UKURAN KEBAIKAN MODEL BERDASARKAN DEVIASI PERIODE UNTUK MODEL MARKOV SWITCHING. Muhammad Fajar Staf Seksi Statistik Sosial BPS Kab. Waropen.

Transkripsi

1 UKURA KEBAIKA MODEL BERDASARKA DEVIASI PERIODE UTUK MODEL MARKOV SWITCHIG Muhammad Fajar Staf Seksi Statistik Sosial BPS Kab. Waropen Abstrak Dalam penelitian ini, penulis mengusulkan ukuran kebaikan model markov switching (new criteria for markov switching model) yang mengakomodir deviasi (penyimpangan) waktu yang dihasilkan model tersebut. Ukuran yang dimaksud adalah sum of squared period deviations (SSPD), ukuran ini dapat diterapkan jika urutan dan frekuensi kemunculan rezim (baik secara total maupun spesifik rezim) sama antara hasil prediksi model dan realitas, baik untuk dua atau lebih rezim yang didefinisikan. Kata kunci: markov switching, smoothed probability, deviasi periode, periodisasi I. PEDAHULUA Model markov switching autoregressive adalah pemodelan time series autoregressive dalam mengakomodir perubahan rezim yang terjadi selama periode pengamatan, biasanya diterapkan dalam fenomena siklus bisnis, perubahan pada pergerakan variabel secara dramatis seperti perubahan pergerakan nilai kurs rupiah terhadap US dollar dari system mengambang terkendali menjadi system mengambang bebas atau sejenisnya. Model markov switching autoregressive bukan hanya melibatkan nilai aktual yang bersifat observable dalam proses estimasi, tetapi juga melibatkan probabilitas yang bersifat hidden. Sehingga model markov switching bukan hanya menghasilkan fitted value tetapi juga menghasilkan estimasi nilai probabilitas, yakni matriks transisi, filtered dan smoothed probability. Khusus smoothed probability, berguna untuk penanggalan siklus bisnis (Petturson, 2000). Sebenarnya dari informasi Petturson (2010) dapat diketahui periodisasi rezim yang dihasilkan model markov switching autoregressive. Hasil periodisasi rezim oleh model tersebut dapat dianggap sebagai suatu prediksi periode atau waktu rezim secara terurut. Jika tersedia informasi penanggalan suatu rezim secara resmi dari otoritas, maka dapat dibentuk suatu ukuran kebaikan untuk model markov switching autoregressive bahkan model markov switching untuk time series secara umum. Oleh karena itu, dalam penelitian ini penulis membahas konstruksi ukuran kebaikan model tersebut. II. KAJIA PUSTAKA 2.1 Markov Switching Model Andaikan variabel acak yang ingin diteliti adalah y t dan mengikuti sebuah proses yang tergantung pada nilai dari rezim s t yang bersifat diskrit dan tidak teramati. Diasumsikan terdapat rezim, suatu kondisi berada pada rezim n di periode t ketika s t = n, untuk n = 1,,. Model switching mengasumsikan terdapat perbedaan model regresi pada setiap rezim. Diberikan regresor X t dan Z t, conditional mean dari y t pada rezim n diasumsikan model linier: μ t (n) = X t β n + Z t δ (1) dengan β n dan δ masing-masing sebanyak k X dan k Z vektor koefisien. Koefisien β n untuk X t yang diberi indeks rezim n dan koefisien δ untuk Z t adalah invariant rezim. Kemudian diasumsikan bahwa eror dari regresi mengikuti distribusi normal dengan varians bergantung pada rezim, berikut pemodelannya: y t = μ t (n) + σ(n)ε t (2)

2 dengan s t = n, ε t (eror) i.i.d berdistribusi normal, σ adalah standar deviasi dari eror pada rezim n, σ(n) = σ n. Fungsi likelihood atas persamaan (2) berikut pada periode t: L t (β, δ, σ, γ) = 1 σ n n=1 φ ( y t μ t (n) σ n ) P(s t = n I t 1, γ) (3) dengan β = (β 1,, β ), σ = (σ 1,, σ ), γ adalah parameter yang menentukan probabilitas rezim, φ(. ) Fungsi densitas normal standar, I t 1 adalah set informasi pada periode t 1. Dalam kasus sederhana γ merupakan probabilitas rezim. Dari persamaan (3) dapat dibentuk full loglikelihood sebagai berikut: l(β, δ, σ, γ) = log ( 1 σ n T t=1 n=1 φ ( y t μ t (n) ) P(s σ t = n I t 1, γ)) n (4) dalam proses estimasi persamaan (4) dimaksimumkan terhadap (β, δ, σ, γ). Dalam kasus sederhana, probabilitas bernilai konstan. Lebih umum, asumsi probabilitas bergerak (varying probabilities) bahwa p n adalah sebuah fungsi dari vektor variabel eksogen G t 1 dan koefisien γ diparameterisasi menggunakan spesifikasi logit multinomial P(s t = n I t 1, γ) = p n (G t 1, γ) = exp(g t 1 γ n ) (5) exp(g t 1 γ n ) untuk γ = (γ 1 γ 2 γ n ) dengan mengidentifikasi normalisasi γ n = 0. Pada kasus khusus probabilitas dianggap konstan dengan asumsi G t 1 = 1. Kemudian masukkan persamaan (5) ke persamaan (4) menjadi: l(β, δ, σ, γ) = log ( 1 σ n T t=1 n=1 φ ( y t μ t (n) ) p σ n (G t 1, γ)) n (6) Untuk proses estimasi parameter, maka persamaan (6) dimaksimukan terhadap (β, δ, σ, γ) dengan menggunakan iterasi karena beberapa parameter tidak teramati (laten) Filtering Persamaan (6) tergantung pada one-step ahead probability pada sebuah rezim P(s t = n I t 1, γ). Perhatikan, bahwa pengamatan nilai variabel dependen dalam periode yang diberikan memberikan informasi tambahan tentang efek rezim yang masuk. Informasi tersebut digunakan untuk memperbaharui (updating) estimasi probabilitas rezim. Proses estimasi probablitias rezim yang diperbaharui secara iterasi disebut filtering. Dengan menggunakan teorema Bayes dan probabilitas bersyarat, maka filtered probability dirumuskan sebagai berikut: P(s t = n I t ) = P(s t = n y t, I t 1 ) = f(y t s t = n, I t 1 )P(s t = n I t 1 ) f(y t I t 1 ) (7) Sisi kanan persamaan (7) berhubungan dengan persamaan (5) sehingga: 1 σ φ ( y t μ t (n) ) p P(s t = n I t ) = n σ(n) n (G t 1, γ) 1 φ ( y t μ t (j) ) p σ j σ(j) j (G t 1, γ) (8)

3 2.1.2 Markov Chain Asumsi Markov first order adalah probabilitas bahwa s t = j tergantung dari dari masa lalu s t 1, dapat dituliskan: p(s t = j s t 1 = i, s t 2 = h, ) = p(s t = j s t 1 = i) = p ij (t) (9) Probabilitas pada persamaan (9) diasumsikan time invariant sehingga p ij (t) = p ij untuk semua t. Berdasarkan banyaknya rezim dan asumsi markov tersebut dapat dibentuk matriks transisi: p 11 (t) p 1 (t) p(t) = ( ) p 1 (t) p (t) dengan p ij merepresentasikan bahwa probabilitas transisi bergerak dari rezim i pada periode t 1 ke rezim j pada periode t. Dengan mendefinisikan setiap baris ke-i pada matriks: p ij (G t 1, γ i ) = exp(g t 1 γ ij ) exp(g t 1 γ is ) s=1 (10) Untuk j = 1,, dan i = 1,, dengan normalisasi γ i = 0. Umumnya, model markov switching dispesifikasikan adalah probabilitas konstan, jadi G t 1 hanya mengandung konstanta (tetap). Akibat properti Markov dari probabilitas transisi harus dievaluasi secara rekursif. Secara singkat, setiap rekursi langkah dimulai dengan tahapan filtering pada probabilitas untuk periode sebelumnya. Diberikan filtered probability, P(s t 1 = n I t 1 ), proses rekursi dapat dijelaskan ke dalam empat langkah: 1. Pertama bentuklah prediksi one step ahead dari probabilitas rezim menggunakan rumus dasar probabilitas dan matriks probabilitas transisi: P(s t = n I t 1 ) = P(s t = n s t 1 = j)p(s t 1 = j I t 1 ) = p jm (G t 1, γ j )P(s t 1 = j I t 1 ) (11) 2. Selanjutnya, gunakan probabilitas one-step ahead dari sebelumnya ke bentuk densitas gabungan one-step ahead dari data dan rezim pada periode t: f(x t, s t = n I t 1 ) = 1 φ ( y t μ t (n) ) P(s σ n σ(n) t = n I t 1 ) (12) 3. Kontribusi likelihood untuk periode t ditentukan dengan penjumlahan joint probability diantara rezim tidak teramati untuk mendapatkan distribusi marginal data teramati L t (β, δ, σ, γ) = f(y t I t 1 ) = f(y t, s t = j I t 1 ) (13) 4. Langkah akhir untuk untuk mendapatkan filtered probability dengan menggunakan persamaan (12) untuk memperbaharui prediksi one-step dari probabilitas: P(s t = n I t 1 ) = f(x t, s t = n I t 1 ) f(x t, s t = j I t 1 ) (14) Langkah-langkah tersebut diulangi untuk setiap periode, t = 1,, T. Karena proses iterasi untuk estimasi pada markov switching membutuhkan inisial filtered probability, P(s 0 = n I 0 ), atau alternatif dengan inisial probabilitas rezim one-step ahead P(s 1 = n I 0 ). Total likelihood

4 diperoleh dengan menjumlahkan persamaan (13), kemudian untuk mendapatkan estimasi dari parameter dengan memaksimumkan fungsi total likelihood terhadap (β, δ, σ, γ) dengan proses iterasi Smoothing Estimasi probabilitas rezim bisa ditingkatkan dengan menggunakan semua informasi pada sampel. Dalam proses smoothing, estimasi probabilitas rezim pada periode t menggunakan himpunan informasi pada periode final, I T, hal ini berbeda pada tahap filtering yang menggunakan informasi pada titik waktu tersebut (contemporaneous information) I t. Secara intuisi, penggunaan informasi tentang realisasi masa depan dari variabel dependen y s (s > t) dapat meningkatkan akurasi estimasi dalam rezim n pada periode t karena matriks probabilitas transisi berhubungan secara serempak pada fungsi likelihood pada periode yang berbeda-beda. Kim (1994) menunjukkan bahwa: P(s t = i, s t+1 = j I T ) = P(s t = i s t+1 = j, I T )P(s t+1 = j I T ) (15) = P(s t = i, s t+1 = j I t ) P(s P(s t+1 = j I t ) t = j I T ) (16) Persamaaan (15) bergerak ke persamaan (16) menunjukkan bahwa jika s t+1 diketahui, maka tidak terdapat informasi tambahan tentang s t pada y t+1,, y T. Smoothed probability, P(s t = i I T ), pada periode t ditentukan dengan memarjinalisasi joint probability terhadap s t+1 : P(s t = i I T ) = P(s t = i, s t+1 = j I T ) (17) Semua komponen pada sisi kanan persamaan (15) ditentukan sebagai bagian dari tahap filtering. Diberikan himpunan filtered probability, dengan memberikan inisial pada smoothed probability menggunakan P(s T = j I T ) dan iterasi penghitungan persamaan (16) dan (17) untuk t = T 1,,1 sehingga mendapatkan smoothed probability. Dalam proses iterasi komputasi diperlukan inisialisasi pada filtered probability pada periode 0, P(s 0 = n I 0 ). Proses estimasi parameter dalam model markov switching diawali pemberian initial value sebagai nilai awal parameter, kemudian proses selanjutnya adalah tahap filtering, lalu tahap smoothing. Proses iterasi berakhir ketika semua nilai estimasi untuk parameter mencapai kestabilan. III. PEMBAHASA Model markov switching bukan hanya melibatkan nilai aktual yang bersifat observable dalam proses estimasi, tetapi juga melibatkan probabilitas yang bersifat hidden. Sehingga model markov switching bukan hanya menghasilkan fitted value tetapi juga menghasilkan estimasi nilai probabilitas, yakni matriks transisi, filtered dan smoothed probability. Khusus smoothed probability, berguna untuk penanggalan siklus bisnis (Petturson, 2000), maksudnya periodisasi rezim pada siklus bisnis (misalkan dari titik waktu 1996 Q1 sampai 2000 Q2 adalah periode rezim resesi, dan 2000 Q3 sampai 2015 Q2 adalah periode rezim ekspansi). Jika didalam suatu penelitian menetapkan dua rezim, yaitu resesi dan ekspansi sehingga smoothed probability bersifat mirroring, misalnya ketika pada titik waktu tertentu memiliki nilai smoothed probability resesi sebesar 0.2, maka smoothed probability ekspansi sebesar 0.8 dan karena smoothed probability resesi kurang dari 0.5 (apabila nilai smoothed probability resesi kurang dari 0.5 (Hamilton, 1989), maka titik waktu tersebut termasuk dalam periode ekspansi. Kemudian apabila nilai smoothed probability resesi lebih dari atau sama dengan 0.5, maka titik waktu tersebut termasuk dalam periode rezim resesi. Kemudian jika tersedia informasi penanggalan resmi perihal rezim, maka dapat dibentuk ukuran kebaikan model markov switching berdasarkan penyimpangan periode (waktu) antara

5 periode rezim hasil periodisasi yang didasarkan pada pergerakan smoothed probability yang dihasilkan model markov switching terhadap periode rezim hasil keputusan otoritas ekonomi (aktual). amun, ukuran tersebut dapat dikonstruksi jika urutan dan frekuensi kemunculan rezim (baik secara total maupun spesifik rezim) sama antara hasil prediksi model dan realitas. Misalkan secara hipotetik disajikan tabel periodisasi rezim realitas dan hasil prediksi model markov switching AR (1), berikut (contoh dibuat sederhana agar diperolehan pemahaman): Tahun Periodisasi Aktual (Berdasarkan Hasil Pengumuman Periodisasi Rezim pada Siklus Bisnis Oleh Otoritas Ekonomi) Tabel 1. Hipotetis Smoothed Probability Rezim Resesi Berdasarkan Model Markov Switching AR (1) Hasil Periodisasi yang didasarkan pada Pergerakan Smoothed Probability yang dihasilkan Model Markov Switching-AR(1) Perlu diperhatikan hasil prediksi model markov switching AR (d) maka terdapat perbedaan lag waktu sebanyak d unit waktu. Seperti pada tabel 1, periode observasi pertama adalah tahun 2000, maka fitted value maupun prediksi periodisasi rezim dari model markov AR (d) dimulai pada tahun d, dalam contoh di atas menggunakan model markov switching AR (1), maka fitted value maupun prediksi rezim dimulai dari tahun 2001 ( ). Pada tabel 1, anggaplah rezim resesi diberi kode 1, dan rezim ekspansi diberi kode 2, lalu perhatikan urutan dari periodisasi aktual, yaitu resesi ekspansi resesi dan urutan periodisasi dari model: resesi ekspansi resesi, ternyata antara aktual dan prediksi model memiliki urutan rezim yang sama. Kemudian frekuensi kemunculan rezim menurut periodisasi aktual, yaitu resesi terjadi dua kali selama periode pengamatan, dan ekspansi terjadi satu kali selama periode pengamatan. Periode resesi pada kemunculan pertama secara aktual adalah 4 tahun, namun agar seimbang dengan dimulainya hasil periodisasi model markov switching AR (1) maka 4 tahun dikurangi 1 tahun menjadi 3 tahun (hanya untuk kemunculan pertama) dan periode resesi pada kemunculan kedua adalah 3 tahun. Periode ekspansi aktual pada kemunculan pertama (kemunculan ekspansi hanya satu kali selama periode pengamatan) adalah 4 tahun, Kemudian, prediksi periodisasi resesi hasil model pada kemunculan pertama dan kedua masing-masing adalah 2 tahun dan prediksi periode ekspansi hasil model pada kemunculan pertama selama periode pengamatan adalah 6 tahun. Atas dasar tersebut dapat dibuat ukuran kebaikan model seanalogi dengan sum of squared errors (SSE), berikut perumusan MSE: T SSE = ( t t) 2 t=1 (18) dengan: t : nilai aktual; t: nilai prediksi. Maka ukuran kebaikan berdasarkan penyimpangan periode yang dihasilkan model markov yang penulis sebut sum of squared period deviations (SSPD) dirumuskan sebagai berikut: dengan: SSPD = f resesi (resesi) (resesi) (P f P f ) 2 f=1 f ekspansi (ekspansi) (ekspansi) + (P g P g ) 2 g=1 (18)

6 SSPD adalah sum of squared period deviations. (resesi) P f adalah periode aktual rezim resesi pada frekuensi resesi ke- f. (resesi) P f adalah prediksi periode rezim resesi dari model markov switching-ar (d) pada frekuensi resesi ke-f. (ekspansi) P g adalah periode aktual rezim resesi pada frekuensi ekspansi ke- g. (ekspansi) P g adalah prediksi periode rezim resesi dari model markov switching-ar (d) pada frekuensi ekspansi ke-g. f resesi adalah banyaknya kemunculan rezim resesi selama periode pengamatan. f ekspansi adalah banyaknya kemunculan rezim ekspansi selama periode pengamatan. Untuk contoh tabel 1, dapat dihitung SSPD untuk model markov switching AR (1): SSPD = (3 2) 2 + (4 6) 2 + (3 2) 2 Deviasi Periode Rezim Resesi Kemunculan Pertama Deviasi Periode Rezim Ekspansi Kemunculan Pertama Deviasi Periode Rezim Resesi Kemunculan Kedua Sehingga diperoleh SSPD sebesar 6. Tentu saja SSPD untuk model markov switching AR (1), jika ada model markov switching lainnya maka nilai SSPD dari berbagai model perlu diamati dan pilihlah model yang menghasilkan SSPD minimum. IV. APLIKASI RIIL Sebagai contoh penerapan MSPD, penulis menggunakan kurs tengah rupiah terhadap dollar USA periode 1985 Q1 sampai dengan 2010 Q1, dimana 1985 Q Q2 sebagai rezim mengambang terkendali dan 1997 Q3 sampai 2010 Q1 didefinisikan sebagai rezim sistem nilai tukar mengambang bebas. Penulis mengajukan model MSM (markov switching in mean)-ar (2), MSM-AR (3), MSM-AR (4) sebagai kandidat model, dimana MSM-AR (d) dirumuskan sebagai berikut: (g t ε st ) = ρ 1 (g t 1 ε st 1 ) + + ρ d (g t d ε st d ) + ι t dengan: g t : kurs tengah Rupiah terhadap US Dollar pada waktu t, ρ d : koefisien autoregressive pada order d, ε st : mean kurs tengah Rupiah terhadap US Dollar pada rezim s, dan ι t : random eror. Tabel 2. Hasil Estimasi MSM-AR Berdasarkan Data Kurs Tengah Rupiah Terhadap US Dollar 1985 Q Q1 MSM-AR(2) MSM-AR(3) MSM-AR(4) ε [0.000] [0.0000] [0.0000] ε [0.000] [0.000] [0.000] ρ [0.113] [0.000] [0.000] ρ [0.000] [0.258] [0.143] ρ [0.616] [0.056] ρ [0.001] AIC MSDP sumber: pengolahan penulis, menggunakan Eviews 9.5 versi Demo, [. ] menyatakan p-value. Tabel 2 menyajikan hasil estimasi kandidat model MSM-AR (2), MSM-AR (3), dan MSM-AR (4). Berdasarkan tabel 3.4 AIC minimum dimiliki model MSM-AR (4), sedangkan MSDP minimum dimiliki model MSM-AR (2) (dimana perbedaan MSDP dari kandidat model sangat kecil). Pada

7 kasus ini menunjukkan juga bahwa model yang memiliki AIC minimum belum tentu memiliki MSDP minimum. Penggunaan MSDP dan AIC tergantung tujuan penelitian apakah untuk mengidentifikasi periodisasi rezim atau peramalan nilai. Jika penelitian bertujuan untuk mengidentifikasi periodisasi rezim, maka gunakan MSDP, dan jika penelitian bukan bertujuan untuk periodisasi rezim, maka gunakan AIC atau sejenisnya. Kemudian jika dilihat dari penyimpangan periode yang disajikan tabel 3 berikut: Tabel 3 Periode Resesi USA, 1951 Q Q4 Realitas Periode Periode oleh MSM-AR(2) Periode oleh MSM-AR(3) Periode oleh MSM-AR(4) 1985 Q Q2 (Mengambang Terkendali) 1985 Q Q4 (Mengambang Terkendali) 1985 Q Q4 (Mengambang Terkendali) 1985 Q Q4 (Mengambang Terkendali) 1997 Q Q1 (Mengambang Bebas) 1998 Q Q1 (Mengambang Bebas) 1998 Q Q1 (Mengambang Bebas) 1998 Q Q1 (Mengambang Bebas) Sumber: Pengolahan Penulis SSPD = 8 SSPD = 8 SSPD = 8 Berdasarkan tabel 3, ternyata dari model MSM-AR (2), MSM-AR (3) dan MSM-AR (4) memiliki nilai SSPD yang sama, yaitu 8, dan dari ketiga model tersebut tidak ada SSPD minimum sehingga untuk memilih model tersebut diperlukan informasi tambahan. Dalam kasus ini dapat dipilih berdasarkan prinsip kesederhanaan model atau MSDP, ditinjau dari kesederhanaan model bahwa MSM-AR (2) merupakan model yang sederhana dibandingkan MSM-AR(3) dan MSM-AR(4). Atau, jika dilihat dari MSDP, MSM-AR (2) memiliki nilai MSDP minimum dibandingkan model lainnya. V. KESIMPULA DA SARA 5.1 Kesimpulan Bahwa salah ukuran untuk memilih model markov switching terbaik yang mengakomodir penyimpangan periode adalah sum of squared period deviations (SSDP) yang analogi dengan SSE, berikut perumusan SSDP dari model markov switching: SSPD = f resesi (resesi) (resesi) (P f P f ) 2 f=1 f ekspansi (ekspansi) (ekspansi) + (P g P g ) 2 amun, SSPD dapat diterapkan jika urutan dan frekuensi kemunculan rezim (baik secara total maupun spesifik rezim) sama antara hasil prediksi model dan realitas, baik untuk dua atau lebih rezim yang didefinisikan. Kemudian jika nilai SSPD yang dihasilkan dari kandidat model model bernilai sama, maka pemilihan model terbaik dapat ditinjau dari kesederhanaan model atau ukuran lain seperti MSDP. 5.2 Saran Diperlukan pengembangan untuk SSPD, untuk kasus lainnya seperti jika urutan rezim berbeda antara hasil prediksi model dan realitas, namun total frekuensi kemunculan dari semua rezim sama antara aktual dan hasil prediksi mode ataupun frekuensi kemunculan rezim berbeda. Sehingga dapat dibentuk ukuran kebaikan model berdasarkan penyimpangan (deviasi) periode yang lebih fleksibel dan berlaku umum. g=1

8 REFERESI Akaike, H A ew Look at the Statistical Model Identification. IEEE. Transaction on Automatic Control, AC-19, Goodwin, T.H Business Cycle Analysis with a Markov switching Model. Journal of Business & Economic Statistics 11 o. 3: Fajar, M Mean Squared Deviation Probability. DOI: /RG , Diakses melalui: ROBABILITY_ew_Criteria_for_Markov_Switching_Model?_iepl%5BviewId%5D=ghyqnI GHqWKZC3kdZ14YqZOR&_iepl%5BprofilePublicationItemVariant%5D=default&_iepl% 5Bcontexts%5D%5B0%5D=prfpi&_iepl%5BtargetEntityId%5D=PB%3A &_ie pl%5binteractiontype%5d=publicationtitle Hamilton, J.D Time series Analysis. Princeton, Princeton University Press. Hamilton, J.D A ew Approach to the Economic Analysis of onstationary time series and the business cycle. Econometrica 57: Hamilton, J. D Analysis of Time Series Subject to Changes in Regime. Journal of Econometrics 45: Hamilton, J. D., dan Quiroz, G.P What Do the Leading Indicators Lead?. The Journal of Business, Vol.69, o.1, pp Hamilton, J. D Regime-Switching Models (prepared for: Palgrave Dictionary of Economics). Melalui [19/08/16]. Kim, C.J Dynamic Linear Models with Markov-Switching. Journal of Econometrics 60(1): Kim, C. J. dan Charles R State-Space Models with Regime Switching. Cambridge, The MIT Press. Petturson, T. G Business Cycle Forecasting and Regime Switching. Central Bank of Iceland Working Paper no.7.