oleh DODI RAHARJO M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

Transkripsi

1 PROSES OPTIMASI DA IDEALISASI MASALAH PEUGASA MULTI-OBJECTIVE MEGGUAKA METODE HUGARIA PADA COTOH KASUS USAHA KERAJIA GITAR DI GROMBO BAKI SUKOHARJO oleh DODI RAHARJO M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM UIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2010

2 SKRIPSI PROSES OPTIMASI DA IDEALISASI MASALAH PEUGASA MULTI-OBJECTIVE MEGGUAKA METODE HUGARIA PADA COTOH KASUS USAHA KERAJIA GITAR DI GROMBO BAKI SUKOHARJO yang disiapkan dan disusun oleh DODI RAHARJO IM M Pembimbing I, dibimbing oleh Pembimbing II, Dra Diari Indriati, MSi IP Drs Pangadi, MSi IP telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Kamis, tanggal 23 Desember 2010 dan dinyatakan telah memenuhi syarat Anggota Tim Penguji Tanda Tangan 1 Drs Tri Atmojo K, MSc, PhD IP Titin Sri Martini, SSi, MKom IP Drs Santosa B W, MSi IP Disahkan oleh Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan Ketua Jurusan Matematika Prof Drs Sutarno, MSc, PhD IP ii Drs Sutrima, MSi IP

3 ABSTRAK Dodi Raharjo 2010 PROSES OPTIMASI DA IDEALISASI MASALAH PEUGASA MULTI-OBJECTIVE MEGGUAKA METODE HUGARIA PADA COTOH KASUS USAHA KERAJIA GITAR DI GROMBO BAKI SUKOHARJO Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Surakarta Masalah umum penugasan meliputi n tugas yang harus ditetapkan kepada m pekerja dimana setiap pekerja mempunyai kompetensi yang berbeda dalam menyelesaikan setiap tugas Banyak penelitian telah dikembangkan untuk memecahkan masalah penugasan Akan tetapi sebagian besar dari metode dikembangkan untuk masalah penugasan yang hanya mempertimbangkan satu tujuan Masalah penugasan multi-objective adalah suatu masalah penugasan yang mempunyai beberapa tujuan pengoptimalan terhadap beberapa jenis sumber daya yang dimiliki oleh setiap pekerja untuk menyelesaikan setiap tugas Penelitian ini bertujuan untuk mencari pendekatan dalam memecahkan masalah penugasan multi-objective dengan metode Hungaria guna memperoleh hasil penugasan yang optimal maupun penugasan dengan arah ideal, yaitu menetapkan setiap tugas sehingga setiap pekerja memiliki rata-rata loading atau dapat menyelesaikan tugas dengan besar sumber daya yang hampir sama Contoh kasus pada penelitian ini menggunakan data primer yang diambil dari proses wawancara terhadap pengusaha gitar di wi layah grombo Baki dan sekitarnya Berdasarkan dari hasil penelitian, pendekatan proses optimasi dan idealisasi yang diperoleh berfungsi untuk mengubah bentuk masalah penugasan multi-objective ke dalam bentuk persamaan linier Dengan menormalkan semua data yang ada dan menyesuaikan bobot di masing-masing tujuan, pendekatan yang disediakan pada kenyataannya adalah suatu bentuk umum pada masalah penugasan sederhana yang dapat disel esaikan menggunakan metode Hungaria iii

4 ABSTRACT Dodi Raharjo 2010 THE OPTIMIZED AD IDEALIZED PROCESS OF MULTI-OBJECTIVE ASSIGMET PROBLEM USIG HUGARIA METHOD OF THE EXAMPLE CASE O THE GUITAR IDUSTRY I GROMBO BAKI SUKOHARJO Faculty of Mathematics and atural Sciences Sebelas Maret University A general assignment problem includes n tasks which must be specified to m workers which every worker has different competence in finishing the tasks Many researches have been developed to solve the assignment problem evertheless, big parts of the method are develope d for the assignment problem that only considers about one-objective The multi-objective assignment problem is an assignment problem that has several optimized purposes to th e several human sources owned by the workers in finishing the tasks This research is aimed for searching an approach in solving the multiobjectives assignment problem with Hungarian method for getting the optimal result or the ideal assignment, it is deciding the tasks so every worker has the loading rates or able to finish the task with the big human sources that almost the same The example case of this research uses primary data taken from the interview process with the guitar industrialist in g rombo, Baki and the surroundings Based on the research result, approaching for the optimized and idealized process gained has function for changing the multi-objective assignment problem s form into linear equation s form With normalizing all of the data and adjust the integrity in each objective, the provided approach in fact is a general form to the simple assignment problem that can be solved using Hungarian method iv

5 MOTTO v

6 PERSEMBAHA Karya sederhana ini kupersembahkan untuk : vi

7 KATA PEGATAR Alhamdulillah, segala puji hanya milik Allah SWT yang telah memberikan nikmat dan karunia-ya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada : 1 Dra Diari Indriati, MSi selaku Pembimbing I yang telah meluangkan waktu untuk berbagi ilmu dan membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini 2 Drs Pangadi, MSi selaku Pembimbing II yang telah meluangkan waktu untuk berbagi ilmu dan membimbing penulis dalam menyelesa ikan skripsi ini 3 Seluruh rekan-rekan angkatan 2006 yang telah menemani dan berjuang bersama-sama di Matematika 4 Rekan-rekan Jurusan Matematika dan rekan -rekan di rumah yang telah membantu memberikan motivasi dan fasilitasnya dalam menyelesaikan skripsi ini 5 Dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, yang telah membantu dalam menyelesaikan skripsi ini Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi para pembaca, dan semoga Allah SWT membalas semua kebaikan dan bantuan yang penulis terima Amin Surakarta, Desember 2010 Penulis vii

8 DAFTAR ISI JUDUL PEGESAHA ABSTRAK ABSTRACT MOTTO PERSEMBAHA KATA PEGATAR DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR LAMPIRA BAB I PEDAHULUA 11 Latar Belakang Masalah 12 Perumusan Masalah 13 Batasan Masalah 14 Tujuan Penelitian 15 Manfaat Penelitian BAB II LADASA TEORI 21 Masalah Penugasan Sederhana (One-Objective) 22 Model Matematis Masalah Penugasan Sederhana 23 Metode Hungaria 24 Kerangka Pemikiran BAB III METODE PEELITIA BAB IV PEMBAHASA 41 Masalah Penugasan Multi-Objective 411 Proses Optimasi 412 Proses Idealisasi BAB V PEUTUP 51 Kesimpulan 52 Saran i ii iii iv v vi vii viii x xi viii

9 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRA ix

10 DAFTAR TABEL Tabel 21 Matriks Biaya Operasi Tabel 41 Biaya, Waktu dan Kualitas Penyelesaian Gitar Tabel 42 Matriks Biaya Operasi Tabel 43 Hasil Perhitungan Langkah Pertama Tabel 44 Hasil Perhitungan Langkah Kedua Tabel 45 Hasil Penutupan Semua ilai ol Tabel 46 Hasil Perhitungan Langkah Keempat Tabel 47 Hasil Perbaikan Pertama Tabel 48 Hasil Perbaikan Kedua Tabel 49 Data Waktu Operasi dari Pekerja Tabel 410 Data Kualitas Hasil Penyelesaian Gitar Tabel 411 Data Penormalan Biaya, Waktu dan Kualitas Tabel 412 Hasil Proses Optimasi dari Contoh Sebelumnya Tabel 413 Hasil Proses Idealisasi dari Contoh Sebelumnya x

11 DAFTAR LAMPIRA Lampiran 1 : Penyelesaian yang Hanya Mempertimbangkan Waktu Operasi Lampiran 2 : Penyelesaian yang Mempertimbangkan Kualitas Lampiran 3 : Penyelesaian yang Mempertimbangkan Biaya dan Waktu Operasi Lampiran 4 : Penyelesaian yang Mempertimbangkan Biaya, Waktu dan Kualitas Lampiran 5 : Idealisasi Waktu Operasi dengan t ID = 7 Lampiran 6 : Idealisasi Biaya Operasi dan Waktu Operasi dengan c ID = 3114 dan t ID = 7 Lampiran 7 : Idealisasi Biaya, Waktu dan Kualitas Operasi dengan c ID = 3114, t ID = 7 dan q ID = xi

12 BAB I PEDAHULUA 11 Latar Belakang Masalah Pesatnya perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi dewasa ini menuntut adanya kemampuan manusia dalam mempertimbangkan segala kemungkinan sebelum mengambil keputusan/tindakan Pertimbanganpertimbangan naluriah atau dengan perkiraan-perkiraan kualitatif yang sederhana pada dasarnya hanya dapat dipertanggungjawabkan untuk keputusan -keputusan yang sederhana pula Suatu keputusan dalam dunia usaha yang mengandung resiko besar, pertimbangan naluriah saja belum cukup untuk dijadikan patokan dalam pengambilan keputusan Sehingga perlu didukung adanya perhitungan - perhitungan yang matang agar resiko kerugian dapat diminimalkan Pada keadaan seperti ini, peranan matematika menjadi sangat penting artinya dalam menentukan pertimbangan untuk mengambil suatu keputusan Salah satu bagian dari matematika terapan yang dapat dijadikan pertimbangan untuk pengambilan keputusan adalah program linear (linear programming) yang merupakan suatu model yang dapat digunakan untuk pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal (Taha, 1996) Pendekatan riset operasi merupakan metode ilmiah yang secara khusus proses ini dimulai dengan mengamati dan merumuskan masalah dan kemudian membangun suatu model ilmiah (yang khas matematis) yang berusaha untuk mengabstraksikan inti dari persoalan yang sebenarnya (Hiller, 1990) Salah satu bagian dari program linear yang dapat dijumpai dalam kehidupan sekitar adalah masalah penugasan ( Assignment Problem) Masalah umum penugasan meliputi n tugas yang harus ditetapkan kepada m pekerja dimana setiap pekerja memiliki kompetensi yang berbeda dalam menyelesaikan setiap tugas Tujuan dari masalah penugasan adalah untuk menetapkan setiap tugas yang sesuai pada peker ja sehingga total pengeluaran sumber daya untuk menyelesaikan semua tugas dapat diminimalkan 1

13 2 Masalah penugasan multi-objective yaitu suatu masalah penugasan yang mempunyai beberapa tujuan pengoptimalan terhadap beberapa jenis sumber daya yang dimiliki oleh pekerja dalam menyelesaikan tugas Salah satu metode dalam menyelesaikan persoalan ini adalah algoritma Brute Force, di mana dalam algoritma ini seluruh kemungkinan solusi diperhi tungkan sebagai kandidat solusi dan algoritma penyelesaiannya menggunakan kompleksitas fakt orial Tentu saja hal ini menggunakan sumber daya yang sangat besar dan penyelesaian dengan metode ini menjadi tidak efisien Beberapa penelitian juga telah dikembangkan untuk memecahkan masalah penugasan Munir (2004) memberikan penyelesaian solusi optimal masalah penugasan yang dinyatakan sebagai graf bipartit berbobot dengan menerapkan konsep matching Akan tetapi, pada dasarnya pencarian perfect matching graf bipartit lengkap berbobot dapat dilakukan dengan mendaftar semua perfect matching yang berbeda, dan menghitung jumlah bobot dari tiap perfect matching yang diperoleh Banyaknya perfect matching yang berbeda pada suatu graf bipartit lengkap dengan n pada masing-masing partisinya adalah n!, sehingga tidak efisien jika cara ini digunakan, karena semakin banyak jumlah simpul maka semakin banyak pula perfect matching yang berbeda Chiao-Pin Bao et al (2007) memberikan sebuah pendekatan baru pada masalah penugasan multiobjective dengan menggunakan metode pemrograman 0-1 Tsai et al (1999) memecahkan multi-objective pengambilan keputusan masalah yang terkait dengan biaya, waktu, dan kualitas dengan konsep fuzzy Sayangnya, pendekatan yang diberikan menggunakan metode yang relatif komplek s Alternatif lain untuk memecahkan masalah penugasan ini adalah dengan menggunakan metode Hungaria dengan matriks, akan tetapi metode ini hanya dapat diterapkan pada bentuk pemrograman linear ( one-objective) Pada penelitian ini akan dicoba menerapakan metode Hungaria untuk mencari solusi optimal dari contoh kasus masalah penugasan multi-objective Selain itu peneliti juga tertarik memecahkan masalah bagaimana menetapkan penggunaan sumber daya dari setiap pekerja ke arah yang ideal (idealisasi), sehingga setiap pekerja memiliki rata-rata loading atau dapat menyelesaikan tugas dengan besar sumber daya yang hampir "sama"

14 3 12 Perumusan Masalah Sejalan dengan fakta-fakta yang diungkapkan pada latar belakang di atas, maka permasalahan utama dalam penelitian ini adalah sebagai berikut 1 Bagaimana memecahkan masalah penugasan multi-objective untuk mendapatkan solusi yang optimal? 2 Bagaimana menetapkan penggunaan sumber daya dari setiap peke rja ke arah yang ideal? 3 Bagaimana mengaplikasikan pendekatan proses optimasi dan idealisasi pada contoh kasus nyata? 13 Batasan Masalah Pada penelitian ini, pembahasan masalah dibatasi oleh hal -hal sebagai berikut 1 Data yang digunakan berupa bilangan bulat 2 Masalah penugasan multi-objective yang diteliti mempunyai tujuan optimasi yang sama, yaitu diminimumkan atau dimaksimalkan 3 Metode yang digunakan dalam p enyelesaian masalah adalah metode Hungaria dengan matriks 14 Tujuan Penelitian Berdasarkan perumusan masalah di atas, maka tujuan dari penelit ian ini adalah sebagai berikut 1 Dapat memecahkan masalah penugasan multi-objective untuk mendapatkan solusi yang optimal 2 Dapat menetapkan penggunaan sumber daya dari setiap pekerja k e arah yang ideal 3 Dapat mengaplikasikan pendekatan proses optimasi dan proses idealisasi pada contoh kasus nyata

15 4 15 Manfaat Penelitian Dengan penelitian ini diharapkan dapat memahami lebih jauh mengenai program linear masalah penugasan multi-objective dan dapat memberikan solusi yang relatif sederhana dalam pemecahan masalah tersebut Selain itu solusi yang diperoleh diharapkan dapat menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan nyata

16 BAB II LADASA TEORI 21 Masalah Penugasan Sederhana (One-Objective) Masalah penugasan sederhana adalah masalah penugasan yang hanya mempunyai satu tujuan optimasi, yaitu memaksimalkan atau meminimalkan suatu sumber daya (pendapatan, biaya, jarak, atau waktu) yang digunakan untuk menyelesaikan tugas Hillier (1990: 242) menyatakan bahwa masalah penugasan merupakan jenis khusus pemrograman linear dimana sumber -sumber dialokasikan kepada kegiatan-kegiatan atas dasar satu-satu (one-to-one basis) Jadi setiap sumber atau petugas (assignee) (misalnya, karyawan, mesin, atau satuan waktu) ditugasi secara khusus kepada suatu kegiatan atau tugas (misalnya, suatu pekerjaan, lokasi, atau kejadian) Ada suatu biaya c ij yang berkaitan dengan petugas i (i = 1, 2,, m) yang melakukan tugas j (j = 1, 2,, n), sehingga tujuannya ialah untuk menentukan bagaimana semua tugas harus dilakukan untuk meminimumkan total biaya Masalah umum penugasan meliputi n tugas yang harus ditetapkan kepada m pekerja dimana setiap pekerja memiliki kompetensi yang berbeda dalam menyelesaikan setiap tugas Tujuan dari masalah penugasan adalah untuk menetapkan setiap tugas yang sesuai pada pekerja sehingga total pengeluaran sumber daya untuk menyelesaikan semua tugas dapat diminimalkan ataupun pendapatan yang diperoleh dapat dimaksimalkan (Chiao-Pin Bao et al, 2007:123) Jadi, masalah penugasan akan mencakup sejumlah m pekerja yang mempunyai n tugas Dengan asumsi m = n, sehingga ada n! (n faktorial ) penugasan yang mungkin dalam suatu masalah karena berpasangan satu -satu Apabila pekerja i ( i = 1, 2, m ) ditugaskan kepada tugas j ( j = 1, 2, n ) maka akan muncul biaya penugasan c i,j, sehingga sudah jelas bahwa tujuan dari penugasan adalah mencari penggunaan total biaya yang minimum dari semua pekerja dalam menyelesaikan semua tugas Banyak cara untuk memecahkan 5

17 6 masalah penugasan diantaranya adalah dengan konsep fuzzy, graf bipartit (matching algorithm), software Lindo, QM for Windows, POM for Windows dan metode Hungaria 22 Model Matematis Masalah Penugasan Sederhana Dengan mempertimbangkan situasi penugasan m pekerja ke n tugas Ketika pekerja i (i = 1, 2,, m) ditugaskan ke tugas j ( j = 1, 2,, n), maka pekerja i dalam menyelesaikan tugas j memerlukan biaya c ij Sehingga tujuannya adalah menugaskan/menetapkan pekerja -pekerja tersebut ke tugas-tugas (satu pekerja per satu tugas) dengan biaya total terend ah Suatu masalah umum penugasan yang hanya berkaitan dengan biaya operasi dapat direpresentasikan seperti Tabel 21 Ada n tugas yang akan ditugaskan untuk m pekerja, c ij adalah biaya operasi pekerja i untuk melaksanakan tugas j Tabel 21 Matriks Biaya Operasi Tugas Pekerja j n 1 C11 C12 C13 C1j C1n 1 2 C21 C22 C23 C2j C2n 1 3 C31 C32 C33 C3j C3n 1 i Ci1 Ci2 Ci3 Cij Cin 1 m Cm1 Cm2 Cm3 Cmj Cmn Bila pada suatu masalah ditemui adanya jumlah tugas (kolom) dan pekerja (baris) yang berbeda, maka untuk menyamakan jumlahnya perlu ditambahkan suatu variabel dummy, yaitu ditambahkan suatu tugas (kolom) dummy jika jumlah tugas (kolom) lebih kecil daripada jumlah pekerja (baris) dan ditambahkan suatu pekerja (baris) dummy jika jumlah pekerja (baris) lebih kecil daripada jumlah tugas (kolom) Penambahan baris ataupun kolom dummy ini merupakan langkah awal dalam pembuatan tabel/matriks penugasan agar dapat di selesaikan

18 7 menggunakan metode Hungaria Dengan demikian diasumsikan bahwa jumlah pekerja sama dengan jumlah tugas ( m = n) Dengan demikian, fungsi objektif pada persoalan penugasan ini dapat dituliskan sebagai berikut (Taha, 1996: 226) Minimumkan Z x ij 1, 0, m i 1 n j 1 x x ij ij m n i 1 j 1 c ij x ij 1; j 1,2, n 1; i 1,2, m jika pekerja i ditetapkan pada tugas j jika pekerja i tidak ditetapkan pada tugas j (21) Jika tujuan berfokus pada "penyelesaian waktu, maka semua notasi c ij dalam Tabel 21 diganti dengan t ij yaitu waktu yang dibutuhkan pekerja i untuk melakukan tugas j Terdapat dua kasus berbeda yang dapat dipertimbangkan dalam menyelesaikan waktu operasi a) Peminimalan total waktu operasi Dalam hal ini, masing-masing pekerja bebas melaksanakan tugas kapanpun, sehingga tujuannya adalah untuk meminimumkan total waktu operasi Situasi seperti ini mirip dengan masalah penugasan sederhana yang hanya berhubungan dengan operasi biaya amun, untuk membedakan dari masalah biaya minimal, maka digunakan notasi t ij yaitu waktu yang dibutuhkan pekerja i untuk melaksanakan tugas j, digunakan untuk menggantikan c ij melaksanakan tugas j sebagai berikut yaitu biaya yang diperlukan pekerja i untuk Maka tujuan fungsi dalam (21) dapat ditulis Minimumkan T i 1 j 1 t ij x ij (22) b) Peminimalan waktu penyelesaian proyek Sekarang diasumsikan bahwa tiap -tiap pekerja mulai melaksanakan tugas dengan waktu yang ber samaan, sehingga tujuannya adalah akan

19 8 memperkecil waktu penyelesaian proyek Kemudian fungsi tujuan dalam (21) harus ditulis ulang menjadi : Min T maks { t ij x 1} (23) ij 23 Metode Hungaria Metode Hungaria adalah sebuah algoritma kombinasional untuk optimasi yang dapat digunakan untuk menemukan solusi optimal dari permasalahan personnel assignment problem (Kuhn, 1955) Algoritma ini diberi nama Hungarian Method yang didasarkan pada hasil ker ja dua orang matematikawan asal Hungaria, yaitu Denes Konig dan Jeno Egervary Penggunaan prosedur metode Hungaria dengan matriks berbobot terdiri dari 3 tahap, yaitu penyusunan matriks/tabel penugasan, analisis kelayakan penetapan optimum, dan penyusunan ulang matriks Masalah penetapan (assignment problem) adalah suatu masalah mengenai pengaturan pada individu (objek) untuk melaksanakan tugas (kegiatan), sehingga dengan demikian biaya yang dikeluarkan untuk pelaksanaan tugas tersebut dapat diminimalkan (Soemartojo, 1994:309) Anton (1988:59) menyatakan bahwa masalah penetapan tugas mensyaratkan bahwa pekerja sama banyaknya dengan tugas, misalkan sama dengan n Dalam hal ini maka ada n! cara yang berlainan untuk menetapkan tugas kepada pekerja berdasarkan p enetapan satu-satu (one-to-one basis) Banyaknya penetapan ini adalah n!, karena terdapat n cara untuk menetapkan tugas pertama, n 1 cara untuk menetapkan tugas kedua, n 2 cara untuk menetapkan tugas ketiga, dan seterusnya yang jumlah seluruhnya adala h n(n 1)(n 2)21 = n! Sehingga metode Hungaria adalah metode yang dapat digunakan untuk menentukan solusi penetapan yang optimal dari n! penetapan yang mungkin Dalam penyelesaianya, secara umum masalah penugasan dibagi menjadi dua yaitu masalah maksimalisasi dan minimalisasi Langkah -langkah proses penyelesaian masalah penugasan menggunakan metode Hungaria dengan matriks adalah sebagai berikut

20 9 a) Masalah Minimalisasi Langkah-langkah penyelesaian dengan metode Hungaria untuk masalah minimalisasi adalah sebagai berikut 1 Identifikasi dan penyederhanaan masalah dalam bentuk matriks/tabel penugasan 2 Ditentukan nilai terkecil dari setiap baris, kemudian mengurangkan setiap nilai dalam baris tersebut dengan nilai terkecilnya 3 Diperiksa apakah setiap kolom telah mempunyai nilai nol Bila sudah dilanjutkan ke langkah 4; bila belum, dilakukan penentuan nilai terkecil dari setiap kolom yang belum mempunyai nilai nol, kemudian setiap nilai pada kolom tersebut dikurangkan dengan nilai terkecilnya 4 Dilakukan penutupan semua nilai nol dengan menggunakan garis vertikal/horizontal seminimal mungkin Bila jumlah garis sudah sama dengan jumlah baris atau kolom, maka tabel telah optimal Jika jumlah garis belum sama dengan jumlah baris atau kolom, maka di lanjutkan ke langkah 5 5 Ditentukan nilai terkecil dari nilai -nilai yang tidak tertutup garis Lalu semua nilai yang tidak tertutup garis dikurangkan dengan nilai terkecil tersebut, dan nilai yang tertutup oleh dua garis ditambahkan dengan nilai terkecil tersebut 6 Kembali ke langkah 4 b) Masalah Maksimalisasi Langkah-langkah penyelesaian dengan metode Hungaria untuk masalah maksimalisasi adalah sebagai berikut 1 Identifikasi dan penyederhanaan masalah dalam bentuk matriks/tabel penugasan 2 Ditentukan nilai terbesar dari setiap baris, kemudian nilai terbesar tersebut dikurangkan dengan setiap nilai dalam barisnya 3 Diperiksa apakah setiap kolom telah mempunyai nilai nol Bila sudah dilanjutkan ke langkah 4; bila belum, dilakukan penentuan nilai

21 10 terkecil dari setiap kolom yang belum mempunyai nilai nol, kemudian setiap nilai pada kolom tersebut dikurangkan dengan nilai terkecilnya 4 Dilakukan penutupan semua nilai nol dengan menggunakan garis vertikal/horizontal seminimal mungkin Bila jumlah garis sudah sama dengan jumlah baris atau kolom, maka tabel telah optimal Jika jumlah garis belum sama dengan jumlah baris atau kolom, maka dilanjutkan ke langkah 5 5 Ditentukan nilai terkecil dari nilai nilai yang tidak tertutup garis Lalu semua nilai yang tidak tertutup garis dikurangkan dengan nilai terkecil tersebut, dan nilai yang tertutup oleh dua garis ditambahkan dengan nilai terkecil tersebut 6 Kembali ke langkah 4 24 Kerangka Pemikiran Dalam penelitian ini akan dicari pendekatan untuk memecahkan masalah penugasan multi-objective menggunakan metode Hungaria Masalah penugasan multi-objective yaitu suatu masalah penugasan yang mempunyai beberapa tujuan pengoptimalan terhadap beberapa jenis sumber daya yang dimiliki oleh pekerja dalam menyelesaikan tugas, sehingga tuj uannya adalah menetapkan setiap tugas kepada setiap pekerja sedemikian rupa sehingga total dari tiap -tiap sumber daya yang digunakan secara bersamaan untuk menyelesaikan tugas tersebut dapat dioptimalkan maupun ditetapkan ke arah yang ideal Langkah pertama yang dilakukan adalah dengan mempelajari sifat dan cara penyelesaian pada masalah penugasan sederhana ( one objective) yang sudah ada, maka langkah berikutnya akan diambil contoh kasus masalah penugasan multi-objective Dari contoh kasus yang ada kemud ian akan dilakukan beberapa cara proses penyelesaian, Misalnya : (a) penyelesaian kasus yang hanya mempertimbangkan salah satu sumber daya saja, sedangkan hasil penyelesaian sumber daya yang lain mengikuti sumber daya yang diteliti, (b) penyelesaian kasus dengan mempertimbangkan semua sumber daya yang ada secara bersamaan Diketahui bahwa masing -masing sumber daya mempunyai satuan

22 11 ukur yang berbeda, maka semua jenis data tidak bisa secara langsung dioperasikan bersama-sama ke dalam satu fungsi objektif Seh ingga langkah pertama untuk memecahkan masalah semacam ini adalah dengan menormalkan semua data terlebih dahulu, kemudian dimodifikasi sedemikian rupa agar dapat diselesaikan dengan metode yang sudah ada (metode Hungaria) Dari beberapa cara proses penyelesaian yang ada, kemudian dibandingkan hasilnya, sehingga dapat dijadikan pertimbangan dalam menentukan pengambilan keputusan untuk menyelesaikan masalah penugasan multi-objective Setelah pendekatan optimasi yang terbaik diperoleh, maka selanjutnya menyelesaikan bagaimana menetapkan penggunaan masing -masing sumber daya setiap pekerja ke arah yang ideal Dengan alasan dalam dunia nyata, manajer mungkin ingin menetapkan tugas -tugas sehingga setiap pekerja memiliki rata-rata loading atau dapat menyelesaikan tugas dengan waktu atau biaya yang hampir sama Dalam situasi yang demikian, suatu sumber daya yang ideal diatur sedemikian hingga bahwa total sumber daya operasi dari proyek akan lebih sedikit jika besar sumber daya yang digunakan dari setiap pekerja dekat dengan nilai ideal sumber daya yang sudah ditetapkan Dalam menyelesaikan masalah penugasan yang ideal, terlebih dahulu harus ditentukan nilai ideal dari masing - masing sumber daya yang ada, kemudian dari nilai tersebut akan digunakan sebagai acuan untuk menetapkan setiap tugas pad a setiap pekerja dengan masingmasing sumber daya yang mendekati nilai ideal yang sudah ditentukan sebelumnya Dari pendekatan yang sudah diperoleh, kemudian akan diaplikasikan pada situasi yang nyata, seperti pada bidang industri kerajinan/mebel, dimana s etiap pekerja/kelompok dalam menyelesaikan suatu bentuk -bentuk kerajinan memerlukan biaya, waktu maupun kualitas penyelesaian yang berbeda -beda Dengan mengetahui kemampuan dari masing -masing pekerja/kelompok dalam menyelesaikan pekerjaanya, maka dapat dit entukan penugasan yang tepat agar diperoleh hasil yang optimal maupun ideal

23 BAB III METODE PEELITIA Metode yang ditempuh dalam penelitian ini adalah metode teoritik/studi literatur yaitu dengan cara mempelajari karya -karya ilmiah yang telah dihimpun dari hasil penelitian para pakar baik yang disajikan pada seminar maupun yang telah dimuat di dalam jurnal maupun buku Dalam penelitian ini, penjelasan teori dilakukan dengan menggunakan contoh kasus Studi kasus dilakukan pada usaha kerajinan gitar di wilayah grombo Baki Sukoharjo dan pengambilan data dilakukan melalui proses wawancara Langkah-langkah penelitian yang digunakan untuk mencapai tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut A Asumsi-asumsi dalam pengambilan data pada contoh kasus 1 Pengambilan data dilakukan secara acak dari para pengrajin gitar yang mampu memproduksi banyak jenis gitar yang diinginkan 2 Jumlah karyawan pada setiap pengrajin/tempat produksi diabaikan 3 Data yang diambil berupa biaya dan waktu yang diperlukan dalam pembuatan per sepuluh gitar dari tiap jenis yang diinginkan beserta kualitas yang dihasilkan 4 Jumlah data yang diambil untuk tempat produksi dan jenis gitar yang diinginkan masing-masing adalah 5 (lima) Hal ini dimaksudkan agar mempermudah dalam perhitungan secara manual B Proses Optimasi 1 Melihat kembali definisi dan metode -metode penyelesaian dalam masalah penugasan sederhana 2 Mengambil contoh masalah penugasan multi-objective dengan satuan masing-masing komoditi tidak sama 3 Menyelesaikan masalah penugasan multi-objective dengan menggunakan salah satu sumber daya yang ada, sedangkan solusi penet apan pada sumber daya yang lain mengikuti solusi yang diteliti 12

24 13 4 Melakukan penormalan/memodifikasi data sehingga dapat diterapkan pada program linear masalah penugasan sederhana 5 Menyelesaikan masalah penugasan multi-objective dengan mempertimbangkan semua sumber daya secara bersamaan dan menggunakan data yang sudah dinormalkan 6 Membandingkan hasil dari beberapa proses penyelesaian di atas, kemudian menentukan solusi yang terbaik C Proses Idealisasi 1 Menggunakan contoh masalah penugasan yang sudah ada 2 Menentukan nilai ideal dari masing-masing sumber daya dan menormalkan semua data yang ada 3 Diasumsikan nilai ideal diambil dari rata -rata pada masing-masing sumber daya, dengan nilai bulat 4 Memecahkan masalah, sehingga penetapan penggunaan sumber daya dari setiap pekerja menuju ke arah yang ideal

25 BAB IV PEMBAHASA 41 Masalah Penugasan Multi-Objective Masalah penugasan multi-objective adalah suatu masalah penugasan yang mempunyai beberapa tujuan pengoptimalan terhadap beberapa jenis sumber daya yang dimiliki oleh pekerja dalam menyelesaikan tugas Agar lebih mudah untuk memahami masalah penugasan ini, maka digunakan contoh kasus dalam situasi nyata Contoh Kasus Seorang pengusaha ingin mendirikan sebuah toko peralatan musik khusus gitar di wilayah Surakarta, pengusaha menginginkan tokonya menyed iakan 5 (lima) jenis gitar yang dominan, yaitu cukelele/kencrong (A), gitar mini akust ik (B), gitar jumbo akustik (C), gitar melodi elektrik (D) dan gitar bass elektrik (E) untuk dipasarkan ke berbagai tempat tujuan Untuk memenuhi permintaan barang tersebut, maka pengusaha melakukan penelitian ke beberapa tempat produksi kerajinan gitar di wilayah grombo Baki Sukoharjo dan sekitarnya, untuk dijadikan pemasok barang k ebutuhan bagi tokonya Dipilih lima tempat produksi yang mampu membuat kelima jenis gitar tersebut yaitu tempat usaha Bp Riyanto (1), Bp Supriyanto (2), Sdr Rochim (3), Bp Mul (4) dan Sdr Yusuf (5) dan kemudian dilakukan wawancara Mengingat latar belakang, kualitas hasil dan jumlah tenaga kerja masing-masing tempat produksi gitar tersebut berbeda-beda, maka disusunlah Tabel 41 yang menunjukkan penetapan biaya pembuatan per sepuluh gitar (dalam ribuan rupiah), waktu pembuatan (dalam satuan hari kerja) dan kualitas hasil (sangat bagus (SB), bagus (B), cukup bagus (CB), kurang bagus (KB)) dari masing-masing tempat produksi terhadap kelima jenis gitar tersebut 14

26 15 Tabel 41 Biaya, Waktu dan Kualitas Penyelesaian Gitar Gitar Pengusaha A B C D E SB B CB SB CB B CB CB B CB SB SB B B B SB B SB B KB SB B SB B CB c ij (ribuan Rp) t ij (hari) q ij dimana c ij adalah biaya yang digunakan oleh tempat usaha i untuk menyelesaikan jenis gitar j, t ij adalah waktu yang diperlukan oleh tempat usaha i untuk menyelesaikan jenis gitar j, dan q ij adalah kualitas yang dihasilkan oleh tempat usaha i terhadap jenis gitar j Terdapat beberapa proses penyelesaian yang dapat dijadikan pertimbangan dalam menentukan keputusan untuk memecahkan masalah penugasan multi-objective

27 Proses Optimasi a) Penyelesaian yang hanya mempertimbangkan biaya operasi Jika proses penyelesaian masalah penugasan ini hanya mempertimbangkan biaya operasi yaitu bagaimana menetapkan tugas agar total biaya operasi dapat minimum, maka fungsi tujuan dalam (21) dapat ditulis kembali sebagai berikut Minimumkan C i 1 j 1 c ij x ij (41) dimana C adalah total biaya operasi dari pekerja, c ij adalah biaya dari pekerja i untuk menyelesaikan tugas j dan x ij adalah variabel keputusan Karena hanya mempertimbangkan biaya operasi saja, maka hasil keputusan untuk waktu operasi dan kualitas harus mengikuti hasil keputusan dari penetapan biaya operasi Dengan menggunakan data pada Tabel 41 akan dicari solusi penetapan dengan hanya menggunakan biaya operasi yang ditunjukkan pada Tabel 42 Penyelesaian : Tempat Produksi Tabel 42 Matriks Biaya Operasi Jenis Gitar A B C D E Minimumkan C = 420x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 55 (42)

28 17 Kendala : x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 = 1 x 11 + x 21 + x 31 + x 41 + x 51 = 1 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 = 1 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 + x 52 = 1 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 = 1 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 + x 53 = 1 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 + x 45 = 1 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 + x 54 = 1 x 51 + x 52 + x 53 + x 54 + x 55 = 1 x 15 + x 25 + x 35 + x 45 + x 55 = 1 Solusi penetapan diselesaikan dengan menggunakan metode Hungaria dengan langkah-langkah sebagai berikut 1) Menentukan nilai terkecil dari setiap baris pada Tabel 42, lalu mengurangi semua nilai dalam baris tersebut dengan Tempat Jenis Gitar Produksi A B C D E nilai terkecilnya Hasil perhitungan langkah pertama ini dapat dilihat pada Tabel 43 Tempat Produksi Tabel 43 Hasil Perhitungan Langkah Pertama Jenis Gitar A B C D E ) Memeriksa apakah setiap kolom telah mempunyai nilai nol Karena pada kolom B, C, D, dan E belum mempunyai nilai nol, maka dilakukan penentuan nilai terkecil dari setiap kolom tersebut, kemudian setiap nilai pada kolom tersebut dikurangi dengan nilai terkecilnya Hasil perhitungan langkah kedua dapat dilihat pada Tabel 44 Tabel 44 Hasil Perhitungan Langkah Kedua

29 18 3) Melakukan penutupan semua nilai nol dengan menggunakan garis vertikal/horizontal seminimal mungkin Bila jumlah garis sudah sama dengan jumlah baris/kolom, maka tabel telah optimal Jika jumlah garis belum sama dengan jumlah baris/kolom, maka dilanjutkan ke langkah selanjutnya Hasil dari langkah ketiga dapat dilihat pada Tabel 45 Tempat Produksi Tabel 45 Hasil Penutupan Semua ilai ol Jenis Gitar A B C D E Tabel 45 menunjukkan jumlah garis belum sama dengan banyaknya baris/kolom, maka tabel belum optimal dan harus dilakukan langkah selanjutnya 4) Menentukan nilai terkecil dari nilai -nilai yang tidak tertutup garis, kemudian semua nilai yang tidak tertutup garis dikurangkan dengan nilai terkecil tersebut, akan tetapi nilai yang tertutup oleh dua garis ditambahkan dengan nilai terkecil tersebut, kemudian dilakukan penutupan semua nilai 0 dengan menggunakan garis seminimal mungkin Hasil perhitungan ini ditunjukkan pada Tabel 46 Tempat Produksi Tabel 46 Hasil Perhitungan Langkah Keempat Jenis Gitar A B C D E

30 19 Tabel 46 masih menunjukkan jumlah garis belum sama dengan banyaknya baris/kolom, maka langkah keempat diulangi kembali 5) Mengulangi kembali proses pada langkah keempat dan diperoleh hasil perbaikan yang ditunjukkan pada Tabel 47 Tempat Produksi Tabel 47 Hasil Perbaikan Pertama Jenis Gitar A B C D E Tabel 47 juga masih menunjukkan jumlah garis belum sama dengan banyaknya baris/kolom, maka langkah keempat diulangi kembali 6) Mengulangi kembali proses pada langkah kee mpat dan diperoleh hasil perbaikan kedua yang ditunjukkan pada Tabel 48 Tempat Produksi Tabel 48 Hasil Perbaikan Kedua Jenis Gitar A B C D E * * 3 0 * * * 0 Tabel 48 menunjukkan bahwa jumlah garis yang menutupi semua nilai nol sudah sama dengan jumlah baris/kolom pada tabelnya, sehingga tabel sudah optimal Dengan demikian penentuan penugasan sudah dapat dilakukan Penentuan ini dimulai dari baris /kolom yang hanya mempunyai satu nilai nol Solusi/keputusan yang diperoleh adalah

31 20 x 12 * = x 25 * = x 31 * = x 43 * = x 54 * = 1 Dengan menyesuaikan variabel hasil keputusan ( x ij ) pada tabel mula-mula (Tabel 41), maka diperoleh total biaya dan total waktu yang dibutuhkan untuk membuat 5 (lima) jenis gitar tersebut adalah sebagai berikut Total biaya operasi : C = = 9100 (ribuan ripiah) Total waktu operasi : T = = 36 hari Dengan kualitas hasil penyelesaian pada jenis gitar A adalah cukup bagus, B adalah bagus, C adalah bagus, D adalah kurang bagus dan E adalah bagus b) Penyelesaian yang hanya mempertimbangkan waktu operasi Jika proses penyelesaian masalah penugasan ini hanya mempertimbangkan waktu operasi yaitu bagaimana menetapkan tugas agar total waktu operasi dapat minimum Maka fungsi tujuannya adalah sebagai berikut Minimumkan T i 1 j 1 t ij x ij (43) Dimana T adalah total waktu operasi dari pekerja dan t ij adalah waktu yang diperlukan oleh tempat usaha i untuk menyelesaikan jenis gitar j Karena hanya mempertimbangkan waktu operasi saja, maka hasil keputusan untuk biaya operasi dan kualitas harus mengikuti hasil keputusan dari penetapan waktu operasi Dengan menggunakan data waktu operasi pada Tabel 41 akan dicari solusi penetapan yang optimal Data waktu operasi pekerja ditunjukkan pada Tabel 49

32 21 Tempat Produksi Tabel 49 Data Waktu Operasi dari Pekerja Jenis Gitar A B C D E Minimumkan T = 7x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 55 (44) Kendala : x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 = 1 x 11 + x 21 + x 31 + x 41 + x 51 = 1 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 = 1 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 + x 52 = 1 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 = 1 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 + x 53 = 1 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 + x 45 = 1 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 + x 54 = 1 x 51 + x 52 + x 53 + x 54 + x 55 = 1 x 15 + x 25 + x 35 + x 45 + x 55 = 1 Solusi penetapan diselesaikan den gan menggunakan metode Hungaria dan langkah-langkahnya dapat dilihat di Lampiran 1 S olusi yang diperoleh dari persamaan (44) adalah x 15 * = x 21 * = x 33 * = x 44 * = x 52 * =1 Dengan menyesuaikan variabel hasil keputusan ( x ij ) pada tabel mula-mula (Tabel 41), maka diperoleh total biaya dan total waktu yang dibutuhkan untuk membuat 5 (lima) jenis gitar tersebut adalah sebagai berikut Total biaya operasi : C = = (ribuan rupiah) Total waktu operasi : T = = 29 hari Dengan kualitas hasil penyelesaian pada jenis gitar A adalah bagus, B adalah cukup bagus, C adalah bagus, D adalah bagus dan E adalah cukup bagus

33 22 c) Penyelesaian yang hanya mempertimbangkan kualitas Jika proses penyelesaian masalah penugasan ini hanya mempertimbangkan kualitas yaitu bagaimana menetapkan tugas agar diperoleh kualitas hasil yang maksimal dari masing -masing jenis gitar Untuk mengevaluasi kriteria kualitas, maka langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengkuantifikasi kan kriteria kualitas tersebut Karena permintaan kualitas adalah maksimal/terbaik, maka kualitas yang terbaik harus dinilai dengan angka yang terkecil (seperti rangking), agar proses tujuannya menjadi sama seperti pada penggunaan biaya dan waktu yaitu diminimalkan Sebagai contoh, menetapkan kriteria kualitas sangat bagus sebagai angka 1, kualitas bagus sebagai angka 2 dan kualitas cukup bagus sebagai angka 3 dan kualitas kurang bagus sebagai angka 4, sehingga fungsi tujuan dapat ditulis sebagai berikut Minimumkan Q i 1 j 1 q ij x ij (45) Dimana q ij adalah kualitas yang dihasilkan oleh tempat usaha i terhadap jenis gitar j Karena hanya mempertimbangkan kualitas saja, maka hasil keputusan untuk biaya dan waktu operasi harus mengikuti hasil keputusan dari penetapan kualitas Dengan menggunakan data kualitas pada Tabel 41 akan dicari solusi penetapan yang optimal Data kualitas yang sudah dikuantifikasikan ditunjukkan pada Tabel 410 Tempat Produksi Tabel 410 Data Kualitas Hasil Penyelesaian Gitar Jenis Gitar A B C D E Minimumkan Q = x x 12 + x 13 + x 14 + x x x 22 + x x x x x x 33 + x 34 + x 35 + x x x x x 45 commit + 3x x to user x x x 55 (46)

34 23 Solusi penetapan diselesaikan dengan menggunakan metode Hungaria dan langkah-langkahnya dapat dilihat di Lampiran 2 Solusi yang diperoleh dari persamaan (46) adalah x 14 * = x 23 * = x 35 * = x 41 * = x 52 * =1 Dengan menyesuaikan variabel hasil keputusan (x ij ) pada tabel mula-mula (Tabel 41), maka diperoleh total biaya dan total waktu yang dibutuhkan untuk membuat 5 (lima) jenis gitar tersebut adalah sebagai berikut Total biaya operasi : C = = (ribuan rupiah) Total waktu operasi : T = = 39 hari Dengan kualitas hasil penyelesaian pada jenis gitar A adalah sangat bagus, B adalah cukup bagus, C adalah sangat bagus, D adalah sangat bagus dan E adalah sangat bagus d) Penyelesaian yang mempertimbangkan biaya dan waktu operasi Jika proses penyelesaian masalah penugasan ini mempertimbangkan dua sumber daya yaitu biaya dan waktu operasi, maka tujuannya adalah bagaimana meminimumkan total biaya dan total waktu operasi secara bersamaan Dike tahui bahwa satuan untuk mengukur biaya dan waktu operasi adalah berbeda, sehingga tidak bisa untuk menempatkan biaya operasi langsung ke dalam fungsi objektif (43) yang diukur oleh waktu operasi saja, ataupun sebaliknya Langkah pertama untuk memeca hkan masalah semacam ini adalah dengan menormalkan semua data, yaitu proses penyetaraan semua data dengan cara membagi data biaya, waktu dan kualitas dalam Tabel 41 dengan data maksimum biaya, waktu dan kualitas masing-masing Sebagai contoh, maksimum dari biaya, waktu dan kualitas masing-masing adalah 10800, 14 dan 4, sehingga masing-masing data dibagi dengan nilai maksimumnya Hasil penormalan data biaya, waktu dan kualitas dari Tabel 41 dapat dilihat pada Tabel 411

35 24 Tabel 411 Data Penormalan Biaya, Waktu dan Kualitas Jenis Gitar Tempat Usaha A B C D E 0,039 0,5 0,25 0,061 0,571 0,5 0,167 0,571 0,25 0,889 0,929 0,25 0,028 0,056 0,231 0,602 0,214 0,429 0,5 0,643 0,5 0,75 0,25 0,5 0,036 0,061 0,097 0,944 0,143 0,143 0,143 0,571 0,75 0,75 0,5 0,25 0,046 0,078 0,097 0,648 0,429 0,5 0,286 0,571 0,25 0,5 0,5 0,5 0,017 0,067 0,1 0,111 0,357 0,429 1,00 1,00 0,75 0,75 0,5 1,00 0,556 0,714 0,25 0,537 0,571 0,5 1,00 0,5 0,25 0,602 0,429 0,5 0,139 0,929 0,75 ormalisasi data tidak mempengaruhi hasil keputusan dari masalah penugasan Karena jika setiap elemen/nilai dari suatu tabel penugasan dikalikan atau dibagi dengan sebuah nilai skalar yang sama, maka setiap elemen/nilai yang dihasilkan mempunyai perbanding an yang sama dengan setiap elemen/nilai pada tabel penugasan sebelumnya Oleh karena itu, meskipun nilai yang dihasilkan dari tabel penugasan mengalami perubahan, akan tetapi hasil keputusan penetapan dari masalah penugasan tersebut tetap sama, karena memp unyai perbandingan nilai yang sama Sebagai contoh, hanya mempertimbangkan waktu operasi saja, maka dengan menggunakan fungsi tujuan (43) diperoleh : Minimumkan T = 0,5x ,571x ,571x ,929x ,714x ,214x ,429x ,5x ,643x ,571x ,143x ,143x ,143x ,571x ,5x ,429x ,5x 42 +

36 25 0,286x ,571x ,429x ,357x ,429x ,00x ,00x ,929x 55 (47) Dengan menggunakan metode Hungaria, solusi yang diperoleh dari persamaan (47) adalah x 15 * = x 21 * = x 33 * = x 44 * = x 52 * =1, sama dengan solusi dari persamaan (44) Langkah berikutnya adalah untuk menyelesaikan kedua tujuan secara bersamaan, yaitu meminimumkan baik biaya operasi maupun waktu operasi Karena proses penyelesaian mempertimbangkan dua jenis sumber daya, maka secara matematis bobot dari masing-masing tujuan harus diteta pkan terlebih dahulu, agar dapat mengetahui sumber daya mana yang lebih penting daripada sumb er daya yang lain ataupun tingkat kepentingan dari masing -masing tujuan tersebut Diasumsikan bahwa bobot dari dua tujuan tersebut mempunyai tingkat kepentingan yang sama,, dengan dimana m adalah banyaknya tujuan, dengan tujuan dapat ditulis menjadi : 1 Kemudian fungsi t MinimumkanC, T c x x (48) 1 ij i 1 j 1 ij 2 ij ij i 1 j 1 c ij dan t ij dalam (48) masing-masing mewakili normalisasi biaya operasi dan waktu operasi Menggunakan normalisasi data biaya dan waktu pada Tabel 411 dan memberikan bobot, maka dengan fungsi tujuan (4 8) diperoleh persamaan fungsi objektif sebagai berikut Minimumkan C,T = (0,539)x 11 + (0,632)x 12 + (0,738)x 13 + (1,818)x 14 + (1,27)x 15 + (0,242)x 21 + (0,486)x 22 + (0,731)x 23 + (1,245)x 24 + (1,108)x 25 + (0,179)x 31 + (0,204)x 32 + (0,240)x 33 + (1,515)x 34 + (1,5)x 35 + (0,475)x 41 + (0,578)x 42 + (0,383)x 43 + (1,219)x 44 + (1,031)x 45

37 26 + (0,374)x 51 + (0,496)x 52 + (1,1)x 53 + (1,111)x 54 + (1,068)x 55 atau dapat dituliskan menjadi : = 0,270x ,316x ,369x ,909x ,635x ,121x ,243x ,366x ,623x ,554x ,090x ,102x ,120x ,758x ,75x ,238x ,289x ,192x ,610x ,516x ,187x ,248x ,55x ,556x ,534x 55 (49) Langkah penyelesaian dari persamaan (49) menggunakan metode Hungaria dapat dilihat di Lampiran 3 dan diperoleh solusi penetapan adalah x 15 * = x 21 * = x 32 * = x 43 * = x 54 * = 1 Dengan menyesuaikan variabel hasil keputusan ( x ij ) pada tabel mula-mula (Tabel 41), maka diperoleh total biaya dan total waktu yang dibutuhkan untuk membuat 5 (lima) jenis gitar tersebut adalah sebagai be rikut Total biaya operasi : C = = 9210 (ribuan rupiah) Total waktu operasi : T = = 33 hari Dengan kualitas hasil penyelesaian pada jenis gitar A adalah bagus, B adalah cukup bagus, C adalah bagus, D adalah kurang bagus dan E adalah sangat bagus e) Penyelesaian yang mempertimbangkan biaya, waktu dan kualitas Sekarang masalah penugasan menjadi tiga kriteria evaluasi masalah, yaitu biaya (c ij ), waktu (t ij ), dan kualitas (q ij ), dimana semua tujuan harus diminimumkan Diasumsikan bahwa bobot dari biaya, waktu dan kualitas adalah sama, yaitu Sehingga gabungan fungsi tujuan menjadi,

38 27 t MinimumkanC, T, Q c x x q x (410) 1 ij i 1 j 1 ij 2 ij ij 3 ij i 1 j 1 i 1 j 1 Dengan menggunakan data pada Tabel 411, diperoleh persamaan objektif berikut Min C,T,Q = (0, ,5 + 0,25) x 11 + (0, , ,5 ) x 12 + (0, , ,25) x 13 + (0, , ,25) x 14 + (0, , ,25) x 15 + (0, , ,5) x 21 + (0, , ,75) x 22 + (0, ,5 + 0,25) x 23 + (0, , ,5) x 24 + (0, , ,5) x 25 + (0, , ,75) x 31 + (0, , ,75 ) x 32 + (0, , ,5) x 33 + (0, , ,25) x 34 + (1,00 + 0,5 + 0,25) x 35 + (0, , ,25) x 41 + (0, ,5 + 0,5) x 42 + (0, , ,5) x 43 + (0, , ,5) x 44 + (0, , ,5) x 45 + (0, , ,75) x 51 + (0, , ,75) x 52 + (0,1 + 1,00 + 0,5) x 53 + (0, ,00 + 1,00) x 54 + ij (0, , ,75) x 55 = 0,263x ,377x ,329x ,689x ,507x ,247x ,412x ,327x ,582x ,536x ,310x ,318x ,247x ,588x ,583x ,242x ,359x ,293x ,573x ,510x ,375x ,415x ,533x ,704x ,606x 55 (411) Langkah penyelesaian dari persamaan (411) dengan menggunakan metode Hungaria dapat dilihat di Lampiran 4 dan diperoleh solusi adalah x 15 * = x 21 * = x 33 * = x 44 * = x 52 * = 1

39 28 Dengan menyesuaikan variabel hasil keputusan ( x ij ) pada tabel mula-mula (Tabel 41), maka diperoleh total biaya dan total waktu yang dibutuhkan untuk membuat 5 (lima) jenis gitar tersebut adalah sebagai berikut Total biaya operasi : C = = (ribuan rupiah) Total waktu operasi : T = = 29 hari Dengan kualitas hasil penyelesaian pada jenis gitar A adalah bagus, B adalah cukup bagus, C adalah bagus, D adalah bagus dan E adalah sangat bagus Ketika mempertimbangkan masalah penugasan M-Objective untuk mendapatkan hasil yang optimal, maka fungsi M-Objective dapat ditulis sebagai berikut Min Z1, Z2,, Zm z x z2ij xij 1 1ij ij 2 i 1 j 1 i 1 j 1 m i 1 j 1 z mij x ij (412) dimana Z i menunjukkan jenis sumber daya yang harus dioptimalkan dan i adalah bobot dari sumber daya i, dengan 1 m i 1 i 412 Proses Idealisasi a) Penyelesaian masalah penugasan sederhana ke arah yang ideal Di samping menentukan total penggunaan sumber daya yang minimum, kadang-kadang dalam dunia nyata khususnya pada proyek yang cukup besar, manajer mungkin ingin menetapkan tugas -tugas kepada setiap pekerja ke arah yang ideal Ideal yang dimaksud adalah bagaimana menetapkan tugas-tugas sehingga setiap pekerja memiliki rata -rata loading atau dapat menyelesaikan tugas dengan besar sumber daya yang hampir sama Dalam situasi yang demikian, suatu penetapan yang ideal diatur sedemikian rupa bahwa total penggunaan sumber daya pada suatu proyek

40 29 akan lebih sedikit jika besar penggunaan sumber daya dari masing -masing pekerja dekat dengan nilai ideal yang sudah ditetapkan Dalam menentukan solusi penetapan yang ideal, maka suatu nilai ideal dari sumber daya (jarak, waktu, biaya dan lain-lain) harus ditentukan terlebih dahulu dan kemudian dijadikan sebagai pedoman untuk mencari solusi penetapan yang ideal Dengan konsep dasar variansi, maka penetapan yang ideal adalah penetapan yang mempunyai nilai sebaran data yang kecil Oleh karena itu fungsi tuju an dalam (21) dapat digantikan menjadi fungsi idealisasi dari waktu operasi sebagai berikut Idealisasi 2 T min ( x t t x 1) (413) i 1 j 1 ij ij ID ij dimana t ID adalah waktu ideal yang sudah ditetapkan untuk semua pekerja dalam menyelesaikan tugas Apabila fungsi ideal berfokus pada biaya operasi, maka notasi t ij diganti dengan c ij Karena nilai x ij = 0 atau 1, maka x 2 ij = x ij Sehingga fungsi idealisasi (413) dapat ditulis kembali sebagai bentuk linear dan dapat diselesaikan dengan pemrograman linear Dengan menggunakan data dalam Tabel 41 dan menetapkan t ID = 7 yang diperoleh dari pembulatan nilai rata-rata waktu operasi, maka penetapan yang ideal untuk waktu operasi adalah sebagai berikut Idealisasi T = Min{(7x 11 7) 2 + (8x 12 7) 2 + (8x 13 7) 2 + (13x 14 7) 2 + (10x 15 7) 2 + (3x 21 7) 2 + (6x 22 7) 2 + (7x 23 7) 2 + (9x 24 7) 2 + (8x 25 7) 2 + (2x 31 7) 2 + (2x 32 7) 2 + (2x 33 7) 2 + (8x 34 7) 2 + (7x 35 7) 2 + (6x 41 7) 2 + (7x 42 7) 2 + (4x 43 7) 2 + (8x 44 7) 2 + (6x 45 7) 2 + (5x 51 7) 2 + (6x 52 7) 2 + (14x 53 7) 2 + (14x 54 7) 2 + (13x 55 7) 2 } Idealisasi T = min { (49x x ) + (64x x ) + (64x x ) + (169x x ) + (100x x ) + (9x x ) + (36x x ) + (49x x ) + (81x x ) + (64x x ) + (4x x ) + (4x x ) +