MEMBANDINGKAN KEMANGKUSAN ALGORITMA DINIC DAN ALGORITMA PELABELAN FORD-FULKERSON UNTUK MASALAH ARUS MAKSIMUM. Nerli Khairani Jenny Sirait

Transkripsi

1 176 MEMBANDINGKAN KEMANGKUSAN ALGORITMA DINIC DAN ALGORITMA PELABELAN FORD-FULKERSON UNTUK MASALAH ARUS MAKSIMUM Nerli Khairani Jenny Sirait Abstrak Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang paling banyak aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu bentuk graf adalah jaringan (network), yaitu graf berarah berbobot sederhana yang memiliki simpul sumber (source), simpul tujuan (sink), tiap sisinya mempunyai kapasitas tertentu. Pelabelan FordFulkerson merupakan yang digunakan dalam pemecahan masalah maksimum. memanfaatkan jaringan sisa. Pada jaringan sisa ini diidentifikasi faugmenting path terpendek melalui layered network, kemudian dikonstruksi suatu blocking flow yang dapat digunakan untuk menentukan maksimum. FordFulkerson berisi 2 fase. Fase pertama melakukan untuk memeriksa apakah terdapat f-augmenting path. terdapat f-augmenting path, menentukan menambahkan faugmenting path pada f. memberikan solusi maksimum yang sama yaitu sebanyak 7. FordFulkerson lebih mangkus dibandingkan dengan karena membutuhkan waktu ruang memori yang lebih sedikit dalam mencari solusi masalah maksimum. Kata kunci: ford-fulkerson, dinic, masalah maksimum, jaringan PENDAHULUAN Teori graf merupakan salah satu jaringan pipa air, lain-lain. cabang matematika yang paling banyak Transportasi barang lokasi sumber ke aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. lokasi tujuan yang melewati beberapa Salah satu bentuk graf adalah flow lokasi-antara merupakan salah satu contoh network, yaitu graf berarah yang tiap masalah optimasi yang dapat didefinisikan sisinya mempunyai kapasitas tertentu. ke dalam bentuk graf atau jaringan. Flow network sering digunakan untuk Optimasi adalah salah satu memodelkan jaringan yang sering menjadi disiplin ilmu dalam matematika yang fokus masalah dalam kehidupan seperti jaringan untuk mendapatkan nilai minimum atau lalu lintas, masalah listrik, jaringan maksimum komunikasi, masalah produksi, distribusi, berbagai kasus. Terdapat 5 yang perencanaan proyek, penentuan lokasi, bisa secara digunakan sistematis dalam dalam menyelesaikan Nerli Khairani adalah Dosen Jurusan Matematika, Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Me; Jenny Sirait adalah Alumni Jurusan Matematika, Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Me

2 masalah flow network. Kelima maksimum yang terdapat dalam suatu tersebut antara lain jaringan (Ahuja & Orlin, 1989)., Dalam penulisan ini akan dibahas Edmonds Karp,, Pelabelan MPM (Malhotra, Pramodh dengan langkah per Kumar & Maheswari), langkah hingga akhirnya ditemukan Goldberg-Tarjan (Thulasiraman & Swamy, maksimum. 1992). kemangkusan kedua diatas. Menurut itu dibandingkan Dua simpul penting di graf G adalah lebih baik dibandingkan simpul sumber s simpul tujuan t. Pelabelan, maupun Setiap jalur di G telah terkait dengan angka Pelabelan telah positif yang disebut kapasitas. Sebuah Edmonds-Karp dalam jaringan adalah kumpulan dimodifikasi (Yudhianto, Moligane, Setelah yang oleh 2003). rangkaian yang memiliki sifat bahwa diperkenalkan oleh pada tahun jumlah Segkan rangkaian yang terkandung dalam jalur merupakan menangani masalah pertama flow network, kapasitas busur itu (Ford & Fulkerson, 1956). cara Berdasarkan hasil penelitian untuk yang telah dilakukan oleh Yudhianto, mencari kapasitas maksimum suatu aliran dapat digunakan untuk di dalam jaringan. Selain menghemat menyelesaikan masalah maksimum waktu dengan mengolah ini yang dimodelkan dalam suatu jaringan menjadi suatu program, metode ini juga transportasi (Yudhianto, 2003). Dalam akan efektif untuk para penggunanya Kamus Besar Bahasa Indonesia, kata dasar dalam melakukan suatu proses, tindakan, kemangkusan keefektifan, mangkus atau pengambilan keputusan untuk tujuan efektif, sama-sama memiliki arti tertentu berhasil guna. dengan suatu semua manapun adalah tidak lebih besar tahun Dalam metode ini mereka memaparkan banyaknya dalam ditemukan oleh Ford Fulkerson pada ingin mengetahui TINJAUAN PUSTAKA Graf (V, E), yang dalam hal ini V adalah Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan tidak kosong simpul-simpul himpunan (V, E), ditulis dengan notasi (vertices G 177 atau nodes) E adalah

3 himpunan jalur (edges atau arcs) yang Kapasitas Sisa menghubungkan sepasang simpul (Munir, Misalkan f adalah pada G (V, 2007). E), besarnya tambahan yang dapat ditambahkan x ke y tanpa melebihi Graf Berarah kapasitas c(x,y) adalah kapasitas sisa (x,y). Graf yang setiap jalurnya diberikan arah (x,y) (x,y) - (x,y) (Handoyo, 2011). disebut sebagai graf berarah. Pada graf berarah, (u,v) (v,u) menyatakan dua Nilai Arus buah jalur yang berbeda, dengan kata lain Nilai (value) suatu f di jaringan (u,v) (v,u). transportasi G (V, E) dengan s adalah (Siahaan, 2010). simpul source di G, yang dinotasikan Graf Berbobot dengan val ( f ), didefinisikan sebagai Sebuah graf dengan bilangan-bilangan berikut : ( ) pada jalur-jalurnya disebut graf berbobot. (, ) (Johnsonbaugh, 2002). Dengan menggunakan kendala konservasi, Path dimana t adalah simpul sink di G Path dengan panjang n v ke w adalah didapatkan walk v ke w yang semua jalurnya bahwa (, ) ( ) : (, ) berbeda. Path v ke w dituliskan sebagai v (Thulasiraman & Swamy, 1992). v0 e1 v1 e2 v2 vn-1 en vn w dengan ei Cut ej untuk i j. (Siang, 2006). Misalkan Jaringan terhubungkan dengan V V1 V2 Sebuah jaringan adalah suatu graf berarah V1 V2. Maka himpunan S {(u,v) berbobot sederhana yang memenuhi : a. Simpul bertanda, yang merupakan u V1 v sumber (source), tidak mempunyai jalur Kapasitas cut G (V, E) adalah graf V2} dinan cut graf G, dinyatakan dengan < transportasi G b. Simpul bertanda, yang merupakan sebagai : ( ) (, ) (V,E) didefinisikan (Thulasiraman & Swamy, 1992). keluar. c. Bobot Cij jalur brarah (i, j) disebut >. <, > pada jaringan yang masuk. tujuan (sink), tidak mempunyai jalur yang, (, ) Lemma 1. (Handoyo, 2011) kapasitas (i, j), merupakan bilangan Misalkan f adalah pada jaringan tak negatif. (Johnsonbaugh, 2002) G dengan sumber s tujuan t, 178

4 misalkan (S,T) adalah cut G. Maka yang melewati (S,T) adalah jalur maju, f(s,t) f 2. ( ) mundur. Bukti: Kita perhatikan bahwa f(s-s, V) 0, pemaan yang memakan path P dengan bilangan real tak negatif ( ) yang s. didefinisikan sebagai : ( ) f(s,t) f(s,v) f(s,s) f(s,v) f-nol jika f (i,j) 0 (Thulasiraman & Swamy, 1992). Sisi Maju Sisi Mundur et { ( )} Perhatikan bahwa nilai ( ) 0, f(i,j) > 0 f(s,v) + f(s-s,v) f(s,v) f e1 e2 ( ), jika ei adalah jalur Untuk suatu path P didefinisikan suatu karena tersebut tidak memiliki sumber P: ( ) ( ) ( ),jika ei adalah 1. Arus Maksimum ek Suatu f di jaringan transportasi G. dikatakan maksimum jika tidak ada f s u0 u1 u2 ui-1 ui uk-1 uk v di G sedemikian rupa sehingga val (f) > val P adalah suatu path di jaringan (f ). Teorema penting dalam masalah transportasi N(V,E) dengan f maksimum adalah Teorema maximum flow source s ke simpul v. Maka jalur ei di P minimum cut. Berikut ini dinan jalur maju P jika jalur ei diberikan terlebih dahulu definisi cut berorientasi ui-1 ke ui selainnya minimum (Thulasiraman & Swamy, 1992). dinan jalur mundur P. Untuk setiap jalur di P, misalkan: f-unsaturated Path f-augmenting path merupakan path s Suatu path dikatakan f-unsaturated jika ke t yang memuat jalur-jalur yang dapat semua jalur maju path adalah jalur f- ditingkatkan lagi nya karena belum unsaturated semua jalur mundur sampai pada batas kapasitasnya. Dari path adalah jalur f-positif (Thulasiraman & definisi Swamy, 1992). path s-t f-augmenting Path hanya jika P adalah f-augmenting path Suatu path s-t P dikatakan f-augmenting (Thulasiraman & Swamy, 1992). jika P adalah f-unsaturated. Berdasarkan definisi f-augmenting path, terlihat bahwa 179 ( ) terlihat bahwa untuk suatu P, berlaku ( ) > 0 jika

5 1. Himpunan simpul V di Nf sama dengan Teorema Max-Flow Min-Cut Pada suatu jaringan transportasi, nilai himpunan simpul V di N. maksimum val (f) sama dengan kapasitas 2. Untuk setiap jalur e (u,v) di N, cut minimum c(k) (Thulasiraman & Nf mempunyai: Swamy, 1992). (i). Jalur e (u,v), jika f(e) < c(e), Bukti: dengan kapasitas sisa cf (e ) c(e) - Karena ( ) (, ), kita anggap jalur f(e). berarah (v,w) dengan v S w. Misalkan s S, terdapat unsaturated f- (ii). Jalur e (v,u), jika f(e) < 0, path. dengan kapasitas sisa cf (e ) f(e) suatu s-v (Thulasiraman & Swamy, 1992). Jalur (v, w) h f-saturated. Tidak mungkin terdapat f-unsaturated s-w path karena w Sehingga Layered Network. Akan dibuat konstruksi suatu (, ) 0, : val( ) (, ) (, ) (, ) (, ) layered Network relatif terhadap f dengan menggunakan jaringan transportasi N (V, E) dengan simpul source s digunakan simpul sink t, jaringan sisa Nf yang untuk memecahkan masalah maksimum telah didapatkan. dengan menggunakan jaringan transportasi Langkah-langkah layered network : N, jaringan sisa, jaringan pelapis (layered network) penghambat (blocking 1. V0 {s} i 0. flow) (Thulasiraman & Swamy, 1992). 2., Jaringan Sisa masalah mengatasi maksimum dengan 3. memanfaatkan jaringan sisa, yaitu jaringan dengan jalur-jalurnya (, ), f adalah maksimum. Berhenti. mempunyai kapasitas positif. Misalkan diberi suatu 4. simpul sink t jaringan transportasi N (V, E) dengan Vt {t} f. Maka Nf (V, Ef) dikatakan suatu jaringan sisa relatif terhadap f, jika hanya jika: 180 T, l i +1, (, ). Masukkan semua

6 jalur di Ei, dalam layered network, maksimum pada jaringan transportasi N. berhenti. ini berisi 2 (dua) fase, yaitu: 5. (, ). Dan semua jalur di Fase pertama adalah melakukan untuk masukkan apakah terdapat f- augmenting path. tidak ada, dalam layered teorema 2, f adalah maksimum. network. terdapat f-augmenting path, fase 6. i i +1 pergi ke langkah 2. kedua Himpunan-himpunan simpul didefinisikan Layered pada memeriksa yang yang menentukan Network h dikerjakan, f-augmenting path yaitu menambahkannya pada f. Pada fase dinan lapis (layer) N. Kapasitas pertama, label ( suatu jalur e di layered network adalah, ), adalah label untuk suatu simpul v. Notasi menyatakan simpul sama dengan cf (e) kapasitas sisa dimana v menerima label, notasi ini juga (Thulasiraman & Swamy, 1992). menyatakan arah : maju atau Konstruksi Arus Baru mundur. simpul v dilabeli, Kemudian dengan menggunakan blocking berarti terdapat suatu path s-v P yang tidak flow, seperti yang didefinisikan di atas, dipenuhi (unsaturated) untuk path P dapat dikonstruksi suatu maksimum ini, ( ) f, yang didefinisikan f : ℜ {0}, (Thulasiraman & Swamy, 1992). dengan nilai val(f ) > val(f) dengan cara Kemangkusan sebagai berikut: Kemangkusan diukur berapa 1. (u,v), dengan jumlah waktu ruang memori yang adalah suatu jalur maju, dibutuhkan (, ) (, )+ (, ) yang mangkus ialah 2. (u,v), dengan untuk menjalankannya. yang meminimumkan kebutuhan waktu adalah suatu jalur mundur, ruang. Kemangkusan dapat (, ) (, ) (, ) digunakan untuk menilai mana 3. Untuk semua jalur (u,v) yang lain di N, yang terbaik kedua (, ) (, ) melihat nilai yang paling maksimum Pelabelan Pelabelan dengan hasil penggunaan kedua tersebut (Nurhayati, 2013). adalah untuk menentukan 181

7 METODE PENELITIAN Penulis menggunakan teori-teori yang ataupun teorema, mencari solusi dengan berkaitan maksimum penggunaan menggunakan Ford- Pelabelan untuk masalah Fulkerson maksimum, serta membandingkan dengan, prosedur penelitian yang dilakukan adalah dengan cara mengumpulkan hasil penggunaan kedua. definisi PEMBAHASAN Misalkan diberikan jaringan transportasi N (V, E) beserta kapasitas jalur c(e) seperti pada gambar dibawah ini. Gambar 2 Jaringan transportasi untuk langkah 1 langkah 2. Konstruksi jaringan sisa Nf (V, Ef) relatif terhadap f di N. Gambar 1. Jaringan Transportasi N dengan kapasitas jalur. Nf (V, Ef) dikatakan suatu jaringan sisa relatif terhadap f jika hanya jika: Langkah 1. f(e) 0, untuk setiap jalur e di 1. Himpunan simpul V di Nf sama dengan himpunan simpul V di N, yaitu V {s, a, b, c, d, t}, 2. Untuk setiap jalur e (u, v) di N, Nf mempunyai : (i). Untuk jalur e1 (s, a) E : Karena f(e1) < c(e1) 0 < 4, terdapat jalur e1 (s, a) Ef dengan cf(e1 ) 4 (ii). Untuk jalur e2 (s, c) E : Karena f(e2) < c(e2), terdapat jalur e2 (s, c) Ef dengan cf(e2 )3 (iii). Untuk jalur e3 (c, d) E : Karena f(e3) < c(e3), terdapat jalur e3 (c, d) Ef dengan cf(e3 )3 jaringan transportasi N (V,E). Angka yang tertera pada setiap jalur berturut-turut menyatakan kapasitas jalur c(e) f(e) seperti gambar di bawah ini. 182

8 didapatkan suatu layered network relatif terhadap f beserta kapasitas sisa jalur e adalah cf(i), seperti gambar di bawah ini. (iv). Untuk jalur e4 (a, d) E : Karena f(e4) < c(e4), terdapat jalur e4 (a, d) Ef dengan cf(e4 ) 2 (v). Untuk jalur e5 (a, c) E : Karena f(e5) < c(e5), terdapat jalur e5 (a, c) Ef dengan cf(e5 )2 (vi). Untuk jalur e6 (c, b) E : Karena f(e6) < c(e6), terdapat jalur e6 (c, b) Ef dengan cf(e6 )4 (vii). Untuk jalur e7 (a, b) E : Karena f(e7) < c(e7), terdapat jalur e7 (a, b) Ef dengan cf(e7 ) 2 (viii). Untuk jalur e8 (b, t) E : Karena f(e8) < c(e8), terdapat jalur e8 (b, t) Ef dengan cf(e8 )6 (ix). Untuk jalur e9 (d, b) E : Karena f(e9) < c(e9), terdapat jalur e9 (d, b) Ef dengan cf(e9 ) 5 (x). Untuk jalur e10 (d, t) E : Karena f(e10) < c(e10), terdapat jalur e10 (d, t) Ef dengan cf(e10 ) Karena semua f(e) 0, tidak ada jalur e (v, u) Ef. Gambar 3. Layered Network Gambar 1 Iterasi 1. Langkah 1 : V0 {s} i 0. Langkah 2 : 0, (, ) Ambil j didapatkan {, } 0 sehingga : (, ) Langkah 3 :, lanjut ke langkah 4. Sehingga didapatkan suatu jaringan sisa Nf Langkah 4 : Simpul sink t ke langkah 5. (V, Ef) dengan f(e) yang sama seperti di N; angka yang tertera pada setiap Langkah jalur menyatakan kapasitas sisa cf(e) di Nf, dengan V {s, a, b, c, d, t} Ef {(s, a), (s, c), (a, b), (a, c), (a, d), (b,t), (c, b), (c, d), (d, b), (d, t)}, tidak terdapat himpunan jalur mundur di Nf seperti pada T, lanjut : {, }, (, ) {(, ), (, )}. Jadi, jalur {(s, a), (s, c)} adalah himpunan jalur pada LN. 5 Langkah 6 : i i pergi ke langkah 2. gambar 4.1. Iterasi 2. Langkah 3. Konstruksi layered network relatif terhadap f. Untuk jaringan N pada Gambar 2 dengan jaringan sisa pada Gambar 1, 183 Langkah 2 : 1, (, )

9 Ambil j {0, 1} sehingga didapatkan : di layered network sama dengan kapasitas sisa cf(e) di Nf, dengan V {s, a, b, c, d, t} E {(s, a), (s, c), (a, b), (a, d), (b, t), (c, b), (c, d), (d, t)}, seperti pada Gambar 4.3. Himpunan simpul Vi, yaitu V0 {s}, V1 {a, c}, V2 {b, d}, V3 {t}, dinan layer jaringan transportasi N. Untuk j 0 : {,, }. Untuk j 1 : {, }. Jadi didapatkan {, }. Langkah 3 :, lanjut ke langkah 4. Langkah 4 : Simpul sink t ke langkah 5. Langkah Langkah 4. Konstruksi blocking flow g di layered network. T, lanjut Didefenisikan 5 : {, }, ), ( ), ( ), {(,,, (, )}. Jadi himpunan jalur ), ( ), ( ), {(,,, (, )} adalah jalur-jalur pada LN. g: E + {0}dengan g(ei) cf (ei), yaitu : g(s,c) g(c,d) 3, g(s,a) 4, g(a,b) g(a,d) g(b,t) 2, g(c,b) 0, g(d,t) 5. Karena untuk setiap path berarah s-t pada Langkah 6 : i 2 pergi ke langkah 2. Gambar 4.3, yaitu Pl : s v0, a, b, v3 t ; Iterasi 3. P2 : s vo, a, d, v3 t; P3: s v0, c, b,v3 t Langkah 2 : 2, (, ) P4 : s v0, c, d, v3 t di layered network, terdapat sekurang-kurangnya 1 Ambil j {0, 1, 2} sehingga didapatkan : (satu) jalur ei (vi-1, vi) dengan g(ei) seperti didefenisikan di atas, g merupakan blocking flow, seperti gambar di bawah ini. Untuk j 0 : {, }. Untuk j 1 : {, }. Untuk j 2 : { }. Jadi didapatkan { }. Langkah 3 :, lanjut ke langkah 4. Langkah 4 : Simpul sink t T, didapatkan i i +1 3, V3 {t} (, ) {(, ), (, )}. Jadi himpunan jalur di E2 adalah jalur-jalur dalam layered network, berhenti. Gambar 4 Blocking flow Angka yang tertera pada setiap jalur pada Gambar 4 menyatakan g(e) kapasitas sisa cf(e) di Nf. Sehingga didapat layered network dengan panjang (l) 3, dengan kapasitas jalur c(e) 184 2

10 Langkah 5. Berdasarkan blocking flow g tersebut Langkah 2 (langkah 4), dapat dikonstruksi suatu seterusnya sampai didapatkan bahwa maksimum f sebagai berikut : f adalah maksimum. Langkah 2. Konstruksi jaringan sisa Nf (V, Ef) relatif terhadap f di N. Karena (s, a) adalah jalur maju, f (s, a) f(s, a) + g(s, a) Karena (s, c) adalah jalur maju, f (s, c) 3 Karena (a, b) adalah jalur maju, f (a, b) 2 Karena (a, d) adalah jalur maju, f (a, d) 2 Karena (b, t) adalah jalur maju, f (b, t) 2 Karena (c, b) adalah jalur maju, f (c, b) 0 Karena (c, d) adalah jalur maju, f (c, d) 3 Karena (d, t) adalah jalur maju, f (d, t) 5 Karena (u, v) adalah bukan jalur mundur, tidak ada f (v, u) Untuk semua jalur (u, v) yang lain di N, f (u, v) f(u, v), yaitu : (i). Untuk jalur (a, c) di N, f (a, c) f(a, c) 0. (ii). Untuk jalur (d, b) di N, f (d, b) f(d, b) 0. Nf (V, Ef) dikatakan suatu jaringan sisa relatif terhadap f jika hanya jika: 1. Himpunan simpul V di Nf sama dengan himpunan simpul V di N, yaitu V {s, a, b, c, d, t}, 2. Untuk setiap jalur e (u, v) di N, Nf mempunyai : (i). Untuk jalur e1 (s, a) E : Karena f(e1) c(e1), tidak terdapat jalur e1 (s, a) Ef Karena f(e1) > 0, terdapat jalur e1 (a, s) Ef dengan cf(e1 ) f(e1) 4 (ii). Untuk jalur e2 (s, c) E : Karena f(e2) c(e2), tidak terdapat jalur e2 (s, c) Ef Karena f(e2) > 0, terdapat jalur e2 (c,s) Ef, cf(e2 ) 3 (iii). Untuk jalur e3 (c, d) E : Karena f(e3) c(e3), tidak terdapat jalur e3 (c, d) Ef 6,2 Karena f(e3) > 0, terdapat jalur e3 (d, c) Ef dengan cf(e3 )3 (iv). Untuk jalur e4 (a, d) E : Karena f(e4) c(e4), tidak terdapat jalur e4 (a, d) Ef Karena f(e4) > 0, terdapat jalur e4 (d, a) Ef dengan cf(e4 ) 2 (v). Untuk jalur e5 (a, c) E : Karena f(e5) < c(e5), terdapat jalur e5 (a, c) Ef dengan cf(e5 ) 2 Karena f(e5) 0, tidak terdapat jalur e5 (c, a) Ef (vi). Untuk jalur e6 (c, b) E : Karena f(e6) < c(e6), terdapat jalur e6 (c, b) Ef dengan cf(e6 ) 4 Sehingga didapatkan jaringan N (V, E) dengan maksimum seperti di bawah ini. Gambar 5 Jaringan dengan maksimum Untuk memeriksa apakah pada Langkah 5 tersebut f adalah maksimum, ulangi langkah-langkah 185

11 (vii). (viii). (ix). (x). Karena f(e6) > 0, terdapat jalur e6 (b, c) Ef dengan cf(e6 )2 Untuk jalur e7 (a, b) E : Karena f(e7) c(e7), tidak terdapat jalur e7 (a, b) Ef Karena f(e7) > 0, terdapat jalur e7 (b, a) Ef dengan cf(e7 ) 2 Untuk jalur e8 (b, t) E : Karena f(e8) < c(e8), terdapat jalur e8 (b, t) Ef dengan cf(e8 )4 Karena f(e8) > 0, terdapat jalur e8 (t, b) Ef dengan cf(e8 )2 Untuk jalur e9 (d, b) E : Karena f(e9) < c(e9), terdapat jalur e9 (d, b) Ef dengan cf(e9 ) 5 Karena f(e9) 0, tidak terdapat jalur e4 (b, c) Ef Untuk jalur e10 (d, t) E : Karena f(e10) < c(e10), terdapat jalur e10 (d, t) Ef dengan cf(e10 ) 5 Karena f(e10) > 0, terdapat jalur e10 (t, d) Ef dengan cf(e10 ) 5 maju di Nf selainnya adalah himpunan jalur mundur di Nf. Langkah 3. Konstruksi layered network relatif terhadap f Berdasarkan Network didapatkan bahwa : Layered Langkah 1. V0 {s} i 0 Langkah 2. T {v v V0, (s, v) Ef untuk s V0}Ø Langkah 3. Karena T Ø, aruf f adalah maksimum yang didapatkan. Berhenti. Sehingga dapat disimpulkan bahwa f yang didapatkan pada Gambar 4.5 adalah maksimum dengan val (f ) 7 > val (f) 0. Pelabelan 2 Jaringan transportasi N (V, E) dengan kapasitas jalur c(e) f(e) tertera pada setiap jalur berturut-turut 5 seperti pada 5 gambar berikut: Gambar 6. Jaringan sisa Gambar 5 Untuk jaringan sisa Nf (V, Ef) pada Gambar 6, V {s, a, b, c, d, t}, Ef {(a, s), (c, s), (a, c), (b, a), (d, a), (b, t), (c, b), (d, c), (d, b), (d, t), (t, b), (t, d)}. Angka yang tertera pada setiap jalur menyatakan kapasitas jalur cf(e) di Nf. Dalam hal ini jalur-jalur (a, c), (c, b), (d, b), (b, t) (d, t) adalah himpunan jalur Gambar 7 Jaringan transportasi dengan 0 1. Pilih sembarang f di N (boleh dipilih f(e) 0 untuk setiap jalur e di N). 2. Fase 1 dimulai. Labeli s dengan (, ). 186

12 simpul b diberi label (a+, 2), simpul c diberi label (a+, 2), simpul d diberi label (a+, 2), simpul t diberi label (b+, 2). 4. Karna v t, lanjutkan ke langkah 5. (Fase 1 selesai). 5. Fase 2 dimulai : a. Label a adalaℎ(, ) (, )2 b. Label b adalaℎ(, ) (, )2 c. Label t adalaℎ(, ) (, )2 d. Label c adalaℎ(, ) (, ) (, ) + e. Label d adalaℎ(, ) (, ) (, ) + 6. Karena u s, hapus semua label fase 2 selesai pergi ke langkah Simpul a, b, c, d, t tidak berlabel. Pilih simpul c kemudian beri label (s+, 3), simpul d diberi label (c+, 3), simpul a diberi label (b-, 2), simpul b diberi label (d+, 3), simpul t diberi label (d+, 3). 4. Karna v t, lanjutkan ke langkah 5. (Fase 1 selesai). 5. Fase 2 dimulai: a. Label c adalah (, ) (, )3 b. Label d adalah (, ) (, )3 c. Label a adalah (, ) (, ) (, ) d. Label b adalah (, ) (, ) (, ) + e. Label t adalah (, ) (, )3 6. Karena u s, hapus semua label fase 2 selesai pergi ke langkah 2. (a+, 2) 6,0 (b+, 2) 10,3 Gambar 9 Jaringan transportasi dengan 5 Gambar 8 Jaringan transportasi dengan 3 2. Fase 1 dimulai. Labeli s dengan (, ). 3. Simpul a, b, c, d, t tidak berlabel. Pilih simpul a kemudian beri label (s+, 2), simpul d diberi label (a+, 2), simpul c diberi label (a+, 2), simpul b 2. Fase 1 : Labeli s dengan (-, ). 3. Simpul a, b, c, d, t tidak berlabel. Pilih simpul a kemudian beri label (s+, 4), 187

13 diberi label (c+, 2), simpul t diberi label (d+, 2). 4. Karna v t, lanjutkan ke langkah 5. (Fase 1 selesai). 5. Fase 2 dimulai : a. Label a adalaℎ(, ) (, )4 b. Label d adalaℎ(, ) (, )2 c. Label c adalaℎ(, ) (, ) (, ) + d. Label b adalaℎ(, ) (, ) (, ) + e. Label t adalaℎ(, ) (, )5 6. Karena u s, hapus semua label fase 2 selesai pergi ke langkah 2. jalur yang berasal s tidak ditemukan augmenting path yang relatif terhadap f3, pengerjaan selesai. Gambar di atas adalah ilustrasi lengkap langkah-langkah. Jadi, suatu maksimum yang didapatkan adalah sebesar Membandingkan dengan Pelabelan Fulkerson Ford- memberikan hasil maksimum yang sama yaitu sebesar 7. tersebut Namun, memiliki kekurangan kedua kelebihan masing-masing. lebih baik digunakan pada jaringan yang memiliki jalur berjumlah genap berpola. Pada jaringan yang setiap jalurnya memiliki sebesar 0 (nol), langkah 2 diganti setelah langkah 5 karena tidak terlalu berpengaruh dalam menemukan maksimum. lebih baik digunakan pada jaringan yang memiliki lebih sedikit jalur. Ford- Fulkerson lebih mangkus dibandingkan Gambar 10 Arus maksimum yang diperoleh Labeling dengan karena 2. Fase 1 dimulai. Labeli s dengan (, ). 3. Karena tidak terdapat simpul tidak berlabel, lanjut ke langkah Arus f adalah maksimum. Berhenti. Karena yang keluar membutuhkan simpul s sama besarnya dengan kapasitas membutuhkan lebih sedikit ruang memori waktu yang lebih singkat dalam mencari penyelesaian masalah maksimum dibanding. Selain itu, 188

14 dibandingkan. Hal ini ditunjukkan. banyaknya halaman kertas yang digunakan oleh KESIMPULAN 1. digunakan untuk masalah pada dapat menyelesaikan maksimum dimodelkan dalam suatu transportasi. jaringan ini lebih mangkus dibandingkan dengan layered network konstruksi baru membutuhkan 2. flow). yang sama yaitu sebanyak 7. menggunakan konstruksi jaringan sisa, (blocking memberikan hasil maksimum yang jalur. karena waktu yang lebih singkat ruang memori yang lebih menggunakan 2 Fase. Fase pertama sedikit dalam mencari penyelesaian yaitu melabeli s dengan (-, ) masalah maksimum dibandingkan semua simpul lainnya. Fase kedua dengan. yaitu menghitung yang mengalir SARAN Untuk penelitian selanjutnya sehingga diketahui mana yang disarankan aya tindak lanjut pengerjaan lebih untuk masalah maksimum seperti dalam menyelesaikan masalah Edmonds Karp, yang berhubungan dengan maksimum Pramodh seperti masalah transportasi barang lokasi sumber ke lokasi tujuan di dunia Kumar MPM & Goldberg-Tarjan (Malhotra, Maheswari), untuk masalah nyata. maksimum yang tidak dibahas 189 mangkus ataupun penerapan

15 DAFTAR PUSTAKA Ahuja, R. K. Orlin, J. B., (1989), A Fast and Simple Algorithm for the Maximum Flow Problem, JSTOR Operation Research 37: Nurhayati, O. D., (2013), Pemrograman Kompleksitas. Undip, Semarang. Siahaan, S., (2010), Matematika Diskrit I, FMIPA Unimed, Me. Ford, L. R. Fulkerson D. R., (1956), Maximal flow through a network, Canadian Journal of Mathematic 8: Siang, J. J., (2006), Matematika Diskrit Aplikasinya pada Ilmu Komputer, Andi Offset, Yogyakarta. Foulds, L. R., (1984), Combinatorial Optimization for Undergraduates, Springer-Verlag, New York. Strang, G., (1986), Introduction to Applied Mathematics, Wellesley-Cambridge Press, United States of America. Handoyo, A. B., (2011), Makalah IF2091, Aplikasi Network Flow untuk Manajemen Pendistribusian Minyak. Taha, H. A., (2007), Riset Operasi, Jilid 1, Terjemahan Wirajaya D., Saputra, L., Binarupa Aksara, Tangerang. Hillier, F. S. Lieberman, G. J., (1994), Pengantar Riset Operasi, Jilid 1, Edisi ke-5, Terjemahan Gunawan, E., dkk., Erlangga, Indonesia. Thulasiraman, K. Swamy M. N. S., (1992), Graphs: Theory and Algorithms, John Wiley & Sons, Concordia University Montreal, Canada. Hillier, F. S. Lieberman, G. J., (2005), Introduction Operations Research, Eight Edition, McGraw-Hill Companies,Inc., Singapore. Vatter, V., (2004), Graphs, Flows, and the Ford Fulkerson Algorithm. ching/summer04/flow.pdf Johnsonbaugh, R., (2002), Matematika Diskrit : Edisi ke-4, Terjemahan Djunaedi, D., dkk., PT. Prenhallindo, Jakarta. Vidyamurthy, G., (2004), Pairs Trading Quantitative Methods and Analysis, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey. Mehlhorn, K., (2000), The Maximum Flow Problem. low.pdf. Yudhianto, A., (2003), untuk Masalah Arus Maksimum, Skripsi, FMIPA, IPB, Bogor. Munir, R., (2007), Matematika Diskrit, Edisi ke-3, Informatika, Bandung. 190