[1] Brown,K.E., The Technology of Artificial Lift Methods Volume 2a, Petroleum Publishing Company, Tulsa, 1982.

Transkripsi

1 Daftar Pustaka [1] Brown,K.E., The Technology of Artificial Lift Methods Volume 2a, Petroleum Publishing Company, Tulsa, [2] Brown,K.E., The Technology of Artificial Lift Methods Volume 4, Petroleum Publishing Company, Tulsa, [3] Nishikori, N., Redrer, R.A., Doty, D.R., Schmidt, Z., An Improved Method for Gas Lift Allocation Optimization, SPE Paper 19711, [4] Asheim, Heralds., Criteria for Gas-Lift Stability, SPE Paper , [5] Alhanati, F.J.S., Schmidt, Z. and Doty, D.R., Continous Gas Lift Instability: Diagnosis, Criteria, and Solutions, SPE Paper 26554, [6] Deni S., Edy S., Kuntjoro A.S., Agus Y.G., Septoratno S., Pudjo S., An Investigation on Gas Lift Performance Curve in an Oil Producing Well, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 81519, volume [7] Gisle O.E et.al, Stabilization of Gas Lifted Wells, IFAC, [8] E. Pablano., R. Camacho., Y.V.Fairuzov., Stability Analysis of Continous-Flow Gas Lift Wells, SPE Paper 77732,

2 DAFTAR PUSTAKA 56 [9] Gisle O.E., Ole M.A., Bjarne A.F., Stabilization of Gas-Distribution Instability in Single-Point Dual Gas Lift Wells, SPE Paper 97731, [10] Gen, M. dan R. Cheng, 1997, Genetic Algorithms and Engineering Design, New York: John Wiley and Sons. [11] Goldberg, D.E., 1989, Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning, Canada: Addison-Wesley. [12] Beggs, H.D., 1985, Gas Production Operations, Tulsa: OGCI Publications [13] McCain, W.D., 1990, The Properties of Petroleum Fluids 2 nd Edition, Tulsa: PennWell Publishing co. [14] Rohani, N.,, Tugas Akhir, Jurusan Matematika, ITB, Bandung, 2003.

3 Lampiran - Daftar Simbol Input atau data masukan bagi persamaan kehilangan tekanan dengan menggunakan korelasi Hagedorn and Brown adalah: a. d : Diameter pipa produksi (tubing), in b. P : Tekanan sepanjang pipa produksi, psia c. T : Suhu sepanjang pipa produksi, F d. γ g : Berat jenis spesifik gas (gas specific gravity) e. γ w : Berat jenis spesifik air (water specific gravity) f. WC : Perbandingan air terhadap cairan. g. GLR f : Perbandingan gas dan cairan dalam reservoir,s CF/S T B h. g c : factor konversi gaya gravitasi, lbm f t s 2 lb f i. L : Kedalaman tubing sumur, f t j. L i : Kedalaman injeksi, f t k. P r : Tekanan reservoir, psia 57

4 LAMPIRAN - DAFTAR SIMBOL 58 l. P wh : Tekanan kepala sumur, psia m. J : Productivity Index, blpd/psia n. q g : Jumlah injeksi gas, sc f d o. q o : Jumlah produksi minyak, bopd

5 Lampiran - Prosedur Perhitungan Prosedur Perhitungan Kehilangan Tekanan ( ) 1. Menghitung besar laju alir cairan, q stb L day q L = q o (1 + WOR) dengan WOR = WC 1 WC 2. Menghitung suhu pada tiap segmen T = T wh + h gradt dengan (T r T wh ) L 3. Menghitung total perbandingan gas dan cairan GLR t = GLR f + q g q L 4. Menghitung faktor pemampatan gas, gas compressibility factor, 59

6 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN 60 Z Perhitungan Z faktor menggunakan korelasi Standing Katz, berdasarkan rujukan [11]: z = 1+ ( A 1 + A 2 /T pr + A 3 /T pr 3 + A 4 /T pr 4 + A 5 /T pr) 5 ρpr + ( A 6 + A 7 /T pr + A 8 /T pr 2 ) ρ 2 pr A 9 ( A7 /T pr + A 8 /T 2 pr) ρ 5 pr +A 10 ( 1 + A11 ρ 2 pr)( ρ 2 pr /T 3 pr) e A 11 ρ 2 pr dimana ρ pr = 0.27 [ P pr / ( ZT pr )] Dengan konstanta: A 1 = , A 2 = , A 3 = , A 4 = , A 5 = , A 6 = , A 7 = , A 8 = , A 9 = , A 10 = , A 11 = Mencari total massa gabungan ( m = γ o (350) WOR ) ( +γ w (350) WOR 1 + WOR ) (GLRt)γ g 6. Menghitung besar laju alir massa atau mass flow rate w = q L m. 7. Menghitung jumlah gas terlarut dalam minyak, R s, Dengan merujuk pada [11] maka nilai R s diperoleh dengan menggunakan persamaan: R s = γ g (( API (T 460) ) ) Pb

7 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN Menghitung nilai faktor volume formasi, B o dengan menggunakan persamaan: B o = Menghitung besar kerapatan fasa cairan (( ρ L = γ o R ) )( sγ g B o Menghitung besar kerapatan fasa gas ( P ρ g = γ g Menghitung besar kekentalan gas µ g = Ae ( ) 0 γg Rs (T 460) γ o ( B WOR )( 520 T ( )) rho C10 4 g ) ( ( + γ w 62.4 )( ) 1 Z 1.2 WOR 1 + WOR )) dimana: A = ( γ g29)t 1.5 ( γ g 29+T), B = /T γ g29, dan C = B 12. Berdasarkan rujukan [11], besar kekentalan minyak dihitung melalui: a. Korelasi Beal dihitung berdasarkan dead oil viscosity µ od = ( )( API (T + 460) 260 ) a

8 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN 62 dengan a = 10 ( ) API dimana µ od : kekentalan minyak mati diukur pada tekanan 14.7 psia dan suhu reservoir. b. Korelasi chew-connally untuk menghitung besar saturated crude oil viscosity µ ob = 10 a (µ od ) b dengan: a = R s ( R s ), b = c d e, c = 8.62 ( 10 5) R s, d = 1.1 ( 10 3) R s, e = 3.74 ( 10 3) R s Dimana µ ob : kekentalan minyak pada tekanan bubble point. c. Korelasi Beal untuk menghitung besar undersaturated oil viscosity µ o = µ ob (P P b ) ( 0.024µ ob ) b dimana P b : tekanan bubble point. 13. Menghitung besar kekentalan air. ( µ w = e (T 460) (T 460) 2) 14. Menghitung besar kekentalan campuran cairan. ( ) 1 ( WOR ) µ L = µ o + µ w 1 + WOR 1 + WOR

9 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN Menghitung besar tegangan permukaan minyak. σ o = C σ t dimana, C = P 0.45 dan σ t yang bergantung pada suhu. 16. Menghitung besar tegangan permukaan air, berdasarkan kondisi tekanan dan suhu. (Lihat pada lampiran listing program). 17. Menghitung besar tegangan permukaan campuran ( σ L = σ o WOR ) ( + σ w 18. Menghitung nilai bilangan viskositas cairan 1 N L = µ L ( ρl σl) 3 WOR 1 + WOR 1/4 ) 19. Menghitung besar nilai CN L CN L = N 2 L N L Menghitung luas lingkaran tubing A p = πd2 4

10 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN Menghitung besar faktor volume formasi air. Berdasarkan [11], korelasi yang digunakan: B w = B wp ( 1 + X Y 10 ( 4)) dimana C1 = ( 5) (T 460) ( 7) ((T 460) 2 ), C2 = ( 6) ( 9) (T 460) ( 12) ((T 460) 2 ), C3 = 5 10 ( 11) ( 13) (T 460) ( 15) ((T 460) 2 ), B wp = C1 + C2 P + C3 P 2, X = ( 8) P+(T 520) ( ( 6) ( 10) P) + (T 520) (2) ( ( 8) ( 13) P), Y = ( ( ρ w ) (0.5) )/ Menghitung besar superficial liquid velocity v sl = 5.61q ( L 1 (B o 86400A p 1 + WOR ) + B w ( 23. Menghitung nilai bilangan kecepatan cairan ( ) 1/4 ρl N Lv = 1.938v sl σ L WOR )) 1 + WOR

11 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN Menentukan besar superficial gas velocity v sg = q ( ( )) 1 L GLRt R s 1+WOR A p P 25. Menghitung nilai bilangan kecepatan gas ( ) 0.25 ρl N Gv = 1.938v sg σ L (T + 460)Z Menguji daerah aliran (flow regime) untuk menentukan apakah prosedur perhitungan tetap dilanjutkan dengan korelasi Hagedorn and Brown atau dengan menggunakan korelasi griffith and wallis untuk aliran bubble. Prosedur pengujiannya adalah sebagai berikut: a. Menentukan bilangan A A = ( ( v sl + v sg ) 2 ) d Jika A 0.13 maka nilai A yang telah dihitung berdasarkan formulasi diatas digunakan, akan tetapi jika nilai A < 0.13, maka nilai A yang digunakan adalah A = b. Menghitung nilai bilangan B v sg B = v sl + v sg

12 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN 66 Jika B A 0 maka proses perhitungan dilanjutkan dengan menggunakan korelasi Hagedorn and Brown. Sedangkan jika B A < 0 maka proses perhitungan dilanjutkan dengan menggunakan korelasi Griffith and wallis yang akan dijelaskan pada lampiran berikut. 27. Menghitung nilai bilangan diameter pipa N d = d ρl σ L 28. Menghitung nilai fungsi korelasi holdup Φ = N Lv N Gv ( P ) 0.10 ( ) CNL 14.7 N d 29. Menentukan besar H L φ Nilai H L φ ditentukan oleh persamaan regresi sebagai berikut: a. Jika φ < 10 5 maka H L φ = φ ,915φ b. Jika 10 5 φ < maka H L φ = φ ,805φ

13 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN 67 c. Jika φ < 10 3 maka H L φ = φ φ φ 2 + 1,978.6φ d.jika 10 3 φ < maka H L φ = φ φ 3 151,133φ φ Menentukan nilai parameter koreksi bagi kedua korelasi 31. Menentukan besar ψ φ N Gv N L = Nd 2.14 Nilai ψ ditentukan oleh persamaan regresi berikut: a. Jika φ < 0.02 maka ψ = ( φ ) φ b. Jika 0.02 φ < 0.03 maka ψ = ( φ ) φ c. Jika 0.03 φ < 0.04 maka ψ = ( φ ) φ

14 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN 68 d.jika 0.04 φ < 0.05 maka ψ = ( φ ) φ e.jika 0.05 φ < 0.06 maka ψ = ( φ ) f.jika φ 0.06 maka ψ = ( φ ) Menghitung nilai holdup cairan H L = ( HL ψ ) ψ 33. Menentukan nilai bilangan Reynolds untuk dua fasa NR e = w d ( µ H )( ) L L µ 1 H L g 34. Menentukan faktor gesekan Berdasarkan rujukan [11], faktor gesekan ditentukan berdasarkan: a.jika NR e < 2000 maka f = 64/NR e

15 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN 69 b.jika 2000 NR e < 4000 maka f = 0.5/NR 0.3 e c.jika NR e 4000 maka f = ( ( e log d NR 0.9 e )) Menetukan nilai λ λ = v sl v sl + v sg 36. Menghitung besar kerapatan campuran fluida dua fasa Jika H L λ ρ m = ρ L H L + ρ g (1 H L ) Sedangkan jika H L < λ ρ m = ρ L λ + ρ g (1 λ) 37. Menentukan kecepatan campuran dua fasa v m = v sl + v sg Prosedur Korelasi Griffith and Wallis

16 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN 70 Untuk aliran bubble digunakan prosedur perhitungan penurunan tekanan yaitu: 1. Menentukan laju alir air q w = q o WOR 2. Menentukan laju alir cairan q L = (q o B o + q w B w ) 3. Menentukan laju alir gas Zq L (GLR t R s )(T + 460) P 4. Menghitung laju alir massa dari cairan w L = ( q o γ o + q w γ w q L γ g R s ) 5. Menghitung laju alir massa gas wg = q L γ g (GLR t R s )

17 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN Menghitung besar kerapatan cairan ρ L = w L q L 7. Menghitung besar kerapatan gas ρ g = w g q g 8. Pilih nilai v s = Menghitung besar gas holdup ( ) ( ( )) 2 H g = qt qt 1 + 4q g v s A p v s A p v s A p 10. Menghitung besar kerapatan total ρ = ( 1 H g ) ρl + H g ρ g 11. Menghitung besar kerapatan cairan v L = q L / ( A p ( 1 Hg )) 12. Menghitung besar bilangan Reynold ( ) vl NR e = 1488dρ L µ L

18 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN Menentukan besar faktor gesekan. Faktor gesekan ditentukan seperti dalam prosedur sebelumnya. 14. Menentukan nilai perbedaan tekanan berdasarkan gaya gravitasi PGF = f ρ Lv 2 L 2g c d 15. Menentukan besar gradien tekanan dengan menggunakan persamaan ( 144) dp 1 dh = ρ + PGF 1 ((w L +w g)q g) 4637A 2 pρ Prosedur Perhitungan Kriteria Kestabilan Berikut adalah prosedur perhitungan kriteria kestabilan untuk formasi, titik injeksi dan choke injeksi dipermukaan, [4]dan[5]. 1. Menghitung luas permukaan tubing injeksi, f t 2 A ti = Π 4 ID 2 tubing Menghitung volume tubing injeksi, m 3 V t = A ti L i

19 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN Menghitung volume casing ( ID 2 casing OD 2 tubing ) Li V c = Π Menghitung Z faktor, seperti pada perhitungan sebelumnya. 5. Menghitung nilai faktor volume formasi gas B g = Z ti (T ti ) P ti 6. Menghitung nilai faktor volume formasi air dengan perhitungan sebelumnya. 7. Menghitung besar kerapatan air ρ w = 350γ g B w 8. Menghitung faktor volume formasi gas, R s R s = γ g (( P ) API T) Menghitung oil formation volume factor, B o. Berdasarkan rujukan [11], B o dihitung berdasarkan korelasi standing. B o = R s ( γg γ o ) T 1.2

20 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN Menghitung nilai kerapatan minyak ρ o = 350γ o γ g 5.615B o 11. Menghitung laju cairan pada titik injeksi Q L ti = Q L ti Menghitung nilai kerapatan cairan pada titik injeksi 1 ρ L = ρ o 1 + WOR + ρ WOR w 1 + WOR 13. Menghitung nilai kerapatan gas pada titik injeksi ρ gti = γ gp ti (T ti )Z ti 14. Menghitung fungsi korelasi holdup, H L. (Lihat prosedur perhitungan pada lampiran sebelumnya). 15. Menghitung kerapatam fluida ρ f i = (ρ L H L ) + ( ρ gti (1 H L ) ) 16. Menghitung nilai Z faktor dari gas injeksi. (seperti dalam lampiran sebelumnya).

21 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN Menghitung gas injeksi factor volume formation B ggi B ggi = ( ) Z gi ti (T ti 1.5) P ti Menghitung kerapatan gas injeksi ρ ggi = γ g P ti T ti Z giti Menghitung kerapatan gas injeksi pada kondisi standard ρ gsc = ρ ggi B ggi 20. Konversi laju alir cairan dalam m 3 /s ( qlti q L = ) Konversi laju alir gas injeksi dalam m 3 /s (( qosc + WC q ) osc 1 WC 0.07(GOR Rs ) B g ) ( ) qgsc q gi = B ggi Konversi nilai PI dalam m 3 /s Pa PI = J

22 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN Menghitung luas diameter valve (port) injeksi A i = d 2 port Π Menghitung nilai kestabilan F 1 F 1 = ρ ( g sc B ggi Q 2 gsc Π ) q Lsc (EA i ) Menghitung D 1 berdasarkan persamaan (2.22) 26. Menghitung D 2 berdasarkan persamaan (2.23) 27. Menghitung D 3 berdasarkan persamaan (2.24) 28. Menghitung D 4 berdasarkan persamaan (2.25) Metode Shooting Metode shooting merupakan salah satu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan nilai batas. Permasalahan alokasi gas injeksi pada sumur dual gas lift metode Shooting digunakan untuk menyelesaikan persamaan differential (2.11), yang merepresentasikan aliran fluida di reservoir dan di dalam tubing. Metode ini digunakan sebab pada persamaan (2.11) terdapat dua variabel yang terkait, yaitu variabel jumlah liquid dan variabel laju gas injeksi. Dalam

23 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN 77 hal ini, nilai laju gas injeksi akan diberikan terlebih dahulu untuk mendapatkan nilai laju liquid atau cairannya. Berikut langkah-langkah metode Runge Kutta dan metode shooting untuk mendapatkan nilai produksi cairan (q L ): 1. Pilih suatu nilai laju injeksi gas q g 2. Berikan tebakan awal bagi laju produksi cairan q L 3. Mencari solusi persamaan (2.11) dengan menggunakan metode Runge Kutta orde 4, dengan nilai awal, P(0) = P wh. 4. Diperoleh solusi tekanan dasar sumur, P w f. 5. Penentuan besar laju produksi cairan q L, untuk suatu nilai laju gas injeksi q g akan dilakukan melalui metode Shooting. Dalam metode ini, dilakukan pengujian terhadap nilai tebakan awal q L mulai dari batas atas P(0) = P wh hingga batas bawah P(L) = P w f, sehingga diperoleh nilai q L yang bersesuaian dengan syarat batas tersebut. Pengujian dilakukan sebagai berikut: a. Jika P w f hasil perhitungan lebih kecil dari P w f hasil persamaan Darcy, ( P w f < ) PDarcy w f maka pilih ql lebih besar dari q L tebakan awal.

24 LAMPIRAN - PROSEDUR PERHITUNGAN 78 b. Jika P w f hasil perhitungan lebih besar dari P w f hasil persamaan Darcy, ( P w f > ) PDarcy w f maka pilih ql lebih kecil dari q L tebakan awal. Pengujian tersebut dilakukan berulang-ulang hingga P w f hasil perhitungan mendekati nilai P w f dari perhitungan dengan menggunakan persamaan Darcy. Nilai produksi cairan q L saat mencapai kondisi dimana P w f PDarcy w f merupakan nilai laju produksi cairan yang diharapkan. Hubungan P w f terhadap q yang dihasilkan dengan prosedur ini merupakan performansi outflow di dasar sumur.

25 Lampiran - Pembuktian Kriteria Kestabilan 1. Kriteria Kestabilan pada Formasi, [4] Penurunan tekanan tubing di dasar sumur akan menyebabkan peningkatan aliran fluida reservoir dan aliran injeksi gas. Jika peningkatan aliran gas relatif lebih tinggi daripada aliran cairan, maka densitas fluida campuran di dalam tubing akan turun. Hal ini akan menurunkan ketinggian statis fluida dan menurunkan friksi aliran, yang akhirnya menyebabkan gangguan stabilitas. Sebaliknya jika densitas fluida campuran meningkat sebagai respon terhadap atas penurunan tekanan, maka ketinggian statis fluida dan friksi aliran akan meningkat dan sistem akan menjadi stabil oleh pengaruh umpan balik negatif. Jadi, parameter stabilitas datang dari: dρ i dp ti < 0 79

26 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 80 Densitas campuran yang masuk (inflow) dinyatakan sebagai jumlah dari densitas fluida dan densitas injeksi gas: ρ i = ρ Lq L + ρ g q g q L + q g Perubahan densitas fluida campuran yang masuk (inflow) yang dihasilkan dari perubahan (gangguan) dari laju alir inflow dapat dinyatakan secara matematis dengan turunan persamaan densitas: q t = q L + q g ρ ( q g,q L ) q t Jika -nya sangat kecil, maka dapat dinyatakan: dρ i = dρ ( q g + q L ) d ( q g + q L ) = ( ) ρl q d L +ρ g q g q L +q g d ( ) q g + q L ( ρg dq g + ρ L dq L )( ql + q g ) ( ρg q g + ρ L q L )( dql + dq g ) dρ i = ( ql + q g ) 2 ρ L ρ g ( ) ( ) qg 2 dq L q L dq g ql + q g Dari persamaan diatas, terlihat bahwa parameter stabilitas dapat dipostulatkan secara leng-kap untuk: Dengan mengabaikan aliran transien, aliran fluida reservoir dapat diasumsikan propor-

27 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 81 sional terhadap perbedaan tekanan antara reservoir dan bawah sumur: q L = B f J ( P r P w f ) dq L dp ti = B f J Aliran injeksi gas dapat dijabarkan dengan persamaan orifice untuk aliran dengan temperatur konstan: [ ] 2ZRT 0.5 q g = EA i M ln(p t/p c ) Asumsi bahwa temperatur aliran gas yang melewati port adalah konstan menyatakan secara tidak langsung suatu pendekatan, karena gas mungkin menjalani ekspansi pendinginan. Karena perbedaan tekanan diantara katup relatif kecil jika dibandingkan dengan tekanan total (tekanan injeksi), maka kesalahan ini dapat diabaikan. Perubahan laju aliran injeksi gas yang disebabkan

28 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 82 perubahan tekanan tubing dapat dinyatakan secara matematis Maka, dq g = (EA i) 2 dp ti ρ g q g Di sini, volume annulus casing-tubing cukup besar untuk mencegah penurunan tekanan yang signifikan. Menurunkan tekanan annulus casing-tubing akan ada efek stabilisasi ekstra, yang dianggap terpisah di pembuktian kriteria kestabilan formasi Dengan penurunan persamaan di atas, parameter stabilitas untuk performa aliran inflow dinyatakan sebagai: F 1 = ρ gq 2 g q L B f J (EA i ) 2 > 1 2. Kriteria Kestabilan pada Titik Injeksi, [4] Dengan menganggap bahwa sistem tidak stabil dengan parameter seperti yang diturunkan pada kriteria kestabilan pada formasi, lalu penurunan tekanan tubing akan mengakibatkan peningkatan aliran injeksi gas ke dalam tubing. Namun hal ini akan men-

29 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 83 gakibatkan terjadinya penurunan tekanan di annulus. Jika penurunan tekanan annulus lebih cepat dibandingkan dengan tekanan tubing, maka aliran gas akan segera menstabilkan aliran* dq g dt < 0 Dengan menggunakan persamaan orrifice, kebutuhan untuk menurunkan laju aliran adalah dengan penurunan rasio tekanan antara tekanan annulus dengan tekanan tubing. Jadi aliran injeksi gas akan menurun ketika: F 2 = 1 P ci 1 P ti P ci t P ti t > 1 F 2 = P ti Pci t > 1 P ci P ti t Perubahan tekanan gas di annulus dinyatakan dengan persamaan gas umum: P ci t = δ(w ci w ti ) Z cirt ci V c M Aliran gas ke dalam annulus (volume gas) diasumsikan konstan. Laju alir masa dikonversikan menjadi laju alir volume pada tekanan tubing untuk berhubungan dengan sistem parameter yang digunakan di sini: Dengan mengabaikan percepatan, tekanan tubing dapat dideskripsikan dengan persamaan keseim-

30 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 84

31 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 85 bangan momentum umum: P ti = P w f + ρgd i + P f Dengan P f menyatakan kehilangan tekanan akibat adanya gaya gesekan fluida dengan pipa. Dengan menganggap bahwa hanya ada perubahan kecil dalam perbandingan gas - cairan input, akan terjadi aliran yang kontinyu tanpa pengurangan faktor gesekan. Respon tekanan terhadap perubahan seperti ini didapatkan dengan menurunkan persamaan aliran di atas. Dengan asumsi bahwa tekanan kepala sumur konstan dan tidak ada pengurangan faktor gesekan dalam gelombang kontinyu dalam tubing, respon tekanan ditentukan dengan persamaan: P t t = gd i ρ t dengan ρ menyatakan densitas campuran. Untuk menjumlahkan perubahan variasi pada densitas rata-rata di dalam tubing, digunakan persamaan kontinuitas. Dengan mengabaikan percepatan, persamaan kontinuitas dinyatakan sebagai: ρ t + v ρ x = 0 Anggapan yang digunakan adalah adanya perubahan yang berta-

32 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 86 hap dari densitas fluida input. Sebelum aliran secara kontinyu mencapai kepala sumur, densitas fluida outflow tidak akan berubah seperti sebelumnya. Variasi densitas rata-rata fluida di dalam tubing dapat diturunkan dari persamaan kontinuitas seperti di atas: ρ t = q L + q g ρ A t Dengan A t menyatakan luas tubing. Dengan mensubstitusikan persamaan P t ρ t = gd i pada persamaan ρ t = q L+q g A t ρ i, ρ i = ρ Lq L +ρ g q g q L +q g t dan persamaan F 1 = q L q g q g q L > 1. Maka respon tekanan pada tubing yang disebabkan oleh perubahan aliran injeksi gas yang masuk dapat dinyatakan dengan persamaan: Parameter stabilitas karena pengaruh penurunan tekanan dalam annulus dapat dinyatakan dengan menggabungkan persamaan:

33 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 87 Parameter C adalah faktor volume gas antara annulus dan tubing. Untuk semua kasus-kasus yang dapat diduga, nilai ini mendekati satu. 3. Kriteria Kestabilan pada Choke Injeksi di Permukaan Kriteria ini merupakan perluasan untuk mengakomodasi flow regimes di permukaan (choke injeksi) dan valve gas lift. Hubungan antara variasi tekanan tubing terhadap laju alir dari reservoir diberikan oleh: P t = q L B f J Untuk menurunkan hubungan antara laju alir gas injeksi melalui gas lift valve dan tekanan tubing, maka akan diturunkan model

34 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 88 yang berhubungan dengan gas-lift valve response dan choke response untuk variasi tekanan tubing dan casing. Persamaan aliran adiabatik (tidak keluar panas) untuk valve adalah: m 0 = 2 ( C D A p Y ) M zrt Pc0 (P c0 P t0 ) Asumsi yang digunakan: tekanan konstan dapat ditentukan dari distribusi gas sejak dari choke injeksi, dan pendekatan linear yang dipenuhi untuk choke injeksi permukaan: m ch1 (t) m 0 = Kch c P c1 (t) P c0 Dan laju alir gas injeksi yang melalui gas-lift valve m v1 (t) m 0 = K c v P c1 (t) P co + Kv t P t1 (t) P to Koefisien K menggambarkan variasi relatif dalam aliran massa melalui choke dan gas lift valve disebabkan karena variasi pada tekanan tubing dan casing. Pendekatan ini beralasan untuk flow regime pada choke dan valve. Nilai K c ch yang digunakan pada thesis ini selalu negatif karena aliran gas melalui choke menurun seiring dengan peningkatan tekanan casing. Sedangkan nilai Kv c akan selalu positive karena aliran yang melalui gas lift valve meningkat seiring dengan meningkatnya tekanan casing. Den-

35 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 89 gan kata lain, K t v mungkin positive atau negative, bergantung terhadap karakteristik dan flow regime pada valve. Perubahan tekanan gas di annulus dinyatakan dengan persamaan gas umum: P ci t = δ(w ci w ti ) z cirt ci V c M Persamaan mass-balance diturunkan dari perubahan tekanan gas di annulus. Dengan mendifinisikan m = δ. Hukum kekekalan massa pada casing diberikan oleh persamaan: Dalam menurunkan pernyataan untuk tubing response bagi vari-

36 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 90 asi jumlah cairan dan gas, di hilangkan pengaruh efek percepatan dan efek gesekan dan diasumsikan bahwa tubingnya adalah vertikal. Maka hanya gaya gravitasi saja yang berpengaruh: P t1 (t) = t 0 [ δ ρm (t)g q ] L + q g dt A t Dimana δ ρm adalah variasi dari densitas campuran pada titik injeksi saat steady state. Variasi ini disebabkan karena variasi yang telah diprediksi, variasi dari gas injeksi yang melalui gas lift valve atau aliran perturbasi yang tak terprediksi. Untuk analisa kestabilan.transformasi persamaan-persamaan diatas dari persamaan time space ke persamaan state space. Akan

37 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 91 diperoleh: Agar mempunyai solusi maka matriks 3 3 tersebut harus memiliki invers. Punya invers artinya determinannya tidak sama dengan 0. Artinya tidak ada nilai-nilai singularnya. Nilai singular disini bergantung pada s. Maka akan dicari nilai-nilai yang menyebabkan singularitas. Yaitu dicari determinan dari matriks 3 3 yang nilainya 0. Dan diperoleh: Kondisi untuk sistem akan stabil jika akar2 persamaan dari persamaan diatas negatif. Hal ini merupakan syarat dari theorema

38 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 92 Routh-Hurwitz. Dalam kasus ini, untuk menjamin kestabilan dari sistem maka, Dan, Jika persamaan q L P t0 [( ) ] Kv B f Jq g + q t g P t0 q L + (q L+q g)a t g(ρ f ρ g) a > 0 dibagi dengan ( K t ) ( ) ql + q v g At B f Jq g + q g q L + P t0 g ( ) a ρ f ρ > 0 g P t0 aq g q L, diperoleh: [( B f Jq g + q g K t v ) K c ] v + q g bq L > 0 P c0 Maka, persamaan umum dari kriteria adalah: Kasus khusus K t v tak negatif Jika K t v positive atau nol, maka kedua persamaan diatas akan selalu terpenuhi. Hal ini terjadi, jika choke beroperasi untuk

39 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 93 aliran kritis. Dalam kedua situasi ini, penurunan tekanan tubing tidak menyebabkan peningkatan rate gas yang melalui valve. Kasus khusus K t v negatif K t v dimungkinkan untuk negative. Saat keadaan ini choke beroperasi pada aliran subcritic. Untuk kasus ini, aliran yang melalui valve meningkat seiring dengan penurunan tekanan tubing. Dengan menggunakan persamaan adiabatic untuk valve, diperoleh: m 0 = 2 ( C D A p Y ) M zrt Untuk aliran stady state Pc0 (P c0 P t0 ) m v1 (t) = 1 P c0 (P c1 (t) P t1 (t)) P c1 (t)(p c0 P t0 ) m 0 2 P c0 (P c0 P t0 ) Untuk variasi aproksimasi dari mass flow rate dengan variasi tekanan tubing dan casing. Kasus khusus: Jumlah Gas Konstan yang Melalui Choke

40 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 94 Konstan gas yang melalui choke injeksi permukaan dapat terjadi untuk aliran yang konstan, atau jika operator choke injeksi dibawah aliran kritis. Untuk kasus ini, aliran yang melalui choke adalah saling bebas dari tekanan dan sebaliknya.

41 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 95

42 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 96

43 LAMPIRAN - PEMBUKTIAN KRITERIA KESTABILAN 97