9 BAB III REVIEW PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR 3. Perumusan Penduga bagi dan " Untuk merumuskan penduga bagi λ ( s) dan ( s) c ' λ c" terlebih dahulu perlu dirumuskan penduga bagi sebagai berikut. Misalkan N adalah proses Poisson yang diamati pada interval [0,n] dengan fungsi intensitas λ () s (tidak diketahui) yang diasumsikan memiliki dua komponen, yaitu komponen periodik dengan periode τ > 0 dan komponen tren linear. Dengan kata lain, untuk setiap titik s [ 0, ) fungsi intensitas ( s) dengan ( s) c λ dapat ditulis sebagai berikut : λ λ s (3.) λ adalah fungsi periodik dengan periode (diketahui) τ > 0 dan a menyatakan kemiringan tren linear. Karena c ( s) untuk setiap s [ 0, ) dan k λ adalah fungsi periodik maka Z, dengan Z adalah himpunan bilangan bulat, berlaku λ λ s. 3.2 Kita juga asumsikan bahwa s adalah titik Lebesque dari λ, sehingga berlaku : lim 2 λ λ 0 3.3 (Wheeden dan Zygmund 977). Syarat cukup agar s merupakan titik Lebesgue dari λ adalah fungsi λ kontinu di s. Karena λ c ( s) adalah fungsi periodik dengan periode τ maka untuk menduga λ c ( s) pada s [ 0, ) cukup diduga nilai λ c ( s) pada s [ 0,τ ). Misalkan K : R [ 0, ) merupakan fungsi bernilai real, yang disebut kernel, yang memenuhi sifat-sifat berikut : (K.) K merupakan fungsi kepekatan peluang, (K.2) K terbatas, dan (K.3) K memiliki daerah definisi pada [-,] (Hermers et al. 2003). Misalkan juga h n merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0 atau
0 untuk. 0 Penduga bagi a dan pada titik [ 0,τ ) dirumuskan sebagai berikut: dan s secara berturut-turut 3.4 20, 3.5 λ,, 3.6 Ide di balik pembentukan a n dan c, n, K () s λ dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009) dan Marliana (2008). Jika ˆλ () s adalah penduga bagi, maka penduga bagi λ () s dapat c, n, K dirumuskan sebagai berikut,,,,,,. 3.7 2 Penduga di atas diperoleh dari fakta bahwa, untuk nilai 0 yang cukup kecil, maka 2 Jika ˆλ () s adalah penduga bagi maka penduga bagi dapat c, n, K dirumuskan sebagai berikut:,,,, 2,, 2 2,,. 3.8 4 Penduga di atas diperoleh dari fakta bahwa, untuk nilai h>0 yang cukup kecil, maka 2 2 2 2 4. ' c 3.2 Review Sifat-sifat Statistika ˆλ ( s) c, n, K Lema 3. Misalkan fungsi intensitas memenuhi (3.) dan terintegralkan lokal. Maka
2 3.9 dan 2 untuk n, dengan λ ; 3.0 yang menyatakan fungsi intensitas global dari komponen periodik. Hasil tersebut menyatakan bahwa merupakan penduga konsisten bagi. MSE diberikan oleh persamaan untuk. 4 2 3. Bukti dari lema ini dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009). Teorema 3. (Aproksimasi asimtotik untuk nilai harapan,, ) Misalkan fungsi intensitas memenuhi (3.) dan terintegralkan lokal. Misalkan pula h 0 untuk n, dan kernel K simetris dan memenuhi asumsi (K.), n (K.2), dan (K.3). i) Jika ln, dan memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka,, 2 3.2 ii) Jika ln, dan memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka,, 2 24 untuk n. Bukti : (lihat juga Eviliyanida 2009). 3.3 Berdasarkan Teorema Fubini, kita dapat menukarkan urutan penentuan nilai harapan dan penjumlahan, sehingga nilai harapan di ruas kiri (3.2) dan (3.3) dapat dinyatakan sebagai berikut
2,,. 3.4 Suku pertama pada ruas kanan persamaan (3.4) dapat ditulis menjadi 0,. 3.5 Dengan menggantikan variabel dan menggunakan persamaan (3.) dan (3.2) maka persamaan (3.5) dapat ditulis menjadi 0, 0, 0, 0, 0,. Dengan menggunakan fakta bahwa 0,, 3.7 3.6
3 untuk dan selanjutnya menggantikan variabel maka suku pertama pada ruas kanan persamaan (3.6) dapat ditulis menjadi. 3.8 Untuk membuktikan persamaan (3.2), karena mempunyai turunan ketiga pada s, dengan menggunakan deret Taylor (Lema A.3 dalam Lampiran ), maka diperoleh! jika n. 2! 3! Dengan menggunakan hasil ini maka persamaan (3.8) menjadi! 2! 3!! 2! 3! 3.9 untuk n. Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-,], maka simetris, maka. Karena kernel K adalah 0 dan 0. Dari asumsi maka suku terakhir pada ruas kanan dari persamaan (3.9) menjadi, jika. Sehingga persamaan (3.9) menjadi sama dengan 2 untuk 3.20 n. Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (3.6) dapat ditulis menjadi sama dengan
4 0, 0, 0, 0, 0, 0,. Dengan menggunakan (3.7), dan fakta bahwa 0, 3.2 untuk n, dan penggantian variabel maka ruas kanan persamaan (3.2) dapat ditulis menjadi untuk 3.22 n. Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-,], maka simetrik, maka. Karena kernel K adalah 0. Sehingga suku pertama pada persamaan (3.22) sama dengan nol. Suku kedua persamaan (3.22) sama dengan
5 untuk. Sedangkan suku ketiga dari persamaan (3.22) menjadi untuk n. Sehingga suku kedua pada ruas kanan persamaan (3.6) adalah 3.23 jika n. Dari asumsi maka suku terakhir ruas kanan dari persamaan (3.23) menjadi, jika. Jika kita gabung hasil dari suku pertama (persamaan 3.20) dan suku kedua (persamaan 3.23) pada persamaan (3.6), maka ruas kanan persamaan (3.5) sama dengan 2 3.24 untuk n. Kemuadian untuk menyelesaikan suku kedua ruas kanan dari persamaan (3.4) kita gunakan persamaan (3.9) dari Lema 3. sehingga diperoleh 2 2 2 3.25 jika n. Dari asumsi maka suku terakhir ruas kanan dari persamaan (3.25) adalah, jika. Dengan menggabungkan persamaan (3.24) dan (3.25) akan diperoleh persamaan (3.2). Untuk membuktikan persamaan (3.3) kita gunakan argumen berikut. Karena mempunyai turunan keempat pada s, dengan menggunakan deret Taylor (Lema A.3 dalam Lampiran ), kita peroleh
6! 2! 3! 4! iika n. Dengan menggunakan hasil ini untuk n maka persamaan (3.8) menjadi 4! 3!! 2!! 4! 3! 2! 3.26 jika n. Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-,], maka maka 0 dan. Karena kernel K adalah simetris, 0. Dari asumsi maka suku terakhir pada ruas kanan dari persamaan (3.26) menjadi, jika. Sehingga persamaan (3.26) menjadi sama dengan 2 untuk. Jika kita gabung persamaan (3.27) dan persamaan (3.23) 2 24, 3.27 maka diperoleh 24 3.28 untuk n. Dengan mensubtitusikan persamaan (3.28) dan (3.25) diperoleh persamaan (3.3). Berarti Teorema 3. terbukti.
7 Teorema 3.2 (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam,, ) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (3.) dan terintegralkan lokal. Jika 0 untuk n, fungsi kernel K memenuhi asumsi (K), (K2), (K3). Jika ln, maka,, 6 ln 3.29 untuk n, asalkan s adalah titik Lebesgue dari, dimana =0,577 adalah konstanta Euler. Bukti: Kita ingat bahwa λ,,. Misalkan.. Untuk memperoleh ragam dari λ,, kita gunakan persamaan berikut λ,, 2,. 3.30 Dari asumsi (4), untuk n yang cukup besar, interval, dan, tidak overlap untuk semua. Hal ini berimplikasi bahwa untuk semua, dan
8 saling bebas. Ragam pada ruas kanan persamaan (3.30) dapat dinyatakan sebagai berikut,, 2, 0. 3.3 Suku pertama pada ruas kanan persamaan (3.3) dapat ditulis menjadi:. 3.32 Dengan mengganti variabel dan menggunakan (3.) dan (3.2), persamaan (3.32) dapat ditulis menjadi 0, 0, 0,
9 0,. 3.33 Suku pertama pada ruas kanan persamaan (3.33) adalah sama dengan 0, 0, 0,. 3.34 Kita perhatikan bahwa 0, 6 3.35 untuk n. Karena Kernel K terbatas dan memiliki daerah definisi pada [-,], dengan menggunakan persamaan (3.3) dan (3.35) maka suku pertama pada ruas kanan persamaan (3.34) sama dengan, untuk n. Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (3.34) sama dengan 6 6 6 ln 3.36 untuk n. Suku kedua pada persamaan (3.33) dapat ditulis sebagai berikut
20 0, 0, 3.37 Dengan menggunakan persamaan (3.35) maka suku pertama pada persamaan (3.37) menjadi 6 6 6 6 6 untuk n. Dengan menggunakan fakta bahwa 0,, suku kedua pada ruas kanan persamaan (3.37) menjadi l 3.38 3.39 3.40 untuk n. Dengan menggabungkan persamaan persamaan (3.36), (3.38) dan (3.40), maka suku pertama pada persamaan (3.3) menjadi
2 6 6 ln. 6 2 2 ln 2 3.4 untuk. Dengan menggunakan persamaan (3.0) pada Lema 3., suku kedua pada persamaan (3.3) dapat ditulis sebagai berikut 2 2 2 2 3.42 untuk n. Perhatikan bahwa suku pertama dan kedua pada ruas kanan persamaan (3.42) sama dengan o(, untuk n. Dengan menggunakan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz suku ketiga dari persamaan (3.3) adalah 2, 2 2 6 2
22 l 3.43 untuk n. Dengan menggabungkan persaman (3.4), (3.42) dan (3.43) kita peroleh persamaan (3.29). Jadi Teorema 3.2 terbukti. 3.3 Review Sifat- sifat Statistika ˆλ ' ( s) c, n, K Teorema 3.3 (Aproksimasi asimtotik untuk nilai harapan ˆλ ' ) c, n, K Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (3.) dan terintegralkan lokal. Jika 0 dan ln untuk n, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi (K), (K2), (K3), serta memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka,, jika n. 6 2 Bukti : (Lihat juga Eviliyanida (2009)).,,,,,, 2 2,,,,. Berdasarkan (3.2) diperoleh,, 2,, 2 Sehingga persamaan (3.45) menjadi,, 2 2. 3.44 3.45 Dengan deret Taylor diperoleh! 2! 3!, 3.46
23! 2!,. 3!, Dengan mensubstitusikan (3.46) (3.49), maka dihasilkan 3.47 3.48 3.49,, 2 2 3 6 2 6 2. Jadi Teorema 3.3 terbukti. Teorema 3.4 (Aproksimasi asimtotik untuk ragam ˆλ ' ) c, n, K Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (3.) dan terintegralkan lokal. Jika 0, ln, untuk n, fungsi kernel K memenuhi asumsi (K), (K2), (K3) serta memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka. 2 2 6 2,, 4 untuk n. Bukti : (Lihat juga Eviliyanida (2009)). 3.50,, dapat ditentukan sebagai berikut,,,,,, 2 4,,,, 2,,,,, 3.5 Ingat kembali pernyataan (3.6) yang mengakibatkan :
24,, dan,,. Dari 0, untuk nilai n yang besar, maka selang, 2 dan 2, tidak tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga,2 dan 2, adalah bebas. Dengan demikian,,,,, 0, sehingga persamaan (3.5) menjadi,, 4,,,,. 3.52 Kemudian ingat kembali pernyataan (3.29) yang mengakibatkan:,, 6 ln,,, 3.53 6
25 ln, untuk. Dengan mensubstitusikan persamaan (3.54) dan (3.53) ke (3.52), maka 5.54,, 4 2 2 6 2 ln 3.55 untuk. Substitusi persamaan (3.46) dan (3.47) ke (3.55) sehingga (3,52) menjadi,, 4 2 2 2 6 2 2 2 6 2 4, untuk. Jadi Teorema 3.4 terbukti. 3.56 3.4. Review Sifat-sifat Statistika ",, Teorema 3.5 (Aproksimasi asimtotik untuk nilai harapan ",, ) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (3.) dan terintegralkan lokal. Jika 0 dan ln, untuk n, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi
26 asumsi (K), (K2), (K3) serta memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka,, untuk n. 3 Bukti: (Lihat juga Eviliyanida (2009)).,,,, 2,, 2 2,, 4 4,, 2,, 2 2,,. Dengan menggunakan persamaan (3.3) diperoleh,, 2 2 2 2 24 2 dan,, 2 2 2 2 24 2 untuk n. Sehingga,,, 4 2 2 2 2 2 2 2 3.57 3.58 3.59 3.60 24 2 2 2. Dengan deret Taylor diperoleh (3.6) 2! 2! 2 2! 2 2! 4 3! 4 3! 8 4! 8 4! 2 2 4 6 6 3.62 3.63 3.64
27 2 2 4. untuk. Dengan mensubstitusikan (3.62) (3.67), ke (3.6) maka dihasilkan 3.65 3.66 3.67,, 4 4 4 3 4,, 3. Jadi Teorema 3.5 terbukti. Teorema 3.6 (Aproksimasi Asimtotik Untuk Ragam ˆλ" ( s) c, n, K Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (3.) dan terintegralkan lokal. Jika 0, ln, untuk n, fungsi kernel K memenuhi asumsi (K), (K2), (K3) serta memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka,, 3 8 4 2 6 3 8 n 3.68 untuk n. Bukti: (Lihat juga Eviliyanida (2009)).,, dapat ditentukan sebagai berikut,,,,, 2,, 2 2,, 3.69 4 6,, 2,, 2 2,, 6,, 2,, 2 4,, 2,, 2,,, 2
28 4,, 2,,, 4,, 2,,,. 3.70 Ingat kembali pernyataan (3.6) yang mengakibatkan :,, 2 2 dan 2,, 2 2 2. Dari 0, untuk nilai n yang besar, maka selang, dan,3 dan 3, tidak tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga,,,3, dan 3, adalah bebas. Dengan demikian,, 2,,, 2 0,,, 2,,, 0, dan,, 2,,, 0, sehingga,, 6,, 2,, 2 4,,. 3.7 Kemudian ingat kembali pernyataan (3.29) yang mengakibatkan,, 2 2 2 6
29 untuk n, dan ln,, 2 untuk n. 2 2 ln Dengan mensubtitusikan kepersamaan (3.7) diperleh,, 6 6 2 2 4 6 6 6 6 ln 3.72 untuk. Dari persamaan (3.72) dan dengan mensubstitusikan (3.62), (3.63) diperoleh,,, 6 6 6 4 4 3 6 6 6 3 8 o 4 2 6
30 untuk. Jadi Teorema 3.6 terbukti. 3 8 n