BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan nyata, hampir seluruh fenomena alam mengandung ketidakpastian atau bersifat probabilistik, misalnya pergerakan lempengan bumi yang menyebabkan gempa, naik turunnya harga saham, keadaan cuaca, evolusi pasangan nukleotida, dan lain sebagainya. Salah satu model yang saat ini banyak dikembangkan adalah model rantai Markov. Dalam memodelkan fenomena alam dengan model ini, diasumsikan bahwa proses yang terlibat didalamnya mengikuti sifat Markov yaitu peluang keadaan proses pada suatu saat hanya bergantung kepada keadaan di satu kurun waktu sebelumnya. Umumnya, peluang bersyarat ini disajikan sebagai suatu matriks. Dengan kecanggihan komputer dan perkembangan metode numerik yang sangat pesat pada sepuluh tahun terakhir ini, perhitungan perkalian matriks dalam rantai Markov dengan ukuran cukup besar misalkan berukuran 64x64 dapat dilakukan dalam hitungan detik. Menurut studi literatur (Taylor dan karlin, [3]) umumnya yang dipilih adalah rantai Markov orde-1 (Ō(1)). Tetapi terkadang tidak dapat dipaksakan bahwa fenomena tersebut memenuhi rantai Markov Ō(1). Sebagai contoh, dalam DNA kemunculan suatu basa nukleotida bergantung pada dua buah nukleotida yang mendahuluinya. Hal ini sering disebut sebagai sifat triplet [6]. Oleh karena itu, diperlukan suatu perbaikan sehingga model rantai Markov yang diperoleh menjadi 1

2 lebih representatif dalam menggambarkan fenomena alam tersebut. Salah satu perbaikan tersebut adalah dengan meningkatkan ordenya, Ō(r), r > 1 yang berarti kejadian saat ini dipengaruhi oleh r kejadian sebelumnya. Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut, Keterangan Subjek Predikat Objek _mengendarai_ Untuk menebak kata yang merupakan objek saja, hanya diperlukan informasi mengenai predikat. Jadi, susunan ini mengikuti rantai Markov Ō(1). Misal diberikan predikatnya kata mengendarai, maka objek bisa berupa kata mobil, delman, pesawat, kereta, atau motor, yang merupakan jenis-jenis kendaraaan. Selanjutnya, jika diberikan tambahan informasi di subjek misalnya berupa kata supir, maka pilihan untuk objek menyempit menjadi mobil atau motor. Bahkan, bila diberikan informasi bahwa subjeknya merupakan kata pak kusir, maka objek hampir dapat dipastikan merupakan kata delman. Hal tersebut menunjukkan bahwa menebak kata yang berupa objek dengan diberikan informasi mengenai predikat dan subjek (menggunakan rantai Markov Ō(2)) akan memberi hasil yang lebih akurat dibandingkan bila hanya diberikan predikat saja (rantai Markov Ō(1)). Kemudian, jika diberikan keterangan waktu seperti kemarin, di siang hari, atau besok ternyata hal tersebut tidak serta-merta mempersempit pilihan untuk objek. Sebagai contoh dapat ditulis kemarin pak kusir mengendarai delman atau tadi pagi pak kusir mengendarai delman. Hal ini menunjukkan bahwa tambahan keterangan waktu (rantai Markov Ō(3)) tidak memberikan kemudahan yang berarti dalam menebak objek. Dari ilustrasi tersebut dapat disimpulkan bahwa memperhatikan ketergantungan antar kurun waktu akan membuat model lebih akurat. Sampai saat ini, belum banyak literatur yang membahas rantai markov Ō(r). Perdefinisi, rantai Markov Ō(r) artinya keadaan proses di suatu kurun waktu dipengaruhi secara langsung oleh keadaan di r kurun waktu sebelumnya. 2

3 Selanjutnya, beberapa buku (misalkan Taylor dan Karlin, [3]) menuliskan matriks Ō(r) sebagai matriks transisi yang cukup besar yaitu berukuran n r x n r, n menyatakan banyaknya keadaan dan r besarnya orde. Akibatnya untuk prakiraan t langkah kedepan diperlukan perhitungan matriks yang besar. Padahal, terdapat (n r -n) x n r elemen bernilai nol yang tidak menyatakan peluang transisi sebenarnya. Untuk mengatasi masalah tersebut, dapat dilakukan reduksi matriks dengan hanya mengambil peluang transisi sebenarnya. Di sini, didapat matriks transisi bukan persegi. Dalam menghitung prakiraan P t dibutuhkan modifikasi dari definisi perkalian matriks yang umum dikenal. Berdasarkan persamaan Chapmann- Kolmogorof, disini diturunkan aturan perkalian untuk matriks transisi yang sedemikian rupa sehingga perhitungan matriks peluang transisi t langkah, P t sebagai perkalian t matriks peluang transisi satu langkah, P dapat dipertahankan seperti halnya pada rantai Markov Ō(1). 1.2 Rumusan Masalah Dalam tugas akhir ini rumusan masalah yang akan dibahas yaitu: 1. Matriks peluang transisi rantai Markov berorde lebih dari satu, karena banyak fenomena alam yang mengikuti rantai Markov Ō(r), r > Bagaimana statistik uji yang sudah ada, misal uji khi kadrat bisa diterapkan dalam menurunkan statistik uji bagi besar orde suatu rantai Markov. 3. Mengolah, menganalisis, dan menentukan r dari barisan basa nukleotida spesies Homo Sapiens serta mempelajari makna dari basa nukleotida. 1.3 Tujuan Penulisan tugas akhir ini bertujuan untuk: 1. Mempelajari matriks peluang transisi t langkah P t, untuk Ō(r), r >1. 2. Menentukan prosedur yang lebih sederhana untuk menghitung P t. 3. Mempelajari / menurunkan statistik uji untuk menguji besarnya orde suatu rantai Markov Ō(r). 4. Menentukan orde dari barisan basa nukleotida spesies Homo Sapiens sebagai studi kasus. 3

4 1.4 Manfaat Penulis berharap bahwa hasil dari tugas akhir mengenai orde rantai Markov ini dapat membawa masalah-masalah baru dalam bidang statistika inferensi, proses stokastik, dan pemodelan matematika sehingga akan muncul penelitian-penelitian baru yang lebih bermanfaat. 1.5 Sumber Data dan Teknik Penelitian Dalam tugas akhir ini, penulis menggunakan sumber data diantaranya Buku An Introduction to Stochastic Modeling dimana terdapat sedikit pembahasan mengenai Ō(2), catatan singkat Dr. M. Gopalan Nair mengenai penerapan uji khi kuadrat dalam menguji orde rantai Markov, serta Jurnal A Test for Markoff Chains sebagai sumber informasi mengenai orde rantai Markov dan hipotesis awal dalam pengujian orde rantai Markov. Kemudian, dalam pembuktian statistik uji khi kuadrat, metode yang digunakan adalah metode deskriptif melalui studi literatur, yaitu studi berdasarkan sumber-sumber kepustakaan seperti buku, jurnal, dan media literatur lainnya. 1.6 Sistematika Penulisan Penulisan tugas akhir ini dibagi dalam lima bab. Bab I mengenai pendahuluan yang berisikan latar belakang, rumusan masalah, tujuan, manfaat, kerangka teori, sumber data dan teknik penelitian, serta sistematika pembahasan. Dalam Bab II diuraikan teori dasar yang meliputi definisi proses stokastik secara umum dan jenis-jenisnya berdasarkan ruang parameter dan ruang keadaan. Kemudian diuraikan pula definisi dan sifat-sifat pada rantai Markov yang antara lain adalah matriks peluang transisi dan kestasioneran. Selain itu, pada bab ini dijelaskan pula orde suatu rantai Markov beserta reduksi matriks peluang transisi dan langkahlangkah perkaliannya. Selanjutnya, pada Bab III yang merupakan salah satu inti dari tugas akhir ini dibahas estimasi kemungkinan maksimum (maximum likelihood) untuk mendapatkan P dari barisan observasi, yang selanjutnya diterapkan pada Bab IV. Hal penting lainnya adalah penjelasan bagaimana uji khi kuadrat dapat digunakan 4

5 sebagai uji orde suatu rantai Markov. Berikutnya, Bab IV adalah pendukung untuk Bab III dimana agar lebih mendekati kenyataan, sebagai studi kasus digunakan data nyata yang diperoleh dari Dr. Adi Pancoro. Terakhir, pada Bab V diberikan kesimpulan dan saran berdasarkan hasil yang didapat dari pelaksanaan tugas akhir ini. 5