KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV UNTUK MENDUGA VOLATILITAS INDEKS HARGA SAHAM ABDUL BAIST

Transkripsi

1 KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV UNTUK MENDUGA VOLATILITAS INDEKS HARGA SAHAM ABDUL BAIST SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2013

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Kajian Model Hidden Markov untuk Menduga Volatilitas Indeks Harga Saham adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir Tesis ini. Bogor, Januari 2013 Abdul Baist NRP G

3 ABSTRACT ABDUL BAIST. The Study of Hidden Markov Model for Estimating Stocks Index Volatility. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and N. K. KUTHA ARDANA. Volatility is a measure of uncertainty, which is useful for investor to plan a good investment strategy. The problem is that volatility is unobservable, and estimating volatility is not a trivial task. Hidden Markov model is, a model which is consisted of two processes, i.e. observation and a Markov process. The Markov process is assumed to be unobserved (hidden). In this thesis, LQ45 index is considered as the observation process and the unobserved hidden Markov is the volatility. To estimate the volatility of LQ45 index, the model proposed by Rossi and Gallo (2006) is used. The result of the study shows that volatility estimation of the LQ45 index using the model performs well. This is shown by the calculated error using symmetric mean absolute percentage error, which is only about 13.62%. Keywords: hidden Markov model, volatility estimation

4 RINGKASAN ABDUL BAIST. Kajian Model Hidden Markov untuk Menduga Volatilitas Indeks Harga Saham. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan N. K. KUTHA ARDANA. Misalkan harga sebuah aset pada waktu t. Return atas aset tersebut, yaitu, dianggap sebagai peubah acak yang dapat diamati pada waktu t, untuk t = 1,,T. Volatilitasnya dikendalikan oleh 3-state rantai Markov dengan ruang state dengan adalah vektor satuan di. Model volatilitas stokastik ditulis dalam format ruang state: (1), (2) adalah bentuk autoregresi sederhana. (3) dan diasumsikan bebas, di mana merupakan perubahan return yang di mana diasumsikan menyebar Student s-t dengan varians satu dan derajat kebebasan, sedangkan merupakan representasi semi-martingale,, [ ] dan adalah filtrasi yang dibangkitkan oleh. adalah nilai volatilitas yang terjadi pada waktu t, di mana {, (4) dengan dan adalah konstanta. Ketika positif, dapat diartikan bahwa varians berada pada regime (state) volatilitas terendah, dan varians berada pada regime (state) volatilitas tertinggi. Untuk menggambarkan keadaan di mana volatilitas dibangkitkan oleh return pada waktu t, maka matriks transisi didefinisikan sebagai berikut: [ ] {, (5) [ ] di mana ( ) dan ( ). Elemen matriks didefinisikan sebagai berikut: [ ] { [ ] (6)

5 [ ] [ ] { di mana > 0 ( adalah parameter yang menggambarkan korelasi antara return dan perubahan volatilitas), dan, ( adalah parameter time-varying) untuk beberapa koefisien a dan b, di mana ( ) menyatakan fungsi sebaran normal baku. Pasangan merupakan model Hidden Markov, dan berdasarkan persamaan (1)-(6), model Hidden Markov untuk volatilitas tersebut dicirikan oleh. Fungsi log-likelihood didefinisikan sebagai ( ), dengan. Untuk pendugaan parameter yang memaksimumkan fungsi log-likelihood digunakan algoritma Berndt, Hall, Hall, Hausman (BHHH). Pendugaan volatilitas untuk satu langkah ke depan adalah, Dari 1375 data yang tersedia, sebanyak 917 (sekitar dua pertiga dari keseluruhan) digunakan untuk pendugaan model (in-sample), sementara itu sisanya sebanyak 458 digunakan untuk analisis out-of-sample (prediksi yang akan datang). Dari data in-sample yang digunakan, dengan data nilai awal, menghasilkan parameter model sebagai berikut:. Pendugaan volatilitas untuk satu langkah ke depan diterapkan pada data in-sample dan out-of-sample. Perhitungan galat menggunakan Symmetric Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) dengan rumus

6 SMAPE { di mana A t nilai aktual, dan F t nilai dugaan. Perhitungan SMAPE dari volatilitas dugaan in-sample menghasilkan nilai rataan galat sebesar 13.79%, nilai galat maksimum sebesar 67.28%, dan nilai galat minimum sebesar 0.00%, serta kuartil ke-1 (Q 1 ), kuartil ke-2 (Q 2 ), dan kuartil ke- 3 (Q 3 ) masing-masing sebesar 4.80%, 11.24%, dan 20.09% serta jarak interkuartil sebesar 15.29%. Perhitungan SMAPE dari volatilitas dugaan out-of-sample menghasilkan nilai rataan galat sebesar 13.62%, nilai galat maksimum sebesar 60.07%, dan nilai galat minimum sebesar 0.004%, serta kuartil ke-1 (Q 1 ), kuartil ke-2 (Q 2 ), dan kuartil ke-3 (Q 3 ) masing-masing sebesar 5.71%, 11.32%, dan 20.06% serta jarak interkuartil sebesar 14.35%. Kata kunci: model Hidden Markov, algoritma BHHH, volatilitas, SMAPE

7 Hak Cipta milik IPB, tahun 2013 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

8 KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV UNTUK MENDUGA VOLATILITAS INDEKS HARGA SAHAM ABDUL BAIST Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

9 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

10 Judul Tesis Nama NRP : Kajian Model Hidden Markov untuk Menduga Volatilitas Indeks Harga Saham : Abdul Baist : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Berlian Setiawaty, M.S. Ketua Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr. Tanggal Ujian: 23 Januari 2013 Tanggal Lulus:

11 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini ialah model hidden Markov, dengan judul Kajian Model Hidden Markov untuk Menduga Volatilitas Indeks Harga Saham. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Berlian Setiawaty, M.S. dan Bapak Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. selaku pembimbing. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada bapak, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Januari 2013 Abdul Baist

12 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 8 Mei 1979 dari bapak H. Muhammad Ali dan ibu Hj. Asiah. Penulis merupakan putra ke lima dari enam bersaudara. Pendidikan sarjana ditempuh di Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Pendidikan Indonesia Bandung, lulus pada tahun Pada tahun 2009, penulis diterima di Program Studi Matematika Terapan pada Program Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Penulis bekerja sebagai pengajar di SMK Muhammadiyah 3 Jakarta dari tahun 2006 hingga 2009.

13 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... xii xiii 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan Penelitian LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Penduga Proses Stokastik Vektor MODEL HIDDEN MARKOV 3.1 Model Hidden Markov Dugaan Maksimum Likelihood Algoritma Pemrograman PENDUGAAN VOLATILITAS INDEKS HARGA SAHAM 4.1 Indeks Harga Saham Volatilitas Pendugaan Volatilitas SIMPULAN DAN SARAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xi

14 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Grafik data harian indeks LQ Grafik volatilitas dugaan in-sample Box-Whisker Plot untuk SMAPE dari volatilitas dugaan in-sample Grafik volatilitas dugaan out-of-sample Box-Whisker Plot untuk SMAPE dari volatilitas dugaan out-of-sample xii

15 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Pembuktian sebaran Student s-t konvergen ke sebaran normal ketika Proses penurunan turunan pertama fungsi sebaran return terhadap parameter yang berkaitan Penurunan turunan pertama fungsi log-likelihood Pemrograman menggunakan software MATLAB Pemrograman menggunakan software Mathematica xiii

16 BAB I PENDAHULUAN 1.1 LatarBelakang Volatilitas adalah ukuran ketidakpastian perubahan pada nilai sebuah sekuritas. Volatilitas yang lebih tinggi berarti nilai sekuritas berpotensi menyebar dalam rentangan nilai yang lebih besar. Ini berarti bahwa harga sekuritas dapat berubah secara dramatis dalam periode waktu yang pendek pada arah manapun. Volatilitas yang lebih rendah berarti nilai sekuritas tidak berfluktuasi secara dramatis, tetapi terjadi perubahan nilai pada langkah yang tetap dalam suatu periode waktu. ( Volatilitas menjadi perhatian besar bagi para investor atau orang yang menanamkan uangnya dalam dunia investasi. Para investor ingin mengetahui seberapa besar volatilitas terjadi. Dengan mengetahui volatilitas, investor dapat memperkirakan keuntungan yang akan didapat, atau bahkan kerugian yang akan diderita. Permasalahannya adalah volatilitas tidak dapat diamati secara langsung, dan bukan pekerjaan yang mudah untuk menduganya. Sebagaimana yang diungkapkan oleh Cvitanic et al. (2005) Estimating volatility from observed stock prices is not a trivial task in either complete or incomplete models, in part because the prices are observed at discrete, possibly random time points. Since volatility itself is not observed, it is natural to apply filtering methods to estimate the volatility process from historical stock price observations. Terdapat banyak cara untuk menduga volatilitas dari data finansial. Beberapa yang cukup dikenal adalah model tipe Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH) dan Switching Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (SWARCH). Model tipe GARCH yang merupakan hasil pengembangan dari tipe Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH), ditemukan Bollerslev (1986). Sedangkan tipe SWARCH ditemukan oleh Hamilton dan Susmel pada tahun 1994 yang mengkombinasikan model tipe ARCH dengan metode Markov switching.

17 2 Tipe GARCH memiliki kelemahan yang berkaitan dengan persistensi volatilitas (kondisi di mana volatilitas tinggi pada suatu hari diikuti dengan volatilitas tinggi, dan volatilitas rendah diikuti dengan volatilitas rendah). Lamoureux dan Lastrapes (1990) menyatakan bahwa persistensi yang sangat besar yang diindikasikan oleh GARCH sebagai ketidakmampuan menangkap perubahan struktural dalam varians tak bersyarat return aset. Sedangkan pada tipe SWARCH terdapat kelemahan yang berkaitan dengan banyaknya state. Sebagaimana yang diungkapkan oleh Hamilton dan Susmel (1994) bahwa maksimum global fungsi likelihood spesifikasi SWARCH tidak terdeteksi ketika jumlah state rantai Markov di atas tiga. Model yang penulis kaji di sini adalah sebuah model Hidden Markov untuk menduga volatilitas yang diajukan oleh Rossi dan Gallo (2006). Rossi dan Gallo (2006) menyatakan bahwa model yang diajukan dapat mengatasi permasalahan bertambahnya jumlah state, dan dapat mengakomodasi persistensi volatilitas dengan mudah. Model Hidden Markov yang dikaji dalam penelitian ini diaplikasikan pada data harian (close-to-close) dari indeks LQ45. Data pengamatan yang didapat sebanyak 1375, dimulai dari 2 Januari 2007 hingga 3 September Data diambil dari Grafik dapat dilihat pada gambar berikut Gambar 1.1 Grafik data harian indeks LQ45. Menggunakan data tersebut, parameter model diduga dengan metode maksimum likelihood yang melibatkan filtering untuk state. Filtering untuk state

18 3 yang tak diamati menggunakan filtering rekursif yang diajukan oleh Hamilton (1994). Setelah didapatkan dugaan parameter, selanjutnya dilakukan peramalan varians dengan menggunakan algoritma yang diajukan oleh Rossi dan Gallo (2006) sehingga dapat diduga volatilitas. Untuk smoothing menggunakan smoother yang diajukan oleh Kim (1994). Untuk menghitung dan menganalisis data tersebut dibuat suatu program komputasi dengan menggunakan software MATLAB TujuanPenelitian Tujuan penelitian ini adalah: 1. Mengkaji model Hidden Markov yang diajukan oleh Rossi dan Gallo (2006). 2. Mengaplikasikan model untuk menduga volatilitas pada indeks LQ45.

19 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, disebut percobaan acak. (Hogg & Craig 1995) Definisi (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari. (Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi (Medan- ) Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh, yang memenuhi kondisi berikut: Jika A 1, A 2, maka 3. Jika maka (Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi (Ukuran Peluang) Misalkan adalah medan- dari ruang contoh. Ukuran peluang adalah suatu fungsi pada yang memenuhi: Jika adalah himpunan yang saling lepas yaitu untuk setiap pasangan, maka. Pasangan disebut ruang peluang. (Grimmet & Stirzaker 1992)

20 5 Definisi (Kejadian Saling Bebas) Misalkan adalah ruang peluang dan Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika. Misalkan I adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian dikatakan i j i saling bebas jika P( A ) P( A ) untuk setiap himpunan bagian berhingga J i j dari I. (Grimmet & Stirzaker 1992) i Definisi (Peluang Bersyarat) Misalkan sehingga P(A 1 ) > 0. Misalkan pula A 2 adalah sebarang himpunan dalam. Peluang bersyarat dari A 2 jika diketahui A 1, dinotasikan dengan, ialah (Hogg & Craig 1995) 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi (Peubah Acak) Misalkan adalah medan- dari ruang contoh. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi dengan sifat untuk setiap. (Grimmet & Stirzaker 1992) Catatan: Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar seperti X, Y, Z, sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Definisi (Fungsi Sebaran) Misalkan adalah ruang peluang. Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh. (Grimmet & Stirzaker 1992)

21 6 Definisi (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari. (Grimmet & Stirzaker 1992) Catatan: Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung jika C terdiri atas himpunan bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif. Definisi (Fungsi Massa Peluang) Misalkan adalah ruang peluang. Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi yang diberikan oleh. (Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi (Nilai Harapan) Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang, maka nilai harapan dari X adalah asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. (Hogg & Craig 1995) Lemma (Sifat Nilai Harapan) Beberapa sifat nilai harapan, antara lain: 1) Jika k adalah suatu konstanta, maka E[k] = k. 2) Jika k adalah suatu konstanta dan V adalah peubah acak, maka E[kV] = ke[v]. 3) Jika k 1, k 2 adalah konstanta dan V 1, V 2 adalah peubah acak, maka E[k 1 V 1 + k 2 V 2 ] = k 1 E[V 1 ] + k 2 E[V 2 ]. (Bukti lihat Hogg & Craig 1995) Definisi (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak) Fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak X dan Y adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh. (Grimmet & Stirzaker 1992)

22 7 Definisi (Fungsi Gamma) Fungsi gamma,, didefinisikan sebagai. (Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi (Sebaran Student s-t) Peubah acak X memiliki sebaran Student s-t dengan k derajat kebebasan, X ~ t k, jika fungsi kepekatan peluangnya ( ) ( ) (Kvam & Vidakovic 2007) Definisi (Sebaran Normal Baku) Peubah acak X disebut normal baku jika fungsi sebarannya adalah, yaitu jika (Ghahramani 2005) Definisi (Sebaran Normal) Peubah acak X disebut normal dengan parameter dan, jika fungsi kepekatannya adalah (Ghahramani 2005) Definisi (Peubah Acak yang Dibakukan) Misalkan X sebuah peubah acak dengan nilai harapan dan simpangan baku. Peubah acak disebut sebagai X yang dibakukan. (Ghahramani 2005) Definisi (Metode Transformasi) Misalkan X peubah kontinu dengan fungsi kepekatan dan himpunan nilai yang mungkin yaitu A. Untuk fungsi yang invertible, misalkan Y = h(x) sebagai peubah acak dengan himpunan nilai yang mungkin adalah

23 8. Misalkan bahwa inverse dari y = h(x) adalah fungsi x = h -1 (y), yang terdiferensialkan untuk semua nilai. Maka, fungsi kepekatan Y, yaitu,. (Ghahramani 2005) 2.3 Penduga Definisi (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak bergantung pada parameter (yang tidak diketahui). (Hogg & Craig 1995) Definisi (Penduga/estimator dan Dugaan/estimate) Misalkan X 1, X 2,, X n adalah peubah acak. Suatu statistik yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g( ), dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi g( ). Nilai amatan dari U dengan nilai amatan disebut sebagai dugaan (estimate) bagi g( ). (Hogg & Craig 1995) 2.4 Proses Stokastik Definisi (Ruang State) Misalkan merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state. (Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi (Proses Stokastik) Proses Stokastik yang terdefinisi pada ruang peluang adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke ruang state S. (Ross 1996) Definisi (Proses Stokastik dengan Waktu Diskret dan Kontinu) Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks T adalah himpunan terhitung (countable set), sedangkan disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. (Ross 1996)

24 9 Catatan: Contoh himpunan indeks T pada proses stokastik dengan waktu diskret adalah T = {0, 1, 2, }, sedangkan contoh himpunan indeks T pada proses stokastik dengan waktu kontinu adalah T = [0, ), atau himpunan bilangan nyata. Definisi (Filtrasi) Misalkan adalah barisan submedan- dari, disebut filtrasi jika untuk semua. (Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi (Measurable/Terukur) Misalkan adalah ruang peluang. Jika fungsi memiliki sifat untuk setiap maka X dikatakan terukur- (Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi (Adapted) Misalkan adalah ruang peluang. Barisan peubah acak dikatakan adapted ke filtrasi jika merupakan terukur- untuk semua t. (Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi (Martingale) Proses Stokastik disebut proses Martingale jika untuk semua t dan. (Ross 1996) Definisi (Variasi Hingga) Misalkan merupakan proses CADLAG (kontinu kanan dengan limit kiri). Variasi A didefinisikan sebagai proses naik V yaitu { } Sebuah proses A disebut memiliki variasi hingga jika proses variasi bersama V hingga (maksudnya, jika untuk setiap t dan, V ( ) ). (Bain 2009) t

25 10 Definisi (Waktu Acak) Misalkan adalah ruang peluang.. T disebut waktu acak dari proses jika kejadian {T = t} ditentukan oleh peubah acak X 1,, X t. Artinya dengan mengetahui X 1,, X t maka diketahui apakah T = t atau tidak. Jika, maka waktu acak T disebut sebagai stopping time. (Ross 1996) Definisi (Lokal Martingale) M { M,,0 t } adalah lokal martingale jika dan hanya jika terdapat t t barisan stopping time T n yang menuju tak hingga sedemikian sehingga merupakan martingale untuk setiap n. (Bain 2009) Tn M Definisi (Semimartingale) Sebuah proses X adalah semimartingale jika X proses adapted CADLAG (kontinu kanan dengan limit kiri) yang memiliki dekomposisi X = X 0 + M + A, di mana M lokal martingale, null pada saat nol dan A proses null pada saat nol, dengan jalur variasi hingga. (Bain 2009) Catatan: Null pada saat nol untuk proses stokastik X(t) maksudnya adalah meskipun pada saat t > 0 nilai dari X(t) itu acak, pada saat t = 0 (waktu mulai) diketahui/ditetapkan nilainya adalah nol: X(0) = 0 (atau, secara lebih formal, bahwa P(X(0) = 0) = 1). Contoh khusus ini merupakan proses random walk paling dasar. Definisi (Rantai Markov dengan Waktu Diskret) Misalkan adalah ruang peluang dan S adalah ruang state. Proses stokastik dengan ruang state S disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika berlaku: untuk semua kemungkinan nilai dari (Grimmet & Stirzaker 1992)

26 11 Definisi (Matriks Transisi) Misalkan adalah rantai Markov dan S adalah ruang state yang berukuran N. Matriks transisi berukuran adalah matriks dari peluang transisi untuk i = 1, 2,, N. (Rossi & Gallo 2006) Definisi (Nilai Harapan Bersyarat) Misalkan adalah ruang peluang dan adalah submedan- dari. Jika X adalah peubah acak tak negatif dan terintegralkan, maka didefiniskan sebagai peubah acak yang terukur- dan bersifat tunggal kecuali pada kejadian berpeluang nol, serta memenuhi:. (Elliot et al. 1995) 2.5 Vektor Definisi (Ruang Vektor) V disebut ruang vektor, jika untuk setiap vektor dan sebarang skalar k dan l dipenuhi aksioma berikut: 1. Jika maka. 2. u + v = v + u. 3. u + (v + w) = (u + v) + w. 4. Ada sehingga 0 + u = u + 0 = u,. 5. Untuk, ada yang dinamakan negatif u sehingga u + ( u ) = ( u ) + u = Jika k adalah sebarang skalar dan, maka. 7. k(u + v) = ku + kv. 8. (k + l)u = ku + lu. 9. k(lu) = (kl)u u = u. (Anton 1997) Definisi (Perkalian Dalam) Jika dan adalah sebarang vektor pada, maka hasil kali dalam Euclid didefinisikan dengan

27 12 (Anton 1997). Definisi (Ruang Hasil Kali Dalam) Sebuah hasil kali dalam pada ruang vektor real V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan real dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua dan skalar k: dan jika dan hanya jika v = 0. Sebuah ruang vektor real dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali dalam real. (Anton 1997) Definisi (Hadamard Product) Hadamard product, dengan simbol operator, merupakan perkalian elemen dengan elemen dari dua buah matriks. Oleh karena itu, jika A [ ] dan B [ ] adalah dua buah matriks yang berukuran, maka [ ]. (Schott 1997) Definisi (Matriks Hessenberg) Matriks berukuran disebut matriks Hessenberg atas jika untuk i > j + 1:. [ ] Matriks A disebut Hessenberg bawah jika A T Hessenberg atas. (Horn & Johnson 1990)

28 13 Definisi (Matriks Tridiagonal) Matriks berukuran, yang merupakan Hessenberg atas dan bawah, disebut matriks tridiagonal jika, ketika :. (Horn & Johnson 1990) [ ]

29 BAB III MODEL HIDDEN MARKOV 3.1 Model Hidden Markov Misalkan harga sebuah aset pada waktu t. Return atas aset tersebut, yaitu, dianggap sebagai peubah acak yang dapat diamati pada waktu t, untuk t = 1,,T. Volatilitasnya dikendalikan oleh 3-state rantai Markov dengan ruang state dengan adalah vektor satuan di. Model volatilitas stokastik ditulis dalam format ruang state: (1), (2) di mana adalah bentuk autoregresi sederhana:. (3) dan diasumsikan bebas, di mana merupakan perubahan return yang diasumsikan menyebar Student s-t dengan varians satu dan derajat kebebasan, sedangkan merupakan representasi semi-martingale, [ ] dan adalah filtrasi yang dibangkitkan oleh adalah nilai volatilitas yang terjadi pada waktu t, dengan σ( ) sebuah fungsi penskalaan bernilai positif yang bernilai ketika =, ketika =, dan ketika =. Jika ( ), maka. maka Misalkan dan, di mana i = 1, 2, 3, {, di mana dan adalah konstanta. Ketika positif, dapat diartikan bahwa varians berada pada regime (state) volatilitas terendah, dan varians berada pada regime (state) volatilitas tertinggi. Berdasarkan hal tersebut, maka return pada persamaan (1) menjadi

30 15. (4) { pada persamaan (2) adalah matriks transisi berukuran 3 3 dari rantai Markov dengan elemennya:, (5) dengan adalah filtrasi yang dibangkitkan oleh, yang menggambarkan peluang transisi rantai Markov. Entri dari memenuhi 0, dan = 1, untuk setiap 1 i, j 3 dan t. Untuk menggambarkan keadaan di mana volatilitas dibangkitkan oleh return pada waktu t, maka matriks transisi didefinisikan sebagai berikut: { [ ] [ ], (6) dengan ( ) dan ( ). Keadaan model ini menunjukkan return dan perubahan volatilitas berkorelasi negatif. Jika pada waktu t harga aset turun, maka peluang bahwa suatu vektor state bergerak menuju tingkat volatilitas yang lebih tinggi harus lebih tinggi dari pada kasus harga aset naik. Jadi syarat untuk adalah : ( ). Sementara itu untuk hal sebaliknya harus muncul ketika elemen matriks didefinisikan sebagai berikut:. Sehingga { [ ] [ ] (7)

31 16 [ ], [ ] { di mana > 0 ( adalah parameter yang menggambarkan korelasi antara return dan perubahan volatilitas), dan, ( adalah parameter time-varying) untuk beberapa koefisien a dan b, di mana ( ) menyatakan fungsi sebaran normal baku, sehingga. (8) Dengan menggunakan,, dan, akan didapat bentuk sederhana dari dan, yaitu [ ] [ ], dan [ ]. [ ] Pasangan merupakan model Hidden Markov, dan berdasarkan persamaan (1)-(8), model Hidden Markov untuk volatilitas tersebut dicirikan oleh. 3.2 Dugaan Maksimum Likelihood Misalkan proses merupakan 3-state rantai Markov yang tak diamati dengan ruang state dan proses yang diamati. Sebaran dengan

32 17 diketahui adalah. (9) Sementara itu, dengan menggunakan hukum total peluang, bentuk dirinci sebagai ( ). (10) Sehingga persamaan (10) menjadi ( ) (11) Dari persamaan (1),, di mana merupakan perubahan return yang diasumsikan menyebar Student s-t. Asumsi tersebut didasarkan pada penelitian Bollerslev (1987) bahwa sebaran Student s-t lebih tepat untuk menggambarkan tingkat return. Diketahui fungsi kepekatan peluang dari sebaran Student s-t adalah, dengan, dan. (Kvam & Vidakovic 2007). Misalkan adalah sebaran Student s-t yang dibakukan dan misalkan pula,. Maka dan. Dengan menggunakan metode transformasi, maka fungsi kepekatan peluang dari adalah

33 18 Dari persamaan (12), misalkan. Maka, dan. Dengan menggunakan metode transformasi, maka fungsi kepekatan peluang dari adalah Oleh karena itu [ ] [ ] * +, (12) yang konvergen ke fungsi kepekatan sebaran normal, yaitu [ ] * + ketika. Bagian kedua dari persamaan (11) yaitu ( ), sedangkan ( ) persamaan (11) merupakan filtrasi dugaan state yang didapat dengan memproses pengamatan masa lalu dan sekarang. Rekursif filter yang digunakan di sini adalah mengadaptasi rekursif filter yang diajukan oleh Hamilton dan Susmel (1994). Karena merupakan 3-state rantai Markov, maka memiliki 3 fungsi kerapatan peluang bagi. Fungsi kerapatan tersebut dikumpulkan dalam sebuah vektor, yaitu

34 19 [ ]. Misalkan [ ] [ ] di mana merepresentasikan [ ] dan merupakan Hadamard product, maka [ ] ( ) [ [ ]] [ [ ] [ [ ] [ ] [ ] Diketahui bahwa sebaran bersama dan adalah sehingga diperoleh ] ]. (13) [ ] (14) [( ) ] (15) di mana merupakan vektor satuan berukuran. Jika persamaan (15) dibagi dengan, maka diperoleh [ ]

35 20 [ ]. (16) Sehingga berdasarkan persamaan (14), (15), dan (16) maka diperoleh [ ] di mana [ ] merupakan. Oleh karena itu ( ) [( ) ]. (17) Dari persamaan (2) didapat [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (18) yang merupakan harapan berada pada suatu state dengan diberikan pengamatan sebelumnya. Sehingga persamaan (17) menjadi ( ) [( ) ]. (19) Menggunakan persamaan (11) dan mengamati bahwa [ ] [ ] [ ( )] [ ], maka bentuk umum fungsi likelihood dari proses return yang diamati adalah [ ] [ ] [ ]

36 21 (20) dengan, jika atau, jika. Fungsi log-likelihood didefinisikan sebagai ( ), dengan. Untuk pendugaan parameter yang memaksimumkan fungsi log-likelihood digunakan algoritma Berndt, Hall, Hall, Hausman (BHHH). Langkah algoritma BHHH pada penelitian ini mengadapatasi langkah algoritma BHHH yang diuraikan oleh Arneric dan Rozga (2009). Berikut langkah algoritma tersebut: Langkah 1 Tentukan vektor parameter awal dan kriteria kekonvergenan tol > 0, dengan tol merupakan toleransi. Mulai dengan i = 0. Langkah 2 Hitung ( ) di mana skalar yang digunakan untuk memodifikasi panjang langkah, dan. Mulai dengan. Jika ( ( ) ) maka coba dengan. Jika ( ( ) ) ( ( ) )

37 22 maka coba dengan ( ) dan seterusnya hingga didapatkan di mana ( ( ) ) maksimum. Langkah 3 Jika kriteria kekonvergenan terpenuhi maka hentikan algoritma, jika tidak maka i i + 1, kembali ke langkah 2. Kriteria kekonvergenan yang digunakan adalah. Algoritma ini diimplementasikan dengan menggunakan software pemrograman MATLAB Algoritma Pemrograman Penerapan algoritma BHHH memerlukan turunan pertama dari fungsi loglikelihood pada waktu t, yaitu persamaan (21), terhadap parameter dari model. Berikut adalah turunan pertama dari fungsi log-likelihood pada waktu t terhadap parameter model: ( ) ( ) ( ) * + ( ) * + * + ( ) ( ) di mana, jika, atau, jika. ( ) ( )

38 23 di mana, jika, atau, jika. ( ) ( ) di mana, jika, atau, jika. ( ) ( [ ( ) ( )] [ ] ( )) Turunan tersebut diadaptasi dari pencarian turunan pertama dari fungsi loglikelihood yang diuraikan oleh Gable et al. (1997). didapat dari perhitungan smoother yang diajukan oleh Kim (1994) yang diuraikan kembali oleh Hamilton (1994). Sedangkan didapat dari perhitungan rekursi filter yang diajukan oleh Hamilton (1994). Berikut adalah rekursi filter yang diajukan oleh Hamilton (1994) ( ) [( ) ] Berikut adalah rekursi smoother yang diajukan oleh Kim (1994) { [ ( )]} Algoritma pemrograman yang digunakan untuk menduga parameter model Hidden Markov adalah sebagai berikut: Langkah 1 Input seed random untuk mendapatkan Input banyaknya data Toleransi = 10-3 Mulai dengan iterasi i = 0 Langkah 2 Pilih Hitung ( )

39 24 Hitung dan Jika ( ) maka coba dengan. Jika ( ) maka coba dengan ( ) dan seterusnya hingga didapatkan di mana ( ) maksimum. Langkah 3 Uji kriteria kekonvergenan Jika terpenuhi, hentikan proses, kemudian cetak dan ( ). Langkah 4 Jika kriteria kekonvergenan belum terpenuhi, lanjutkan untuk iterasi berikutnya, yaitu i = i + 1. Pilih Hitung ( ) Hitung dan Jika ( ) maka coba dengan. Jika ( ) maka coba dengan ( ) dan seterusnya hingga didapatkan di mana ( ) maksimum. Langkah 5 Uji kriteria kekonvergenan Jika terpenuhi, hentikan proses, kemudian cetak dan ( ), jika tidak, maka kembali ke langkah 4.

40 BAB IV PENDUGAAN VOLATILITAS INDEKS HARGA SAHAM 4.1 Indeks Harga Saham Saham merupakan salah satu investasi yang menjanjikan bagi investor pada saat ini. Pertumbuhan ekonomi Indonesia yang cukup baik, menambah gairah perdagangan saham. Banyak investor, baik dari luar maupun dalam negeri berkecimpung dalam kegiatan ini. Indeks harga saham, sebagai salah satu panduan dalam berinvestasi sangat diperlukan oleh investor untuk menentukan strategi dalam berinvestasi. Salah satu indeks harga saham yang ada di Indonesia adalah indeks LQ45. Indeks LQ45 merupakan indeks harga saham yang dihitung dari 45 saham yang memiliki likuiditas tinggi. Setiap enam bulan sekali dilakukan peninjauan kembali, yaitu pada bulan Februari dan Agustus. Artinya bahwa indeks LQ45 terdiri dari saham-saham pilihan, yaitu saham-saham yang memiliki kualitas baik. 4.2 Volatilitas Perubahan return dari suatu indeks harga saham memiliki ketidakpastian. Terkadang bernilai positif, terkadang bernilai negatif. Untuk mengetahui seberapa besar ketidakpastian hal tersebut digunakan sebuah ukuran yang disebut dengan volatilitas. Volatilitas dianggap sebagai suatu hal yang tak dapat diamati (unobservable). Seseorang tak dapat mengetahui secara pasti berapa nilai volatilitas sesungguhnya. Oleh karena itu, perhitungan volatilitas merupakan sebuah dugaan. Volatilitas biasanya dihitung dengan menggunakan ragam atau simpangan baku. Seiring dengan perkembangan zaman, banyak peneliti mengajukan cara lain untuk menghitung volatilitas. Terdapat beberapa cara untuk menghitung volatilitas harian, yaitu: 1. Realized Volatility Volatilitas diukur dengan menggunakan rumus (1)

41 26 di mana merupakan kuadrat return ke-i pada perdagangan hari ke-t dan n merupakan banyaknya data. Biasanya digunakan data return tiap 5 menit pada perdagangan hari ke-t. Perhitungan ini diajukan oleh Andersen dan Bollerslev (1998). 2. Range Based Volatility Terdapat beberapa cara yang diajukan peneliti untuk menghitung volatilitas dengan pendekatan ini, salah satunya adalah yang diajukan oleh Alizadeh et al. (2002). Volatilitas diukur dengan menggunakan rumus (2) di mana H t merupakan harga tertinggi, dan L t merupakan harga terendah pada perdagangan hari ke-t. 3. Squared Return Cara ini disebut sebagai cara tradisional, karena cara ini telah digunakan sebelum cara ke-1, dan ke-2 ada. Rumus squared return adalah (3) di mana merupakan kuadrat return pada perdagangan hari ke-t. Di antara ketiga cara perhitungan tersebut, cara ke-1 adalah yang terbaik, sedangkan cara ke-3 adalah yang paling tidak akurat (Blair et al. 2001). Volatilitas dianggap tak dapat diamati sehingga diperlukan pembanding (de Vilder & Visser, 2007). Penelitian ini menggunakan cara ke-2 sebagai daily volatility proxy (wakil volatilitas harian), sebagai acuan atau pembanding dalam perhitungan galat. Pemilihan cara ke-1 tidak dapat dilakukan, dikarenakan tidak tersedianya data return untuk tiap 5 menit pada indeks LQ Pendugaan Volatilitas Perhitungan pendugaan volatilitas dari model yang diajukan oleh Rossi dan Gallo (2006) untuk satu langkah ke depan, menggunakan bentuk berikut di mana

42 27 ( ) Oleh karena itu, pendugaan volatilitas untuk satu langkah ke depan adalah (4) Data yang digunakan dalam penelitian ini sebanyak 1375, di mana sebanyak 917 (sekitar dua pertiga dari keseluruhan) digunakan untuk pendugaan model (insample), sementara itu sisanya sebanyak 458 digunakan untuk analisis out-ofsample (prediksi yang akan datang). Data didapat dari situs yahoo finance Dari data in-sample yang digunakan, dibuat sebuah program dengan menggunakan software MATLAB 7.7 untuk mendapatkan parameter yang memaksimumkan fungsi log-likelihood. Program tersebut membangkitkan data nilai awal yang menghasilkan parameter model sebagai berikut:. Penggunaan bentuk (4) dalam menduga volatilitas untuk satu langkah ke depan diterapkan pada data in-sample dan out-of-sample. Perhitungan galat menggunakan Symmetric Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) dengan rumus SMAPE { (5) di mana A t nilai aktual, dan F t nilai dugaan. Nilai SMAPE pada (5) berada pada interval [0%, 100%]. Semakin kecil nilai SMAPE, maka semakin akurat pendugaan volatilitas. Perhitungan pendugaan volatilitas satu langkah ke depan untuk masingmasing data, dibuat sebuah program dengan menggunakan software Mathematica 8.0. Berikut adalah hasil perhitungannya:

43 28 1. Data in-sample volatilitas dugaan 6 4 V S hari Gambar 4.1 Grafik volatilitas dugaan in-sample Perhitungan SMAPE dari volatilitas dugaan in-sample menghasilkan nilai rataan galat sebesar 13.79%, nilai galat maksimum sebesar 67.28%, dan nilai galat minimum sebesar 0.00%, serta kuartil ke-1 (Q 1 ), kuartil ke-2 (Q 2 ), dan kuartil ke-3 (Q 3 ) masing-masing sebesar 4.80%, 11.24%, dan 20.09%. Jarak inter-kuartil sebesar 15.29%. Sebanyak 50% data berada di antara Q 1 dan Q 3 dengan jarak interval sebesar 15.29%. Berikut adalah Box-Whisker Plot untuk SMAPE dari volatilitas dugaan in-sample. Gambar 4.2 Box-Whisker Plot untuk SMAPE dari volatilitas dugaan insample

44 29 2. Data out-of-sample volatilitas dugaan 4 V S hari Gambar 4.3 Grafik volatilitas dugaan out-of-sample Perhitungan SMAPE dari volatilitas dugaan out-of-sample menghasilkan nilai rataan galat sebesar 13.62%, nilai galat maksimum sebesar 60.07%, dan nilai galat minimum sebesar 0.004%, serta kuartil ke-1 (Q 1 ), kuartil ke-2 (Q 2 ), dan kuartil ke-3 (Q 3 ) masing-masing sebesar 5.71%, 11.32%, dan 20.06%. Jarak inter-kuartil sebesar 14.35%. Sebanyak 50% data berada di antara Q 1 dan Q 3 dengan jarak interval sebesar 14.35%. Berikut adalah Box-Whisker Plot untuk SMAPE dari volatilitas dugaan out-ofsample. Gambar 4.4 Box-Whisker Plot untuk SMAPE dari volatilitas dugaan out-of-sample Dari Gambar 4.2 dan Gambar 4.4, dapat dilihat bahwa sebaran nilai galat tampak menjulur ke kanan, yang berarti sebagian besar nilai mengumpul

45 30 di sekitar median (SMAPE). Hal ini menunjukkan bahwa prediksi yang dihasilkan oleh model memiliki akurasi yang cukup baik.

46 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Kesimpulan hasil penelitian adalah sebagai berikut. 1. Model hidden Markov yang diajukan oleh Rossi dan Gallo (2006) telah dikaji dan diimplementasikan pada indeks LQ Pendugaan parameter model hidden Markov menggunakan algoritma BHHH dan diimplementasikan dengan pemrograman MATLAB Pendugaan volatilitas pada indeks LQ 45 cukup baik. Hal ini dapat dilihat dari hasil perhitungan galat dengan menggunakan SMAPE sebesar 13.62%. Saran Model dalam penelitian ini menggunakan state N = 3 dan sebaran dari return menyebar Student s-t. Masih terbuka kemungkinan untuk menggunakan state N > 3 dan sebaran selain Student s-t untuk penelitian lebih lanjut.

47 DAFTAR PUSTAKA Alizadeh S, Brandt M, Diebold F Range-based Estimation of Stochastic Volatility Models. Journal of Finance, 57, Andersen, Bollerslev Answering the Skeptics: Yes, Standard Volatility Models Do Provide Accurate Forecasts. International Economic Review, 39: Anton H Aljabar Linear Elementer.Ed. ke-5.terjemahan Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. PenerbitErlangga. Jakarta. Arneric J, Rozga A Numerical Optimization within Vector of Parameters Estimation in Volatility Models. International Journal of Human and Social Sciences 4:16. Bain A Stochastic Calculus. [10 Mar 2011] Blair BJ, Poon SH, Taylor SJ Forecasting S&P 100 Volatility: The Incremental Information Content of Implied Volatilities and High-Frequency Index Returns. Journal of Econometrics, 105, Bollerslev, T Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31, Bollerslev, T A Conditionally Heteroskedastic Time Series Model for Speculative Prices and Rates of Return. The Review of Economics and Statistics, 69, Cvitanic J, Liptser RS, Rozovskii BL A Filtering Approach to Tracking Volatility from Prices Observed at Random Times. The Annals of Applied Probability 16, No.3, De Vilder RG, Visser MP Proxies for Daily Volatility. Paris School of Economics.

48 33 Elliot JR, Aggoun L, dan Moore JB Hidden Markov Models Continuous. Springer-Verlag. New York. Gable J, van Norden S, Vigfusson R Analytical Derivatives for Markov Switching Models. Computational Economics, 10, Ghahramani, S Fundamentals of Probability with Stochastic Processes. Ed. ke-3 Pearson Education International. New Jersey. Grimmet GR, Stirzaker DR Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Oxford University Press. Oxford. Hamilton JD Time Series Analysis. Princeton University Press. Hamilton JD, Susmel R Autorgressive Conditional Heteroskedasticity and Changes in Regimes, Journal of Econometrics 64, Hogg RV, Craig AT Introduction to Mathematics Statistics. Ed. ke-5.prentice Hall, Englewood Cliffs. New Jersey. Horn RA, Johnson CR Matrix Analysis. Cambridge University Press. Cambridge. Kim CJ Dynamic Linear Models with Markov Switching, Journal of Econometrics 60, Kvam PH, Vidakovic B Nonparametric Statistics with Applications to Science and Engineering. John Wiley & Sons, New jersey. Lamoureux CG, Lastrapes WD Persistence in Variance, Structural Changes, and the GARCH Model, Journal of Business and Economic Statistics 8, No. 2, MATLAB 7.7 Release 2012b, The MathWorks, Inc., Natick, Massachusetts, United States.

49 34 Ross SM Stochastic Processes. Ed. ke-2. John Wiley & Sons. New York. Rossi A, Gallo G Volatility Estimation via Hidden Markov Models, Journal of Empirical Finance, 13, Schott JR Matrix Analysis for Statistics. John Wiley & Sons. Canada. Stirling formula. Encyclopedia of Mathematics. URL: ofmath.org/index.php?title=stirling_formula&oldid=24807 Wolfram Research, Inc., Mathematica, Version 8.0, Champaign, IL (2010).

50 LAMPIRAN

51 36 Lampiran1 Pembuktian sebaran Student s-t konvergen ke sebaran normal ketika Diketahui: Akan dibuktikan: Bukti: Misalkan, maka. Uraikan bentuk tersebut menjadi. Misalkan, maka. Sedangkan, sehingga. Selanjutnya akan dibuktikan. Dengan menggunakan formula Stirling (Encyclopedia of Mathematics), yaitu, maka ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ),

52 37 dan ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ), sehingga Oleh karena itu. Uraikan bentuk menjadi. Misalkan, maka, dan. Sehingga. Oleh karena itu

53 38. Jadi,.

54 39 Lampiran 2 Proses penurunan turunan pertama fungsi sebaran return terhadap parameter yang berkaitan Diketahui fungsi sebaran return yang menyebar Student s-t * + Turunan pertama terhadap parameter adalah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sehingga, Turunan pertama terhadap parameter adalah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sehingga,

55 40 Untuk mendapatkan turunan pertama terhadap parameter return ditulis kembali menjadi dan, fungsi sebaran * + * + * + Turunan pertama terhadap parameter dengan adalah * + ( ) [ ( ) ] * + * + * + Proses mendapatkan turunan pertama terhadap parameter dengan dan hampir serupa dengan proses di atas. Oleh karena itu * + * +

56 41 Dengan,, dan, maka bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi * + atau * + untuk i = 1, 2, 3. Turunan pertama terhadap parameter, prosesnya hampir serupa dengan proses di atas. Perbedaannya hanya terletak pada * + dan Sedangkan * + Oleh karena itu * + dan * +

57 42 Untuk mencari turunan pertama terhadap parameter, dimisalkan ( ) ( ) [ ] sehingga, bentuk sebaran return menjadi. Turunan pertama terhadap parameter adalah Terlebih dahulu akan dicari,, dan. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) * ( ) ( )+ ( ) di mana merupakan fungsi polygamma, yaitu. * + * + * + * + [ ] [ ] * +

58 43 * + [ * +] Jadi, turunan pertama terhadap parameter adalah ( ) * ( ) ( )+ ( ) * + ( ) ( ) * + ( ) * + [ * +] * ( ) ( )+ [ * +] * ( ) ( )+ [ [ * +] ]

59 44 Lampiran 3 Penurunan turunan pertama fungsi log-likelihood Diketahui fungsi sebaran return * + Turunan terhadap adalah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sehingga, Turunan berikut hampir serupa prosesnya dengan proses di atas. Turunan terhadap adalah Turunan terhadap adalah * + Turunan terhadap adalah * + * +

60 45 Turunan terhadap adalah * ( ) ( )+ ( r t μ γr t σ i ν ) di mana merupakan fungsi polygamma. Berikut adalah turunan terhadap parameter yang berkaitan dengan peluang transisi. Diketahui ( ) Turunan terhadap a adalah Turunan terhadap b adalah

61 46 Turunan terhadap adalah Untuk penyederhanaan, dimisalkan kepekatan peluang dari sebaran normal baku. Oleh karena itu, yang merupakan fungsi m t b m t b m t b r t Φ m t b m t b r t Φ Diketahui m t b m t b r t Φ m t ( ψ Φ a b r t Φ a b r t ψ ) m t ψ Φ a b r t m t Φ a b r t ψ m t ψ Φ a b r t Turunan terhadap a adalah m t a ( ψ ψ ) Φ m t a m t a m t a ψ Φ Φ ψ ψ Φ

62 47 Turunan terhadap b adalah m t b ( ψ ψ ) r t Φ m t b ψ r t Φ m t b r t Φ ψ m t b ψ r t Φ Untuk penyederhanaan, dimisalkan. Turunan terhadap adalah m t ψ Φ m t ψ m t ψ Φ Φ ψ ( ) Notasi Misalkan: merupakan fungsi sebaran kumulatif normal baku. Y T, dan S T merupakan matriks yang berisikan nilai return r t, dan state s t dari t = 1 hingga T. Jumlah f(s T ) dari seluruh kemungkinan S T yang didefinisikan dengan. Parameter dari model ini dikumpulkan ke dalam vektor berkaitan dengan parameter yang berada pada peluang transisi, dan, di mana dengan parameter yang lain. Untuk elemen ke-j dari dinyatakan dengan j. berkaitan Fungsi likelihood dari fungsi ini f(y T, S T ). Untuk penyederhanaan ditulis f(y T ).

63 48 Turunan Fungsi log-likelihood Berikut turunan fungsi log-likelihood yaitu. Mengadaptasi pencarian turunan pertama dari fungsi log-likelihood yang diuraikan Gable et al. (1995), turunan fungsi log-likelihood adalah sebagai berikut: Turunan terhadap j. Turunan terhadap j. ( ) ( ) dengan menganggap bahwa peluang awal state diberikan sebagai nilai awal,, maka sehingga ( ) Berdasarkan hal tersebut, maka * +

64 49 ( ) [ ( ) ( )] ( r t μ γr t σ i ν ) p z t e i Y T λ ( ) di mana, jika, atau, jika. ( ) di mana, jika, atau, jika. ( ) di mana, jika, atau, jika. didapat dari perhitungan smoother yang diajukan oleh Kim (1994) yang diuraikan kembali oleh Hamilton (1994). Sedangkan didapat dari perhitungan rekursi filter yang diajukan oleh Hamilton (1994). Berikut adalah rekursi filter yang diajukan oleh Hamilton (1994) ( ) ( ) Berikut adalah rekursi smoother yang diajukan oleh Kim (1994) { [ ( )]}

65 50 Lampiran 4 Pemrograman menggunakan software MATLAB 7.7 Program ini hanya untuk model Hidden Markov yang diajukan oleh Rossi dan Gallo (2006) dengan state N = 3 dan parameter. %Script file: dlmtm1_da.m %Tujuan: untuk menghitung turunan pertama peluang transisi terhadap % parameter a % Record of revisions: % Date Programmer Description of change % ==== ========== ===================== % 07/16/12 Abdul Baist Original code function y=dlmtm1_da(a,b,p,t) ye=normpdf(a+b*abs(r(t)),0,1); ye1=normcdf(a+b*abs(r(t)),0,1); y1=[-ye/(1-ye1) ye/ye1 0;ye/ye1 -ye/(1-ye1) ye/ye1;0 ye/ye1 - ye/(1-ye1)]; y2=[-ye/(p-ye1) ye/ye1 0;ye/ye1 -((p^2+1)/(2*p-(p^2+1)))*ye/ye1 ye/ye1;0 ye/ye1 -p*ye/(1-p*ye1)]; if (r(t)<=0) y=y1; else y=y2; end %Script file: dlmtm1_db.m %Tujuan: untuk menghitung turunan pertama peluang transisi terhadap % parameter b % Record of revisions: % Date Programmer Description of change % ==== ========== ===================== % 07/16/12 Abdul Baist Original code function y=dlmtm1_db(a,b,p,t) ye=normpdf(a+b*abs(r(t)),0,1); ye1=normcdf(a+b*abs(r(t)),0,1); y1=[-abs(r(t))*(ye/ye1) abs(r(t))*(ye/ye1) 0;abs(r(t))*(ye/ye1) - abs(r(t))*(ye/ye1)... abs(r(t))*(ye/ye1);0 abs(r(t))*(ye/ye1) -abs(r(t))*(ye/ye1)]; y2=[-abs(r(t))*(ye/(p-ye1)) abs(r(t))*(ye/ye1) 0;abs(r(t))*(ye/ye1) -abs(r(t))*... ((p^2+1)/(2*p-(p^2+1)))*ye/ye1 abs(r(t))*ye/ye1;0 abs(r(t))*ye/ye1 -p*abs(r(t))*(ye/(1-p*ye1))];

66 51 if (r(t)<=0) y=y1; else y=y2; end %Script file: dlmtm1_dpsi.m %Tujuan: untuk menghitung turunan pertama peluang transisi terhadap % parameter psi % Record of revisions: % Date Programmer Description of change % ==== ========== ===================== % 07/16/12 Abdul Baist Original code function y=dlmtm1_dpsi(a,b,p,t) ye=normcdf(a+b*abs(r(t)),0,1); y1=zeros(3); y2=[ye/((p-ye)*p) 1/p 0;-1/p ((1-p^2)/(2*p^2-p^3*ye-p*ye))*ye 1/p;0-1/p -ye/(1-p*ye)]; if (r(t)<=0) y=y1; else y=y2; end %Script file: dlogfrt_dalp.m %Tujuan: untuk menghitung turunan pertama log fungsi sebaran return % terhadap parameter alpha % Record of revisions: % Date Programmer Description of change % ==== ========== ===================== % 07/16/12 Abdul Baist Original code function y=dlogfrt_dalp(m,g,n,s,t) y=1/2*((n*(r(t)-m-g*r(t-5))^2-s*(n-2))/(s*(n-2)+(r(t)-m-g*r(t- 5))^2)); %Script file: dlogfrt_dg.m %Tujuan: untuk menghitung turunan pertama log fungsi sebaran return % terhadap parameter gamma

67 52 % Record of revisions: % Date Programmer Description of change % ==== ========== ===================== % 07/16/12 Abdul Baist Original code function y=dlogfrt_dg(m,g,n,s,t) y=(r(t-5)*(r(t)-m-g*r(t-5))*(n+1))/(s*(n-2)+(r(t)-m-g*r(t-5))^2); %Script file: dlogfrt_dmu.m %Tujuan: untuk menghitung turunan pertama log fungsi sebaran return % terhadap parameter mu % Record of revisions: % Date Programmer Description of change % ==== ========== ===================== % 07/16/12 Abdul Baist Original code function y=dlogfrt_dmu(m,g,n,s,t) y=((r(t)-m-g*r(t-5))*(n+1))/(s*(n-2)+(r(t)-m-g*r(t-5))^2); %Script file: dlogfrt_dnu.m %Tujuan: untuk menghitung turunan pertama log fungsi sebaran return % terhadap parameter nu % Record of revisions: % Date Programmer Description of change % ==== ========== ===================== % 07/16/12 Abdul Baist Original code function y=dlogfrt_dnu(m,g,n,s,t) y=1/2*(psi((n+1)/2)-psi(n/2))-1/(2*(n-2))+(n+1)*(r(t)-m-g*r(t- 5))^2/... (2*(n-2)*(s*(n-2)+(r(t)-m-g*r(t-5))^2))-log(1+(r(t)-m-g*r(t- 5))^2/... (s*(n-2)))/2; %Script file: espar2.m %Tujuan: untuk menduga parameter dari fungsi loglikelihood % dengan menggunakan algoritma BHHH. % Record of revisions: % Date Programmer Description of change % ==== ========== ===================== % 07/16/12 Abdul Baist Original code %

68 53 function teta=espar2(beta,te,alpa) format long e teta=beta; disp('nilai awal:'); % Menampilkan nilai awal. % fprintf('mu= %10.4f',teta(1));fprintf(' g= %10.4f',teta(2)); fprintf(' alp= %10.4f',teta(3)); fprintf(' dlt= %10.4f\n',teta(4));fprintf(' a= %10.4f',teta(5)); fprintf(' b= %10.4f\n',teta(6)); fprintf(' p= %10.4f',teta(7));fprintf(' nu= %10.4f\n',teta(8)); % logl0=floglh(teta(1),teta(2),teta(3),teta(4),teta(5),teta(6),teta( 7),teta(8),te); %Memanggil file fungsi loglikelihood. fprintf('logl0= %10.5f\n',logl0); fprintf('\n'); tol=0.001; % Toleransi kekonvergenan. maxit=40; % Batas iterasi. kkonv=1; i=1; % % Iterasi BHHH. while ((kkonv >= tol) && (i<=maxit)); % Memulai loop iterasi. tes_nan=isnan(rcond(op_grad(teta(1),teta(2),teta(3),teta(4),teta(5 ),teta(6),teta(7),teta(8),te))); if (tes_nan==1),fixseed(teta,alpa,te);end; va=mat_ex(teta(1),teta(2),teta(3),teta(4),teta(5),teta(6),teta(7), teta(8),te)\ones(te,1); % Vektor arah dihitung dengan menggunakan least square. % % Memilih langkah(step) terbesar yang meningkatkan nilai fungsi. j=0; deltf =-1; while (deltf<0) && (j<=10); % Memulai loop reduksi langkah (step). step=(0.5)^j; % Mereduksi langkah. teta1=teta+(step*va);% Mencoba vektor parameter baru. if (teta1(7)<1) (teta1(8)<2),fixseed(teta1,alpa,te);end; logl=floglh(teta1(1),teta1(2),teta1(3),teta1(4),teta1(5),teta1(6),... teta1(7),teta1(8),te); % Mengevaluasi logl. deltf=logl-logl0; % Menentukan perubahan fungsi. j=j+1; % Update step counter. end; % Mengakhiri loop reduksi langkah(step). teta=teta1;% Update teta. kkonv=abs(logl-logl0); logl0=logl; % Update nilai logl. %Kriteria kekonvergenan. %