Selanjutnya kita akan mencari hubungan antara variabel v, I, m, r, dan ω. Hubungan kecepatan linier dan kecepatan sudut bola adalah

Transkripsi

1 Contact Person : OSN Fisika 016 Number 1 PERSAMAAN GERAK SEDERHANA BOLA SALJU (SIMPLE SNOW BALL EQUATION) Tinjau sebuah bola salju yang sedang menggelinding. Seperti kita tahu, fenomena menggelindingnya bola salju diikuti oleh pertambahan massa bola tersebut. Biarpun massa bertambah, kita asumsikan bahwa bola salju selalu berbentuk bola sempurna, memiliki rapat massa persatuan volum ρ yang konstan, dan selalu menggelinding tanpa slip. Sekarang, kita akan meninjau bola salju yang berjari-jari sesaat r, dan kecepatan sudut sesaat ω, serta gaya gesek sesaat f, menggelinding pada sebuah bidang dengan kemiringan θ (lihat gambar). r g Tentukan : a. Besar gaya total (dengan arah sejajar bidang) b. Besar torsi total (di pusat massa bola) c. Persamaan gerak bola salju! Ini disebut sebagai SSBE (simple snow ball equation). Nyatakan SSBE dalam θ, r, ω, dan t! Untuk memudahkan perhitungan, selanjutnya kalian tinjau bola salju tersebut menggelinding pada sebuah bidang datar. d. Jika kecepatan sudut awal adalah ω 0 (dan sudah tidak slip tentunya) dan jari-jari bola awal adalah R 0 tentukan jari-jari bola salju sebagai fungsi kecepatan sudut! Untuk mudahnya, diasumsikan bahwa setiap bergesekan dengan tanah, massa bola akan bertambah dengan konstan sehingga dm dx = K = konstan. e. Tentukan kecepatan sudut sebagai fungsi waktu (nyatakan dalam K, ρ, R 0, dan ω 0 )! Pembahasan : ρ a. Berdasarkan gambar di bawah kita bisa dapatkan resultan gaya yang bekerja pada bola salju searah dengan gerakannya. θ Arah gerak f r mg sin θ ρ mg θ ΣF = mg sin θ f Hal 1

2 Contact Person : b. Torsi yang bekerja pada bola salju hanyalah torsi akibat gaya gesek. Torsi akibat gaya yang lainnya(gaya gravitasi dan gaya normal) bernilai nol karena melewati pusat bola salju. Στ = fr c. Selanjutnya kita akan menggunakan hukum dua newton. Pada kasus ini kita akan menggunakan hukum dua newton yang berhubungan dengan perubahan momentum linier dan momentum sudut bola. Momentum bola salju adalah P = mv dan perubahannya adalah dp dv dm = m + v dt dt dt Momentum sudut bola salju adalah L = Iω dan perubahannya adalah dl dω di = I + ω dt dt dt Dengan hukum dua newton kita dapatkan ΣF = mg sin θ f = dp dt dv dm = m + v dt dt mg sin θ f = m dv dm + v dt dt (1) Στ = fr = dl dω di = I + ω dt dt dt f = I dω r dt + ω di r dt () Subtitusi persamaan () ke (1) mg sin θ I dω r dt ω di dv = m r dt dt dv dt + v dm m dt + I dω mr dt + ω di mr dt + v dm dt = g sin θ (3 Selanjutnya kita akan mencari hubungan antara variabel v, I, m, r, dan ω. Hubungan kecepatan linier dan kecepatan sudut bola adalah v = ωr (4) dv dt = d(ωr) = ω dr dω + r dt dt dt dv dr dω = ω + r dt dt dt (5) Hubungan massa bola dan jari-jarinya adalah Hal

3 Contact Person : m = 4 3 ρπr3 (6 dm dt dr = 4ρπr dt = (4 3 ρπr3 ) 3 r m dr dt dm dt = 3m r dr dt (7) Selanjutnya dari momen inersia bola salju akan kita dapatkan I = 5 mr (8 di dt = 4 dr mr 5 dt + dm r 5 dt (9) Subtitusi persamaan (7) ke (9) di dt = 4 dr mr 5 dt + 6 dr mr 5 dt = 10 mr dr 5 dt di dr = mr dt dt (10 Selanjutnya subtitusi persamaan (4), (5), (7), (8), dan (10) ke persamaan (3) dv dt + v m dm dt + I dω mr ω dr dω + r dt dt + ωr m dt + ω mr 3m dr r dt + 1 mr 5 di = g sin θ dt dω mr dt + ω dr mr = g sin θ mr dt ω dr dω dr + r + 3ω dt dt dt + dω dr r + ω = g sin θ 5 dt dt 6ω dr dt + 7 dω r = g sin θ (11) 5 dt Sehingga persamaan gerak sederhana bola salju (SSBE/Simple Snow Ball Equation) adalah 6ω dr dt + 7 dω r = g sin θ 5 dt d. Selanjutnya bola menggelinding pada bidang datar sehingga sudut θ sama dengan nol. θ = 0 sin θ = 0 6ω dr dt + 7 dω r 5 dt = 0 (1) dr r = 7 dω 30 ω r dr = 7 ω R o r 30 dω ω ω o ln r R o = 7 30 ln ω ω o Hal 3

4 Contact Person : ln r = ln ω 7 30 R o ω o r = ( ω 7 30 ) r = Ro ( ω 7 30 ) (13) R o ω o ω o Maka persamaan jari-jari bola sebagai fungsi kecepatan sudut adalah r = R o ( ω 7 30 ) ω o e. Sekarang massa pertambahan massa bola terhadap perpindahannya bernilai konstan yaitu K. dm dx = K Selanjutnya dengan memodifikasi persamaan (7) akan kita dapatkan dm dt = 3m dr dt dikali dengan r dt dx dm dx = 3 dr m r dx m = 4 3 ρπr3 K = 4ρπr dr dx dr = K 4ρπr dx dikali dengan 1 dt dr dt = K dx 4ρπr dt dr dt = Kω 4ρπr v=ωr dr r = Kω dt (14) 4ρπr Persamaan (1) kita bisa modifikasi menjadi bentuk dr r = 7 dω 30 ω Selanjutnya kita subtitusi persamaan (14) dan (13) ke persamaan (1) hasil modifikasi di atas Kω 4ρπ [R o ( ω ω ) 7 dt = 7 dω 30 ω 30 ] o Hal 4

5 Contact Person : K 4ρπR o ω o 7 dω ω 37 ω ω o = dω ω 37 ω K 14ρπR o ω o 7 = ω ω 37 dω = ω o [ω 1 ω 1 ω 1 ω ω = 1 0 ω ] ω o ω o = 1 ω o = 1 ω o = + t dt = 7 dω 30 ω dt K 14ρπR o ω o 7 0 = t K dt 14ρπR o ω o 7 Kt 14ρπR o ω o 7 11Kt 7ρπR o ω o 7 11Kt 7ρπR o ω o 7 (1 + 11Kω ot 7ρπR o ) ω o Kω ot 7ρπR o ω = ω o [1 + 11Kω ot 7ρπR ] o dt Hal 5

6 Contact Person : OSN Fisika 0 Number GERAKAN MASSA YANG TERHUBUNG DENGAN CINCIN DAN BATANG LICIN Sebuah cincin bermassa m 1 dapat bergerak bebas sepanjang batang licin horisontal. Sebuah partikel bermassa m dihubungkan dengan cincin melalui tali tegar tak bermassa yang memiliki panjang L. Mula-mula partikel m bersentuhan dengan batang, kemudian dilepas karena pengaruh gravitasi g. Setelah dilepas, ketika cincin tersebut telah bergeser sejauh x, sudut yang dibentuk antara tali dengan batang horisontal adalah θ. m 1 x m 1 L m θ x = 0 x = 0 Tentukan: a. Posisi x dinyatakan dalam sudut θ! b. Persamaan gerak untuk θ (tidak mengandung variabel x beserta turunannya)! c. Tentukan besar tegangan batang dan gaya normal pada cincin untuk θ = 30 o! Pembahasan : a. Untuk mengetahui nilai x dalam θ kita bisa menentukannya dengan meninjau titik pusat massa system. Karena tidak ada gaya eksternal atau gaya luar pada arah horizontal, maka posisi horizontal pusat massanya tetap. Sedangkan posisi pusat massa vertical system akan turun karena ada gaya eksternal yang bekerja pada arah vertical. System yang kita maksud adalah cincin dan massa kecil. Batang tidak kita masukkan karena batang tidak ikut bergerak. x pm,awal = x pm,akhir m L = m 1x + m (x + L cos θ) m 1 + m m 1 + m (m 1 + m )x = m L(1 cos θ) x = m L(1 cos θ) m 1 + m Sehingga posisi x dinyatakan dalam θ adalah x = m L(1 cos θ) m 1 + m m Hal 6

7 Contact Person : b. Selanjutnya kita akan menentukan persamaan gerak system menggunakan metode Mekanika Lagrangian. Sebelum ke sana kita harus terlebih dahulu menentukan posisi benda-benda dalam system saat sudah bergerak. Dalam menentukan posisi benda, kita harus menentukan terlebih dahulu titik acuan atau titik asal koordinatnya. System koordinatnya bisa system koordinat Kartesius dimensi atau 3 dimensi ataupun system koordinat lain. Untuk kasus ini kita akan menggunakan system koordinat kartesius dimensi. Hal pertama yang harus kita lakukan adalah menentukan titik asalnya. Cara menentukannya adalah pilihlah titik asal sedemikian hingga persamaan gerak yang kita buat tidak terlalu banyak mengandung variabel. Dalam hal ini saya mengambil posisi awal cincin sebagai titik asal atau titik O(0,0). Posisi masing masing benda Cincin : x 1 = x = m L(1 cos θ) m 1 + m y 1 = 0 Partikel : x = x + L cos θ = m L(1 cos θ) m 1 + m x 1 = m L(1 cos θ) m 1 + m + L cos θ x = m 1L cos θ m 1 + m y = L sin θ Selanjutnya kita cari kecepatan partikel. Kita cukup mendiferensialkan posisinya terhadap waktu. Cincin : x 1 = m L θ sin θ m 1 + m y 1 = 0 Partikel : x = m 1L θ sin θ m 1 + m y = L θ cos θ Berikutnya kita tentukan nilai total energy mekanik system. Energi potensial (V) V = m 1 gy 1 + m gy V = m 1 g(0) + m g( L sin θ) V = m gl sin θ Energi kinetik (T) T = 1 m 1(x 1 + y 1 ) + 1 m (x + y ) T = 1 m 1 [( m L θ sin θ ) + (0) ] + 1 m 1 + m m [( m 1L θ sin θ ) + ( L θ cos θ) ] m 1 + m Hal 7

8 Contact Person : T = 1 m 1 m L θ sin θ (m 1 + m ) (m 1 + m ) + 1 m L θ cos θ T = 1 m 1 m L θ sin θ + 1 m 1 + m m L θ cos θ T = 1 m 1 m L θ sin θ + 1 m (m 1 + m )L θ cos θ m 1 + m m 1 + m T = 1 m cos θ + m 1 m L θ m 1 + m Lagrangian (L) adalah selisih energy kinetik (K) dan energy potensial (V) system. L = T V L = 1 m cos θ + m 1 m L θ ( m m 1 + m gl sin θ) L = 1 m cos θ + m 1 m L θ + m m 1 + m gl sin θ Persamaan gerak benda kita dapatkan dengan mensubtitusi L ke persamaan Lagrange di bawah. d dt ( L ) L θ θ = 0 Bentuk L θ dan L θ adalah turunan parsial. Maksud turunan parsial adalah jika sebuah fungsi diturunkan terhadap peubah x, maka peubah yang lain dianggap sebagai konstanta. L = ( 1 m cos θ + m 1 m L θ θ θ + m m 1 + m gl sin θ) L θ d dt ( L θ = m cos θ + m 1 m L θ m 1 + m ) = d dt (m cos θ + m 1 m m 1 + m L θ ) = m d dt ( L ) = m cos θ + m 1 m θ m 1 + m L θ = θ (1 m cos θ + m 1 m m 1 + m L θ L θ = m L θ cos θ sin θ + m m 1 + m gl cos θ Maka persamaan gerak system adalah d dt ( L θ ) L θ = 0 L θ + m gl sin θ) cos θ + m 1 m L θ m 1 + m Hal 8

9 Contact Person : m cos θ + m 1 m L θ ( m L θ cos θ sin θ + m m 1 + m m 1 + m gl cos θ) = 0 (m cos θ + m 1 )L θ m L θ cos θ sin θ (m 1 + m ) gl cos θ = 0 Maka persamaan gerak system adalah (m cos θ + m 1 )Lθ m Lθ cos θ sin θ (m 1 + m ) g cos θ = 0 c. Kita diminta untuk menentukan nilai tegangan tali T dan gaya normal N batang pada cincin. Perhatikan diagram gaya di bawah! N x 1 θ T cos θ x = 0 m 1 g T sin θ T T T sin θ T cos θ θ x m g y Percepatan kedua benda adalah Cincin : x 1 = m L (θ sin θ + θ cos θ) m 1 + m y 1 = 0 Partikel : x = m 1L (θ sin θ + θ cos θ) m 1 + m y = L(θ sin θ θ cos θ) Menggunakan hukum dua newton untuk kedua benda kita dapatkan Untuk cincin : sumbu x T cos θ = m 1m L (θ sin θ + θ cos θ) (1) m 1 + m sumbu y N T sin θ m 1 g = 0 N = T sin θ + m 1 g () Untuk partikel : Hal 9

10 Contact Person : sumbu x T cos θ = m 1m L (θ sin θ + θ cos θ) (3) m 1 + m sumbu y T sin θ m g = m L(θ sin θ θ cos θ) T = m L(θ sin θ θ cos θ) + m g (4) sin θ subtitusi persamaan (4) ke () N = m L(θ sin θ θ cos θ) + m g sin θ + m sin θ 1 g N = m L(θ sin θ θ cos θ) + (m 1 + m )g (5) Selanjutnya kita harus mencari tahu nilai θ dan θ. Kita akan menghitungnya dengan hukum kekekalan energy mekanik. Saat awal adalah saat tali masih berada dalam keadaan horizontal dan kedua benda masih diam serta saat akhir adalah saat tali membentuk sudut θ = 30 o dengan horizontal. E awal = E akhir 0 = m gl sin 30 o + 1 m cos 30 o + m 1 m L θ m 1 + m 0 = m gl ( 1 ) + 1 m ( 1 3) 3 + m 1 m m 1 + m L θ (3m + 4m 1 )Lθ = 4(m 1 + m )g θ = 4(m 1 + m )g (3m + 4m 1 )L (6) θ = 4(m 1 + m )g (3m + 4m 1 )L Dengan mensubtitusi persamaan (6) ke persamaan gerak system akan kita dapatkan (m ( 1 3) + m 1 ) Lθ m L ( 4(m 1 + m )g (3m + 4m 1 )L ) (1 3) (1 ) (m 1 + m ) g ( 1 3) = 0 ( 3 4 m + m 1 ) Lθ = m L ( 4(m 1 + m )g (3m + 4m 1 )L ) (1 4 3) + (m 1 + m ) g ( 1 3) (3m + 4m 1 )(3m + 4m 1 )Lθ = 4 3m (m 1 + m )g + 3(m 1 + m )(3m + 4m 1 )g (3m + 4m 1 )(3m + 4m 1 )Lθ = (m 1 + m )g[ 3m + 3 3m + 4 3m 1 ] θ = 3(m 1 + m )[5m + 4m 1 ]g (3m + 4m 1 ) (7) L Dengan mensubtitusi persamaan (6) dan (7) ke persamaan (4) akan kita dapatkan nilai tegangan tali. T = m L(θ sin θ θ cos θ) + m g sin θ Hal 10

11 Contact Person : T = m L (( 4(m 1 + m )g (3m + 4m 1 )L ) (1 ) ( 3(m 1 + m )[5m + 4m 1 ]g (3m + 4m 1 ) ) ( 1 L 3)) + m g T = m 1m (1m m ) (3m + 4m 1 ) Kemudian dengan mensubtitusi persamaan (6) dan (7) ke persamaan (5) akan kita dapatkan besar gaya normal N. N = m L(θ sin θ θ cos θ) + (m 1 + m )g N = m L (( 4(m 1 + m )g (3m + 4m 1 )L ) (1 ) ( 3(m 1 + m )[5m + 4m 1 ]g (3m + 4m 1 ) ) ( 1 L 3)) + (m 1 + m )g N = m 1 g (1 + m (1m m ) (3m + 4m 1 ) ) 1 OSN Fisika 016 Number 3 DUA BUAH SILINDER YANG SALING BERGESEKAN Gambar di bawah menampilkan dua benda silinder tegak dengan kedua sumbunya parallel satu sama lain dan mula-mula secara terpisah masing-masing silinder tersebut sedang berotasi (spinning) ke arah yang sama dengan kecepatan sudut ω 0. Kedua silinder tersebut kemudian secara perlahan di sentuhkan satu sama lain sehingga pada awalnya keduanya saling mengalami sliding dengan gaya normal konstan N. Koefisien gesek antara permukaan-permukaan kedua silinder adalah μ. Diketahui silinder dengan jarijari R 1 memiliki momen inersia I 1 dan silinder dengan jari-jari R memiliki momen inersia I. ω 0 μ ω 0 R 1 R I 1 N N I a. Gambarkan gaya-gaya yang bekerja pada kedua silinder. Tuliskan persamaan gerak (hukum kedua Newton tentang rotasi) untuk masing-masing silinder! Hal 11

12 Contact Person : b. Tentukan syarat/kondisi agar kedua permukaan silinder berhenti untuk tidak mengalami sliding pada saat/waktu t = t a. Tentukan nilai t a tersebut. Tentukan kecepatan sudut akhir kedua silinder, yaitu ω 1a dan ω a! Sekarang anggap kedua silinder bermassa sama, yaitu M. Silinder pertama merupakan silinder pejal dengan jari-jari R 1 = R dan silinder kedua merupakan silinder kosong berdinding tipis dengan jari-jari R = R. c. Tuliskan momen inersia masing-masing silinder! d. Tentukan kecepatan sudut masing-masing silinder sebagai fungsi waktu t, yaitu ω 1 (t) dan ω (t)! Gambarkan sketsa grafik ω 1 (t) dan ω (t)! e. Tentukan energi yang hilang akibat kedua silinder bergesekan! Pembahasan : a. Berikut gambar gaya-gaya yang bekerja pada silinder ω 1 (t) f ω (t) R 1 N N R I I 1 f Dalam kasus ini, pusat kedua silinder di buat tetap sehingga dia tidak mengalami gerak translasi. kita juga tidak perlu memperdulikan gravitasi karena benda tidak bergerak translasi sedangkan gaya gravitasi timbul pada pusat silinder sehingga gaya gravitasi tidak mempengaruhi gerakan silinder. Akan tetapi silinder berotasi dan torsi akibat gaya gesek mempengaruhi gerak rotasi silinder. Persamaan gerak rotasi silinder pertama Στ 1 = I 1 α 1 fr 1 = I 1 α 1 (1) fr 1 + I 1 α 1 = 0 Persamaan gerak rotasi silinder kedua Στ = I α fr = I α () fr + I α = 0 b. Syarat agar kedua silinder tidak saling sliding lagi adalah kecepatan linier tepinya memiliki besar yang sama namun berlawanan arah. Hal 1

13 Contact Person : v 1 = v ω 1a R 1 = ω a R ω a = R 1 R ω 1a (3) Silinder berhenti sliding setelah selang waktu t a, maka perlambatan sudut kedua silinder adalah Silinder pertama α 1 = ω 1a ω 0 t a (4) Silinder kedua α = ω a ω 0 t a (5) Subtitusi persamaan (4) ke (1) dan persamaan (5) ke () kemudian eliminasi variable f. fr 1 = I 1 ω 1a ω 0 t a f = I 1 ω 1a ω 0 R 1 t a fr = I ω a ω 0 t a f = I ω a ω 0 R t a I 1 ω 1a ω 0 R 1 t a = I ω a ω 0 R t a I 1 ω 1a ω 0 R 1 t a = I ω a ω 0 R t a (6) Kemudian subtitusi persamaan (3) ke (6) R ω 1a ω ( 1 0 R ω 1a ) ω 0 I 1 = I R 1 R ω 1a ω 0 = I ( R 1 ) ω I 1 R 1a I R 1 ω I 1 R 0 ω 1a + I ( R 1 ) ω I 1 R 1a = ω 0 I R 1 ω I 1 R 0 ω 1a [1 + I ( R 1 ) ] = ω I 1 R 0 (1 I R 1 ) I 1 R ω 1a = 1 I I1 R 1 R 1 + I I1 ( R 1 R ) ω 1a = I 1R I R 1 R I 1 R + I R 1 ω 0 (7) ω 0 di kali dengan I 1R I 1 R Hal 13

14 Contact Person : Kemudian subtitusi (7) ke (3) ω a = R 1 ( I 1R I R 1 R R I 1 R + I R ω 0) 1 ω a = I 1R 1 R I R 1 I 1 R + I R 1 ω 0 (8) Selanjutnya untuk menghitung waktu t a kita akan menggunakan persamaan impuls sudut sama dengan perubahan momentum sudut. Kita hanya perlu meninjau salah satu silinder, di sini saya akan meninjau silinder pertama. Karena silinder slip, gaya gesek yang bekerja adalah gaya gesek kinetik dan besarnya adalah f = μn. I s = ΔL fr 1 t a = I 1 (ω 1a ω 0 ) t a = I 1(ω 0 ω 1a ) μnr 1 I 1 (ω 0 I 1R I R 1 R I t a = 1 R + I R ω 0) 1 μnr 1 I 1 ω 0 (I 1 R I 1 R + I R 1 I R 1 R ) t a = 0 μnr 1 (I 1 R + I R 1 ) t a = I 1I (R 1 R ) μn(i 1 R + I R 1 ) ω 0 Sehingga kita dapatkanlah syarat dan nilai waktu t a yaitu Syarat atau kondisi saat silinder berhenti sliding adalah saat kecepatan liner tepinya sama besar namun berlawanan arah v 1 = v Dan besar waktu t a adalah t a = I 1I (R 1 R ) μn(i 1 R + I R 1 ) ω 0 c. Berikutnya kita akan menghitung momen inersia masing-masing silinder Silinder pertama Silinder yang pertama adalah silinder pejal sehingga momen inersianya adalah I 1 = 1 MR 1 = 1 M(R) = MR I 1 = MR Silinder kedua Hal 14

15 Contact Person : Silinder yang kedua adalah silinder kosong yang berdinding tipis. Dalam hal ini saya menafsirkan silinder tersebut adalah silinder tanpa tutup dan dindingnya tipis sehingga momen inersianya adalah I = MR 1 = M(R) = MR I = MR d. Perlambatan sudut kedua silinder hanya dipengaruhi oleh torsi penghambatnya, torsi penghambat hanya di pengaruhi oleh gaya gesek, dan gaya gesek hanya dipengaruhi oleh gaya normal. Karena gaya normalnya konstan maka perlambatan sudutnya konstan. Oleh karena perlambatannya konstan maka silinder akan mengalami Gerak Melingkar Berubah Beraturan Diperlambat. Persamaan gerak untuk silinder pertama ω 1 (t) = ω 0 α 1 t Dengan mensubtitusi nilai f = μn ke persmaan (1) akan kita dapatkan α 1 = μnr 1 I 1. Kemudian kita subtitusikan ke persamaan kecepatan sudut di atas sehingga kita dapatkan. ω 1 (t) = ω 0 μnr 1 I 1 Persamaan gerak untuk silinder kedua ω (t) = ω 0 α t t Dengan mensubtitusi nilai f = μn ke persmaan (1) akan kita dapatkan α = μnr I. Kemudian kita subtitusikan ke persamaan kecepatan sudut di atas sehingga kita dapatkan. ω (t) = ω 0 μnr I t Dengan mensubtitusikan nilai momen inersia silinder ke kecepatan sudut akhirnya akan kita dapatkan bahwa kecepatan sudut akhir kedua silinder atau kecepatan sudut setelah selang waktu t a adalah nol(ω 1a = ω a = 0). Silahkan anda buktikan sendiri! Berikut grafik kecepatan sudut kedua silinder terhadap waktu. ω 1 (t) ω (t) Silinder pertama Silinder kedua ω 0 ω 0 t a t t a t Hal

16 Contact Person : e. Besar energi yang hilang bisa kita hitung dengan mengurangi energy awal dengan energy akhir. ΔE = E awal E akhir ΔE = 1 I 1ω I ω 0 0, energi akhir bernilai nol karena silinder diam. ΔE = 1 MR ω MR ω 0 ΔE = 3 MR ω 0 OSN Fisika 016 Number 4 OSILASI SISTEM PELAT DAN GAS IDEAL Terdapat tiga buah plat dengan luas penampang A tersusun seperti gambar di bawah (tampak atas). Plat tengah memiliki muatan listrik yang terdistribusi merata sebesar Q dan ia bisa bergerak bebas tanpa gesekan ke kanan dan ke kiri, sedangkan plat disebelah kiri dan kanan dihubungkan ke ground dan fix (diam). Pada kondisi awal, plat tengah tepat berada pada jarak L dari plat kanan maupun kiri. Pada kedua ruangan yang dibentuk di sisi kanan dan kiri terdapat udara (anggap permitivitasnya sama dengan ruang hampa = ε 0 ) yang memiliki tekanan masing-masing sebesar P 0. Kondisi ini merupakan kondisi dimana plat tengah berada pada kondisi kesetimbangan labil. Anggap tidak ada celah yang mengakibatkan udara di sebelah kanan dan kiri saling mengalir atau pun keluar dari system. Plat Tengah Q L L Tentukanlah : a. Dimana plat mengalami kondisi kesetimbangan stabil (x s ) dihitung dari posisi plat pada kondisi kesetimbangan labil. b. Jika pada posisi kesetimbangan stabil tersebut, plat tengah diganggu dengan simpangan x ( dimana x << x s dan x << L), maka tentukan frekuensi osilasi plat tengah! (Hint : konsep termodinamika tidak dibutuhkan untuk menyelesaikan soal ini) Hal 16

17 Contact Person : Pembahasan : a. Sekarang kita tinjau saat plat tengah berada pada kondisi kestimbangan stabil, yaitu kondisi saat dia bergeser sejauh x s ke kanan ataupun ke kiri dari kondisi kesetimbangan labil. Sekarang untuk mempermudah analisis kita ambil simpangan ke kanan. Tidak ada alasan khusus mengenai pengambilan keputusan ini. Jika kita memilih tersimpang ke kanan pun hasilnya akan tetap sama. Perhatikan gambar di bawah ini! Plat Tengah P L L + x s v Q P R L x s x s Ketiga keping membentuk kapasitor plat sejajar dengan kapasitas masing-masing C R dan C L. Maksud dari indeks R dan L pada tekanan dan kapasitansi adalah kanan(right) dan Kiri(left). Kapasitas suatu kapasitor keping sejajar adalah C = ε o A d. Maka kapasitas total kapasitor adalah C = C L + C R C = ε oa + L + x s ε oa = ε oa(l x s + L + x s ) C = L x s (L + x s )(L x s ) Energi potensial listrik pada kapasitor adalah U = Q C = Q (L x s 4ε o AL ) Maka gaya elektrostatis yang bekerja pada pelat adalah F e = du = d ( Q (L x s dx s dx s 4ε o AL ) ε oal L x s ) = Q x s ε o AL F e = Q x s ε o AL Gaya elektrostatis inilah yang membuat plat tengah mencapai kesetimbangan stabil. Arah gaya ini adalah searah dengan arah geseran plat tengah. Karena plat tengah bergeser ke kanan, maka gaya ini juga berarah ke kanan dan besarnya bergantung pada besar pergeseran plat. Selanjutnya untuk mencapai keadaan seimbang harus Hal 17

18 Contact Person : ada gaya yang arahnya berlawanan dengan gaya elektrostatis ini. Gaya ini akan diakibatkan oleh perbedaan tekanan antara ruang di sebelah kanan dan kiri plat tengah. Kita sebut sebagai gaya tekanan dan saya beri indeks P. Sebelum menghitung gaya ini kita harus mengetahui tekanan masing-masing ruang. Karena plat tengah adalah konduktor yang baik, maka kalor dapat mengalir dengan baik antar ruangan. Ini berarti tidak aka nada perbedaan temperature antara kedua ruang sehingga proses yang terjadi adalah isothermal. Selanjutnya menggunakan hukum Boyle kita bisa mendapatkan tekanan kedua ruangan dengan mempertimbangkan keadaan awal system. Tekanan ruangan kiri P 0 V 0 = P L V L L P 0 AL = P L A(L + x s ) P L = P 0 L + x s Tekanan ruangan kanan P 0 V 0 = P R V R L P 0 AL = P R A(L x s ) P R = P 0 L x s Gaya tekanan akibat perbedaan tekanan kedua ruang adalah F P = (P R P L )A F P = (P 0 F P = P oalx s L x s L L P L x 0 ) A = P s L + x o AL ( L + x s L + x s s (L + x s )(L x s ) ) Pada kondisi ini arah gaya tekanan ini adalah ke kiri. Saat plat tengah berada dalam keadaan kesetimbangan stabil gaya tekanan ini sama dengan gaya elektrostatis. F P = F e P 0 ALx s L x s = Q x s ε o AL P 0 AL L x s = Q ini akan berguna nantinya kita sebut sebagai ( ) ε o AL (ε 0 AL)(P 0 AL) = Q (L x s ) 4ε 0 P 0 A L = Q L Q x s Q x s = L (Q 4ε 0 P 0 A ) x s L = 1 4ε 0P 0 A Q ( ) Hal 18

19 Contact Person : x s = ±L 1 4ε 0P 0 A Q Tanda plus minus menadakan titik kesetimbangan berada di sebelah kanan atau kiri kesetimbangan labil. Jika kita ambil posisi kesetimbangan labil sebagai titik pusat, maka posisi kesetimbangan stabil berada pada posisi x s, dimana nilainya adalah x s = L 1 4ε 0P 0 A Q b. Sekarang plat tengah disimpangkan sejauh x dari posisi kesetimbangan stabilnya. Kita asumsikan simpangan berarah ke kanan, karena kalaupun pada arah sebaliknya hasilnya akan tetap sama. Ini hanya untuk memudahkan analisis kita, maka kita pilih kondisi yang paling ideal untuk di tinjau. Perhatikan gambar di bawah! Plat Tengah P L L + x s + x v Q P R L x s x x s x a Karena plat tengah di simpangkan ke kanan, dia akan mengalami percepatan yang berarah ke kiri. Dengan hukum dua newton akan kita dapatkan ΣF = ma F P F e = ma Sekarang gaya yang bekerja pada plat sedikit berubah karena pergesarannya berubah dari x s menjadi x s + Δx. Sehingga gayanya sekarang menjadi bertambah besar. Berikutnya percepatan plat berarah ke kiri sedangkan simpangan ke kanan, maka turunan kedua simpangan terhadap waktu atau percepatan osilasi juga berarah ke kanan. Besarnya sama dengan percepatan plat namanun berlainan arah maka akan berlaku Hal 19

20 Contact Person : a = d Δx dt Kembali ke hukum dua newton. Dengan memasukkan nilai gaya tekanan dan gaya elektrostatis serta hubungan percepatan plat dengan turunan kedua simpangan terhadap waktu akan kita dapatkan F P F e = ma P 0 AL(x s + Δx) L (x s + Δx) Q (x s + Δx) = m d Δx ε 0 AL dt Kita ingat kembali dari (*) bahwa P 0 AL L x s = Q ε 0 AL P 0AL = Maka akan kita dapatkan Q ε 0 AL (L x s ) Q (x ε o AL (L x s + Δx) s ) L (x s + Δx) Q (x s + Δx) ε 0 AL d Δx dt + Q (x s + Δx) mε 0 AL (L x s ) ( L (x s + Δx) 1) = 0 = m d Δx dt Karena Δx x s, maka (x s + Δx) = x s + x s Δx + Δx x s + x s Δx d Δx dt d Δx dt d Δx dt d Δx dt + Q (x s + Δx) mε 0 AL + Q (x s + Δx) mε 0 AL + Q (x s + Δx) mε 0 AL L x s ( L x s x s Δx 1) 0 L x s ( L x s (1 L x s ( (L x s ) (1 x 1) 0 sδx L x ) s x 1) 0 sδx L x ) s + Q (x s + Δx) ((1 x 1 sδx mε 0 AL L x ) 1) 0 s Berikutnya gunakan pendekatan x s + Δx x s kemudian menggunakan pendekatan binomial newton akan kita dapatkan yaitu untuk suku (1 x 1 sδx L x ) 1 + x sδx s L x s Pendekatan binomial newton adalah untuk bentuk (1 + x) n 1 + nx, ini berlaku jika x 1. Sedangkan kita ketahui dari soal bahwa Δx x s dan Δx L, maka x s Δx (L x s ) 1, sehingga pendekatan ini bisa berlaku. Persamaan gerak plat tengah menjadi Hal 0

21 Contact Person : d Δx dt + Q x s mε 0 AL (1 + x sδx L x 1) 0 s d Δx dt + Q x s mε 0 AL(L Δx 0 x s ) ω Sehingga frekuensi sudutnya adalah Q ω = x s mε 0 AL(L x s ) = Q 1 mε 0 AL(L x s 1 ) Dengan mengingat kembali persamaan (**) yaitu x s L = 1 4ε 0P 0 A Q L x s = Q Q 4ε 0 P 0 A Kemudian kita subtitusikan ke frekuensi sudut osilasi plat tengah akan didapatkan 1 1 ω = Q Q mε 0 AL ( = Q Q 4ε o P o A 1 ) mε 0 AL ( Q Q + 4ε 0 P 0 A Q 4ε 0 P 0 A ) ω = Q Q 4ε 0 P 0 A 4P 0 mε 0 A 3 L Akhirnya kita dapatkan frekuensi osilasi plat tengah yaitu f = ω π f = Q π Q 4ε 0 P 0 A 4P 0 mε 0 A 3 L Hal 1

22 Contact Person : OSN Fisika 016 Number 5 BOLA BASKET MEMANTUL Sebuah bola basket berjari-jari r (anggap saja bola berongga), dilempar oleh seseorang dengan kecepatan horizontal v 0 dan kecepatan sudut ω 0 (dimana ω 0 r < v 0 ) dari ketinggian h (lihat gambar). Bola basket tersebut memantul secara vertikal pada lantai dengan koefisien pantul e. Namun sebelum memantul, bola tersebut bergerak slip dengan waktu yang singkat. Koefisien gesek antara bola dan lantai adalah μ. Tepat ketika bola mulai menggelinding sempurna, ia memantul dan membuat gerak parabola. ω 0 v 0 h θ Tentukan : a. Sudut pantul (θ) yang terbentuk tepat sesaat bola menggelinding sempurna. b. Jumlah putaran (n) yang dialami bola tersebut selama bersentuhan dengan lantai. c. Jarak total (x) yang ditempuh bola hingga menyelesaikan gerak parabolanya. PEMBAHASAN : a. Perhatikan gambar di bawah. ω 0 ω x v 0 r v μmg h v Ay v By v Cy v Ax θ v Bx v Cx O A B C D v y x Pertama kita lihat dulu gerakan bola dari awal sampai mencapai titik A. kita tahu dari GLBB bahwa kecepatan vertical bola basket saat sampai di bawah adalah v y = gh (tanda negative menandakan arahnya ke bawah). Kemudian dia memantul Hal

23 Contact Person : dan kita ketahui bahwa koefisien restitusinya adalah e maka kecepatan vertical pantulannya adalah v Ay = e gh. Kenapa seperti ini akan kita buktikan. Dalam hal ini tumbukan terjadi antara lantai dan bola basket dan tumbukan hanya terjadi pada arah vertical. Missal bola basket adalah benda pertama dan lantai adalah bola kedua. Kita menetapkan bahwa arah ke atas adalah positif. kecepatan benda pertama sebelum dan sesudah tumbukan adalah v 1 = v y = gh dan v 1 = v Ay. Sedangkan kecepatan benda kedua sebelum dan sesudah tumbukan adalah nol, v = v = 0, karena lantai senantiasa diam. Maka berdasarkan rumus koefisien restitusi akan kita dapatkan e = v v 1 v v 1 e = 0 v Ay 0 ( gh) v Ay = e gh v Ay ini adalah juga kecepatan vertikal di titik B, v By = v Ay karena interaksi dengan gaya gesek tidak mempengaruhi gerakan arah vertikalnya. Kecepatan horizontal saat sampai di titik adalah v Ax = v 0. Bola akan melompat kembali ketika mulai menggelinding tanpa slip. Selama slip, karena ω 0 r < v 0, akan ada gerak relatif antara permukaan lantai dan bola basket maka akan timbul gaya gesek yang berarah ke kiri. Gaya gesek ini akan memperlambat kecepatan linier dan mempercepat kecepatan sudut bola basket. Dengan menerapkan hukum dua newton pada arah horizontal akan kita dapatkan μmg = ma sehingga kita dapatkan perlambatan liniernya adalah a = μg. Kemudian dengan meninjau grak rotasinya akan kita dapatkan pula fr = Iα. Bola basket adalah bola berongga sehingga momen inersianya adalah I = 3 mr. μmgr = 3 mr α α = 3μg r Persamaan gerak bola basket untuk gerak lurus dan melingkar akan menjadi v = v 0 μgt ω = ω 0 + 3μg r t Saat sudah bergerak tanpa slip, yaitu setelah selang waktu T, kecepatan liner bola basket menjadi v = v Bx dan kecepatan sudutnya adalah ω = ω B Syarat yang harus dipenuhi saat bola basket mulai menggelinding tanpa slip adalah v = ωr atau v Bx = ω B r. v 0 μgt = ω 0 r + 3μg T v 0 ω 0 r = 5μg T T = (v 0 ω 0 r) 5μg Dengan mensubtitusi nilai T ke dalam persamaan gerak akan kita dapatkan Hal 3

24 Contact Person : v Bx = v 0 μg ( (v 0 ω 0 r) ) v 5μg Bx = 3v 0 + ω 0 r 5 ω B = v Bx r ω B = 3v 0 + ω 0 r 5r Di titik B ini bola melompat kembali dan memiliki kecepatan arah horizontal v Bx dan kecepatan vertical v By sehingga dia mengalami gerak parabola. Sudut elevasinya adalah tan θ = v By v Bx = e gh 3v 0 + ω 0 r 5 θ = arctan ( 5e gh 3v 0 + ω 0 r ) = 5e gh 3v 0 + ω 0 r b. Untuk mengetahui jumlah putaran bola n kita harus terlebih dahulu menentukan jarak yang ditempuh bola dari titik A ke titik B kemudian membaginya dengan keliling bola. Karena perlambatan bola konstan, dia mengalami Gerak Lurus Berubah Beraturan Diperlambat. Sehingga jarak tempuhnya adalah s = v 0 t 1 μgt x AB = v 0 T 1 μgt x AB = v 0 (v 0 ω 0 r) 5μg x AB = v 0 v 0 ω 0 r 5μg 1 μg ((v 0 ω 0 r) ) 5μg 1 4(v 0 + ω 0 r v 0 ω 0 r) 5μg x AB = 0v 0 0v 0 ω 0 r 4v 0 4ω 0 r + 8v 0 ω 0 r 50μg x AB = 16v 0 1ω 0 r 4ω 0 r 50μg x AB = 8v 0 6v 0 ω 0 r ω 0 r 5μg Maka jumlah putarannya adalah n = x AB πr = 8v 0 6v 0 ω 0 r ω 0 r 50πμgr n = 8v 0 6v 0 ω 0 r ω 0 r 50πμgr Hal 4

25 Contact Person : c. Jarak x bisa kita dapatkan dengan menjumlahkan jarak OA, AB, dan BD. x OA = v 0 h g Dari mana ini didapatkan? Ini didapatkan dari gerak parabola bola basket dari posisi awalnya sampai mencapai titik A. Waktu untuk mencapai titik A adalah t OA = h g, dan kecepatan horizontalnya konstan yaitu v 0. Sehingga jarak OA adalah seperti di atas. Kita sudah mengetahui bahwa jarak AB adalah x AB = 8v 0 6v 0 ω 0 r ω 0 r 5μg Selanjutnya bola akan terus memantul sambil melakukan gerak parabola. Karena bola sudah menggelinding tanpa slip, gaya gesek tidak bekerja lagi pada bola dan kecepatan arah horizontalnya akan tetap yaitu v x = v Bx = 3v 0 + ω 0 r 5. Jadi kita tinggal mencari waktu total sampai bola berhenti. Kita sebut pantulan di B sebagai pantulan pertama, C sebagai pantulan kedua dan seterusnya sampai titik terjauh yaitu D. waktu pantulan pertama dan kedua adalah t 1 = v By g t 1 = e h g Dengan cara yang sama seperti pada kasus A, kecepatan vertical sebelum pantulan di titik C adalah v Cy0 = e gh dan setelah memantul kecepatannya menjadi v Cy = ev Cy0 = e gh. Sehingga waktu antara pantulan kedua dan ketiga adalah t 3 = v Cy g t 3 = e h g Begitupun untuk waktu antara pantulan ketiga dan keempat dan seterusnya t 34 = e 3 h g, t 45 = e 4 h g, Maka waktu total dari titik B sampai titik terakhir bola berhenti bergerak adalah t BD = t 1 + t 3 + t 34 + t 45 + t BD = e h g + e h g + e3 h g + e4 h g + Hal 5

26 Contact Person : t BD = e h g (1 + e + e + e 3 + ) (1 + e + e + e 3 + ) adalah deret geometri tak hingga konvergen Karena rasionya, r = e < 1. Dengan menggunakan rumus jumlah geometri tak hingga yang konvergen akan kita dapatkan (1 + e + e + e 3 + ) = 1 1 e t BD = e h g ( 1 1 e ) t BD = e 1 e h g Maka jarak dari B ke D adalah x BD = v x t BD = 3v 0 + ω 0 r ( e 5 1 e h g ) Sehingga jarak total yang ditempuh bola basket adalah x = x OA + x AB + x BD x = v 0 h g + 8v 0 6v 0 ω 0 r ω 0 r 5μg + 3v 0 + ω 0 r ( e 5 1 e h g ) x = (v 0 + e(3v 0 + ω 0 r) ) h 5(1 e) g + 8v 0 6v 0 ω 0 r ω 0 r 5μg Hal 6