Transport Phenomena. Dr. Heru Setyawan Jurusan Teknik Kimia FT-ITS

Transkripsi

1 Transport Phenomena Turbulensi Dr. Heru Setawan Jurusan Teknik Kimia FT-ITS

2 Aliran laminar dan turbulent t 1

3 Pemodelan Turbulensi Semua pendekatan ang telah kita bahas sampai sejauh ini berlaku untuk aliran laminar. Dalam aliran turbulent kita pecah distribusi kecepatan dan tekanan menjadi komponen rata-rata dan fluktuasi.

4 Contoh aliran turbulent t Aliran dekat silinder Aliran Turbulent dalam Coaial Jet Combustor dengan Swirl 3

5 Rata-rata dan Suku fluktuasi 4

6 T b l i Turbulensi Kita bisa memecah komponen kecepatan menjadi jumlah kecepatan rata rata (waktu) dan kecepatan rata-rata (waktu) dan komponen fluktuasi. = = = 5 z z z =

7 Turbulensi Jika kecepatan ini disubstitusikan kedalam persamaan kontinuitas kita dapatkan: z z = 0 Catatan: Ini adalah bentuk rata-rata waktu persamaan kontinuitas. 6

8 Turbulensi: Naier Stokes Persamaan Naier Stokes berlaku untuk keduana aliran turbulent and laminar. Disini i i kita juga akan memecah tekanan menjadi komponen rata- rata dan fluktuasi: p = p p 7

9 Turbulensi: Naier Stokes Substitusi definisi kecepatan dan tekanan kedalam persamaan Naier Stokes. Naier-Stokes asli: p t z ( ρ ) ρ ρ ρ z = µ ρ g Komponen (ingat bentuk persamaan ini adalah sebelum kontinuitas disubstitusikan kedalamna) 8

10 T b l i N i St k Turbulensi: Naier Stokes Substitusikan kedalam bentuk turbulen kecepatan dan tekanan menghasilkan: menghasilkan: z z p p z t ρ ρ ρ ρ ) ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( g p p ρ µ = ) ( ) ( 9

11 Turbulensi: Naier Stokes Dapatkah ini disederhanakan?! Ya... Integralkan persamaan Naier Stokes terhadap waktu. Dengan melakukan ini suku berbentuk t o T 1 dt T t akan hilang. Juga o 1 T t o T t o dt = 10

12 N i St k T t t Naier Stokes Terata-rata Pertama ekspansikan suku nonlinier: ) )( ( ) )( ( ρ ρ ) )( ( ) )( ( ) )( ( ρ ρ ρ = ) )( ( z z z ρ 11

13 Naier Stokes Terata-rata t Sekarang hilangkan suku ang harus menjadi nol ketika persamaan diintegralkan jika fluktuasi kecepatanna acak: t ρ ( )... ( p p ) = µ ( ) ρg 1

14 t ρ p = Naier Stokes Terata-rata t Akhirna jika kita mengumpulkan suku ang tersisa dalam persamaan Naier Stokes kita mempunai: ( ρ µ ρ ρg ) ( ρ ρ ) z ( ρ Persamaan ini mempunai bentuk ang sama seperti persamaan aslina tetapi dengan 3 suku baru. z ρ z ) 13

15 Renold s Stresses Suku baru tersebut adalah komponen flu momentum turbulent dan biasana disebut Renold s stress. τ = ρ τ τ z = ρ = ρ z 14

16 Closure Turbulence menebabkan sebuah problem Closure terdapat lebih banak suku tak diketahui daripada persamaan ang tersedia. Renolds stresses adalah suku tak diketahui tambahan dan harus dimodelkan untuk melanjutkan. 15

17 Viskositas it Edd Salah satu pendekatan untuk closure diusulkan oleh Boussinesq ang mengusulkan iskositas Edd. Dalam pendekatan ini, i iskositas i ang digunakan jauh lebih besar daripada iskositas aslina. 16

18 Model untuk Stress Renold Viskositas Edd Boussinesq mengusullkan sebuah model iskositas edd ang dapat digunakan untuk memodelkan Renold s stress. τ = µ d d 17

19 Viskositas it Edd Model iskositas edd menganggap bahwa disipasi energi tambahan ang terjadi pada aliran turbulent dapat dimodelkan dengan iskositas edd. ρu i u j = µ t u u i j 3 j i ρ δ ij k Viskositas edd Energi ikinetik ikturbulent Boussinesq,

20 Model untuk Renold s Stress Viskositas edd masih berupa parameter tak diketahui dan akan sangat tergantung pada posisi titik didalam aliran. Viskositas Edd umumna jauh lebih besar daripada iskositas molekuler. 19

21 E i Ki tik T b l t Energi Kinetik Turbulent Energi kinetik turbulent didefinisikan sebagai: ) ( 1 1 z z i i u u u u u u u u k = = 0

22 Analisa Dimensii Analisa dimensional menunjukkan bahwa iskositas edd dapat ditulis: Konstanta tak berdimensi µ t = CρT l Skala panjang Skala kecepatan 1

23 Model untuk Renold s Stress Prandtl s dl Miing Length Prandtl menganggap bahwa edd bergerak didalam fluida dengan cara ang mirip dengan gerak molekul didalam gas. Ini mengarah pada model dalam istilah miing length (analog dengan mean free path dalam teori kinetika gas). τ = ρl d d d d

24 Model Miing i Length Viskositas bisa dinatakan sebagai: µ T = l ρ Miing length, l,, dapat dipandang da sebagai jarak dimana partikel fluida menahan momentum asalna. 3

25 Model untuk Renold s Stress Miing length juga merupakan fungsi posisi titik dalam aliran. Sangat dekat permukaan padat l Agak dekat permukaan padat l κ (κ 0.40) Jauh dari dinding l konstanta 4

26 Model Miing i Length Untuk aliran sepanjang permukaan padat miing length diealuasi menggunakan: l hukum dinding (law of the wall) A = min( κ (1 e ), C1 δ ) where κ = A C 1 δ = 0.41 = 6 = = / (on boundar ( τ / ρ ) ν Karman laer 1/ constant) thickness 5

27 Problem! Model miing i length menunjukkan secara tidak langsung iskositas edd adalah nol ketika gradien kecepatanna nol (misal: dipusat pipa). Ini tidak selalu masuk akal. Prandtl and Kolmogoro mengusulkan: µ t = Cρlk 1/ 6

28 Model untuk Stress Renold Hipotesa on Karman Dengan membuat beberapa argumentasi dimensi on Karman mengusulkan Renold s stresses berbentuk: τ = ρκ ( d ( d 3 / d) d ) d / d d 7

29 Aliran Poiseuille ill Untuk meneliti pengaruh turbulence terhadap aliran dalam daerah terbatasi kita akan memandang kasus aliran Poiseuille. Aliran antara dua dinding saluran datar, terpisah oleh jarak h (dengan kata lain, dindingna = h dan = -h). 8

30 Aliran Poiseuille ill Mulai dengan menganggap bentuk penelesaian untuk komponen kecepatan rata-rata. = ( ) = 0 z = 0 9

31 Aliran Poiseuille ill Disamping itu kita akan menganggap bahwa semua nilai rata-rata komponen kecepatan fluktuasi hana fungsi. Otomatis persamaan kontinuitas terpenuhi dengan membuat asumsi ini. 30

32 Aliran Poiseuille ill Mulai dengan mengintegralkan persamaan momentum : ρ d p ( ) = d p (, ) = p ( ) ρ w Tekanan pada dinding 31

33 Aliran Poiseuille ill Eksperimen telah mengamati bahwa: Ini berarti pengaruh ariasi kecepatan biasana dapat diabaikan dalam perhitungan distribusi ib i tekanan. 3

34 Aliran Poiseuille ill Suku ang tersisa dari persamaan momentum adalah: ( ρ ) µ = p Lanjutanna tidak bisa dikerjakan secara analitik tanpa pengetahuan tentang fluktuasi kecepatan. 33

35 Aliran Poiseuille ill Pai (1953) mengusulkan bahwa distribusi ib i kecepatan untuk kasus turbulent harus menjaga beberapa kemiripan dengan profil parabola ang teramati dalam kasus turbulent. Ia mengusulkan: = 1 a (1 a) h h, ma m 34

36 Aliran Poiseuille ill Data eksperimen menunjukkan kecocokan ang bagus dengan a=0.33 and m=16. Perbandingan Profil Turbulent and Laminar Laminar Turbulent /(ma) 35

37 Turbulent Kinetic Energ Sekarang gpersamaan ang dibutuhkan untuk memprediksi energi kinetik turbulent, k. Untuk aliran incompressible D pada permukaan persamaan Naier-Stokes dapat dimanipulasi menghasilkan persamaan untuk k. Dk Dt ρ = ( µ µ ) T k µ T u Cρk l 3/ Diffusi Generasi Dissipasi 36

38 Model k-ε Model turbulensi ang umum digunakan adalah model k-ε. Ini menghubungkan iskositas edd dengan energi kinetik turbulent dan laju dissipasi turbulent. Cρk µ t = ε 1/ 37

39 Model k-ε Model ini membutuhkan persamaan differensial tambahan untuk memngatur laju dissipasi turbulent. ρ D ε Dt = µ T ε 1.44 µ T ε u 1. 9 ρε 1.3 k k 38

40 Implementasi Ketika menggunakan model turbulensi biasana diambil pendekatan berturutan dimana persamaan momentum dan tekanan diselesaikan ik terlebih dahulu dengan prediksi awal iskositas edd, kemudian energi kinetik dan dissipasi turbulent t diperbaharui i dan dilakukan k iterasi i antar persamaan. Ingat bahwa persamaan model turbulensi sangat nonlinear. 39

41 Pendekatan lain Pendekatan untuk turbulensi ang digambarkan disini sering disebut RANS (Renolds Aeraged Naier-Stokes). Pendekatan lain (CPU intensie!) meliputi large edd simulation (LES) dimana struktur edd turbulent terbesar dimodelkan secara langsung. DNS (Direct Numerical Simulation) tidak menggunakan model turbulensi sama sekali dan bertujuan menelesaikan secara langsung kecepatan total (suku rata-rata fluktuasi). 40