BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 29 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pendahuluan Perencanaan produksi merupakan perencanaan tentang produk apa dan berapa yang akan diproduksi oleh perusahaan yang bersangkutan dalam satu periode yang akan datang. Perencanaan produksi merupakan bagian dari perencanaan operasional di dalam perusahaan. Dalam penyusunan perencanaan produksi, hal yang perlu dipertimbangkan adalah adanya optimasi produksi sehingga akan dapat dicapai tingkat biaya yang paling rendah untuk pelaksanaan proses produksi tersebut. Persoalan dasar di dalam pengambilan keputusan manajerial adalah bagaimana melakukan keputusan terhadap berbagai alternatif yang ada sehingga diharapkan diperoleh konsekuensi resiko yang sekecil-kecilnya atau manfaat yang sebesarbesarnya. Dengan kata lain, langkah pengambilan keputusan harus dioptimasi sedemikian rupa sehingga diperoleh hasil yang paling baik manfaatnya bagi si pengambil keputusan. Pendekatan metode kuantitatif untuk pengambilan keputusan dikenal sebagi teknik riset operasional (operation research).

2 30 Perencanaan produksi juga dapat didefinisikan sebagai proses untuk memproduksi barang-barang pada suatu periode tertentu sesuai dengan yang diramalkan atau dijadwalkan melalui pengorganisasian sumber daya seperti tenaga kerja, bahan baku, mesin dan peralatan lainnya. Perencanaan produksi menuntut penaksir atas permintaan produk atau jasa yang diharapkan akan disediakan perusahaan di masa yang akan datang. 2.2 Diagram Pareto Diagram ini diperkenalkan pertama kali oleh seorang ahli ekonomi dari Italia bernama Vilfredo Pareto ( ). Diagram Pareto adalah alat statistik yang penggunaannya bertujuan untuk mengidentifikasi serangkaian masalah utama untuk kemudian ditentukan peringkat prioritas dari masalahmasalah tersebut sehingga dapat diketahui masalah-masalah yang sebaiknya diselesaikan terlebih dahulu. Diagram Pareto menggunakan sebuah prinsip utama yang mengungkapkan bahwa delapan puluh persen dari permasalahan yang timbul diakibatkan oleh dua puluh persen dari penyebab-penyebab yang ada, sehingga dengan demikian, hanya dengan mengatasi sedikit penyebab, sebenarnya sebagian besar permasalahan telah terselesaikan (Montgomery, 2005). Prinsip Pareto adalah sedikit tetapi penting, banyak tetapi remeh. Kegunaan dari diagram Pareto adalah: Menunjukkan persoalan utama yang dominan dan perlu segera diatasi.

3 31 Menyatakan perbandingan masing-masing persoalan yang ada dan kumulatif secara keseluruhan. Menunjukkan tingkat perbaikan setelah tindakan koreksi dilakukan pada daerah yang terbatas. Menunjukkan perbandingan masing-masing persoalan sebelum dan sesudah perbaikan. Langkah-langkah pembuatan diagram Pareto dapat dijelaskan sebagai berikut: 1. Kelompokkan masalah yang ada dan nyatakan hal tersebut dalam rangka yang bisa terukur secara kuantitatif. 2. Atur masing-masing penyebab/masalah yang ada sesuai dengan pengelompokkan yang dibuat. Pengaturan dilaksanakan berurutan sesuai dengan besarnya nilai kuantitatif masing-masing. Selanjutnya gambarkan keadaan ini dalam bentuk grafik kolom. Penyebab nilai kuantitatif terkecil digambarkan paling kanan. 3. Buatlah grafik garis secara kumulatif (berdasarkan prosentase penyimpangan) diatas grafik kolom ini. Diagram Pareto merupakan langkah awal (berdasarkan skala prioritas) untuk melakukan perbaikan atau tindakan koreksi terhadap penyimpangan yang terjadi. Pareto diagram dapat diaplikasikan untuk proses perbaikan dalam berbagai macam aspek permasalahan. Diagram Pareto ini seperti

4 32 halnya diagram sebab-akibat tidak saja efektif digunakan untuk usaha pengendalian kualitas suatu produk, akan tetapi juga bisa diaplikasikan untuk: o Mengatasi problem pencapaian efisiensi/produktivitas kerja yang lebih tinggi lagi. o Problem-problem keselamatan kerja (safety). o Penghematan/pengendalian material, energi. o Perbaikan sistem dan prosedur kerja. 2.3 Peramalan Peramalan adalah studi terhadap data historis untuk menemukan hubungan, kecenderungan dan pola yang sistematis, atau dengan kata lain peramalan adalah upaya memperkirakan nilai-nilai respon yang menjadi perhatian di masa depan. Secara garis besar peramalan dibedakan menjadi peramalan kuantitatif dan peramalan kualitatif. Hasil peramalan kualitatif didasarkan pada pengamatan kejadian-kejadian di masa sebelumnya yang digabungkan dengan intuisi maupun ketajaman perasaan si peramal dalam menghasilkan suatu informasi yang diperkirakan bakal terjadi di masa datang. Pada umumnya hasil peramalan kualitatif juga berbentuk informasi kualitatif, walaupun tidak selalu demikian. Sebaliknya peramalan kuantitatif mempergunakan data kuantitatif yang diperoleh dari pengamatan nilai-nilai sebelumnya dengan ditunjang beberapa informasi kuantitatif maupun kualitatif. Hasil peramalan

5 33 kuantitatif secara relatif lebih disukai karena memberikan pandangan yang lebih nyata dan lebih obyektif dalam besaran nilai hasil peramalannya. Peramalan kuantitatif dapat dibagi menjadi deret berkala dan metode kausal. Makridakis, Wheelwright dan McGee (1999) menjelaskan bahwa pada umumnya peramalan kuantitatif dapat diterapkan bila terdapat tiga kondisi berikut: 1. Tersedia informasi tentang masa lalu (data historis). 2. Informasi tersebut dapat dikuantitatifkan dalam bentuk numerik. 3. Dapat diasumsikan bahwa beberapa aspek pola masa lalu akan terus berlanjut di masa mendatang Peranan Peramalan Semua organisasi telah menunjukkan keinginan yang meningkat untuk mendapatkan ramalan dan menggunakan sumber daya peramalan secara lebih baik. Komitmen tentang peramalan telah tumbuh karena beberapa faktor seperti: 1. Meningkatnya kompleksitas organisasi dan lingkungan; hal ini membuat pengambil keputusan semakin sulit untuk mempertimbangkan semua faktor secara memuaskan. 2. Meningkatkan ukuran organisasi, maka bobot dan kepentingan suatu keputusan telah meningkat pula; lebih banyak keputusan yang memerlukan telaah peramalan khusus dan analisa yang lengkap.

6 34 3. Lingkungan dari kebanyakan organisasi telah berubah dengan cepat. Hubungan yang harus dimengerti oleh organisasi selalu berubah-ubah dan peramalan memungkinkan organisasi mempelajari hubungan yang baru secara lebih cepat. 4. Pengambilan keputusan telah semakin sistematis yang mencakup pembenaran tindakan individu secara eksplisit. Peramalan formal merupakan salah satu cara untuk mendukung tindakan yang akan diambil. 5. Pengembangan metode peramalan dan pengetahuan yang menyangkut aplikasinya telah lebih memungkinkan adanya penerapan secara langsung oleh para praktisi daripada dilakukan oleh teknisi ahli Pemilihan Teknik Peramalan Ada beberapa teknik peramalan untuk menggunakannya didasarkan pada kondisi data tertentu, berikut 3 pendekatan yang dapat dijadikan dasar dalam memilih teknik peramalan. 1. Pendekatan Otokorelasi Peramalan yang digunakan diorientasikan pada waktu yang akan datang didasarkan pengetahuan maupun peramalan pada waktu yang lalu. Secara Umum dapat dikemukakan sebagai berikut, yaitu trend, musiman, siklis dan iregular.

7 35 1) Pola trend Pola trend adalah bila data permintaan menunjukkan pola kecenderungan gerakan penurunan atau kenaikan jangka panjang misalnya data inflasi, perubahan teknologi, dan peningkatan produksi. Data yang kelihatannya berfluktuasi, apabila dilihat pada rentang waktu yang panjang akan dapat ditarik suatu garis maya. Garis putusputus tersebut itulah yang disebut garis trend. Bila data berpola trend, maka metode peramalan yang sesuai adalah metode regresi linier, exponential smoothing, atau double exponential smoothing. Metode regresi linier biasanya memberikan tingkat kesalahan yang lebih kecil. 2) Pola musiman Bila data yang terlihat berfluktuasi, namun fluktuasi tersebut akan terlihat berulang dalam suatu interval waktu tertentu, maka data tersebut berpola musiman. Disebut pola musiman karena permintaan ini biasanya dipengaruhi oleh musim, sehingga biasanya interval perulangan data ini adalah satu tahun. Sebagai contoh, penjualan payung dan jas hujan di musim hujan adalah lebih besar dibandingkan di musim kemarau. Contoh lain adalah permintaan baju hangat tentu sangat dipengaruhi oleh musim (semi, panas, gugur, dingin). Metode peramalan yang sesuai dengan pola musiman adalah metode winter (sangat sesuai), atau moving average, atau weight moving average.

8 36 3) Pola siklikal Pola siklikal adalah bila fluktuasi permintaan secara jangka panjang membentuk pola sinusoid atau gelombang atau siklus. Pola siklikal mirip dengan pola musiman. Pola musiman tidak harus berbentuk gelombang, bentuknya dapat bervariasi, namun waktunya akan berulang setiap tahun (umumnya). Pola siklikal bentuknya selalu mirip gelombang sinusoid. Untuk menentukan data berpola siklis tidaklah mudah. Jika pola musiman rentang waktu satu tahun dapat dijadikan pedoman, maka rentang waktu perulangan siklikal tidak tentu. Komponen ini sulit untuk diramalkan terkadang dalam praktek sering ditiadakan atau tidak dilakukan peramalan. Biasanya kondisi ini terjadi berhubungan dengan perekonomian yang kemungkinan tidak berulang seperti pada siklus produk yang bertahap-tahap berbeda dalam periode waktu yang berbeda pula, resesi dan depresi. Metode yang sesuai bila data berpola siklikal adalah metode moving average, weight moving average, dan eksponential smoothing. 4) Pola eratik/random Pola eratik (random) adalah bila fluktuasi data permintaan dalam jangka panjang tidak dapat digambarkan oleh ketiga pola lainnya. Fluktuasi permintaan bersifat acak atau tidak jelas. Tidak ada metode peramalan yang direkomendasikan untuk pola ini. Hanya saja, tingkat kemampuan seorang analis peramalan sangat menentukan dalam

9 37 pengambilan kesimpulan mengenai pola data. Seorang analis, untuk data yang sama mungkin menyimpulkan berpola random dan analis lainnya menyimpulkan musiman. Ketrampilan dan imajinasi analis peramalan memang merupakan faktor yang paling menentukan dalam pelaksanaan peramalan. Bisa jadi, pola data peramalan yang random ini ternyata mengikuti pola tertentu yang bukan seperti ketiga pola yang dijelaskan, untuk ini diperlukan metode khusus (mungkin subjektif untuk melakukan peramalan). 5) Pola horisontal (stationer) Terjadi jika nilai data berfluktuasi di sekitar rata-rata. Misalnya adalah penjualan suatu produk yang tidak meningkat atau menurun sepanjang horison waktu tertentu. 2. Pendekatan Ukuran Simpangan Peramalan Pemilihan teknik peramalan juga didasarkan pada error(e) yang merupakan selisih nilai data yang ada dengan nilai proyeksinya pada setiap periode peramalan. Secara sederhana dapat diketahui bahwa semakin besar error berarti semakin besar selisih antara data historis yang ada (yang sesungguhnya) dengan nilai proyeksinya, sebaliknya semakin kecil error berarti semakin akurat peramalannya. Salah satu kriteria yang dapat digunakan dalam memilih metode peramalan terbaik adalah Mean Absolute Procentage of Error (MAPE). MAPE merupakan persentase rata-rata absolut dari kesalahan peramalan

10 38 dengan menghitung error absolut setiap periode yang dibagi dengan actual value. Teknik ini dapat dirumuskan sebagai berikut: MAPE = ei x100 ft t Keterangan : t = jumlah periode e i = kesalahan pada periode ke-i Ft = nilai hasil peramalan pada periode t 3. Pendekatan Horison Waktu Metode time series adalah metode peramalan secara kuantitatif dengan menggunakan waktu sebagai dasar peramalan. Secara umum, permintaan pada masa yang akan datang dipengaruhi oleh waktu. Untuk membuat suatu peramalan diperlukan data historis (masa lalu) permintaan. Data inilah yang akan dianalisis dengan menggunakan parameter waktu sebagai dasar analisis. Digunakan untuk peramalan jangka pendek dan menengah. Data yang digunakan dalam analisa ini adalah data permintaan, data penjualan, data produksi, dan lain-lain. Metode-metode yang terdapat dalam metode time series, antara lain: 1. Metode Double Exponential Smoothing Satu Parameter Brown Double Exponential Smooting adalah metode yang bereaksi pada perubahan perilaku permintaan pada waktu terakhir (sekarang).

11 39 Metode peramalan ini akan merespon perubahan permintaan yang cepat. Metode ini berguna bila perubahannya adalah hasil dari perubahan aktual (seasonal pattern) daripada fluktuasi acak. Pada metode Brown hanya terdapat satu parameter saja dan estimasi nilai tren masih sangat sensitif sekali terhadap fluktuasi random. Dasar pemikiran dari pemulusan eksponensial linear brown adalah serupa dengan rata-rata bergerak linear. Persamaan yang dipakai adalah : Formulasi : S t = α. X t + (1 α). S t 1 ' " S t = α. S t + (1 α).s t 1 a t = 2.S t - S t α ' " b t = (S t S t ) 1 α F t+m = a t + b t.m Inisialisasi awal : S t = S t = X 1 Keterangan : S t = nilai pemulusan tunggal S t = nilai pemulusan ganda X t = data aktual ke-t a t = nilai rata-rata yang disesuaikan untuk periode t b t = nilai kecenderungan α = nilai parameter F t+m = hasil peramalan

12 40 2. Metode Double Exponential Smoothing Dua Parameter Holt Pada metode Holt nilai trend tidak dimuluskan dengan pemulusan ganda secara langsung, tetapi proses pemulusan trend dilakukan dengan menggunakan parameter yang berbeda dengan parameter yang digunakan pada pemulusan data asli. Metode Holt memberikan banyak kefleksibelan dalam menseleksi komponen trend. Metode Holt secara matematis ditulis pada tiga persamaan berikut: Formulasi : S t = α X + (1 α)(s b ). t t 1 + t 1 b t = γ ( St St 1) + (1 γ). b t 1 F t+m = S t + b t.m Inisialisasi : S 1 = X 1 dan b1 = X 2 X1 Keterangan : S t = nilai pemulusan tunggal X t = data aktual ke-t b t = nilai pemulusan trend α, γ = nilai parameter F t+m = hasil peramalan m = periode masa mendatang

13 41 3. Metode Triple Exponential Smoothing Tiga Parameter Winter Metode pemulusan winter (winter's Method) mencoba untuk memberikan hasil peramalan tanpa meperdulikan pola data yang terbentuk apakah bersifat stasioner atau mengandung faktor musiman, karena metode ini dilakukan dengan memberikan pemulusan untuk kedua faktor tersebut. Metode ini serupa dengan metode Holt dengan ditambah sebuah persamaan untuk mengatasi variasi musim sebagai berikut : x t S t = α + (1 α) (s t 1 + b t 1 ) i t L b t = δ + ( s t s t 1 ) + (1 δ) b t 1 I t = β x s t t + (1 β) I t L F t+m = ( s t + b t m) I t L + m Keterangan : S t b t I t = nilai pemulusan tunggal = nilai pemulusan trend = nilai pemulusan musiman α, δ, β = nilai parameter F t+m = hasil peramalan L m = panjang musiman = periode masa mendatang

14 42 Menurut Makridakis, Wheelwright dan McGee (1999), jika indeks musiman yang dipergunakan untuk inisialisasi nilai-nilai awal komponen musiman tidak tersedia maka nilai-nilai tersebut dapat ditaksir atau didekati dengan nilai-nilai berikut : x L = r = 1 x i L I t = x x t b + = L 1 ( x L+ 1 x1) + (x L+ 2 x 2 ) + (x L+ 3 x 3) 3L dengan X t adalah data aktual ke-t dan L adalah panjang musiman Prosedur Peramalan Adapun prosedur peramalan permintaan dengan metode time series adalah sebagai berikut : 1. Tentukan pola data permintaan. Dilakukan dengan cara memplotkan data secara grafis dan menyimpulkan apakah data itu berpola trend, musiman, siklikal, atau eratik/random. 2. Mencoba beberapa metode time series yang sesuai dengan pola permintaan tersebut untuk melakukan peramalan. Metode yang dicoba semakin banyak semakin baik. Pada setiap metode, sebaiknya dilakukan pula peramalan dengan parameter yang berbeda. 3. Mengevaluasi tingkat kesalahan masing-masing metode yang telah dicoba. Tingkat kesalahan diukur dengan kriteria MAPE, atau lainnya. Sebaiknya

15 43 nilai tingkat kesalahan (MAPE) ini ditentukan dulu. Tidak ada ketentuan mengenai berapa tingkat kesalahan maksimal dalam peramalan. 4. Memilih metode peramalan terbaik diantara metode yang dicoba. Metode terbaik adalah metode yang memberikan tingkat kesalahan terkecil dibanding metode lainnya dan tingkat kesalahan tersebut di bawah batas tingkat kesaahan yang telah ditetapkan. 5. Melakukan peramalan permintaan dengan metode terbaik yang telah dipilih. 2.4 Pengukuran Waktu Dengan Metode Jam Henti Pengukuran jam henti adalah pengukuran dengan cara mengamati dan mencatat lama waktu yang digunakan oleh operator dalam melakukan suatu elemen kerja dari mulai hingga selesai. Cara yang digunakan untuk mengukur elemen-elemen kerja dengan menggunakan metode jam henti yaitu pengukuran secara terus menerus (continuous timing). Berikut ini adalah secara garis besar hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pelaksanaan pengukuran waktu kerja secara langsung dengan metode jam henti yang dapat diuraikan sebagai berikut: 1. Mendefinisikan pekerjaan yang akan diteliti untuk diukur waktunya dan memberitahukan maksud dan tujuan pengukuran ini kepada supervisor dari pekerja yang akan diamati.

16 44 2. Mencatat semua informasi yang berkaitan erat dengan penyelesaian pekerjaan seperti layout, karakteristik/ spesifikasi mesin atau peralatan kerja lain yang digunakan. 3. Membagi operasi kerja dalam elemen-elemen kerja. 4. Mengamati, mengukur, dan mencatat waktu yang dibutuhkan oleh operator untuk menyelesaikan elemen-elemen kerja tersebut. 5. Menetapkan jumlah siklus kerja yang harus diukur dan dicatat, Teliti apakah jumlah siklus kerja yang dilaksanakan ini sudah memenuhi syarat atau tidak. 6. Menetapkan Rate of Performance dari operator saat melaksanakan aktifitas kerja yang diukur dan dicatat waktunya tersebut. Rate of Performance adalah nilai yang diberikan terhadap operator meliputi kemampuan (skill), usaha (effort), kondisi (condition), dan konsistensi (consistency) yang ada. Rate of Performance ini ditetapkan untuk setiap elemen kerja yang ada dan hanya ditujukan untuk performance operator. 7. Menyesuaikan waktu pengamatan berdasarkan performance kerja yang ditujukan oleh operator tersebut sehingga akhirnya diperoleh waktu kerja normal. 8. Menetapkan waktu longgar (Allowance time) guna memberikan fleksibilitas. Waktu longgar yang diberikan ini guna menghadapi kondisikondisi seperti kebutuhan personel yang bersifat pribadi, faktor kelelahan, keterlambatan material dan lain-lainnya.

17 45 9. Menetapkan waktu kerja baku (Standard time) yaitu jumlah total antara waktu normal dan waktu longgar. Pengukuran yang dilakukan terhadap suatu kerja bertujuan untuk menetapkan waktu baku. Waktu baku adalah waktu yang diperlukan oleh seorang pekerja yang memiliki kemampuan rata-rata untuk menyelesaikan secara wajar suatu pekerjaan yang memiliki sistem kerja paling baik (Sutalaksana et al, 1979) Penetapan Tujuan Pengukuran Penetapan tujuan pengukuran ini terlebih dahulu diketahui dan ditetapkan ialah untuk mengetahui untuk apa hasil pengukuran digunakan. Dengan diketahui dan ditetapkannya tujuan pengukuran maka tingkat ketelitian dan tingkat keyakinan hasil pengukuran yang diinginkan dapat disesuaikan dengan tujuan pengukuran Pengukuran Pendahuluan Tujuan dari pengukuran pendahuluan ialah untuk mengetahui sasaran apa yang akan dicapai dalam pengukuran ini. Dalam pengukuran pendahuluan, hal-hal yang dilakukan ialah menganalisa proses produksi dan membagi operasi kerja ke dalam elemen-elemen kerja yang sedetail mungkin tetapi dengan syarat masih dapat diamati dan diukur, kemudian dilakukan pengukuran pendahuluan.

18 Uji Keseragaman Data Uji keseragaman data ini perlu dilakukan terlebih dahulu sebelum kita menggunakan data yang diperoleh guna menetapkan waktu baku. Data-data yang diperoleh dalam suatu pengukuran kerja pasti memiliki suatu tingkat variabilitas tertentu. Tingkat variabilitas suatu data masih dapat diterima selama tidak melewati batas-batas yang telah ditetapkan, atau dapat dikatakan data berada dalam keadaan yang seragam. Suatu data yang berada di dalam batas kendali yang telah ditetapkan yaitu BKA (Batas Kendali Atas) dan BKB (Batas Kendali Bawah) dapat dikatakan berada dalam keadaan terkendali. Suatu data yang berada dalam keadaan tidak terkendali harus dibuang untuk kemudian dilakukan uji keseragaman kembali hingga tidak ada lagi data yang berada di luar BKA dan BKB. Rumus-rumus yang dipakai untuk menentukan BKA dan BKB adalah sebagai berikut: BKA = X + Z (s) dan BKB = X - Z (s) Keterangan: BKA = Batas Kendali Atas BKB = Batas Kendali Bawah X s Z = Rata-rata waktu yang diukur = Standar Deviasi = Konstanta tingkat keyakinan

19 Uji Kecukupan Data Uji kecukupan data dilakukan untuk mengetahui apakah jumlah data yang diperoleh telah memenuhi jumlah pengamatan yang dibutuhkan dalam pengukuran sesuai dengan tingkat ketelitian yang diinginkan. Uji kecukupan data dilakukan untuk menentukan jumlah data yang dibutuhkan sesuai dengan ketelitian yang diinginkan. Data dikatakan cukup apabila N < N. Rumus yang dipakai untuk melakukan uji kecukupan data adalah sebagai berikut: N = k / s N X 2 X ( X) 2 2 Keterangan: N = Jumlah data pengamatan yang diperoleh N = Jumlah data pengamatan yang diperlukan s k = Standar deviasi = Tingkat ketelitian data X = Rata-rata waktu yang diukur Jika jumlah data pengamatan yang diperlukan yang didapat dari uji kecukupan data lebih besar daripada jumlah data pengamatan yang diperoleh maka perlu dilakukan pengambilan data kembali hingga jumlah data pengamatan yang diperlukan lebih kecil atau sama dengan jumlah data pengamatan yang diperoleh (Sutalaksana et al, 1979).

20 Tingkat Ketelitian dan Tingkat Keyakinan Yang dicari dengan melakukan pengukuran-pengukuran ini adalah waktu yang sebenarnya dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu pekerjaan. Karena waktu penyelesaian ini tidak pernah diketahui sebelumnya maka harus diadakan pengukuran-pengukuran. Yang ideal tentunya dilakukan pengukuran-pengukuran yang sangat banyak, karena dengan demikian diperoleh jawaban yang pasti. Tetapi hal ini jelas tidak mungkin karena keterbatasan waktu, tenaga, dan tentunya biaya. Namun sebaliknya jika tidak dilakukan beberapa kali pengukuran saja, dapat diduga hasilnya sangat kasar. Sehingga yang diperlukan adalah jumlah pengukuran yang tidak membebankan waktu, tenaga, biaya yang besar tetapi hasilnya tidak dapat dipercaya. Dengan tidak dilakukannya pengukuran yang banyak sekali ini, pengukuran akan kehilangan sebagian kepastian akan ketetapan/rata-rata waktu penyelesaian yang sebenarnya. Hal ini harus disadari oleh pengukur; tingkat ketelitian dan tingkat keyakinan adalah pencerminan tingkat kepastian yang diinginkan oleh pengukur setelah memutuskan tidak akan melakukan pengukuran yang sangat banyak. Tingkat ketelitian menunjukkan penyimpangan maksimum hasil pengukuran dari waktu penyelesaian sebenarnya. Hal ini biasanya dinyatakan dalam persen (dari waktu penyelesaian sebenarnya, yang seharusnya dicari). Tingkat keyakinan menunjukan besarnya keyakinan pengukur bahwa hasil

21 49 yang diperoleh memenuhi syarat ketelitian dan dinyatakan dalam persen. Jadi tingkat ketelitian 10% dan tingkat keyakinan 95% memberi arti bahwa pengukur membolehkan rata-rata hasil pengukurannya menyimpang sejauh 10% dari rata-rata sebenarnya; dan kemungkinan berhasil mendapatkan hal ini adalah 95%. Dengan lain perkataan jika pengukur sampai memperoleh ratarata pengukuran yang menyimpang lebih dari 10% seharusnya, hal ini dibolehkan terjadi hanya dengan kemungkinan 5% (=100%-95%). Berikut adalah konversi tingkat keyakinan dan tingkat ketelitian untuk mendapatkan nilai k/s pada uji kecukupan data : Tabel 2.1 Tingkat Keyakinan dan Tingkat Ketelitian Tingkat Keyakinan (k) Tingkat Ketelitian (s) k/s 90% 10% % 10% 20 95% 5% 40 99% 10% Menghitung Waktu Baku. Waktu baku merupakan waktu yang dibutuhkan oleh seseorang pekerja yang memiliki tingkat kemampuan rata-rata untuk menyelesaikan suatu pekerjaan. Di sini sudah meliputi kelonggaran waktu yang diberikan dengan memperhatikan situasi dan kondisi pekerjaan yang harus diselesaikan tersebut.

22 50 Penghitungan waktu baku dilakukan dengan langkah-langkah: a. Menghitung waktu siklus rata-rata Waktu siklus adalah waktu penyelesaian satu elemen pekerjaan operator. Waktu siklus adalah jumlah seluruh waktu pengamatan yang diamati dibagi dengan banyaknya pengamatan yang dilakukan. Ws = Σx i / N dengan : Ws = waktu siklus Σx i = jumlah seluruh waktu pengamatan N = banyaknya pengamatan b. Menghitung waktu normal Waktu normal adalah waktu yang dibutuhkan oleh operator secara wajar untuk bekerja, yaitu dengan kecepatan yang wajar dalam artian tidak terlalu cepat dan tidak terlalu lambat. Cara untuk menormalkan waktu kerja yaitu dengan mengalikan waktu kerja yang diperoleh dari pengamatan dengan performance rating-nya. Waktu Normal = Waktu Siklus (1 + penyesuaian) Faktor penyesuaian ini diperhitungkan jika operator dianggap bekerja dengan kecepatan yang tidak wajar, sehingga hasil perhitungan waktu perlu disesuaikan atau dinormalkan dulu untuk mendapatkan waktu siklus rata-rata yang wajar.

23 51 c. Menghitung waktu baku Waktu baku adalah waktu yang dibutuhkan oleh seorang pekerja dengan tingkat kemampuan rata-rata untuk menyelesaikan suatu pekerjaan, disini sudah meliputi kelonggaran waktu yang diberikan dengan memperhatikan situasi dan kondisi pekerjaan yang harus diselesaikan. Waktu Baku = Waktu Normal (1 + % kelonggaran) Kelonggaran atau allowance diberikan kepada pekerja untuk menyelesaikan pekerjaannya disamping waktu normal. Kelonggaran ini biasanya diberikan untuk hal-hal seperti kebutuhan pribadi, menghilangkan rasa fatique, dan gangguan-gangguan yang mungkin terjadi yang tak dapat dihindarkan oleh pekerja Menentukan Performance Rating Performance rating adalah aktivitas untuk menilai atau mengevaluasi kecepatan kerja operator. Dengan melakukan rating ini diharapkan waktu kerja yang diukur bisa dinormalkan kembali. Guna melaksanakan pekerjaan secara normal maka dianggap bahwa operator tersebut cukup berpengalaman pada saat bekerja melaksanakannya tanpa usaha-usaha yang berlebihan sepanjang hari kerja, menguasai kerja yang ditetapkan, dan menunjukkan kesungguhan dalam menjalankan pekerjaannya.

24 52 Metode yang akan digunakan dalam pengukuran performance rating adalah metode Westinghouse, dimana metode ini mempertimbangkan empat faktor dalam mengevaluasi performance rating operator, yaitu ketrampilan (skill), usaha (effort), kondisi kerja (condition), dan konsistensi (consistency). Ketrampilan (skill) didefinisikan sebagai kemampuan untuk melakukan kerja dengan metode yang telah ditetapkan, dan lebih lanjut akan berhubungan dengan pengalaman dalam melakukan pekerjaan tersebut. Untuk keperluan penetapan performance rating ketrampilan dibagi menjadi enam kelas yaitu Super Skill, Excellent, Good, Average, Fair, dan Poor. Untuk usaha (effort) didefinisikan sebagai hal yang menunjukkan kemampuan untuk bekerja secara efektif. Usaha ini dapat dilihat dengan kecepatan pada tingkat kemampuan yang dimiliki dan dapat dikendalikan pada tingkat yang tinggi oleh operator. Cara Westinghouse membagi juga atas kelas-kelas yaitu Excessive, Excellent, Good, Average, Fair, dan Poor. Kondisi kerja (condition) adalah kondisi fisik lingkungan kerja seperti keadaan pencahayaan, temperatur dan kebisingan ruangan. Kondisi kerja (condition) dibagi menjadi enam kelas yaitu Ideal, Excellent, Good, Average, Fair, dan Poor. Kondisi ideal adalah kondisi yang paling cocok untuk pekerjaan yang bersangkutan. Sebaliknya kondisi poor adalah kondisi lingkungan yang tidak membantu jalannya pekerjaan bahkan sangat menghambat pencapaian performance yang baik.

25 53 Konsistensi (consistency) sebagai faktor performance rating juga terbagi menjadi menjadi enam kelas yaitu: Perfect, Excellent, Good, Average, Fair, dan Poor. Konsistensi perfect adalah waktu penyelesaian dari suatu elemen pekerjaan yang boleh dikatakan tetap dari saat ke saat. Sebaliknya konsitensi poor terjadi bila waktu penyelesaian dari suatu elemen pekerjaan berselisih jauh dari rata-rata acak. Konsistensi rata- rata atau average adalah bila selisih antara waktu penyelesaian dari suatu elemen pekerjaan dengan rata-ratanya tidak besar walaupun ada satu dua yang letaknya jauh. Bagi setiap kelas dari faktor-faktor diatas terdapat ciri-ciri dari setiap kelas tersebut dan diberikan nilai-nilai dari setiap kelas tersebut untuk menghitung performance rating Menentukan Kelonggaran (Allowances) Penetapan allowance diperlukan untuk mengantisipasi waktu di mana seorang operator dalam keadaan tidak bekerja. Pada kenyataannya operator akan sering menghentikan pekerjaannya dan membutuhkan waktu-waktu khusus untuk berbagai keperluan. Pada umumnya kelonggaran (allowances) meliputi tiga hal, yaitu: Istirahat untuk kebutuhan perorangan Ditujukan untuk kebutuhan yang bersifat pribadi (pergi ke WC). Untuk pria biasanya berkisar antara 0 2.5% dan untuk wanita antara 2 5%.

26 54 Kelelahan (fatique) Diberikan karena kelelahan fisik maupun mental setelah bekerja beberapa waktu. Faktor-faktor yang menyebabkan kelelahan diantaranya, kondisi kerja, sifat pekerjaan, kesehatan pekerja baik fisik dan mental. Keterlambatan yang tidak terhindarkan (unavoidable delay) Diberikan untuk elemen-elemen usaha yang berhenti karena hal yang tidak dapat dihindarkan, seperti interupsi oleh supervisor, analisis, ketidaktersediaan material, gangguan mesin, mengasah peralatan potong. 2.5 Riset Operasi Persoalan dasar di dalam pengambilan keputusan manajerial adalah bagaimana melakukan keputusan terhadap berbagai alternatif yang ada sehingga diharapkan diperoleh konsekuensi resiko yang sekecil-kecilnya atau manfaat yang sebesar-besarnya. Dengan kata lain, langkah pengambilan keputusan harus dioptimasi sedemikian rupa sehingga diperoleh hasil yang paling baik manfaatnya bagi si pengambil keputusan. Pendekatan metode kuantitatif untuk pengambilan keputusan dikenal sebagai teknik riset operasional (operation research). Riset operasi berkenaan dengan pengambilan keputusan yang optimal, dan penyusunan model dari sistem-sistem baik yang deterministik maupun probabilistik yang berasal dari kehidupan nyata.

27 55 Dalam hal ini termasuk menentukan pilihan dari alternatif-alternatif yang ada secara umum meliputi langkah-langkah : 1. Identifikasi masalah Identifikasi masalah terdiri dari : Penentuan dan perumusan tujuan yang jelas dari persoalan dalam sistem model yang dihadapi. Identifikasi perubah yang dipakai sebagai kriteria untuk pengambilan keputusan yang dapat dikendalikan maupun yang tidak dapat dikendalikan. Kumpulkan data tentang kendala-kendala yang menjadi syarat ikatan terhadap perubah-perubah dalam fungsi tujuan sistem model yang dipelajari. 2. Penyusunan model Penyusunan model terdiri dari : Memilih model yang cocok dan sesuai dengan permasalahannya. Merumuskan segala macam faktor yang terkait di dalam model yang bersangkutan secara simbolik ke dalam rumusan model matematika. Menentukan perubah-perubah beserta kaitan-kaitannya satu sama lainnya. Tetapkan fungsi tujuan beserta kendala-kendalanya dengan nilai-nilai dan perameter yang jelas. 3. Analisa model. Analisa model terdiri dari tiga hal penting, yaitu : Melakukan analisis terhadap model yang telah disusun dan dipilih.

28 56 Memilih hasil-hasil analisis yang terbaik (optimal). Melakukan uji kepekaan dan anlisis postoptimal terhadap hasil-hasil terhadap analisis model. 4. Pengesahan model. Analisis pengesahan model menyangkut penilaian terhadap model tersebut dengan cara mencocokannya dengan keadaan dan data yang nyata, juga dalam rangka menguji dan mengesahkan asumsi-asumsi yang membentuk model tersebut secara struktural (yaitu perubahnya, hubungan-hubungan fungsionalnya, dan lain-lain). 5. Implementasi hasil. Hasil-hasil yang diperoleh berupa nilai-nilai yang akan dipakai dalam kriteria pengambilan keputusan merupakan hasil-hasil analisis yang kiranya dapat dipakai dalam perumusan keputusan yang kiranya dapat dipakai dalam perumusan strategi-strategi, target-target, langkah-langkah kebijakan guna disajikan kepada pengambilan keputusan dalam bentuk alternatif-alternatif pilihan Linear Programming Linear programming (LP) mungkin merupakan salah satu teknik riset operasi yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik. LP merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang

29 57 langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya, tetapi hanya terbatas pada masalah-masalah yang dapat diubah menjadi fungsi linier. Linear Programming memiliki empat ciri khusus yang melekat, yaitu : 1. Penyelesaian masalah mengarah pada pencapaian tujuan maksimisasi atau minimisasi 2. Kendala yang ada membatasi tingkat pencapaian tujuan 3. Ada beberapa alternatif penyelesaian 4. Hubungan matematis bersifat linear Secara teknis, ada lima syarat tambahan dari permasalahan linear programming yang harus diperhatikan yang merupakan asumsi dasar, yaitu: 1. Certainty (kepastian). Maksudnya adalah fungsi tujuan dan fungsi kendala sudah diketahui dengan pasti dan tidak berubah selama periode analisa. 2. Proportionality (proporsionalitas). Yaitu adanya proporsionalitas dalam fungsi tujuan dan fungsi kendala. 3. Additivity (penambahan). Artinya aktivitas total sama dengan penjumlahan aktivitas individu. 4. Divisibility (bisa dibagi-bagi). Maksudnya solusi tidak harus merupakan bilangan integer (bilangan bulat), tetapi bisa juga berupa pecahan.

30 58 5. Non-negative variable (variabel tidak negatif). Artinya bahwa semua nilai jawaban atau variabel tidak negatif. Dalam menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan Linear Programming, ada dua pendekatan yang bisa digunakan, yaitu metode grafik dan metode simpleks. Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel keputusan sama dengan dua. Sedangkan metode simpleks bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel keputusan dua atau lebih. Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi permasalahan adalah : 1. Identifikasi masalah 2. Tetapkan tujuan 3. Tentukan variabel yang tidak diketahui (variabel keputusan) dan nyatakan dalam simbol matematik. 4. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier (bukan perkalian) dari variabel keputusan. 5. Menentukan semua kendala (constraint) masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan atau pertidaksamaan yang juga

31 59 merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumber daya masalah. Pada dasarnya secara umum, persoalan program linier dapat dirumuskan dalam suatu model dasar sebagai berikut : Fungsi tujuan : Maksimumkan atau minimumkan : Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 + C 3 X C n X n Fungsi Pembatas : a 11 X 1 + a 12 X 2 + a 13 X a 1n X n < b 1 a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X a 2n X n < b 2.. a m1 X 1 + a m2 X 2 + a m3 X a mn X n < b m X 1, X 2, X 3,, X n > Keterangan: m : macam-macam batasan sumber daya n : macam-macam kegiatan yang menggunakan sumber daya i : nomor untuk sumber daya (i = 1, 2, 3,, m) j : nomor untuk aktivitas/variabel keputusan (j = 1, 2, 3,, n) x j : banyaknya aktivitas j, di mana j = 1,2,, n. Berarti terdapat n variabel keputusan. Z : nilai fungsi tujuan.

32 60 C j : sumbangan per unit kegiatan j; untuk masalah maksimasi c j menunjukkan keuntungan atau penerimaan per unit, sementara dalam kasus minimasi c j menunjukkan biaya per unit. b i : jumlah sumber daya i (i = 1,2,, m), berarti terdapat m jenis sumber daya. a ij : banyaknya sumber daya i yang dikonsumsi sumber daya j Metode Simpleks Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memilki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untuk menyelesaikannya digunakan Metode Simpleks. Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1). Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya : a. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

33 61 b. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan. c. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif). d. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan. e. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis. f. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.

34 62 g. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas. h. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja). i. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar. j. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya. k. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif. l. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.

35 63 Beberapa ketentuan yang perlu diperhatikan, antara lain: 1. Nilai kanan (RHS) fungsi tujuan harus nol (0). 2. Nilai kanan (RHS) fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, nilai tersebut harus dikalikan Fungsi kendala dengan tanda harus diubah ke bentuk = dengan menambahkan variabel slack/surplus. Variabel slack/surplus disebut juga variabel dasar. 4. Fungsi kendala dengan tanda diubah ke bentuk dengan cara mengalikan dengan 1, lalu diubah ke bentuk persamaan dengan ditambahkan variabel slack. Kemudian karena RHS-nya negatif, dikalikan lagi dengan 1 dan ditambah artificial variabel (M). 5. Fungsi kendala dengan tanda = harus ditambah artificial variabel (M). Untuk menyelesaikan persoalan pemrograman linier dengan menggunakan metoda simpleks, lakukanlah langkah-langkah sebagai berikut : 1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar. Sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan solusi optimal, pertama sekali bentuk umum pemrograman linier dirubah ke dalam bentuk baku terlebih dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan, tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada aktivitas yang dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan semuanya masih

36 64 bernilai nol. Dengan demikian, meskipun fungsi kendala pada bentuk umum pemrograman linier sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap berubah. Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku, yaitu : a. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack. b. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus. c. Fungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum, ditambahkan satu artificial variabel (variabel buatan). 2. Cari solusi basis fisibel (BFS) 3. Jika seluruh variabel non basis mempunyai koefisien non negatif (artinya berharga positif atau nol) pada baris fungsi tujuan (baris persamaan z) maka solusi basis fisibel sudah optimal dan iterasi selesai Linear Goal Programming Masalah keputusan banyak kriteria masalah yang melibatkan tidak hanya satu tetapi beberapa fungsi tujuan merupakan topik menarik dalam Operations Research. Ada dua alasan utama perkembangan ini. Pertama, anggota-anggota masyarakat bisnis makin menyadari kerugian dalam

37 65 memusatkan pada tujuan tunggal, seperti maksimasi keuntungan (minimasi biaya). Pengerjaan tujuan tunggal itu sering memiliki pengaruh buruk pada tujuan-tujuan lain seperti modernisasi fasilitas produksi, peningkatan keselamatan kerja, atau pengendalian polusi. Kedua, bila saja masyarakat bisnis tidak peduli terhadap masalah-masalah sosial dan lingkungan hidup; peraturan pemerintah, lembaga konsumen, dan serikat buruh makin keras menuntut bahwa dalam proses pengambilan keputusan hendaknya dunia usaha memperhatikan masalah-masalah seperti pengawasan polusi, keselamatan pekerja dan konsumen, dan kesempatan kerja yang merata. Menyadari keperluan untuk mengikutsertakan aneka ragam tujuan dalam proses pengambilan keputusan adalah jauh lebih mudah dibandingkan menjalankannya. Ada dua hambatan utama untuk menemukan solusi suatu masalah keputusan banyak kriteria. Pertama, benturan diantara tujuan-tujuan. Dua tujuan dikatakan terbentur jika perbaikan tujuan yang satu memiliki pengaruh buruk pada tujuan yang lain. Kedua, tujuan-tujuan tidak dapat dibandingkan. Dua tujuan dikatakan tidak sebanding jika mereka diukur dalam satuan yang berbeda. Dengan Linear Goal Programming kita dapat mengatasi masalah keputusan banyak kriteria, dengan kemungkinan adanya tujuan-tujuan yang saling terbentur dan tidak dapat dibandingkan.

38 Konsep-konsep Dasar dan Unsur-unsur Linear Goal Programming Linear Goal Programming (LGP) merupakan pengembangan Linear Programming (LP). LGP diperkenalkan oleh Charnes dan Cooper pada awal tahun 60an. Teknik ini disempurnakan dan diperluas oleh Injiri pada pertengahan tahun 60an, dan penjelasan yang lengkap dengan beberapa aplikasi dikembangkan oleh Ignizio dan Lee pada tahun 70an. Perbedaaan utama antara LGP dan LP terletak pada struktur dan penggunaan fungsi tujuan. Dalam LP fungsi tujuannya hanya mengandung satu tujuan, sementara dalam LGP semua tujuan apakah satu atau beberapa digabungkan dalam sebuah fungsi tujuan. Ini dapat dilakukan dengan mengekspresikan tujuan itu dalam bentuk sebuah kendala (goal constraint), memasukan suatu variabel simpangan (deviational variable) dalam kendala itu untuk mencerminkan seberapa jauh tujuan itu dicapai, dan menggabungkan variabel simpangan dalam fungsi tujuan. Dalam LP tujuannya bisa maksimisasi atau minimisasi, sementara dalam LGP tujuannya adalah meminimumkan peyimpanganpeyimpangan dari tujuan-tujuan tertentu. Ini berarti semua masalah LGP adalah masalah minimasi. Karena penyimpangan-penyimpangan dari tujuan-tujuan itu diminimumkan, sebuah model LGP dapat menangani aneka ragam tujuan dengan dimensi atau satuan ukuran yang berbeda. Tujuan-tujuan yang saling bentrok juga dapat diselesaikan. Jika terdapat banyak tujuan, prioritas atau urutan ordinalnya dapat ditentukan, dan proses penyelesaian LGP itu akan

39 67 berjalan sedemikian rupa sehingga tujuan dengan prioritas lebih rendah. Jika LP berusaha mengindentifikasi solusi optimum dari suatu himpunan solusi layak, LGP mencari titik yang paling memuaskan dari sebuah persoalan dengan beberapa tujuan sekali lagi LGP ingin meminimumkan penyimpangan-peyimpangan dari tujuan-tujuan dengan mempertimbangkan hierarki prioritas. a. Terminologi Linear Goal Programming Berikut ini adalah definisi dari beberapa istilah dan lambang yang biasa digunakan dalam Linear Goal Programming : o Decision variables Seperangkat variabel yang tak diketahui (dalam model LGP dilambangkan dengan x j, dimana j=1.2..n) yang akan dicari nilainya. (Variabel keputusan). o Right hand side values (RHS) Nilai-nilai yang biasanya menunjukkan ketersediaan sumber daya (dilambangkan dengan b i ) yang akan ditentukan kekurangan atau kelebihan penggunaannya. (Nilai sisi kanan). o Goal Keinginan untuk meminimumkan angka peyimpangan dari suatu nilai RHS pada suatu goal constraint tertentu. (Tujuan).

40 68 o Goal Constraint Sinonim dari istilah goal equation, yaitu suatu tujuan yang diekspresikan dalam persamaan metematik dengan memasukkan variabel simpangan. (Kendala tujuan). o Preemtive priority factor Suatu sistem urutan (yang dilambangkan dengan P k, dimana k = 1.2.,k dan k menunjukkan bayaknya tujuan dalam model) yang memungkinkan tujuan-tujuan disusun secara ordinal dalam model LGP. Sistem urutan itu menempatkan tujuan-tujuan dalam susunan dengan hubungan seperti berikut: P 1 >P 2 >>>P k P 1 merupakan tujuan paling penting. P 2 merupakan tujuan yang kurang penting dan seterusnya. o Deviational variables Variabel-variabel yang menunjukkan kemungkinan peyimpangan negatif dari suatu nilai RHS kendala tujuan (dalam model LGP dilambangkan dengan d - i, dimana I = 1,2,,m dan m adalah banyaknya kendala tujuan dalam model) atau peyimpangan positif dari suatu nilai RHS (dilambangkan dengan d + i. variabel-variabel ini serupa dengan variabel slack dalam LP. (Variabel simpangan).

41 69 o Differential weight Timbangan matematik yang diekspresikan dengan angka kardinal (dilambangkan dengan w ki dimana k=1,2,,k ; i=1,2,,m) dan digunakan untuk membedakan variabel simpangan i didalam suatu tingkat prioritas k. (bobot). o Technological coefficient Nilai-nilai numerik (dilambangkan dengan a ij ) yang menunjukkan penggunaan nilai b i per unit untuk menciptakan x j. (koefisien teknologi). b. Unsur-unsur Linear Goal Programming Setiap model LGP paling sedikit terdiri dari tiga komponen, yaitu sebuah fungsi tujuan, kendala-kendala tujuan, dan kendala non negatif. Fungsi Tujuan Ada tiga jenis fungsi tujuan dalam Linear Goal Programming, yaitu: Minimumkan Z = m d i= 1 - i + d + i m - + Minimumkan Z = P (d + d ) untuk k = 1, 2,, k i= 1 m k i - + Minimumkan Z = w P (d + d ) untuk k = 1, 2,, k i= 1 ki k i i Fungsi tujuan yang pertama digunakan jika variabel simpangan dalam suatu masalah tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot. Fungsi tujuan kedua digunakan dalam suatu masalah dimana urutan i

42 70 tujuan-tujuan diperlukan, tetapi variabel simpangan di dalam setiap tingkat prioritas memiliki kepentingan yang sama. Dalam fungsi tujuan ketiga, tujuan-tujuan diurutkan dan variabel simpangan pada setiap tingkat prioritas dibedakan dengan menggunakan bobot yang berlainan w ki.. Jadi fungsi tujuan yang akan digunakan tergantung pada situasi masalahnya. Perlu diperhatikan bahwa dalam model Linear Goal Programming tidak ditemukan variabel keputusan pada fungsi tujuan. kita masih mencari, seperti yang dilakukan model Linear Programming, nilai x j yang tak diketahui, tetapi akan melakukannya secara tidak langsung melalui minimasi simpangan negatif dan positif dari nilai RHS kendala tujuan. Linear Programming mencari nilai solusi x j secara langsung melalui minimasi peyimpangan-peyimpangan dari nilai RHSnya. Kendala Tujuan Ada enam jenis kendala tujuan yang berlainan. Maksud setiap jenis kendala itu ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan. Pada Tabel 2.2 disajikan keenam jenis kendala itu. Terlihat bahwa setiap jenis kendala tujuan harus punya satu atau dua variabel simpangan yang ditempatkan pada fungsi tujuan. Dimungkinkan adanya kendala-kendala yang tidak memiliki variabel simpangan. Kendala-kendala ini sama seperti kendala-kendala persamaan linier.

43 71 Tabel 2.2 Jenis-jenis Kendala Tujuan Kendala Tujuan Variabel Simpangan Fungsi Tujuan a ij x j + d - i = b i - d i a ij x j - d - i = b i + d i a ij x j + d - i - d + i = b i - d i a ij x j + d - i - d + i = b i - d i a ij x j + d - i - d + i = b i d - + i dan d i Kemungkinan Simpangan negatif positif neg dan pos neg dan pos neg dan pos Penggunaan Nilai RHS yang Diinginkan = b i = b i b i atau lebih b i atau kurang = b i a ij x j - d i - = b i d i + (artf.) tidak ada pas = b i Kendala Non-Negatif Seperti dalam LP, variabel-variabel model LGP biasanya bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Semua model LGP terdiri dari variabel simpangan dan variabel keputusan, sehingga pernyataan non negatif dilambangkan sebagai x j, d - i, d + i 0 Kendala Struktural Disamping ketiga komponen yang telah disebutkan itu, dalam model LGP kadang-kadang terdapat komponen lain, yaitu kendala struktural artinya kendala-kendala lingkungan yang tidak berhubungan langsung dengan tujuan-tujuan masalah yang dipelajari. Variabel simpangan tidak dimasukkan dalam kendala ini, karena itu kendala ini tidak diikutsertakan dalam fungsi tujuan.

44 Asumsi Model Linear Goal Programming Sebelum merumuskan model, perlu diketahui bahwa model LGP memerlukan sejumlah asumsi. Jika dalam membuat model dari suatu masalah tertentu asumsi-asumsi itu tak dapat dipenuhi, maka LGP bukan merupakan model yang cocok untuk masalah yang sedang dipelajari. Jadi asumsi model membatasi penerapan LGP. Asumsi-asumsi dalam LGP : Additivitas dan Linieritas Diasumsikan bahwa proporsi penggunaan b i yang ditentukan oleh a ij harus tetap benar tanpa memperhatikan nilai solusi x j yang dihasilkan. Artinya, LHS dari kendala tujuan harus sama dengan nilai RHS. Divisibilitas Diasumsikan bahwa nilai-nilai x j, d - + i, dan d i yang dihasilkan dapat dipecah. Artinya, kita dapat meyelesaikan jumlah pecahan nilai x j dan menggunakan jumlah pecah sumber daya dalam solusi itu. Asumsi ini tidak membatasi penggunaan model LGP, karena prosedur solusi Goal Programming yang lain, yaitu Integer Goal Programming, dapat mencari solusi integer. Terbatas Diasumsikan bahwa nilai-nilai x j, d - + i, dan d i yang dihasilkan harus terbatas. Artinya, kita tidak dapat memiliki nilai variabel keputusan, sumber daya, atau peyimpangan tujuan yang tak terbatas. Segalanya dalam dunia ini terbatas.

45 73 Kepastian dan periode waktu statis Diasumsikan bahwa parameter model LGP seperti a ij, b i, P k, dan w ki diketahui dengan pasti dan mereka akan tetap statis selama periode perencanaan dimana hasil model digunakan Prosedur Perumusan Linear Goal Programming Langkah-langkah perumusan Linear Goal Programming meliputi beberapa tahap: 1. Tentukan variabel keputusan. Disini kuncinya adalah menyatakan dengan jelas variabel keputusan yang tak diketahui. Makin tepat definisi akan makin mudah pekerjaan permodelan yang lain. 2. Nyatakan sistem kendala. Kuncinya pertama adalah menentukan nilainilai sisi kanan dan kemudian menentukan koefisien teknologi yang cocok dan variabel keputusan yang diikut sertakan dalam kendala. Juga perhatikan jenis penyimpangan yang diperbolehkan dari nilai RHS. Jika penyimpangan diperbolehkan dalam dua arah, tempatkan dua variabel simpangan pada kendala itu. Jika penyimpangan hanya diperbolehkan pada satu arah, tempatkan hanya satu variabel simpangan yang tepat pada kendala yang bersangkuutan. 3. Tentukan prioritas utama. Kuncinya disini adalah membuat urutan tujuantujuan. Biasanya urutan tujuan merupakan urutan preferensi individu. Jika

46 74 persoalannya tidak memilki urutan tujuan, lewati langkah ini dan kemudian kelangkah berikutnya. 4. Menentukan bobot. Disini kuncinya adalah membuat urutan di dalam suatu tujuan tertentu. Jika tidak diperlukan lewati langkah ini. 5. Nyatakan fungsi tujuan. Disini kuncinya adalah memilih variabel simpangan yang benar untuk dimasukkan dalam fungsi tujuan. Gunakan Tabel 2.2 untuk meyakinkan penggunaan nilai RHS yang diinginkan adalah konsisten dengan keperluan persoalan. Kedua, tambahkan prioritas dan bobot yang tepat jika diperlukan. 6. Nyatakan Keperluan non-negatif. Langkah ini merupakan bagian resmi dari perumusan masalah LGP Perumusan Masalah Linear Goal Programming Untuk membantu bagaimana merumuskan masalah Linear Goal Programming berikut ini disajikan persoalan-persoalan dan formulasinya. a. Model Tujuan Tunggal Berikut akan dijabarkan persoalan dengan tujuan tunggal agar dapat memperjelas hubungan Linear Goal Programming - Linear Programming. Contoh : sebuah perusahaan menghasilkan dua barang, yaitu barang 1 dan barang 2. Masing-masing barang memerlukan waktu untuk ditangani dalam dua bagian, yaitu bagian 1 dan bagian 2. Barang 1 membutuhkan 20 jam di bagian 1 dan 10 jam di bagian 2. Barang 2 membutuhkan 10 jam di

47 75 bagian 1 dan 10 jam di bagian 2. Bagian 1 memiliki keterbatasan waktu sampai 60 jam dan bagian 2 sampai 40 jam. Sumbangan keuntungan barang 1 sebesar 40 dan barang 2 sebanyak 80. Tujuan pemilik adalah memaksimumkan keuntungan. Perumusan Linear Programming masalah itu adalah: Maksimumkan Z = 40x x 2 dengan syarat 20x x x x 2 40 x 1, x 2 0 dimana x 1 : banyaknya barang 1 yang diproduksi x 2 : banyaknya barang 2 yang diproduksi Solusi optimum masalah itu melalui metode simplex adalah x 1 = 0, x 2 =4, dan Z = 320. Bagian 1 masih menyisakan waktu s 1 = 20 jam dan bagian 2 bekerja penuh, s 2 = 0. Perumusan Linear Goal Programming masalah itu (karena tujuannya maksimasi keuntungan, kita tetapkan secara sembarang target keuntungan, misalnya 1000) adalah: Minimumkan Z = d - dengan syarat 20x x x x x x 2 + d - - d + = 1000 x 1, x 2, d -, d + 0

48 76 Perbedaan antara model Linear Programming dengan Linear Goal Programming terletak pada fungsi tujuannya, dimana dalam LGP digunakan variabel simpangan dan ditambahkan persamaan 40x x 2 + d - - d + =1000. Persamaan itu tampak seperti kendala, tetapi sesungguhnya merupakan persamaan tujuan untuk model itu, dalam kasus ini tujuan keuntungan. Dua variabel non negatif d - dan d + adalah variabel simpangan untuk tujuan. Mereka menunjukkan berapa banyak kekurangan (d - ) atau kelebihan (d + ) dari target keuntungan sebesar Meskipun pada sebagian besar aplikasi d - dan d + akan tampak pada sebuah persamaan tujuan, paling banyak hanya satu dari dua variabel itu yang memiliki nilai positif dalm setiap solusi. Dengan kata lain, adalah tidak mungkin pada saat yang sama terjadi kekurangan dan kelebihan target keuntungan. Jika nilai target dicapai secara pas, kedua variabel simpangan akan bernilai nol. Jika tujuan tak dapat dicapai, salah satu variabel simpangan akan bernilai nol. Karena tujuan masalah ini adalah maksimasi keuntungan, fungsi tujuan masalah LGP hanya mengandung sebuah variabel simpangan. Fungsi tujuan yang nampak pada model LP ditulis sebagai sebuah kendala tujuan. Hanya variabel simpangan yang berkaitan dengan tujuan tampak pada fungsi tujuan. Untuk kasus ini hanya variabel simpangan d - yang dimasukkan. Ini berdasar pada tujuan dalam bentuk LGP, yaitu meminimkan kekurangan target keuntungan. Dan karena kekurangan itu

49 77 tak diinginkan, kita akan menekan d - mendekati nol. Jika kelebihan nilai target merupakan hal yang tak diinginkan (seperti waktu lembur, polusi, dan lain-lain), maka hanya d + yang dimasukkan dalam fungsi tujuan. Jika kita menghendaki pencapaain target secara pas, maka kedua variabel simpangan dimasukkan dalam fungsi tujuan. Karena variabel simpangan dapat diperlakukan seperti variabelvariabel yang lain, perumusan LGP persoalan ini dapat diselesaikan dengan algoritma simpleks. Solusi optimalmya adalah x 1 =0, x 2 = 4, s 1 = 20, s 2 = 0, dan d - = 680. Solusi ini identik dengan solusi formulasi LP, kecuali pada nilai Z, untuk perumusan LP diperoleh Z=320 dan untuk LGP diperoleh Z = 680 (nilai Z sesungguhnya -680, tetapi perhatikan bahwa kita menyelesaikan masalah minimasi dengan logika maksimasi). Nilai Z pada masalah LGP menunjukkan seberapa besar kekurangan pencapaian target keuntungan, sehingga keuntungan maksimum yang didapat dicapai adalah 320, yaitu , yang identik dengan solusi model LP. b. Model Banyak Tujuan Ada tiga jenis model banyak tujuan, yaitu tujuan banyak tanpa orioritas, tujuan banyak dengan prioritas, dan tujuan banyak dengan prioritas dan bobot. Dalam praktek model yang terakhir adalah yang paling berguna, namun kita akan membahas satu persatu model-model itu untuk memahami dengan baik konsep prioritas dan bobot.

50 78 c. Tujuan Banyak Tanpa Prioritas (Prioritas Sama) Meskipun model banyak tujuan tanpa prioritas mudah penanganannya, ia kurang memiliki arti praktis. Misalkan masalah produksi tujuan tunggal pada sesi sebelumnya dimodifikasi sehingga disamping tujuan keuntungan, paling sedikit dua unit dari setiap jenis barang harus diproduksi. Pemilik memandang tujuan terakhir ini sama penting dengan tujuan pertama. Perumusan LGP untuk masalah itu adalah: Minimumkan Z = d d d 3 dengan syarat 20x x x x x x 2 + d d + 1 = 1000 x 1 + d d 2 + x 2 + d d 3 + = 2 = 2 x 1, x 2, d - 1, d + 1, d - 2, d + 2, d - 3, d Karena variabel simpangan pada fungsi tujuan tidak memiliki prioritas, persoalan ini dapat diselesaikan dengan metode simplex. Solusinya adalah x 1 =0, x 2 = 4, s 1 = 20, s 2 = 0, d - = 680, d = 0, d 2 =2, d =0, d 3 =0, d 3 =2, dan Z=682. Solusi model ini tidak mencapai tujuan produksi (paling tidak dua unit x 1 dan dua unit x 2 ) karena tak ada prioritas untuk tujuan-tujuan itu. Model itu hanya meminimumkan jumlah simpangan untuk semua tujuan.

51 79 d. Tujuan Banyak Dengan Prioritas Jika pemilik mempertimbangkan banyak tujuan, biasanya memiliki skala prioritas untuk tujuan-tujuan itu. LGP memberikan urutan preferensi tujuan melalui penggunaan koefisien prioritas (P). Tujuan (variabel simpangan) yang memiliki prioritas pertama diberi nilai fungsi tujuan P 1, tujuan dengan prioritas kedua diberi nilai P 2, proses ini diteruskan sampai semua tujuan telah diurutkan. Koefisien prioritas P 1, P 2, dan seterusnya bukan merupakan parameter atau variabel. Pada umumnya mereka bukan suatu nilai angka, mereka hanya menunjukkan tingkat prioritas. Karena koefisien prioritas muncul pada fungsi tujuan, algoritma simpleks biasa tak dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah itu. Namun, metode simpleks dapat dimodifikasi untuk menangani koefisien prioritas dan menjamin bahwa penyimpangan bagi tujuan dengan prioritas pertama diminimumkan sebelum prioritas yang lebih rendah diperhatikan. Penggunaan prioritas dapat ditunjukkan melalui masalah produksi yang baru saja dipelajari pada sesi sebelum ini. Anggaplah pemilik menetapkan prioritas seperti berikut: P 1 (prioritas 1) : capai tujuan produksi dua unit untuk setiap jenis barang. P 2 (prioritas 2) : maksimumkan keuntungan. Model untuk masalah ini serupa dengan model tanpa prioritas sebelumnya dengan pengecualian penambahan koefisien prioritas pada fungsi tujuan. Model yang baru itu adalah:

52 80 Minimumkan Z = P 1 d P 1 d P 2 d 1 dengan syarat 20x x x x x x 2 + d d + 1 = 1000 x 1 + d d 2 + x 2 + d d 3 + = 2 = 2 x 1, x 2, d - 1, d + 1, d - 2, d + 2, d - 3, d Penerapan algoritma simpleks yang dimodifikasi pada masalah ini menghasilkan x 1 =2, x 2 = 2, s 1 =0, s 2 = 0, d 1 = 760, d 1 = 0, d 2 =0, d 2 =0, - + d 3 =0, d 3 =0, dan Z=760 P 2. Penafsiran solusi ini adalah: Tujuan 1 (P 1 ) dicapai: dua unit x 1 dan x 2 diproduksi. Tujuan 2 (P 2 ) tak tercapai: sumbangan total terhadap keuntungan adalah (= ), kekurangan target keuntungan sebesar 760 (d 1 = 760). e. Tujuan Banyak Dengan Prioritas dan Bobot Kadang-kadang kita dihadapkan pada beberapa tujuan dengan urutan yang sama adalah lebih penting dibanding tujuan-tujuan lain. Jika demikian, perlu digunakan bobot yang berlainan untuk mencerminkan beda kepentingan dalam tingkat prioritas yang sama. Misalkan, keuntungan dan waktu lembur dari persoalan tadi memiliki urutan prioritas sama. Jika tidak ada bobot, pemilik menganggap bahwa peyimpangan keuntungan satu rupiah sama pentingnya dengan satu jam waktu lembur. Jika tidak demikian, kemudian dapat diberikan bobot yang

53 81 mencerminkan hubungan yang lebih tepat. Jika pemilik menetapkan bahwa enam jam lembur setaraf dengan keuntungan satu rupiah, maka akan digunakan bobot 6 banding 1. Untuk memperjelas, misalkan kita sedikit mengubah tujuan pada masalah tadi. Sebagai ganti tujuan menghasilkan dua unit untuk setiap jenis barang, kita akan menetapkan tujuan untuk memproduksi barang 1 paling tidak 4 unit dan barang 2 paling tidak 6 unit. Karena barang 2 meyumbang profit dua kali dibandingkan barang 1. Waktu lembur diperlukan dalam menghasilkan sejumlah barang-barang yang telah ditetapkan. Kita asumsikan tersedia 50 jam lembur. Misalkan kita menetapkan prioritas untuk mencapai tujuan: Prioritas 1 (P 1 ) : membatasi jumlah jam lembur sampai 50 jam dalam dua kegiatan produksi. Prioritas 2 (P 2 ) : memenuhi tujuan produksi barng 1 paling tidak 4 unit dan barang 2 paling tidak 6 unit. Gunakan bobot yang berlainan yaitu 1 dan 2, karena ini menunjukkan sumbangan keuntungan, yaitu 40 dan 80. Prioritas 3 (P 3 ) : maksimumkan keuntungan. Karena dalam masalah baru ini diperlukan lembur, maka perlu ditambahakan variabel simpangan pada kendala sebelumnya. Kita harus juga menambahkan sebuah kendala tujuan untuk mencerminkan tujuan

54 82 pembatasan waktu lembur sampai 50 jam. Dengan simbol-simbol seperti pada persoalan sebelumnya, model yang telah dimodifikasi itu adalah: Minimumkan Z = P 1 d P 2 d P 2 d P 3 d 1 - dengan syarat 20x x 2 + d 4 + d + 4 = 60-10x x 2 + d 5 + d + 5 = 40 40x x 2 + d d + 1 = 1000 x 1 + d d 2 + x 2 + d d 3 + = 4 = 6 d d d d + 6 = 50 x 1, x 2, d - 1, d + 1, d - 2, d + 2, d - 3, d + 3, d - 4, d + 4, d - 5, d + 5, d - 6, d Variabel simpangan d + 4 dan d + 5 menunjukkan waktu lembur yang diperlukan pada kegiatan 1 dan 2. variabel d + 6 dimasukkan dalam kendala tujuan untuk mencerminkan kemungkinan melebihi 50 jam lembur. Solusi masalah baru ini adalah x 1 = 1, x 2 = 6, d 4 = 0, d 1 = 0, d 4 =20, d 5 =0, d =30, d 1 =480, d 1 = 0, d 2 = 3, d 2 =0, d 3 =0, d 3 =0, d 6 =0, d 6 =0 dan Z = 3 P P 3. Perhatikan bahwa: Tujuan 1 (P 1 ) dicapai, waktu lembur pas 50 jam, 20 jam lembur (d + 4 ) dalam kegiatan 1 dan 30 jam (d + 5 ) dalam kegiatan 2. Sebagian tujuan 2 (P 2 ) dipenuhi, enam unit barang 2 diproduksi tujuan ini memiliki bobot terbesar, tetapi hanya satu unit barang 1 dihasilkan sebelum batasan jam lembur dilewati. Tujuan 3 (P 3 ) tak tercapai, sumbangan total terhadap

55 83 keuntungan adalah 520 (yaitu ), kekurangan target keuntungan adalah 480 (d 1 - = 480). Hasil dari model yang telah dimodifikasi menunjukkan bahwa diperoleh tambahan keuntungan melalui kerja lembur, tetapi tujuan produksi tidak dapat dicapai karena jam lembur dibatasi sampai 50 jam Integer Programming Persoalan Integer Programming (IP) adalah persoalan pencarian solusi optimum dari model matematik sehingga nilainya merupakan bilangan bulat (integer). Sering dijumpai bahwa solusi optimum dari persoalan LP atau LGP adalah bilangan pecahan, karena adanya asumsi divisibility dan apabila variabel yang bernilai pecahan ini merepresentasikan mobil, mesin, orang, dan sebagainya yang harus integer, maka perlu dilakukan metoda yang dapat memberikan solusi integer ini. Walaupun persoalan IP yang bounded memiliki jumlah solusi yang finite, namun jumlahnya masih sangat-sangat besar untuk dilakukan enumerasi secara eksplisit. Oleh karena itu tetap diperlukan cara yang efisien untuk mencari solusi optimum (paling tidak mendekati optimum), diantaranya dengan hanya mengevaluasi sebagian kecil saja dari set solusi-solusi yang feasible. Set solusi-solusi lainnya tidak perlu dievaluasi lebih lanjut karena tidak memberikan hasil (yakni nilai fungsi obyektif) yang lebih baik. Salah

56 84 satu metode yang menggunakan cara seperti ini adalah teknik branch and bound (BB). Untuk mendapatkan set solusi yang jelek ataupun yang menjanjikan, persoalan IP perlu dibagi habis kedalam beberapa sub persoalan. Sub-persoalan ini disebut sebagai subset, sedangkan cara bagaimana subset-subset ini dibuat disebut dengan pencabangan (branch step). Untuk mengetahui jelek atau tidaknya suatu subset, ditentukan batas nilai fungsi obyektif yang mungkin diperoleh dari subset yang bersangkutan. Langkah ini disebut langkah pengukuran (bound step); sedangkan batas nilai fungsi obyektif yang mungkin diperoleh suatu subset disebut batas bawah (lower bound (Z L )) untuk kasus minimasi; dan disebut batas atas (upper bound (Z U )) dari subset tersebut bila bentuk fungsi obyektifnya maksimasi. Penilaian terhadap suatu subset apakah perlu ditelusuri lebih lanjut disebut fathoming step. Penilaian ini didasarkan atas : a. nilai batas bawah/batas atasnya; b. mungkin atau tidaknya diperoleh solusi yang fisibel dari subset tersebut; c. batas bawah/batas atasnya merupakan nilai fungsi obyektif yang optimum. Dalam kasus ini, langkah pengukuran (bound step) dalam menghitung batas bawah/batas atas subset sekaligus menemukan solusi fisibelnya.

57 85 Adapun langkah-langkah (untuk fungsi obyektif berbentuk minimasi) dalam Branch & Bound (BB): 1. Selesaikan masalah LP atau LGP dengan metode simpleks biasa tanpa pembatasan bilangan bulat. 2. Teliti solusi optimalnya. Jika variabel basis yang diharapkan bulat adalah bulat, solusi optimum bulat telah tercapai. Jika satu atau lebih variabel basis yang diharapkan bulat ternyata tidak bulat, lanjutkan ke langkah Nilai solusi pecah yang layak dicabangkan ke dalam sub-sub masalah. Tujuannya adalah untuk menghilangkan solusi kontinu yang tidak memenuhi persyaratan bulat dari masalah itu. Pencabangan itu dilakukan melalui kendala-kendala mutually exclusive yang perlu untuk memenuhi persyaratan bulat dengan jaminan tak ada solusi bulat layak yang diikutsertakan. 4. Untuk setiap sub masalah, nilai solusi optimum kontinu fungsi tujuan ditetapkan sebagai batas atas. Solusi bulat terbaik menjadi batas bawah (pada awalnya, ini adalah solusi kontinu yang dibulatkan ke bawah). Subsub masalah yang memiliki batas atas kurang dari batas bawah yang ada tidak diikutsertakan pada analisis selanjutnya. Suatu solusi bulat layak adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk setiap sub masalah yang dicari. Jika solusi demikian ada, suatu sub masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk dicabangkan. Kembali ke langkah 3.

58 Analisa Sensitivitas Seorang analis jarang dapat menentukan parameter model program linier seperti (m,n, Cj, aij, bi) dengan pasti karena nilai parameter ini adalah fungsi dari beberapa uncontrollable variable. Sementara itu solusi optimal model program linier didasarkan pada parameter tersebut. Akibatnya analis perlu mengamati pengaruh perubahan parameter tersebut terhadap solusi optimal. Analisa perubahan parameter dan pengaruhnya terhadap solusi program linier disebut Post Optimality Analisis. Istilah post optimality menunjukkan bahwa analisa ini terjadi setelah diperoleh solusi optimal, dengan mengasumsikan seperangkat nilai parameter yang digunakan dalam model. Atau Analisis Postoptimal (disebut juga analisis pasca optimal atau analisis setelah optimal, atau analisis kepekaan dalam suasana ketidaktahuan) merupakan suatu usaha untuk mempelajari nilai-nilai dari peubah-peubah pengambilan keputusan dalam suatu model matematika jika satu atau beberapa atau semua parameter model tersebut berubah atau menjelaskan pengaruh perubahan data terhadap penyelesaian optimal yang sudah ada. Dapat diketahui bahwa dunia nyata yang diabstraksikan dan disimplifikasikan ke dalam model program linier, tidak sederhana seperti rumusan program linier sederhana tersebut. Oleh karena itu dalam dunia pengelolaan dan kehidupan dunia nyata, selalu dihadapkan pada pertanyaanpertanyaan keragu-raguaan seperti apa yang akan terjadi, jika ini dan itu berubah? Persoalan peluang dan ketidakpastiaan pertanyaan-pertanyaan

59 87 tersebut harus dapat dijawab dalam rangka meyakinkan pendirian terhadap sesuatu yang akan diputuskan kelak. Dengan demikian hasil yang diharapkan tersebut adalah hasil yang memang paling mungkin dan paling mendekati, atau perkiraan yang paling tepat. Uji kepekaan hasil dan pasca optimal (sebut saja selanjutnya analisis post optimal) yang dapat memberikan jawaban terhadap persoalan-persoalan tersebut diatas. Analisis post optimal sangat berhubungan erat dengan atau mendekati apa yang disebut Program Parametrikal atau Analisis Parametrisasi. Perubahan atau variasi dalam suatu persoalan program linier yang biasanya dipelajari melalui Post Optimality Analysis dapat dipisahkan ke dalam dua kelompok umum, yaitu : 1. Analisa yang berkaitan dengan perubahan diskrit parameter untuk melihat berapa besar perubahan dapat ditolerir sebelum solusi optimal mulai kehilangan optimalitasnya, ini dinamakan Analisa Sensitivitas. Jika suatu perubahan kecil dalam parameter menyebabkan perubahan drastis dalam solusi, dikatakan bahwa solusi adalah sangat sensitif terhadap nilai parameter itu. Sebaliknya, jika perubahan parameter tidak mempunyai pengaruh besar terhadap solusi dikatakan solusi relatif insensitif terhadap nilai parameter tersebut. 2. Analisa yang berkaitan dengan perubahan struktural. Masalah ini muncul bila persoalan program linier dirumuskan kembali dengan menambahkan atau menghilangkan kendala dan atau variabel untuk menunjukkan operasi

60 88 model alternatif. Perubahan struktural ini dapat dimasukkan dalam analisa sensitivitas. Analisa yang berkaitan dengan perubahan kontinu parameter untuk menentukan urutan solusi dasar yang menjadi optimal jika perubahan ditambah lebih jauh, ini dinamakan Parametric-Programming. Dalam membicarakan analisa sensitivitas, perubahan-perubahan parameter dikelompokkan menjadi : 1) Perubahan koefisien fungsi tujuan (C j ) 2) Perubahan konstan sisi kanan (b i ) 3) Perubahan kendala atau koefisien matriks A 4) Penambahan variabel baru 5) Penambahan kendala baru Software LINDO 6.1 Software LINDO memungkinkan pemakai berinteraksi dengan komputer dalam arti sekali program dimasukkan dalam komputer, pemakai tinggal menuliskan fungsi tujuan dan kendala-kendala yang diperlukan. Ketika semua input telah selesai, pemakai kemudian memberi perintah Solve pada Software LINDO, dan menyelesaikan problem linier tersebut. Solusi optimum dan semua informasi yang berkaitan dengan masalah tersebut ditampilkan pada monitor komputer.

61 89 a. Tampilan LINDO Gambar 2.1 Tampilan LINDO b. Jendela Formulasi Pada jendela ini dituliskan formulasi model dari masalah yang akan dicari solusi optimalnya. Untuk fungsi tujuan diketikan sebagai max (untuk maksimasi) atau min (untuk minimasi). Untuk fungsi tujuan diawali dengan Subject To (ST).

62 90 Gambar 2.2 Jendela Formulasi c. Solve Setelah formulasi model selesai disusun, maka langkah selanjutnya adalah melakukan perhitungan optimasi dengan mengklik menu Solve, dan pilih Solve pada sub menu. Gambar 2.3 Mengoptimalkan Model pada LINDO

63 91 d. Analisa Sensitivitas Analisa sensitivitas disediakan oleh software ini, dengan mengklik Yes pada jendela informasi yang akan muncul setelah melakukan solve. Gambar 2.4 Melakukan Analisa Sensitivitas pada LINDO e. Hasil Optimasi Hasil optimasi akan ditampilkan oleh report window, yang berisi berapa banyak iterasi yang dilakukan, pencapaian tujuan yang ditunjukkan oleh objective function value, jumlah optimal dari masingmasing variabel keputusan, kelebihan dan kekurangan pada fungsi pembatas yang tidak akan merubah solusi optimal. Jika melakukan analisa sensitivitas, maka report window juga akan menampilkan hasil analisa sensitivitas dari solusi optimal tersebut.

64 92 Gambar 2.5 Hasil Optimasi dengan LINDO 2.6 Manufacturing Resource Planning (MRP II) MRP II merupakan salah satu sistem dalam PPIC, meliputi perencanaan prioritas dan perencanaan kapasitas. MRP II adalah suatu sistem informasi manufakturing formal dan eksplisit yang mengintegrasikan fungsifungsi utama dalam industri manufaktur, seperti keuangan, pemasaran, dan produksi. Sistem MRP II mencangkup dan mengintegrasikan semua aspek bisnis dari perusahaan industri manufaktur, sejak perencanaan strategik bisnis pada tingkat manajemen puncak (top management) sampai perencanaan dan pengendalian terperinci pada tingkat manajemen menengah dan supervisor, kemudian memberikan umpan balik (Gaspersz, 2001, p.30).