L/O/G/O KOMBINATORIK. By : ILHAM SAIFUDIN

Transkripsi

1 L/O/G/O KOMBINATORIK By : ILHAM SAIFUDIN Senin, 09 Mei 2016

2 1.2 Kaidah Dasar menghitung BAB 4. KOMBINATORIK 1.1 Pendahuluan 1.2 Kaidah Dasar Menghitung 1.3 Permutasi 1.4 Kombinasi 1.5 Permutasi dan Kombinasi bentuk Umum 1.6 Kombinasi dengan pengulangan 1.7 Koefisien Binomial

3 1.1 Pendahuluan Kombinatorik merupakan studi tentang pengaturan objek-objek, yaitu pemasangan, pengelompokan, pengurutan, pemilihan, atau penempatan objek-objek dengan karakteristik tertentu. Contoh: 1. Berapa banyak cara menyusun nomor kendaraan bermotor yang terdiri atas dua huruf dan diikuti 4 angka? 2. Berapa angka yang muncul pada pelemparan dadu? 3. Berapa banyak kemungkinan 5 susunan huruf jika didalam susunan tersebut tidak boleh ada huruf yang berulang?

4 1.2 Kaidah Dasar menghitung 1 Kaidah Perkalian (rule of product) Percobaan 1 : a Percobaan 2 : b Hasil percobaan 1 dan percobaan 2 : a x b Untuk n percobaan dengan a i, maka berlaku : a 1 a 2 a n 2 Kaidah Penjumlahan (rule of sum) Percobaan 1 : a Percobaan 2 : b Hasil percobaan 1 atau percobaan 2 : a + b Untuk n percobaan dengan a i, maka berlaku : a 1 + a a n

5 1.2 Kaidah Dasar menghitung Contoh: 1 Diketahui bit biner hanya 0 dan 1. Tentukan banyak string biner jika: a. Panjang string 4 bit b. Panjang string 7 bit Jawab: a = 2 4 = 16 buah b. 2 7 = 128 buah 2 Diketahui mahasiswa TI yang menempuh matdis yaitu mahasiswa laki-laki sebanyak 30 dan perempuan sebanyak 10. Dua orang mahasiswa akan diikutkan lomba KTI. Berapa banyak cara memilih 2 perwakilan tersebut? Jawab: = 300

6 1.3 Permutasi Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objekobjek. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian. Misalkan jumlah objek adalah n, maka Urutan pertama dipilih n objek Urutan kedua dipilih n 1 objek Urutan ketiga dipilih n 2 objek Urutan terakhir dipilih dari 1 objek tersisa Sehingga permutasi dari n objek adalah n n 1 n 2 1 = n!

7 1.3 Permutasi Contoh: 1 Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata KOMPUTER? Jawab : P 8,8 = 8! = kata 2 Berapa cara mengurutkan nama 45 orang mahasiswa? Jawab : P 45,45 = 45! kata

8 BAB I. PENDAHULUAN Permutasi r dari n elemen Definisi Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan r n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama, n! P n, r = n n 1 n 2 n r 1 = n r!

9 BAB I. PENDAHULUAN Permutasi r dari n elemen Contoh: Berapakah jumlah kemungkinan dapat membentuk 4 angka dari 5 angka yaitu 1,2,3,4,5, jika: -Boleh ada pengulangan angka -Tidak boleh ada pengulangan angka Jawab : -Menggunakan kaidah perkalian: = 5 4 = 625 -Dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3)(2)=120 buah -Dengan rumus permutasi: 5! P 5,4 = 5 4! = 120

10 BAB I. PENDAHULUAN Permutasi r dari n elemen Bola Wadah Ada enam buah bola yang berbeda warna dan 3 buah wadah. Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam wadah terdebut? Jawab: Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola =(6)(5)(4)=120 Maka jumlah urutan berbeda dari penempatan bola dengan n buah bola dan r buah kotak (r n) : n n 1 n 2 (n (r 1))

11 1.4 Kombinasi Definisi. Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C(n, r) adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemet yang diambil dari n buah elemen. Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika permutasi, urutan kemunculan diperhitungkan. Sedangkan kombinasi, urutan kemunculan diabaikan. Secara umum dapat dirumuskan : C n, r = n n 1 n 2 (n (r 1)) r! = n! r! n r! C(n, r) sering dibaca n diambil r artinya r objek diambil dari n buah objek.

12 1.5 Permuatasi dan Kombinasi Bentuk umum Contoh: Misalkan ada n buah bola yang tidak seluruhnya berbeda warna (jadi, ada beberapa bola yang berwarna sama). n 1 bola diantaranya berwarna 1, n 2 bola diantaranya berwarna 2, n k bola diantaranya berwarna k dan n 1 + n 2 + n k = n Berapa jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut (tiap kotak maksimal 1 buah bola)? Jika n buah bola itu dianggap berbeda semua, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah P n, n = n!

13 1.5 Permuatasi dan Kombinasi Bentuk umum Rumus: Permutasi n buah bola yang mana n 1 diantaranya berwarna 1, n 2 bola berwarna 2,..., n k bola berwarna k adalah P(n, n) P n; n 1, n 2,, n k = n 1! n 2! n k! = n! n 1! n 2! n k! Jumlah cara pengaturan seluruh bola ke dalam kotak : C n; n 1, n 2,, n k = C n, n 1 C n n 1, n 2 C n n 1 n 2, n 3 C(n n 1 n 2 n k 1, n k ) Sehingga = = n! n 1!(n n 1 )! n! n 1!n 2! n k! (n n 1 )! (n n 1 n 2 n k 1 )! n 2!(n n 1 n 2 )! n k!(n n 1 n 2 n k 1 n k )! P n; n 1, n 2,, n k = C n; n 1, n 2,, n k = n! n 1! n 2! n k!

14 1.5 Permuatasi dan Kombinasi Bentuk umum Contoh: Berapa banyak kata yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI? Jawab : S = *M, I, S, S, I, S, S, I, P, P, I+ Huruf M = 1 buah Huruf I = 4 buah Huruf S = 4 buah Huruf P = 2 buah n = = 11 = S, maka Jumlah string= P(11; 1,4,4,2) = 11! 1!4!4!2! = 34650

15 1.6 Kombinasi dengan pengulangan Misalnya terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dengan n buah kotak. I. Masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu buah bola. Jumlah memasukkan bola : C(n, r). II. Masing-masing kotak boleh lebih dari satu buah bola (tidak ada pembatan jumlah bola ). Jumlah cara memasukkan bola: C n + r 1, r = C(n + r 1, n 1)

16 1.6 Kombinasi dengan pengulangan Contoh: 1. Pada persamaan x 1 + x 2 + x 3 = 10, x i adalah bilangan bulat > 0. berapakah jumlah kemungkinan solusinya? Jawab : Analogi r = 10 diibaratkan bola dan dimasukkan ke dalam x 1, x 2, x 3 atau 3 buah kotak berarti n = 3. Misalkan : x 1 = 3 x 2 = 3 x 3 = 4 Maka x 1 +x 2 + x 3 = = 10 Sehingga ada C(n + r 1, r) = C( ,10) = C(12,10) =66

17 1.6 Koefisien Binomial Bentuk umum: (x + y) n = C n, 0 x n + C n, 1 x n 1 y C n, k x n k y k + + C n, n y n = C(n, k)x n k y k n k=0 Koefisien untuk x n k x k adalah c(n,k). Bilangan C(n,k) disebut koefisien binomial.

18 1.6 Koefisien Binomial Contoh: Tentukan penjabaran dari (2x 1) 4 dan tentukan suku ketiganya! Jawab: Misalkan a = 2x dan b = ( 1) Maka: (a + b) 4 = C 4,0 a 4 + C 4,1 a 3 b 1 + C 4,2 a 2 b 2 + C 4,3 a 1 b 3 + C 4,4 b 4 (a + b) 4 = 1a 4 + 4a 3 b 1 + 6a 2 b 2 + 4a 1 b 3 + 1b 4 (a + b) 4 = 16x 4 32x x 2 8x + 1 Suku ketiga dari (2x 1) 4 adalah C 4,2 a 2 b 2 = 6a 2 b 2 = 24x 2

19