BAB 2 LANDASAN TEORI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB 2 LANDASAN TEORI"

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi yang akan penulis gunakan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini sehingga mempermudah penulis untuk menunjang pencarian rumus untuk menghitung subgraf dari suatu graf. Adapun konsep dasar yang dimaksud adalah yang berkaitan dengan penelitian ini seperti definisi dan konsep dasar graf, jenis jenis graf, kaidah kaidah dasar menghitung, serta mengenai konsep permutasi dan kombinasi. 2.1 Definisi dan Konsep Dasar Graf Suatu graf adalah sebuah objek matematika yang terdiri dari: (1) Himpunan titik titik tak kosong V yang unsur unsurnya disebut titik atau verteks, dan (2) himpunan garis E yang menghubungkan verteks verteks dan disebut rusuk (edge). Dengan perkataan lain, suatu graf adalah sebuah himpunan berhingga yang terdiri dari verteks dan rusuk yang setiap ujung rusuk tersebut menghubungkan verteks verteks. Suatu graf dapat ditulis sebagai G (V,E) atau graf G saja. Verteks verteks dalam graf G ditulis dengan huruf kecil seperti u, v, atau v i, v j. Rusuk rusuk dalam graf G dapat dipresentasikan sebagai e 1,e 2,e 3,,e n. Suatu rusuk dapat juga ditulis sebagai sebuah pasangan verteks verteks ujung seperti (v 1,v 2 ), (v 2,v 3,),,(v i,v j ). Jika e = (v i,v j ) E (G) maka v i dan v j disebut verteks bertetangga (adjacent vertices), maksudnya adalah apabila 2 buah verteks dihubungkan oleh sebuah rusuk maka kedua verteks itu disebut bertetangga. Jika rusuk e i dan e j keduanya bertemu pada satu verteks yang sama maka kedua rusuk itu disebut rusuk terhubung (incident edges). Selain itu pada verteks bertetangga (adjacent vertices) v i dan v j yang dihubungkan oleh rusuk e maka rusuk e dikatakan terhubung (incident)

2 pada v i dan v j, dan begitu juga sebaliknya v i dan v j dikatakan terhubung (incident) pada e. Contoh : Berikut adalah contoh graf G (6,10), yaitu graf dengan 6 verteks dan 10 rusuk. Himpunan verteksnya adalah V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 } dan himpunan rusuknya adalah E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9, e 10 } = {(v 2, v 3 ),( v 2, v 3 ),( v 2, v 5 ), (v 3, v 4 ),( v 1, v 1 ),( v 1, v 4 ),( v 4, v 4 ),( v 4, v 6 ),( v 5, v 6 ),(v 5, v 6 )}. Jika A adalah himpunan dua verteks yang bertetangga (adjacent vertices) v i dan v j maka A = {(v i, v j )} = {(v 2, v 3 ),( v 2, v 3 ),( v 2, v 5 ),( v 3, v 4 ),( v 1, v 1 ),( v 1, v 4 ),( v 4, v 4 )( v 4, v 6 ),( v 5, v 6 ),(v 5, v 6 )} Hal ini menunjukkan bahwa v 2 bertetangga dengan v 3, v 2 bertetangga dengan v 5, dan seterusnya seperti yang ditunjukkan oleh unsur unsur di himpunan A. Namun v 1 tidak bertetangga dengan v 2 karena tidak ada rusuk yang menghubungkan kedua verteks tersebut, begitu juga yang terjadi dengan verteks verteks lainnya jika tidak ada rusuk yang menghubungkan mereka. Selain itu dapat pula dikatakan bahwa e 1 terhubung (incident) pada v 2 dan v 3, sebaliknya juga v 2 dan v 3 terhubung (incident) pada e 1. Selanjutnya apabila himpunan I adalah himpunan rusuk rusuk terhubung (incident edges) e i,e j,e k, maka I = {(e 1,e 2,e 3 ),( e 1,e 2,e 4 ),(e 3,e 9,e 10 ),( e 4,e 6,e 7,e 8 ), ( e 5,e 6 ),( e 8,e 9,e 10 )}. Pada himpunan I ditunjukkan bahwa rusuk rusuk yang saling terhubung pada satu verteks bisa saja lebih dari dua rusuk. e 1 v 2 e 5 e 2 e 3 v 3 v 1 e 6 e 4 v 6 e 8 v 4 e 9 e 7 e 10 v 5 Gambar 2.1 : Graf dengan 6 verteks dan 10 rusuk

3 2.2 Jenis-Jenis Graf Pada dasarnya setiap peristiwa di alam nyata dapat dipresentasikan dalam bentuk graf. Hal ini mengakibatkan setiap orang dapat menggambar bermacam macam graf yang dia perlukan bergantung pada situasi ataupun kegiatan yang dia lakukan. Adapun secara umum graf dapat digolongkan kepada beberapa jenis yaitu dapat berdasarkan jenis rusuknya, ataupun dapat juga digolongkan berdasarkan ada atau tidaknya arah pada rusuk dari graf tersebut. Berdasarkan jenis rusuknya maka graf dibagi kepada 2 jenis yaitu graf sederhana (simple graph) dan graf tak sederhana (unsimple graph). Adapun graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang (loop) maupun rusuk ganda (multiple edge). Gelang (loop) adalah suatu rusuk yang terhubung (incident) dari suatu verteks dan kembali lagi ke verteks yang sama, atau dengan kata lain rusuk tersebut terhubung (incidents) dengan verteks tunggal saja serta dinotasikan menjadi e = ( v i, v i ). Sedangkan rusuk ganda (multiple edge) adalah beberapa buah rusuk yang terhubung (incident) pada pasangan verteks yang sama, atau dengan kata lain kedua verteks tersebut terhubung (incident) pada lebih dari satu rusuk. Kemudian graf tak sederhana adalah graf yang mengandung rusuk ganda dan dapat saja juga mengandung gelang. Adapun graf tak sederhana dapat dibagi 2 yaitu graf ganda (multi graph) dan graf semu (pseudo graph). Graf ganda adalah graf yang memiliki rusuk ganda tanpa memiliki gelang. Sedangkan graf semu adalah graf yang memiliki gelang dan bisa juga sekalian memiliki rusuk ganda atau hanya memiliki gelang tanpa rusuk ganda. Contoh : Berikut adalah contoh graf sederhana G (5,5) v 1 e 1 e 2 e 3 e 5 v 2 e 4 v 3 v 4 v 5 Gambar 2.2 : Graf sederhana dengan 5 verteks dan 5 rusuk

4 Contoh : Berikut adalah contoh graf ganda G (6,9) e 1 v 1 v 2 e 2 v 3 v 4 e 5 e 3 e 4 e 7 e 8 e 9 e 6 v 5 v 6 Gambar 2.3 : Graf ganda dengan 6 verteks dan 9 rusuk Pada gambar graf 2.3 di atas, rusuk ganda diperlihatkan oleh pasangan rusuk (e 1, e 3 ), (e 4, e 5 ), dan (e 8, e 9 ). Dengan adanya rusuk ganda di dalam graf tersebut menunjukkan bahwa graf itu adalah graf ganda. Contoh : Berikut adalah contoh graf semu G (8,12) v 1 e 1 v 2 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 v 3 v 4 v 5 v 6 e 9 e 10 e 11 v 7 v 8 e 12 Gambar 2.4 : Graf semu dengan 8 verteks dan 12 rusuk Pada gambar graf 2.4 di atas, gelang diperlihatkan oleh rusuk e 11 dan e 12. Pada graf semu di atas juga terdapat rusuk ganda yaitu pasangan rusuk (e 4, e 5 ), namun suatu graf dikatakan graf semu tidak harus memiliki juga rusuk ganda melainkan graf tersebut minimal harus ada memiliki 1 gelang sehingga apabila suatu graf semu tidak memiliki rusuk ganda namun memiliki gelang maka graf tersebut tetap dinamakan

5 graf semu. Dengan adanya gelang di dalam graf tersebut menunjukkan bahwa graf itu adalah graf semu. Selanjutnya berdasarkan ada atau tidaknya arah pada rusuk, maka graf dapat terbagi 2 yaitu graf tak berarah (undirected graph) dan graf berarah (directed graph) yang biasa disebut juga digraf. Graf tak berarah adalah graf yang setiap rusuknya tidak memiliki arah sehingga setiap rusuknya hanya digambarkan berupa garis saja tanpa ada penunjuk arah. Adapun contoh dari graf tak berarah adalah seperti graf pada gambar 2.2, 2.3, dan 2.4. Sedangkan graf berarah adalah graf yang setiap rusuknya memiliki arah tertentu sehingga rusuk rusuknya digambarkan berupa garis beserta tanda panah sebagai penunjuk arah tertentu. Contoh : Berikut adalah contoh graf berarah G (6,13) v 1 e 1 e 2 e 3 e 8 v 3 e 5 e 7 e 4 v 4 e 9 v 2 e 11 e 6 e 10 e 12 v 5 e 13 v 6 Gambar 2.5 : Graf berarah dengan 6 verteks dan 13 rusuk 2.3 Kaidah Kaidah Dasar Menghitung Materi pembahasan dalam bidang matematika diskrit dan kombinatorial biasanya dimulai dari pembahasan mengenai kaidah kaidah dasar dalam menghitung. Adapun kaidah dasar ini terbagi 2 yaitu kaidah penjumlahan (rule of sum) dan kaidah perkalian (rule of product). Di dalam percobaan percobaan ataupun aplikasi aplikasi matematika yang berhubungan dengan matematika diskrit baik yang sederhana maupun yang kompleks maka kedua kaidah ini sering dipakai untuk mencari solusi

6 dalam menghitung banyaknya jumlah kemungkinan dari percobaan tersebut. Jadi misalnya pada percobaan memasukkan sebuah kelereng ke dalam sebuah kantung, percobaan memasukkan beberapa kelereng ke dalam beberapa kantung, memilih wakil dari beberapa kelompok mahasiswa, memasang taruhan pada lomba pacuan kuda, percobaan melemparkan sekeping koin, percobaan menggulirkan sepasang dadu, membagi kartu pada permainan poker, dan masih banyak lagi percobaan percobaan matematika lainnya Kaidah Penjumlahan (Rule of Sum) Ketika melakukan suatu percobaan matematika, bisa saja unsur unsur di dalam percobaan tersebut tidak saling memiliki hubungan. Dalam terminologi Himpunan, unsur unsur tersebut dapat dianggap sebagai unsur unsur yang tidak beririsan (intersection) ataupun tidak memiliki unsur bersama. Pada situasi inilah Kaidah Penjumlahan dipakai untuk menghitung banyaknya jumlah kemungkinan dari percobaan tersebut. Secara sederhana Kaidah Penjumlahan (rule of sum) dapat didefinisikan sebagai cara menghitung jumlah total kemungkinan dari cara suatu pekerjaan itu dilakukan yang melibatkan beberapa unsur kegiatan yang tidak saling berhubungan / tidak beririsan sedemikian hingga jumlah total dari kemungkinan kemungkinan tersebut adalah penjumlahan dari setiap kemungkinan dari setiap unsur. Misalkan suatu pekerjaan mempunyai m cara untuk melakukannya dan sebuah pekerjaan lainnya mempunyai n cara untuk melakukannya. Jika kedua pekerjaan itu tidak dapat dilakukan secara bersamaan ataupun juga tidak bisa dilakukan secara berturut yang berarti harus dipilih salah satu dan meninggalkan yang lainnya, maka total keseluruhan cara untuk melakukan pekerjaan itu adalah sebanyak m + n cara. Contoh : Berikut adalah contoh persoalan yang memakai Kaidah Penjumlahan dalam penyelesaiannya :

7 Ada 2 cara untuk pergi dari Jakarta ke Pontianak, yaitu dengan menggunakan kapal terbang atau kapal laut. Untuk kapal terbang ada 4 penerbangan, sedangkan kapal laut ada 3 kapal. Ada berapa banyak cara untuk bepergian dari Jakarta ke Pontianak? Jawaban : Karena cara bepergian dari Jakarta ke Pontianak dengan kapal terbang atau kapal laut adalah merupakan dua hal yang terpisah sehingga harus dipilih salah satunya saja. Maka total banyaknya cara untuk bepergian dari Jakarta ke Pontianak adalah sebanyak = 7 cara. Yaitu dalam persoalan ini dipakailah Kaidah Penjumlahan untuk penyelesaiannya. (Budhi, 2003:145) Kaidah Perkalian (Rule of Product) Ketika melakukan suatu pekerjaan, adakalanya pekerjaan tersebut memiliki beberapa tahap pengerjaan. Dalam hal ini tahap tahap pengerjaan tersebut adalah saling lepas yaitu tidak saling bergantung/tidak mempengaruhi satu sama lain. Pada situasi seperti inilah Kaidah Perkalian dipakai untuk menghitung banyaknya jumlah total kemungkinan dari urutan tahapan tahapan pekerjaan itu. Secara sederhana Kaidah Perkalian (rule of product) dapat didefinisikan sebagai cara menghitung jumlah total kemungkinan dari kemungkinan kemungkinan urutan urutan pengerjaan dari suatu pekerjaan yang memiliki tahapan tahapan di dalam pengerjaannya. Misalkan suatu pekerjan dapat dilakukan dengan 2 tahap pengerjaan yang saling lepas, tahap pertama memiliki m cara pengerjaan sedangkan tahap kedua memiliki n cara pengerjaan. Maka pekerjaan tersebut dapat dilakukan dengan total kemungkinan kemungkinan urutan tahapan pengerjaannya adalah sebanyak m.n cara. Contoh : Berikut adalah contoh persoalan yang memakai Kaidah Perkalian dalam penyelesaiannya :

8 Misalkan seseorang akan pergi dari kota A ke kota C dan harus melalui kota B. Dari kota A menuju ke kota B terdapat 3 jalan, dan dari kota B menuju ke kota C terdapat 2 jalan. Ada berapa banyak kemungkinan cara untuk pergi dari kota A ke kota C melalui kota B? Jawaban : Persoalan ini adalah mengenai suatu pekerjaan yang dilakukan secara bertahap yaitu di soal ini ada 2 tahapan. Tahapan pertama adalah memilih jalan dari kota A ke kota B, kemudian dilanjutkan dengan tahapan kedua yaitu memilih jalan dari kota B ke kota C. Maka pertama sekali hal yang harus dilakukan adalah memilih jalan dari kota A ke kota B, adapun pilihan jalan dari kota B ke kota C tidak tergantung pada pilihan jalan dari kota A ke kota B yang berarti keduanya saling lepas. Dengan demikian Kaidah Perkalian dapat diterapkan pada persoalan ini. Maka menurut Kaidah Perkalian, banyaknya kemungkinan cara perjalanan dari kota A ke kota C melalui kota B adalah sebanyak 3 2 = 6 cara. Apabila jalanan dari kota A ke kota B diberi lambang a, b, c sedangkan jalanan dari kota B ke kota C diberi lambang 1 dan 2. Maka pemilihan jalanan ini adalah sama halnya dengan memasangkan lambang lambang tadi yaitu a1, a2, b1, b2, c1, c2 yang dapat dihitung berjumlah 6 cara pemilihan jalan. (Budhi, 2003: ) 2.4 Permutasi dan Kombinasi Ada beberapa ide dan pemikiran matematika yang dapat dikembangkan dari Kaidah Kaidah Dasar Menghitung. Beberapa diantaranya adalah yang berkaitan erat dengan Kaidah Perkalian yaitu Permutasi dan Kombinasi. Adapun konsep Kombinasi didapat dari pengembangan konsep Permutasi. Secara sederhana Permutasi dapat didefinisikan sebagai penyusunan n unsur yang berbeda menjadi berbagai bentuk / ukuran susunan dengan memperhatikan urutan unsur unsur pada susunan tersebut. Dari definisi tersebut dapat dipahami bahwa urutan unsur unsur di setiap susunan tersebut adalah penting untuk diperhatikan dan tidak boleh diabaikan sehingga apabila ada beberapa susunan yang

9 seluruh unsur unsurnya sama namun urutannya berbeda maka susunan susunan tersebut tetap dianggap berbeda satu sama lain. Contoh : Berikut adalah contoh persoalan yang memakai konsep Permutasi dalam penyelesaiannya : Misalkan ada 3 angka 5, 6, dan 7. Berapakah jumlah susunan yang dapat dibentuk dari 3 unsur angka tersebut dimana setiap susunan juga terdiri dari 3 angka serta tanpa pengulangan unsur? Jawaban : Karena unsur unsur dari susunan tersebut berupa angka angka maka tentu dapat dipahami bahwa urutan adalah hal yang penting dan tidak bisa diabaikan di dalam susunan itu karena tentunya 657 dengan 576 adalah dianggap susunan yang berbeda meskipun seluruh unsur unsurnya adalah sama. Maka di dalam persoalan ini dapat diterapkan konsep Permutasi untuk menyelesaikannya, selain juga dipakai Kaidah Perkalian. Untuk urutan pertama ada 3 kemungkinan unsur, untuk urutan kedua ada 2 kemungkinan unsur karena satu unsur telah dipakai di urutan pertama serta karena tidak boleh ada pengulangan unsur, terakhir untuk urutan ketiga ada 1 kemungkinan unsur. Dengan memakai Kaidah Perkalian maka total kemungkinan susunannya adalah = 6 macam susunan. Adapun susunan tersebut adalah 567, 576, 657, 675, 756, 765. Selanjutnya karena persoalan ini adalah persoalan Permutasi dimana urutan unsur adalah faktor yang penting, maka jawaban ini adalah benar. Pada contoh di atas diketahui bahwa terdapat 3 unsur yang kemudian disusun menjadi beberapa susunan yang masing masing susunan tersebut terdiri dari 3 unsur juga tanpa pengulangan unsur. Hal ini berarti contoh menunjukkan mengenai suatu n unsur yang disusun menjadi susunan susunan yang masing masing susunan tersebut terdiri dari sebanyak n unsur juga, atau dengan kata lain n unsur yang berbeda dipermutasikan kepada n unsur juga. Lalu bagaimana jika dari n unsur disusun menjadi susunan-susunan yang terdiri kurang dari n unsur? Katakanlah jika dari n unsur akan dibentuk beberapa susunan yang masing masing susunannya terdiri dari r unsur, dimana 1 r n.

10 Contoh : Di dalam suatu kelas terdapat 10 orang siswa yang dicalonkan untuk menjadi ketua kelas, wakil ketua kelas, sekretaris, dan bendahara. Ada berapakah semua susunan yang mungkin untuk jabatan jabatan tersebut dimana setiap siswa dari 10 orang itu tidak boleh menduduki dua jabatan sekaligus? Jawaban : Untuk menjawab persoalan ini maka perlu disusun dulu jumlah kemungkinan dari masing masing jabatan. Adapun susunannya adalah : Jabatan : Ketua Kelas Wakil Ketua Sekretaris Bendahara Jumlah Kemungkinan : Masing masing jabatan jumlah kemungkinannya berkurang 1 dari jumlah sebelumnya karena tidak boleh ada seorang siswa yang merangkap lebih dari satu jabatan sehingga ketika seseorang sudah terpilih untuk suatu jabatan maka pada pemilihan jabatan yang lain dia tidak diikut sertakan. Selanjutnya karena persoalan ini pada dasarnya adalah mengenai suatu pekerjaan yang bertingkat tingkat yaitu pekerjaan yang dilakukan bertahap dimana tahap pertama adalah pemilihan ketua kelas selanjutnya tahap kedua adalah pemilihan wakilnya dan begitu seterusnya, maka jelaslah bahwa persoalan ini dapat diselesaikan dengan Kaidah Perkalian. Maka jumlah total semua susunan yang mungkin untuk jabatan jabatan tersebut adalah = 5040 kemungkinan susunan. Apabila contoh diperhatikan dengan seksama, maka dapat diketahui bahwa persoalan pada contoh tersebut adalah suatu persoalan Permutasi. Hal ini karena pada persoalan tersebut salah satu unsur yang penting dan tidak dapat diabaikan adalah urutan unsur unsur dalam susunan tersebut yaitu urutan pertama untuk ketua kelas kemudian urutan kedua untuk wakilnya dan seterusnya. Tentu saja pada suatu susunan tertentu dimana seorang siswa berada di urutan ke-3 yaitu menjadi sekretaris dengan apabila di kemungkinan susunan lainnya siswa yang sama tersebut berada di urutan ke-2 yaitu menjadi wakil ketua kelas, maka tentu saja susunan susunan tersebut akan dianggap berbeda walaupun mungkin seluruhnya dari keempat orang siswa yang

11 terpilih tersebut adalah kumpulan siswa yang sama di susunan susunan tersebut. Sehingga apabila merujuk pada konsep Permutasi maka persoalan di contoh adalah persoalan Permutasi dari 10 unsur yang berbeda kepada 4 unsur. Maka berdasarkan hasil yang telah didapat sebelumnya, hasil tersebut dapat diolah menjadi sebagai berikut : = = 10! 6! = 10! (10 4)! Dari hasil ini dapat diketahui bahwa permutasi dari 10 unsur kepada 4 unsur dapat dituliskan menjadi 10!. Apabila hasil ini diperumum maka menunjukkan (10 4)! bahwa permutasi dari n unsur yang berbeda kepada r unsur adalah n! (n r)!, dengan n! merupakan notasi untuk n faktorial yang didefinisikan dengan : 0! = 1 n! = n.(n - 1).(n - 2)..(3).(2).(1), untuk n 1. Dari definisi ini maka bisa diketahu bahwa 1! = 1, 2! = 2.1 = 2, 3! = = 6, 4! = = 24, dan seterusnya. Secara umum, jika ada n unsur yang dinotasikan a 1, a 2, a 3,, a n, dan ada sebuah bilangan asli r dengan 1 r n, maka berdasarkan Kaidah Perkalian, banyaknya jumlah susunan permutasi berukuran r unsur yang diambil dari n unsur adalah : n (n 1) (n 2) (n r + 1 ) = urutan I urutan II urutan III urutan ke r n (n 1) (n 2) (n r + 1 ) n r n r 1 (3)(2)(1) n r n r 1 (3)(2)(1) = n! (n r)!. Kemudian Permutasi dari n unsur kepada r unsur dinotasikan dengan P (n,r) dimana 0 r n. Pada contoh 2.4.2, permutasinya dinotasikan P(10,4) = 10! = 10! (10 4)! 6!

12 = ! 6! = = Sehingga secara umum, banyaknya Permutasi n unsur yang berbeda kepada r unsur dinotasikan dengan P (n,r) = n! (n r)! Selanjutnya, konsep Kombinasi dapat didefinisikan sebagai penyusunan n unsur yang berbeda menjadi berbagai bentuk/ukuran susunan tanpa memperhatikan urutan unsur unsur pada susunan itu. Dari definisi ini dapat dipahami bahwa pada Kombinasi, urutan unsur adalah hal yang tidak penting sehingga dapat diabaikan. Hal yang dapat membedakan antara suatu susunan dengan susunan lainnya adalah hanya unsur unsur pada susunan itu sedangkan apabila semua unsur unsur dari beberapa susunan adalah sama maka susunan susunan itu dianggap sama walaupun mungkin urutan unsur unsur antara satu susunan dengan susunan lainnya berbeda. Secara umum, banyaknya Kombinasi n unsur yang berbeda kepada r unsur dinotasikan dengan C (n, r) = P (n,r) r! = n! r! (n r)! Contoh : Di dalam suatu kelas terdapat 10 orang siswa yang akan dipilih sebanyak 4 orang untuk diutus menjadi peserta olimpiade matematika. Ada berapakah semua susunan yang mungkin untuk keempat peserta tersebut? Jawaban : Untuk menjawab persoalan ini maka perlu disusun dulu jumlah kemungkinan dari keempat peserta yang akan dipilih. Adapun susunannya adalah : 10 siswa 9 siswa 8 siswa 7 siswa urutan I urutan II urutan III urutan IV

13 Persoalan ini sekilas mirip dengan persoalan Permutasi pada contoh 2.4.2, namun persoalan ini adalah persoalan yang berbeda karena merupakan soal Kombinasi karena pada persoalan ini susunan unsur unsur menjadi tidak penting dan dapat diabaikan. Dengan pengabaian ini maka susunan susunan yang keseluruhan unsur unsurnya sama maka susunan susunan tersebut dianggap sama. Maka jumlah kemungkinan susunan Kombinasi ini adalah C (10,4) = kemungkinan susunan. P (10,4) 4! = 10! 4! (10 4)! = 10! 4! 6! = 210 Teorema 2.1 Andaikan x dan y adalah variabel variabel dan n adalah bilangan bulat positif, maka : (x + y) n = C (n, 0)x 0 y n + C (n, 1)x 1 y n 1 + C (n, 2)x 2 y n C (n, n 1)x n 1 y 1 + C (n, n)x n y 0 n = n k xk y n k (Grimaldi, 1985:14) k=0 Selanjutnya apabila pada teorema binomial diatas dimasukkan nilai nilai x = 1 dan y = 1 maka akan menghasilkan : (x + y) n = C (n, 0)1 0 1 n + C (n, 1)1 1 1 n 1 + C (n, 2)1 2 1 n C (n, n 1)1 n C (n, n)1 n 1 0 = C (n, 0) C (n, 1) C (n, 2) C (n, n 1) C (n, n). 1.1 = C (n, 0) + C (n, 1) + C (n, 2) + + C (n, n 1) + C (n, n) n = k=0 C (n, k) = (1 + 1) n = 2 n (Budhi, 2003:221) Atau persamaan tersebut secara sederhana dapat ditulis : n k=0 C (n, k) = C (n, 0) + C (n, 1) + C (n, 2) + + C (n, n 1) + C (n, n) = 2 n

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan

BAB I PENDAHULUAN. dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang. Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Penugasan Sebagai Masalah Matching Bobot Maksimum Dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel

BAB 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Penugasan Sebagai Masalah Matching Bobot Maksimum Dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Penugasan Sebagai Masalah Matching Bobot Maksimum Dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel Teori Dasar Graf Graf G adalah pasangan himpunan (V,E) di mana V adalah himpunan dari vertex

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI 15 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Graf Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. himpunan bagian bilangan cacah yang disebut label. Pertama kali diperkenalkan

BAB I PENDAHULUAN. himpunan bagian bilangan cacah yang disebut label. Pertama kali diperkenalkan 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan

Lebih terperinci

G r a f. Pendahuluan. Oleh: Panca Mudjirahardjo. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.

G r a f. Pendahuluan. Oleh: Panca Mudjirahardjo. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. G r a f Oleh: Panca Mudjirahardjo Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. 1 Pendahuluan Jaringan jalan raya di propinsi Jawa Tengah

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan dimana: 1. adalah sebuah himpunan tidak kosong yang berhingga yang anggotaanggotanya

Lebih terperinci

TEORI GRAF UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Selasa, 13 Desember 2016

TEORI GRAF UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Selasa, 13 Desember 2016 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER TEORI GRAF ILHAM SAIFUDIN Selasa, 13 Desember 2016 Universitas Muhammadiyah Jember Pendahuluan 1 OUTLINE 2 Definisi Graf

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan penelitian yang dilakukan. 2.1. Konsep Dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut

Lebih terperinci

LOGIKA DAN ALGORITMA

LOGIKA DAN ALGORITMA LOGIKA DAN ALGORITMA DASAR DASAR TEORI GRAF Kelahiran Teori Graf Sejarah Graf : masalah jembatan Königsberg (tahun 736) C A D B Gbr. Masalah Jembatan Königsberg Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg

Lebih terperinci

Bab 2 LANDASAN TEORI

Bab 2 LANDASAN TEORI Bab LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori teori yang berhubungan dengan penelitian sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Simulasi Sistem didefinisikan sebagai sekumpulan entitas baik manusia ataupun mesin yang yang saling berinteraksi untuk mencapai tujuan tertentu. Dalam prakteknya,

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI.. Definisi Graf Secara matematis, graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum memulai pembahasan lebih lanjut, pertama-tama haruslah dijelaskan apa yang dimaksud dengan traveling salesman problem atau dalam bahasa Indonesia disebut sebagai persoalan

Lebih terperinci

BAB II MODEL KOMPUTASI FINITE STATE MACHINE. Pada Bab II akan dibahas teori dasar matematika yang digunakan

BAB II MODEL KOMPUTASI FINITE STATE MACHINE. Pada Bab II akan dibahas teori dasar matematika yang digunakan BAB II MODEL KOMPUTASI FINITE STATE MACHINE Pada Bab II akan dibahas teori dasar matematika yang digunakan dalam pemodelan sistem kontrol elevator ini, yaitu mengenai himpunan, relasi, fungsi, teori graf

Lebih terperinci

Dasar-Dasar Teori Graf. Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013

Dasar-Dasar Teori Graf. Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013 Dasar-Dasar Teori Graf Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013 Teori Graf Teori Graf mulai dikenal saat matematikawan kebangsaan Swiss bernama Leonhard Euler, yang berhasil mengungkapkan Misteri

Lebih terperinci

APLIKASI PEWARNAAN SIMPUL GRAF UNTUK MENGATASI KONFLIK PENJADWALAN MATA KULIAH DI FMIPA UNY

APLIKASI PEWARNAAN SIMPUL GRAF UNTUK MENGATASI KONFLIK PENJADWALAN MATA KULIAH DI FMIPA UNY APLIKASI PEWARNAAN SIMPUL GRAF UNTUK MENGATASI KONFLIK PENJADWALAN MATA KULIAH DI FMIPA UNY Latar belakang Masalah Pada setiap awal semester bagian pendidikan fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Universitas

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Lahirnya teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler seorang matematikawan berkembangsaan Swiss pada tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang

Lebih terperinci

Graph. Politeknik Elektronika Negeri Surabaya

Graph. Politeknik Elektronika Negeri Surabaya Graph Politeknik Elektronika Negeri Surabaya Pengantar Teori graph merupakan pokok bahasan yang memiliki banyak penerapan. Graph digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek diskrit dan hubungan antar

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Definisi dan Istilah Dalam Teori Graf

Lebih terperinci

APLIKASI PEWARNAAN GRAF PADA PENGATURAN LAMPU LALU LINTAS

APLIKASI PEWARNAAN GRAF PADA PENGATURAN LAMPU LALU LINTAS APLIKASI PEWARNAAN GRAF PADA PENGATURAN LAMPU LALU LINTAS Muhammad Farhan 13516093 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung

Lebih terperinci

TEORI GRAF DALAM MEREPRESENTASIKAN DESAIN WEB

TEORI GRAF DALAM MEREPRESENTASIKAN DESAIN WEB TEORI GRAF DALAM MEREPRESENTASIKAN DESAIN WEB STEVIE GIOVANNI NIM : 13506054 Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung Jln, Ganesha 10, Bandung

Lebih terperinci

II.TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung

II.TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung II.TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung dalam penelitian ini. 2.1. Konsep Dasar Teori Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI. Teori Graf Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf (Graph) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dalam bentuk G = {V(G), E(G)}, dimana V(G) adalah himpunan vertex (simpul) yang tidak kosong

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Secara garis besar ilmu statistik dibagi menjadi dua bagian yaitu:

BAB 2 LANDASAN TEORI. Secara garis besar ilmu statistik dibagi menjadi dua bagian yaitu: BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pembagian Ilmu Statistik Secara garis besar ilmu statistik dibagi menjadi dua bagian yaitu: 1. Statistik Parametrik Statistik parametrik adalah ilmu statistik yang digunakan untuk

Lebih terperinci

Aplikasi Algoritma Dijkstra dalam Pencarian Lintasan Terpendek Graf

Aplikasi Algoritma Dijkstra dalam Pencarian Lintasan Terpendek Graf Aplikasi Algoritma Dijkstra dalam Pencarian Lintasan Terpendek Graf Nur Fajriah Rachmah - 0609 Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jalan

Lebih terperinci

GRAF. V3 e5. V = {v 1, v 2, v 3, v 4 } E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } E = {(v 1,v 2 ), (v 1,v 2 ), (v 1,v 3 ), (v 2,v 3 ), (v 3,v 3 )}

GRAF. V3 e5. V = {v 1, v 2, v 3, v 4 } E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } E = {(v 1,v 2 ), (v 1,v 2 ), (v 1,v 3 ), (v 2,v 3 ), (v 3,v 3 )} GRAF Graf G(V,E) didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), dengan V adalah himpunan berhingga dan tidak kosong dari simpul-simpul (verteks atau node). Dan E adalah himpunan berhingga dari busur (vertices

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. definisi, teorema, serta istilah yang diperlukan dalam penelitian ini. Pada bab ini

BAB II LANDASAN TEORI. definisi, teorema, serta istilah yang diperlukan dalam penelitian ini. Pada bab ini 4 BAB II LANDASAN TEORI Setiap permasalahan yang akan dicari cara penyelesaiannya terlebih dahulu dibuat rumusan masalah, demikian pula dengan matematika. Untuk mengetahui lebih lanjut tentang pembahasan

Lebih terperinci

II. KONSEP DASAR PELUANG

II. KONSEP DASAR PELUANG II. KONSEP DASAR PELUANG Teori Peluang memberikan cara pengukuran kuantitatif tentang kemungkinan munculnya suatu kejadian tertentu dalam suatu percobaan/peristiwa. Untuk dapat menghitung peluang lebih

Lebih terperinci

Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs. Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika

Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs. Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika 16/12/2015 2 Sub Topik A. Graf dan Model Graf B. Terminologi Dasar Graf dan Jenis

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini.

LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 6 II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada sub bab ini akan diberikan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Untuk menjelaskan pelabelan analytic mean pada graf bayangan dari graf bintang K 1,n dan graf bayangan dari graf bistar B n,n perlu adanya beberapa teori dasar yang akan menunjang

Lebih terperinci

Graf. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP

Graf. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP Graf Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan

Lebih terperinci

Aplikasi Pewarnaan Graf untuk Sistem Penjadwalan On-Air Stasiun Radio

Aplikasi Pewarnaan Graf untuk Sistem Penjadwalan On-Air Stasiun Radio Aplikasi Pewarnaan Graf untuk Sistem Penjadwalan On-Air Stasiun Radio Muhamad Irfan Maulana - 13515037 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI 5 BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Menurut catatan sejarah, masalah jembatan KÖnigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf (tahun 1736). Di kota KÖnigsberg (sebelah timur Negara bagian

Lebih terperinci

LATIHAN ALGORITMA-INTEGER

LATIHAN ALGORITMA-INTEGER LATIHAN ALGORITMA-INTEGER Nyatakan PBB(295,70) = 5 sebagai kombinasi lanjar 295 dan 70 Tentukan inversi dari 27(mod 7) Tentukan solusi kekongruenan lanjar dari 27.x kongruen 1(mod 7) dengan cara 1 ( cara

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar

Lebih terperinci

Graf dan Analisa Algoritma. Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017

Graf dan Analisa Algoritma. Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017 Graf dan Analisa Algoritma Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017 Who Am I? Stya Putra Pratama, CHFI, EDRP Pendidikan - Universitas Gunadarma S1-2007 Teknik Informatika S2-2012

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Lahirnya teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler seorang matematikawan berkebangsaan Swiss pada Tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang

Lebih terperinci

PEWARNAAN GRAF SEBAGAI METODE PENJADWALAN KEGIATAN PERKULIAHAN

PEWARNAAN GRAF SEBAGAI METODE PENJADWALAN KEGIATAN PERKULIAHAN PEWARNAAN GRAF SEBAGAI METODE PENJADWALAN KEGIATAN PERKULIAHAN Eric Cahya Lesmana - 13508097 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung Jalan Ganesa

Lebih terperinci

PELUANG. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI. Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.

PELUANG. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI. Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PELUANG Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Created By Ita Yuliana 13 Peluang Kompetensi Dasar 1. Menggunakan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 6 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengertian Algoritma Menurut (Suarga, 2012 : 1) algoritma: 1. Teknik penyusunan langkah-langkah penyelesaian masalah dalam bentuk kalimat dengan jumlah kata terbatas tetapi tersusun

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Bab Konsep Dasar Graf. Definisi Graf

LANDASAN TEORI. Bab Konsep Dasar Graf. Definisi Graf Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graf Definisi Graf Suatu graf G terdiri atas himpunan yang tidak kosong dari elemen elemen yang disebut titik atau simpul (vertex), dan suatu daftar pasangan vertex

Lebih terperinci

Pemanfaatan Algoritma Sequential Search dalam Pewarnaan Graf untuk Alokasi Memori Komputer

Pemanfaatan Algoritma Sequential Search dalam Pewarnaan Graf untuk Alokasi Memori Komputer Pemanfaatan Algoritma Sequential Search dalam Pewarnaan Graf untuk Alokasi Memori Komputer Vivi Lieyanda - 13509073 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi

Lebih terperinci

PENDAHULUAN MODUL I. 1 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013 Blog: 1.

PENDAHULUAN MODUL I. 1 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013 Blog:    1. MODUL I PENDAHULUAN 1. Sejarah Graph Teori Graph dilaterbelakangi oleh sebuah permasalahan yang disebut dengan masalah Jembatan Koningsberg. Jembatan Koningsberg berjumlah tujuh buah yang dibangun di atas

Lebih terperinci

Analogi Pembunuhan Berantai Sebagai Graf Dalam Investigasi Kasus

Analogi Pembunuhan Berantai Sebagai Graf Dalam Investigasi Kasus Analogi Pembunuhan Berantai Sebagai Graf Dalam Investigasi Kasus Elmo Dery Alfared NIM: 00 Program Studi Teknik Informatika ITB, Institut Teknologi Bandung email: if0 @students.itb.ac.id Abstract Makalah

Lebih terperinci

Graf. Matematika Diskrit. Materi ke-5

Graf. Matematika Diskrit. Materi ke-5 Graf Materi ke-5 Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya

Lebih terperinci

Aplikasi Kombinatorial dan Peluang Diskrit dalam Permainan Dadu Cee-Lo

Aplikasi Kombinatorial dan Peluang Diskrit dalam Permainan Dadu Cee-Lo Aplikasi Kombinatorial dan Peluang Diskrit dalam Permainan Dadu Cee-Lo Hendy - 13507011 Jurusan Teknik Informatika, ITB, Bandung 40116, email: if17011@students.if.itb.ac.id Abstract Makalah ini membahas

Lebih terperinci

Pertemuan 11. Teori Graf

Pertemuan 11. Teori Graf Pertemuan 11 Teori Graf Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan

Lebih terperinci

Peluang Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi dalam Pemecahan Masalah Ruang Sampel Suatu Percobaan Peluang Suatu Kejadian dan Penafsirannya

Peluang Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi dalam Pemecahan Masalah Ruang Sampel Suatu Percobaan Peluang Suatu Kejadian dan Penafsirannya 2 Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi dalam ; Pemecahan Masalah Ruang Sampel Suatu Percobaan ; Suatu Kejadian dan Penafsirannya ; Pada era demokrasi saat ini untuk menduduki suatu jabatan tertentu

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Sebuah graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), dengan V

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Sebuah graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), dengan V BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Pengertian Graf Sebuah graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), dengan V adalah himpunan tak kosong dari simpul-simpul (vertices) pada G. Sedangkan E adalah himpunan

Lebih terperinci

Graf dan Pengambilan Rencana Hidup

Graf dan Pengambilan Rencana Hidup Graf dan Pengambilan Rencana Hidup M. Albadr Lutan Nasution - 13508011 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung e-mail: albadr.ln@students.itb.ac.id

Lebih terperinci

BAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf

BAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan

Lebih terperinci

Aplikasi Pewarnaan Graf Pada Pengaturan Warna Lampu Lalu Lintas

Aplikasi Pewarnaan Graf Pada Pengaturan Warna Lampu Lalu Lintas Aplikasi Pewarnaan Graf Pada Pengaturan Warna Lampu Lalu Lintas Andreas Dwi Nugroho (13511051) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha

Lebih terperinci

Aplikasi Graf pada Hand Gestures Recognition

Aplikasi Graf pada Hand Gestures Recognition Aplikasi Graf pada Hand Gestures Recognition Muthmainnah 13515059 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI II LNSN TEORI Landasan teori dalam penyusunan tugas akhir ini menggunakan beberapa teori pendukung yang akan digunakan untuk menentukan lintasan terpendek pada jarak esa di Kecamatan Rengat arat. 2.1 Graf

Lebih terperinci

Bab 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

Bab 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah Bab 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Teori graf merupakan pokok bahasan yang memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf di gunakan untuk merepresentasikan objek objek diskrit dan hubungan antara

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan

II. LANDASAN TEORI. Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan 4 II. LANDASAN TEORI Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan Konisberg yang kemudian menghasilkan konsep graf Eulerian merupakan awal dari lahirnya teori graf. Euler mengilustrasikan

Lebih terperinci

Penggunaan Graf Semi-Hamilton untuk Memecahkan Puzzle The Hands of Time pada Permainan Final Fantasy XIII-2

Penggunaan Graf Semi-Hamilton untuk Memecahkan Puzzle The Hands of Time pada Permainan Final Fantasy XIII-2 Penggunaan Graf Semi-Hamilton untuk Memecahkan Puzzle The Hands of Time pada Permainan Final Fantasy XIII-2 Michael - 13514108 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut

Lebih terperinci

PELUANG. Permutasi dengan beberapa elemen yang sama: Dari n obyek terdapat n

PELUANG. Permutasi dengan beberapa elemen yang sama: Dari n obyek terdapat n PELUANG Bab 11 1. Faktorial Faktorial adalah perkalian bilangan asli berurutan Hasil perkalian dari n bilangan asli pertama yang terurut dikatakan sebagai n faktorial (n!) n! n( n 1)( n 2)...3.2.1 5! =

Lebih terperinci

L/O/G/O KOMBINATORIK. By : ILHAM SAIFUDIN

L/O/G/O KOMBINATORIK. By : ILHAM SAIFUDIN L/O/G/O KOMBINATORIK By : ILHAM SAIFUDIN Senin, 09 Mei 2016 1.2 Kaidah Dasar menghitung BAB 4. KOMBINATORIK 1.1 Pendahuluan 1.2 Kaidah Dasar Menghitung 1.3 Permutasi 1.4 Kombinasi 1.5 Permutasi dan Kombinasi

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Terminologi graf Tereminologi termasuk istilah yang berkaitan dengan graf. Di bawah ini akan dijelaskan beberapa definisi yang sering dipakai terminologi. 2.1.1 Graf Definisi

Lebih terperinci

Bab 11 PELUANG. Contoh : 5! = = 120

Bab 11 PELUANG. Contoh : 5! = = 120 PELUANG Bab 11 1. Faktorial Faktorial adalah perkalian bilangan asli berurutan Hasil perkalian dari n bilangan asli pertama yang terurut dikatakan sebagai n faktorial (n!) n! n( n 1)( n 2)...3.2.1 5! =

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Graf adalah salah satu metode yang sering digunakan untuk mencari solusi dari permasalahan diskrit dalam dunia nyata. Dalam kehidupan sehari-hari, graf digunakan untuk

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar dalam teori graf dan teknik

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar dalam teori graf dan teknik II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar dalam teori graf dan teknik pencacahan dalam bentuk definisi dan teorema yang berhubungan dengan penelitian yang akan dilakukan. 2.1

Lebih terperinci

OPERASI PADA GRAF FUZZY

OPERASI PADA GRAF FUZZY OPERASI PADA GRAF FUZZY Budi Setiawan, Prof. Dr. Dwi Juniati, M.Si. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Surabaya Jalan Ketintang Surabaya 60231 Email: b_diset@yahoo.com,

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Graf Menurut Foulds (1992) graf G adalah pasangan terurut (VV,) dimana V adalah himpunan simpul yang berhingga dan tidak kosong. Dan E adalah himpunan sisi yang merupakan pasangan

Lebih terperinci

PENENTUAN ANGGOTA KELAS RAMSEY MINIMAL UNTUK PASANGAN (2K 2, C 4 )

PENENTUAN ANGGOTA KELAS RAMSEY MINIMAL UNTUK PASANGAN (2K 2, C 4 ) Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 4 Hal. 83 90 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENENTUAN ANGGOTA KELAS RAMSEY MINIMAL UNTUK PASANGAN (2K 2, C 4 ) LIZA HARIYANI Program Studi Matematika,

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORITIS

BAB 2 LANDASAN TEORITIS xvi BAB 2 LANDASAN TEORITIS Dalam penulisan laporan tugas akhir ini, penulis akan memberikan beberapa pengertian yang berhubungan dengan judul penelitian yang penulis ajukan, karena tanpa pengertian yang

Lebih terperinci

= himpunan tidak-kosong dan berhingga dari simpul-simpul (vertices) = himpunan sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul

= himpunan tidak-kosong dan berhingga dari simpul-simpul (vertices) = himpunan sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul Struktur Data Graf 1. PENDAHULUAN Dalam bidang matematika dan ilmu komputer, teori graf mempelajari tentang graf yaitu struktur yang menggambarkan relasi antar objek dari sebuah koleksi objek. Definisi

Lebih terperinci

HAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU. Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.

HAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU. Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si. HAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan

II. TINJAUAN PUSTAKA. Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan 5 II. TINJAUAN PUSTAKA Definisi 2.1 Graf (Deo,1989) Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan tak kosong dengan elemen-elemennya disebut vertex, sedangkan E(G)

Lebih terperinci

Pengaplikasian Graf dalam Pendewasaan Diri

Pengaplikasian Graf dalam Pendewasaan Diri Pengaplikasian Graf dalam Pendewasaan Diri Syafira Fitri Auliya 13510088 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,

Lebih terperinci

Algoritma Prim sebagai Maze Generation Algorithm

Algoritma Prim sebagai Maze Generation Algorithm Algoritma Prim sebagai Maze Generation Algorithm Muhammad Ecky Rabani/13510037 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung

Lebih terperinci

Aplikasi Pewarnaan Graf pada Penjadwalan Pertandingan Olahraga Sistem Setengah Kompetisi

Aplikasi Pewarnaan Graf pada Penjadwalan Pertandingan Olahraga Sistem Setengah Kompetisi Aplikasi Pewarnaan Graf pada Penjadwalan Pertandingan Olahraga Sistem Setengah Kompetisi Ryan Yonata (13513074) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi

Lebih terperinci

Penerapan Kombinatorial dan Peluang Diskrit dalam Double Down Pada BlackJack

Penerapan Kombinatorial dan Peluang Diskrit dalam Double Down Pada BlackJack Penerapan Kombinatorial dan Peluang Diskrit dalam Double Down Pada BlackJack Sanrio Hernanto - 13507019 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung

Lebih terperinci

Menyelesaikan Topological Sort Menggunakan Directed Acyclic Graph

Menyelesaikan Topological Sort Menggunakan Directed Acyclic Graph Menyelesaikan Topological Sort Menggunakan Directed Acyclic Graph Muhammad Afif Al-hawari (13510020) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,

Lebih terperinci

Probabilitas dan Statistika Ruang Sampel. Adam Hendra Brata

Probabilitas dan Statistika Ruang Sampel. Adam Hendra Brata dan Statistika Ruang Adam Hendra Brata adalah suatu ilmu untuk memprediksi suatu kejadian (event) atau dapat disebut peluang suatu kejadian berdasarkan pendekatan matematis. Dengan ilmu probabilitas, kita

Lebih terperinci

Gugus dan Kombinatorika

Gugus dan Kombinatorika Bab 1 Gugus dan Kombinatorika 1.1 Gugus Gugus, atau juga disebut himpunan adalah kumpulan objek. Objek dalam sebuah himpunan disebut anggota atau unsur. Penulisan himpunan dapat dilakukan dengan dua cara,

Lebih terperinci

ANALISIS JARINGAN LISTRIK DI PERUMAHAN JEMBER PERMAI DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PRIM

ANALISIS JARINGAN LISTRIK DI PERUMAHAN JEMBER PERMAI DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PRIM ANALISIS JARINGAN LISTRIK DI PERUMAHAN JEMBER PERMAI DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PRIM SKRIPSI diajukan guna melengkapi tugas akhir dan memenuhi salah satu syarat untuk menyelesaikan Program Studi Pendidikan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. disebut vertex, sedangkan E(G) (mungkin kosong) adalah himpunan tak terurut dari

II. TINJAUAN PUSTAKA. disebut vertex, sedangkan E(G) (mungkin kosong) adalah himpunan tak terurut dari II. TINJAUAN PUSTAKA Definisi 2.1 Graf Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) himpunan tak kosong dengan elemenelemenya disebut vertex, sedangkan E(G) (mungkin kosong) adalah himpunan tak terurut

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?

Lebih terperinci

Penerapan Travelling Salesman Problem dalam Penentuan Rute Pesawat

Penerapan Travelling Salesman Problem dalam Penentuan Rute Pesawat Penerapan Travelling Salesman Problem dalam Penentuan Rute Pesawat Aisyah Dzulqaidah 13510005 1 Program Sarjana Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha

Lebih terperinci

MEMBANDINGKAN KEMANGKUSAN ALGORITMA PRIM DAN ALGORITMA KRUSKAL DALAM PEMECAHAN MASALAH POHON MERENTANG MINIMUM

MEMBANDINGKAN KEMANGKUSAN ALGORITMA PRIM DAN ALGORITMA KRUSKAL DALAM PEMECAHAN MASALAH POHON MERENTANG MINIMUM MEMBANDINGKAN KEMANGKUSAN ALGORITMA PRIM DAN ALGORITMA KRUSKAL DALAM PEMECAHAN MASALAH POHON MERENTANG MINIMUM Pudy Prima (13508047) Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika

Lebih terperinci

Kode MK/ Matematika Diskrit

Kode MK/ Matematika Diskrit Kode MK/ Matematika Diskrit TEORI GRAF 1 8/29/2014 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/2014 1 TEORI GRAF Tujuan Mahasiswa memahami konsep

Lebih terperinci

Pertemuan 14. Kombinatorial

Pertemuan 14. Kombinatorial Pertemuan 14 Kombinatorial 1 Pendahuluan Sebuah kata-sandi (password) panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan kata-sandi yang dapat dibuat? abcdef

Lebih terperinci

Kombinatorial. Oleh: Panca Mudjirahardjo. Definisi dan tujuan. Kombinatorial adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek

Kombinatorial. Oleh: Panca Mudjirahardjo. Definisi dan tujuan. Kombinatorial adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek Kombinatorial Oleh: Panca Mudjirahardjo Definisi dan tujuan Kombinatorial adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek Menentukan jumlah cara pengaturan objek tersebut 1 Ilustrasi 1

Lebih terperinci

PELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR. Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2

PELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR. Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2 PELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2 1,2 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang

Lebih terperinci

Penggunaan Algoritma Dijkstra dalam Penentuan Lintasan Terpendek Graf

Penggunaan Algoritma Dijkstra dalam Penentuan Lintasan Terpendek Graf Penggunaan Algoritma Dijkstra dalam Penentuan Lintasan Terpendek Graf Rahadian Dimas Prayudha - 13509009 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 39 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Teori Graf 2.1.1 Definisi Graf Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang paling banyak aplikasinya dalam kehidupan sehari hari. Salah satu bentuk dari graf adalah

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), ditulis dengan notasi G=(V,E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices

Lebih terperinci

Graf Sosial Aplikasi Graf dalam Pemetaan Sosial

Graf Sosial Aplikasi Graf dalam Pemetaan Sosial Graf Sosial Aplikasi Graf dalam Pemetaan Sosial Muhammad Kamal Nadjieb - 13514054 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung

Lebih terperinci

8/29/2014. Kode MK/ Nama MK. Matematika Diskrit 2 8/29/2014

8/29/2014. Kode MK/ Nama MK. Matematika Diskrit 2 8/29/2014 Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 1 8/29/2014 2 8/29/2014 1 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 3 8/29/2014 3 KOMBINATORIAL Tujuan 1.Mahasiswa

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. dari suatu graf G disebut himpunan titik G, dinotasikan dengan V(G) dan

BAB I PENDAHULUAN. dari suatu graf G disebut himpunan titik G, dinotasikan dengan V(G) dan BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf merupakan salah satu bidang bahasan matematika yang mempelajari tentang himpunan titik yang dihubungkan oleh himpunan sisi. Suatu Graf G terdiri atas himpunan

Lebih terperinci

Penerapan Pohon Keputusan pada Penerimaan Karyawan

Penerapan Pohon Keputusan pada Penerimaan Karyawan Penerapan Pohon Keputusan pada Penerimaan Karyawan Mathias Novianto - 13516021 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Bagian ini menjelaskan tentang hal-hal yang erat kaitannya dengan masalah m- ring star. Salah satu cabang matematika yang cukup penting dan sangat luas penerapannya di banyak bidang

Lebih terperinci

Diktat Algoritma dan Struktur Data 2

Diktat Algoritma dan Struktur Data 2 BB X GRF Pengertian Graf Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunana verteks atau titik (V) dan edges atau titik (E). Verteks merupakan himpunan berhingga dan tidak kosongdari simpul-simpul (vertices

Lebih terperinci

Pengantar Matematika Diskrit

Pengantar Matematika Diskrit Pengantar Matematika Diskrit Referensi : Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, Informatika Bandung 2005 1 Matematika Diskrit? Bagian matematika yang mengkaji objek-objek diskrit Benda disebut diskrit jika

Lebih terperinci