3.1 Analisis Dimensional persamaan Navier Stokes

Transkripsi

1 Bab 3 Model Matematika Pada bab ini akan dibahas mengenai proses dalam pembuatan model. Analisis dimensional serta pendekatan lubrikasi kita gunakan terhadap persamaan-persamaan dasar (Navier Stokes) serta persamaan yang memenuhi kondisi batas sebagai hampiran dalam mencari solusi eksak. Kemudian dengan menggunakan teknik pengintegralan dan mengkombinasikan persamaan-persamaan dari hasil lubrikasi tadi, kita akan mendapatkan model dari ketebalan lapisan kondensat yang dipengaruhi oleh konsentrasi surfaktan. 3.1 Analisis Dimensional persamaan Navier Stokes Persamaan-persamaan dasar yang digunakan pada kenyataannya susah untuk di analisis secara eksak. Oleh karena itu untuk menyelesaikan masalah yang dihadapi, maka kita perlu mencarikan solusi hampiran yang cukup baik untuk menggantikannya. Salah satu proses yang dilakukan dalam mencari solusi hampiran dalam pemodelan matematika adalah dengan menggunakan analisis dimensional. Analisis dimensional adalah suatu metode deduksi informasi sebuah fenomena melalui suatu anggapan bahwa fenomena tersebut dapat dinyatakan sebagai suatu per- 13

2 BAB 3. MODEL MATEMATIKA 14 samaan dimensi yang terlibat [3]. Proses ini penting dilakukan karena menuntun kita untuk memperoleh parameter-parameter yang penting dengan mereduksi parameterparameter yang tidak penting dari masalah yang dihadapi. Pertama skalakan parameter-parameter pada Persamaan (2.2.2) dan (2.2.3) sebagai berikut: ρ = ρ,u = u,w = w,p = p ρ 0 u 0 w 0 p 0 t = t,µ = µ,x = x t 0 µ 0 L,z = z h Kemudian dengan mensubstitusikan ke kedua persamaan tersebut, maka kita akan mendapatkan nilai implisit dari Reynold Number (R) yang berada pada ruas kiri dari kedua persamaan. dengan R(ρ(u t + uu x + uw z )) = p x + µ(u xx + u zz ), (3.1.1) R(ρ(w t + uw x + ww z )) = p x + µ(w xx + w zz ). (3.1.2) R = ρhu µ. (3.1.3) Karena lapisan kondensat yang kita tinjau memiliki viskositas yang cukup besar dan ketebalannya sangat tipis maka nilai Reynold Number yang didapat akan sangat kecil sekali (mendekati nilai nol) sehingga kita dapat menyederhanakan persamaan Navier Stokes diatas menjadi: p x + µ(u xx + u zz ) = 0, (3.1.4) p x + µ(w xx + w zz ) = 0. (3.1.5) 3.2 Pendekatan Lubrikasi Selain menggunakan analisis dimensional kita juga menggunakan metode lubrikasi pada sistem fluida dengan lapisan yang sangat tipis. Metode lubrikasi kita gunakan

3 BAB 3. MODEL MATEMATIKA 15 untuk mendapatkan hampiran solusi yang menggambarkan keadaan dari interior lapisan cairan itu sendiri [6]. Variabel-variabel tidak berdimensi yang berpengaruh terhadap sistem, kita skalakan dengan sesuatu parameter sangat kecil ε yang bisa kita rumuskan sebagai berikut: x = ε 1 x,z = z,t = ε 1 t,h = h u = u,w = εw,p = ε 1 p,µ = ε 1 µ. (3.2.1) Disamping itu, orde untuk parameter-parameter yang berpengaruh dalam sistem, diasumsikan sebagai berikut: τ w = O(1),M = O(ε 2 ),σ 0 = O(1). (3.2.2) Kemudian kita lakukan ekspansi perturbasi untuk variabel u, w, dan p : (u,w,p ) = (u 0,w0,p 0) + ε(u 1,w1,p 1) +... (3.2.3) Dengan mensubstitusi variabel-variabel dan kondisi perturbasinya pada Persamaan (3.2.1)-(3.2.3) ke dalam Persamaan (2.2.1), (3.1.4) dan (3.1.5) maka didapatkan hasil sebagai berikut: u 0x + w 0z = 0, (3.2.4) µu 0z z = p 0x, (3.2.5) p 0z = 0. (3.2.6) Persamaan (3.2.4) memiliki orde O(ε), Persamaan (3.2.5) memiliki orde O(1) dan O(ε) sedangkan Persamaan (3.2.6) memiliki orde O(1). Proses diatas kita terapkan juga terhadap persamaan-persamaan yang memenuhi kondisi batas. Untuk kondisi batas antara kondensat dengan dinding pipa ( z = 0) diperoleh hasil:

4 BAB 3. MODEL MATEMATIKA 16 u 0 = 0, (3.2.7) sedangkan untuk kondisi batas di permukaan (z = h) yang dipenuhi oleh persamaan kinematik fluida (2.3.2), persamaan stress pada arah normal (2.3.9), dan persamaan stress pada arah tangential (2.3.10), secara berurutan didapatkan hasil: H t + u 0H x = w0. (3.2.8) µu 0z = τ w. (3.2.9) µu 0z = ( M (1 βγ) )Γ x. (3.2.10) p 0 = σ 0 H x x. (3.2.11) Persamaan (3.2.11) memiliki orde O(1) dan O(ε), Persamaan (3.2.9) memiliki orde O(1) sedangkan Persamaan (3.2.8) dan (3.2.10) memiliki orde O(ε). 3.3 Kecepatan aliran Keadaan pada aliran dasar Setelah melakukan proses lubrikasi terhadap persamaan-persamaan dasar dan kondisi batas diatas, dihasilkan persamaan yang memiliki orde berbeda. Persamaan yang memiliki orde besar (O(1)) kita golongkan ke dalam persamaan yang membangun aliran dasar dari fluida. Dengan mengintegralkan Persamaan (3.2.5) terhadap z kemudian dengan mengkombinasikan dengan Persamaan (3.2.9) pada kondisi batas di permukaan kondensat(z = h), maka akan didapat: µu z = p x (z h) + τ w, (3.3.1) kemudian kita integralkan sekali lagi terhadap z dan dikombinasikan dengan Persamaan (3.2.7) pada kondisi batas di z = 0 maka diperoleh : µu = p x ( z2 2 hz) + τ wz, (3.3.2)

5 BAB 3. MODEL MATEMATIKA 17 dengan mengganti p x dengan turunan pada Persamaan (3.2.11) terhadap x, kondisi kecepatan aliran dasar dari lapisan kondensat di z = h adalah: U(h) = σ 0h 2 h xxx + τ wh µ. (3.3.3) Keadaan pada kondisi Perturbasi Kondisi perturbasi digunakan untuk melihat persamaan yang berpengaruh pada orde yang kecil (O(ε)). Pada kondisi ini terdapat dua buah kecepatan yang akan kita cari, yang pertama adalah u yaitu kecepatan dalam arah x dan kedua adalah w kecepatan dalam arah z Sama seperti halnya yang telah dilakukan dalam mencari kecepatan pada aliran dasar. Untuk mencari kecepatan dalam arah x, kita lakukan dengan mengintegralkan dua kali Persamaan (3.2.5) terhadap z kemudian dengan mengkombinasikan dengan Persamaan (3.2.10) pada kondisi batas di permukaan kondensat(z = h), dan juga Persamaan (3.2.7) pada kondisi batas di z = 0, maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut: u(h) = σ 0h 2 h xxx (1 βγ) )Γ x + ( M µ. (3.3.4) Sedangkan untuk mendapatkan w, digunakan persamaan kontinuitas(3.2.4), sehingga berlaku hubungan: w z = u x. (3.3.5) Kemudian dengan menggunakan aturan integral Leibnez, dengan daerah integrasinya antara z = 0 sampai z = h maka di peroleh hubungan: w = d h udz + u(h) dh u(0). (3.3.6) dx dx 0 dimana u menyatakan nilai kecepatan dalam arah x dalam kondisi perturbasi. Dengan menyelesaikan Persamaan (3.3.6) maka didapat :

6 BAB 3. MODEL MATEMATIKA 18 w = σ 0h 3 h xxxx 3µ σ 0h 2 h xxx h x + h2 µ [ MΓ xx (1 βγ) + MΓ2 xβ ]. (3.3.7) (1 βγ) Kemudian dengan mensubstitusikan Persamaan (3.3.7) dan persamaan kecepatan kondensat dalam persamaan aliran dasar (3.3.3), pada persamaan kondisi kinematik pada permukaan lapisan kondensat (3.2.8), maka diperoleh model matematika ketebalan lapisan kondensat yang dipengaruhi oleh surfaktan yang di rumuskan sebagai berikut : h t + σ 0h 3 h xxxx 3µ + σ 0h 2 h xxx h x µ + τ whh x µ + h2 µ [ MΓ xx (1 βγ) + MΓ2 xβ ] = 0. (3.3.8) (1 βγ) Karena nilai konsentrasi surfactant (Γ) berubah terhadap x dan t, maka Persamaan (3.3.8) dilengkapi dengan persamaan transport dari konsentrasi surfaktan yang telah di bahas pada bab II, yang dirumuskan sebagai : (Γκ) t + (Γκu) x = 0. (3.3.9) Dimana u menyatakan kecepatan pada arah x pada kondisi pertubasi. Sehingga persamaan transport dari konsentarsi surfaktan menjadi: ((1 + h 2 x) 1 2 Γ)t + ((1 + h 2 x) 1 2 ( σ 0 h 2 h xxx + MΓ x (1 βγ) µ )Γ) x = 0. (3.3.10)