Relasi antar dua variabel

Transkripsi

1 Relasi antar dua variabel Penyusun: Bevina D.Handari

2 Seorang pelanggan air minum setiap bulan membayar tagihan dengan perincian sebagai berikut: biaya pemeliharaan meter Rp 5.200, biaya beban tetap Rp , dan biaya pemakaian Rp 6.825/m3. Bagaimana kita membantu pelanggan tersebut mengestimasi pengeluarannya setiap bulan? Dengan menggunakan fungsi yang tepat, kita dapat mengestimasi pengeluaran pelanggan air minum tersebut.

3 Sesuai dengan itu, lingkup subpokok bahasan adalah karakteristik grafik dan fungsi 2, khususnya karakteristik fungsi. Dalam karakteristik fungsi akan dipelajari jenis fungsi linier, fungsi berbanding lurus, fungsi berbanding terbalik, dan fungsi eksponensial yang dapat menjelaskan relasi antara peubah terikat dengan peubah bebas. Pengetahuan ini dapat memperkaya kita dalam menjelaskan/menganalisis suatu masalah.

4 DAFTAR ISI Pembahasan Fungsi: Fungsi Fungsi linier Fungsi Eksponensial Fungsi Berbanding Terbalik Fungsi Berbanding Lurus

5 Relasi antara temperatur dengan kedalaman bumi dalam bentuk tabel dan grafik batang merupakan sebuah fungsi, yaitu T=30 x. Pada fungsi tersebut, peubah terikat (T) adalah sama dengan sebuah konstanta (yaitu 30) dikali dengan peubah bebas (x). Dengan kata lain peubah terikat berbanding lurus dengan variabel bebas, dan fungsi tersebut dikenal sebagai fungsi berbanding lurus/langsung. Temperatur berbanding lurus dengan kedalaman bumi.

6 Peubah terikat adalah sama dengan perkalian sebuah konstanta dengan peubah bebas Notasi simbolik y=c.x, c konstanta Fungsi Berbanding Lurus

7 Grafik fungsi berbanding lurus: Grafik fungsi berbanding lurus adalah garis lurus melalui titik (0,0)

8 Fungsi berbanding lurus merupakan bagian dari fungsi linier. Pada fungsi linier relasi antara peubah dapat dinyatakan dalam sebuah garis lurus. Fungsi linier tidak harus melalui (0,0)

9 Relasi antara peubah x dan y dalam fungsi linier Jika c=0, bagaimana grafik fungsinya? y = c.x+b, c dan b konstanta Jika b=0, bagaimana grafik fungsinya?

10 Produksi x (ton) KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2 Berikut adalah grafik produksi x dalam 5 tahun (ton): 7 Produksi x dalam 5 tahun (ton) Tahun

11 Grafik tersebut menjelaskan jika hingga pada tahun 2010 sudah diproduksi produk x sebanyak 5 juta ton, dan diasumsikan produk x dapat diproduksi dengan jumlah yang sama tiap tahunnya sebesar 0,25 ton hingga lima tahun ke depan, maka dapat diestimasi total jumlah produk x setiap tahun hingga lima tahun ke depan. Grafik menunjukkan relasi antara peubah terikat produksi (x) dengan peubah bebas tahun (t) sebagai berikut: x = 0,25 t + 5. Dalam hal ini produksi x merupakan fungsi linier terhadap waktu.

12 Produksi x dapat dinyatakan dalam tabel: Tahun , , , ,25 Produksi x (ton) Laju perubahan produksi pada tahun : (5,25-5)/( )=0,25. Berapakah laju perubahan produksi pada selang waktu yang lain?

13 Perhatikan bahwa laju perubahan produksi x pada selang waktu yang lain adalah juga 0,25. Fungsi linier adalah satu-satunya fungsi dengan laju perubahan konstan. Pada fungsi linier, perubahan peubah terikat dibagi dengan perubahan peubah bebas pada sebarang selang waktu berupa sebuah konstanta yang disebut sebagai kemiringan garis (slope). Apa peranan kemiringan garis dalam sebuah grafik?

14 Besar kemiringan dari garis menentukan seberapa curam garis lurus tersebut. Fungsi linier dalam notasi simbolik y=c x+b, c,b konstanta Grafik c<0? Grafik c=0? Grafik c>0? Grafik c=-2? Grafik c=-5? Grafik c=2? Grafik c=5?

15 Bandingkan kemiringan dari 3 grafik ini. y=3 y=2x+3 y=5x Grafik dengan nilai konstanta c manakah yang paling curam? Karakteristik grafik apakah yang dapat anda jelaskan?

16 Grafik pertama adalah grafik mendatar karena nilai konstanta c nol. Nilai grafik fungsi bergantung pada konstanta b. Dua grafik di kanannya adalah grafik fungsi naik. Grafik dengan konstanta c yang lebih besar lebih curam dari pada grafik dengan konstanta c yang lebih kecil. Grafik yang lebih curam memiliki laju perubahan positif yang lebih besar.

17 Apa beda 2 grafik ini dengan grafik sebelumnya? y=-2x+3 y=-5x Nilai konstanta c pada dua grafik di atas negatif. Karakteristik grafik apakah yang dapat anda jelaskan?

18 Dua grafik tersebut adalah grafik fungsi turun. Grafik dengan konstanta c yang lebih kecil lebih curam dari pada grafik dengan konstanta c yang lebih besar. Grafik yang lebih curam memiliki laju perubahan negatif yang lebih besar. Dapat disimpulkan bahwa konstanta c menunjukkan kemiringan garis, dan kecuraman grafik. Kemiringan garis merepresentasikan besar laju perubahan.

19 Hambatan (Amp) KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2 Bagaimana dengan grafik berikut? Apakah grafik ini merupakan grafik fungsi linier? Relasi Kuat Arus dan Hambatan Kuat Arus (Ohm)

20 Representasi tabel dari grafik tersebut adalah: Kuat Arus (Ohm) Hambatan (Amp) , ,8 30 7,3 Perhatikan bahwa laju perubahan tidak sama di setiap selang.

21 Laju perubahan pada selang hambatan (5,10) adalah: (22-44)/(10-5)=-4,4. Laju perubahan pada selang hambatan (20,25) adalah: (8,8-11)/(25-20)=-0,44. Karena laju perubahan tidak sama maka grafik di atas bukan grafik fungsi linier. Dari grafik dapat dilihat bahwa semakin besar nilai peubah bebas hambatan, nilai peubah terikat kuat arus mengecil. Berarti grafik diatas adalah grafik fungsi turun.

22 Hal yang menarik, jika kita kalikan masing-masing nilai peubah bebas dengan nilai peubah terikatnya maka kita peroleh bilangan yang sama, yaitu 220. Kuat Arus (Ohm) (x) Hambatan (Amp) (y) , , ,3 220 Hasil Kali x.y

23 Jika nilai peubah terikat dikali dengan nilai peubah bebas adalah bilangan yang sama, maka fungsi dengan karakteristik tersebut disebut sebagai fungsi berbanding terbalik. Secara simbolik dapat dinyatakan sebagai y x = c, dimana y peubah terikat, x peubah bebas dan c konstanta. Notasi yang lebih umum digunakan c adalah y =. x Kuat arus berbanding terbalik terhadap hambatan.

24 Sampai saat ini kita sudah mempelajari: Fungsi linier Fungsi Berbanding Terbalik Bentuk khusus Fungsi Berbanding Lurus

25 Hutamg (ribu rupiah) KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2 Bagaimana dengan grafik berikut? Fungsi apa yang direpresentasikannya? Pertumbuhan Hutang Bulan

26 Banyak dijumpai data yang merepresentasikan pertumbuhan atau penurunan suatu besaran. Grafik sebelumnya merepresentasikan pertumbuhan. Grafik di atas adalah grafik pertumbuhan hutang seseorang dalam 1 tahun, jika ia meminjam uang sejumlah Rp rupiah dengan bunga 40% per bulan. Grafik dapat dinyatakan dalam tabel dan grafik batang sebagai berikut:

27 Hutamg (ribu rupiah) KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2 Bulan ke Besar Hutang , , , , , Pertumbuhan Hutang , , , , , Bulan

28 Laju perubahan tidak sama pada setiap selang waktu Hasil kali antar dua peubah tidak konstan Bukan fungsi linier Bukan fungsi berbanding terbalik Fungsi apakah yang mungkin?

29 Perhatikan tabel berikut: Bulan ke Besar Hutang Rasio Rasio adalah perbandingan besar hutang bulan ini dengan besar hutang bulan lalu , , ,8 1, ,3 1, ,6 1, ,9 1, ,3 1, ,6 1, ,2 1, ,1 1, ,1 1, ,8 1,4

30 Besar hutang bulan ini Besar hutang bulan lalu =1,4 Besar hutang bulan ini= 1,4 x Besar hutang bulan lalu Berarti laju pertumbuhan hutang adalah 40% karena besar hutang bulan ini = (1+0,40) x besar hutang bulan lalu

31 Grafik tadi menunjukkan bahwa nilai suatu besaran di waktu berikutnya adalah besaran saat ini di kali dengan konstanta lebih besar dari 1, yaitu 1,4. Karakteristik tersebut merupakan ciri dari pertumbuhan eksponensial. Grafik berbentuk melengkung ke atas sehingga laju pertumbuhan besar hutang meningkat. Pertumbuhan hutang tumbuh secara eksponensial.

32 Jika suatu grafik menunjukkan bahwa nilai suatu besaran di waktu berikutnya adalah besaran saat ini di kali dengan konstanta lebih kecil dari 1, misalnya 0,5. Maka karakteristik ini menunjukkan penurunan eksponensial. Fungsi Eksponensial Pertumbuhan Eksponensial Penurunan Eksponensial

33 KESIMPULAN Fungsi Linier, Fungsi Berbanding Lurus Apa yang sudah kita pelajari? Karakteristik Fungsi Fungsi Berbanding Terbalik Fungsi Eksponensial

34

35 SARAN Gunakan pengetahuan kita mengenai karakteristik fungsi dalam menjelaskan/menganalisa suatu masalah. Gunakan data untuk membentuk grafik fungsi jika memungkinkan. Gunakan grafik fungsi untuk menjelaskan suatu perubahan, misalnya laju perubahan yang berbanding lurus/terbalik atau meningkat/menurun secara eksponensial.

36 DAFTAR PUSTAKA Angel, A.R., Abbot, C.D., Runde, D.C., A Survey of Mathematics with Applications, Pearson Addison Wesley, 8Ed, Blitzer, R., Thinking Mathematically, New Jersey, Pearson Prentice Hall, 4Ed, Pirnot, T., Mathematics All Around, Boston, Addison Wesley, 3Ed, Sevilla A., Sommers K., Quantitave Reasoning Tools For Today s Informed Citizen, Key College Publishing, 2007.

37 Sekian