqis 5

Negasi sebuah vektor v v secara geometrik v v Panjang sama, arah berlawanan Penjumlahan dua vektor: w = u + v secara geometrik w u v Selisih dua vektor: w = u v sama dengan w = u + ( v) u v w w v u bilqis 6

Penjumlahan dua vektor: w = u + v w v u Cara analitik: Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau Ruang-3 Ruang-2: u = (u 1, u 2 ); v = (v 1, v 2 ); w = (w 1, w 2 ) w = (w 1, w 2 ) = (u 1, u 2 ) + (v 1, v 2 ) = (u 1 + v 1, u 2 + v 2 ) w 1 = u 1 + v 1 w 2 = u 2 + v 2 bilqis 7

Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number) w = k v ; k = skalar secara geometrik: v 3v v 2v bilqis 8

Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number) w = k v ; k = skalar Cara analitik: Di Ruang-2: w = kv = (kv 1, kv 2 ) (w 1, w 2 ) = (kv 1, kv 2 ) w 1 = kv 1 w 2 = kv 2 bilqis 9

Koordinat Cartesius: P 1 = (x 1, y 1 ) dan P 2 = (x 2, y 2 ) P 1 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x 1, y 1 ) atau sebagai vektor OP 1 di Ruang-2 dengan komponen pertama x 1 dan komponen kedua y 1 P 2 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x 2, y 2 ) atau sebagai vektor OP 2 di Ruang-2 dengan komponen pertama x 2 dan komponen kedua y 2 Vektor P 1 P 2 = OP 2 OP 1 = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) bilqis 10

Using Coordinat y v ( v 1, v 2 ) v 1 & v 2 komponen2 v x Mis: v = ( 1, -2 ) & w = ( 7, 6 ) ( + ) v + w = ( 1, -2 ) + ( 7, 6 ) = ( 1 + 7, -2 + 6 ) = ( 8, 4 ) ( - ) v w = ( 1, -2 ) - ( 7, 6 ) = ( 1-7, -2-6 ) = ( -6, -8 ) ( * ) 4 v = 4 ( 1, -2 ) = ( 4, -8 ) V - w v w 4v V + w bilqis 11

Vektor 3 dimensi z v = ( v 1, v 2, v 3 ) Misal: v = ( 4, 5, 6 ) 6 v 5 y x 4 Mis : v = ( 1, -3, 2 ) w = ( 4, 2, 1 ) ( + ) v + w = ( 5, -1, 3 ) ( - ) v w = ( -3, -5, 1 ) ( * ) 2 v = ( 2, -6, 4 ) P 2 P 1 v v = P 1 P 2 = P 2 - P 1 = ( x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) bilqis 12

Ex 2 hal 124 Example 2: the component of the vector v = P 1 P 2 with the initial point P 1 ( 2, -1, 4 ) And terminal point P 2 ( 7, 5, -8 ) are v = ( 7 2, 5 ( -1 ), ( -8 ) 4 ) = ( 5, 6, -12 ) in 2-space, the vector with initial point P 1 ( x 1, y 1 ) and terminal point P 2 ( x 2, y 2 ) is P 1 P 2 = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 ) bilqis 13

Translasi sumbu-y sumbu-y y y P (x, y) (x, y ) l (0, 0) (k, l) x sumbu-x (0, 0) k x sumbu-x X = k + x y = l + y x = x k y = y l bilqis 14

Translasi sumbu-y l (0, 0) sumbu-y y (0, 0) (k, l) k x P (x, y) (x, y ) sumbu-x x sumbu-x pers.translasi : x = x - k y = y l x = x + k y = y + p Ex: ( k, l ) = ( 4, 1 ), koordinat ( x, y ) titik P ( 2, 0 ). Berapakah koordinat ( x, y )? Jwb : x = x k y = y l = 2 4 = 0-1 = -2 = -1 bilqis 15

bilqis 16

Ex 3 hal 125 Suppose that an xy-coordinate system translated to obtain an x y - coordinate system whose origin has xy-coordinates ( k, l ) = ( 4, 1) (a) Find the x y -coordinates of the point with the xy-coordinate P ( 2, 0 ) (b) Find the xy-coordinates of the point with the x y -coordinate Q ( -1, 5 ) Solutions (a): the translations equations are x = x 4 y = y 1 So the x y -coordinates of P ( 2, 0 ) are x = 2 4 = - 2 and y = 0 1 = - 1 Solutions (b): the translations equations in (a) can be rewritten as x = x + 4 y = y + 1 So the xy-coordinates of Q are x = -1 + 4 = 3 and y = 5 + 1 = 6 bilqis 17

Contoh soal Carilah vektor yang mempunyai titik awal P ( 2, 3 ) yang mempunyai arah yang sama dengan v = ( 4, 5 ) dari titik P jwb : y y P ( 2, 3 ) v x x v = ( 4, 5 ) dari titik P so, x = 4 y = 5 Maka P( 2, 3 ) dianggap sebagai titik pusat baru. k = 2 dan l = 3. yang kita cari adalah keberadaan vektor v terhadap sumbu koordinat mula-mula ( 0, 0 ) x = k + x y = l + y = 2 + 4 = 3 + 5 = 6 = 8 Jadi vektor lain yang mempunyai arah yang sama dengan v adalah Q ( 6, 8 ) bilqis 18

Aritmatika vektor Norma sebuah vektor bilqis 19

Aritmatika vektor di Ruang-2 dan Ruang-3 Teorema 3.2.1.: u, v, w vektor-vektor di Ruang-2/Ruang-3 k, l adalah skalar (bilangan real) u+v = v+u (u+v)+w = u+(v+w) u+0 = 0+u = u u+(-u) = (-u)+u = 0 k(lu) = (kl)u k(u+v) = ku + kv (k+l)u = ku + lu 1u = u bilqis 20

Bukti teorema 3.2.1.: 1. Secara geometrik (digambarkan) 2. Secara analitik (dijabarkan) Bukti secara analitik untuk teorema 3.2.1. di Ruang-3 u = (u 1, u 2, u 3 ); v = (v 1, v 2, v 3 ); w = (w 1, w 2, w 3 ) u + v = (u 1, u 2, u 3 ) + (v 1, v 2, v 3 ) u + 0 = (u 1, u 2, u 3 ) + (0, 0, 0) = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ) = (u 1 + 0, u 2 + 0, u 3 + 0) = (v 1 + u 1, v 2 + u 2, v 3 + u 3 ) = (0 + u 1, 0 + u 2, 0 + u 3 ) = v + u = 0 + u = (u 1, u 2, u 3 ) = u bilqis 21

k(lu) = k (lu 1, lu 2, lu 3 ) k(u + v) = k((u 1, u 2, u 3 ) + (v 1, v 2, v 3 )) = (klu 1, klu 2, klu 3 ) = k(u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ) = kl(u 1, u 2, u 3 ) = (ku 1 + kv 1, ku 2 + kv 2, ku 3 + kv 3 ) = klu = (ku 1, ku 2, ku 3 ) + (kv 1, kv 2, kv 3 ) = ku + kv (k + l) u = ((k+l) u 1, (k+l) u 2, (k+l) u 3 ) = (ku 1, ku 2, ku 3 ) + (lu 1, lu 2, lu 3 ) = k(u 1, u 2, u 3 ) + l(u 1, u 2, u 3 ) = ku + lu bilqis 22

Norma sebuah vektor: (Untuk sementara norma bisa dianggap sebagai panjang vektor) Ruang-2 : norma vektor u = u = u 12 + u 2 2 Ruang-3 : norma vektor u = u = u 12 + u 2 2 + u 3 2 Vektor Satuan (unit Vector) : suatu vektor dengan norma 1 bilqis 23

Jarak antara dua titik: Ruang-2: vektor P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) jarak antara P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Ruang-3: vektor P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) jarak antara P 1 (x 1, y 1, z 1 ) dan P 2 (x 2, y 2, z 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 bilqis 24

Jika u adalah vektor dan k adalah skalar, maka norma ku = k u bilqis 25

Vektor bisa dinyatakan secara grafik komponennya) analitik (diuraikan mjd Norma v = panjang vektor v = v = v 1 + v 2 v = P 2 P 1 = ( x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) d = v = ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 + ( z 2 z 1 ) 2 Ex: Norma v = ( -3, 2, 1 ) adalah v = ( -3) 2 + ( 2 ) 2 + ( 1 ) 2 = 14 Jarak ( d ) antara titik P 1 ( 2, -1, -5 ) dan P 2 ( 4, -3, 1 ) adalah d = ( 4 2 ) 2 + ( -3 + 1 ) 2 + ( 1 + 5 ) 2 = 44 = 2 11 bilqis 26

Contoh (1): Cari norma dari v = (0, 6, 0) Penyelesaian : v = 0 2 + 6 2 + 0 2 = 36 = 6 Contoh (2): Anggap v = ( 1, 2, 5). Carilah semua skalar k sehingga norma kv = 4 Penyelesaian : kv = k [( 1) 2 + 2 2 + 5 2 ] = k 30 = 4 k = 4 / 30 k = 4 / 30 bilqis 27

Contoh (3): Carilah jarak antara a) P1 = (3, 4) dan P2 = (5, 7) b) P1 = (3, 3, 3) dan P2 = (6, 0, 3) Penyelesaian : a) d = (5 3) 2 + (7 4) 2 = 4 + 9 = 13 b) d = (6 3) 2 + (0 3) 2 + (3 3) 2 = 9 + 9 + 0 = 18 bilqis 28

Perkalian titik (Dot Product) bilqis 29

3.3) Hasil kali titik : proyeksi Hasil kali titik ( dot product ) atau hasil kali Euclidis ( Euclidis inner product ) u. v = Contoh = example 1 hal 131 u. v. Cos θ If u. v 0 0 if u or v = 0 u. v = u1. v1 + u2. v2 + u3. v3 = u. v. Cos θ Contoh = example 2 hal 133 bilqis 30

Ex 1 hal 131 Example I As shown in Figure 2, the angle between the vectors u = (0, 0, 1) and v = (0, 2, 2) is 45. Thus, u. v = u v cos = ( )( ) 2 2 2 2 2 2 1 0 + 0 + 1 0 + 2 + 2 = 2 2 bilqis 31

Ex 2 hal 133 Example 2 Consider the vectors u = (2, -1, 1) and v = (1, 1, 2) Find u.v and determine the angle θ between u and v. Solution u.v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 3 for the given vectors we have u = v = u. v 3 cos = = = u v 6 6 6, so that from (5) 1 2 thus, = 60. bilqis 32

Kemungkinan sudut apit antara dua vektor bilqis 33

Perkalian titik: u. v = skalar Vektor u dan v di Ruang-2 atau di Ruang-3, dengan sudut apit antara u dan v u. v = u v cos jika u 0 dan v 0 0 jika u = 0 atau v = 0 Catatan: u dan v saling tegak lurus ( = 90 o & cos = 0) u. v = 0 Vektor-vektor yang saling tegak lurus disebut vektor-vektor ortogonal bilqis 34

Perkalian titik: u. v = skalar Vektor u dan v di Ruang-2 atau di Ruang-3, dengan sudut apit antara u dan v Catatan: u, v Ruang-2 u = (u 1, u 2 ), v = (v 1, v 2 ) u, v Ruang-3 u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) Formula lain untuk u. v : Ruang-2: u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 Ruang-3: u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 bilqis 35

Contoh : 1. Misal u = (1, 2, 3) dan v = ( 2, 1, 3) Maka u.v = 2 + 2 + 9 = 9 2. Dari soal nomor 1, hitunglah sudut antara u dan v u = 14 dan v = 14 u. v = u v cos = 9 di mana adalah sudut antara u dan v cos = 9 / 14 = arccos (9/14) bilqis 36

Teorema 3.3.1 3.3.2: Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau di Ruang-3 1. v.v = v 2, atau v = (v.v) 1/2 2. Jika u 0, v 0 dan mengapit sudut, maka lancip u.v 0 tumpul u.v 0 = 90 o u.v = 0 3. u. v = v. u 4. u. (v + w) = u.v + u.w 5. Jika k adalah skalar, maka k(u. v) = (ku). v = u. (kv) 6. v.v 0 jika v 0 dan v. v = 0 jika v = 0 bilqis 37

Bukti Teorema 3.3.1 3.3.2: Vektor-vektor u, v di Ruang-2 atau di Ruang-3 1. v.v = v 2, atau v = (v.v) 1/2 Bukti: v. v = v v cos 0 o v. v = v 1 v 1 + v 2 v 2 = v v (1) = v 2 = v 12 + v 2 2 = v 2 = v 2 3. u. v = v. u Bukti: u. v = u v cos = v u cos = v. u bilqis 38

Bukti Teorema 3.3.1 3.3.2: Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau di Ruang-3 4. u. (v + w) = u.v + u.w Bukti: u. (v + w) = (u 1, u 2, u 3 ). (v 1 +w 1, v 2 +w 2, v 3 +w 3 ) = u 1 (v 1 +w 1 ) + u 2 (v 2 +w 2 ) + u 3 (v 3 +w 3 ) = (u 1 v 1 +u 1 w 1 ) + (u 2 v 2 +u 2 w 2 ) + (u 3 v 3 +u 3 w 3 ) = (u 1 v 1 +u 2 v 2 + u 3 v 3 ) + (u 1 w 1 + u 2 w 2 +u 3 w 3 ) = u.v + u.w 5. Jika k adalah skalar maka k(u. v) = (ku). v = u. (kv) Bukti: k(u. v) = k(u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ). = (ku 1 v 1 + ku 2 v 2 + ku 3 v 3 ) = (u 1 kv 1 + u 2 kv 2 + u 3 kv 3 ) = (ku 1 )v 1 + (ku 2 )v 2 + (ku 3 )v 3 = u 1 (kv 1 ) + u 2 (kv 2 ) + u 3 (kv 3 ) = (ku). v = u. (kv) bilqis 39

Bukti Teorema 3.3.1 3.3.2: Vektor v di Ruang-2 atau di Ruang-3 6. v.v 0 jika v 0 dan v. v = 0 (skalar) jika v = 0 (vektor) Bukti: v 0 = (v 1, v 2, v 3 ) v. v = v 1 v 1 + v 2 v 2 + v 3 v 3 = v 12 + v 22 + v 2 3 karena v i2 selalu > 0 maka v. v > 0 v = 0 = (0, 0, 0) maka v. v = 0 bilqis 40

Aplikasi Teorema 3.3.1: Vektor-vektor u, v di Ruang-2 atau di Ruang-3 2. jika u 0, v 0 dan mengapit sudut, maka Contoh : lancip u.v 0 tumpul u.v 0 = 90 o u.v = 0 Jika u = (1, 2, 3), v = ( 3, 4, 2), w = (3, 6, 3) maka u.v = 3 8 + 6 = 5 v.w = 9 + 24 + 6 = 21 u.w = 3 12 + 9 = 0 Oleh karena itu, u dan v membentuk suatu sudut tumpul v dan w membentuk suatu sudut lancip u dan w saling tegak lurus bilqis 41

Proyeksi Ortogonal: w 2 u w 2 u w 1 a a w 1 u w 2 w 1 a w 1 = proyeksi ortogonal dari vektor u pada vektor a = komponen vektor u di sepanjang vektor a w 2 = komponen vektor u ortogonal terhadap vektor a bilqis 42

Proyeksi Ortogonal: w 2 u w 1 = proyeksi ortogonal dari vektor u pada vektor a w 2 = komponen vektor u ortogonal terhadap vektor a w 1 a w 1 = ( u. a / a 2 ) a Bukti: w 1 = ( k ) a k = ( u. a / a 2 )? w 2 = u ( u. a / a 2 ) a u = w 1 + w 2 = k a + w 2 u. a = (k a + w 2 ). a = ka. a + w 2. a = k a 2 + 0 = k a 2 k = ( u. a ) / a 2 Norm vektor w 1 : w 1 = u. a a / a 2 = u. a / a bilqis 43

Contoh Anggap u = (2, 1, 3) dan a = (4, 1, 2). Tentukan : Proyeksi ortogonal vektor u pada vektor a Komponen vektor u yang orthogonal terhadap a Penyelesaian: u. a = 8 + 1 + 6 = 15 a 2 = 21 maka : w 1 = proy a u = ( u. a / a 2 ) a = (15/21) (4, 1,2) = (20/7, 5/7, 10/7) w 2 = u proy a u = ( 6/7, 2/7, 11/7) bilqis 44

Jarak titik P o (x o, y o ) ke garis lurus g : ax + by + c = 0 n Vektor n = (a, b) ortogonal garis g Bukti bahwa n = (a, b) ortogonal garis g Q (x 1, y 1 )* Vektor QR = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) R(x 2, y 2 ) * Dengan perkalian titik: n. QR = a(x 2 x 1 ) + b (y 2 y 1 ) R terletak pada garis g, maka: ax 2 + by 2 + c = 0 Q terletak pada garis g, maka: ax 1 + by 1 + c = 0 g : ax + by + c = 0 a(x 2 x 1 ) + b (y 2 y 1 ) + 0 = 0 Jadi, n. QR = a(x 2 x 1 ) + b (y 2 y 1 ) = 0 artinya vektor n ortogonal QR, sehingga vektor n ortogonal garis g (terbukti) bilqis 45

Jarak titik P o (x o, y o ) ke garis lurus g : ax + by + c = 0 n Vektor QP o = (x o x 1, y o y 1 ) ( vektor QP o seperti vektor u; Q (x 1, y 1 ) d P o (x o, y o ) vektor n seperti vektor a vektor d seperti vektor w 1 ) jarak dari titik P o ke garis g = d g: ax + by + c = 0 w 1 = u. a / a d = QP o. n / n = (x o x 1, y o y 1 ). (a, b) / (a 2 + b 2 ) = (x o x 1 )a +(y o y 1 )b) / (a 2 + b 2 ) = x o a x 1 a + y o b y 1 b / (a 2 + b 2 ) tetapi Q terletak di g, maka ax 1 + by 1 + c = 0 atau c = ax 1 by 1 Maka d = ax o + by o ax 1 by 1 / (a 2 + b 2 ) d = ax o + by o + c / (a 2 + b 2 ) bilqis 46

Contoh (1) : Hitunglah jarak antara titik (1, 2) ke garis 3x + 4y 6 = 0 Penyelesaian : D = 3.1+ (4. Contoh (2) : Hitunglah jarak antara titik (1, 2) ke garis 2 = 4y 2x Penyelesaian : garis diubah menjadi 2x + 4y 2 = 0 3 2 + 2) 6 4 2 = 11 25 = 11 5 ( 2)(1) +(4)( 2) 2 12 12 d = = = ( 2) 2 + (4) 2 20 20 bilqis 47

Ruang-n Euclidean (Euclidean n-space) bilqis 48

Review: Bab 3 membahas Ruang-2 dan Ruang-3 Ruang-n : himpunan yang beranggotakan vektorvektor dengan n komponen {, v = (v 1, v 2, v 3, v 4,, v n ),.. } Atribut: arah dan panjang / norma v Aritmatika vektor-vektor di Ruang-n: 1. Penambahan vektor 2. Perkalian vektor dengan skalar 3. Perkalian vektor dengan vektor bilqis 49

Norma sebuah vektor: Norma Euclidean (Euclidean norm) di Ruang-n : u = (u 1, u 2, u 3,, u n ) u = u 12 + u 2 2 + u 3 2 + + u n 2 d(u,v) = u-v = (u 1 -v 1 ) 2 + (u 2 -v 2 ) 2 + (u 3 -v 3 ) 2 + + (u n -v n ) 2 bilqis 50

Ex. 3 hal 171 Example 3. If u = (1, 3, -2, 7) and v = (0, 7, 2, 2) then in the Euclidean space R 2. 2 2 2 ( 1) + (3) + ( 2) + (7) u = = = 2 63 3 7 And 2 2 2 ( 1 0) + (3 7) + ( 2 2) + (7 d(u,v) = = 2) 2 58 bilqis 51

Contoh: Hitunglah Eucledian norm dari vektor-vektor berikut : (a) x = (3, 4, 0, 12) (b) v = ( 2, 1, 1, 3, 4) (a) x = 9 + 16 + 0 + 144 = 169 = 13 (b) v = 4 + 1 + 1 + 9 + 16 = 31 bilqis 52

Penambahan vektor: di Ruang-n u = (u 1, u 2, u 3,, u n ); v = (v 1, v 2, v 3,, v n ) w = (w 1, w 2, w 3,, w n ) = u + v w = (u 1, u 2, u 3,, u n ) + (v 1, v 2, v 3,, v n ) w = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3,, u n + v n ) w 1 = u 1 + v 1 w 2 = u 2 + v 2.. w 2 = u n + v n bilqis 53

Negasi suatu vektor: u = (u 1, u 2, u 3,, u n ) u = ( u 1, u 2, u 3,, u n ) Selisih dua vektor: w = u v = u + ( v) = (u 1 v 1, u 2 v 2, u 3 v 3,, u n v n ) Vektor nol: 0 = (0 1, 0 2, 0 3,, 0 n ) bilqis 54

Perkalian skalar dengan vektor: w = kv = (kv 1, kv 2, kv 3,, kv n ) (w 1, w 2, w 3,, w n ) = (kv 1, kv 2, kv 3,, kv n ) w 1 = kv 1 w 2 = kv 2.. w n = kv n bilqis 55

Perkalian titik: (perkalian Euclidean) u. v = skalar u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + + u n v n u. v = 0 jika u dan v ortogonal Catatan: perkalian silang hanya di Ruang-3 bilqis 56

Ex.1 hal 169 Example 1 The Euclidean inner product of the vectors u = (-1, 3, 5, 7) and v = (5, -4, 7, 0) is R 4 is u.v = (-1)(5)+(3)(-4)+(5)(7)+(7)(0) = 18 bilqis 57

Contoh: Hitunglah perkalian Eucledian u. v di mana u = (0, 2, 1, 1) dan v = ( 3, 2, 4, 4) u. v = (0)( 3) + ( 2)(2) + (1)(4) + (1)(4) = 4 bilqis 58

Aritmatika vektor di Ruang-n: Teorema 4.1.1.: u, v, w vektor-vektor di Ruang-n k, l adalah skalar (bilangan real) u + v = v + u (u + v) + w = u + (v + w) u + 0 = 0 + u = u u + (-u) = (-u) + u = 0 k(lu) = (kl)u k(u + v) = ku + kv (k + l) u = ku + lu 1u = u bilqis 59

Teorema 4.1.2: Vektor-vektor u, v, w di Ruang-n; k adalah skalar u. v = v. u u. (v + w) = u.v + u.w k(u. v) = (ku). v = u. (kv) v.v 0 jika v 0 v. v = 0 jika dan hanya jika v = 0 bilqis 60

Ex. 2 hal 170 Example 2 Theorem 4.1.2 aloows us to perform computation with Euclidean inner products in much the same way that we perform them with ordinary arithmetic products. For Exmple, (3u + 2v).(4u + v) = (3u).(4u + v) + (2v).(4u + v) = (3u).(4u) + (3u).v + (2v).(4u) + (2v).(v) = 12(u.u) + 3(u.v) + 8(v.u) + 2(v.v) = 12(u.u) + 11(u.v) + 2(v.v) The reader should determine which parts of Theorm 4.1.2 were used in each step bilqis 61

Teorema 4.1.3-4.1.5: u. v u v u 0 u 0 jika dan hanya jika u = 0 ku = k u u + v u + v d(u, v) 0 d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v d(u, v) = d(v, u) d(u, v) d(u, w) + d(w, v) bilqis 62

Fig. 2 hal 173 v kv u + v u (a) (b) v Figure 2 kv = k v u+v u + v bilqis 63

Fig. 3 hal 173 w u v d(u,w) d(u,v) + d(v,w) bilqis 64

Teorema 4.1.6 4.1.7: u. v = ¼ u + v 2 ¼ u v 2 Teorema Pythagoras jika u ortogonal v u + v 2 = u 2 + v 2 v u + v u bilqis 65

Ex. 4 hal 174 Example 4 In the Euclidean space R 2 the vectors u = (-2, 3, 1, 4) and v = (1, 2, 0, -1) are orthogonal, since u.v = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(0) + (4)(1) bilqis 66

Contoh soal No. 1 bilqis 67

bilqis 68

Contoh soal No. 2 bilqis 69

bilqis 70

Contoh soal no. 3 bilqis 71

bilqis 72

Contoh soal No. 4 bilqis 73

bilqis 74

Contoh soal No. 5 bilqis 75

bilqis 76

Tugas Kelompok cari 2 soal dan jawaban di internet yang berhubungan dengan materi ppt ini Tulis alamat internetnya Di kirim ke elearning, terakhir Minggu depan Format subject Alin-B-melati Bentuk ppt informasi nama kelompok + anggota bilqis 77