SIFAT POLINOMIAL PERMUTASI PADA MODULO PRIMA BERPANGKAT p SKRIPSI. Oleh: QOSIMIL JUNAIDI NIM

Transkripsi

1 SIFAT POLINOMIAL PERMUTASI PADA MODULO PRIMA n BERPANGKAT p SKRIPSI Oleh: QOSIMIL JUNAIDI NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 04

2 SIFAT POLINOMIAL PERMUTASI PADA MODULO PRIMA n BERPANGKAT p SKRIPSI Diajukan Kepaa: Fakultas Sains an Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan alam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Oleh: QOSIMIL JUNAIDI NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 04

3 SIFAT POLINOMIAL PERMUTASI PADA MODULO PRIMA n BERPANGKAT p SKRIPSI Oleh: QOSIMIL JUNAIDI NIM Telah Diperiksa an Disetujui untuk Diuji: Tanggal: Desember 03 Pembimbing I, Pembimbing II, H. Wahyu H. Irawan, M.P NIP Ach. Nashichuin, M.A NIP Mengetahui, A.n. Ketua Jurusan Matematika Sekretaris Jurusan Matematika Fachrur Rozi, M.Si NIP

4 SIFAT POLINOMIAL PERMUTASI PADA MODULO PRIMA n BERPANGKAT p SKRIPSI Oleh: QOSIMIL JUNAIDI NIM Telah Dipertahankan i Depan Dewan Penguji Skripsi an Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal: 0 Januari 04 Penguji Utama Ketua Penguji Sekretaris Penguji Anggota Penguji : Hairur Rahman, M.Si NIP : Drs. H. Turmui, M.Si NIP : H. Wahyu H. Irawan, M.P NIP : Ach. Nashichuin, M.A NIP Mengesahkan, A.n. Ketua Jurusan Matematika Sekretaris Jurusan Matematika Fachrur Rozi, M.Si NIP

5 PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN Saya yang bertanatangan i bawah ini: Nama : Qosimil Junaii NIM : Jurusan : Matematika Fakultas : Sains an Teknologi menyatakan engan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-benar hasil karya saya seniri, bukan pengambilalihan ata, tulisan atau pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran saya seniri, kecuali engan mencantumkan sumber cuplikan paa aftar pustaka. Apabila i kemuian hari terbukti atau apat ibuktikan skripsi ini hasil jiplakan, maka saya berseia menerima sanksi atas perbuatan tersebut. Malang, 6 Februari 04 Yang membuat pernyataan, Qosimil Junaii NIM

6 MOTTO Milikmu hanya hari ini karena kemarin aalah masa yang telah berlalu an besok aalah masa yang semu...

7 PERSEMBAHAN Dengan mengucap rasa syukur kepaa Allah Yang Maha Pengasih an Maha Penyayang atas segala limpahan rahmat, taufik, an hiayah-nya yang selalu iberikan kepaa penulis sehingga penulis apat menyelesaikan skripsi ini. Dengan segala kerenahan hati skripsi ini penulis persembahkan kepaa orang tua tercinta, Ayahana Buchori an Ibuna Siti Kulsum, yang telah mengorbankan seluruh hiupnya untuk penulis. Kepaa aik tercinta Maisyaroh an Mas ui atas ukungan an o anya.

8 KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Syukur alhamulillah penulis ucapkan ke hairat Allah SWT, Tuhan semesta alam yang telah melimpahkan rahmat, taufik, hiayah-nya, sehingga penulis apat menyelesaikan stui i Jurusan Matematika Fakultas Sains an Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang sekaligus menyelesaikan skripsi ini engan baik. Keberhasilan penulisan skripsi ini tiak lepas ari bantuan, arahan an bimbingan ari berbagai pihak, baik berupa pikiran, motivasi, tenaga, ataupun oa an restu. Karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepaa:. Prof. Dr. H. Mujia Raharjo, M.Si, selaku Rektor Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.. Dr. rh. Hj. Bayyinatul Muchtaromah, M.Si, selaku Dekan Fakultas Sains an Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. 3. Abussakir, M.P, selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains an Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. 4. Hairur Rahman, M.Si, selaku osen wali yang telah membimbing an memberi arahan ari semester awal hingga akhir. 5. H. Wahyu H. Irawan, M.P, selaku osen pembimbing skripsi yang engan sabar telah meluangkan waktu memberikan bimbingan an arahan alam penyelesaian skripsi ini. vii

9 6. Ach. Nashichuin, M.A, selaku osen pembimbing keagamaan yang telah memberikan banyak arahan an bimbingan alam penyelesaian skripsi ini. 7. Ayah, Ibu, Aik, an seluruh keluarga tercinta yang selalu memberikan motivasi an oa tanpa kenal lelah bagi penulis untuk selalu konsisten alam bersungguh-sungguh meraih cita-cita. 8. Segenap sivitas akaemika Jurusan Matematika, terutama seluruh osen, terima kasih atas segenap ilmu an bimbingannya. 9. Semua pihak yang tiak apat penulis sebutkan satu persatu yang turut menukung kelancaran penyempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini apat memberikan manfaat kepaa para pembaca khususnya bagi penulis secara pribai. Amin Ya Rabbal Alamin. Wassalamu alaikum Wr. Wb. Malang, Februari 04 Penulis viii

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR... vii DAFTAR ISI... ix ABSTRAK... xi ABSTRACT... xii... xiii الملخص BAB I: PENDAHULUAN. Latar Belakang.... Rumusan Masalah....3 Batasan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Metoe Penelitian Sistematika Penulisan... 4 BAB II: KAJIAN PUSTAKA. Fungsi Kongruensi an Moulo Grup....4 Ring....5 Polinom an Permutasi Balasan Perbuatan Manusia alam Panangan Islam... 3 BAB III : PEMBAHASAN 3. Polinomial Permutasi Moulo n p Sifat Polinomial Permutasi Moulo n Sifat Polinomial Permutasi Moulo Sifat Polinomial Permutasi Moulo n ( n ) Sifat Polinomial Permutasi Moulo 3 n Sifat Polinomial Permutasi Moulo Sifat Polinomial Permutasi Moulo 3 n ( n ) Sifat Polinomial Permutasi Moulo 5 n Sifat Polinomial Permutasi Moulo Sifat Polinomial Permutasi Moulo 5 n ( n ) Polinomial Permutasi alam Panangan Islam ix

11 BAB IV: PENUTUP 4. Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA x

12 ABSTRAK Junaii, Qosimil. 04. Sifat Polinomial Permutasi paa Moulo Prima Berpangkat n p. Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Sains an Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing: (I) H. Wahyu H. Irawan, M.P (II) Ach. Nashichuin, M.A Kata Kunci: Polinom, Permutasi, an Moulo. Polinom i engan i 0 i0 f x a x a ring R aalah polinomial permutasi jika aa himpunan berhingga (A) seemikian hingga f : A A an f bersifat satu-satu an onto. Polinom yang igunakan alam penelitian ini aalah f x a0 ax ax a x engan a0, a,, a. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana sifat atau ciri-ciri ari koefisien paa suatu polinom yang mempermutasikan moulo p n. Kemuian hasil penelitian ini aalah sifat Polinomial Permutasi (PP) paa: a a a ganjil.. M. M n a ganjil, a a a a an genap. 4 6 a a a a M 3 a a3 a5 0mo3 an a a4 a6 0mo3. n 4. M 3 a 0mo3, a a3 a5 0mo3,a a4 a 0mo3, T U 0mo3, an M N 5. M 5 a a6 a 3a a5 a 3 a3 a7 a, 4 m, m. a4 a8 a 0 mo5 n 6. M 5 4 m, m maka: a. a 0mo5 b. 0 mo3. an a4 a8 a a 0 mo5, c. a a6 a 3a a5 a 3 a3 a7 a. A B C3 D4 0mo5, e. E F G3 H 4 0mo5, f. I J K 3 L4 0mo5, g. P Q R3 S 4 0mo5., xi

13 ABSTRACT Junaii, Qosimil. 04. Properties of Permutation Polynomials Moulo a Primen Power p. Thesis. Department of Mathematics Faculty of Science an Technology The State Islamic University Maulana Malik Ibrahim Malang. Promotor: (I) H. Wahyu H. Irawan, M.P (II) Ach. Nashichuin, M.A Keywors: Polynomial, Permutation, an Moulo. Polynomial f x ai x i0 i with ai ring R is permutation polynomials if there is finite set (A) such that f : A A an f are one-one an onto. This research use polynomial f x a0 ax ax a x with a0, a,, a. The purpose of this research to unerstan properties or characteristic coefficient in a polynomial that permutes moulo p n. Then result of this research is properties of Permutation Polynomials (PP) on: a a a is o.. M n. M a is o, a a4 a6 a an a3 a5 a7 a even. 3. M 3 a a3 a5 0mo3 an a a4 a6 0mo3. n 4. M 3 a 0mo3, a a3 a5 0mo3,a a4 a6 0mo3, T U 0mo3, an M N 5. M 5 a a6 a 3a a5 a 3 a3 a7 a, 4 m, m. a4 a8 a 0 mo5 6. M 5n 4 m, m then: a. a 0mo5 0 mo3. an b. a4 a8 a a 0 mo5, c. a a6 a 3a a5 a 3 a3 a7 a. A BC3 D4 0mo5, e. E F G3 H 4 0mo5, f. I J K 3 L4 0mo5, g. P Q R3 S 4 0mo5., xii

14 الملخص الج يذ, قاسن. ٢٠١٤. طبيعه التقليب متعذد الحذود مرتبة رئيس. قسن الشياضياخ, كليح العل م التك ل جي, جاهعح ه ال ا هالك اتشا ين االسال هيح الذك هيح تواال ج. الوستشاس : )١( الذج دي كي اسا اى, الوجستيش )٢( ادوذ صيخ الذيي, الوجستيش ai R الكلمات الر ئيسية: هتعذد الذذ د, التثاديل, وطيح. f x ai x i0 i هتعذد الذذ د هذذ دج )A( تذيج جوع هع هتعذد الذذ د التقلية إرا كاى اكوجو عاخ f ادذ ادذ عل. هتعذد الذذ د الوستخذهح في ز f : A A. a0, a,, a هع f x a0 ax ax a الذسسح x ت ذف ز الذسساخ ال تذذيذ هذ طثيعح أ خصائص الوعاهالخ في كاحيشاخ الذ د د التي n تثاديل وطي p حن ال تائج ز الذسسح ي طثيعح التقلية هتعذد الذذ د )PP( في:.١ a M غشية. a a n دتي. a a a a غشية, a a a M.٢ a a a a a a4 a6 0mo3 a a3 a5 0mo3 a a4 a6, a a3 a5 0mo3, a 0mo3. M N 0mo3, T U 0mo3, 0mo3 a4 a8 a 0mo5 4 m, m. a a a 3a a a a a a M 3 M 3 n M 5 : 4 m, m n M 5 a 0mo5 أ. a4 a8 a a 0mo5 a a6 a 3a a5 a 3 a3 a7 a A BC3 D4 0mo5 E F G3 H 4 0mo5 I J K 3 L4 0mo5 P Q R3 S 4 0mo5 ب. خ. ث. ج. ح. ر..٣.٤.٥.٦ xiii

15 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Alam semesta memuat bentuk bentuk an konsep matematika, meskipun alam semesta tercipta sebelum matematika itu aa. Alam semesta serta segala isinya iciptakan Allah engan ukuran-ukuran yang cermat an teliti, engan perhitungan perhitungan yang mapan, an engan rumus rumus serta persamaan yang seimbang an rapi. Semua yang aa i alam ini aa ukurannya, aa hitungan hitungannya, aa rumusnya, atau aa persamaannya. Namun rumus rumus yang aa sekarang bukan iciptakan manusia seniri, tetapi suah iseiakan. Manusia hanya menemukan an menyimbolkan alam bahasa matematika (Abussakir, 007:79-80). Hal ini sesuai engan Firman Allah alam Surat Al-Furqan ayat yang berbunyi:......dia telah menciptakan segala sesuatu, an Dia menetapkan ukuran-ukurannya engan serapi-rapinya. Aljabar sebagai salah satu bagian ilmu matematika memiliki cabang yaitu aljabar abstrak an aljabar linier. Aljabar abstrak atau yang sekarang lebih ikenal engan struktur aljabar mempunyai banyak materi yang ibahas an ikembangkan. Materi yang ibahas paa struktur aljabar paa asarnya tentang himpunan an operasinya. Sehingga ketika mempelajarinya, selalu berhubungan engan himpunan (yang tak kosong) yang anggota-anggotannya apat

16 ioperasikan engan satu atau lebih operasi biner. Himpunan engan satu operasi biner an memenuhi beberapa sifat tertentu isebut grup. Seangkan himpunan yang melibatkan ua operasi biner serta memenuhi beberapa sifat tertentu isebut ring. Masing-masing ari grup an ring ikembangankan engan banyak sifat an syarat tertentu menjaikan grup an ring semakin kompleks. Polinom an permutasi merupakan perkembangan ari pembahasan mengenai teori grup an ring. Polinom atau suku banyak merupakan eret engan bentuk f x ai x i0 i engan a i merupakan unsur ari sebuah ring R an x variabel bebas. Seangkan, permutasi aalah pemetaan satu-satu ari himpunan berhingga paa himpunan itu senirinya (Raisinghania an Anggarwal, 980:5). Sehingga jika polinom f x memetakan himpunan berhingga A kembali ke himpunan A itu seniri maka polinom f x isebut polinomial permutasi atau f x polinom yang mempermutasikan himpunan A. Oleh sebab itu, alam penelitian kali ini penulis tertarik untuk mengkaji tentang sifat polinomial permutasi paa moulo prima berpangkat ( n p ).. Rumusan Masalah Berasarkan latar belakang yang iuraikan sebelumnya, maka penulis akan n membahas tentang polinomial permutasi paa moulo prima berpangkat p. Sehingga, rumusan masalah alam skripsi ini aalah bagaimana sifat polinomial n permutasi paa moulo prima berpangkat p?

17 3.3 Batasan Masalah Ruang lingkup kajian aljabar alam matematika sangat luas. Agar tiak melampaui tujuan ari penulisan skripsi ini maka ibutuhkan suatu batasan masalah yang apat ijaikan acuan alam penulisan lebih lanjut. Masalah yang akan ibahas oleh peneliti aalah sifat polinomial permutasi paa moulo prima berpangkat n p. Batasan ari penelitian ini aa ua hal. Pertama, sifat yang akan iteliti berkaitan engan koefisien-koefisien paa polinom yang igunakan. Keua, moulo yang igunakan aalah moulo n, 3 n, an 5 n engan n..4 Tujuan Penelitian Sesuai engan latar belakang an rumusan masalah, maka tujuan pembahasan skripsi ini aalah untuk mengetahui bagaimana sifat polinomial n permutasi paa moulo prima berpangkat p..5 Manfaat Penelitian Manfaat yang iharapkan ari penelitian ini sebagai berikut:. Memberikan informasi mengenai sifat polinomial permutasi sehingga apat menjai acuan peneliti lain untuk menentukan sifat polinomial permutasi engan moulo yang berbea atau menggunakan polinom yang lain yang belum ikaji alam penelitian ini.. Hasil penelitian ini apat igunakan sebagai tambahan kepustakaan yang ijaikan sarana pengembangan wawasan keilmuan khususnya i jurusan matematika untuk mata kuliah aljabar atau teori bilangan.

18 4.6 Metoe Penelitian Metoe yang igunakan alam penelitian ini aalah metoe penelitian kepustakaan, yaitu engan mengkaji buku, jurnal, an literatur lain yang menukung penelitian ini. Aapun langkah langkah penelitian yang igunakan sebagai berikut:. Diberikan polinom f x.. Memberikan contoh Polinomial Permutasi (PP) paa moulo prima berpangkat n p sesuai engan efinisi PP yang aa. 3. Menentukan sifat atau ciri PP paa moulo, 3 an Menetukan sifat PP paa moulo n, 3 n, an 5 n engan n. 5. Memberikan kesimpulan ari hasil penelitian..7 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan yang igunakan penulis paa tugas akhir (skripsi) ini tersusun atas empat bab, iantaranya: Bab I Penahuluan Bab ini teriri latar belakang permasalahan, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metoe penelitian an sistematika penulisan. Bab II Kajian Pustaka Bab ini berisi teori-teori yang menjai acuan ari penelitian ini. Aapun teori-teori tersebut aalah fungsi, kongruensi, moulo, polinom, permutasi serta beberapa konsep agama yang berhubungan pembahasan.

19 5 Bab III Pembahasan Bab ini berisi hasil penelitian tentang sifat polinomial permutasi paa moulo prima berpangkat. Bab IV Penutup Bab ini memaparkan kesimpulan ari penelitian an saran untuk penelitian selanjutnya.

20 BAB II KAJIAN PUSTAKA. Fungsi Fungsi atau isebut juga pemetaan aalah pemasangan tepat satu unsur ari ua himpunan. Misalnya pemetaan (pemasangan) antara himpunan seluruh mahasiswa matematika an himpunan seluruh orang tua atau wali mahasiswa, maka masing-masing mahasiswa akan memiliki tepat satu pasangan ari himpunan orang tua tersebut. Lebih jelasnya iberikan ua efinisi ibawah ini, yaitu: Definisi.. Misalkan X an Y ua himpunan tak kosong, maka fungsi atau pemetaan ari X ke Y aalah pemasangan satu unsur x X engan tepat satu unsur i Y yang inotasikan engan f x atau f : X Y (Raisinghania an Anggarwal, 980:4). Definisi.. Fungsi f : X Y ikatakan fungsi satu-satu (injektif) jika an hanya jika f x f y x y x X, y. YFungsi f : X Y ikatakan fungsi onto (surjektif) jika an hanya jika f X Y. Fungsi I : X aalah fungsi ientitas, i mana I x x, Anggarwal, 980:4-5). X x X (Raisinghania an 6

21 7. Kongruensi an Moulo Definisi kongruensi aalah sebagai berikut: Definisi..3 Misalkan untuk sebarang bilangan bulat a, b an bilangan bulat positif n. Maka a kongruen engan b paa moulo n, an i tulis a bmo n bea atau sisa ari a (Lil an Neierreiter, 997:4)., jika b aalah kelipatan ari n atau a b knk Dari efinisi i atas iperoleh untuk sebarang k maka apat ibentuk kelas ekuivalensi yang ilambangkan engan a yaitu kelas kongruensi atau kelas sisa ari amo n an teriri ari bilangan bulat yang berbea ari a sesuai engan kelipatan ari n. Kelas tersebut aalah a a kn k, a n, a n, a, a n, a n, Selanjutnya kelas ekuivalensi akan isebut kongruensi moulo. Kemuian apabila himpunan ipartisi sesuai engan kongruensi moulo n maka akan membentuk kelas-kelas ibawah ini: n n n n 0,,,0,,,, n n n n,,,,,,, n n n n,,,,,,, n n n n n,,,,,,.

22 Sehingga iperoleh himpunan kelas sisa moulo n atau biasanya isebut moulo n saja, yaitu: n 0,,,, n (Lil an Neierreiter, 997:4). Selanjutnya, paa n akan ikenakan operasi penjumlahan an perkalian yang tentunya berbea engan penjumlahan an perkalian paa bilangan bulat. Menurut Raisinghania an Anggarwal (980), jumlah ua kelas sisa a an b engan ab, aalah Buktinya, misalkan,,, ab a b, a, b. a b c seemikian hingga a c an b a c an b a cmo n an b mo n a c apat ibagi n an b a c b apat ibagi n a b c apat ibagi n a b c mo n a b c a b c. apat ibagi n maka Lalu, menurut Raisinghania an Anggarwal (980), perkalian ua kelas sisa a an b engan ab, aalah Buktinya, misalkan,,, ab ab, a, b. a b c seemikian hingga a c an b 8 maka

23 9 a c an b a cmo n an b mo n Contoh. a c apat ibagi n an b ba c apat ibagi n an cb ba c cb apat ibagi n ab bc bc c apat ibagi n ab c apat ibagi n ab c mo n ab c a b c. apat ibagi n apat ibagi n Diberikan himpunan bilangan bulat, kemuian partisi menjai 5 sehingga iperoleh moulo 5 atau 5 0,,, 3, 4 engan: 0, 0, 5,0,5,0,, 9, 4,,6,,, 8, 3,,7,, 3, 7,,3,8,3, 4, 6,,,9,4, Kemuian operasikan setiap unsur i 5 engan operasi penjumlahan an perkalian, sehingga iperoleh:

24 0. Penjumlahan paa 5 Ambil a 0 an a maka a a 0 0 Dengan cara yang sama iperoleh hasil penjumlahan ari masing-masing unsur paa 5 yaitu engan tabel berikut: Tabel.. Penjumlahan Kelas Sisa Moulo 5 ( ) Keterangan: 5 menunjukkan operasi penumlahan paa Perkalian paa 5 Ambil a 0 an a maka aa Dengan cara yang sama iperoleh hasil perkalian ari masing-masing unsur paa 5 yaitu engan tabel berikut:

25 Tabel.. Perkalian Kelas Sisa Moulo 5 ( ) Keterangan: 5 menunjukkan operasi perkalian paa Grup Definisi.3. Himpunan tak kosong G engan operasi biner + yang tertutup i G yang isimbolkan (G, +) isebut grup jika memenuhi:. Sifat asosiatif. Aa unsur ientitas (i). a + (b + c) = ( a + b ) + ca, b G. 3. i a a i a ( a, i G). 4. Masing-masing unsur G memiliki invers a a a a i a a G (, ) (Raisinghania an Anggarwal, 980:3). Definisi.3. Grup (G, +) aalah grup abel atau grup komutatif jika an hanya jika operasi + bersifat komutatif a b b a, a, b G(Raisinghania an Anggarwal, 980:3). Untuk penyeerhanaan penulisan maka (G, +) akan itulis G.

26 Sesuai efinisi.3. maka aalah grup karena memenuhi persyaratan 5,5 untuk menjai grup yaitu tertutup, asosiatif, aa ientitas, an masing-masing unsur memiliki invers. Seangkan maka hanya 0 yang memiliki invers..4 Ring (Gelanggang) bukan grup karena jika 5,5 0 ientitas Subbab ini menjelaskan pengertian ring an macam-macamnya yang berhubungan engan subbab selanjutnya (polinom an permutasi). Definisi an macam-macam ring aalah sebagai berikut: Definisi.4. Himpunan tiak kosong R engan ua operasi biner, + an isimbolkan engan (R,+, ) isebut Ring atau gelanggang jika memenuhi syarat-syarat berikut ini:. (R,+) grup abel,. Operasi tertutup paa R, 3. Paa Operasi berlaku sifat asosiatif, an 4. Memenuhi hukum istributif terhaap operasi pertama (Raisinghania an Anggarwal, 980:34). Selanjutnya untuk mempermuah penulisan (R,+, ) akan itulis R. Seangkan a b ( a, b R ) itulis ab. Contoh.,, engan himpunan bilangan bulat merupakan ring, karena:. a, b a b (Operasi + tertutup).

27 . a, b, c a b c a b c a b c 3. a,0 a 0 0 a a (0 Ientitas operasi +). (Asosiatif penjumlahan) a, a a a a a 0 a a (Invers penjumlahan). 5. a, b a b b a (Komutatif penjumlahan). 6. a, b ab (Operasi tertutup). 7. a, b, c abc abc abc (Asosiatif perkalian). 8. a, a a a (0 Ientitas operasi ). 9. a, b, c ab c ab ac Definisi.4. a bc ac bc. (i) Sebuah ring ikatakan Ring engan satuan (RS) jika ring tersebut memiliki ientitas terhaap operasi keua. (ii) Ring ikatakan komutatif (RK) jika operasi keua bersifat komutatif. (iii) Integral Domain (ID) aalah ring komutatif engan satuan (RKS) i mana jika a, b R, operasi keua, an a b = 0 maka a = 0 atau b = 0. (iv) Ring isebut Ring pembagian (Division Ring/Skew fiel) jika tiap elemen (selain ientitas operasi pertama) memiliki invers terhaap operasi keua. (v) Division ring yang komutatif terhaap operasi keua aalah fiel (lapangan) (Lil an Nieerreiter, 997:-).

28 4.5 Polinom an Permutasi Definisi.5. Misalkan R ring, Polinom f x engan bentuk i aix a0 ax ax ax i0 i mana ai R, x variabel tak tentu isebut juga polinom atas ring R (Polynomial over R). Pangkat terbesar ari x merupakan erajat ari (Fraleigh, 003:99). f x Untuk mempermuah, maka bentuk memiliki a 0, i Definisi.5. i. Sehingga f x menjai f x a a x a x a x 0 Polinom f x a a x a x a x 0 f x a a x a x a x 0. isebut Polinom Integer (Polinom atas ) jika a0, a,, a (Hary an Wright, 009:03). Definisi.5.3 Permutasi aalah pemetaan satu-satu ari himpunan berhingga paa irinya seniri. Dengan kata lain, A himpunan berhingga, maka permutasi ari A aalah g : A A an g memetakan tiap elemen A tepat satu ke himpunan A itu seniri (Raisinghania an Anggarwal, 980:5). Definisi.5.4 Diberikan polinom f x a a x a x a x 0 an moulo p, engan p bilangan prima. Maka f x isebut Polinomial Permutasi (PP) jika aa

29 5 fungsi f seemikian hingga f : x f x aalah permutasi paa moulo p. Dengan kata lain, f x aalah PP ari moulo p jika an hanya jika Contoh.3 f : x f x bersifat onto an satu-satu (Shallue, 0:6). Diberikan g x 3x 7x 4x 9x 8x 6x x 5x x an moulo yaitu 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Maka peta ari oleh g x aalah x g x Dari hasil i atas iperoleh bahwa peta ari aalah itu seniri. Jai polinom g x memperrmutasikan unsur. Permutasinya aalah Contoh.4 Diberikan h x x 3x 5. Maka peta ari oleh h x aalah x h x Dari hasil i atas iperoleh bahwa aa beberapa unsur ari yang memiliki peta yang sama yaitu x 6 m x 0engan x 8, x engan x 7, x engan, x 3 engan x 5, an x 9 engan x 0. Jai fungsi injektif, sehingga h x tiak mempermutasikan unsur ari. h x bukan

30 6 Teorema. Jika p, membagi p, p maka tiak aa PP moulo p bererajat (Lil an Nieerreiter, 997:349). Bukti: Diberikan f x a a x a x a x 0 sehingga eg f. Sesuai teorema 7.4 (Lil an Nieerreiter, 997:349) yang menyebutkan bahwa jika f x PP maka untuk setiap bilangan bulat t engan 0 t p berakibat t eg f x p. Ambil t p maka p f x menjai 0 f x a a x a x a x p a0 ax ax a x a a x a x a x 0 p p berakibat Karena p f p eg. t eg f x p p, jai saat eg f an p maka tiak aa PP paa moulo p. Teorema. Diberikan GF(p) engan karakteristik berbea ari 3. Maka 3 0 f x ax bx cx a mempermutasikan GF(p) jika an hanya jika b 3ac an p mo3 (Mollin an Small, 986:540).

31 7 GF(p) yang imaksu aalah lapangan terbatas atau Finite Fiel engan unsur sebanyak p an p bilangan prima. Bukti: f x mempermutasikan GF(p) jika an hanya jika xx ba x ca mempermutasikan GF(p). Asumsikan engan c' 3ac b 3a y x b 3a maka x x ba x ca y 3 c' y ',. Sehingga f juga x mempermutasikan GF(p) jika an hanya jika 3 x x engan b 3ac3a juga mempermutasikan GF(p). Sesuai teorema.8 (Mollin an Small, 986:540) yang menyebutkan bahwa jika 0 an p mo3 maka f x bukan PP paa GF(p). Karena f GF(p) maka 0 berakibat b 3ac an p mo3. x PP f x mempermutasikan GF(p) jika an hanya jika 3 x x engan b 3ac 3a juga mempermutasikan GF(p). Karena b 3ac an p mo3 maka 0 an sesuai teorema.8 (Mollin an Small, 986:540) maka f x mempermutasikan GF(p). Lebih jelasnya iberikan contoh.5 sebagai berikut:

32 8 Contoh.5 3 Misalkan igunakan aalah 5, 5, 5 m x x x x x x x an GF(p) yang. Pemetaan GF(p) oleh m(x) aalah sebagai berikut: m: 0 4, m :, m:, m: 3 3, : 4 0 permutasinya 0 4. Kemuian pemetaan GF(p) oleh 4 k x x x x aalah: m, an k : 0 0, k :, k : 3, k : 3 4, : 4 permutasinya 3 4. k, an Jai, sesuai teorema. m(x) PP paa GF(p) jika an hanya jika k(x) PP paa GF(p). m x 4 x 4x x maka Selanjutnya, karena 3 b 3ac atau 4 3 mo mo 5 6 mo5. Dari contoh ini iperoleh bahwa m(x) mempermutasikan jika an hanya jika 5 b 3ac an 5 mo3. Teorema.3 Diberikan kongruensi an 0mo a f x p.

33 Bukti: 0mo a 9 f x p. maka banyaknya solusi ari kongruensi. yang berkoresponen engan satu solusi (yaitu ) ari kongruensi. aalah satu jika f ' 0mo p (Hary an Wright, 009:4). Anaikan c ( c unsur ari omain fungsi f ) akar ari kongruensi. a yang mana 0 x p maka n f x x c np a x cnp p Sehingga c juga memenuhi kongruensi.. a Ambil c a sp engan (0 s p). Jika aalah akar ari. engan 0 a p maka sesuai eret taylor a 3 3 a a a s p s p f c f sp f sp f ' f '' f ''' 6 Karena a a n maka a a n, n, a. Saat n an a maka a a. n a Saat n, a an a n maka a an n, sehingga a a. n Saat n, a an a n maka a n a a n a n a 0. n n n

34 0 Karena a Jai, a a n a n 0, maka a a. n atau na a, n, a Karena na a,n, a maka. 0mo n a n a a a a p p p p. Lihat f k. Misalkan k! f x a a x a x a x 0 maka f ' a a 3a a f '' a 3 a a 3 f ''' 3 a 4 3 a a a Sehingga saat k 3 f k k k k k a k a!! k a k k a k a k k k k k Karena k! membagi koefisien ari f k, maka f k k! merupakan bilangan bulat. Sehingga k k ka k f f s p s p k! k! k a k berakibat s k f k k! 0 mo p a 0mo p a

35 a a a ' 0mo f sp f sp f p a a ' mo f sp f p a Kemuian, sp aalah akar ari kongruensi. jika an hanya jika a a 0mo a a ' 0mo Karena 0mo a f p f sp p f sp f p a f sp f f p p a ' 0 p a a sf ' a 0mo p a atau f mo p np, n maka a f p a sf a 0mo p ' Karena 0mo a np p a a sf ' a 0mo p a 0mo n sf ' p a a p ekuivalen engan wp wp p 0mo p 0mo n sf ' p, w maka sf ' n mo p.3 Karena f ' 0mo p maka membangkitkan setiap unsur ari moulo p. Sehingga hanya aa satu smo p yang memenuhi kongruensi.3.

36 Akibat. Misalkan p bilangan prima. f x mempermutasikan elemen-elemen ari Z p n, n jika an hanya jika f x mempermutasikan elemen-elemen ari Z p an f ' a p 0 mo, a p (Singh an Maity, 005:). Bukti: Karena f x mempermutasikan elemen-elemen ari Z p n, n, maka f x aalah fungsi satu-satu atau 0mo n hanya memiliki satu akar, misalkan c. Sehingga maka c memenuhi n f c x c kp, k n x c kp p f x p.4 0mo p f c.5 Ambil c a sp engan (0 s p). Kemuian anaikan aalah akar ari.5 engan (0 p).3 f x 0mo p an f ' a p 0 mo, a p, maka sesuai teorema hanya memiliki satu akar yang berkoresponen engan 3 kongruensi.5. Sesuai teorema.3 juga, f x 0mo p akar yang berkoresponen engan f x 0mo p hanya memiliki satu, an seterusnya. Sehingga

37 3 iperoleh f x 0mo p n hanya memiliki satu akar yang berkoresponensi engan solusi ari kongruensi.5 untuk setiap n >. Karena f x mempermutasikan elemen-elemen ari Z p maka f x aalah fungsi satu-satu an f ' a p 0 mo, a p. Sehingga sesuai teorema.3 f x mempermutasikan elemen-elemen ari n..6 Balasan Perbuatan Manusia alam Panangan Islam Setiap masyarakat i unia ini pasti memiliki sekumpulan peraturan berkenaan engan kehiupan sosial mereka yang wajib ipatuhi oleh setiap iniviu alam komunitasnya. Masing-masing anggota masyarakat tersebut berkewajiban menyesuaikan segala aktivitasnya sesuai engan peraturan yang aa serta mengaitkannya satu sama lain sehingga lahir sebuah keserasian serta keharmonisan yang paa akhirnya mengantarkan mereka kepaa pemenuhan segala kebutuhan an tuntutan setiap anggota masyarakat, masing-masing berasarkan kaar serta kualitas kebutuhan yang layak baginya (Thabathaba i, 005:57). Ketika peraturan-peraturan alam sebuah masyarakat ini berkaitan engan kebebasan kehenak manusia (setiap iniviu bebas berkehenak untuk menaati atau melanggarnya) maka alam menerapkan peraturan-peraturan tersebut iperlukan suatu langkah untuk seikit membatasi kebebasan setiap iniviu alam setiap sepak terjangnya. Sebab, manusia memiliki karakter yang selalu cenerung mengumbar kebebasannya an tiak mau terikat oleh peraturan. Maka, p

38 untuk menutupi kekurangan ini itetapkanlah ketentuan penerapan sanksi bagi yang melanggar setiap peraturan, isamping ganjaran bagi yang melaksanakannya (Thabathaba i, 005:57). Demikian pula engan Syariat Islam yang telah Allah turunkan melalui para utusan-nya. Dia Yang Maha Bijaksana menetapkan kebijakan yang sama. Allah berfirman alam Surat Yunus ayat 6-7: Bagi orang-orang yang berbuat (amal-amal) baik (alam kehiupan unia ini), aa pahala (ganjaran/balasan) yang terbaik (surga) an (isertai) tambahannya. Dan muka mereka tiak itutupi (seikitpun oleh) ebu hitam an tiak (pula) kehinaan. Mereka itulah penghuni surga, mereka kekal i alamnya. Dan orang-orang yang mengerjakan kejahatan (maka meraka menapat) balasan yang setimpal (engan osa yang mereka lakukan, tanpa seikit tambahan pun) an mereka itutupi kehinaan. Tiak aa bagi mereka seorang pelinungpun (yang apat menghinarkan mereka) ari (azab) Allah, seakan-akan muka mereka itutupi engan kepingan-kepingan malam yang gelap gelita. Mereka itulah penghuni neraka; mereka kekal i alamnya (QS. Yunus:6-7). Paa ayat lain Allah berfirman: Dan balasan suatu kejahatan aalah kejahatan yang serupa (seimbang)(qs:asy-syura:40). Penetapan balasan an sanksi memiliki kaitan erat engan jenis serta kualitas pelaksanaan atau pelanggaran peraturan yang ilakukan. Artinya, perbuatan seseorang akan setimpal engan jenis balasan atau sanksi yang itimbulkannya. Semakin besar kaar kepatuhan seseorang terhaap peraturan, semakin besar pula balasan yang akan iterimanya. Demikian pula sebaliknya, semakin besar kualitas pelanggarannya maka semakin besar juga sanksi yang akan iterimanya (Thabathaba i, 005:58). Allah telah menetapkan kunci kesuksesan an kebahagiaan manusia aalah engan menaati sekian banyak perintah, larangan, anjuran, kabar gembira, 4

39 5 an peringatan. Allah menjanjikan balasan (yang baik) bagi yang melaksanakan perintah-nya an juga menyiapkan balasan (sanksi) bagi yang tiak menaati-nya. Oleh karena itu, amal perbuatan seseorang i sisi Allah memiliki kaitan erat engan balasan yang akan iterimanya, baik berupa kepatuhan terhaap semua perintah-nya atau pelanggaran terhaap larangan-larangan-nya (Thabathaba i, 005:59). Ini sesuai engan ayat kelima belas alam Surat Al-Jatsiyah yang berbunyi: Barang siapa yang mengerjakan amal saleh, maka itu aalah untuk irinya seniri, an barang siapa yang mengerjakan kejahatan, maka itu akan menimpa irinya seniri, kemuian kepaa Tuhanmulah kamu ikembalikan (QS. Al- Jatsiyah:5). Al-Jazairi (009:73-73) menjelaskan bahwa makna ari penggalan ayat Barang siapa yang mengerjakan amal saleh, maka itu aalah untuk irinya seniri aalah beramal shalih i unia ini, yaitu beriman, taat kepaa Allah an rasul-nya, baik alam perintah maupun larangan, maka sesungguhnya Allah akan memasukkannya ke alam surga. Dan amal shalihnya itu kembali kepaa irinya seniri an tiak berpinah kepaa orang lain, sesungguhnya Allah tiak butuh kepaa amalan hamba-hamba-nya. Selanjutnya penggalan Barang siapa yang mengerjakan kejahatan, maka itu akan menimpa irinya seniri seperti tiak mengimani Allah, berbuat syirik, an tiak beramal shalih, maka balasan atas perbuatan mereka itu akan kembali kepaa irinya, yaitu balasan berupa siksaan neraka an kekal i alamnya. Kemuian i bagian akhir ayat tersebut (QS. Al- Jatsiyah:5) menunjukkan bahwa setelah kematian masing-masing orang aa yang membawa amal shalih an amal buruk, maka semua akan kembali kepaa-

40 6 Nya engan membawa amal masing-masing, sehingga paa hari kiamat Allah akan membalas setiap amal perbuatan yang ilakukan semasa hiup i unia. Selanjutnya Al-Jazairi menjelaskan bahwa ari ayat ini (QS. Al- Jatsiyah:5) menganung ua poin penting. Pertama, sesungguhnya seseorang itu tiak akan isiksa karena kejahatan orang lain. Keua, setiap amal perbuatan itu berpengaruh paa jiwa, sehingga menjai sifat yang melekat paanya. Oleh karena itu, seseorang akan menapatkan balasan i hari akhir engan amalannya, baik berupa kebaikan maupun keburukan sesuai engan apa yang telah ilakukan semasa hiupnya.

41 BAB III PEMBAHASAN 3. Polinomial Permutasi Moulo n p f x a a x a x a x Diberikan Polinom 0 engan. Polinom f a0, a,, a x merupakan Polinomial Permutasi (PP) paa n moulo n p p ( p bilangan prima an n ) jika pemetaan f : c f c, c aalah permutasi ari n. n p p Contoh 3. moulo 6 h x x 7x 4x 9x 6x x 5x x. Pemetaan Misalkan oleh h x sebagai berikut: h : 0 0 h : 3 h : 6 h : 3 9 h : 4 4 h : 5 7 h : 6 0 h : 7 3 h : 8 8 h : 9 h : 0 4 h : h : h : 3 5 h : 4 h : 5 5 Sehingga permutasinya

42 8 3. Sifat Polinomial Permutasi Moulo n 3.. Polinomial Permutasi Moulo f x a a x a x a x Diberikan polinom 0 engan. Misalkan pemetaan f : x f x a0, a,, a untuk x 0mo, f x a0 ax ax a x f a a a a a a a a 0 a a a a 0 an untuk x mo, 0 f x a0 ax ax a x 0 f a a a a a a a a 0 a a a a 0 untuk setiap x, maka Sehingga saat x 0 an x paa moulo maka: f x a a a a x. 0 Anaikan a a a genap, maka a a a habis ibagi oleh engan kata lain a a a 0 mo maka: a a a sebanyak a a a ,

43 9 a a a Maka saat an untuk x 0, sebanyak a aa a aa sebanyak a aa sebanyak f a a a a a x, f a a a a a 0 0 Karena saat x 0an x mempunyai peta yang sama. Maka f x bukan polinomial permutasi paa moulo. Jai penganaian salah sehingga f x apat mempermutasikan moulo jika a a a. Ini berarti a a a a a a mo atau a a a bilangan bulat ganjil n n iperoleh sebuah teorema, yaitu: 0 mo atau apat ibagi sisa. Dari hasil ini

44 30 Teorema 3. Bukti: f x a a x a x a x Diberikan polinom a0, a,, a. 0 engan f x aalah PP moulo jika an hanya jika a a a bilangan ganjil (Singh an Maity, 005:3). f x a a x a x a x Misalkan polinom 0 engan. Kemuian pemetaan f : x f x a0, a,, a untuk x 0mo, f a a a a a a a a 0 a a a a 0 an untuk x mo, 0 0 f a a a a a a a a 0 a a a a 0 untuk setiap x, maka Sehingga saat x 0 an x paa moulo maka: f x a a a a x. 0

45 Anaikan a a a genap, maka a a a atau a a a 0 mo maka: a a a sebanyak a a a a a a Maka saat an untuk x 0, sebanyak a aa a aa sebanyak a aa sebanyak f a a a a a x, f a a a a a habis ibagi oleh Karena x 0an x mempunyai peta yang sama. Maka f x bukan polinomial permutasi paa moulo. Jai penganaian salah, sehingga apat mempermutasikan moulo jika a a a mo f x atau

46 a a a ibagi sisa atau a a a n n. Misal a a a maka: 3 bilangan bulat ganjil bilangan ganjil sehingga a a a sebanyak a a a a a a. Saat x 0, sebanyak a aa a aa sebanyak a aa sebanyak a a a mo f a a a a a a a a 0 a a a a a 0 0 0

47 33 Saat 0 f f. Saat x, 0 f a a a a a a a a 0 a a a a a 0 0 a genap maka a0 0 mo an 0 a a0 0 0 Sehingga f 0 0, f an permutasi f x aalah 0. Saat 0 f f a ganjil maka a0 mo an 0 a a0 0 Sehingga f 0, f 0 an permutasi aalah 0. Jai terbukti bahwa saat a a a mempermutasikan moulo. Contoh 3. bilangan bulat ganjil maka f x g x x 3x x 6x x 5x x. Pemetaaan oleh Misal g gx aalah:

48 34 Karena 5 mo maka g g Karena 5 mo maka 0 g. Jai g : 0, g : 0 an permutasinya 3.. Polinomial Permutasi Moulo n, n 0. f x a a x a x a x Misalkan polinom 0 engan a0, a,, a. Menurut akibat. f x PP moulo n, n jika an hanya jika f x PP moulo an f ' x 0mo, x. f x a a x a x a x Karena Saat x 0 maka 0, maka 3 f ' x a a x 3a x 4a x a x (3.) f ' 0 a a 0 3a 0 4a 0 a 0 a a 0 3a 0 4a 0 a a a 3a 4a a 0 a

49 35 Saat x maka f ' a a 3a 4a a a a 3a 4a a a a a a 3 5 Saat genap berarti 0mo, maka 3 5 f ' a 0 3a 0 5a 0 a a 3a 5a a 3 5 a a a a 3 5 Karena menurut akibat. f ' x 0mo, maka f ' 0 0 mo a 0mo f ' 0mo an 0mo a a3 a5 a 0mo Sehingga iperoleh tiga ciri sebagai berikut:. a 0mo atau a mo a bilangan bulat ganjil.. 0mo atau a a a a 3 5 a a3 a5 a tiak genap. Karena a bilangan bulat ganjil, maka a3 a5 a bilangan bulat genap. 3. Sesuai engan teorema PP moulo (teorema 3.), a a a bilangan bulat ganjil, seangkan menurut poin an isebutkan bahwa a ganjil, an a a a genap maka a a a genap. Dari ketiga ciri tersebut, maka iperoleh teorema sebagai berikut:

50 36 Teorema 3. f x a a x a x a x Diberikan polinom a0, a,, a. Polinom 0 engan f x aalah PP moulo n, n jika an Bukti: hanya jika:. a bilangan bulat ganjil,. Saat genap, a a a a an 4 6 bilangan bulat genap (Singh an Maity, 005:3). a a a a Karena f x PP moulo n, n maka sesuai akibat. f x PP moulo an f 'x 0mo, x. Sehingga saat 0mo x maka 3 f ' 0 a a 0 3a 0 4a 0 a 0 a Saat x mo an genap, maka f ' a a 3a 4a a 0 a 3a 5a a 3 5 a a a a 3 5 Karena menurut akibat. f ' x 0mo, x, maka f ' 0 0 mo a 0mo

51 37 f ' 0mo an 0mo a a3 a5 a 0mo. f ' 0 0 mo a 0mo atau a ganjil.. f ' 0mo a a3 a5 a ganjil atau a mo maka 0 mo. Karena a a a a a a a a a a a 3 5 a a a 3 5 a a a Sehingga iperoleh a3 a5 a 0 mo. Sesuai teorema 3. karena a a3 a5 a mo maka a a4 a mo. Dengan kata lain iperoleh bahwa a bilangan bulat ganjil, a a a genap, an 4 a3 a5 a genap. Sesuai engan teorema 3. maka f x aalah PP moulo. Selanjutnya akan ibuktikan bahwa f ' x 0mo, x. a x, x, maka Karena saat 0mo f ' x a a x 3a x 4a x a x a 0 3a x 0 5a x a x a a x a x a x 4 3 5

52 38 Sehingga, saat x 0, f ' 0 a a 0 a 0 a a a a a a 3 5 Karena a bilangan bulat ganjil maka f ' 0 0 mo. Saat x, f ' a a a a a a a a 3 5 a a a a 3 5 Karena a a a a bilangan bulat ganjil, maka f ' mo. Karena terbukti bahwa f x PP moulo an f ' x 0 mo, sesuai engan akibat. maka f x PP moulo n. Contoh 3.3 k x 4x 3x x x 6x x 3 3. Pemetaan moulo 8 Misalkan oleh k x sebagai berikut: x k x Sehingga permutasinya

53 Sifat Polinomial Permutasi Moulo 3 n 3.3. Polinomial Permutasi Moulo 3 f x a a x a x a x Misalkan polinom 0 engan koefisienkoefisiennya bilangan bulat a0, a,, a setiap x 3, maka an pemetaan f : x f x f a a a a a a a a a a a a a a a a a f a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Batas a a a an a a a untuk aalah a atau kurang ari a f a a a a a a a a Saat i m, m (ganjil) maka:

54 40 m sebanyak m sebanyak m sebanyak m Saat i m, m (genap) maka: m sebanyak m sebanyak m m Karena sebanyak m, m maka f a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Batas a a a an a a a 3 5 Jai untuk setiap x 3, maka aalah a atau kurang ari a. 4 6 f x a a a a x a a a x

55 Misalkan A a a a an B a a a 3 5 aalah a atau kurang ari a, maka engan batas A an B f x a Ax Bx. 0 Menurut teorema. isebutkan bahwa suatu polinom engan erajat tiak apat membentuk permutasi paa moulo p jika p. Jai karena an p an p. Agar f x merupakan PP moulo 3 maka B 0mo3. Kemuian A 0mo3 karena jika 0mo3 0, 3 f x a x. Sehingga iperoleh teorema sebagai berikut: Teorema 3.3 A maka f x a a x a x a x Diberikan polinom 0 engan. f a0, a,, a x PP moulo 3 jika an hanya jika saat genap, 0mo3 ana a a a a a 3 5 Maity, 005:3). Keterangan: Batas a a a an a a a mo3 (Singh an aalah a atau kurang 4 6 ari a. Misalkan, jika a a maka a a a a 3 5 an a a a. 4 0 Bukti: Karena f x a Ax Bx 0 untuk setiap 3 x an f x PP moulo 3 engan A a a a an B a a a., B 0mo3. 3 5, maka sesuai teorema 4 6

56 Kemuian jika A 0mo3, maka f x a 0x 0x a (untuk setiap x 3). Ini berarti setiap x 3 memiliki peta yang sama, sehingga f x bukan PP moulo 3. Jai, agar f x PP moulo 3 maka a a a 3 5 0mo3 an a a a mo3. Karena f x a Ax Bx, engan A 0mo3 an B 0mo3 0 maka f x a0 Ax. Sehingga iperoleh enam konisi, yaitu :. Saat a0 0 an A, maka 0 f , 0 f, an 0 f. PP-nya aalah 0. f x x. Sehingga. Saat a0 0 an A, maka f, 0 f, an f. PP-nya aalah 0. f x x. Sehingga 3. Saat a0 an A, maka f x x. Sehingga

57 f, f, an 0 f. PP-nya aalah Saat a0 an A, maka 0 0 f, 0 f, an f. PP-nya aalah 0. f x x. Sehingga 5. Saat a0 an A, maka 0 0 f, 0 f, an f. PP-nya aalah 0. f x x. Sehingga 6. Saat a0 an A, maka 0 0 f, f, an 0 f. f x x. Sehingga

58 44 PP-nya aalah 0. f x a Ax Bx engan Keenam konisi iatas menunjukkan bahwa A 0 mo3 an B 0mo3 maka Contoh 3.4 f x mempermutasikan 3. 0 l x x 6x x x x x 0. Pemetaan 3 oleh Misalkan l x sebagai berikut: l l

59 l Jai l : 0, l : 0 an : Polinomial Permutasi Moulo 3 n ( n ) l. Sehingga permutasinya f x a a x a x a x Misalkan polinom 0 engan koefisienkoefisiennya bilangan bulat a0, a,, a. Menurut akibat. f x PP moulo 3 n, n jika an hanya jika f x PP moulo 3 an f ' x untuk setiap x unsur i moulo 3. f x a a x a x a x Karena 0 f ' x a a x 3a x 4a x a x, maka mo3, a a x 3a x 4a x 5a x 6a x a x a a x 0 4a x 5a x 0 a x a a x 4a x 5a x a x Saat x 0mo3 maka

60 f ' 0 a a 0 4a 0 5a 0 a 0 a Saat x mo3 maka f ' a a 4a 5a a a a 4a 5a a a a 4a 5a a Karena paa moulo 3 berlaku,4,7,0,3, an seterusnya kongruen engan mo3. Seangkan,5,8,,4, an seterusnya kongruen engan maka f ' a a 4a 5a 7a 8a 0a a a engan: a a a a a a a a a a a a a a a a a a T U T a a a a, an U a a a a 5 8 a a a a 5 8 mo3, Keterangan: T an U aalah eret engan batas a atau kurang ari a. Misalnya, jika a a maka batas T aalah a 0 an batas U aalah a.

61 47 Saat x mo3 maka f ' a a 4a 5a 7a 8a a a a 4a 5a 7a 8a a Karena paa moulo 3 berlaku,4,7,0,3, an seterusnya kongruen engan mo3. Seangkan,5,8,,4, an seterusnya kongruen engan maka mo3, f ' a a a a a a a a a a a a a a a a a a M N engan: M a a a a, an 7 8 N a a a a Keterangan: M an N aalah eret engan batas a atau kurang ari a. Misalnya, jika a a maka batas M aalah a 8 an batas N aalah a. Karena menurut akibat. f ' x 0mo3, maka f ' 0 0mo3 a 0 mo3, f ' 0mo3 T U 0 mo3, an f ' 0mo3 M N 0 mo3.

62 48 Sehingga sesuai teorema., f x PP moulo 3 an f ' x 0 mo3 iperoleh lima ciri, yaitu:. a 0mo3,. a a a mo3, 3. a a a mo3, 4. T U 0 mo3, an 5. M N Keterangan: T a a a a, mo3. U a a a a, M a a a a, an 7 8 N a a a a Keterangan: Poin sampai 5 merupakan eret engan batas a. Misalnya, jika a a a atau kurang ari maka batas poin aalah a, batas poin 3 aalah a 0, batas T aalah a 0, batas U aalah a, batas M aalah a 8, an batas N aalah a. Dari ciri-ciri tersebut, maka iperoleh teorema sebagai berikut:

63 49 Teorema 3.4 f x a a x a x a x Diberikan polinom 0 engan a0, a,, a. Maka f x aalah PP moulo 3 n, n jika an hanya jika a. a 0mo3, b. a a a mo3, c. a a a mo3,. T U 0 mo3, an e. M N engan: T a a a a, mo3. U a a a a, M a a a a, an 7 8 N a a a a Keterangan: Poin b sampai e merupakan eret engan batas a. Misalnya, jika a a a atau kurang ari maka batas poin b aalah a, batas poin c aalah a 0, batas T aalah a 0, batas U aalah a, batas M aalah a 8, an batas N aalah a.

64 50 Bukti: f x a a x a x a x Misalkan polinom 0 engan koefisienkoefisiennya bilangan bulat a0, a,, a. Menurut akibat. f x PP moulo 3 n, n jika an hanya jika f x PP moulo 3 an f ' x untuk setiap x unsur i moulo 3. 0 mo3, Jai saat x 0, maka f ' 0 a 0. Saat x 0mo3, maka f ' 0 a a 0 4a 0 5a 0 a 0 a Saat x mo3, maka f ' a a 4a 5a 7a 8a a a a 4a 5a 7a 8a a a a 4a 5a 7a 8a a Karena paa moulo 3 berlaku,4,7,0,3, an seterusnya kongruen engan mo3. Seangkan,5,8,,4, an seterusnya kongruen engan maka mo3,

65 f ' a a 4a 5a 7a 8a 0a a a engan: a a a a a a a a a a a a a a a a a a T U T a a a a, an U a a a a a a a a Saat x mo3 maka f ' a a 4a 5a 7a 8a a a a 4a 5a 7a 8a a Karena paa moulo 3 berlaku,4,7,0,3, an seterusnya kongruen engan mo3. Seangkan,5,8,,4, an seterusnya kongruen engan maka mo3, f ' a a a a a a a a a a a a a a a a a a M N engan M a a a a an N a a a a Karena menurut akibat. f ' x 0mo3, maka

66 5 f ' 0 0mo3 a 0 mo3, f ' 0mo3 T U 0 mo3, an f ' 0mo3 M N 0 mo3. Sehingga sesuai akibat., f x PP moulo 3 an f ' x 0 mo3 iperoleh lima ciri sesuai teorema 3.4. f x a a x a x a x Diberikan polinom an ciri-ciri sebagai berikut: a. a 0mo3, 0 b. a a a mo3, c. a a a mo3,. T U 0 mo3, an e. M N 0 mo3. engan a0 a,,, a Sesuai akibat. yang menunjukkan bahwa polinom f x merupakan PP moulo 3 n jika an hanya jika f x PP moulo 3 an f ' x 0 mo3, x. Poin b an c iatas sesuai engan teorema sebelumnya (teorema 3.3) 3 maka f x PP moulo 3. Kemuian akan itunjukkan bahwa f ' x 0 mo3, x. 3 Karena menurut akibat. f ' x 0mo3, maka

67 53 f ' 0 0mo3 a 0 mo3, f ' 0mo3 T U 0 mo3, an f ' 0mo3 M N 0 mo3. Jai terbukti bahwa f x PP moulo 3 an f ' x 0 mo3, x 3. Contoh 3.5 p x 4x 5x3 an 9. Maka p : 9 9 sebagai berikut: Diberikan 7 x p x Sehingga permutasinya Sifat Polinomial Permutasi Moulo 5 n 3.4. Polinomial Permutasi Moulo 5 f x a a x a x a x Misalkan polinom 0 engan koefisienkoefisiennya bilangan bulat a0, a,, a setiap x 5, maka Saat i 4m, m 0, 4 m sebanyak 4m 4 m sebanyak 4m an pemetaan f : x f x untuk

68 54 4m sebanyak 4m sebanyak m sebanyak m sebanyak m 4m sebanyak 4m sebanyak m sebanyak m sebanyak m 3 4m sebanyak 4m sebanyak m sebanyak m

69 55 Saat i 4m, m 0, m sebanyak 4m m 4 sebanyak 4m m 4 sebanyak 4m m sebanyak 4m m Saat i 4m 3, m 0, sebanyak 4m m sebanyak 4m m sebanyak 4m m sebanyak 4m m sebanyak 4m m Saat i 4 m, m 0, sebanyak 4m m sebanyak 4m4

70 56 m sebanyak 4m4 m sebanyak 4m4 m sebanyak 4m4 m sebanyak 4m4 4m 4m 4m3 3 m Sehingga iperoleh x x, x x, x x an x x x M, m 0. Maka f x a Ax Bx Cx Dx engan,, A a a a 5 3, an B a a a D a4 a8 a, 4 m, m. 6 C a a a 3 7 Menurut teorema. isebutkan bahwa suatu polinom engan erajat tiak apat membentuk permutasi paa moulo p jika p. Karena f x bererajat 4 an 4 D 0 mo5. Sehingga p an p, maka agar 3 f x a Ax Bx Cx 0 f x PP paa 5 Kemuian sesuai teorema. f x merupakan PP 5 jika an hanya jika B 3AC. Jai iperoleh teorema sebagai berikut:

71 57 Teorema 3.5 Bukti: f x a a x a x a x Polinom f x PP paa 5 0 engan a0 a,,, a maka, jika an hanya jika 4 m, m, memenuhi:. a a a 3a a a a a a a4 a8 a 0 mo5 (Singh an Maity, 005:5). Sesuai 5 bentuk f x menjai 3 4 f x a Ax Bx Cx Dx 0 engan,, A a a a 5 3 an B a a a D a4 a8 a, 4 m, m. 6 C a a a 3 7 Menurut teorema. f x merupakan PP paa 5 jika D 0mo5. Sehingga 3 f x a Ax Bx Cx. 0 Lalu sesuai teorema. f x aalah PP paa 5 jika an hanya jika B 3AC. Sesuai 5 bentuk f x menjai 3 4 f x a Ax Bx Cx Dx 0

72 engan,, A a a a 5 3 B a a a 6 C a a a D a4 a8 a, 4 m, m. Diketahui bahwa an B 3AC an D 0mo5. Sehingga f x menjai 3 f x a Ax Bx Cx 0 Maka sesuai teorema. an teorema. f x aalah PP moulo 5. Contoh 3.6 m x 4 x 4x x. Jika x 5 maka pemetaan Misalkan 3 5 sebagai berikut: m karena 4 4mo5 maka m 4 4 m m m x terhaap

73 m m Jai m: 0 4, m :, m:, m: 3 3 an : 4 0 Sehingga permutasinya Polinomial Permutasi Moulo 5 n m. f x a a x a x a x Misalkan polinom 0 engan koefisienkoefisiennya bilangan bulat a0, a,, a. Menurut akibat. f x PP moulo 5 n, n jika an hanya jika f x PP moulo 5 an f ' x untuk setiap x unsur i moulo 5. f x a a x a x a x Karena 0 f ' x a a x 3a x 4a x a x, maka mo5, a a x 3a x 4a x 5a x 6a x a x a a x 3a x 4a x 0 6a x a x a a x 3a x 4a x 6a x a x a a x 3a x 4a x 6a x a x

74 60 Saat x 0mo5 maka f ' 0 a a 0 3a 0 4a 0 6a 0 a 0 a Saat x mo5 maka f ' a a 3a 4a 6a a engan: a a 3a 4a 6a a 0 a a a a a a a a a A B C D A a a a 6 B a a a 7 C a a a D a a a Keterangan: A, B, C, an D aalah eret engan batas a atau kurang ari a. Misalnya, jika a a maka batas A aalah a, batas B aalah a, batas C aalah a 8, an batas D aalah a 9. Saat x mo5 maka

75 f ' a a 3a 4a 6a a a a 3a 4 4a 3 6a a a a 3a 4 4a 3 a a 4 3a 4a a a a a a a a a a E F G H engan: 4 3 E a a a a a F a a a a a G a a a a a H a a a a a Keterangan: E, F, G, an H aalah eret engan batas a atau kurang ari Misalnya, jika a 4a 9 maka batas E aalah 6 Saat x 3mo5 maka aalah a 7, batas G aalah a 8, an batas H aalah 4a a. 3 a, batas F f ' 3 a a 3 3a 3 4a 3 6a 3 a 3 a a 3 3a 4 4a 6a 3 a 3 a a a a a a a a I J K L

76 6 engan: 3 4 I a a a a a J a a a a a K a a a a a L a a a a a Keterangan: I, J, K, an L aalah eret engan batas a atau kurang ari a. a Misalnya, jika 4 Saat x 4mo5 maka a maka batas I aalah a, batas J aalah 3a, batas K aalah 4a 3, an batas L aalah a a a 4 3a 4a 4 a 4 a 3a 4 a f ' 4 a a 4 3a 4 4a 4 6a 4 a 4 a a 4 3a 4a 4 6a 7a 4 8a a P Q R S engan: P a 4 a a 4 a a Q a a a a a 7 7 R a 4 a a 4 a a S a a a a a

77 Keterangan: P, Q, R, an S aalah eret engan batas a Misalnya, jika 4 a atau kurang ari 63 a. 4 a maka batas P aalah a, batas Q aalah 4a, batas R aalah a 3, an batas S aalah 4a 4. Karena f ' x 0mo5 maka: f ' 0 0mo5 a 0mo5 f ' 0mo5 A B C3 D4 0mo5 f ' 0mo5 E F G3 H 4 0mo5 f ' 3 0mo5 I J K 3 L4 0mo5 f ' 4 0mo5 P Q R3 S 4 0mo5 Dari ciri-ciri tersebut, maka iperoleh teorema sebagai berikut: Teorema 3.6 f x a a x a x a x Polinom 0 engan a0 a,,, a maka f x PP moulo 5 n, jika an hanya jika 4 m, m memenuhi: a. a 0mo5, b. a4 a8 a a 0 mo5, c. a a a 3a a a a a a, A B C3 D4 0 mo5, e. E F G3 H 4 0 mo5, f. I J K 3 L4 0 mo5, an

78 64 engan: g. P Q R3 S 4 A a a a, 6 B a a a, 7 C a a a, D a a a, mo5. E a a a a a, 4 3 F a a a a a, G a a a a a, H a a a a a, I a a a a a, J a a a a a, K a a a a a, L a a a a a, P a 4 a a 4 a a, Q a a a a a, 7 7 R a 4 a a 4 a a,

79 S a a a a a, an batas A-S aalah a atau kurang ari Bukti: a (Singh an Maity, 005:5). 65 f x a a x a x a x Misalkan polinom 0 engan koefisienkoefisiennya bilangan bulat a0, a,, a. Menurut akibat. f x PP moulo 5 n, n jika an hanya jika f x PP moulo 5 an f ' x untuk setiap x unsur i moulo 5. f x a a x a x a x Karena 0 f ' x a a x 3a x 4a x a x, maka a a x 3a x 4a x 6a x a x Saat x 0mo5 maka f ' 0 a a 0 3a 0 4a 0 6a 0 a 0 0 a 0 Saat x mo5 maka mo5, f ' a a 3a 4a 6a a a a 3a 4a 6a a 0 a a a a a a a a a A B C D