PERAMALAN INFLASI DENGAN METODE WEIGHTED FUZZY TIME SERIES

Transkripsi

1 PERAMALAN INFLASI DENGAN METODE WEIGHTED FUZZY TIME SERIES Dwi Ayu Lusia 1, Suhartono 2 1 Mahasiswa Program Sarjana, Jurusan Statistika FMIPA-ITS ( ), 2 Dosen Pembimbing, Jurusan Statistika FMIPA-ITS, 1 dwi_ayu@statistika.its.ac.id, 2 suhartono@statistika.its.ac.id Abstrak. Fuzzy time series adalah suatu teknik baru untuk peramalan yang dikembangkan dari konsep teori Fuzzy. Sampai saat ini, peramalan dengan fuzzy time series seringkali menggunakan orde tunggal, baik non musiman ataupun musiman. Dalam praktek, peramalan time series seringkali juga melibatkan orde yang lebih dari satu atau high order model. Makalah ini membahas pengembangan metode Weighted Fuzzy Time Series untuk pembobotan pada model orde tinggi. Makalah ini juga mengajukan aturan baru untuk mendapatkan nilai ramalan pada model orde tinggi Weighted Fuzzy Time Series. Sebagai studi kasus digunakan data inflasi Indonesia. Root mean of square error dan mean absolute percentage error digunakan sebagai evaluasi kebaikan (akurasi) ramalan dengan kriteria outsample. Hasil perbandingan dengan metode weighted fuzzy time series yang diperkenalkan oleh Chen, Yu, dan Cheng, serta dua model statistik klasik, yaitu ARIMA dan pemulusan eksponensial tunggal, menjelaskan bahwa metode yang dikembangkan menghasilkan nilai ramalan yang lebih baik. Kata kunci : fuzzy time series, inflasi, pembobotan 1. Pendahuluan Kestabilan inflasi merupakan prasyarat bagi pertumbuhan ekonomi yang berkesinambungan yang pada akhirnya memberikan manfaat bagi peningkatan kesejahteraan masyarakat. Penelitian mengenai peramalan inflasi di suatu negara mendapatkan perhatian yang positif bagi peneliti makroekonomi. Sebagian besar bank sentral menggunakan inflasi sebagai salah satu pertimbangan untuk mengambil kebijakan moneter. Kebijakan moneter diambil dengan pertimbangan nilai inflasi yang akan datang. Nilai inflasi sekarang, merupakan hasil dari kebijakan yang lalu, mungkin hanya memberikan informasi yang samar-samar. Bagi pemerintah, peramalan inflasi merupakan jembatan penghubung untuk mengetahui nilai inflasi yang akan datang. Penelitian ini merupakan pengembangan peramalan inflasi di Indonesia yang dapat memberikan input bagi Bank Indonesia sebagai pertimbangan pengambilan kebijakan. Ada berbagai metode peramalan yang dapat digunakan untuk memprediksi nilai inflasi, antara lain pemulusan eksponensial, ARIMA atau Autoregressive Integrated Moving Average, model intervensi, variasi kalender, fungsi transfer, VAR atau Vector Autoregressive, dan neural network. Beberapa penelitian inflasi diluar negeri dapat dilihat pada Stock dan Watson (1999), Zhang (2003), dan Nakamura (2005) yang menggunakan metode neural network untuk peramalan inflasi di USA, McAdam dan McNelis (2006) yang menggunakan metode neural network sebagai metode peramalan inflasi di beberapa negara (USA, Jepang dan beberapa kota di Eropa), dan Moser, Rumbler, dan Scharler (2007) yang mengaplikasikan metode ARIMA dan VAR. Sedangkan di Indonesia, terdapat beberapa metode yang digunakan untuk peramalan inflasi. Metode tersebut meliputi neural network, ARIMA dan ARIMAX (Suhartono, 2005), ARIMA (Anggraini, 2009), fungsi transfer multi input (Meitasari, 2009; Septiorini, 2009), model intervensi dan variasi kalender (Setyaningsih, 2010). Akhir-akhir ini, himpunan fuzzy telah diaplikasikan untuk peramalan deret waktu. Weighted fuzzy time series (WFTS) merupakan salah satu perkembangan dari teori himpunan fuzzy yang digunakan untuk peramalan deret waktu. WFTS belum pernah digunakan untuk memprediksi inflasi, akan tetapi metode ini banyak digunakan dan telah sukses untuk memprediksi saham dan temperatur (Chen dan Hwang, 2000). Oleh karena itu dalam penelitian ini, metode WFTS akan dikembangkan untuk peramalan inflasi di Indonesia. Selain itu, pada penelitian sebelumnya lebih sering menggunakan orde tunggal sedangkan pada penelitian ini dikembangkan pada orde tinggi. Untuk mengetahui keakuratan dari WFTS, hasil ramalan WFTS akan dibandingkan dengan metode yang lain, yaitu pemulusan eksponensial dan ARIMA. Model terbaik menurut kriteria RMSE (Root Mean Squared Error) untuk peramalan inflasi umum di Indonesia yaitu MA(1) dengan outlier, untuk inflasi kelompok bahan makanan dan inflasi kelompok pendidikan dan olahraga yaitu metode WFTS dengan Algoritma Lee. 1

2 2. Tinjauan Pustaka Fuzzy time series ialah suatu konsep penemuan peramalan dimana hasil yang diperoleh dapat dibahasakan. Fuzzy time series pertama kali diperkenalkan oleh Song dan Chissom (1993a, 1993b). Menurut Song dan Chissom (1993b) fuzzy time series dibagi menjadi dua tipe, yaitu time variant dan time invariant. Jika semua hubungan antara waktu ke dengan (=1,2,,) sama, maka dinamakan time invariant fuzzy time series. Sedangkan jika semua hubungan tidak sama, maka dinamakan time variant fuzzy time series. Time variant fuzzy time series dipelajari oleh Hwang et al. (1998), Chen and Hwang (2000), dan Singh (2007). Sedangkan time invariant fuzzy time series terbagi menjadi dua orde, yaitu orde pertama dan orde tinggi. Orde pertama fuzzy time series dipelajari oleh Chen (1996) yang kemudian dikembangkan oleh Huarng (2001). Dan orde tinggi fuzzy time series dipelajari oleh Chen (2002), Yu (2005), dan Cheng et al. (2008). Secara umum, Song and Chissom (1993a, 1993b) menjelaskan fuzzy time series mengikuti beberapa definisi berikut. Misalkan ialah himpunan sampel, dimana =,,, dan =, + =,h. Himpunan fuzzy merupakan bagian dari yang didefinisikan sebagai = + + +, dimana merupakan anggota dari fungsi ; : 0,1. merupakan elemen umum dari, dan ialah derajat dari terhadap ; 0,1 serta 1. Definisi 1. Fuzzy time series. Misalkan (=,0,1,2, ) merupakan bagian dari bilangan real (). Maka himpunan sampel dari fuzzy ialah. Jika merupakan kumpulan dari,, maka disebut fuzzy time series pada. Definisi 2. Jika terdapat hubungan fuzzy 1,, maka = 1 1,, dimana ialah operator aritmatika, maka dapat dikatakan terjadi karena 1. Hubungan antara dengan 1 dapat ditulis 1. Definisi 3. Jika dihitung hanya dengan 1, dan = 1 1,. Untuk semua t, jika 1, independen terhadap maka merupakan time invariant fuzzy time series. Jika sebaliknya, merupakan time variant. Definisi 4. Jika 1= dan =, hubungan logika fuzzy atau Fuzzy Logical Relationship (FLR) dapat ditulis, dimana dan dinamakan sisi kiri atau Left-Hand Side (LHS) dan sisi kanan atau Right-Hand Side (RHS) dari FLR. Song (1999) mendefinisikan orde pertama dari fuzzy time series yang memiliki pola musiman sebagai berikut: Definisi 5. Misalkan merupakan fuzzy time series yang terdapat pola musiman dengan periode m, maka dapat ditulis hubungan fuzzy ialah. 2.1 Orde Tunggal Weighted Fuzzy Time Series Dengan dasar yang ditemukan oleh Song dan Chissom (1993a, 1993b), Chen (1996) menggembangkan fuzzy time series yang memiliki operasi sederhana, mengandung operasi matrik yang kompleks dan memiliki pembobot yang sama besar. Berikut ini merupakan algoritma metode Chen. Algoritma Chen 1. Mendefinisikan himpunan sampel (U = [awal, akhir]) dan interval sebagai gambaran aturan. U dapat dibagi menjadi beberapa bagian dengan panjang interval yang sama. 2. Mendefinisikan himpunan fuzzy berdasarkan himpunan sampel dan menghitung fuzzy dari data. 3. Mengamati fuzzy sesuai dengan aturan. 4. Menentukan FLR dan membuat grup sesuai dengan waktu. Contoh jika FLR berbentuk,,,,, maka grup hubungan logika fuzzy atau Fuzzy Logical Relationship Group (FLRG) ialah,, 5. Meramalkan. Jika 1=, maka nilai ramalan harus sesuai dengan beberapa aturan. Aturan tersebut meliputi: i. jika FLR dari tidak ada #, maka =, ii. jika hanya terdapat satu FLR (misal ), maka =, iii. jika,,, maka =,,,. 2

3 6. Defuzzy. Misalkan =,,,, maka =, dimana merupakan defuzzy dan ialah nilai tengah dari. Algoritma metode Chen memiliki beberapa kekurangan yaitu tidak mempedulikan adanya pengulangan serta tidak adanya pembobotan yang semakin kecil pada pengamatan yang semakin lama. Beberapa orang yang mencoba memperbaiki metode Chen yaitu Yu (2005), Cheng et al. (2008), dan Lee dan Suhartono (2010). Perbedaan metode tersebut ialah terletak setelah langkah ketiga. Algoritma dari Yu (2005), Cheng et al. (2008), dan Lee dan Suhartono (2010) ditulis secara berurutan pada Algoritma Yu, Algoritma Cheng, dan Algoritma Lee seperti berikut ini. Algoritma Yu 1. Mendefinisikan himpunan sampel (U = [awal, akhir]) dan interval sebagai gambaran aturan. U dapat dibagi menjadi beberapa bagian dengan panjang interval yang sama. 2. Mendefinisikan himpunan fuzzy berdasarkan himpunan sampel dan menghitung fuzzy dari data. 3. Mengamati fuzzy sesuai dengan aturan. 4. Menentukan FLR dan membuat grup sesuai dengan waktu. Contoh jika FLR berbentuk,,,,, maka FLRG ialah,,,, 5. Meramalkan dengan aturan yang sama seperti metode Chen. 6. Defuzzy. Misalkan =,,,, maka matrik defuzzy ialah nilai tengah dari,,, yang dapat ditulis =,,,, dimana menunjukkan nilai ramalan defuzzy dari. 7. Menghitung pembobot. Pembobot dari =,,, ialah,,, dengan =, dimana =1 dan = +1 untuk 2. Sehingga matrik pembobot dapat ditulis =,,, =,,, 8. Menghitung nilai ramalan akhir, dihitung dengan rumus = Algoritma Cheng 1. Mendefinisikan himpunan sampel (U = [awal, akhir]) dan interval sebagai gambaran aturan. U dapat dibagi menjadi beberapa bagian dengan panjang interval yang sama. 2. Mendefinisikan himpunan fuzzy berdasarkan himpunan sampel dan menghitung fuzzy dari data. 3. Mengamati fuzzy sesuai dengan aturan. 4. Menentukan FLR, membuat grup sesuai dengan waktu, dan menghitung bobotnya. Contoh jika FLR berbentuk,,,,, maka FLRG ialah,,,, dengan pembobot atau weight ialah =1 (RHS dari yang pertama), =1 (RHS dari yang pertama), =2 (RHS dari yang kedua), =1 (RHS dari yang pertama), =3 (RHS dari yang ketiga). Sehingga matrik pembobot dapat ditulis =,,,, = 1,1,2,1,3. 5. Menghitung pembobot standart ( ). Pembobot standart dihitung dengan rumus =,,, =,,, 6. Menghitung nilai ramalan yang sesuai dengan = 1 1, dimana 1 ialah matrik defuzzy dan 1 ialah matrik pembobot. Contoh jika ialah,,,, maka nilai ramalannya ialah =,,,,,,,, 7. Menghitung nilai ramalan adaptif sebagai nilai ramalan akhir dengan = 1+ 1, dimana 1 ialah pengamatan pada waktu 1 dan ialah parameter pembobot. Algoritma Lee 1. Mendefinisikan himpunan sampel (U = [awal, akhir]) dan interval sebagai gambaran aturan. U dapat dibagi menjadi beberapa bagian dengan panjang interval yang sama. 2. Mendefinisikan himpunan fuzzy berdasarkan himpunan sampel dan menghitung fuzzy dari data. 3. Mengamati fuzzy sesuai dengan aturan.. 3

4 4. Menentukan FLR dan membuat grup sesuai dengan waktu. Contoh jika FLR berbentuk,,,,, maka grup hubungan logika fuzzy atau FLRG ialah,,,, 5. Meramalkan dengan aturan yang sama seperti metode Chen. 6. Defuzzy. Misalkan =,,,, maka matrik defuzzy ialah nilai tengah dari,,, yang dapat ditulis =,,,, dimana menunjukkan nilai ramalan defuzzy dari. 7. Menghitung pembobot. Pembobot dari =,,, ialah,,, dengan =, dimana =1 dan = untuk 2 dan 1. Sehingga matrik pembobot dapat ditulis =,,, =,,, 8. Menghitung nilai ramalan akhir, dihitung dengan rumus = 2.2 Orde Tinggi Weighted Fuzzy Time Series Order tinggi fuzzy time series didefinisikan oleh Chen (2002) seperti berikut: Definisi 6. Diberikan merupakan fuzzy time series. Jika terjadi dikarenakan 1, 2,,, maka FLR dapat dituliskan pada persamaan berikut..,, 2, 1 (1) Algoritma perhitungan WFTS untuk setiap metode sama dengan algoritma pada orde tunggal, akan tetapi terdapat beberapa aturan dalam langkah defuzzy. Berikut ini merupakan aturan-aturan defuzzy pada setiap metode: Aturan Chen: 1. Jika = memiliki satu nilai RHS. Misalkan nilai =,, 2=, 1= dan pada FLR memiliki satu nilai RHS yaitu maka defuzzy-nya ialah = 2. Jika memiliki lebih dari satu nilai RHS. Misalkan,,,,,, maka defuzzy ialah = 3. Jika FLR dari,, 2, 1 tidak ada atau misalkan,,, # maka nilai defuzzy-nya ialah i. = ii. atau = Aturan Yu: 1. Jika = maka nilai defuzzy atau sama dengan aturan Chen ke 1 2. Jika lebih dari satu. Misalkan,,,,,, maka defuzzy ialah = 3. Jika FLR dari,, 2, 1 tidak ada atau misalkan,,, # maka nilai defuzzy-nya ialah = Aturan Cheng: 1. Jika = maka nilai defuzzy atau sama dengan aturan Chen ke 1 2. Jika lebih dari satu. Misalkan,,,,,,,, maka defuzzy-nya ialah (2) = (3) 4

5 3. Jika FLR dari,, 2, 1 tidak ada. Misalkan,, # dan maka nilai defuzzy-nya ialah =. Misalkan,, # dan = = maka nilai defuzzy-nya ialah =. Aturan Lee: 1. Jika = maka nilai defuzzy atau sama dengan aturan Chen ke 1 2. Jika lebih dari satu. Misalkan,,,,,, maka defuzzy ialah = 3. Jika FLR dari,, 2, 1 tidak ada atau,,, # Misalkan orde tiga dengan FLR yaitu 3, 2, 1. Misalkan,, # maka ter-dapat beberapa skema yang diusulkan dengan beberapa definisi, yaitu: i. ialah defuzzy dari orde tunggal dari 1 ii. ialah defuzzy dari orde tunggal dari 2 iii. ialah defuzzy dari orde tunggal dari 3 iv. ialah defuzzy dari orde dua dari 2, 1 v. ialah defuzzy dari orde dua dari 3, 1 vi. ialah defuzzy dari orde dua dari 3, 2. Berikut ini merupakan beberapa skema yang diusulkan: Skema 1 1. Jika ada, maka =. 2. Jika tidak ada dan ada, maka = 3. Jika dan tidak ada, maka = 4. Jika,, dan tidak ada, maka = Skema 2 1. Jika dan ada, maka = 2. Jika dan ada, maka = 3. Jika dan ada, maka = 4. Sama dengan skema 1 ke 4 Skema 3 1. Jika, dan ada, maka = 2. Sama dengan skema 1 ke 4 Skema 4 1. Jika ada, maka = 2. Jika tidak ada dan ada, maka = 3. Jika, tidak ada dan ada, maka = Jika,, dan tidak ada, maka = 3. Metodologi Penelitian Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan data sekunder yang dipublikasikan oleh Badan Pusat Statistik (BPS). Terdapat dua cara publikasi yang dilakukan oleh BPS, yaitu melalui website dan buku. Alamat website untuk memperoleh data inflasi ialah: untuk data bulanan mengenai inflasi umum di Indonesia periode 2005 sampai untuk data bulanan mengenai inflasi umum menurut kelompok pengeluaran periode uari 2006 sampai uari Sedangkan publikasi yang berupa buku dapat diperoleh pada perpustakaan BPS. Beberapa buku yang berisi data inflasi yaitu buku yang berjudul Indeks Harga Konsumen di 43 Kota di Indonesia, Indeks Harga Konsumen di 45 Kota di Indonesia, dan Indikator Ekonomi. 5

6 Variabel penelitian yang akan digunakan pada penelitian ini ialah data bulanan tentang inflasi umum di Indonesia, data inflasi kelompok bahan makanan dan data inflasi kelompok pendidikan dan olahraga. Langkah-langkah dalam penelitian ini sesuai dengan tujuan yang ingin dicapai yaitu: 1. Membagi data menjadi dua bagian, yaitu data training dan testing. Data training digunakan untuk memodelkan yaitu dari periode uari 2000 sampai Desember Sedangkan data testing (periode uari 2010 sampai Desember 2010) digunakan untuk membandingan nilai RMSE dari metode WFTS dengan pemulusan eksponensial dan ARIMA. 2. Aplikasi metode pemulusan eksponensial, ARIMA, dan WFTS sesuai dengan Algoritma Chen, Yu, Cheng, dan Lee. 3. Peramalan 12 data yang akan datang menggunakan metode WFTS, pemulusan eksponensial, dan ARIMA. Hasil dari peramalan 12 data tersebut akan dibandingkan dengan data testing. 4. Penentuan model peramalan inflasi terbaik dengan membandingkan nilai RMSE data testing yang disertai dengan nilai MAPE. Nilai RMSE dan MAPE dihitung dengan rumus seperti berikut = dan = 100, 0 (4) 5. Peramalan inflasi Model yang didapat pada langkah empat digunakan untuk peramalan inflasi Analisis dan Pembahasan Plot time series digunakan untuk mengidentifikasi adanya pola trend maupun musiman. Berikut ini merupakan plot time series dari data inflasi umum di Indonesia, inflasi kelompok bahan makanan, dan inflasi kelompok pendidikan dan olahraga. Plot Time Series dari Y(t) Plot Time Series dari Y(t) Plot Time Series dari Y(t) Y(t) 4 Y(t) 2 Y(t) Month Year Month Year (a) (b) (c) Gambar 1. (a) Time series plot data inflasi umum di Indonesia, (b) Time series plot data inflasi kelompok bahan makanan, dan (c) Time series plot data inflasi kelompok pendidikan dan olahraga Month Year Inflasi Umum di Indonesia Berdasarkan Gambar 1 (a), tidak ada indikasi kuat adanya pola trend maupun musiman pada data inflasi umum di Indonesia. Terlihat pula bahwa terdapat satu outlier yaitu pada Oktober Hal ini disebabkan karena terdapat kenaikan harga BBM. Metode pertama yang digunakan ialah pemulusan eksponensial tunggal karena data inflasi umum di Indonesia tidak terdapat pola trend maupun musiman. Dengan bantuan paket program Minitab, diperoleh persamaan pemulusan eksponensial tunggal yang sesuai pada persamaan (5). =0,04 +0,96 (5) Metode kedua yang digunakan untuk peramalan ialah metode ARIMA. Ada beberapa langkah untuk mendapatkan nilai peramalan menggunakan metode ARIMA yang sesuai dengan metodologi Box- Jenkins. Dengan metodologi tersebut dan detekteksi outlier diperoleh model model MA(1) dengan outlier yang dapat ditulis seperti berikut: dengan =0, , , ,50254, +1,72557, + 7,63223, +1,18866, 0,43763, 1, =, = 0, 1, dan, = 0, <. 6 (6)

7 Metode yang ketiga ialah metode WFTS. Ada beberapa algoritma dalam metode WFTS yang akan digunakan dalam penelitian ini, yaitu algoritma Chen, Yu, Cheng, dan Lee. Penelitian ini menggunakan orde tunggal dan orde tinggi (orde dua dan tiga). Data inflasi umum di Indonesia cenderung telah stasioner sehingga orde yang digunakan pada orde tunggal yaitu orde pertama, pada orde dua ialah orde pertama dan kedua, sedangkan pada orde tiga yaitu orde pertama, kedua, dan ketiga. Setiap orde memiliki langkah-langkah yang sama. Langkah pertama pada keempat algoritma yang digunakan ialah mendefinisikan himpunan sampel dan interval sebagai gambaran, dimana himpunan sampel dibagi menjadi beberapa bagian. Pada penelitian ini himpunan sampel dibagi menjadi 5, 6, dan 7 bagian (tidak termasuk outlier) dengan panjang interval yang berturut-turut yaitu 0,6, 0,5, dan 0,43. Bagian-bagian tersebut ditunjukan pada berikut ini: Tabel 1. Bagian-bagian dari himpunan sampel pada data inflasi umum di Indonesia 5 dari 16 Bagian 6 dari 19 Bagian 7 dari 22 Bagian Bagian Interval Bagian Interval Bagian Interval -0,5 0,1-0,2-0,5 0-0,25-0,5 (-0,07) -0,285 0,1 0,7 0,4 0 0,5 0,25-0,07 0,36 0,145 0,7 1,3 1 0,5 1 0,75 0,36 0,79 0,575 1,3-1,9 1,6 1 1,5 1,25 0,79 1,22 1,005 1,9 2,5 2,2 1,5 2 1,75 1,22 1,65 1,435 8,5 9,1 8,8 2 2,5 2,25 1,65 2,08 1,865 8,5 9 8,75 2,08 2,51 2,295 8,54 8,96 8,745 Keterangan: 5 dari 16 bagian maksudnya ialah terdapat 16 bagian dari himpunan sampel = 0,5, 9,1, dan sampai kosong maka =. Begitu juga untuk 6 dari 19 bagian = dan 7 dari 22 bagian =. Langkah berikutnya ialah mendefinisikan himpunan fuzzy berdasarkan himpunan sampel dan menghitung fuzzy dari data. Setelah diperoleh nilai fuzzy dari data maka fuzzy tersebut diamati sesuai dengan aturan, kemudian membuat FLR dan FLRG. FLRG pada algoritma Chen tidak mempedulikan pengulangan dan urutan waktu. FLRG orde tunggal pada algoritma Chen dimana terdapat 16 himpunan fuzzy seperti pada Tabel 2. Sedangkan FLRG pada algoritma Yu, Cheng, dan Lee mempedulikan pengulangan dan urutan waktu sehingga algoritma tersebut memiliki FLRG yang sama (seperti Tabel 3 untuk orde tunggal dan k = 5). FLRG digunakan untuk meramalkan yang kemudian di-defuzzy-kan. Sebagai contoh perhitungan nilai defuzzy pada =13, nilai 1=1,94 maka 13 1= dengan dasar Tabel 2 maka 13=,, dan nilai defuzzy-nya ialah 13= =,,, =0,6. Tabel 2. FLRG,, dan defuzzy berdasarkan algoritma Chen 1,,,,,,,, 1,,,,,,,, 2,32,,,, 1,,,,,,,, 1,,,, 0,6 1,6 Berdasarkan Tabel 3, maka 13=,,,,.. Sedangkan nilai defuzzy menurut algoritma Yu, Cheng dan Lee ialah: 1. Menurut algoritma Yu 13= =0,0267, 7

8 1 Tabel 3. FLRG berdasarkan algoritma Yu, Cheng, dan Lee,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2. Menurut algoritma Cheng 13= =0, = =1, ,32 Dengan optimasi nilai RMSE pada data training diperoleh nilai =0,97 sehingga 13=0, Menurut algoritma Lee 13= Dengan optimasi nilai RMSE pada data testing diperoleh nilai =1,1 sehingga 13=0,8175 Tabel 4 merupakan FLRG dari algoritma Chen pada = 5 untuk orde dua data inflasi umum di Indonesia. Sedangkan orde tiga yang digunakan ialah orde ketiga, kedua, dan kesatu. Cara perhitungan pada orde tiga hampir sama dengan orde dua. Pada orde dua dan tiga, nilai defuzzy yang digunakan dari algoritma Chen dan Lee ialah nilai defuzzy yang memiliki nilai RMSE testing terkecil. Evaluasi kebaikan dapat dilihat dari nilai RMSE pada data testing seperti pada Tabel 5. Tabel 5 menunjukkan bahwa algoritma Cheng pada orde (1,2,3) dan k = 7 merupakan algoritma terbaik daripada semua algoritma karena memiliki nilai RMSE yang terkecil. Sedangkan yang memiliki nilai MAPE terkecil yaitu algoritma Yu pada orde (1,2,3) dan k = 7. Pada k = 6, algoritma yang memiliki nilai RMSE terkecil ialah algoritma Lee dengan orde (1,2,3). Sedangkan pada k = 5, algortima Cheng pada orde (1) memiliki nilai RMSE terkecil jika dibandingkan dengan semua algoritma pada k yang sama. Pada orde dua dan tiga, nilai k yang tepat untuk digunakan ialah k = 7. Sedangkan orde satu nilai k yang tepat ialah pada k = 5. Berdasarkan hasil pemulusan eksponensial tunggal, ARIMA, dan WFTS diperoleh nilai RMSE dan MAPE yang dapat ditabelkan seperti pada Tabel 6. Berdasarkan Tabel 6, nilai RMSE terkecil ialah model MA(1) dengan outlier, sedangkan nilai MAPE terkecil dimiliki oleh metode WFTS Lee dengan orde (1,2,3). Penelitian ini lebih mengutamakan nilai RMSE sehingga model yang digunakan untuk meramalkan inflasi umum di Indonesia 2011 ialah model ARIMA. Pada subbab sebelumnya model ARIMA yang digunakan ialah model MA(1) dengan outlier. Dengan langkah yang sama seperti sebelumnya diperoleh model ARIMA dengan outlier yaitu model MA(1) dengan outlier yang dapat ditulis seperti pada persamaan (7). Persamaan tersebut digunakan untuk mendapatkan nilai ramalan inflasi umum di Indonesia tahun 2011 yang tertera pada Tabel 9. dimana =0, , ,2199, +1,45372, 0,26189, + 1,80656, +7,66085, +1,20461, 1, =, = 0, 1, dan, = 0, < (7) 8

9 Tabel 4. FLRG orde dua berdasarkan algoritma Chen 2 1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Tabel 5. Nilai RMSE dan MAPE data testing inflasi umum di Indonesia RMSE MAPE Orde Metode k = 5 k = 6 k = 7 k = 5 k = 6 k = 7 (1) Chen 0,693 1,193 1, , , ,233 Yu 0,462 0,504 0, , , ,247 Cheng 0,451 0,498 0, , ,691 99,705 Lee 0,457 0,487 0, , , ,982 (1,2) Chen 0,503 0,570 0, ,842 98,516 84,736 Yu 0,503 0,574 0, , ,146 84,736 Cheng 0,474 0,519 0, ,426 95,434 88,955 Lee 0,474 0,479 0, , , ,021 (1,2,3) Chen 0,503 0,570 0, ,842 98, ,678 Yu 0,503 0,570 0, ,842 98,053 82,745 Cheng 0,461 0,516 0, ,251 97, ,955 Lee 0,532 0,473 0, , , ,900 Tabel 6. Nilai RMSE dari metode pemulusan eksponensial tunggal, ARIMA dan WFTS pada Inflasi umum di Indonesia Metode RMSE MAPE Pemulusan Eksponensial Tunggal 0, ,541 ARIMA: MA (1) dengan outlier 0,324 91,96276 WFTS: 1. Chen dengan orde (1,2,3) 0, , Yu dengan orde (1) 0, , Cheng dengan orde (1,2,3) 0, , Lee dengan orde (1,2,3) 0, ,026 9

10 4.2 Inflasi Kelompok Bahan Makanan Berdasarkan Gambar 1 (b), tidak terdapat pola musiman dengan terjadi kenaikan setiap akhir tahun dan terjadi penurunan inflasi pada awal bulan. Data inflasi kelompok bahan makanan menunjukkan bahwa terdapat pola musiman. Dengan cara yang sama dengan inflasi umum di Indonesia diperoleh model pemulusan eksponensial dan ARIMA(0,0,[1,12]) dengan outlier seperti pada persamaan (8) dan (9) berikut: =0,08 +0,92 (8) =0, , , ,51497, + 5,55115, 4,67590, 1, = dimana, = 0, Metode yang ketiga ialah metode WFTS. Data inflasi kelompok bahan makanan cenderung memiliki pola musiman, sehingga orde yang digunakan ialah orde tunggal, ganda dan tiga. Orde tunggal yang digunakan ialah orde kesatu dan orde kedua belas. Orde ganda yang digunakan ialah orde kesatu dan kedua serta kesatu dan kedua belas. Sedangkan orde tiga yang digunakan ialah orde kesatu, kedua, ketiga serta orde kesatu, kedua, dan keduabelas. Pada penelitian ini himpunan sampel dibagi menjadi 7, 8, dan 11 bagian dengan panjang interval yang berturut-turut yaitu 1,5, 1,3, dan 1. Berdasarkan hasil pemulusan eksponensial, ARIMA, dan WFTS sebelumnya diperoleh nilai RMSE dan MAPE pada data testing seperti pada berikut: Tabel 7. Nilai RMSE dari metode pemulusan eksponensial tunggal, ARIMA dan WFTS pada Inflasi kelompok bahan makanan Metode RMSE MAPE Pemulusan Eksponensial Tunggal 1,658 86,471 ARIMA: MA ([1,12]) dengan outlier 1,710 86,807 WFTS: 1. Chen dengan orde (12) 1, , Yu dengan orde (1) 1,639 91, Cheng dengan orde (1) 1, , Lee dengan orde (1,2,3) 1,377 87,726 Tabel 7 menunjukkan bahwa metode WFTS, algoritma Lee pada orde (1,2,3) dan k = 8 merupakan model terbaik jika dibandingkan model pemulusan eksponensial maupun ARIMA (ditinjau dari nilai RMSE). Sedangkan nilai MAPE terkecil dimiliki oleh model dari pemulusan eksponensial tunggal. Model yang digunakan untuk meramalkan inflasi kelompok bahan makanan tahun 2011 ialah model WFTS algoritma Lee dengan k = 8, c = 2,1 dan orde (1,2,3) karena penelitian ini lebih mengutamakan nilai RMSE. Model tersebut dapat ditulis sebagai berikut: = dengan aturan: i. Jika = maka nilai defuzzy atau =. ii. Jika lebih dari satu. Misalkan,,,,, maka defuzzy ialah =,,,, Data inflasi kelompok bahan makanan dari tahun 2000 sampai tahun 2010 memiliki nilai minimum sebesar -2,820 dan nilai maximum sebesar 7,24, sehingga himpunan sampel yang dibagi menjadi tujuh kelompok masih dapat berlaku untuk peramalan inflasi kelompok bahan makanan tahun Nilai ramalan inflasi kelompok bahan makanan pada tahun 2011 menggunakan algoritma tersebut seperti pada Tabel (9) 10

11 4.3 Inflasi Kelompok Pendidikan dan Olahraga Berdasarkan Gambar 1 (c), data inflasi kelompok pendidikan dan olahraga tidak membentuk pola trend. Data tersebut membentuk pola musiman 12 dengan sekitar bulan juli dan agustus terdapat kenaikan inflasi kemudian mengalami penurunan kembali. Dengan cara yang sama dengan analisis sebelumnya diperoleh model pemulusan eksponensial winter seperti berikut: 1. Nilai pemulusan eksponensial secara keseluruhan pada waktu yaitu: =0,03 +0, Nilai estimasi trend pada waktu yaitu =0,17 +0,83 3. Nilai estimasi musiman pada waktu yaitu 4. Nilai ramalan waktu kedepan yaitu =0,99 +0,01 dan ARIMA(0,0,[1,12]) dengan outlier seperti berikut dengan = + + =0,019+0, ,239 +0,370 +0,344, 0,472, +0,343, + 0,389, +0,432, +0,349, +0,280, +0,092, 0,074, (10) 1, =, = 0, 1, dan, = 0, <. dimana = +1. Metode yang ketiga ialah metode WFTS. Pada data inflasi kelompok pendidikan dan olahraga, himpunan sampel dibagi menjadi 10, 15, dan 20 bagian dengan panjang interval yang berturut-turut yaitu 1, 0,7, dan 0,5. Setiap himpunan sampel tersebut diterapkan pada tida orde yaitu orde satu, orde dua, dan orde tiga. Orde satu yang digunakan ialah orde kesatu dan orde keduabelas. Orde dua yang digunakan ialah orde kesatu dan kedua serta orde kesatu dan keduabelas. Sedangkan orde tiga yang digunakan ialah orde kesatu, kedua dan ketiga serta orde kesatu, kedua, dan keduabelas. Berdasarkan hasil pemulusan eksponensial, ARIMA, dan WFTS diperoleh nilai RMSE pada data testing seperti pada Tabel 8. Tabel 8. Nilai RMSE dari metode pemulusan eksponensial tunggal, ARIMA dan WFTS pada Inflasi kelompok pendidikan dan olahraga Metode RMSE MAPE Pemulusan Eksponensial oleh Winter 0, ,143 ARIMA([5],0,[3,12])(0,1,0) 12 dengan outlier 0, ,639 WFTS: 1. Chen dengan orde (12,24) 0, , Yu dengan orde (12) 0, , Cheng dengan orde (12) 0,161 80, Lee dengan orde (12) 0,125 65,276 Tabel 8 menunjukkan bahwa metode terbaik untuk meramalkan inflasi kelompok pendidikan dan olahraga ialah metode WFTS algoritma Lee karena memiliki nilai RMSE dan MAPE terkecil. Metode WFTS pada algoritma Lee yang digunakan memiliki orde (12), k = 20, dan c = 1,5. Oleh karena itu diterapkan algoritma tersebut untuk meramalkan inflasi kelompok bahan makanan tahun Model tersebut dapat ditulis ditulis = 12 yang memiliki beberapa aturan, yaitu: i. Jika = maka nilai defuzzy atau =. ii. Jika lebih dari satu. Misalkan,,,,, maka defuzzy ialah =,,,, iii. Jika FLR dari 12 tidak ada dan 12= maka nilai defuzzy atau = 11

12 Data inflasi kelompok pendidikan dan olahraga dari tahun 2000 sampai tahun 2010 menunjukkan bahwa memiliki nilai minimum sebesar -0,28 dan nilai maksimum sebesar 9,63, sehingga himpunan sampel yang dibagi menjadi dua puluh kelompok masih dapat berlaku untuk peramalan inflasi kelompok pendidikan dan olahraga. Algoritma Lee pada orde (12), k = 20, dan c = 1,6 memiliki nilai RMSE data training sebesar 0,4561. Algoritma tersebut digunakan untuk meramalkan nilai inflasi kelompok pendidikan dan olahraga yang sesuai pada Tabel 9. Tabel 9. Nilai Ramalan Inflasi umum di Indonesia, inflasi kelompok bahan makanan, inflasi kelompok pendidikan dan olahraga tahun 2011 Bulan Inflasi umum di Indonesia Inflasi kelompok bahan makanan 12 Inflasi kelompok pendidikan dan olahraga uari 0,639 2,431-0,049 Februari 0,521 2,850-0,049 Maret 0,521-1,469-0,049 April 0,521 0,250-0,049 Mei 0,521 0,250-0,049 Juni 0,521 2,271-0,049 Juli 0,521 4,150 0,808 Agustus 0,521 0,250 1,223 September 0,521 0,250 0,352 Oktober 0,521-1,050 0,352 Nopember 0,521 1,131-0,049 Desember 0,521 2,850-0, Kesimpulan Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan pada bab sebelumnya, maka dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut: 1. Orde terbaik pada peramalan Inflasi umum di Indonesia menggunakan metode WFTS ialah orde tiga yaitu orde kesatu, kedua, dan ketiga. Metode WFTS memiliki nilai RMSE yang lebih besar jika dibandingkan dengan model MA(1) dengan outlier. Oleh karena itu model yang tepat untuk peramalan inflasi umum di Indonesia tahun 2011 yaitu model MA(1) dengan outlier yang dapat ditulis sebagai berikut: =0, , ,2199, +1,45372, 0,26189, + +7,66085, +1,20461, 1,80656, 1, = dengan, = 0, 1, dan, = 0, < 2. Orde terbaik pada metode WFTS yang dapat digunakan untuk peramalan inflasi kelompok bahan makanan yaitu orde tiga, yaitu orde kesatu, kedua dan ketiga. Metode WFTS merupakan metode yang paling baik digunakan untuk peramalan inflasi kelompok bahan makanan tahun 2011 karena metode tersebut memiliki nilai RMSE terkecil dibangdingkan dengan model pemulusan eksponensial sederhana maupun model MA([1,12]) dengan outlier. Metode WFTS yang digunakan ialah algoritma Lee pada orde (1,2,3), k = 8 (8 himpunan bagian sampel), dan c = 2,1 yang memiliki model sebagai berikut: = dengan aturan: i. Jika = maka nilai defuzzy atau =. ii. Jika lebih dari satu. Misalkan,,,,, maka defuzzy ialah = 3. Pada metode WFTS, orde terbaik yang digunakan untuk peramalan inflasi kelompok pendidikan dan olahraga ialah orde tunggal yaitu orde keduabelas. Metode tersebut juga merupakan metode terbaik

13 dibandingkan dengan model ARIMA([5],0,[3,12])(0,1,0) 12 dengan outlier maupun pemu-lusan eksponensial. Algoritma pada model WFTS yang digunakan untuk peramalan inflasi kelompok pendidikan dan olahraga ialah algoritma Lee pada orde (12), k = 20 (20 himpunan bagian sampel), dan c = 1,6. Model WFTS tersebut dapat ditulis = 12 yang memiliki beberapa aturan, yaitu: i. Jika = maka nilai defuzzy atau =. ii. Jika lebih dari satu. Misalkan,,,,, maka defuzzy ialah =,,,, iii. Jika FLR dari 12 tidak ada dan 12= maka nilai defuzzy atau = 6. Daftar Pustaka Anggraini, A.D Pemodelan ARIMA pada Data Inflasi Bulanan dan Kelompok Barang dan Jasa di Jawa Timur. Tugas Akhir Jurusan Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Bank Indonesia. 2008a. Pentingnya Kestabilan Harga, < /Inflasi/Pengenalan+Inflasi/pentingnya.htm> Diunduh pada 07 Februari 2011 pukul Bank Indonesia. 2008b. Inflasi, < Moneter/Inflasi/Pengenalan+Inflasi/> Diunduh pada 07 Februari 2011 pukul 13:33. Bowerman, B.L., and O Connell, R.T., Forecasting and Timse Series: An Applied Approach. 3 rd edition. California: Duxbury Press. Box, G.E.P., Jenkins, G.M., and Reinsel, G.C Time Series Analysis, Forecasting and Control. 3 rd edition. Englewood Cliffs: Prentice Hall. BPS Inflasi, < id_subyek=03&tabel=1&fl=2)> Diunduh pada 07 Februari 2011 pukul 13:35. BPS Data Strategis BPS, < download_file/data_strategis.pdf> Diunduh pada 07 Februari 2011 pukul 13:40. Chen, S.M Forecasting Enrollments Based on Fuzzy Time Series. Fuzzy Sets and System 81, 3: Chen, S.M Forecasting Enrollments Based on High-order Fuzzy Time Series. Cybernetics and Systems 33, 1:1-16. Chen, S.M. and Hwang, J.R Temperature Prediction Using Fuzzy Time Series. IEEE Transaction on Systems, Man, and Cybernetics 30, 2: Cheng, C.H., Chen, T.L., Teoh, H.J., and Chiang, C.H Fuzzy Time Series Based on Adaptive Expectation Model for TAIEX Forecasting. Expert Systems with Application 34, 2: Cryer, J.D., and Chan, K.S Time Series Analysis with Application in R. 2 nd edition. New York: Springer Science+Business Media. Huarng, K.H Heuristic Models of Fuzzy Time Series for Forecasting. Fuzzy Sets and Systems 123, 3: Hwang, J.R., Chen, S.M., and Lee, C.H Handling Forecasting Problems Using Fuzzy Time Series. Fuzzy Sets and Systems 100, 2: Lee, M.M., and Suhartono An Novel Weighted Fuzzy Time Series Models for Forecasting Seasonal Data. Proceeding 2 nd International Conference on Mathematical Sciences. Kuala Lumpur, 30 November-30 Desember: Makridakis, S., Wheelwright, S.C., and McGee, V.E Metode dan Aplikasi Peramalan, Jilid Satu. Edisi Kedua. Jakarta: Binarupa Aksara. McAdam, P., and McNelis, P Forecasting Inflation With Thick Models and Neural Networks. Economic Modelling 22, Meitasari, S Model Peramalan Inflasi Nasional dengan Fungsi Tranfer Multi Input. Tugas Akhir Jurusan Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Moser, G., Rumbler, F., and Scharler, J Forecasting Austrian Inflation. Economic Modeling 24, Nakamura, E Inflation Forecasting using A Neural Network. Economic Letters 86,

14 McAdam, P., and McNelis, P Forecasting Inflation with Thick Models and Neural Network. Economic Modelling 22, Minitab, Inc Minitab Statistical Software, Release 16 for Windows, State College, Pennsylvania. Palit, A.K., and Popovic, D Computational Intelligence in Time Series Forecasting Theory and Engineering Application. London: Springer Setyaningsih, D Penerapan Model Intervensi, Variasi Kalender, dan Deteksi Outlier untuk Penentuan Mean Model pada Data Inflasi Beberapa Kota Besar di Jawa. Tugas Akhir Jurusan Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Septiorini, A Peramalan Inflasi Nasional yang Dipengaruhi Faktor Ekonomi Makro dengan Metode Fungsi Transfer. Tugas Akhir Jurusan Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Sigh, S.R A Simple Time-Variant Method for Fuzzy Time Series Forecasting. Cybernetics and Systems 38, 3: Stock, J.H., and Watson, M.W Forecasting Inflation. Journal of Monetary Economics 44, 293:335. Suhartono Neural Network, ARIMA and ARIMAX Models for Forecasting Indonesian Inflation. Jurnal Widya Manajemen & Akutansi 5, 3: Suhartono Feedforward Neural Networks untuk Pemodelan Runtun Waktu. Disertasi Jurusan Matematika, Universitas Gadjah Mada. Song, Q., and Chissom, B.S. 1993a. Forecasting Enrollments with Fuzzy Time Series-part I. Fuzzy Sets and System 54, 1-9. Song, Q., and Chissom, B.S. 1993b. Fuzzy Time Series and Its Model. Fuzzy Sets and System 54, Song, Q Seasonal Forecasting in Fuzzy Time Series. Fuzzy Sets and Systems 107, Wei, W.W.S Time Series Analysis, Univariate and Multivariate Methods. 2 nd edition. Pennsylvania: Pearson Education Inc. Yaffe, R. A. and McGee, M Introduction to Time Series Analysis and Forecasting with Applications of SAS and SPSS. New York: Academic Press Inc. Yu, H.K Weighted Fuzzy Time Series Models for TAIEX Forecasting. Physica A. Statistical Mechanics and Its Application 349, Zhang, G.P Time Series Forecasting using A Hybrid ARIMA and Neural Network Model. Neurocomputing 50,