PENGEMBANGAN UJI PORTMANTEAU UNTUK DIAGNOSTIK MODEL DERET WAKTU YULITASARI

Transkripsi

1 PENGEMBANGAN UJI PORTMANTEAU UNTUK DIAGNOSTIK MODEL DERET WAKTU YULITASARI DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 007

2 ABSTRAK YULITASARI. Pengebangan Uji Portanteau untuk Diagnostik Model Deret Waktu. Dibibing oleh KUSMAN SADIK dan YENNI ANGRAINI. Kecukupan odel deret waktu dapat diperiksa berdasarkan sisaannya. Jika odel layak aka fungsi autokorelasi sisaan contoh tidak berbeda nyata dengan nol untuk seua lag lebih besar dari satu. Uji yang digunakan untuk eeriksa apakah k pertaa autokorelasi sisaan saa dengan nol adalah uji portanteau yang diperkenalkan pertaa kali oleh Box-Pierce pada tahun Dala perkebangannya, uji ini engalai perbaikan dan eneria usulan antara lain oleh Ljung-Box (1978), Monti (1994) dan Pena-Rodriquez (00). Penelitian ini bertujuan untuk elihat kesensitifan ketiga uji portanteau yaitu uji portanteau Ljung-Box (Q LB ), uji portanteau Monti (Q MT ) dan uji portanteau Pena-Rodriquez (D ). Penelitian dilakukan dengan siulasi dengan ebangkitkan 36 odel ARMA (p,q) dengan ukuran contoh 100 dan 30 sebanyak ulangan. Hasil eperlihatkan dari 36 odel ARMA (p,q) yang di-fit dengan odel AR (1) atau MA (1) atau ARMA (1,1), uji D erupakan uji yang paling sensitif dibandingkan dengan kedua uji yang lain. Uji Q LB eberikan hasil yang hapir saa dengan uji Q MT untuk lag kecil dan hasil yang lebih sensitif pada lag besar. Tetapi uji Q MT terbukti lebih sensitif ketika odel alternatif eiliki order MA yang lebih tinggi.

3 PENGEMBANGAN UJI PORTMANTEAU UNTUK DIAGNOSTIK MODEL DERET WAKTU YULITASARI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk eperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Mateatika dan Ilu Pengetahuan Ala Institut Pertanian Bogor DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 007

4

5 PRAKATA Skripsi dengan judul Pengebangan Uji Portanteau untuk Diagnostik Model Deret Waktu ini diinspirasikan oleh penelitian yang dilakukan oleh Daniel Pena dan Julio Rodriquez. Hasil penelitian ereka dapat dilihat pada jurnal Journal of the Aerican Statistical Association (JASA) 97: tahun 00 dengan judul A Powerful Portanteau Test of Lack of Fit for Tie Series. Disaping enggunakan 4 odel ARMA (p,q) yang digunakan pada penelitian terdahulu, penulis juga enabahkan 1 odel ARMA (p,q) yang di-fit dengan odel ARMA (1,1). Terselesaikannya skripsi ini adalah dengan penuh perjuangan. Epat tahun laanya terkatung-katung sapai akhirnya dapat tertuntaskan. Perjuangan panjang ini tak lepas dari bantuan banyak pihak. Orang tua di ruah yang selalu percaya pada anaknya. Pak Kusan Sadik dan Bu Yenni Angraini selaku pebibing skripsi. Dudi atas saran penggunaan R.4.0. Marta, Nono, Rani, Itut dan seua tean yang yang tak tersebut yang tak lelah terus eberi seangat. Syukur nikat ini sungguh tak terbilang. Bogor, Agustus 007 Penulis

6 RIWAYAT HIDUP Penulis erupakan anak kedua dari pasangan Drs. Noor Siswanto, S.H dan Siti Sasilah. Penulis dilahirkan di Wonosari, Gunung Kidul pada tanggal 7 Juli 198. Masa kecil dilewatkannya di beberapa kota engikuti orangtuanya yang pindah tugas. Pendidikan dasar diselesaikan di tiga sekolah dan akhirnya tahun 1994 penulis lulus dari SDN 3 Toa Lia, Passo, Abon. Sepat bersekolah di SMP Negeri 1 Lateri Abon sebelu enyelesaikan pendidikan enengahnya di SMP Negeri 11 Pontianak pada tahun Setelah enghabiskan asa kelas 1 dan di SMU Negeri 1 Pontianak, penulis lulus dari SMU Negeri 1 Karangano, Klaten pada tahun 000. Pada tahun yang saa penulis diteria di Departeen Statistika FMIPA IPB elalui jalur UMPTN. Penulis pernah anjadi pengurus Asraa Putri IPB Baranangsiang periode 003/004 dan elakukan praktek lapang di Dinas Pertanian Tanaan Pangan Provinsi Jawa Tengah pada Februari April 004. Penulis juga sepat ikut pada survey PATANAS 004 yang diadakan oleh Pusdatin Deptan.

7 DAFTAR ISI Halaan DAFTAR GAMBAR vii DAFTAR LAMPIRAN viii PENDAHULUAN Latar Belakang 1 Tujuan 1 TINJAUAN PUSTAKA Metode Siulasi 1 Deret Waktu 1 Koefisien Autokorelasi Proses Auto Regresi Proses Moving Average Uji Portanteau 3 Uji Portanteau Ljung-Box (Q LB ) 3 Uji Portanteau Monti (Q MT ) 3 Uji Portanteau Pena dan Rodriquez (D M ) 3 METODE ANALISIS 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Peerikasaan Progra 5 Progra Pebangkitan Data 5 Progra perhitungan Q LB, Q MT, dan D 7 Kelayakan Model 7 Pebangkitan dan Pengolahan Data 8 SIMPULAN DAN SARAN Sipulan 9 Saran 9 DAFTAR PUSTAKA 9 LAMPIRAN 11

8 DAFTAR GAMBAR Halaan 1 Plot Noral Galat yang Dibangkitkan dengan rnor 5 Plot Data Bangkitan Terhadap Waktu 5 3 Plot ACF Data Bangkitan 6 4 Plot PACF Data Bangkitan 6 5 Pendugaan Paraeter dengan Model MA () 6 6 Plot Sisaan Model MA () Terhadap Waktu 6 7 Plot ACF Sisaan Model MA () 6 8 Plot PACF Sisaan Model MA () 6 9 Pendugaan Paraeter dengan Model AR (3) 7 10 Plot Sisaan Model AR (3) Terhadap Waktu 7 11 Plot ACF Sisaan Model AR (3) 7 1 Plot PACF Sisaan Model AR (3) 7 13 Plot ACF Sisaan Model AR (3) 8 14 Plot PACF Sisaan Model AR (3) 8

9 DAFTAR LAMPIRAN Halaan 1 Perintah Pebangkitan Deret Waktu dengan R Model ARMA (p,q) yang Dibangkitkan 14 3 Pebuktian Teorea dan Pendekatan Sebaran 15 4 Nilai Q LB dengan MINTAB dan R Nilai D dengan R.4.0 dan Secara Manual 17 6 P-value untuk D, Q LB, serta Q MT dengan Minitab dan R P-value Uji Portanteau 18 8 Persentase series (deret 1, deret, deret 10000) dengan sisaan berkorelasi ketika data di-fit dengan odel AR(1), MA(1) dan ARMA(1,1) pada beberapa odel ARMA(p,q) dengan uji D M, Q LB dan Q MT pada n= Persentase series (deret 1, deret, deret 10000) dengan sisaan berkorelasi ketika data di-fit dengan odel AR(1), MA(1) dan ARMA(1,1) pada beberapa odel ARMA(p,q) dengan uji D M, Q LB dan Q MT pada n= Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak dengan Uji Q LB pada N= Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak dengan Uji Q MT pada N= Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak dengan Uji D pada N= Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak dengan Uji Q LB pada N= Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak dengan Uji Q MT pada N= Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak dengan Uji D pada N=30 7

10 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Data yang dikupulkan berdasarkan urutan waktu atau biasa disebut data deret waktu dapat digunakan untuk elakukan pendugaan kejadian yang akan datang yang disebut dengan peraalan. Jenis data ini sering dijupai di berbagai bidang. Peraalan erupakan satu eleen penting dala pengabilan keputusan dan penentuan kebijakan. Dengan peraalan kerugian akibat ketidakpastian dala pengabilan keputusan dapat dikurangi. Peraalan dapat dilakukan dengan elakukan peulusan terhadap data dan peodelan. Ketepatan peraalan dapat ditingkatkan dengan enyediakan lebih banyak data, tetapi sering kali data yang tersedia tidak cukup banyak untuk ebangun sebuah odel pendugaan yang baik. Peodelan data deret waktu dilakukan dala tiga tahap yaitu penentuan odel tentatif, pendugaan paraeter dan analisis diagnostik terhadap kelayakan odel. Ketiga tahapan ini dikenal sebagai etode Box- Jenkins. Model dikatakan layak jika sisaannya saling bebas, epunyai sebaran identik serta enyebar noral dengan rataan nol dan raga σ e (Cryer 1986). Sisaan tidaklah selalu saling bebas, pada beberapa kasus terjadi autokorelasi. Jika hal ini diabaikan aka akan enyebabkan ketidakkonsistenan pendugaan galat baku, ketidaktepatan uji hipotesis dan ketidakefisienan pendugaan koefisien regresi. Uji foral yang digunakan untuk enguji apakah sisaan saling bebas atau tidak adalah uji portanteau (statistik Q) yang diperkenalkan pertaa kali oleh Box-Pierce pada tahun Uji portanteau diruuskan sebagai perkalian ukuran contoh dan julah kuadarat k autokorelasi sisaan contoh pertaa. Statistika Q akan enyebar engikuti sebaran khi-khuadrat dengan derajat bebas k-p-q jika H 0 benar dengan hipotesis nol sisaan saling bebas. Dala perkebangannya, uji portanteau engalai perbaikan dan eneria usulan antara lain oleh Ljung-Box (1978), Monti (1994) dan Pena-Rodriquez (00). Uji portanteau Pena-Rodriquez (D ) dipercaya lebih sensitif untuk endeteksi adanya autokorelasi pada sisaan terutaa pada n kecil. Uji ini eisalkan sisaan sebagai contoh dari data ultivariat dengan perilaku sebaran peluang tertentu. Tujuan Tujuan penelitian ini adalah ebandingkan kesensitifan tiga uji portanteau yaitu uji portanteau Pena- Rodriquez (D ), uji portanteau Ljung-Box (Q LB ) dan uji portanteau Monti (Q MT ). TINJAUAN PUSTAKA Metode Siulasi Siulasi dala statistika dapat diartikan sebagai kupulan teknik yang berguna yang keseuanya berhubungan dengan eniru perilaku suatu odel (Morgan 1984). Siulasi tidak hanya dapat enerangkan odel itu sendiri, tetapi juga untuk enyelidiki bagaiana perilaku odel dapat berubah engikuti perubahan di dala odel. Metode siulasi dapat eberikan efisiensi dan keudahan dala enganalisis suatu odel ateatika. Sekarang kebanyakan siulasi dala statistika dilakukan dengan bantuan perangkat koputer. Deret Waktu Deret waktu adalah suatu gugus tatanan nilai-nilai pengaatan sifat kuantitatif suatu individu atau kupulan individu yang diaati pada titik-titik waktu berbeda. Biasanya jarak titik-titik waktu tersebut dibuat saa. Deret waktu dapat diodelkan dala bentuk uu : X t = b1 z1( t) b z ( t) + L + bk zk ( t) + ε t keterangan : b t = paraeter z t (t) = fungsi ateatik dari t ε t = galat acak Dua tujuan utaa dari analisis deret waktu adalah eodelkan proses stokastik yang ebangkitkan pengaatan deret waktu dan eprediksi atau eraalkan kejadian endatang berdasarkan data terdahulu. Kestasioneran erupakan asusi terpenting yang harus dipenuhi dala peodelan proses stokastik (Cryer 1986). Proses stokastik dikatakan stasioner jika rataan fungsi konstan enurut waktu dan raga bersaa antara lag t dengan lag t-k saa dengan raga bersaa antara lag 0 dengan lag k untuk seua t dan k.

11 Koefisien Autokorelasi Koefisien autokorelasi adalah ukuran seberapa besar korelasi antara data yang berdekatan pada data deret waktu X t (Pindyck dan Rubinfield 1997). Korelasi antara X t dan X t+k yang terpisahkan oleh k interval waktu disebut autokorelasi lag k dan didefinisikan sebagai: E[( X t X )( X t+ k X )] ρ k = E[( X X ) ] E[( X X ) Cov( X t, X = t σ σ t X t X t + k k ) t+ k Pada proses yang konstan, raga pada waktu t akan saa besar dengan raga pada waktu t + k, sehingga koefisien autokorelasi akan enjadi: Cov(( X t, X t k ) γ k ρk = = σ γ x 0 Autokorelasi bernilai antara -1 dan 1. Nilai autokorelasi yang endekati ±1 engindikasikan adanya hubungan yang kuat dan nilai autokorelasi endekati nol enunjukan tidak adanya hubungan. Koefisien autokorelasi dapat diduga dengan koefisien autokorelasi contoh (r k ) (Pindyck dan Rubinfield 1997). n = t = k + 1a t a r t k k n t= 1at Kesulitan pengidentifikasian nilai p pada proses autoregresi dapat ditanggulangi dengan penggunaan autokorelasi parsial. Autokorelasi parsial ( πˆ k ) dapat diartikan sebagai korelasi antara X t dan X t-k setelah pengaruh pebalikan peubah X t-1, X t-,..., X t-k+1 dihilangkan pada data deret waktu yang konstan (Cryer 1986). Proses Autoregresi Prose autoregresi ordo p (AR (p)) diodelkan sebagai: X t = ξ + φ1 X t 1 + φ X t + L+ φ p X t p + ε t Persaaan ini disebut autoregresi karena pengaatan aktual X t diregresikan pada pengaatan sebelunya X t-1, X t-,..., X t-p dala deret waktu yang saa (Montgoery et all 1990). Proses AR (p) dapat dituliskan dala bentuk operator backward-shift: φ p ( B) X t = ε t Proses AR (p) dapat diterapkan untuk proses yang stasioner aupun tidak stasioner. Proses AR (p) akan stasioner jika akar dari polinoial φ p (B) berada diluar unit lingkaran. Proses AR (p) eiliki fungsi autokorelasi (ACF) yang berpola polinoial dan fungsi autokorelasi parsial (PACF) yang terpotong pada lag p. Model AR yang paling sederhana adalah AR (1) : X t = μ + φx t 1 + at diana peristiwa pada waktu t hanya bergantung pada peristiwa pada waktu t-1 dan bebas terhadap peristiwa waktu t-, t-3,..., t0. Proses ini disebut juga proses Markov. Proses ini akan stasioner jika dan hanya jika φ < 1. Nilai tengah dari odel ini nol, raganya σ a /(1 φ ) dan autokorelasi untuk lag k saa dengan φ k. Proses Moving Average Model uu proses oving average ordo q (MA (q)) dapat ditulis sebagai: X t = ε t + θ1 ε t 1 + θ ε t + L + θ qε t q Terinologi oving average berasal dari fakta bahwa X t dibangun dengan ebobotkan 1,-φ 1, -φ,..., -φ q, pada variabel ε t, ε t-1, ε t-,...,ε t-p keudian engerakkan pebobot yang saa satu periode waktu kebelakang dan ebobotkannya pada ε t+1, ε t, ε t-1,..., ε t-p+1 untuk endapatkan X t+1 (Cryer 1986). Proses MA (q) dapat ditulis dala bentuk operator backward-shift sebagai: X = μ + θ ( B) ε t Untuk kondisi tertentu proses MA (q) dapat ditulis ke dala bentuk AR ( ). Kondisi ini disebut invertibility bagi MA (q). Syarat agar proses MA (q) dapat dirubah enjadi proses AR ( ) adalah akar dari polinoial θ q (B) = 0 berada diluar unit lingkaran. Proses MA (q) dapat dikenali dengan elihat plot ACF yang terpotong pada lag q dan plot PACF yang berpola polinoial. Dapat disipulkan bahwa proses tidak eiliki korelasi setelah lag q. Proses MA yang paling sederhana adalah MA (1) yang di odelkan sebagai: X t = ε t + θ ε t 1 Nilai tengah odel ini bernilai nol, raganya (1+θ ) σ ε dan autokorelasi lag 1 saa dengan -θσ ε serta autokorelasi untuk lag k, k > 1 akan bernilai nol. Seringkali dijupai proses autoregresi diasukkan bersaaan dengan oving average dala satu odel deret waktu. Hal ini dilakukan karena odel tersebut lebih baik dibandingkan dengan odel autoregresi saja atau odel oving average saja. Model q t

12 3 capuran autoregresi-oving average order (p,q) (ARMA (p,q)) dapat dituliskan sebagai : X = ξ + φ X + φ X + L+ φ X + ε t θ ε 1 t 1 1 t 1 θ ε t t L θ ε q t q p t p Model capuran ini akan stasioner jika akar dari polinoial φ p (B) berada diluar unit lingkaran dan invertible jika akar dari polinoial θ q (B) = 0 berada diluar unit lingkaran. Uji Portanteau Ada dua cara untuk elihat asusi kebebasan galat. Pertaa dengan elihat plot sisaan dengan waktu. Jika plot ini tidak berpola aka dapat disipulkan bahwa sisaan bebas. Yang kedua elihat ACF sisaan. Jika autokorelasi sisaan bernilai nol aka dapat dikatakan sisaan saling bebas. Uji foral untuk enguji asusi kebebasan galat adalah uji portanteau. Uji ini pertaa kali diperkenalkan oleh Box- Pierce pada tahun 1970 berdasarkan pada autokorelasi sisaan yang diruuskan sebagai: Q = n k= 1rk Jika odel ARMA(p,q) teridentifikasi dengan benar aka untuk n yang besar Q akan enyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas -p-q. Hipotesis yang digunakan adalah sisaan saling bebas elawan sisaan tidak bebas (berkorelasi). Uji Portanteau Ljung-Box (Q LB ) Persoalan uncul jika n tidak besar. Ljung dan Box (1978) enunjukan bahwa untuk n = 100 pun pendekatan Q ke sebaran khi-kuadrat tidak euaskan. Uji portanteau keudian diperbaiki enjadi uji portanteau Ljung- Box (Q LB ) dengan engantikan koefisien autokorelasi sisaan (r k ) dengan nilai standarnya ( ~ r k ) (Pena dan Rodriguez 00). ~ ( n + ) rk = r k ( n k) sehingga QLB = n( n + ) k = 1 ( n k) 1 rk Q LB enyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas -p-q. Ljung (1986) dala Pena dan Rodriguez (00) eperlihatkan bahwa enghitung Q LB dengan banyak autokorelasi sisaan dapat engurangi kekuatan ujinya. Uji Portanteau Monti (Q MT ) Monti (1994) eperkenalkan uji portanteau Q MT yang berdasarkan pada autokorelasi parsial ( πˆ ). k t QMT = n n + ) k = 1 1 ˆk ( ( n k) π Q MT enyebar khi khuadrat dengan derajat bebas -p-q. Melalui siulasi, Monti (1994) enunjukan bahwa ketika alternatif odel eiliki ordo oving average yang lebih tinggi, Q MT lebih sensitif dibandingkan dengan Q LB. Kwan dan Wu (1997) dala Pena dan Rodriquez (00) engevaluasi via siulasi Monte Carlo untuk data bangkitan dengan siklus bulanan dan eneukan perbedaan yang kecil antara kekuatan uji Q LB dan Q MT. Uji Portanteau Pena dan Rodriquez Adanya fakta bahwa berkurangnya kekuatan uji Q LB dengan bertabahnya lag serta hanya terdapat sedikit perbedaan kekuatab uji Q LB dan Q MT endorong Pena dan Rodriquez engusulkan sebuah uji portanteau yang baru. Uji yang diusulkan pada tahun 00 ini enggunakan transforasi dari deterinan Rˆ untuk enguji adanya autokorelasi pada sisaan. Diana Rˆ adalah atriks korelasi sisaan data deret waktu stasioner ordo yang didefinisikan sebagai: 1 r1 L r ˆ = r1 1 L r 1 R M M O M r r 1 L 1 Uji portanteau Pena-Rodriquez diruuskan sebagai: ˆ ˆ 1 [1 / D = n R ] Deterinan Rˆ akan bernilai 1 dan Dˆ bernilai 0 ketika r 1 = r =... = r = 0. Ketika r 1 = r =... = r = 1, deterinan Rˆ akan bernilai 0 dan Dˆ bernilai n. Untuk seua nilai r k, Dˆ bernilai lebih dari saa dengan nol. ' Misalkan rˆ ( ) = ( r1, r, K, r ), aka atriks korelasi dapat ditulis sebagai: 1 rˆ ˆ ( ) R = ˆ ˆ r( ) R 1 Dengan enggunakan sifat deterinan atriks terbagi didapatkan R ˆ = ˆ R 1 (1 R ) diana ˆ R = rˆ ( ) R 1r ˆ ( ) adalah perkalian koefisien korelasi yang dikuadratkan dari odel linear εˆ t = = b ˆ ε + u. Secara rekursif didapatkan : j 1 j t j t

13 4 dan 1/ Rˆ 1/ = (1 Ri ) i= 1 1/ Rˆ 1 dapat dinteprestasikan sebagai rataan kuadrat koefisien korelasi (Pena dan Rodriguez 00). Dˆ dapat pula ditafsirkan berdasarkan koefisian autokorelasi parsial. Perhatikan bahwa 1 - R i = JKG(1,i)/JKT dan dengan cara yang saa didapatkan 1 R i-1 = JKG(1, i-1)/ JKT sehingga 1 Ri JKG(1, i) = = (1 ˆ π ) i 1 R JKG(1, i 1) i 1 (1, 1) (1, ) Diana ˆ JKG i JKG i π i = adalah JKG(1, i 1) kuadrat koefisien autokorelasi ke-i. Sehingga deterinan Rˆ dapat dituliskan sebagai ( + 1 i) / 1/ Rˆ = (1 ˆ π i ) i 1 Jika odel teridentifikasi dengan benar aka Dˆ akan enyebar secara asytot sebagai i = 1λiχ1. i (Lapiran 3). Peluang Pr( Dˆ > x) dapat dievaluasi dengan ebalik fungsi karateristik dari i = 1λ i χ 1. i (Ihof 1961). Pendekatan sebaran λi χ 1. i dilakukan oleh sebaran aχ b dengan ean dan raga yang saa dengan sebaran yang sebenarnya serta derajat bebas b yang berupa pecahan. Akan didapatkan bahwa a = λ i / λ i dan b = ( λ ) / i λi. Sebaran Dˆ dapat didekati dengan sebaran gaa, Γ (α=b/, β=1/a) dengan paraeter yang didefinisikan sebagai: 3[( + 1) ( p + q)] α = [( + 1)( + 1) 1( p + q)] 3[( + 1) ( p + q)] dan β = ( + 1)( + 1) 1( p + q) Sebaran ini eiliki rataan α/ β = (+1)/ (p+q) dan raga α/ β = (+1)(+1)/ 3 (p + q). Pendekatan di atas akan lebih baik jika enggunakan koefisien autokorelasi yang distandarkan ( ~ r k ) sehingga uji portanteau terbaru enjadi ~ 1/ R ~ D = n [1 R adalah atriks korelasi yang dibangun berdasarkan r. Pendekatan D lebih baik ~ k ] dibandingkan Dˆ, terutaa untuk contoh berukuran kecil (Pena dan Rodriguez 00). Nilai D akan bernilai lebih dari saa dengan nol untuk seua nilai r k. METODE ANALISIS Penelitian dilakukan dengan elakukan siulasi. Pebangkitan data dilakukan dengan bantuan perangkat lunak R.4.0. Model yang dibangkitkan adalah odel deret waktu ARMA(p,q) X t = φ 1 X t-1 + φ X t φ p X t-p +a t - θ 1 a t-1 - θ a t θ q a t-q Diana p dan q bernilai (0,1,), a t ~ N(0, σ a ) dan bebas stokastik identik. Koefisien autoregresi (φ) dan koefisien oving average (θ) dipilih sedeikian sehingga odel yang dibangkitkan stasioner dan invertible. Pengulangan dilakukan sebanyak kali. Ukuran contoh (n) yang digunakan adalah 30 dan 100. Evaluasi uji dilakukan pada lag 6, 1, 18, dan 4 untuk n = 30, sedangkan pada n = 100 dilakukan pada lag 1, 4, 36 dan 48 dengan taraf nyata uji α = Penentuan n dan lag evaluasi dilakukan secara subjektif oleh penulis. Langkah-langkah siulasi yang dilakukan adalah: 1. Dibangkitkan a t yang enyebar noral dengan rataan 0 dan raga 1.. Data deret waktu di bangun dengan odel dan paraeter yang telah ditetapkan (Lapiran ) dengan a t sebagai galatnya. 3. Data deret waktu di-fit dengan odel AR (1) atau MA (1) atau ARMA (1,1) (Lapiran ). Sisaan contoh di hitung dengan ruus: ˆ 1 ˆ εt = φp ( B ) ˆ θq( B) Xt 4. Nilai autokorelasi sisaan contoh (r k ) dan autokorelasi parsial sisaan contoh ( πˆ k ) dicari. 5. Uji Q LB dihitung berdasarkan nilai koefisien autokorelasi sisaan contoh (r k ). 1 QLB = n( n + ) k= 1( n k) rk 6. Peluang Q LB dihitung dengan erujuk pada persentil sebaran Khi-Khuadrat dengan derajat bebas -p-q. 7. Uji Q MT dilakukan berdasarkan nilai koefisien autokorelasi parsial sisaan contoh ( πˆ ). k QMT = n n + ) k = 1 1 ˆ k ( ( n k) π

14 5 8. Peluang Q MT dihitung dengan erujuk pada persentil sebaran Khi-Khuadrat dengan derajat bebas -p-q. 9. Uji D dilakukan berdasarkan autokorelasi sisaan contoh yang telah distandarkan ( ~ r k ). ~ 1/ D = n [1 R ] 10. Peluang D dihitung engunakan pendekatan sebaran gaa Γ(α, β) dengan paraeter: 3[( + 1) ( p + q)] α = [( + 1)( + 1) 1( p + q)] 3[( + 1) ( p + q)] dan β = ( + 1)( + 1) 1( p + q) 11. Jika nilai peluang kurang dari α aka tolak H 0 yaitu autokorelasi sisaan contoh berbeda nyata dengan nol 1. Langkah 1-11 dilakukan sebanyak kali ulangan. 13. Langkah 1-1 diulang untuk setiap odel. HASIL DAN PEMBAHASAN Peeriksaan Progra Peeriksaan progra dilakukan untuk elihat apakah progra yang digunakan telah berjalan dengan baik dan eberikan hasil benar. Perintah pelaksanaan siulasi pada perangkat lunak R.4.0 dapat dilihat pada Lapiran 1. Progra Pebangkitan Data Progra pebangkitan data yang baik dan benar akan enghasilkan keluaran sesuai dengan yang diinginkan. Hal ini sangatlah penting karena sangat berpengaruh pada hasil yang akan dicapai. Jika data yang dibangkitkan salah aka akan salah pula kesipulan yang kita abil. Sebagai ilustrasi diberikan gabaran pebangkitan untuk odel 16 yaitu odel MA () dengan θ 1 = 0.80 dan θ = Pebangkitan data dilakukan dengan R.4.0. Galat yang enyebar noral dengan rataan nol dan raga satu dibangkitkan dengan perintah rnor. Dari plot noral Anderson- Darling (Gabar 1) didapatkan nilai AD sebesar dengan peluang Hal ini enunjukkan bahwa tidak cukup bukti untuk enyatakan bahwa galat yang dibangkitkan tidak enyebar noral dengan selang kepercayaan 95%. Berdasarkan galat ini, data deret waktu dibangkitkan dengan perintah aria.si. Hasil bangkitan dapat dilihat pada Tabel 1. Percent Probability Plot of Galat Noral -1 0 C Mean StDev N 100 AD P-Value 0.13 Gabar 1 Plot Noral Galat yang Dibangkitkan dengan rnor Tabel 1 Data Deret Waktu Hasil Pebangkitan dengan aria.si t X t t X t t X t t X t Keterangan : Xt adalah odel MA () dengan θ 1 = 0.80 dan θ = -0.50) Gabar Plot Data Bangkitan Terhadap Waktu Tahap selanjutnya adalah eeriksa apakah deret waktu yang terbangkitkan telah

15 6 sesuai dengan apa yang diharapkan. Proses ini dilakukan dengan elihat plot data terhadap waktu, plot ACF, plot PACF, pendugaan paraeter dan analisis sisaannya. Plot data bangkitan terhadap waktu (Gabar ) eperlihatkan kestasioneran, baik pada rataan aupun pada raga, sehingga tidak perlu dilakukan pebedaan pada data. Plot ACF dan plot PACF data (Gabar 3 dan Gabar 4) dapat digunakan sebagai dasar penentuan odel tentatif. Dari plot ACF yang eperlihatkan hanya autokorelasi pada lag 1 dan lag yang berbeda nyata dengan nol dan plot PACF yang turun secara labat, dapat kita tentukan odel tentatifnya adalah MA (). Jika dianggap plot PACF nyata untuk lag 1, lag dan lag 3 dan plot ACF turun secara labat aka odel tentatif data diatas adalah AR (3). adanya autokorelasi sisaan dan autokorelasi parsial sisaan yang berbeda nyata dari nol. Sehingga dapat disipulkan bahwa odel MA () layak. Call: aria(x = data, order = c(0, 0, )) Coefficients: a1 a intercept s.e siga^ estiated as 1.049: log likelihood = , aic = Gabar 5 Pendugaan Paraeter Model MA () Gabar 3 Plot ACF Data Bangkitan Gabar 6 Plot Sisaan Model MA () Terhadap Waktu Gabar 4 Plot PACF Data Bangkitan Pendugaan paraeter dengan odel MA () eperlihatkan bahwa nilai dugaan paraeter ˆ θ 1 = dan ˆ θ = endekati nilai paraeter aslinya θ 1 = 0.80 dan θ = (Gabar 5). Secara visual dapat diperlihatkan bahwa sisaan odel telah saling bebas, karena plot residual terhadap waktu (Gabar 6) tidak eperlihatkan adanya pola. Hal ini diperkuat dengan plot ACF sisaan (Gabar 7) dan plot PACF sisaan (Gabar 8) yang eperlihatkan tidak Gabar 7 Plot ACF Sisaan Model MA () Gabar 8 Plot PACF Sisaan Model MA ()

16 7 Hasil pendugaan paraeter untuk odel AR (3) dapat dilihat pada Gabar 9. Nilai dugaan paraeternya adalah ˆ φ 1 = , ˆ φ = , dan ˆ φ 3 = dengan dugaan raga sebesar Plot sisaan terhadap waktu yang tidak berpola (Gabar 10), serta tidak adanya autokorelasi sisaan (Gabar 11) dan parsial autokorelasi sisaan (Gabar 1) yang berbeda nyata dengan nol enandakan sisaan odel AR (3) telah saling bebas. Berdasarkan hal ini dapat disipulkan bahwa odel AR (3) juga layak. Call: aria(x = data, order = c(3, 0, 0)) Coefficients: ar1 ar ar3 intercept s.e siga^ estiated as 1.069: log likelihood = , aic = Gabar 9 Pendugaan Paraeter Model AR (3) odel yang paling sederhana dengan nilai AIC = lebih kecil dibandingkan dengan nilai AIC odel AR (3) = Gabar 1 Plot PACF Sisaan Model AR (3) Keseluruhan proses di atas eperlihatkan pebangkitan data dengan odel MA () eberikan hasil yang baik dan benar. Model terbaik yang didapatkan sesuai dengan odel pebangkit dengan dugaan paraeter yang endekati paaeter aslinya. Hal ini ebuktikan bahwa progra pebangkitan telah terbukti baik dala ebangkitkan odel sesuai dengan yang diinginkan. Gabar 10 Plot Sisaan Model AR (3) Terhadap Waktu Gabar 11 Plot ACF Sisaan Model AR (3) Dikarenakan kedua odel terbukti layak, aka harus dipilih salah satu sebagai odel terbaik. Model terbaik untuk data deret waktu diatas adalah MA (), karena odel ini adalah Progra Perhitungan Q LB, Q MT, dan D Pada dasarnya progra perhitungan Q MT dan Q LB adalah saa. Perbedaannya adalah Q LB dihitung berdasarkan nilai ACF dan Q MT dengan nilai PACF. Perhitungan Q LB untuk sisaan odel MA () dengan MINITAB dan R.4.0 tidak eperlihatkan adanya perbedaan (Lapiran 4) enandakan progra perhitungan Q LB dan Q MT telah berjalan baik. Peeriksaan progra perhitungan D dilakukan dengan ebandingkan hasil perhitungan progra R.4.0 dengan hasil perhitungan secara anual. Perhitungan secara anual dilakukan karena belu tersedianya perangkat lunak yang enyediakan progra perhitungan D. Tidak adanya perbedaan nilai D untuk sisaan odel MA () yang dihitung secara anual dan dengan R.4.0. (Lapiran 5) engindikasikan bahwa progra perhitungan D telah berjalan baik. P-value uji portanteau dihitung berdasarkan pada fungsi kepekatan peluang bersaa. Peluang Q MT dan Q LB dihitung berdasarkan pada sebaran khi-khuadrat, sedangkan peluang D dihitung berdasarkan sebaran gaa. Hasil yang didapatkan dari perhitungan dengan MINITAB saa dengan hasil yang diperoleh dari progra R.4.0 (Lapiran 6).

17 8 Kelayakan Model Uji diagnostik terhadap kelayakan odel MA () untuk data Tabel 1 dengan enggunakan ketiga uji portanteau eberikan kesipulan bahwa odel MA () layak. Diana P-value untuk D, Q LB, dan Q MT untuk sisaan odel MA () bernilai lebih dari α = 0.05 untuk seua lag k (k = 6, 1, 18, 4, 30, 36, 4, 48) (Lapiran 7). Model AR (3) juga erupakan odel yang layak untuk data Tabel 1 berdasarkan pada uji Q LB, Q MT, dan D, diana ketiga uji eperlihatkan nilai yang lebih dari α = 0.05 untuk seua lag k (k = 6, 1, 18, 4, 30, 36, 4, 48) (Lapiran 7). Ketika data tersebut di-fit dengan odel yang salah isalnya odel MA (1), terlihat bahwa sisaannya tidak saling bebas dan odel tidak layak. Hal ini dapat dilihat jelas dari plot ACF sisaan (Gabar 13) dan plot PACF sisaan (Gabar 14) yang tidak berbeda nyata dengan nol serta diperkuat oleh ketiga uji portanteau dengan P-value yang kurang dari α = 0.05 untuk seua lag k (k = 6, 1, 18, 4, 30, 36, 4, 48) kecuali dengan uji D pada lag 36 dan 4 (Lapiran 7). Gabar 13 Plot ACF Sisaan Model MA (1) Gabar 14 Plot PACF Sisaan Model MA (1) Kelayakan sebuah odel ARMA (p,q) dapat dengan udah dilihat dari plot ACF sisaan dan plot PACF sisaan. Tetapi tidak selaanya kedua plot tersebut dapat dijadikan patokan layak atau tidaknya sebuah odel ARMA (p,q), sehingga perlu dilakukan uji portanteau. Pebangkitan dan Pengolahan Data Jika progra telah berjalan dengan benar, aka keseluruhan siulasi dapat dilakukan. Tahap pertaa yang dilakukan dala pebangkitan dan pengolahan data adalah ebangkitkan data deret waktu ARMA (p,q). Data ini lalu di-fit dengan odel AR (1) atau MA (1) atau ARMA (1,1) (Lapiran ). Dari pe-fit-an odel akan didapatkan sisaan contoh. Tahap selanjutnya adalah enghitung nilai ACF sisaan contoh dan PACF sisaan contoh. Perhitungan uji portanteau didasarkan pada kedua nilai ini. Koefisien autokorelasi sisaan contoh enjadi dasar perhitungan Q LB dan D. Sedangkan Q MT dihitung berdasarkan pada koefisien autokorelasi parsial sisaan contoh. Peluang dari asing-asing uji didapatkan dengan enghitung persentil sebaran asytot-nya. Jika P-value kurang dari α aka tolak H 0, yang berarti odel tidak layak karena sisaannya berkorelasi. Hal ini dilakukan sebanyak kali untuk tiaptiap odel ARMA (p,q) dan ukuran contoh, sehingga total deret yang dibangkitkan sejulah deret waktu. Tujuan dari uji portanteau adalah untuk elihat ada atau tidaknya autokorelasi yang nyata pada sisaan. Jika odel tepat, aka tidak ada autokorelasi pada sisaan (Box dan Pierce 1970). Pada penelitian ini dilakukan hal yang sebaliknya. Model sebenarnya dari data telah diketahui keudian dilakukan pe-fitan dengan odel yang salah. Hasil yang diharapkan adalah adanya korelasi pada sisaan, yang enandakan bahwa odel yang digunakan tidak layak. Ketiga uji portanteau diharapkan dapat endeteksi adanya autokorelasi pada sisaan ini. Seakin banyak series yang dinyatakan eiliki sisaan berkorelasi aka seakin sensitif uji tersebut. Persentase banyaknya series yang odelnya dinyatakan tidak layak oleh uji Q MT seakin enurun dengan seakin besarnya lag baik untuk n=100 aupun n=30 (Lapiran 11 dan 14). Ini sesuai dengan yang diharapkan bahwa kesensitifan uji akan seakin enurun dengan bertabahnya lag. Hasil yang saa ditunjukan oleh uji Q LB dan uji D pada sebagian besar odel pada n=100 (Lapiran 10 dan 1). Hasil yang bervariasi dengan perubahan yang fluktuatif diberikan

18 9 oleh uji Q LB dan uji D untuk beberapa odel pada n=30 (Lapiran 13 dan 15). Persentase banyaknya series (series 1 series 10000) dengan sisaan berkorelasi dengan uji D pada n=100 dan lag 1 berkisar antara 9.1% 99.99%, lag 4 antara 14.45% 99.96%, lag % 99.87%, dan untuk lag 48 antara.58% 99.77%. Untuk n=30, persentase ini enurun yaitu untuk lag 6 berkisar antara.0% 81.71%, untuk lag 1 antara 10.71% 83.34%, lag 18 antara 15.05% 78.%, dan lag 4 selang 1.71% 71.91% (Lapiran 8 dan 9). Dari series, series yang dinyatakan odelnya tidak layak oleh uji Q LB pada n=100 dan lag 1 adalah antara 3.5% 94.44% series, untuk lag 4 antara 4.68% 98.65% series, lag 36 selang 5.66% 98.07%, dan lag 48 antara 5.9% 97.53%. Untuk n=30 lag 6 julah series dengan odel tidak layak berjulah antara.14% 68.50% series, untuk lag 1 berkisar antara.81% 63.6% series, lag 18 selang.67% 63.70%, dan lag 4 antara.58% 63.84% (Lapiran 8 dan 9). Series dengan sisaan berkorelasi dengan uji Q MT pada n=100 lag 1 berkisar 3.3% 99.98%, lag 4 berkisar 3.45% 99.8%, lag 36 selang.88% 99.1%, dan lag 48 antara 1.44% 96.51%. Untuk n=30 lag 6 persentasenya berkisar antara.99% 83.74%, lag 1 antara.76% 66.13%, lag 18 selang 1.77% 50.3%, dan lag 4 antara.4% 34.7% (Lapiran 8 dan 9). Ketiga uji lebih sensitif pada n=100 dibandingkan dengan n=30 kecuali untuk odel ARMA (p,q) dengan θ 1 = 0.75 yang difit dengan ARMA (1,1). Pada n=100 lag 1, banyaknya series yang dinyatakan odelnya tidak layak sebanyak 9.17 %, sedangkan pada n=30 sebanyak 78.91% (Lapiran 8 dan 9). Uji D eberikan jauh lebih banyak series dengan odel yang tidak layak dibandingkan dengan kedua uji lainnya untuk seua lag dan seua odel kecuali untuk n=30 lag 6). Untuk n=30 lag 6 pada odel ARMA (p,q) yang di-fit dengan ARMA (1,1), ketiga uji eberikan hasil yang sebanding (Lapiran 9). Uji Q LB lebih sensitif dibanding uji Q MT untuk n=100 lag 4, 36 dan 48 serta n=30 lag 1,18, dan 4 kecuali pada odel ARMA (p,q) dengan θ yang di-fit dengan AR (1). Pada n=100 lag 1 dan n=30 lag 6, uji Q LB dan uji Q MT eberikan hasil yang relatif saa (Lapiran 8 dan 9). SIMPULAN DAN SARAN Sipulan Dari 36 odel ARMA (p,q) yang di-fit dengan odel AR (1) atau MA (1) atau ARMA (1,1) dapat disipulkan bahwa uji D erupakan uji yang paling sensitif. Kesensitifan ini terlihat dari julah series yang dinyatakan odelnya tidak layak oleh uji D lebih banyak dibandingkan kedua uji portanteau lainnya. Perbedaan kesensitifan ini tergantung kepada odel dan ukuran contoh, diana kesensitifan uji D encapai 30% lebih sensitif dibanding uji Q LB dan uji Q MT. Uji Q LB eberikan hasil yang saa sensitifnya dengan uji Q MT untuk lag kecil dan hasil yang lebih sensitif pada lag besar. Tetapi uji Q MT terbukti lebih sensitif ketika odel sebenarnya eiliki order MA yang lebih tinggi. Saran Beberapa saran untuk penelitian lanjutan antara lain : 1. Pebuatan progra perhitungan D yang lebih terintegrasi dan efisien yaitu progra dengan running tie yang lebih singkat.. Metode untuk ebandingkan kesensitifan uji Q LB, Q MT, dan D untuk data deret waktu yang tidak stasioner aupun yang eiliki siklus usian. 3. Metode untuk ebandingkan kesensitifan uji Q LB, Q MT, dan D untuk data deret waktu yang berupa peubah ganda. DAFTAR PUSTAKA Arnold SF Matheatical Statistics. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall International. Box GEP dan Pierce DA Distribution of residual autocorrelations in autoregressive-integrated oving average tie series odels. J Aer Statist Assoc 65: Cryer JD Tie Series Analysis. Boston: Duxbury Press. Davidson J Stochastic Liit Theory. New York: Oxford Univ Pr.

19 10 Ihof JP Coputing the distribution of quadratic for in noral variables. Bioetrika 48: Ljung GM Diagnostic testing of univariate tie series odels. Bioetrika 73: Ljung GM dan Box GEP On a easure of ack of fit in tie series odels. Bioetrika 65: Monti AC A Proposal for a residual autocorrelation test in linear odels. Bioetrika 81: McLeod AI On the distribution of residual autocorrelation in Box-Jenkin odels. J R Statist Soc 40: Montgoery DC, Johnson LA, Gardiner JS Forecasting and Tie Series Analysis. Ed ke-. Singapore: McGraw- Hill. Inc. Morgan JT Eleent of Siulation. New York: Chapan and Hall Ltd. Pena D, Rodriguez J. 00. A powerful portanteau test of lack of fit for tie series. J Aer Statist Assoc 97: Pindyck RS, Rubinfield DL Econoetric Model and Econoic Forecats. Edisi ke-4. Singapura: Mgraw- Hill. Velilla S A goodness-of-fit test for autoregressive oving average odels based on the standardized saple spectral distribution of the residual. Journal of Tie Series Analysis 15:

20 LAMPIRAN

21 11 Lapiran 1 Perintah Pebangkitan Deret Waktu dengan R.4.0 #pebangkitan data deret waktu ARMA (p,q) dengan φ =p, θ=q dan n=nbar sebanyak nkol x.aria<-function(nbar,nkol,p,q){ x.aria<-atrix(0,nrow=nbar,ncol=nkol) for(i in 1:nkol){ rand.ita<-function(n)rnor(n,0,1) x.aria[,i]<-aria.si(nbar,odel=list(ar=p,a=q),rand.gen=rand.ita) return(x.aria) #pe-fit-an dengan odel aria = odel #x adalah atriks data deret waktu x.residual<-function(x,odel){ nkol<-ncol(x) nbar<-nrow(x) x.residual<-atrix(0,nrow=nbar,ncol=nkol) for(i in 1:nkol){ ita<-aria(x[,i],order=odel) x.residual[,i]<-ita$residuals return(x.residual) #enghitung acf residual #x adalah atriks sisaan data deret waktu x.acf<-function(x,nlag){ x.acf<-atrix(0,nrow=nlag+1,ncol(x)) for(i in 1:ncol(x)){ ita<-acf(x[,i],lag.ax=nlag,plot=false) x.acf[,i]<-ita$acf return(x.acf) #enghitung pacf residual #x adalah atriks sisaan data deret waktu x.pacf<-function(x,nlag){ x.pacf<-atrix(0,nrow=nlag,ncol(x)) for(i in 1:ncol(x)){ ita<-pacf(x[,i],lag.ax=nlag,plot=false) x.pacf[,i]<-ita$acf return(x.pacf) #enghitung acf/pacf yang distandarkan #x adalah atriks acf/pacf sisaan data deret waktu x.standar<-function(x,n){ x.standar<-atrix(0,nrow(x),ncol(x)) indek<-vector() for(i in 1:nrow(x)){ indek[i]<-(n+)/(n-i) x<-x^ for(j in 1:ncol(x)){ x.standar[,j]<-sqrt(x[,j]*(indek)) return(x.standar)

22 #enghitung portanteau Monti (Q MT ) #x adalah atriks pacf sisaan data deret waktu x.qt<-function(x,n){ x.qt<-atrix(0,nrow(x),ncol(x)) x<-x.standar(x,n) x<-x^ for(j in 1:ncol(x)){ kolo<-vector() kolo<-x[,j] for (i in 1:nrow(x)){ x.qt[i,j]<-su(kolo[1:i]) x.qt<-n*x.qt return(x.qt) #enghitung portanteau Ljung-Box (Q LB ) #x adalah atriks acf sisaan data deret waktu x.qlb<-function(x,n){ x<-x[-1,] x<-x.qt(x,n) return(x) #enghitung portanteau Pena- Rodriquez (D ) #x adalah atriks acf sisaan data deret waktu x.d<-function(x,n){ x<-x[-1,] x<-x.standar(x,n) x.d<-atrix(0,nrow(x),ncol(x)) for(l in 1:ncol(x)){ for(p in :nrow(x)+1){ r<-diag(1,p) for(j in 1:p){ for(i in 1:p){ b<-abs(j-i) if(b!=0){ r[i,j]<-x[b,l] x.d[p-1,l]<-n*(1-((abs(det(r)))^(1/(p-1)))) return(x.d) #Menghitung peluang sebaran khi-khuadrat #x adalah atriks nilai Q LB atau Q MT x.chisquare<-function(x){ x.chisquare<-vector() chisquare<-vector() for(i in :ncol(x)){ chisquare<-pchisq(x[,i],(i-1)) x.chisquare<-cbind(x.chisquare,chisquare) return(x.chisquare) 1

23 13 #Menghitung peluang sebaran gaa #x adalah atriks nilai D x.gaa<-function(x,p,q){ x.gaa<-vector() gaa<-vector() for(i in 1:ncol(x)){ alpha<-((((i+1)-*(p+q))**)*3*i)/((*(i+1)*(*i+1)-1*i*(p+q))*) beta<-(((i+1)-*(p+q))*3*i)/(*(i+1)*(*i+1)-1*i*(p+q)) gaa<-pgaa(x[,i],alpha,beta) x.gaa<-cbind(x.gaa,gaa) return(x.gaa) #Perintah untuk eanggil progra ita1<-x.aria(100,10000,c(0.90,-0.40),c(-1.0,0.30)) ita<-x.residual(ita1,c(1,0,0)) ita3<-x.acf(ita,50) ita4<-x.pacf(ita,50) ita5<-x.qlb(ita3,100) ita6<-x.qt(ita4,100) ita7<-x.d(ita3,100) ita8<-t(ita5) ita8<-1-x.chisquare(ita8) ita9<-t(ita7) ita9<-1-x.gaa(ita9,1,0) #Perintah untuk enyipan variabel ita1 ke dala file data1 di direktori D dala bentuk.csv write.csv(ita1,file="d://data1.csv")

24 14 Lapiran Model ARMA (p,q) yang Dibangkitkan Di-fit dengan AR(1) 1. Z t = a t a t-1. Z t = a t a t-1 3. Z t = a t a t a t- 4. Z t = 0.10Z t Z t- + a t 5. Z t = 1.0Z t Z t- + a t 6. Z t = 0.70Z t-1 + a t a t-1 7. Z t = 0.70Z t-1 + a t a t-1 8. Z t = 0.40Z t-1 + a t a t a t- 9. Z t = 0.70Z t-1 + a t 0.70a t a t- 10. Z t = 0.70Z t Z t- + a t 0.50a t Z t = 0.70Z t-1 0.0Z t- + a t a t-1 1. Z t = 0.90Z t Z t- + a t 1.0a t a t- Di-fit dengan MA(1) 13. Z t = 0.50Z t-1 + a t 14. Z t = 0.80Z t-1 + a t 15. Z t = 1.10Z t Z t- + a t 16. Z t = a t 0.80a t a t- 17. Z t = a t a t a t- 18. Z t = 0.50Z t-1 + a t a t Z t = -0.50Z t-1 + a t 0.70a t-1 0. Z t = 0.30Z t-1 + a t 0.80a t a t- 1. Z t = 0.80Z t-1 + a t a t a t-. Z t = 1.0Z t Z t- + a t 0.90a t-1 3. Z t = 0.30Z t-1-0.0z t- + a t a t-1 4. Z t = 0.90Z t Z t- + a t 1.0a t a t- Di-fit dengan ARMA(1,1) 5. Z t = 0.50Z t-1 + a t 6. Z t = 0.90Z t Z t- + a t 7. Z t = 1.0Z t Z t- + a t 8. Z t = a t 0.75a t-1 9. Z t = a t 1.10a t a t- 30. Z t = a t a t a t- 31. Z t = 0.40Z t-1 + a t a t a t- 3. Z t = 0.70Z t-1 + a t a t-1 0.0a t- 33. Z t = 1.0Z t Z t- + a t a t Z t = 0.30Z t-1 0.0Z t- + a t a t Z t = 0.90Z t Z t- + a t 1.0a t a t- 36. Z t = 0.30Z t Z t- + a t + 0.0a t a t-

25 15 Lapiran 3 Pebuktian Teorea dan Pendekatan Sebaran. Pebuktian Teorea Misalkan hipotesis nol adalah Dˆ enyebar secara asitot sebagai peubah acak X. Dengan enerapkan δ ethod (Arnold 1990) pada g(x) = log (1-x) aka nlog R 1/ juga enyebar ( + 1 i) / 1/ secara asitot sebagai X. Sehingga persaaan Rˆ = (1 ˆ π i ) dapat dituliskan i 1 sebagai 1/ i + 1 nlog( Rˆ ) = n log(1 ˆ π i ) (A.1) i= 1 Untuk encari sebaran dari (A.1), isalkan ( n ˆ π1, n ˆ π, L, n ˆ π ) enyebar secara asitot sebagai Y. Keudian dengan enerapkan ultivariate δ ethod (Arnold 1990) pada g( n ˆ π1, n ˆ π, L, n ˆ π ) = i = 1(( i + 1) / )log(1 ˆ π i ) didapatkan i n log(1 ˆ π i ) 1,, L, Y (A.) i= 1 Diana adalah labang konvergen dala sebaran. Dengan teorea Craer-Wold (Arnold 1990) didapatkan bahwa ,, L, ( n ˆ π 1, n ˆ π, L, n ˆ π ) 1,, L, Y (A.3) 1/ Dengan fakta bahwa n ˆ π ( ) enyebar secara asitot sebagai N(0, I - Q ) dan teorea bentuk kuadrat (Box 1954) enyebabkan 1 1 1,, L, ( n ˆ π1, n ˆ π, L, n ˆ π ) = n ˆ π ( ) W ˆ π ( ) λi χ1. i (A.4) i= 1 dari (A.3) dan (A.4) didapatkan 1 1 1,, L, Y λi χ1. i i= 1 Dan dari (A.) didapatkan Dˆ λ i χ 1. i i= 1 Pendekatan Sebaran Dˆ Box-Pierce (1970) dan McLeod(1978) endekati atriks Q = X V -1 X ' dengan atriks proyeksi Q = X (X 'X ) -1 X ' ketika cukup besar. Pendekatan ini aat berguna untuk enghitung nilai dari a dan b yang tidak tergantung pada paraeter φ dan θ dari odel ARMA. Diketahui λ i = tr (( I Q ) W ) = tr( W ) tr( Q ) + (1/ ) tr( QC ) (A.5) i= 1 Diana C adalah atriks diagonal dengan eleen c i = i, i = 0,..., (-1) dan λi = tr(( I Q ) W ) i= 1 (A.6) = tr( W ) + ( / ) tr( QC ) ( / ) tr( QC ) tr( Q ) + (1/ ) tr( QC ) Pernyataan alternatif untuk Σλ i dan Σλ i dapat diperoleh dengan penguraian Cholesky pada atriks (I Q ) (Velilla 1994). Karena Q adalah atriks idepoten tingkat p+q, (A.5) dan (A.6) dapat ditulis sebagai fungsi dari p, q,, q ii dan q ij diana q ij adalah eleen dari Q λ i = ( p + q) + ( i 1) q (A.7) ii i= 1 i= 1 λi = ( + 1)( + 1) ( i= 1 6 ( i 1) q i= ii 1 + p + q) + ( i 1) q ( i 1)( j 1) q i= j= i= ii ij (A.8)

26 16 Akan diperlihatkan bahwa hubungan dalan (A.8) yang tergantung pada q ij akan endekati nol jika eningkat. Sadari rangkaian a i = i dan b i =(i-1)q ii. Maka i= 1 ( i 1) qii / i i= 1qii = p + q < ketika dan dengan lea Kronecker s (Davidson 1997) didapatkan bahwa i = ( / ) 1( i 1) q 0. Dengan arguen yang saa dan sifat dari atriks idepoten, qii = qii + i = 1qij ( 1/ ) i= ( i 1)( j 1) didekati sebagai ii i, dapat ditunjukan bahwa ( / ) = ( i 1) q 0 dan q ij 0. Untuk yang besar persaaan (A.7) dan (A.8) dapat + 1 λ i = ( p + q) (A.9) i= 1 1 λ i = ( + 1)( + 1) ( p + q) (A.10) 6 i= 1 ii

27 17 Lapiran 4 Nilai Q LB dengan Minitab dan R.4.0 lag MINITAB R Keterangan : untuk sisaan odel MA () Lapiran 5 Nilai D dengan R.4.0 dan secara Manual lag R.4.0 MANUAL Keterangan : untuk sisaan odel MA () Lapiran 6 P-value untuk D, Q LB, serta Q MT dengan Minitab dan R.4.0 lag MINITAB R.4.0 D Q LB Q MT D Q LB Q MT Keterangan : untuk sisaan odel MA ()

28 Lapiran 7 P-value Uji Portanteau Lag D P-Value Q LB P-Value Q MT P-Value MA() AR(3) MA(1) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Keterangan : Data = Tabel 1 Model Pe-fit : MA(), AR(3) dan MA (1) * = Autokorelasi sisaan hingga lag k berbeda nyata dengan nol 18

29 19 Lapiran 8 Persentase series (deret 1, deret, deret 10000) dengan sisaan berkorelasi pada beberapa odel ARMA (p,q) ketika di-fit dengan odel AR(1), MA(1) dan ARMA(1,1) dengan uji D, Q LB dan Q MT Model Pebangkit Model lag 1 lag 4 lag 36 lag 48 φ 1 φ θ 1 θ Pe-Fit D Q LB Q MT D Q LB Q MT D Q LB Q MT D Q LB Q MT 0.50 ARMA MA MA AR AR ARMA ARMA MA AR AR ARMA AR ARMA ARMA MA MA AR AR MA MA AR AR ARMA ARMA MA MA AR AR ARMA ARMA MA MA

30 0 Lapiran 8 Lanjutan Model Pebangkit Model lag 1 lag 4 lag 36 lag 48 φ 1 φ θ 1 θ Pe-Fit D Q LB Q MT D Q LB Q MT D Q LB Q MT D Q LB Q MT AR ARMA ARMA MA Keterangan : n=100, α = 0.05 Lapiran 9 Persentase series (deret 1, deret, deret 10000) dengan sisaan berkorelasi pada beberapa odel ARMA (p,q)ketika di-fit dengan odel AR(1), MA(1) dan ARMA(1,1) dengan uji D, Q LB dan Q MT Model Pebangkit Model lag 6 lag 1 lag 18 lag4 φ 1 φ θ 1 θ Pe-Fit D Q LB Q MT D Q LB Q MT D Q LB Q MT D Q LB Q MT 0.50 ARMA MA MA AR AR ARMA ARMA MA AR AR ARMA AR ARMA ARMA MA MA AR AR MA MA AR AR