ANALISIS KANONIK MELALUI PENDEKATAN RUANG DUAL. (Skripsi) Oleh. Dwi Mayasari

Transkripsi

1 ANALISIS KANONIK MELALUI PENDEKATAN RUANG DUAL (Skripsi) Oleh Dwi Mayasari JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG 2016

2 ABSTRACK CANONICAL ANALYSIS WITH DUAL SPACE APPROACH By DWI MAYASARI Canonical analysis is used to determine the relationship or correlation between two groups of quantitative variables. The relationship between two groups of variables is seen by the correlation. Dimensional multivariate data is presented in the variable space and individual space. Variable space and individual space is associated by dual space. Variable space has a dual space as well as individual space. Trough a dual space approach canonical analysis is trying to reduce the dimension of matrix to see the relationship between two groups of variables. Reduction is done by forming a variance covariance matrix of the centralized data matrix each group of variables and both groups of variables then look for the eigen value to determine the value of the canonical correlation coefficient and eigen vector to determine the value of the canonical variables pairs. Keywords : Multivariate Canonical Analysis Dual Space.

3 ABSTRAK ANALISIS KANONIK MELALUI PENDEKATAN RUANG DUAL Oleh DWI MAYASARI Analisis Kanonik digunakan untuk mengetahui hubungan atau korelasi antara dua kelompok variabel kuantitatif. Besarnya hubungan antara kedua kelompok variabel dilihat dengan nilai korelasinya. Dimensi data multivariat disajikan dalam ruang variabel dan ruang individu. Ruang variabel dan ruang individu dihubungkan dengan diagram dual. Ruang variabel mempunyai ruang dual begitu pula untuk ruang individu. Melalui pendekatan ruang dual analisis kanonik berusaha mereduksi dimensi matriks untuk melihat hubungan antara dua kelompok variabel. Pereduksian dilakukan dengan membentuk matriks varian kovarian dari matriks data terpusattiap kelompok variabel dan kedua kelompok variabel kemudian mencari nilai karakteristik untuk menentukan nilai koefisien korelasi kanonik dan vektor karakteristik untuk menentukan nilai pasangan variabel kanonik. Kata kunci : Multivariat Analisis Kanonik Ruang Dual.

4 ANALISIS KANONIK MELALUI PENDEKATAN RUANG DUAL Oleh Dwi Mayasari Skripsi Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016

5

6

7

8 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Kota Metro Lampung pada tanggal 23 Mei 1994 sebagai anak kedua dari tiga bersaudara dari pasangan Bapak Sutarno dan Ibu Lela Utama dan adik dari Edwin Sutartama serta kakak dari Aldrin Tridata. Pendidikan Sekolah Dasar (SD) Negeri 4 Metro Timur diselesaikan pada tahun 2006 Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Kota Metro diselesaikan pada tahun 2009 dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Kota Metro diselesaikan pada tahun Tahun 2012 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur mandiri. Selama menjadi mahasiswa penulis aktif dalam organisasi tingkat jurusan fakultas dan universitas yaitu Anggota Gematika anggota Biro KRT Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) periode Anggota Muda Rois (AMAR) FMIPA Universitas Lampung dan pengurus Unit Kegiatan Mahasiswa (UKM) Judo Universitas Lampung. Pada tahun 2015 penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Kantor Badan Pusat Statistik (BPS) Kota Metro dan pada tahun yang sama penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Muara Tembulih Kecamatan Ngambur Kabupaten Pesisir Barat Provinsi Lampung.

9 MOTTO Allah tidak akan membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya (Al-Baqarah: 286) Karena Sesungguhnya bersama setiap kesulitan pasti ada kemudahan (Al-Insyirah: 5) Kemenangan yang seindah-indahnya dan sesukar-sukarnya yang boleh direbut oleh manusia ialah menundukan diri sendiri (Ibu Kartini)

10 PERSEMBAHAN Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT dan dengan kerendahan hati penulis persembahkan karya kecil dan sederhana ini sebagai tanda bakti dan cinta kepada semua orang yang senantiasa mendukung dan dengan tulus mendoakan kelancaran terciptanya karya ini. Ayah Ibu Mbah Abang dan Aldrin yang selalu memberikan semangat dan menjadi sumber motivasi terbesar selama ini. Sahabat-sahabat yang selalu ada. Terima kasih atas keceriaan semangat serta motivasi yang diberikan kepada penulis. Almamaterku tercinta Universitas Lampung.

11 SANWACANA Dengan mengucapkan Alhamdulillah penulis panjatkan puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang berjudul Analisis Kanonik melalui Pendekatan Ruang Dual. Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Dalam pelaksanaan dan penyusunan skripsi ini penulis banyak mendapatkan bantuan pengarahan motivasi serta bimbingan dari berbagai pihak. Dengan ketulusan hati penulis ingin mengucapkan terimakasih banyak kepada : 1. Bapak Rudi Ruswandi M.Si. selaku Dosen Pembimbing I terimakasih untuk bimbingan dan kesediaan waktunya selama penyusunan skripsi ini. 2. Bapak Amanto M.Si. selaku Dosen Pembimbing II terimakasih untuk bimbingan dan masukannya selama penyusunan skripsi. 3. Bapak Drs. Mustofa Usman M.A. Ph.D. selaku Dosen Penguji terimakasih atas kesediannya untuk menguji memberikan saran dan kritik yang membangun dalam penyelesaian skripsi ini. 4. Bapak Rudi Ruswandi M.Si. selaku Pembimbing Akademik terimakasih atas bimbingan dan pembelajarannya serta masukan kepada penulis dalam menjalani perkuliahan.

12 5. Bapak Drs. Tiryono Ruby M.Sc. Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung. 6. Bapak Prof. Warsito S.Si. D.E.A. Ph.D.selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung. 7. Seluruh Dosen dan Karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung. 8. Untuk kedua orang tua Ayah dan Ibu serta Mbah Abang dan Adik tercinta yang tak pernah berhenti memberi semangat doa materi dorongan nasehat dan kasih sayang serta pengorbanan yang tak tergantikan hingga penulis selalu kuat menjalani setiap rintangan yang ada di depan. 9. Sahabat tersayang Desi Astuti Siti dan Tri yang selalu ada dalam keadaan apapun. 10. Sahabat-sahabat seperjuangan Matematika 2012 Ima Hana Ica Ernia Mba Desti Yama Anggi Yanti Erni Citra Oci Dwi Adelfira Candra Rendi Gerry dan semua teman-teman yang tidak dapat disebutkan satu persatu. 11. Keluarga HIMATIKA FMIPA Universitas Lampung atas kebersamaannya selama ini. 12. Almamater tercinta Universitas Lampung. 13. Seluruh pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu. Bandar Lampung Desember 2016 Dwi Mayasari

13 DAFTAR ISI Halaman I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Perumusan Masalah Tujuan Penelitian... 4 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Matriks Definisi Matriks Transpose Matriks Skalar Matriks Diagonal Trace Matriks Matriks Simetris Matriks Identitas Invers Matriks Permutasi Determinan Matriks Matriks Singular Matriks Ortogonal Matriks Koragam Ruang Vektor Kombinasi Linear Bebas Linear Himpunan Perentang Basis Pemetaan Linear Transformasi Linear dalam Bentuk Matriks Ruang Dual Nilai Karakteristik dan Vektor Karakteristik Bentuk Bilinear Ruang Euclids Diagram Dual Metrik Norm Metrik di E Metrik di F... 22

14 Metrik Bobot di F Analisis Peubah Ganda Analisis Korelasi Ganda Analisis Korelasi Kanonik III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Metode Penelitian IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Data Penelitian Hasil dan Pembahasan Vektor Mean dan Matriks Data Terpusat Matriks Varian Kovarian Nilai Nilai Karakteristik dan Vektor Karakteristik Menentukan Nilai Koefisien Korelasi Kanonik Menentukan Nilai Pasangan Variabel Kanonik V. KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

15 Notasi ( ) Matriks data awal peubah independen yang berukuran p variabel kuantitatif dan n individu ( ) Matriks data awal peubah dependen berukuran q variabel kuantitatif dan n individu Hasil pengukuran peubah independen variabel ke j pada individu ke i dengan j 1 2 p dan i 1 2 n Hasil pengukuran peubah dependen variabel ke j pada individu ke i dengan j 1 2 q dan i 1 2 n Vektor mean G Matriks dengan semua vektor kolomnya sama dengan Matriks identitas berukuran n Bobot individu ke i Matriks diagonal bobot dimana ; n menjelaskan banyaknya individu akar karakteristik ke i vektor karakteristik ke i untuk kelompok variabel independen vektor karakteristik ke i untuk kelompok variabel dependen variabel kanonik pada kelompok independen variabel kanonik pada kelompok dependen

16 I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Metode untuk menganalisis data dengan variabel yang lebih dari dua peubah dikenal dengan analisis peubah ganda (analisis multivariat). Analisis multivariat adalah salah satu metode dalam statistik yang digunakan untuk melakukan analisis secara simultan (bersama-sama) terhadap dua variabel atau lebih. Analisis multivariat merupakan pengembangan dari analisis univariat atau bivariat. Pada analisis univariat data diperoleh cukup dengan memperhatikan satu peubah atau karakter saja dari satu individu. Sedangkan pada analisis multivariat data diperoleh dengan memperhatikan dua bahkan lebih banyak lagi peubah yang merupakan karakter dari individu yang sama. Teknik dalam analisis multivariat bisa dikelompokkan menjadi dua kelompok besar yaitu analisis dependensi dan interdependensi. Analisis interdependensi merupakan analisis dimana variabel tidak dibedakan menjadi variabel dependen dan variabel independen sedangkan analisis dependensi (analisis ketergantungan) merupakan analisis yang jelas antara variabel dependen dengan independennya serta menentukan hubungan antara variabel-variabel tersebut secara individual atau bersama. Salah satu metode dari analisis dependensi yang akan dibahas pada penelitian ini adalah analisis korelasi kanonik.

17 2 Analisis korelasi kanonik merupakan salah satu metode analisis multivariat yang ditujukan untuk mengetahui hubungan antara dua kelompok variabel. Besarnya hubungan ini diukur dengan nilai korelasi antara dua kelompok variabel tersebut. Analisis korelasi kanonik fokus pada korelasi antara sebuah kombinasi linear dari variabel dalam satu himpunan dan kombinasi linear dari variabel dalam himpunan lainnya. Ide pertama adalah untuk menentukan bagian dari kombinasi linear yang memiliki korelasi terbesar. Selanjutnya akan ditentukan bagian dari kombinasi linear yang memiliki korelasi terbesar diantara semua bagian yang tidak berkorelasi dengan bagian yang dipilih di awal. Bagian dari kombinasi linear dinamakan variabel kanonik dan korelasi yang lainnya dinamakan korelasi kanonik. Sebagai contoh seorang dokter ingin mengetahui adakah hubungan antara gaya hidup dan kebiasaan makan dengan kesehatan pasien yang diukur dengan hipertensi berat badan dan tingkat ketegangan. Dalam sebuah kasus multivariat untuk melihat suatu hubungan yang mencakup variabel dan individu yang banyak tentu menjadi tidak mudah seperti halnya pada korelasi sederhana dalam analisis univariat yang responnya merupakan peubah tunggal. Banyak teknik yang digunakan untuk melihat hubungan atau kemiripan antar variabel-variabel kuantitatif dalam kelompok salah satunya dapat dilakukan dengan menggunakan teknik analisis komponen utama namun pada kasus yang terdiri dari dua kelompok variabel kuantitatif teknik analisis yang digunakan adalah analisis korelasi kanonik. Untuk mendapatkan kemiripan antara dua kelompok variabel kuantitatif maka penyajian data dilakukan dengan mereduksi dimensi dari segugus data yang berdimensi besar menjadi data yang berdimensi kecil seperti halnya pada analisis komponen utama dimana pada komponen utama

18 3 segugus data yang berdimensi besar direduksi menjadi dimensi yang lebih kecil tetapi tidak banyak kehilangan informasi yang diterangkan oleh variabel-variabel awal. Dalam hal ini metode yang akan digunakan peneliti untuk melihat kemiripan dua kelompok variabel kuantitatif yaitu dengan melalui pendekatan ruang dual. Bentuk khusus dari fungsi linear adalah fungsional-linear yaitu fungsi linear dari suatu ruang vektor ke skalar suatu lapangan. Himpunan dari fungsional-linear akan membentuk suatu ruang yang disebut ruang dual dan basis-basis dari ruang tersebut dinamakan basis dual. Ruang dual merupakan himpunan semua bentuk linear yang didefinisikan pada ruang vektor riil. Suatu bentuk linear yang merupakan anggota dari ruang dual adalah pemetaan linear dengan domain ruang vektor dan range-nya berupa lapangan. Data multivariat dalam penelitian ini dipandang sebagai vektor-vektor acak yang disajikan dalam bentuk matriks dimana dimensi matriks data tersebut akan direduksi dengan memperhatikan konsep-konsep ruang dual. 1.2 Perumusan Masalah Permasalahan yang akan dibahas pada penelitian ini yaitu mereduksi dimensi matriks melalui pendekatan ruang dual untuk melihat derajat ekivalensi antara dua kelompok variabel atau seberapa jauh dua kelompok variabel tersebut mendekati keadaan ekivalen. Dalam hal ini himpunan semua pemetaan linear yang merupakan anggota ruang dual akan memetakan setiap vektor riil menjadi suatu bilangan riil.

19 4 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah : 1. Mengkaji analisis kanonik dengan pendekatan ruang dual. 2. Mereduksi data multivariat pada ruang bagian berdimensi kecil yang optimal melalui pendekatan ruang dual untuk melihat hubungan atau kemiripan antara dua kelompok variabel kuantitatif.

20 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Matriks Matriks Definisi. Matriks adalah suatu kumpulan bilangan yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom dan baris serta dibatasi tanda [ ] atau ( ). Dalam matriks dikenal dengan ukuran matriks yang disebut dengan ordo. Jika adalah sebuah matriks maka dapat digunakan untuk menyatakan entri yang terdapat di dalam baris dan kolom dari. Jadi sebuah matriks yang umum dapat dituliskan sebagai: (Anton 2004 ) Transpose Matriks Definisi. Jika dengan [ adalah matriks ] adalah transpose matriks mempertukarkan baris dan kolom dari pertama dari maka matriks yang dituliskan yang diperoleh dengan yaitu kolom pertama dari dan seterusnya (Anton 2004). adalah baris

21 Skalar Suatu skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai tetapi tidak memiliki arah. Definisi. Jika (product) adalah suatu matriks dan adalah suatu skalar maka hasil kali adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari oleh (Anton 2004) Matriks Diagonal Matriks diagonal yaitu matriks bujur sangkar yang semua entri di luar diagonal utama bernilai nol. Contoh: Trace Matriks Definisi. Jika diberikan sebarang matriks matriks berukuran maka trace dari tersebut didefinisikan sebagai jumlah dari unsur-unsur diagonalnya dan dinotasikan dengan ( ) ( ) sehingga: (Mattjik dan Sumertajaya 2011) Matrik simetris Misalkan adalah sebarang matriks berukuran simetrik (Anton 2004). jika maka

22 Matriks Identitas Matriks disebut matriks identitas dan biasa diberi simbol dan untuk 0 (Anton 2004) Invers Matriks Definisi. Jika adalah suatu matriks bujur sangkar dan dapat dicari matriks sehingga maka dinamakan invers dari dikatakan mempunyai invers (invertible) dan (Anton 2004). Teorema. Jika suatu matriks mempunyai invers maka inversnya tunggal. Bukti : Misalkan invers dari suatu matriks dan maka : Akan ditunjukkan bahwa Karena Teorema. Jika adalah dan adalah ( ( ) maka terbukti bahwa invers dari adalah sebuah matriks dan ) bersifat tunggal. mempunyai invers maka inversnya

23 8 Bukti. ( ) ( ).. ( ) ( )... ( ) ( ( ) ( ( ) (. ) ).... ).( )... maka benar bahwa... adalah invers dari Permutasi Definisi. Barisan bilangan-bilangan ( ) dimana berlaku ( 1 2 ) serta untuk salah satu dari bilangan asli (1 2n) disebut suatu permutasi Contoh : ( ) adalah permutasi. Definisi. Inversi pada permutasi adalah adanya bilangan bulat yang lebih besar mendahului bilangan bulat yang lebih kecil < ( Contoh : 12 ). < ( mendahului ) padahal Tentukanlah banyaknya invers dalam permutasi berikut ( ). Jawab : Banyaknya inverse adalah

24 9 Definisi. Jika banyaknya inversi suatu permutasi adalah bilangan genap maka dinamakan permutasi genap (even) dan jika banyaknya inversi suatu permutasi adalah bilangan ganjil maka dinamakan permutasi ganjil (odd). Definisi. Misalkan ( ) suatu permutasi maka tanda (sign) dari permutasi tersebut ditulis ( ) adalah ( ) +1 bila ( ) genap -1 bila ( ) ganjil (Anton 2004) Determinan Matriks Definisi. Determinan dari matriks bujur sangkar berordo n adalah jumlah dari semua! hasil kali bertanda dari elemen-elemen matriks yang dituliskan dengan : det( ) ( ) (Anton 2004). Selain dengan permutasi mencari determinan juga dapat dilakukan dengan ekspansi kofaktor. Definisi. Jika oleh adalah matriks bujur sangkar maka minor entri adalah determinan dari submatriks dinyatakan yang diperoleh dengan cara menghilangkan semua entri pada baris ke i dan semua entri pada kolom ke-j. Dan kofaktor dari yang dilambangkan oleh suatu skalar (Anton 2004). Definisi. Misalkan adalah ( 1) adalah matriks bujur sangkar determinan dari didefinisikan sebagai: adalah

25 10 det( ) det( ) (karena baris ke-i menjadi acuan atau tetap disebut ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i). (karena kolom ke-j menjadi acuan atau tetap disebut ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j). Definisi. Misalkan matriks bujur sangkar adalah kofaktor dari entri maka Dinamakan matriks kofaktor. Transpose dari matriks ini dinamakan adjoin yang dinotasikan dengan ( ). ( ) (Anton 2004) Dengan menggunakan matriks adjoin selanjutnya dapat ditentukan invers dari suatu matriks. Misalkan ( ) merupakan suatu matriks bujur sangkar maka ( ) Dengan demikian ada hubungan bahwa suatu matriks bujur sangkar mempunyai invers jika dan hanya jika det( ) 0.

26 Matriks Singular Jika adalah matriks bujur sangkar dan det( ) 0 maka invers dari matriks tidak ada dan dikatakan sebagai matriks singular atau non-invertible (Anton 2004) Matriks Ortogonal Matriks bujur sangkar [ ] dikatakan dapat didiagonalisasi secara orthogonal jika terdapat matriks orthogonal sehingga berlaku. Matriks orthogonal didefinisikan sebagai matriks kuadrat yang inversnya sama dengan transposenya sehingga : Maka adalah matriks orthogonal (Mattjik dan Sumertajaya 2011). 2.2 Matriks Koragam 1 Misalkan adalah vektor peubah berukuran berukuran 1 ( ) adalah nilai harapan dari dari. Maka matriks koragam dari [ ] dan adalah vektor peubah dan ( ) adalah nilai harapan adalah: [( [ ])( [ ])] (Johnson dan Wichern 2002). Untuk x y maka cov[xx] var(x) [(x [x])(x [x])t]. 2.3 Ruang Vektor Definisi. Misalkan sebarang himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penjumlahan

27 12 tersebut merupakan sebuah aturan yang memasangkan elemen u dan v dalam yang dituliskan u + v yang dinamakan jumlah u dan v. Sedangkan perkalian skalar merupakan aturan untuk mengawankan setiap skalar k maupun setiap elemen u pada V yaitu elemen ku yang dinamakan perkalian skalar u oleh k. Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua elemen u v w pada V dan oleh setiap skalar k dan l maka dinamakan V sebuah ruang vektor dan elemen-elemen pada V dinamakan vektor: 1. u + v ϵ (tertutup terhadap penjumlahan) 2. u + v v + u (komutatif) 3. u + (v + w) (u + v) + w (asosiatif) 4. ada sebuah benda 0 di V sehingga 0 + u u + 0 ; untuk semua u di V 5. untuk setiap u di V ada sebuah benda u di V yang kita namakan negatif u sehingga u + (-u) (-u) + u 0 6. jika k adalah sebuah skalar dan u adalah sebarang benda di V maka ku berada di V 7. k(u + v) ku + kv 8. (k + l) u ku + lv 9. k(lu) (kl)(u) 10. 1u u (Anton 2004). 2.4 Kombinasi Linear Definisi. Sebuah vektor dikatakan kombinasi linear dari vektor terdapat bilangan-bilngan riil sehingga : bila

28 (Anton 2004). 2.5 Bebas Linear Definisi. Misalkan { suatu ruang vektor dan. Himpunan } dikatakan bebas linear jika persamaan: + Hanya dapat dipenuhi oleh (Anton 2004) Himpunan Perentang Definisi. Misalkan vektor pada suatu ruang vektor dan. Jika masing-masing dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor-vektor tersebut merentang (Anton 2004). maka 2.7 Basis Definisi. Misalkan { suatu ruang vektor dan } dikatakan sebagai basis bagi Dalam hal ini jika merupakan basis bagi. Himpunan jika B merentang maka dikatakan dan bebas linear. berdimensi n (dim( ) ) Definisi. Misalkan bila 1 (1 0 0) 0 0 basis dari. dinamakan basis kanonik

29 14 0 (0 1 0) (0 0 1) 0 (Djauhari 1988) Pemetaan Linear Definisi. Pemetaan dari ruang vektor ke dalam ruang vektor dinamakan pemetaan linear bila : i. ii. f ( + ) f ( ) + f ( ) f ( λ ) λ f ( ) Untuk setiap dan di dan setiap λ di (Djauhari 1988). 2.9 Transformasi Linear dalam Bentuk Matriks Fungsi : adalah aturan yang mengaitkan setiap elemen dari dengan tepat satu ke elemen ( ) di daerah hasil fungsi transformasi dari ke. Fungsi tersebut disebut. Sistem Persamaan Linear (SPL) dapat dipandang suatu aturan transformasi linear: ( ) ( ) ( ) SPL diatas merupakan transformasi linear : yaitu

30 15 ( Maka matriks )( ) disebut matriks standar untuk transformasi linear (Djauhari 1988) Ruang Dual Definisi. Misalkan ( ) merupakan himpunan semua pemetaan linear dari setiap vektor di ke dalam suatu bilangan real di sehingga ( ) juga merupakan ruang vektor. Secara khususnya pula anggota dari ( ) dinamakan bentuk linear. Jika memetakan setiap vektor di ke dalam suatu bilangan real di maka merupakan suatu bentuk linear jika: f( + f( ) f ( ) + f ( ) ) f ( ) untuk setiap dan di dan di sehingga Ruang vektor ( ) dinamakan ruang dual Berdasarkan definisi dan diberi lambang. adalah himpunan semua bentuk linear yang didefinisikan pada. Sebagaimana halnya maka dual (Djauhari 1988). adalah anggota dari ( ). pun memiliki basis yang disebut basis

31 Nilai Karakteristik dan Vektor Karakteristik Jika adalah matriks karakteristik dari maka vektor tak nol jika di dalam adalah kelipatan skalar dari Untuk suatu skalar λ. Skalar dinamakan vektor yakni : dinamakan nilai karakteristik dari dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan. Untuk mencari nilai karakteristik matriks yang berukuran dan dapat ditulis kembali sebagai suatu persamaan homogeny : ( ) 0 Dengan adalah matriks identitas yang berordo sama dengan matriks dalam catatan matriks: ( Uuntuk memperoleh nila )

32 17 buah akar ( ) Jika nilai karakteristik disubstitusikan pada persamaan ( adalah ( solusi dari vektor karakteristik ) ) 0 maka 0 (Rencher 2002) Bentuk Bilinear Misalkan suatu ruang vektor dim( ) dan. Pemetaan 1). 3). dinamakan bentuk bilinear pada bila : ( + ) ( ) + 2). ( + ) ( ) + (α β )αβ Bentuk bilinear ke dalam ( ) ( ) ( ) Untuk setiap di dan α β real. di pemetaan dari dikatakan simetris bila (Djauhari 1988). ( ) ( ) untuk setiap dan 2.13 Ruang Euclides Ruang vektor dengan dim( ) yang dilengkapi suatu produk skalar dinamakan ruang Euclides dan ( ) disebut produk skalar dari dan. Dalam suatu ruang Euclides dapat diukur panjang (vektor) jarak (antara dua vektor) serta sudut (yang dibentuk oleh dua vektor). Untuk itu akan dianggap ruang Euclides dengan produk skalar (Djauhari 1988).

33 Diagram Dual Misalkan pada ( ) adalah matriks data hasil pengukuran buah variabel kuantitatif individu yang merupakan elemen baris ke-j dan kolom ke-i adalah nilai pengukuran variabel ke-j pada individu ke-i dimanai di {12 } Urutan bilangan ( {12 }. ) yakni urutan nilai pengukuran variabel ke-1 sampai dengan variabel ke-p pada individu ke-i dapat dinyatakan dengan vektor : di ; artinya dengan merupakan vektor real berdimensi. Dalam hal ini { } menyatakan basis kanonik dari ruang vektor individu. Jadi menggambarkan vektor individu ke-i di Demikian pula untuk urutan bilangan ( ; 12. ) yang merupakan urutan hasil pengukuran variabel ke-j pada individu ke-1 sampai dengan ke-n dapat dinyatakan sebagai vektor : di Disini { } adalah basis kanonik dari ruang vektor variabel. Dengan demikian menyatakan vektor variabel ke-j di ; 12.

34 19 Cara pandang tersebut mengakibatkan bahwa di { ; i12n} dan di pandang dan memiliki titik-titik individu memiliki titik variabel { ; j12p}. Sekarang yakni ruang dual dari dan dari. Misalkan { } dan { } adalah basis-basis dualnya. Berdasarkan definisi basis dual maka kita peroleh : 1). ( ) ( 2). ( ) ( ) < > ) < > Dari uraian 1) dan 2) dapat disimpulkan bahwa adalah : a). nilai pada vektor individu ke-i atau dengan kata lain menggambarkan variabel ke-j di b). pada vektor variabel ke-j. Sehingga menyatakan individu ke-i di. Sampai disini telah diperoleh representasi individu dan variabel sebagai berikut. a). Terhadap variabel-j dapat dikaitkan vektor di dan bentuk linear di b). Terhadap individu-i dapat dikaitkan vektor di E dan bentuk linear di Oleh karena itu dalam usaha menggambarkan mekanisme yang ada dalam induk dasar adalah wajar kita pandang pemetaan: : ( ) Jadi memetakan bentuk linear menjadi vektor individu. Selanjutnya dapat diketahui pula bahwa matriks pemetaan dari tidak lain adalah matriks data dapat ( ) itu sendiri. Dengan demikian matriks data dipandang sebagai pemetaan :

35 20 Dan : transpose dari Sehingga adalah pemetaan: yang memetakan bentuk linear menjadi. Menyajikan himpunan individu dan himpunan variabel adalah salah satu tujuan utama dari teknik-teknik analisis data multidimensi. Untuk itu perlu membuat partisi dari yang terdiri atas kelas-kelas dari individu-individu yang saling berdekatan. Jadi perlu dipertegas pengertian kedekatan antar individu. Demikian pula untuk membuat kelas-kelas dari perlu didefinisikan kedekatan antar variabel. Dalam analisis linear kedekatan tersebut akan diukur dengan bantuan metrik Euclides (Djauhari 1988) Metrik Diberikan sebarang himpunan. Fungsi : bilangan real. Dimana dengan himpunan adalah jarak Euclids di antara titik dari anggota di yang memenuhi sifat-sifat : ( ) 0 untuk setiap di dan ( ) 0 jika dan hanya jika ( ) ( ) untuk setiap di ( ) ( ) + ( ) di Disebut metrik atau jarak pada. Himpunan dilengkapi dengan suatu metrik ditulis dengan ( ) disebut ruang metrik. Anggota ruang metrik ( ) disebut

36 21 titik dan untuk setiap di titik. bilangan non-negatif ( )disebut jarak titik ke Norm Definisi. Suatu norm di sebuah ruang vektor real adalah pemetaan dari himpunan bilangan real biasanya dilambangkan. yang memenuhi: 0 untuk setiap dan 0 jika dan hanya jika untuk setiap skalar dan + + untuk setiap (Anton 2004). ke Metrik di E Misalkan ruang Euclides dengan metrik M yang berperan mengukur kedekatan antar individu. Dengan memandang bersifat satu-satu atau bijektif) dari diterapkan metrik sebagai isomorfisma (sebuah fungsi yang pada maka sangatlah wajar bila pada sedemikian sehingga : ( ) ; i12n. Mekanisme di atas dapat disajikan dalam dimana diagram berikut.

37 22 Secara umum untuk setiap ( ) ( ) dan di Ini berarti pula bahwa untuk setiap ( ) di diinginkan berlaku : (Djauhari 1988) Metrik di F Seperti halnya di maka untuk mengukur kedekatan antar variabel serta melihat kolinearitasnya di diterapkan suatu metrik di. Dengan mengikuti konsep yang sama seperti untuk di Ingatlah bahwa ( ) pun dapat diterapkan metrik ; j 12p. Secara umum hal tersebut berarti bahwa untuk setiap ( ) Hubungan antara dan di berlaku : diberikan pada dalil berikut. Dalil Jika untuk setiap di berikut : berlaku Komutatif artinya : ( ) maka diperoleh diagram

38 23 Selanjutnya kedua diagram di atas dapat digabungkan sehingga membentuk diagram berikut ini yang menggambarkan seluruh mekanisme dasar yang ada bila dihadapkan dengan matriks data ( ). Diagram tersebut selanjutnya disebut diagram dual (Djauhari 1988) Metrik Bobot di F Bila ( ) matriks data yang terdiri dari baris dan dengan himpunan vektor individu { / 12 }. kolom maka di Misalkan terhadap setiap individu -i jadi terhadap setiap vektor di himpunan itu diberikan bobot ( > 0 dan Dengan demikian maka vektor dimana : 1) tidak lain adalah vektor mean atau pusat gravitasi dari himpunan vektor individu di atas. Elemen ke-j dari adalah

39 24 yang merupakan mean sampel untuk variabel ke-j. Khususnya jika ; untuk setiap 12 yang berarti bahwa semua individu memiliki bobot yang sama (ini akan diperoleh bila sampel diambil secara acak); maka dan Di dalam analisis data univariate besaran-besaran yang sering digunakan terutama adalah mean sampel (rata-rata) dan variansi sampel. Sebagai pengembangannya pada analisis data multivariate akan digunakan vektor mean dan momen inersia (yang merupakan perluasan dari variansi) (Djauhari 1988) Analisis Peubah Ganda Misalkan Maka setiap adalah vektor acak berukuran dinotasikan ( ) ( ) ( ) Dengan mengartikan dinotasikan mungkin saling dan matriks kovarian didefinisikan sebagai: ( ) adalah vektor acak dan diasumsikan tidak bebas. Nilai tengah dari vector acak dari 1 atau ( ) ( ) ( ) sebagai unsure ke ( ) dari matriks ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dimana: bentuk disebut

40 25 ( ) [( 1998). μ ) ] untuk 12 ( μ )(( μ ) untuk 12 (Johnson 2.16 Analisis Korelasi Ganda Misalkan ingin didapatkan korelasi antara variabel didefinisikan matriks ( dan ) merupakan koragam contoh dari dan 1 dengan merupakan matriks koragam contoh dari analog dengan merupakan korelasi contoh dari dengan dan dimana dan (. adalah matriks korelsi contoh dari. Kuadrat korelasi ganda dapat dihitung menggunakan partisi dari matriks koragam atau partisi dari matriks korelasi sebagai berikut Korelasi ganda kombinasi linear 2.1 dapat didefinisikan dengan maksimum korelasi antara dan (Rencher 2002) Analisis Korelasi Kanonik Analisis kanonik adalah analisis statistika multivariat yang memungkinkan identifikasi dan kuantifikasi hubungan antara dua himpunan peubah. Jika terdapat dua kelompok variabel derajat ekivalensi antara ekivalen. dan melalui teknik analisis kanonik dapat diselidiki dan atau seberapa jauh keduanya mendekati keadaan

41 26 Misalkan terdapat dua kelompok variabel kuantitatif { } dan { } pengertian ekivalensi antara dua variabel kuantitatif bermakna bahwa kedua variabel itu ekivalen jika dan hanya jika mereka berimpit atau memiliki korelasi 1 atau -1. Untuk melihat kemiripan antar kedua kelompok variabel kuantitaif penyajian data dilakukan dengan mereduksi data yang berdimensi besar menjadi dimensi kecil dengan pendekatan ruang dual. Melalui pendekatan ruang dual pereduksian matriks pada setiap kelompok variabel melibatkan nilai karakteristik dan vektor karakteristik dari matriks varian kovarian dengan matriks diagonal bobot. Matriks varian kovarian ditentukan melalui matriks data terpusat yaitu selisih dari data sebenarnya dengan rataratanya. Sehingga nilai koefisien korelasi kanonik dan nilai pasangan variabel kanonik juga bersifat terpusat (Djauhari 1988). Definisi. Dua kelompok variabel kuantitatif { } dan { } dikatakan ekivalen jika himpunan semua kombinasi linear dari { } berimpit dengan himpunan semua kombinsi linear { Misalkan {1 2 } himpunan individu ( }. ) dan ( ) matriks- matriks data berturut-turut hasil pengukuran kelompok variabel pertama dan kedua pada. Diagram dual yang sesuai dengan tersebut adalah :

42 27 Dimana: a. Pada b. Pada c. Pada digunakan basis kanonik { (1) 1 2 } dan metrik ( ). ( ). digunakan basis kanonik { (2) 1 2 } dan metrik digunakan basis kanonik { 1 2 } dan metrik (Djauhari 1988).

43 III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilaksanakan pada semester genap tahun ajaran 2015/2016 bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 3.2 Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang menggunakan buku-buku penunjang dan jurnal-jurnal yang berhubungan dengan tugas akhir ini kemudian melakukan simulasi sebagai aplikasi untuk menerapkan teori yang telah dipelajari. Langkah-langkah yang digunakan pada penelitian ini yaitu: 1. Menentukan vektor mean pada masing-masing kelompok variabel dan dengan elemen-elemennya merupakan mean dari setiap variabel yang diamati. 2. Membakukan data atau menentukan matriks data terpusat dari matriks data mentah. Untuk memperoleh matriks data terpusat matriks berukuran dan matriks berukuran dapat dilakukan dalam bentuk operasi matriks berikut :

44 29 dan Dengan adalah 3. Dengan bobot semua individu pada kedua kelompok variabel sama maka diketahui matriks diagonal bobot berukuran. Selanjutnya akan ditentukan matriks varian-kovarian tiap kelompok variabel. Misal diberikan: matriks varians-kovarians kelompok variabel pertama. matriks varian-kovarian kelompok variabel kedua. ( ) matriks varian-kovarian kelompok variabel pertama dan kedua. 4. Dari matriks varian-kovarian yang telah diperoleh maka akan dicari nilai karakteristik yang akan digunakan untuk menentukan koefisien korelasi kanonik dan vektor karakteristik untuk menentukan nilai pasangan variabel kanonik dengan persamaan berikut: Misal banyaknya variabel pada dan banyaknya variabel pada. Jika maka terlebih dahulu mencari nilai karakteristik dari persamaan det( ) 0 untuk setiap 12. Menentukan vektor karakteristik pada kelompok variabel pertama yang bersesuaian dengan nilai karakteristik dimana 1.

45 30 Jika < maka terlebih dahulu mencari nilai karakteristik dari persamaan det( ) 0 untuk setiap 12. Menentukan vektor karakteristik pada kelompok variabel kedua yang bersesuaian dengan nilai karakteristik dimana Menentukan koefisien korelasi kanonik ( ) dari nilai karakteristik yang telah diperoleh : ( ) untuk setiap Menentukan nilai pasangan variabel kanonik ( ) yaitu merupakan variabel kanonik pada kelompok pertama dan merupakan variabel kanonik pada kelompok kedua untuk setiap 12 dengan: dan untuk setiap 12

46 V. KESIMPULAN Dari uraian pembahasan dan analisis yang telah dilakukan maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut: 1. Melalui pendekatan ruang dual analisis korelasi kanonik berusaha mereduksi dimensi ruang untuk melihat kemiripan dua kelompok variabel. Pada penelitian ini analisis korelasi kanonik berhasil mereduksi dimensi matriks dengan membentuk matriks varian kovarian melalui matriks data terpusat. Invers dari matriks varian kovarian tiap variabel merupakan dual dari dari matriks varian kovarian. Selanjutnya analisis diteruskan dengan melibatkan matriks varian kovarian dan matriks data terpusat tanpa melibatkan matriks data awal. 2. Analisis korelasi kanonik berfokus pada korelasi antara kombinasi linear dari gugus peubah independen dengan gugus peubah dependen. Ide utamanya mencari pasangan kombinasi linear yang memiliki korelasi terbesar. Pasangan kombinasi linear kedua kelompok variabel yang dipilih merupakan pasangan kombinasi linear yang memiliki korelasi terbesar yaitu pada pasangan kombinasi linear pertama.

47 DAFTAR PUSTAKA Anton Howard dan Chris Rorres Aljabar Linear Elementer. Jakarta. Erlangga. Djauhari Maman A Struktur Data Statistik. Jakarta. Karunika Universitas Terbuka. Jacob Bill Linear Algebra. New York. W.H. Freeman and Company. Johnson R. A. dan Winchen D. W Applied Multivariate Statistical Analysis Fifth Edition. New Jersey. Prentice Hall Inc. Mattjik A. Ansori dan Sumertajaya I Made Sidik Peubah Ganda. Bogor. IPB Press. Rencher Alvin C Methods of Multivariate Analysis Second Edition. New York. John Wiley and Sons.