BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Tuberkulosis merupakan salah satu penyakit yang telah lama dikenal dan sampai saat ini masih menjadi penyebab utama kematian di dunia. Prevalensi tuberkulosis di Indonesia dan negara-negara berkembang lainnya cukup tinggi. Pada tahun 2006, kasus baru di Indonesia berjumlah lebih dari dan sebagian besar diderita oleh masyarakat yang berada dalam usia produktif (15-55 tahun). Angka kematian karena infeksi tuberkulosis berjumlah sekitar 300 orang per hari dan terjadi lebih dari kematian per tahun. Hal tersebut merupakan tantangan bagi semua pihak untuk terus berupaya mengendalikan infeksi ini. Salah satu upaya penting untuk menekan penularan tuberkulosis di masyarakat adalah dengan melakukan diagnosis dini yang definitif (Yunianti, 2012). Data World Health Organization (WHO) pada tahun 2007 menyatakan jumlah penderita tuberkulosis di Indoneia sekitar orang atau berada diposisi ketiga di dunia setelah India dan Cina. Mycobacterium tuberculosis adalah suatu patogen intraselular yang telah menginfeksi hampir sepertiga dari populasi dunia. Meskipun mayoritas (sekitar 90%) dari orang yang terinfeksi membentuk suatu respon perlindungan dan mediasi sel yang efektif, tidak berkembang menjadi penyakit aktif. Beberapa individu yang terinfeksi Mycobacterium tuberculosis mampu mengendalikan infeksi tetapi tidak sampai infeksi tersebut benar-benar hilang dan menetap menjadi tuberkulosis laten. Perkembangan penyakit tuberkulosis relatif lambat dibandingkan dengan infeksi bakteri dan virus lainnya. Mycobacterium tuberculosis menggandakan diri setiap jam, sementara beberapa patogen telah menggandakan diri beberapakali pada hitungan menit. Perkembangan tuberkulosis laten waktunya mulai dari 1 sam- 1

2 2 pai 5 tahun dengan proses reaktivasi yang lebih lama, sampai sekurang-kurangnya 33 tahun. Namun, dinamika Mycobacterium tuberculosis dalam individu paling sering terjadi pada paru-paru. Selama infeksi, makrofag bisa mati atau membunuh Mycobacterium tuberculosis. Makrofag merupakan sel yang menjadi target utama, namun setelah aktivasi, makrofag dapat membunuh bakteri intraselular dan berpartisipasi dalam proteksi respon sel T (Marino dan Kirschner, 2003). Masalah utama untuk studi tuberkulosis adalah memahami adanya hasil klinis yang berbeda pada individu yang terinfeksi Mycobacterium tuberculosis. Untuk lebih memahami dinamika infeksi Mycobacterium tuberculosis dan imunitas, dibuat pengembangan model matematika temporal yang secara kualitatif dan kuantitatif mencirikan kontrol sistem imun selular selama infeksi. Model dibentuk pada bagian paru-paru untuk mengetahui proses penting aktivasi selular dan permulaan yang terjadi antara makrofag, sel T dan bakteri saat infeksi Mycobacterium tuberculosis (Marino dan Kirschner, 2003). Pada penelitian ini model pada Ibarguen-Mondragon dkk. (2011) dibedah dan dianalisis secara menyeluruh untuk mengetahui pengaruh infeksi Mycobacterium tuberculosis di dalam paru-paru. Analisis model yang dilakukan untuk menentukan titik ekuilibrium bebas infeksi bakteri dan adanya infeksi bakteri. Kemudian ditentukan bilangan reproduksi dasar (R 1 ) untuk menentukan populasi terbebas dari infeksi bakteri atau adanya infeksi bakteri pada populasi dengan melihat parameterparameter yang paling berpengaruh pada perkembangan bakteri. Selain itu juga diberikan simulasi numerik berdasarkan analisis bilangan reproduksi dasar (R 1 ) dan titik ekuilibrium untuk melihat adanya infeksi laten atau aktif tuberkulosis. Selanjutnya model Ibarguen-Mondragon dkk. (2011) dikembangkan dengan mengasumsikan laju infeksi bakteri mengikuti model logistik. Model logistik ini mengasumsikan bahwa infeksi tidak akan bertambah secara terus menerus, tetapi akan mencapai tingkat jenuh yang dikenal dengan kapasitas batas. Model dianalisis untuk mengetahui pengaruh asumsi terhadap model dari segi bilangan reproduksi dasar, titik-titik ekuilibrium dan kestabilan titik-titik ekuilibrium tersebut. Peri-

3 3 laku populasi karena laju infeksi bakteri mengikuti model logistik dapat diketahui melalui simulasi numerik. Model matematika selanjutnya dibentuk dengan menggabungkan jurnal dari Ibarguen-Mondragon dkk. (2011) dan Marino & Kirschner (2003) untuk mengetahui pengaruh infeksi Mycobacterium tuberculosis terhadap sistem imun di dalam paru-paru dan limfa. Model yang dibentuk menambahkan populasi sel dendritik sebagai sistem imun yang lebih efektif mengatasi infeksi Mycobacterium tuberculosis dibandingkan dengan makrofag. Variabel-variabel yang digunakan adalah variabel-variabel minimum yang menunjukkan interaksi antara Mycobacterium tuberculosis dengan sistem imun di dalam paru-paru dan limfa. Kemudian dengan simulasi numerik dapat dilihat parameter-parameter yang paling berpengaruh pada perkembangan bakteri dan pengendalian infeksi laten tuberkulosis Tujuan Penelitian ini bertujuan untuk : 1. Mempelajari model matematika pengaruh infeksi Mycobacterium tuberculosis terhadap sistem imun di dalam paru-paru. 2. Membentuk model matematika pengaruh infeksi Mycobacterium tuberculosis terhadap sistem imun di dalam paru-paru dengan pendekatan logistik. 3. Membentuk model matematika pengaruh infeksi Mycobacterium tuberculosis terhadap sistem imun di dalam paru-paru dan limfa. 4. Melakukan analisis terhadap model yang dibentuk dengan menentukan bilangan reproduksi dasar, titik ekuilibrium dan kestabilan titik ekuilibrium tersebut. 5. Melakukan simulasi numerik model matematika yang telah dibentuk sehingga dapat diketahui pengaruh infeksi Mycobacterium tuberculosis terhadap sistem imun.

4 Manfaat Penelitian Hasil penelitian ini diharapkan dapat : 1. Memberikan acuan dalam menyikapi kasus infeksi Mycobacterium tuberculosis yang terjadi pada individu terutama di bagian paru-paru. 2. Memberikan wawasan bagi peneliti lain yang ingin mengembangkan penelitian tentang model matematika infeksi Mycobacterium tuberculosis di dalam paru-paru dengan melibatkan sistem imun yang lebih kompleks Batasan Masalah Pembahasan masalah dalam skripsi ini dibatasi pada pembentukan model pengaruh infeksi Mycobacterium tuberculosis di dalam paru-paru dan limfa. Penentuan titik ekuilibrium baik titik ekuilibrium bebas infeksi bakteri maupun adanya infeksi bakteri, analisis kestabilan titik-titik ekuilibrium tersebut, bilangan reproduksi dasar dan simulasi numerik untuk model infeksi Mycobacterium tuberculosis terhadap sistem imun di dalam paru-paru. Kemudian untuk model infeksi Mycobacterium tuberculosis di dalam paru-paru dan limfa hanya ditentukan titik ekuilibrium bebas infeksi bakteri dan simulasi numerik berdasarkan model yang telah dibentuk Tinjauan Pustaka Penyusunan model infeksi Mycobacterium tuberculosis dalam skripsi ini merujuk pada jurnal yang dibuat oleh Ibarguen-Mondragon dkk. (2011) dan jurnal dari Marino & Kirschner (2003). Pada jurnal yang dibuat oleh Ibarguen-Mondragon dkk. (2011) diberikan model respon sistem imun terhadap adanya infeksi Mycobacterium tuberculosis di dalam paru-paru, model tersebut dikembangkan dengan mengasumsikan laju infeksi bakteri mengikuti model logistik, kemudian model dianalisis untuk mengetahui perbedaan dari kedua model tersebut. Selanjutnya membentuk model pengaruh infeksi Mycobacterium tuberculosis terhadap sistem imun di dalam paru-paru dan limfa dengan cara menggabungkan jurnal dari Ibarguen- Mondragon dkk, (2011) dan Marino & Kirschner (2003). Pada model ini ditam-

5 5 bahkan populasi sel dendritik sebagai sistem imun yang efektif dalam mengontrol replikasi Mycobacterium tuberculosis. Pada analisis model yang terdapat di dalam jurnal dan pembentukan model matematika, digunakan beberapa sumber pustaka. Untuk penjelasan mengenai model SIR, mengacu pada Brauer dan Castillo-Chavez (2012). Definisi dan teorema mengenai fungsi diferensiabel mengacu pada Perko (1991), sedangkan teorema mengenai letak akar mengacu pada Bartle (2011). Beberapa pengertian dasar sistem persamaan diferensial mengacu pada Perko (1991) dan Olsder (1994). Kemudian definisi mengenai nilai eigen dan vektor eigen mengacu pada Anton (2000). Definisi yang berkaitan dengan linearisasi sistem persamaan diferensial mengacu pada Perko (1991). Kemudian teorema mengenai kestabilan titik ekuilibrium mengacu pada Perko (1991). Teori-teori dasar mengenai himpunan invariant dan fungsi Lyapunov mengacu pada Verhults (1990), Luenberger (1979) dan Becerra (2008), kemudian definisi mengenai matriks Hessian mengacu pada Chong (1996). Selanjutnya pengertian dasar mengenai metode Descartes Rule Of Signs mengacu pada Wiggins (2003). Untuk pengertian mengenai model logistik mengacu pada Brauer dan Castillo-Chavez (2012). Kemudian untuk definisi mengenai bilangan reproduksi dasar mengacu pada van den Driessche dan Watmough (2001). Simulasi numerik dilakukan dengan menggunakan program MATLAB yaitu ODE Metode Penelitian Penelitian tentang model pengaruh infeksi Mycobacterium tuberculosis terhadap sistem imun di dalam paru-paru dan limfa dilakukan dengan cara studi literatur. Penelitian dimulai dengan mengidentifikasi masalah mengenai penyebaran penyakit tuberkulosis yang disebabkan oleh Mycobacterium tuberculosis. Langkahlangkah yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu mencari informasi mengenai proses penularan penyakit tuberkulosis dari satu individu ke individu yang lain. Memahami proses Mycobacterium tuberculosis menginfeksi individu dan respon sistem imun terhadap adanya infeksi Mycobacterium tuberculosis, kemudian berda-

6 6 sarkan informasi yang telah didapatkan, selanjutnya menyusun asumsi-asumsi untuk menyederhanakan model dan mendefinisikan parameter-parameter yang digunakan pada model seperti laju kematian, laju infeksi bakteri, laju reproduksi bakteri dan sebagainya sehingga diperoleh model matematika pengaruh infeksi Mycobacterium tuberculosis terhadap sistem imun di dalam paru-paru dan limfa. Selanjutnya membuat skema pengaruh infeksi Mycobacterium tuberculosis terhadap sistem imun di dalam paru-paru dan limfa berdasarkan model yang telah dibentuk. Kemudian menentukan titik ekuilibrium bebas infeksi bakteri dari model tersebut. Titik ekuilibrium bebas infeksi bakteri ini yang selanjutnya digunakan untuk menentukan bilangan reproduksi dasar. Setelah itu menentukan titik ekuilibrium adanya infeksi bakteri. Titik ekuilibrium bebas infeksi bakteri dan adanya infeksi bakteri ini kemudian dianalisis kestabilannya. Untuk menyelidiki kestabilan lokal dilakukan linearisasi pada sistem dengan menentukan matriks Jacobian di titik ekuilibrium tersebut. Selanjutnya menentukan nilai eigen dari matriks Jacobian untuk menentukan kestabilan titik ekuilibrium berdasarkan definisi kestabilan. Kestabilan titik ekuilibrium secara global ditentukan melalui fungsi Lyapunov. Kemudian melakukan simulasi pada model dengan memberikan nilai parameter-parameter berbeda yang bertujuan untuk mengilustrasikan pengaruh infeksi Mycobacterium tuberculosis terhadap sistem imun. Hasil dari simulasi disajikan dalam bentuk grafik menggunakan program MATLAB yaitu ode45. Pada penelitian ini model yang ada pada jurnal Ibarguen-Mondragon dkk. (2011) dianalisis secara menyeluruh. Kemudian model dikembangkan dengan mengasumsikan laju infeksi bakteri mengikuti model logistik. Selanjutnya berdasarkan jurnal dari Marino & Kirschner (2003) dan Ibarguen-Mondragon dkk. (2011), model kemudian dikembangkan lagi dengan menambah populasi sel dendritik sebagai sistem imun dalam mengontrol replikasi bakteri di dalam paru-paru dan limfa. Keadaan tuberkulosis laten dan tuberkulosis aktif diketahui melalui simulasi numerik berdasarkan jumlah bakteri.

7 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan skripsi ini sebagai berikut : BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi tentang latar belakang masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, batasan masalah, tinjauan pustaka, metode penelitian dan sistematika penulisan yang memberikan arahan terhadap penulisan skripsi ini. BAB II DASAR TEORI Bab ini membahas teori-teori dasar yang digunakan untuk pemecahan masalah pada bab selanjutnya. Bab ini membahas teori-teori tentang model SIR, fungsi diferensiabel, sistem persamaan diferensial, linearisasi sistem persamaaan diferensial, nilai eigen dan vektor eigen, kestabilan titik ekuilibrium, bilangan reproduksi dasar, metode Descartes Rule Of Signs, model logistik, matriks Hessian, himpunan invariant dan fungsi Lyapunov. BAB III ANALISIS DAN SIMULASI NUMERIK MODEL MATEMATIKA PENGARUH INFEKSI Mycobacterium tuberculosis TERHADAP SISTEM IMUN DI DALAM PARU-PARU Bab ini mengupas tuntas model matematika pengaruh infeksi Mycobacterium tuberculosis terhadap sistem imun di dalam paru-paru pada jurnal Ibarguen-Mondragon dkk. (2011). Bagian pertama pada bab ini mengenai Mycobacterium tuberculosis dan penyebaran infeksi Mycobacterium tuberculosis. Selanjutnya diberikan asumsiasumsi, variabel-variabel dan parameter-parameter untuk pembentukan model. Analisis yang diberkan pada bab ini meliputi bilangan reproduksi dasar, titik ekuilibrium bebas infeksi bakteri, titik ekuilibrium adanya infeksi bakteri dan analisis kestabilan disekitar titik-titik ekuilibrium tersebut. Pada bagian terakhir diberikan simulasi numerik yang menunjukkan kondisi tuberkulosis laten dan tuberkulosis aktif berdasarkan jumlah bakteri. BAB IV ANALISIS DAN SIMULASI NUMERIK MODEL MATEMATIKA PENGARUH INFEKSI Mycobacterium tuberculosis TERHADAP SISTEM IMUN DI DALAM PARU-PARU DENGAN PENDEKATAN LOGISTIK

8 8 Bab ini merupakan pengembangan dari bab sebelumnya. Model yang dibentuk mengacu pada bab sebelumnya. Diasumsikan laju infeksi bakteri mengikuti model logistik. Dengan model logistik ini diasumsikan infeksi tidak akan bertambah secara terus menerus. Analisis model pada bagian ini meliputi bilangan reproduksi dasar, titik ekuilibrium bebas infekasi bakteri, titik ekuilibrium adanya infeksi bakteri dan analisis kestabilan disekitar titik-titik ekuilibrium tersebut. Selanjutnya diberikan simulasi numerik yang memberikan gambaran adanya pengaruh asumsi laju infeksi bakteri mengikuti model logistik. BAB V MODEL MATEMATIKA PENGARUH INFEKSI Mycobacterium tuberculosis TERHADAP SISTEM IMUN DI DALAM PARU-PARU DAN LIM- FA Bab ini menyajikan model matematika pengaruh infeksi Mycobacterium tuberculosis terhadap sistem imun di dalam paru-paru dan limfa. Model yang terbentuk dengan menggabungkan jurnal Ibarguen-Mondragon dkk. (2011) dan Marino & Kirschner (2003). Model pada bab ini menambahkan populasi sel dendritik sebagai sistem imun untuk mengontrol replikasi bakteri. Dinamika antara Mycobacterium tuberculosis dan sistem imun ditentukan berdasarkan simulasi numerik, kemudian kondisi tuberkulosis laten dan perkembangan tuberkulosis aktif ditentukan berdasarkan jumlah bakteri. BAB VI PENUTUP Bab ini berisi tentang kesimpulan dan arah penelitian lanjutan.