BAB II STUDI PUSTAKA

Transkripsi

1 BAB II STUDI PUSTAKA 2.1 UMUM Masalah yang dihadapi oleh perusahaan jasa angkutan adalah merencanakan dan menentukan rute yang optimal untuk dioperasikan didalam wilayah kajian. Wilayah kajian dapat dikarakteristikkan sebagai pusat kegiatan yang berbeda-beda. Tiap pusat kegiatan mempunyai karakteristik dan jenis kegiatan masing-masing, sehingga karakteristik tersebut menentukan tingkat pergerakan antar pusat kegiatan. Perusahaan jasa angkutan harus memutuskan pusat-pusat kegiatan yang perlu dihubungkan dan dilayani sehingga rute optimal terbentuk sesuai dengan tujuannya serta dengan mempertimbangkan batasan yang ada. Untuk memudahkan dalam menyelesaikan permasalahan tersebut, maka dapat disederhanakan dengan menggunakan model jaringan. Bab ini memperkenalkan secara umum tinjauan pustaka tentang masalah perencanaan jaringan rute. Peranan penentuan jaringan rute yang optimal akan mempengaruhi pada proses selanjutnya seperti pengaturan frekuensi, kendaraan, dan kru. Dari paragraf sebelumnya maka komponen penting dari perencanaan jaringan rute adalah memodelkan jaringan rute, membuat formulasi matematika dari tujuan dan batasan (fungsi objektif dan constraint), teknik/metoda dalam menyelesaikannya, dan waktu perhitungan. Model jaringan dapat direpresentasikan dengan teori graph, yang akan dijelaskan pada subbab selanjutnya. Formulasi matematika dari masalah adalah mencari nilai minimal atau maksimal pada suatu fungsi untuk pihak pengguna dan atau operator. Dengan formulasi matematika fungsi tujuan yang akan dicapai maka dapat diselesaikan dengan metoda yang tepat, efisien, dan efektif sehingga didapatkan hasil terbaik. II-1

2 2.2 MODEL JARINGAN RUTE Dalam menyelesaikan masalah jaringan, dapat direpresentasikan dengan teori graph (Barnhart, 2003). Dijelaskan bahwa didalam graph, terdiri dari node node yang dihubungkan dengan links atau arcs. Biasanya graph digambarkan sebagai kumpulan titik-titik (melambangkan node) yang dihubungkan oleh garis-garis (melambangkan link). Suatu graph (G) dapat dinyatakan sebagai G = (N, A). Graph G terdiri atas himpunan N dan himpunan A. Himpunan N terdiri dari sekumpulan node pada graph tersebut, N = {1, 2,..., n} dan dalam jaringan dapat direpresentasikan sebagai lokasi, orang atau mesin, kegiatan, dan lain-lain. Himpunan A terdiri dari sekumpulan links/arcs pada graph tersebut, A = {a 1, a 2,..., a m } yang mana masing-masing links menghubungkan 2 node. Dalam graph dapat dikategorikan menjadi dua yaitu undirected graph dan directed graph. Directed graph adalah graph yang mempunyai link berarah, contohnya seperti pada Gambar 2.1 (a) arc a 21 yang berarti dari node 2 ke node 1. Undirected graph adalah graph yang linknya tidak mempunyai arah, contohnya dapat dilihat pada Gambar 2.1 (b) untuk arc a12 yang berarti hanya menghubungkan node 1 dan 2 dan tidak mempermasalahkan arah (a) (b) Gambar 2.1 Contoh dari jenis graph, (a). Directed graph, (b). Undirected graph Sumber: II-2

3 Sebuah graph bisa dikembangkan dengan memberi bobot pada tiap link. Graph berbobot dapat digunakan untuk melambangkan banyak konsep berbeda. Node dan link yang disajikan pada Gambar 2.2 menggambarkan suatu spesifik nilai atau nama, seperti biaya, lokasi, kapasitas, durasi waktu, jarak perjalanan, nilai supply, dan nilai demand dapat digunakan dalam pembobotan/penamaan. Gambar 2.2 Penamaan pada graph Sumber: Sebagai contoh definisi dari graph dan jaringan pada Gambar 2.3 adalah : N = {1,2,3,4,5} dan A = {(1,2),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5),(4,2),(5,4)} Dalam himpunan link untuk directed graph, urutan pasangan node menentukan arah dari link tersebut. Sedangkan sebagai contoh, informasi tambahan dapat didefinisikan dan dinotasikan yaitu: b(i) merepresentasikan supply dan demand di tiap-tiap node i uij merepresentasikan kapasitas dari tiap-tiap arc ij l ij merepresentasikan batas bawah arus untuk tiap-tiap arc ij c ij merepresentasikan biaya dari tiap-tiap arc ij II-3

4 b(1) (c 12, u 12 ) b(2) (c 24, u 24 ) 1 2 b(4) (c 42, u 42 ) 4 (c 25, u 25 ) b(3) (c 54, u 54 ) 3 (c 45, u 45 ) (c 35, u 35 ) 5 b(5) Gambar 2.3 Contoh jaringan dalam graph Sumber: (Barnhart, 2003) Model jaringan dalam bentuk graph banyak diaplikasikan pada berbagai bidang (Barnhart, 2003), yaitu: Jaringan Transportasi Jaringan Komunikasi Jaringan Elektronika Chips Microcomputer Penempatan Staf Job-Shop atau Program Flow Penjadwalan pada Konstruksi, dan lain-lain. Dalam bidang-bidang tersebut mempunyai permasalahan dan tujuan yang berbeda, tetapi mempunyai prinsip dan konsep penyelesaian yang sama. Berikut ini adalah macam-macam permasalahan yang relevan dengan teori graph beserta penjelasannya: II-4

5 1. Jaringan Alir Dari penjelasan tentang graph dan jaringan diatas, maka pada jaringan alir terdapat directed graph G = (N, A) yang mana tiap arc berasosiasi dengan kapasitas uij, dengan node s sebagai asal dan node t sebagai tujuan. Aliran (s, t) adalah sekumpulan arc yang mempunyai nilai x ij, dimana (i, j) A sehingga 0 x ij u ij untuk tiap arc (i, j). Dalam jaringan alir, dibagi menjadi dua permasalahan yaitu: Masalah Arus Maksimum Pada permasalahan ini, mempunyai tujuan yaitu mencari aliran yang feasible dengan mengirimkan muatan maksimal dari node s (asal) ke node t (tujuan). Contoh aplikasinya adalah uji kelayakan transportasi dalam menentukan jalur untuk memindahkan barang dari asal ke tujuan pada jaringan rute dengan kapasitas yang terbatas. Dan masalah assignment (evakuasi bangunan), yaitu menentukan bagaimana mengeluarkan orang dari bangunan dalam periode waktu tertentu. Masalah Minimasi Biaya Untuk minimasi biaya bertujuan menentukan pergerakan dari suatu komoditas dalam jaringan dengan biaya yang minimum sehingga permintaan dan supply pada sekumpulan node terpenuhi. Contoh aplikasinya adalah mendistribusikan suatu produk dari pabrik ke gudang dan menentukan rute kendaraan pada jaringan jalan. 2. Masalah Shortest Path Permasalahan ini mempunyai tujuan yaitu mencari rute yang mempunyai biaya atau jarak minimum antara node asal dan node tujuan, dan mengasumsikan biaya atau jarak berasosiasi pada arc (i, j). Terdapat jaringan G = (N, A) yang mana tiap-tiap arc (i, j) berasosiasi dengan panjang c ij dan menghubungkan antara node s (asal) dan t (tujuan). Contoh dari aplikasi permasalahan ini adalah: 1) perutean kendaraan yaitu menentukan rute terpendek atau tercepat dari suatu armada, 2) II-5

6 VLSI wiring yaitu mencari tundaan yang minimum dari suatu hubungan untuk modul pada microchip, 3) penjadwalan proyek, 4) manajemen aliran keuangan, 5) perutean pesan dalam sistem komunikasi. 3. Masalah Minimum Spanning Tree Pada permasalahan ini mempunyai tujuan untuk meminimalkan biaya dari suatu jaringan graph undirected G = (N, A) yang mana tiap-tiap arc (i, j) berasosiasi dengan biaya, cij. Aplikasi dari permasalahan ini adalah dalam sistem elektronika yaitu menghubungkan panel/modul elektronika sehingga didapat biaya yang minimal. 4. Masalah Assignment Yaitu bertujuan untuk memasangkan antara node-node, N 1 tepat dengan 1 nodenode, N 2 sehingga didapat biaya yang minimal. Aplikasi: menugaskan orang untuk suatu pekerjaan, muatan barang ke kendaraan, pekerjaan ke mesin, dan lain-lain. 5. Masalah Circulation Masalah ini bertujuan untuk mencari feasible flow dengan kondisi batas bawah dan batas atas yang ditentukan oleh aliran xij. Sehingga semua aliran berputar didalam jaringan, sampai ditemukan sirkulasi dengan biaya yang minimum. Contoh aplikasi dari permasalahan ini adalah merencanakan jadwal rute dari maskapai penerbangan komersial yang ingin melayani antara kota i dan j sehingga node tersebut akan merepresentasikan kombinasi antara lokasi dan waktu per hari. 6. Masalah Multicommodity Flow Tujuan dari permasalahan ini adalah mengalokasikan komoditas yang berbeda pada arc yang sama sehingga didapatkan biaya total yang minimal. Contoh aplikasi dari permasalahan ini adalah mendistribusikan dua barang produksi yang berbeda pada pabrik yang sama ke sejumlah gudang atau konsumen. II-6

7 Untuk lebih memahami konsep graph pada jaringan, maka berikut ini adalah contoh penerapan graph pada permasalahan minimasi biaya: Perusahaan A melayani 4 pelanggan dari 3 gudang. Operasional tersebut membutuhkan biaya $cij untuk mengirim barang dari gudang i ke pelanggan j. Pengiriman dari pabrik P ke gudang tidak membutuhkan biaya. Pengiriman barang dari gudang ke pelanggan dilakukan dengan menggunakan truk. Perusahaan A tidak boleh mengirim lebih dari 100 unit barang dari tiap-tiap gudang ke tiap pelanggan. Pada wilayah tersebut ada sejumlah demand, D j barang dari tiap-tiap pelanggan j. Perusahaan A ingin menentukan berapa banyak barang yang harus disimpan ditiap-tiap gudang dan berapa banyak barang yang dikirim dari gudang ke masing-masing pelanggan sehingga biaya dapat diminimalkan. Untuk memodelkan permasalahan tersebut, maka ditentukan notasi yang akan dipakai, yaitu: G = (N, A): jaringan directed graph yang didefinisikan sebagai berikut N adalah sekumpulan node dan A sekumpulan arc yang berarah. N = {W1, W2, W3, A, B, C, D} dan A = {(W1, A), (W1, B),..., (i, j)} c ij : biaya per unit barang pada arus arc (i, j) A. u ij : kapasitas, muatan maksimal pada arus arc (i, j) l ij : batas bawah, muatan minimal pada arus arc (i, j) b(i): supply atau demand pada node i N jika b(i) > 0 => node i adalah node supply jika b(i) < 0 => node i adalah node demand jika b(i) = 0 => node i adalah node perpindahan xij: variabel penentu, merepresentasikan kuantitas arus pada arc (i, j) A II-7

8 Setelah penotasian diatas, maka tahap selanjutnya diterapkan pada konsep graph seperti yang disajikan pada Gambar 2.4. b(i) W 1 (c ij, l ij, u ij ) A D a =100 S=400 P W 2 B D b =50 C D c =80 W 3 D D d =170 Gambar 2.4 Contoh graph pada masalah minimasi biaya Sumber: (Barnhart, 2003) Sedangkan data yang menunjang perumusan masalah disajikan pada Tabel 2.1. Tabel 2.1 Data Biaya pada arc (i, j) Kasus Minimasi Biaya Sumber: (Barnhart, 2003) C ij A B C D W W W Dari permasalahan yang dimodelkan dengan graph diatas, kemudian dapat dirumuskan model optimasi (fungsi objektif dan constraint) sehingga pemilihan metoda beragam bentuknya, dapat kearah metoda algoritma maupun penyelesaian secara linear. Untuk permasalahan diatas dapat digunakan metoda linear. Untuk lebih memahami rumusan matematik model optimasi, maka berikut ini adalah fungsi objektif dan batasan pada persamaan (2.1), (2.2), dan (2.3) untuk permasalahan minimasi biaya diatas: Variabel penentu, xij = arus pada tiap arc II-8

9 Fungsi objektif, Min c ij x ( i, j ) A ij (2.1) Dengan batasan ij ij { f :( i, j ) A } x 0 x x ji { f :( j, i ) A } b, i N i (2.2) x ij u, ( i, j) A ij (2.3) Maka dari contoh diatas dapat disimpulkan bahwa telah banyak orang mengembangkan teori graph untuk membantu dalam menyelesaikan masalah jaringan. Yang membedakan dari masing-masing permasalahan tersebut adalah tujuan yang ingin dicapai oleh suatu pihak dan batasan atau kondisi yang ada maupun ditentukan. Dalam proses menyelesaikan permasalahan tersebut tujuan dan batasan tersebut dapat dirumuskan secara matematika, yang biasa (dalam Sistem Rekayasa) disebut model optimasi berupa fungsi objektif dan constraint. Berkaitan dengan masalah transportasi, khususnya masalah perutean moda transportasi maka setelah tahap memodelkan jaringan dengan teori graph dilanjutkan dengan perumusan matematik fungsi objektif dan constraint. 2.3 RUMUSAN MODEL OPTIMASI Dalam merumuskan suatu model optimasi, terdiri dari dua komponen yaitu tujuan (objective) dan batasan/kendala (constraint) yang keduanya merupakan fungsi dari variabel penentu (decission variabel). Untuk itu akan dibahas lebih lanjut pada paragraf dibawah ini (Natakusumah, 2004): Tujuan Dalam merumuskan suatu model optimasi, maka harus ditentukan tujuan yang akan dicapai. Tujuan dalam perumusan model optimasi dikenal sebagai fungsi tujuan/objektif. Contohnya dalam bidang teknik secara umum, tujuan ini dapat berupa: II-9

10 Meminimasi biaya investasi pipa pada jaringan pipa dan elektronika Memaksimalkan pendapatan bus pada jaringan jalan, dan lain-lain Batasan Penyelesaian suatu model optimasi umumnya mempunyai banyak alternatif penyelesaian dan setiap penyelesaian tersebut harus bersifat layak (feasible). Layak disini berarti masih berada dalam batas. Diantara berbagai penyelesaian yang layak tersebut, maka dapat dipilih yang optimal. Batasan dalam perumusan model optimasi biasanya berupa fungsi persamaan/pertidaksamaan. Batasan tersebut dapat berupa: a) Persediaan sumberdaya yang terbatas Selama semua sumberdaya dalam suatu sistem itu tersedia dalam jumlah yang tak terbatas, maka tak perlu dilakukan analisa optimasi untuk sistem tersebut. Analisa optimasi hanya dilakukan apabila pada sistem tersebut terdapat satu atau lebih sumberdaya yang mempunyai persediaan terbatas. b) Kebutuhan minimum yang harus dipenuhi Dalam setiap sistim yang menyangkut sumber-kebutuhan, maka akan ada kebutuhan-kebutuhan tertentu yang mempunyai batas minimum yang harus dipenuhi. Selama kebutuhan-kebutuhan minimum tersebut dapat dipenuhi, berarti ada penyelesaian layak (feasible). c) Persaingan berbagai tujuan Berbagai tujuan dapat bersaing dalam memakai suatu sumber daya tertentu. Sebagai contoh bisa disebutkan bahwa dalam penentuan rute kendaraan dapat bersaing antara tujuan mendapatkan keuntungan secara materi dan melayani kebutuhan pergerakan masyarakat dalam memanfaatkan sarana (kendaraan) dan prasarana yang tersedia Rumusan Matematik Model Optimasi Dari komponen-komponen model optimasi yang telah dijelaskan diatas, maka dapat dirumuskan model optimasi pada persamaan (2.4) sebagai berikut: II-10

11 Opt z( x) f ( x) atau Min z( x) f ( x) Max z( x) f ( x) (2.4) terhadap variabel penentu x = (x 1, x 2, x 3,,x m ) pembatas gi(x) ( ) 0, i = 1,2,3,, m batasan dengan pertidaksamaan hj(x) = 0, j = 1,2,3,, n batasan dengan persamaan Dengan beberapa keterangan tambahan yaitu: 1. Optimasi dilakukan dengan salah satu dari dua cara berikut Min z(x) = f(x) Max z(x) = f(x) Minimumkan Fungsi Tujuan, atau Maksimumkan Fungsi Tujuan 2. Fungsi z(x) disebut fungsi objektif yang menunjukkan performansi sistem jika diberi sejumlah harga variabel tertentu. 3. Variabel x = (x1,x2,,xm) T disebut variabel penentu yang dicari sehingga didapatkan harga z(x) yang optimum. 4. Constraint gi(x) dan hj(x) menunjukkan sejumlah kondisi tertentu yang harus dipenuhi oleh variabel penentu. Berikut adalah contoh bagaimana suatu model optimasi dirumuskan pada kasus distribusi barang seperti pada gambar dibawah. Suatu perusahaan ingin mendistribusikan contoh barang kepada konsumen sebagai tester. Untuk meminimalkan biaya dari pendistribusian, maka diputuskan menggunakan jaringan suplai eksisting. Tujuan selanjutnya adalah meminimalkan jarak tempuh dari masing-masing barang. Jaringan eksisting tersebut direpresentasikan dengan graph yang terdiri dari sekumpulan node, N. Definisikan [N] = n, sehingga contoh barang diantarkan ke masing-masing n-1 kota dalam II-11

12 jaringan disribusi. Untuk menggambarkan hubungan antar node direpresentasikan dengan arcs, A, dan waktu tempuh terdapat disepanjang hubungan tersebut, yang dimulai pada node i dan menghubungkan ke node j, dengan notasi Tij. Jika node 0 sebagai pusat pendistribusian barang, bagaimana rumusan dari masalah diatas agar contoh barang tersebut didistribusikan sejumlah satu pada tiap-tiap tujuan. 1 D=1 S=3 0 2 D=1 S=supply D=demand 3 D=1 Gambar 2.5 Contoh graph pada masalah distribusi barang 1. Perumusan Tujuan Tujuan dalam model optimasi dikenal sebagai fungsi tujuan (objective function). Dalam persoalan diatas terdapat berbagai kemungkinan mengenai fungsi tujuan yang ingin dicari, tetapi untuk contoh kasus dipakai fungsi tujuan meminimumkan biaya. 2. Variabel Penentu Variabel penentu adalah variabel yang nilainya secara langsung akan menentukan nilai dari fungsi tujuan. Dalam persoalan diatas terdapat variabel penentu yaitu x ij = aliran pada tiap arc. 3. Batasan Dalam persoalan diatas terdapat berbagai faktor yang membatasi yaitu kapasitas maksimum dan minimum serta harus mengantarkan hanya satu barang ke masing-masing tujuan. II-12

13 Sehingga dapat dirumuskan model optimasinya pada persamaan (2.5), (2.6), dan (2.7), beserta dengan data yang dibutuhkan di Tabel 2.2. Tabel 2.2 Data Biaya pada arc (i, j) Kasus Distribusi Barang Node\T ij Fungsi Objektif, Min T ij x ( i, j) A ij (2.5) Min (16x x x x x x x x32) (2.6) Subject to ij ij { f :( i, j ) A } x 0 x x ji { f :( j, i ) A } b, i N i (2.7) -1x 01-1x 02-1x 03 = -3 1x 01-1x 12-1x 13 +1x x 31 = 1 1x02 + 1x12-1x21-1x23 + 1x32 = 1 1x03 + 1x13 +1x23-1x21-1x32 = 1 x 01, x 02, x 03, x 12, x 13, x 21, x 23, x 31, x 32 0 Setelah perumusan model optimasi pada dicontoh diatas, maka dapat diselesaikan dengan metoda yang sesuai, salah satunya adalah metoda linear. Fungsi objektif dan batasan berbeda untuk masalah-masalah yang ada dari berbagai penelitian yang orang lakukan. Begitu juga untuk mencari nilai parameter sistem yang paling optimal digunakan berbagai metoda optimasi yang berbeda seperti linear programming, non-linear programming, dynamic programming, metoda heuristik maupun metaheuristik, dan lain-lain. Oleh karena itu, akan dibahas lebih lanjut II-13

14 mengenai model optimasi dan metoda yang digunakan oleh orang lain dalam menyelesaikan permasalahan, khususnya masalah penentuan rute pada subbab selanjutnya. 2.4 DASAR PENDEKATAN METODA Banyak metoda telah dikembangkan untuk menyelesaikan berbagai macam permasalahan optimasi. Untuk itu perlu dikelompokkan dengan baik metoda-metoda tersebut agar sesuai dengan permasalahan yang sedang dihadapi (Natakusumah, 2004). Berikut adalah pengelompokkan model optimasi berdasarkan permasalahan yang dihadapi, yaitu: 1. Model Optimasi Deterministik : Model optimasi dimana persoalan atau sistem yang perilakunya tidak mengandung unsur probabilitas atau ketidak pastian. 2. Model Optimasi Stokastik : Model optimasi dimana persoalan atau sistem yang perilakunya mengandung unsur probabilitas atau ketidak pastian. Dengan permasalahan yang direpresentasikan dengan model optimasi diatas pada Gambar 2.6, maka selanjutnya adalah bagaimana menyelesaikan dengan menggunakan metoda yang tepat. Untuk itu dalam menyelesaikannya dapat digunakan dua pendekatan metoda, yaitu: 1. Pendekatan Metoda Analitik Metoda ini menggunakan dasar teori matematika dan memberikan hasil eksak namun hanya dapat digunakan untuk masalah optimasi yang sederhana saja karena pada beberapa masalah yang lebih kompleks pengolahan matematikanya sangat tidak sederhana. 2. Pendekatan Metoda Numerik Metoda optimasi numerik berkembang sejak ditemukannya komputer sebagai alat bantu hitung. Dalam metoda ini nilai yang akan dicari didekati dengan cara iterasi dan proses iterasi dihentikan apabila nilai yang dicari sudah cukup dekat dengan titik optimal yang sesungguhnya. II-14

15 Sehingga dari penjelasan diatas dapat diilustrasikan pada Gambar 2.7 menjadi sebagai berikut: Permasalahan Penyelesaian Metoda Analitik Model Optimasi Deterministik Metoda Numerik Model Optimasi Metoda Analitik Model Optimasi Stokastik Metoda Numerik Gambar 2.6 Bagan pengelompokkan model optimasi Linear Programming Pendekatan Metoda Pendekatan Metoda Analitik Integer Programming Non-Linear Programming Pendekatan Metoda Numerik Combinatorial Programming Heuristik Programming Gambar 2.7 Bagan pengelompokkan pendekatan metoda II-15

16 Sumber: Dari bagan diatas akan dijelaskan beserta penerapan metoda pada permasalahan oleh orang lain, yaitu sebagai berikut: Pendekatan Metoda Analitik Beberapa contoh dari metoda analitik akan dijelaskan sebagai berikut: a) Linear Programming Mempelajari permasalahan yang fungsi objektifnya adalah linear dan sekumpulan solusi yang menggunakan persamaan dan pertidaksamaan linear. Dalam program linear dimana fungsi objektif yang akan dioptimasi adalah linear dan semua variabel harus mempunyai hubungan linear. Dalam merumuskan permasalahan sebagai program linear, maka harus dilakukan pengecekan seperti kondisi dibawah ini: a. Fungsi objektif harus linear. Periksa juga apakah semua variabel mempunyai pangkat 1 dan merupakan penambahan atau pengurangan (bukan pembagian atau perkalian). b. Tujuan harus merupakan maksimasi atau minimasi dari fungsi linear. c. Constraint yang ada harus mempunyai hubungan linear. Selain itu, harus diikuti dengan bentuk persamaan atau pertidaksamaan. d. Kepastian (certainty), koefisien dalam fungsi tujuan dan fungsi kendala dapat diketahui dengan pasti dan tidak berubah. (Barnhart, 2003) dengan metoda linear perusahaan jasa angkutan ingin menentukan performansi dari pelayanannya. Perusahaan tersebut mempunyai 4 jenis moda berbeda dengan data jumlah penumpang dan biaya operasional per trip. Fungsi objektif yang diminta adalah memaksimumkan jumlah penumpang (Um) dengan rumusan Um1*X1+ Um2*X Umn*Xn dan variabel penentu, X n = jumlah trip dengan moda n, serta batasan anggaran biaya harian (Rp.5000,-) II-16

17 dan rumusan biaya (c n ): c 1 *X 1 +c 2 *X c n *X n. Sehingga bisa digeneralisasikan sebagai berikut: M = sekumpulan moda ri = rata-rata penumpang per trip untuk moda i c i = rata-rata biaya per trip untuk moda i Fungsi objektif maksimalkan ( r X i Subject to i M i ) (2.8) i M c i X i 5000 X i R +, i M (2.9) b) Integer Programming Mempelajari program linear dari beberapa atau semua variabel yang mempunyai constraint berupa nilai integer Pendekatan Metoda Numerik Metoda numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Pendekatan yang digunakan dalam metoda numerik merupakan pendekatan analisis matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar jauh dari dasar pemikiran analitis, hanya saja teknik perhitungan yang mudah merupakan pertimbangan dalam pemakaian metoda numerik. Mengingat bahwa algoritma yang dikembangkan dalam metoda numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan kata lain perhitungan dalam metoda numerik adalah perhitungan yang dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus diperoleh hasil yang makin mendekati nilai penyelesaian eksak. Perhatikan salah bentuk formulasi pada persamaan (2.10) dibawah dalam metoda numerik adalah: x n = x n-1 + x n-1 (2.10) II-17

18 Terlihat bahwa hasil iterasi ke-n adalah hasil iterasi ke n - 1 (sebelumnya) dengan ditambah x n-1 yang merupakan nilai perbaikan. Sehingga dapat dikatakan bahwa semakin banyak iterasi yang digunakan, maka nilainya semakin mendekati nilai eksak atau semakin baik hasil yang diperoleh. Persoalan-persoalan yang biasa diangkat dalam metoda numerik adalah persoalanpersoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan metoda analitik, antara lain: Menyelesaikan persamaan non linier Menyelesaikan persamaan simultan atau multi-variabel Menyelesaikan differensial dan integral Interpolasi dan Regresi Masalah multi variabel untuk menentukan nilai optimal Berikut merupakan beberapa metoda penyelesaian dengan pendekatan numerik: a) Non-Linear Programming Mempelajari kasus umum dengan fungsi objektif dan constraint atau keduanya yang mengandung unsur non-linear. b) Combinatorial Programming Metoda yang menitikberatkan pada masalah dimana sekumpulan solusi yang feasible merupakan masalah diskrit. c) Heuristic Programming Dalam ilmu komputer, algoritma heuristik atau heuristik sederhana adalah algoritma yang menelusuri solusi optimal dengan keunggulan dari sisi waktu pengerjaan. (Dhingra, 1980) mengemukakan pendekatan heuristik untuk menghasilkan jaringan rute angkutan dimana rute terpendek dihasilkan dengan menggunakan II-18

19 minimum path algorithm. Kriteria untuk mengevaluasi alternatif rute termasuk memaksimalkan kilometer penumpang yang beroperasi, rata-rata kepadatan pada jalur dan memaksimasikan koefisien kegunaan rute melebihi dari berbagai alternatif rute. (Mandl, 1984) menggunakan algoritma heuristik untuk menemukan rute yang optimal pada sekumpulan rute yang layak dan mengurangi rata-rata biaya yang digunakan pada rute. Rute yang baru ini dibandingkan dengan rute yang lama berdasarkan performansinya dan jika lebih baik maka diterima dan prosedur pencarian dilakukan sampai perbaikan yang baru didapatkan. (Sandeep Seshan Iyer, 2003) pada penelitian ini, algoritma heuristik ini dikembangkan untuk menelusuri dan mengidentifikasi tindakan yang dipilih dalam masalah desain rute bus. Metoda pencarian mengevaluasi tiap segmen selanjutnya yang ditambahkan ke rute dalam konteks dimana nilai dari segmen tersebut dan juga nilai keputusan nanti serta peluang untuk segmen selanjutnya, yang dinamakan forward searching heuristik. Total keseluruhan aksesbilitas maksimal dari sistem adalah dihitung menggunakan jaringan minimum path antara tiap pasangan node dan menambahkan aksesbilitas dari semua segmen rute. Kualitas dari mendesain jaringan adalah didapatkan dari membandingkan bagian dari manfaat total yang didapatkan dari heuristik dengan bagian dari biaya yang diadakan dengan jaringan minimum path yang dikenakan. (Indra Pertiwi, 2005) dalam permasalahan mengefisienkan operasional adalah dengan membentuk satu himpunan rute yang lebih efisien dan menugaskan kapal pada rute yang tepat. Penentuan rute dan penugasan kapal dipecahkan dengan pendekatan set covering heuristik. Pendekatan ini terdiri atas dua tahap yaitu pertama, pembangkitan rute dan penugasan kapal yang layak untuk setiap kapal dan kedua, memilih rute dan penugasan kapal yang terbaik. Kriteria performansi pada penelitian ini adalah meminimalkan total biaya perjalanan. Solusi yang diperoleh dari pendekatan yang dihasilkan adalah total biaya perjalanan yang lebih kecil dibandingkan keadaan eksisting. II-19

20 Baru-baru ini perkembangan dalam desain jaringan terlihat seperti teknik evolusi yaitu algoritma genetika, Artificial Neural Networks, dan Artificial Intelligence berdasarkan pendekatan. Pendekatan ini akan didiskusikan dengan detail dibawah ini dan sejumlah makalah dan penelitian akan diulas untuk menjelaskan bagaimana masalah perutean telah berkembang seiring dengan waktu. Algoritma genetika (Dhingra, 1980) adalah algoritma pencarian yang mana bekerja dengan memulai dari populasi awal yang merepresentasikan solusi-solusi dari masalah. Tiap solusi didalam populasi disebut kromosom, dan telah berasosiasi dengan suatu nilai disebut fungsi fitness yang berkontribusi menghasilkan populasi baru dengan bantuan operator genetika (dinamakan seleksi, crossover, dan mutasi). Model algoritma genetika menggunakan tahapan berikut untuk menyelesaikan masalah jaringan rute. Tahap pertama populasi P dibangkitkan secara acak yangmana tiap individu/kromosom didalam populasi mewakili solusi. Tahap selanjutnya tiap individu dievaluasi sehingga didapatkan nilai fungsi objektif. Pada tahap ketiga fungsi objektif diubah ke fungsi fitness dengan menghitung fitness untuk masingmasing individu pada populasi. Individu dengan nilai fitness tertinggi akan mempunyai probabilitas yang tinggi juga untuk terpilih sebagai kandidat dalam proses selanjutnya. Penerapan dari operator genetika seperti seleksi, crossover, dan mutasi pada populasi saat itu akan menghasilkan populasi baru. Tahapan dasar dalam menemukan rute terbaik diberikan oleh kandidat rute dalam algoritma dibawah ini: 1. Membangkitkan rute untuk tiap pasangan node terminal 2. Membangkitkan rute dengan menemukan jalur terpendek antara node asal dan tujuan 3. Mengevaluasi minimum dan maksimum dari batasan panjang rute. Jika rute memenuhi syarat batasan, maka rute tersebut diambil sebagai kandidat solusi. II-20

21 4. Membangkitkan alternatif rute dengan memperhatikan setiap link pada link terpendek yang dibangkitkan pada tahap 2 dan dengan menemukan jalur terpendek antara asal dan tujuan. 5. Mengevaluasi masing-masing alternatif rute, apakah memenuhi batasan atau tidak seperti: a) eksistensi rute, b) duplikat dari rute yang ada, c) overlap dengan rute terpendek, d) panjang rute maksimum, e) rute memutar maksimum. Jika rute memenuhi batasan tersebut maka alternatif rute tersebut sebagai kandidat rute. 6. Rangking semua rute Algoritma genetika membuat kode yang merepresentasikan solusi masalah. Individu dari rute-rute tersebut dipertimbangkan sebagai variabel. Nilai variabel dapat dijadikan indeks performan dari individu rute, seperti kumulatif permintaan atau kilometer penumpang dari sebuah rute. Dengan demikian, dari penjelasan pendekatan metoda diatas dapat disimpulkan bahwa suatu permasalahan dapat diselesaikan dengan metoda yang sesuai. Permasalahan dalam tugas akhir ini merupakan masalah jejaring yang melibatkan banyak alternatif solusi sehingga direkomendasikan untuk menggunakan pendekatan metoda numerik Dasar Pemikiran Menggunakan Metoda Numerik Dalam menyelesaikan masalah jaringan dalam tugas akhir ini, dipakai pendekatan metoda numerik, dengan alasan yang akan dijelaskan selanjutnya. Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan yang terlebih dahulu diperhatikan, apakah permasalahan tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak. Hal ini menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa. Sebagai contoh perhatikan integral pada persamaan (2.11) berikut ini. (2.11) II-21

22 Integral di atas terlihat tidak terlalu panjang, tetapi untuk menyelesaikan integral tersebut bukan permasalahan yang mudah bahkan dapat dikatakan tidak mungkin. Tetapi bukan berarti integral tersebut tidak mempunyai penyelesaian, hanya saja menyelesaikan integral semacam itu sangat sulit dan kalaupun bisa memerlukan pengetahuan matematis yang tinggi dan waktu yang cukup lama. Dengan dasar inilah dapat dikatakan bahwa diperlukan suatu metoda tertentu yang dapat digunakan untuk menghitung integral tersebut. Meskipun metoda tersebut tidak dapat menghasilkan nilai yang eksak (tepat), setidaknya sudah mendekati nilai yang diharapkan. Sehingga diperlukan metodametoda pendekatan untuk dapat memperoleh akar yang dapat dikatakan benar. Metoda tersebut adalah metoda numerik, yaitu metoda yang menggunakan analisis pendekatan untuk menghasilkan nilai yang diharapkan. Persoalan lain adalah bagaimana menentukan fungsi polynomial yang terbaik yang dapat mewakili suatu data. Secara analitik, untuk memperoleh fungsi polynomial dari jumlah data yang kecil (< 20) masih bisa dilakukan, tetapi untuk jumlah data yang besar sulit sekali dilakukan karena akan membutuhkan waktu yang sangat lama. Untuk itulah digunakan perhitungan komputer, dan pemakaian metoda numerik menjadi penting artinya untuk menyelesaikan permasalahan ini. Selain adanya persoalan-persoalan di atas, seiring dengan perkembangan pemakaian komputer sebagai alat bantu dalam menyelesaikan persoalan, maka pemakaian metoda analitik terkadang sulit diterjemahkan ke dalam algoritma yang dapat dimengerti oleh komputer. Sehingga metoda numerik yang memang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaian persoalan-persoalan perhitungan yang rumit. Dalam penerapan matematis untuk menyelesaikan persoalan-persoalan perhitungan dan analisis, ada beberapa keadaan dan metoda yang digunakan untuk menghasilkan penyelesaian yang baik adalah: (1). Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau ada teorema analisa matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan tersebut, maka penyelesaian matematis (metoda analitik) adalah penyelesaian II-22

23 eksak yang harus digunakan. Penyelesaian ini menjadi acuan bagi pemakaian metoda pendekatan. (2). Bila persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaikan secara matematis (analitik) karena tidak ada theorema analisa matematik yang dapat digunakan, maka dapat digunakan metoda numerik. Dasar pemilihan metoda tersebut dijelaskan sebagai berikut: - Metoda numerik dikembangkan untuk menelusuri dan mengidentifikasi solusi yang dipilih pada masalah. Metoda ini bercara kerja menghitung satu per satu kemungkinan sehingga memiliki kecocokan dengan permasalahan jaringan. - Metoda numerik tidak disibukkan dengan perumusan masalah secara matematis. Poin ini menjadikan kelebihan metoda numerik untuk dapat diterapkan pada setiap permasalahan jaringan. - Sedangkan metoda analitik cenderung mengeksploitasi fungsi permasalahan tanpa melihat ruang solusi. Akibatnya metoda ini menuntut perumusan masalah dalam bahasa matematis secara tepat. - Pengolahan secara inklusif pada metoda analitik menyebabkan solusi yang dicapai tidak dapat mewakili kondisi sebenarnya. Contohnya, nilai variabel tercapai tidak dapat menjelaskan pergerakan yang terjadi dalam jaringan. - Pada beberapa kasus jaringan, metoda analitik dapat digunakan dalam kondisi jaringan yang sudah ditetapkan. Seperti permasalahan distribusi barang yang pada setiap node sudah ditentukan nilai suplai dan demand, begitu juga dengan link yang menghubungkan antar node. - Pada permasalahan jaringan yang belum ditetapkan, kesulitan penamaan node antara rute yang terbentuk dan sekumpulan ruas bisa menimbulkan kerancuan. Maka yang terjadi permasalahan akan sangat kompleks untuk dirumuskan sehingga metoda analitik dirasa kurang tepat untuk diterapkan. Dari penjelasan diatas, maka dipilih pendekatan metoda numerik (metoda heuristik) yaitu metoda algoritma Djikstra dan algoritma genetika untuk menyelesaikan II-23

24 permasalahan jaringan. Kedua metoda ini memiliki kelebihan dapat memecahkan sejumlah kasus jaringan yang kompleks. Hal inilah yang mendasari penggunaan metoda dalam permasalahan yang dihadapi. Untuk kelebihan dan kekurangan dari masing-masing metoda akan dijelaskan dengan contoh pada bab selanjutnya. 2.5 RESUME Dalam studi pustaka ini mencoba untuk menyajikan penelitian orang lain yang relevan dalam masalah perencanaan jaringan rute. Membutuhkan waktu yang cukup lama dalam menentukan literatur yang akan dipakai untuk menyelesaikan permasalahan tersebut karena kesulitan memodelkan masalah dengan metoda yang tepat. Untuk menentukan model dan metoda penyelesaian masalah yang tepat, maka dipakai bahan pertimbangan sebagai berikut: Kajian utama permasalahan merupakan persoalan menentukan rute yang optimal dari suatu moda transportasi dalam melayani kebutuhan pergerakan pada wilayah kajian dengan menggunakan sumber daya yang terbatas. Untuk memudahkan dalam menyelesaikan permasalahan tersebut, maka dapat disederhanakan dengan menggunakan model jaringan, yang dapat direpresentasikan dengan teori graph. Selain itu komponen penting dari perencanaan jaringan rute adalah membuat formulasi matematika dari tujuan (fungsi objektif) dan batasan, serta teknik/metoda dalam menyelesaikannya. Pendekatan pada fungsi objektif secara umum memberikan banyak pilihan pada sejumlah metoda untuk memecahkannya. Untuk itu, dilakukan pendekatan terhadap metoda sebagai alat yang dirasa memiliki keefektifan untuk menangani permasalahan. Metoda berbasis algoritma dipandang memiliki nilai ketertarikan tersendiri untuk dikembangkan, hal tersebut mendasari pemakaian metoda ini untuk menyelesaikan masalah. Dengan menggunakan metoda algoritma genetika akan membantu menyelesaikan permasalahan dengan hasil yang bisa diterima dan waktu perhitungan yang relatif singkat (didukung oleh teknologi komputer). Sebagai pembanding dengan metoda algoritma tersebut, maka digunakan salah satu metoda yang sederhana. II-24