( ) 1 IV CONTOH KASUS. β τ. Jika panjang vektor koefisien regresinya. (26) dan juga 2. maka: (29) Tetapi apabila Ew [

Transkripsi

1 0 ( ) = Ew X ( q Y X V ) β arg min [ ( ) ( ) β ], β (6) dan juga β ( ) = arg min Ew [ ( X) ( Q ( Y X) V ) ], β β (7) yang dapat menyatakan bahwa ( ) β merupakan koefisien regresi kuantil parsial dari regresi kuadrat terkecil terboboti bagi Q ( Y X) di X. Sedangkan rumusan bias peubah yang dihilangkan pada regresi kuantil dapat diduga dengan peubah yang bersifat menjelaskan yaitu X = [ X', X' ]'. Pada model regresi kuantil ini yang digunakan hanyalah peubah X sehingga vektor koefisien regresinya γ( ) = argmin γ E[ ρ ( Y X ' γ' )]. (8) Jika panjang vektor koefisien regresinya ( β ()', β ()')' = argminβ, β E[ ρ( Y X ' β X' β)]. maka: γ( ) = argmin Ew [ γ ( X). ( X, Δ γ)]. (9) Tetapi apabila Ew [ ( X). XX' ) mempunyai invers maka: γ() = β() + ([ Ew ( X). XX ' ) Ew [ ( X). XR ( X) ] (30) dengan: R ( X) = Q( Y X) X' β( ) = bias w ( X) = 0 f ( u. Δ ( X, ( )) X) du / γ Δ ( X, γ) = X' γ Q( Y X) = error (Bukti: lihat Lampiran 8). Dengan R ( X) merupakan bagian dari fungsi kuantil bersyarat yang tidak dijelaskan oleh fungsi linear dari X pada panjang regresi kuantil. IV CONTOH KASUS Contoh kasus dalam masalah regresi kuantil menggunakan sebaran gaji yang diperoleh dari himpunan data mikro sensus di Amerika Serikat pada laki-laki yang berumur tahun pada sensus tahun 980, 990 dan tahun 000. Dari penelitian yang dilakukan oleh Ruggles (004), semuanya diperoleh dari website Integrated Public Use Microdata Series (IPUMS). Peubah respon ( Y ) yang digunakan adalah log gaji mingguan yang dihitung dari log gaji tahunan yang dilaporkan dari lamanya kerja dibagi dengan minggu yang dikerjakan pada tahun sebelumnya. Sedangkan peubah prediktor yang digunakan adalah pendidikan X yang dihitung dari lamanya sekolah ( ) dalam satuan tahun, pengalaman kerja ( X ) yang didefinisikan sebagai fungsi kuadratik dan penghargaan yaitu dihitung dari banyaknya penghargaan yang diperoleh berdasar pada banyaknya perlombaan yang X. diikuti ( ) 3 4. Analisis Regresi Kuantil dengan Seluruh Peubah Prediktor Dari penelitian Ruggles tersebut diperoleh suatu koefisien nilai dugaan dari seluruh peubah prediktor yang ditunjukkan pada Tabel. Pada Tabel juga terlihat bahwa nilai standar deviasi pada tahun 980, 990 dan 000 semakin meningkat, hal ini dikarenakan peubah prediktor yang semakin beragam dari tahun sebelumnya. Tabel tersebut juga menjelaskan terjadinya perbedaan nilai dugaan pada koefisien kuantil yang berbeda, sehingga metode regresi kuantil dapat digunakan pada kasus sebaran gaji ini. Karena apabila kasus sebaran gaji ini diduga menggunakan metode kuadrat terkecil akan mengakibatkan ketidakcocokan model. Untuk melihat besarnya keragaman koefisien pendidikan, pengalaman kerja dan banyaknya penghargaan yang diperoleh dapat dilihat pada Tabel. Bagian kolom QR menjelaskan dugaan regresi kuantil dari log gaji mingguan (log-earning) pada rata-rata jarak antar kuantil 90-0 yang bergantung pada koefisien pendidikan, pengalaman kerja dan penghargaan.

2 Nilai jarak antar kuantil ini meningkat dari.9 menjadi.35 pada tahun 980 sampai 990, kemudian kembali meningkat menjadi.45 dari tahun 990 sampai 000. Jarak antar kuantil yang meningkat menandakan semakin beragamnya gaji dari tahun 980 sampai tahun 000. Pada jarak antar kuantil ini, nilai dugaan regresi kuantil hampir mendekati tingkat kebenaran tetapi hampiran ini menjadi tidak baik digunakan pada saat rataan koefisien pendidikan dihitung pada kelompok yang khusus seperti terlihat pada Tabel bagian B dan C. Tabel juga menjelaskan peningkatan yang lebih tinggi untuk lulusan perguruan tinggi (College Graduates) daripada lulusan sekolah menengah (High School Graduates). Pada Tabel juga terlihat pada rata-rata jarak antar kuantil dengan rata-rata kuantil 50-0 nilainya berbeda. Hal ini menandakan bahwa sebaran data tidaklah simetris sehingga dari Tabel ini juga dapat disimpulkan bahwa analisis data lebih tepat menggunakan metode kuantil. Dari tabel ini juga dapat dijelaskan bahwa gaji lebih dominan berada dibawah median. Tabel Koefisien nilai dugaan regresi kuantil dari seluruh peubah prediktor Desc. Stat. Penduga Regresi Kuantil Penduga OLS Census Obs. Mean SD Coeff. Root MSE , (0.3) (0.067) (0.00) (0.080) 0.63 [0.39] [0.067] [0.0] [0.087] , (0.30) (0.075) (0.69) (0.08) [0.35] [0.075] [0.78] [0.087] , (0.0) (0.09) (0.64) (0.09) [0.08] [0.09] [0.669] [0.3] Tabel Perbandingan jarak antar kuantil dari CQF dengan sebaran QR dasar dengan seluruh peubah prediktor. Census Obs. jarak antar kuantil CQ QR CQ QR CQ QR A. Overall , , , B. High School Graduates 980 5, , , C. College Graduates 980 7, , , Perubahan pada pendugaan kuantil bersyarat pada tahun 980, 990 dan 000 dapat dilihat pada Gambar. Gambar tersebut menunjukkan bahwa pada selang kepercayaan 95% merepresentasikan antara tahun 990 dan 000 tidak terjadi perubahan yang signifikan.

3 Hal ini ditunjukkan oleh plot yang tidak jauh berbeda. Perbedaan yang signifikan pada tahun tersebut hanya terletak pada kuantil diatas median, karena pada kuantil tersebut peubah pendidikan, pengalaman kerja dan penghargaan telah berbeda. Sedangkan plot yang kelihatan sangat berbeda adalah plot antara tahun 980 dan 990, hal ini dikarenakan perbedaan gaji dan perbedaan keragaman seluruh peubah prediktor pada tahun tersebut. 4. Analisis Regresi Kuantil dengan Peubah Pendidikan Dari penelitian ini juga diperoleh koefisien nilai dugaan dari peubah pendidikan, yang ditunjukkan oleh Tabel 3. Dari Tabel 3 terlihat bahwa nilai standar deviasi pada tahun 980, 990 dan 000 semakin meningkat, hal ini dikarenakan peubah pendidikan yang semakin beragam dari tahun sebelumnya. Untuk melihat besarnya keragaman koefisien pendidikan dapat dilihat pada Tabel 4. Bagian kolom QR menjelaskan dugaan regresi kuantil dari log gaji mingguan (logearning) pada rata-rata jarak antar kuantil 90-0 yang bergantung pada koefisien pendidikan. Nilai jarak antar kuantil ini meningkat dari. menjadi.37 pada tahun 980 sampai 990, kemudian kembali meningkat menjadi.45 dari tahun 990 sampai 000. Jarak antar kuantil yang meningkat menandakan semakin beragamnya koefisien pendidikan dari tahun 980 sampai tahun 000. Pada Tabel 4 juga terlihat pada rata-rata jarak antar kuantil dengan rata-rata kuantil 50-0 nilainya berbeda. Hal ini menandakan bahwa sebaran data tidaklah simetris sehingga dari Tabel ini juga dapat disimpulkan bahwa analisis data lebih tepat menggunakan metode kuantil. Dari tabel ini juga dapat dikatakan bahwa gaji lebih dominan untuk kuantil dibawah median. Gambar Plot Sebaran log-earning pada sebaran kuantil tertentu dengan tingkat kepercayaan 95% dengan seluruh peubah prediktor. Tabel 3 Koefisien nilai dugaan dari peubah pendidikan Desc. Stat. Penduga Regresi Kuantil Penduga OLS Census Obs. Mean SD Coeff. Root MSE , (0.90) (0.099) (0.45) (0.0) 0.63 [0.99] [0.099] [0.53] [0.7] , (0.74) (0.04) (0.5) (0.7) 0.64 [0.85] [0.04] [0.63] [0.] , (0.95) (0.6) (0.385) (0.7) 0.69 [0.04] [0.6] [0.40] [0.4]

4 3 Tabel 4 Perbandingan jarak antar kuantil dari CQF dengan sebaran QR dasar dari peubah pendidikan Census Obs. jarak antar kuantil CQ QR CQ QR CQ QR A. Overall , , , B. High School Graduates 980 5, , , C. College Graduates 980 7, , , pada tahun tersebut hanya terletak pada kuantil diatas median, karena pada kuantil tersebut peubah pendidikan telah berbeda. Sedangkan plot yang kelihatan sangat berbeda adalah plot antara tahun 980 dan 990, hal ini dikarenakan perbedaan gaji dan perbedaan keragaman koefisien pendidikan pada tahun tersebut. Dari Gambar juga dapat dijelaskan bahwa pada tahun 980, 990 maupun 000 memberikan kesimpulan bahwa semakin tinggi peubah pendidikan, maka tingkat pendapatan atau gaji akan cenderung lebih besar (tinggi) pada tingkatan kuantil yang lebih tinggi pula. Hal ini dapat mengindikasikan bahwa terjadinya perbedaan gaji yang sangat signifikan berdasarkan tingkat pendidikan seseorang. Gambar Plot Sebaran log-earning pada sebaran kuantil tertentu dengan tingkat kepercayaan 95% dengan peubah pendidikan. Perubahan pada pendugaan kuantil bersyarat pada tahun 980, 990 dan 000 dapat dilihat pada Gambar. Gambar tersebut menunjukkan bahwa pada selang kepercayaan bersama 95% merepresentasikan antara tahun 990 dan 000 tidak terjadi perubahan yang signifikan. Hal ini ditunjukkan oleh plot yang tidak jauh berbeda. Perbedaan yang signifikan Pada analisis regresi kuantil yang hanya menggunakan peubah pendidikan juga dihasilkan plot antara nilai pembobot dengan nilai kepekatan terbobotinya, seperti terlihat pada Gambar 3, 4 dan 5. Pada Gambar 3 terlihat plot antara peubah tersebut terlihat bahwa nilai kepekatan bersyarat terboboti (density weights) dengan nilai pembobot (importance weights) relatif tidak jauh berbeda, yang menandakan bahwa nilai error regresi kuantilnya relatif kecil. Hal

5 4 ini dikarenakan peubah pendidikan yang dikelompokkan berdasarkan tingkat variansi kelas pendidikannya tidak terlalu berbeda jauh sehingga besar gaji yang diperoleh juga tidak berbeda jauh. Gambar 5 Plot antara peubah pendidikan = 0.0 pada sensus tahun 000. Pada Gambar 4 terlihat plot antara peubah tersebut nilai kepekatan bersyarat terboboti (density weights) dengan nilai pembobot (importance weights) terlihat serupa tetapi tidak identik, yang menandakan bahwa nilai error regresi kuantilnya sangat kecil. Hal ini dikarenakan peubah pendidikan yang tingkat variansi pengelompokan data berdasarkan kelas pendidikannya hampir serupa sehingga besar gaji yang diperoleh juga hampir serupa. Gambar 4 Plot antara peubah pendidikan = 0.50 pada sensus tahun 000. Pada Gambar 5 terlihat plot antara peubah tersebut nilai kepekatan bersyarat terboboti (density weights) dengan nilai pembobot (importance weights) terlihat sedikit berbeda tetapi plot ini mempunyai nilai error regresi kuantil yang kecil karena perbedaan plotnya tidak terlalu jauh. Hal ini dikarenakan peubah pendidikan yang dikelompokkan berdasarkan tingkat variansi data dari kelas pendidikannya sedikit berbeda sehingga besar data gajinya juga agak berbeda, akibatnya error yang diperoleh juga sedikit lebih besar dari error data berdasarkan pengelompokkan yang lain. Gambar 5 Plot antara peubah pendidikan = 0.90 pada sensus tahun Perbandingan antara menggunakan seluruh peubah prediktor dengan menggunakan peubah pendidikan Dari dua analisis yang dilakukan, pada analisis data menggunakan seluruh peubah prediktor, diperoleh nilai dugaan dan nilai jarak antar kuantil yang tidak jauh berbeda dengan analisis data menggunakan peubah pendidikan saja, hal ini ditunjukkan pada Tabel dan 3, sehingga dapat disimpulkan bahwa peubah prediktor pengalaman kerja dan penghargaan tidak terlalu berpengaruh dalam memprediksi nilai peubah respon. Karena peubah prediktor pengalaman kerja dan penghargaan tidak terlalu berpengaruh maka peubah tersebut dapat dihilangkan.