SOLUSI PERSAMAAN BOLTZMANN DENGAN NILAI AWAL BOBYLEV MENGGUNAKAN PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK YOANITA HISTORIANI

Transkripsi

1 SOLUSI PERSAMAAN BOLTZMANN DENGAN NILAI AWAL BOBYLEV MENGGUNAKAN PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK YOANITA HISTORIANI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Solusi Persamaan Boltzmann dengan Nilai Awal Bobylev menggunakan Pendekatan Analitik dan Numerik adalah karya saya sendiri dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan di dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini Bogor, Agustus 2007 Yoanita Historiani G

3 ABSTRACT YOANITA HISTORIANI. Exact Solution of the Boltzmann Equation with Bobylev Initial Condition using Analitycal and Numerical Approach. Under the supervision from ENDAR H. NUGRAHANI and SRI NURDIATI. A gas flow may be modeled at either a microscopic or a macroscopic level. The microscopic model recognizes the particular structure of the gas as collection of discrete molecules and ideally provides position, velocity and state of every molecule at all times. The position, velocity, and state of each molecules can be modeled as a probability distribution function. The mathematical model at this level is called Boltzmann equation. The macroscopic level recognizes some physical properties like temperature, volume, average velocity, energy, and impul. Mathematical model contained in Boltzmann equation is complicated, involves high dimensional differential and integral form, so it is relatively difficult to find a solution of this equation. This thesis use Bobylev initial condition which takes a general form of normal distribution function. Exact solution can be found by integrating the differential form of the left hand side and evaluating the solution of the integral form in the right hand side, in such a way that the simplest form of the Boltzmann equation can be obtained. Furthermore, numerical solution of the Boltzmann equation is presented by simulation using DSMC (Direct Simulation Monte Carlo) methods.

4 ABSTRAK YOANITA HISTORIANI. Solusi Eksak Persamaan Boltzmann dengan Nilai Awal Bobylev menggunakan Pendekatan Analitik dan Numerik. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan SRI NURDIATI. Pergerakan molekul pada suatu sistem gas dapat dimodelkan dari 2 sudut pandang yang berbeda, yaitu secara mikroskopik dan makroskopik. Dari sudut pandang mikroskopik, suatu sistem gas diamati sebagai sekumpulan molekul tunggal yang identik yang saling berinteraksi satu dengan lainnya. Setiap molekul gas berada pada posisi tertentu, kecepatan tertentu, pada saat t yang dimodelkan dalam suatu fungsi distribusi peluang. Model matematik yang menggambarkan evolusi distribusi peluang suatu molekul gas terhadap waktu, posisi, kecepatan serta interaksi antar molekul dikenal dengan persamaan Boltzmann. Dari sudut pandang makroskopik, gerak partikel dapat diamati secara lebih jelas dengan melakukan pengukuran besaran fisika pada sistem, antara lain kecepatan rata-rata, tekanan, temperatur, energi dan suhu. Rumusan matematik persamaan Boltzmann melibatkan fungsi diferensial dan integral dengan dimensi variabel bebas yang tinggi, sehingga persamaan ini relatif sulit dicari solusi meskipun fungsi sebaran yang dipergunakan sebagai nilai awal merupakan fungsi sebaran yang paling sederhana. Pada tesis ini, fungsi sebaran yang dipilih sebagai nilai awal adalah fungsi distribusi Bobylev, yang merupakan bentuk umum dari fungsi distribusi normal. Solusi eksak diperoleh dengan mengintegralkan ruas kiri dan mengevaluasi nilai dari integral ruas kanan, sedemikian sehingga diperoleh bentuk penyelesaian persamaan Boltzmann yang sederhana. Di sisi lain, solusi numerik diperoleh dengan membuat simulasi tumbukan molekul gas dengan menggunakan metode DSMC (Direct Simulation Monte Carlo).

5 Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2007 Hak Cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

6 SOLUSI PERSAMAAN BOLTZMANN DENGAN NILAI AWAL BOBYLEV MENGGUNAKAN PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK YOANITA HISTORIANI Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007

7 Judul Tesis Nama NIM : Solusi Persamaan Boltzmann Dengan Nilai Awal Bobylev menggunakan Pendekatan Analitik dan Numerik : Yoanita Historiani : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS Ketua Dr. Ir. Sri Nurdiati, MSc Anggota Diketahui Ketua Departemen Matematika Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Berlian Setiawaty, MS Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, MS Tanggal Ujian : 16 Agustus 2007 Tanggal Lulus :

8 PRAKATA Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini dapat dilaksanakan dan diselesaikan dengan baik. Judul yang dipilih pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2007 ini adalah Solusi Eksak Persamaan Boltzmann dengan Nilai Awal Bobylev menggunakan Pendekatan Analitik dan Numerik. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS dan Ibu Dr. Ir. Sri Nurdiati, MSc selaku pembimbing serta Bapak Dr. Ir. Putu Purnaba, DEA yang telah banyak memberikan saran. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Agustus 2007 Yoanita Historiani

9 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Kebumen pada tanggal 29 Agustus 1982 sebagai anak pertama dari pasangan Turisno dan Tri Rujiati. Pendidikan sarjana ditempuh di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor, lulus pada tahun Penulis adalah staf pengajar di Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta sejak Agustus Mata kuliah yang diajarkan adalah Matematika Dasar I dan Matematika Dasar II.

10 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR... ix DAFTAR LAMPIRAN... x PENDAHULUAN Latar Belakang... 1 Tujuan Penelitian... 2 Batasan Penelitian... 2 TINJAUAN PUSTAKA Persamaan Lioville(Persamaan Transport)... 4 Persamaan Boltzmann... 6 Besaran Makroskopik Gas... 8 METODE HASIL DAN PEMBAHASAN Solusi Eksak Persamaan Boltzmann dengan Nilai Awal Bobylev Besaran Makroskopik Gas Simulasi dengan Metode DSMC KESIMPULAN DAN SARAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN viii