E-BOOK METERI HAFALAN TPA (FOKUS TES MATEMATIKA)

Transkripsi

1 E-BOOK METERI HAFALAN TPA (FOKUS TES MATEMATIKA) Pustaka Widyatama 00

2 DASAR OPERASI BILANGAN DAN BILANGAN ROMAWI A. Hitung Campuran Urutan pengerjaan hitung campuran:. Jika dalam soal terdapat perkalian dan pembagian, maka kerjakan dari kiri ke kanan. 3 x ( 5) : 5 = ( 5) : 5 = ( 00) x 00 : 00 : ( 00) = ( 0000) : 00 : ( 00) = ( 00) : ( 00) =. Jika dalam soal terdapat perkalian, pembagian, penjumlahan, atau pengurangan, maka kerjakan perkalian atau pembagian dahulu, baru lanjutkan penjumlahan atau pengurangan. 38 x + 00 : = : = = Jika dalam soal terdapat tanda kurung, maka kerjakan yang ada di dalam tanda kurung terlebih dahulu x 008: 9 = (56 x ) (008: 9) = = = x (5 + 73) = (47 x 88) = = B. Bilangan Romawi Lambang Bilangan Romawi Asli I V X L C D M Aturan Penulisan a. Sistem Pengulangan Pengulangan paling banyak 3 kali. Bilangan Romawi yang boleh diulang I, X, C, dan M. Sedang yang tidak boleh diulang V dan L. III = 3 IIII 4 melainkan IV = 4 VV 0 melainkan X = 0 b. Sistem Pengurangan Jika bersebelahan, bilangan kanan harus lebih besar dari bilangan yang ada di sebelah kiri. Dilakukan paling banyak angka. IV = 5 = 4 IX = 0 = 9 XL = 50 0 = 40 CM = = 900 Pustaka Widyatama 00

3 c. Sistem Penjumlahan Jika bersebelahan, maka bilangan kanan harus lebih kecil dari bilangan yang ada di sebelah kiri. Dilakukan paling banyak 3 angka. VII = = 7 VIIII 9 (tidak diperbolehkan: 4 kali penambahan) XXXVIII = = 38 d. Penggabungan Penggabungan antara pengurangan dan penjumlahan XXIX = (0 ) = 9 MCMXCVII = (000 00) + (00 0) = 997 Tambahan Apabila suatu bilangan romawi diberi tanda setrip satu di atas maka dikalikan.000. Apabila bertanda setrip dua di atas, maka dikalikan V = 5 x.000 = C = 00 x = PECAHAN DAN PERSEN A. Pecahan Senilai Pecahan senilai adalah bilangan pecahan yang nilainya sama. x 3 6 a. = = 3 3 x x 4 6 b. = = 5 5 x 4 60 B. Menyederhanakan Pecahan Dengan menyederhanakan pecahan, akan didapatkan hasil yang terkecil dengan nilai yang sama. Syarat: a a x n c = = b b x n d a a : n c = = b b : n d a. Pembilang dan penyebut berangka besar dan masih dapat dibagi. b. Pembilang dan penyebut dibagi dengan angka yang sama. Pustaka Widyatama 00 3

4 c. Untuk menghasilkan hasil terkecil (sudah tidak bisa dibagi lagi), maka pembaginya adalah FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) dari pembilang dan penyebut. 4 =... FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) dari 4 dan adalah 4, maka pembilang dan penyebut dibagi dengan angka 4 untuk mendapatkan hasil yang terkecil. 4 4 : 4 = = Diperoleh: : 4 3 C. Mengubah Pecahan Pecahan Biasa Diubah ke Pecahan Campuran Syarat: Pembilang lebih besar dari penyebut Cara: Pembilang dibagi penyebut, hasil menjadi bilangan bulat dan sisanya sebagai pembilang. 5 a. = 5 : 3 = sisa, maka jawabannya : b. = 6 : 4 = 6 sisa, 4 maka jawabannya : 6 atau 6 4 Pecahan Campuran Diubah ke Pecahan Biasa Cara: Bilangan bulat dikalikan penyebut ditambahkan pembilang dan mengganti pembilang sebelumnya. b (a x c) + b a = c c 3 ( x 7) a. = = (0 x 3) + 6 b. 0 = = D. Operasi Hitung Pecahan Biasa. Penjumlahan Cara: Penyebut dari pecahan disamakan terlebih dahulu. Untuk menyamakan penyebut dapat menggunakan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari kedua penyebut = + = = Pengurangan Cara: Sama halnya dengan penjumlahan, penyebut dari pecahan disamakan terlebih dahulu. Untuk menyamakan penyebut dapat menggunakan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari kedua penyebut. 4 Pustaka Widyatama 00

5 = 4 = = (3 ) + = Perkalian Cara: Mengalikan di kedua bagian secara langsung, pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. 3 3 x 3 a. x = = 4 4 x 8 Sedang untuk mempercepat, bila ada yang dapat diperkecil antara pembilang dan penyebut, maka dapat disederhanakan terlebih dahulu. b x 3 = Pembagian Cara: Untuk mendapatkan hasil bagi, maka harus diubah menjadi perkalian terlebih dahulu. Untuk mengubah ke perkalian, pecahan yang membagi harus dibalik posisinya antara pembilang dan penyebut terlebih dahulu. a. 3 : = 3 x = 6 = b :3 = : = x = = E. Operasi Hitung Pecahan Desimal. Menjumlah dan Mengurangkan Pecahan Desimal a. Jika menemukan soal menjumlah dan mengurangkan pecahan desimal, kerjakan dengan cara susun ke bawah dan urutkan sesuai dengan nilai tempat. 9,5. 9,5 + 5,6 = 4,85 karena : 5,6 4,85 + 9,5. 9,5 5,6 = 3,65 karena : 5,6 3,65 b. Jika mendapat pengerjaan gabungan, pecahan itu diubah menjadi pecahan biasa. 5,75 35% = Diubah menjadi: = 7 = 7,65 = 765% Mengalikan dan Membagi Pecahan Desimal a. Jika mendapatkan perkalian pecahan desimal, kerjakan dengan cara susun ke bawah.,6 x 0,5 = 0,39 karena:,6 0,5 x ,39 Pustaka Widyatama 00 5

6 b. Jika mendapatkan pembagian pecahan desimal, kerjakan dengan pembagian ke bawah. 0,3 3,6 3,6 : = 0,3 karena : 3,6 0 c. Jika mendapatkan pembagian pecahan desimal dengan pecahan desimal, bilangan pembaginya diubah menjadi bilangan bulat lebih dahulu. 4,5 : 0,9 = 5 karena diubah menjadi 45 : 9 = 5 F. PECAHAN PERSEN (%) DAN PENERAPAN Pecahan persen dikaitkan dengan perhitungan bunga bank, potongan harga, laba rugi, dan lain lain.. Ardi menabung di bank sebesar Rp ,00. Diketahui bahwa besar bunga bank adalah 3% setahun. Berapa rupiah banyak tabungan Ardi setelah tahun? Jawab: Besar bunga bank tahun 3 = x Rp ,00 = Rp 3.500,00 00 Banyak tabungan Ardi setelah tahun = Rp ,00 + Rp 3.500,00 = Rp 8.500,00. Pak Sarwoko membeli motor seharga Rp ,00. Pada saat dijual kembali harga motor itu turun 5%. Berapa rupiah uang yang diterima Pak Sarwoko dari hasil penjualan motor tersebut? Jawab: 5 Turun harga = x Rp ,00 00 = Rp ,00 Uang yang diterima Pak Sarwoko dari hasil penjualan motor tersebut adalah = Rp ,00 Rp ,00 = Rp ,00 3. Anung akan membeli sepasang sepatu seharga Rp ,00. Dia melihat ada label diskon 0 %. Jadi, berapa jumlah uang yang harus dibayarkan Anung untuk membeli sepatu tersebut? Jawab: 0 Diskon = x Rp ,00 = Rp 6.000,00 00 Jumlah uang yang harus dibayarkan Anung untuk membeli sepatu tersebut = Rp ,00 Rp 6.000,00 = Rp ,00 6 Pustaka Widyatama 00

7 B. FPB A. Bilangan Prima KPK DAN FPB a. Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai faktor, yaitu bilangan (satu) dan bilangan itu sendiri. mempunyai faktor dan. 3 mempunyai faktor dan 3. 5 mempunyai faktor dan 5. 7 mempunyai faktor dan 7. Jadi, bilangan prima =, 3, 5, 7,, 3, 7, 9,... b. Faktor prima adalah bilangan prima yang dapat digunakan untuk membagi habis suatu bilangan. Faktor prima dari 8 adalah dan 3. Faktor prima dari 30 adalah, 3, dan 5. c. Faktorisasi prima adalah perkalian semua bilangan prima yang merupakan faktor dari suatu bilangan. Faktorisasi prima dari 3 adalah = x x x x = 5 Faktorisasi prima dari 40 adalah = x x x 5 = 3 x 5 Faktor Persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah hasil kali semua faktor prima yang sama dan pangkat terendah. Cari FPB dari 84 dan 0. Cara I, dengan menentukan faktor kelipatannya, yaitu 84 =,, 3, 4, 6, 7,, 4,, 8, 4, 8. 0 =,, 3, 4, 5, 6, 8, 0,, 5, 0, 4, 30, 40, 60, 0. Maka, FPB dari 84 dan 0 adalah. Cara II, dengan pohon faktor 84 = 3 7 FPB 3 3 = = 0 = 3 5 Untuk menentukan FPB tiga bilangan caranya sama dengan FPB dua bilangan. Cara menentukan dapat dilaksanakan dengan beberapa cara. FPB dari 7, 96, dan 44 adalah 4. Cara I: dengan menentukan faktor kelipatannya, yaitu 7 =,, 3, 4, 6, 8, 9,, 8, 4, 36, 7 96 =,, 3, 4, 6,, 4, 3, 48, =,, 3, 4, 6, 8,, 8, 4, 36, 48, 7, 44 Maka FPB dari 7, 96, dan 44 adalah 4. Pustaka Widyatama 00 7

8 Cara II: dengan pohon faktor = = 3 FPB = 3 = = 3 Jadi, FPB dari 7, 96, dan 44 = 4. C. KPK 3 Cata II = KPK = = 3 5 = Catatan: Penentuan KPK dengan pohon faktor adalah perkalian dari semua faktor primanya. Jika ada faktor yang sama, ambil nilai pangkat yang tertinggi. PERBANDINGAN DAN SKALA Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) adalah bilangan asli yang menjadi kelipatan persekutuan dua bilangan atau lebih. KPK dua bilangan atau lebih adalah perkalian semua angka faktor prima ditulis dan cari pangkat yang terbesar. Cari KPK dari 84 dan 0. Cara I, dengan menentukan kelipatan persekutuannya, yaitu 84 = 84, 68, 5, 40, 504, 588, 67, 756, 840,... 0 = 0, 40, 360, 480, 600, 70, 840, 960,... Maka, KPK dari 84 dan 0 adalah 840. A. Perbandingan Perbandingan adalah membandingkan suatu besaran dari dua nilai atau lebih dengan cara yang sederhana. Ditulis Perbandingan Dua Nilai A C A:B= C:D atau = B D A:B= p:q 8 Pustaka Widyatama 00

9 Mencari A jika B diketahui. p A:B= p:q A= B q Mencari B jika A diketahui. q A:B= p:q B= A p Mencari perbandingan jika jumlahnya (A + B) diketahui. A:B= p:q Jika A+ B diketahui, maka p q A= ( A+ B) B= ( A+ B) p+ q p+ q Mencari nilai perbandingan jika selisihnya (A B) diketahui. A:B= p:q Jika A B diketahui, maka p q A= ( A B) B= ( A B) p q p q Catatan: Nilai p q selalu positif karena hanya menunjukkan selisih nilai di antara keduanya. Uang Adam dibandingkan uang Dian adalah 3: 5. Jika uang Adam Rp ,00, berapakah uang Dian? A:B= 3:5 5 B= Rp ,00 = Rp 5.000,00 3 Jadi, uang Dian Rp 5.000,00. Perbandingan bola R dan T adalah 5 : 0. Jika jumlah bola keduanya adalah 450. Tentukan jumlah bola R dan T! R : T = 5 : 0 R + T = Jumlah bola R= 450= 450 = 5 30= Jumlah bola T = 450 = = 0 30 = 300 Jadi, jumlah bola R ada 50 bola dan jumlah bola T ada 300 bola. Perbandingan Tiga Nilai A:B:C= p:q:r Jika jumlah (A + B + C) diketahui, maka, p A= ( A+ B+ C) p+ q+ r q B= ( A+ B+ C) p+ q+ r r C= ( A+ B+ C) p+ q+ r Pustaka Widyatama 00 9

10 Jika jumlah (A + B) saja yang diketahui, maka, p A= ( A+ B) p+ q q B= ( A+ B) p+ q r C= ( A+ B) p+ q Jika jumlah (A B) saja yang diketahui, maka, p A= ( A B) p q q B= ( A B) p q r C= ( A B) p q Catatan: Nilai p q selalu positif karena hanya menunjukkan selisih nilai di antara keduanya. Perbandingan uang L: F: R = 3: 5: 7. Jika jumlah uang mereka Rp ,00, berapakah uang masingmasing? L: F: R = 3: 5: 7 L + F + R = Rp ,00 3 Uang L = = = = Uang F = = = = Uang R = = = = Jadi, uang L = Rp ,00, uang F = Rp ,00, dan uang R = Rp ,00. Perbandingan kelereng Vani: Veri: Vita = 3: 5: 7. Jika selisih kelereng Vani dan Veri adalah 50, berapakah kelereng masing masing? Vani : Veri: Vita = 3: 5: 7 Vani Veri = Kelereng Vani = 50 = = 3 5 = Kelereng Veri = 50 = = 5 5 = Kelereng Vani = 50 = = 7 5 = 75 Jadi, kelereng Vani, Veri, dan Vita adalah 75, 5 dan Pustaka Widyatama 00

11 B. Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai Perbandingan dapat dikatakan sebagai bentuk lain dari pecahan. Perbandingan dibedakan menjadi dua, yaitu perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai.. Perbandingan senilai Perbandingan senilai adalah perbandingan yang apabila nilai awalnya diperbesar, maka nilai akhir juga akan semakin besar. Sebaliknya, apabila nilai awal diperkecil maka nilai akhir juga akan menjadi semakin kecil. Nilai Awal (P) Nilai Akhir (Q) x Sebanding a y dengan b Hubungan yang berlaku dari perbandingan di atas adalah x a =. y b Grafik perbandingan senilai adalah: Y Sebuah besi panjangnya,5 m terletak tegak lurus di lapangan terbuka, bayangan besi 50 cm. Di tempat yang sama, tentukan panjang bayangan suatu pohon jika pohon tersebut tingginya 30 m. Pembahasan:,5 m = 50 cm 30 m = 3000cm = 3000 x 50x = x = = = 600 cm 50 5 Jadi, panjang bayangan tersebut 600 cm.. Perbandingan berbalik nilai Perbandingan berbalik nilai adalah perbandingan yang bercirikan bila nilai awal diperbesar maka nilai akhir menjadi lebih kecil. Sebaliknya, bila nilai awal diperkecil maka nilai akhir menjadi lebih besar. Nilai Awal (P) Nilai Akhir (Q) x a Sebanding dengan y b Hubungan yang berlaku adalah x = a. b y Bentuk grafik perbandingan berbalik nilai adalah: Y 0 X 0 X Pustaka Widyatama 00

12 Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 5 orang dalam waktu 3 bulan. Jika pekerjaan tersebut hanya dikerjakan 9 orang, berapa lama pekerjaan tersebut dapat diselesaikan? Pembahasan: Perbandingan yang berlaku di sini adalah perbandingan berbalik nilai, yaitu: 3 9 = 3. 5 = 9x 45 = 9x x = 45 x 5 9 Jadi, waktu yang dibutuhkan 9 pekerja untuk menyelesaikan pekerjaan selama 5 bulan. C. Skala Perbandingan pada Gambar a: b Dengan: a: jarak pada gambar b: jarak sebenarnya Skala peta : Artinya jika jarak peta adalah cm, maka jarak sebenarnya adalah cm. Rumus: Jarak sebenarnya = skala x jarak pada gambar 5 Jarak sebenarnya = = cm Jadi, jarak sebenarnya kota A ke kota B adalah cm =,5 km. Pada daerah berskala : 500, tergambar sebuah lapangan yang berbentuk persegi panjang dengan ukuran 4 cm dan lebar 9 cm. Berapakah m luas lapangan tersebut? Panjang pada gambar = 4 cm, Lebar pada gambar = 9 cm. Skala = : 500. Maka, 4 Panjang sebenarnya = 500 = 7000 cm = 70 m 9 Lebar sebenarnya = 500 = 4500 cm = 45 m Luas sebenarnya = panjang sebenarnya lebar sebenarnya = = 350 m Jadi, luas lapangan sebenarnya = 3.50 m. Diketahui skala peta adalah : Jika jarak kota A dan B di peta 5 cm, berapakah kota A dan kota B? Skala peta : Jarak kota A ke kota B = 5 cm. Pustaka Widyatama 00

13 SATUAN PENGUKURAN A. Satuan Ukuran Berat Satuan ukuran berat digunakan untuk mengetahui berat suatu benda. Alat untuk mengukur berat benda adalah timbangan atau neraca.. 30 dg =... mg. 30 dg = 30 x 00 mg = mg gr =... hg. Dari gr ke hg naik tangga, maka dibagi dengan g = 3.500: 00 hg = 35 hg. 3. kg + 4 hg + 7 ons + gr + 6 pon =... gr. kg = x 000 gr =.000 gr 4 hg = 4 x 00 gr = 400 gr 7 ons = 7 x 00 gr = 700 gr 6 pon = 5 x 500 gr = gr Maka, kg + 4 hg + 7 ons + gr + 6 pon = 000 gr gr gr + gr gr = 6. gr. B. Satuan Ukuran Panjang Satuan ukuran berat lainnya kwintal = 00 kg = gr ton = 0 kuintal =.000 kg pon = 0,5 kg = 500 gr ons = hg = 0, kg = 00 gr kg = 0 ons = pon Satuan ukuran panjang digunakan untuk mengukur panjang ruas garis, keliling bangun datar, panjang sisi bangun ruang dan jarak tempuh. Alat yang digunakan untuk mengukur panjang adalah meteran (penggaris dan rol meter). Berikut adalah satuan ukuran panjang dalam sistem metrik. Pustaka Widyatama 00 3

14 3. 5,5 km + 4 hm + 30 dm =... m. 5,5 km = 5,5 x 000 m = m 4 hm = 4 x 00 m = 400 m 30 dm = 30: 0 m = 3 m Maka, m m + 3 m = m. C. Satuan Ukuran Luas Satuan ukuran luas digunakan untuk menentukan luas suatu permukaan. Satuan ukuran luas dinyatakan dalam bentuk persegi atau pangkat dua. 4 Satuan ukuran panjang lainnya inci =,45 cm kaki = 30,5 cm yard = 9,4 cm mikron = 0,00000 m mil (di laut) =.85,5 m mil (di darat) =.666 m mil (di Inggris) =.609,34 m. 45 dm =... mm. Dari dm ke mm turun tangga, maka dikalikan dengan dm = 45 x 00 mg = mg m =... hm. Dari m ke hm naik tangga, maka dibagi dengan m =.750 : 00 hg = 7,5 hm.. 7 km =... dam. Dari km ke dam turun tangga, maka dikalikan dengan km = 7 x dam = dam.. 00 m =... dam. Dari m ke dam naik tangga, maka dibagi dengan m = 00: 00 dam = dam. Pustaka Widyatama 00

15 3. 5 km + 4 hm dm =... m. 5 km = 5 x m = m 4 hm = 4 x m = m.300 dm =.300: 00 m = 3 m Maka, 5 km + 4 hm dm = m m + 3 m = m. D. Satuan Ukuran Luas (Are) Selain dalam bentuk persegi, dikenal pula satuan luas dalam bentuk are. Perlu diingat ka = 0 ha a = dam ha = hm ca = m. 750 da =... ha. Dari da ke ha naik 3 tangga, maka dibagi dengan da = 750: 000 ha = 0,75 ha km + 33 ha + are =... m. 9 km = 9 x m = m 33 ha = 33 hm = 33 x m = m are = dam = x 00 m = 00 m Maka, 9 km + 33 ha + are =... m = m m + 00 m = m. E. Satuan Ukuran Volume Satuan ukuran volume digunakan untuk mengetahui isi suatu benda atau bangun ruang. Satuan ukuran volume dinyatakan dalam bentuk kubik (pangkat tiga). Perlu diingat, m 3 = m x m x m km 3 = 000 hm 3 km 3 = dam 3 mm 3 = 0,00 cm 3 mm 3 = 0,00000 dm 3. 9 are =... ca. Dari are ke ca turun tangga, maka dikalikan dengan are = 9 x 00 ca = 900 ca. Pustaka Widyatama 00 5

16 F. Satuan Ukuran Liter Perlu diingat kl = 0 hl kl =.000 l kl = m 3 l = dm 3 =.000 cm 3 cm 3 = ml = cc. 56 dam 3 =... dm 3. Dari dam 3 ke dm 3 turun tangga, maka dikali dengan dam 3 = 56 x dm 3 = dm m 3 =... hm 3. Dari m 3 ke hm 3 naik tangga, maka dibagi dengan m 3 = 7.500: hm 3 = 0,075 hm ,003 m dm cm 3 =... cm 3. 0,003 m 3 = 0,003 x cm 3 = cm 3 70 dm 3 = 70 x.000 cm 3 = cm 3 Maka, cm cm cm 3 = cm dal =... cl. Dari dal ke cl turun 3 tangga, maka dikalikan dengan dal = 5 x 000 cl = cl.. 75 l =... hl. Dari l ke hl naik tangga, maka dibagi dengan l = 75: 00 hl = 0,75 hl. 6 Pustaka Widyatama 00

17 3. 0,6 kl + 4,3 hl + 30 cl =...dm 3. 0,6 kl = 0,6 x 000 dm 3 = 600 dm 3 4,3 hl = 4,3 x 00 dm 3 = 430 dm 3 30 cl = 30: 00 dm 3 =,3 dm 3 Maka, m +,3 m = 04,33 dm 3. G. Satuan Ukuran Debit Rita akan mengisi sebuah ember dengan air dari keran. Dalam waktu menit, ember tersebut terisi 6 liter air. Artinya, debit air yang mengalir dari keran itu adalah 6 liter/menit, ditulis 6 liter/menit. Satuan debit biasanya digunakan untuk menentukan volume air yang mengalir dalam suatu satuan waktu.. Sebuah kolam diisi air dengan menggunakan pipa yang debitnya liter/detik. Artinya, dalam waktu detik volume air yang mengalir dari pipa tersebut adalah liter.. Debit air yang mengalir pada pintu air Manggarai adalah 500 m 3 /detik. Artinya, dalam waktu detik volume air yang mengalir melalui pintu air Manggarai adalah 500 m 3. Satuan debit yang sering digunakan adalah liter/detik dan m 3 /detik. 3 3 Ingat, liter = dm = m Jadi, liter/detik = m /detik. 000 Ubahlah satuan debit m 3 /detik menjadi liter/detik. Caranya dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan tersebut dengan liter / detik 000 = m / detik liter /detik = m /detik = m /detik atau m /detik= 000 liter/detik H. Satuan Ukuran Waktu Ada beberapa jenis satuan waktu yang harus kita ingat, yaitu sebagai berikut. abad = 0 dasawarsa = 00 tahun dasawarsa = 0 tahun windu = 8 tahun lustrum = 5 tahun tahun = bulan = 5 minggu = 365 hari semester = 6 bulan catur wulan = 4 bulan minggu = 7 hari hari = 4 jam jam = 60 menit menit = 60 detik jam = 60 menit = detik Pustaka Widyatama 00 7

18 Jumlah hari pada tiap tiap bulan Januari = 3 hari Februari = 8 hari (9 hari pada tahun kabisat) Maret = 3 hari April = 30 hari Mei = 3 hari Juni = 30 hari Juli = 3 hari Agustus = 3 hari September = 30 hari Oktober = 3 hari November = 30 hari Desember = 3 hari Jumlah = 365 hari (366 hari untuk tahun kabisat) Tahun kabisat adalah tahun yang habis dibagi , 000, 004, dll.. 3 windu + 5 dasawarsa + 4 bulan =... tahun. 3 windu = 3 x 8 tahun = 4 tahun 5 dasawarsa = 5 x 0 tahun = 50 tahun 4 bulan = 4: = tahun Maka, = 76 tahun. 7 jam + 40 menit + 55 detik = detik. 7 jam = 7 x detik = 5.00 detik 40 menit = 40 x 60 detik = 400 detik Maka, detik = detik. I. Satuan Ukuran Suhu Suhu menunjukkan derajat panas suatu benda. Alat untuk mengukur suhu atau perubahan suhu yaitu termometer. 4 jenis satuan pengukuran suhu, yaitu Celcius ( o C), Reamur ( o R), fahrenheit ( o F) dan Kelvin (K). Untuk penulisan satuan ukuran suhu Kelvin tidak diikuti simbol derajat. Perbandingan satuan pengukuran suhu C: R: (F 3) = 5: 4: Pustaka Widyatama 00

19 4 R= C 5 5 C= R F= C + 3 = R R= ( F 3) 9 5 C= ( F 3) 9 K = C + 73 J. Satuan Ukuran Jumlah (Kuantitas) Satuan kuantitas digunakan untuk menghitung banyak barang. Satuan kuantitas yang biasa digunakan adalah lusin, gros, kodi, dan rim. Hubungan satuan kuantitas tersebut adalah: gros = lusin = 44 biji/batang lusin = biji kodi = 0 lembar rim = 500 lembar Rim. 75 C =... F 9 9 F = C + 3 = = = 347 F 5 5 Jadi, 75 C = 347 F Kodi. 3 F =... R 4 4 R= ( F 3 ) = ( 3 3 ) = 99 = 44 9 Jadi, 3 F = 44 R Lusin Rim merupakan satuan yang biasanya digunakan untuk menunjukkan banyaknya kertas. rim = 500 lembar Kodi merupakan satuan yang biasanya digunakan untuk menunjukkan banyaknya pakaian. kodi = 0 buah Lusin merupakan satuan yang biasanya digunakan untuk menunjukkan banyaknya suatu barang, seperti gelas, piring dan sendok. lusin = buah Pustaka Widyatama 00 9

20 Gross Gross merupakan satuan yang biasanya digunakan untuk menunjukkan banyaknya suatu barang, seperti alat tulis (pensil, spidol, pena) serta alat jahit (benang atau resliting). gross = 44 buah = lusin. 5 gross + 5 lusin =... buah. 5 gross = 5 x 44 biji = 70 buah 5 lusin = 5 x biji = 60 biji Maka, = 780 biji.. 7 lusin + 4 gross + 55 buah =... kodi. 7 7 lusin = buah = 4, kodi gross = 44 = 8,8 kodi buah = =,75 kodi 0 Maka, 4, + 8,8 +,75 = 35,75 kodi. JARAK DAN KECEPATAN A. Pengertian Kecepatan adalah besarnya jarak atau panjang lintasan dibagi dengan waktu. Alat yang digunakan untuk mengukur besarnya kecepatan disebut speedometer. Jarak = kecepatan x waktu Waktu = jarak : kecepatan Kecepatan = jarak : waktu Satuan kecepatan Satuan waktu Satuan jarak = km/jam = jam = km. Motor Andi melaju selama 4 jam. Jika kecepatan rata ratanya 80 km tiap jam, maka jarak yang ditempuh adalah... Jarak = kecepatan x waktu = 80 km/jam x 4 jam = 30 km. Jarak kota Yogyakarta Semarang 50 km. Beni naik sepeda dengan kecepatan 5 km per jam tanpa berhenti. Berapakah waktu yang diperlukan Beni untuk menempuh Yogyakarta Semarang? 0 Pustaka Widyatama 00

21 jarak 50 km Waktu = = = 3 jam kecepatan 5 km/ jam 3 = 3 jam 0 menit 3. Jarak rumah A B = 00 km, ditempuh oleh Cecep dengan waktu jam. Kecepatan rata rata Cecep menempuh jarak itu adalah... km/jam. jarak 00 km Kecepatan = 50 km/ jam waktu = jam = B. Berpapasan dengan Waktu Berangkat Sama Langkah langkah: jarak Waktu berpapasan = jumlah kecepatan Berpapasan = waktu berangkat + waktu di jalan Jarak bertemu, bila dari A, jarak = kecepatan A x waktu. bila dari B, jarak = kecepatan B x waktu Jarak Semarang Jakarta 50 km. Andi naik mobil dari Semarang ke Jakarta dengan kecepatan 60 km/jam. Budi naik sepeda motor dari Jakarta ke Semarang dengan kecepatan 40 km/jam. Jika mereka berangkat berbarengan pada pukul 07.00, maka: a. Pukul berapa mereka berpapasan? b. Pada jarak berapa dari Semarang mereka berpapasan? Waktu = jarak : jumlah kecepatan 50 km 50 km = = 60 km/jam + 40 km/jam 00 km/jam =,5 jam = jam 30 menit a. Mereka berpapasan pukul = b. Mereka berpapasan pada jarak dari Semarang = kecepatan Andi waktu = 60 km/jam x,5 jam = 50 km C. Berpapasan dengan Waktu Berangkat Tidak Sama Langkah langkah:. Mencari jarak yang telah ditempuh A (orang pertama).. Mencari sisa jarak yang belum ditempuh, yaitu Sisa jarak = jarak ditempuh jarak sudah ditempuh. 3. Mencari jumlah kecepatan, yaitu kecepatan A + kecepatan B (orang kedua) jarak 4. Waktu berpapasan = jumlah kecepatan Selanjutnya ditambahkan waktu berangkat orang kedua. Jarak kota X ke kota Y 65 km. Anggi berangkat dari kota X ke kota Y pukul dengan sepeda motor yang ber kecepatan 40 km/jam. Adam berangkat dari kota Y ke kota X pukul dengan mobil yang berkecepatan 50 km/jam. Pustaka Widyatama 00

22 a. Pukul berapa mereka berpapasan di jalan? b. Pada km ke berapa dari kota X mereka bertemu?. Jarak yang sudah ditempuh Anggi = ( ) x 40 km/jam = 30 menit x 40 km/jam = 0,5 jam x 40 km/jam = 0 km. Sisa jarak = 65 km 0 km = 45 km 3. Jumlah kecepatan = 40 km/jam + 50 km/jam = 90 km/jam 4. Waktu berpapasan jarak Waktu berpapasan = jumlah kecepatan 45 km = = 0,5 jam 90 km/ jam = 30 menit Jadi, a. Mereka berpapasan pukul = b. Jarak dari kota X = (0,5 jam x 40 km/jam) + 0 km = 0 km + 0 km = 40 km Ceplis naik sepeda dari Yogya ke Semarang. Ia berangkat pukul dengan kecepatan 40 km/jam. Dari Yogya, Doni menyusul dengan kecepatan 60 km/jam pukul Pukul berapa Doni menyusul Ceplis?. Selisih berangkat = = 45 menit = ¾ jam. Jarak yang sudah ditempuh Ceplis = ¾ jam x 40 km/jam = 30 km 3. Selisih kecepatan = 60 km/jam 40 km/jam = 0 km/jam 4. Lama di jalan 30 km,5 jam jam 30menit 0 km/jam = = Jadi, Doni menyusul Ceplis pukul = = D. Susul Menyusul Langkah langkah:. Mencari selisih waktu berangkat orang pertama (A) dan orang kedua (B).. Mencari jarak yang telah ditempuh A. 3. Mencari selisih kecepatan. 4. Mencari lama di jalan = jarak yang telah ditempuh A selisih kecepatan 5. Menyusul = waktu berangkat B + lama di jalan. Pustaka Widyatama 00

23 B. Bunga Tunggal A. Untung dan Rugi ARITMATIKA SOSIAL Untung adalah hasil dari seorang pedagang yang menjual barang dagangannya lebih tinggi dari harga pembelian. Rugi adalah hasil dari seorang pedagang yang menjual barang dagangannya lebih rendah dari harga pembelian. Untung = harga penjualan > harga pembelian Rugi = harga penjualan < harga pembelian Besar keuntungan = harga jual harga beli Besar kerugian = harga beli harga jual Catatan: Harga beli biasa disebut sebagai modal. Sehingga, Besar keuntungan = harga jual modal Besar kerugian = modal harga jual Jika, uang yang ditabung mula mula = M rupiah, bunga tunggal = B % tiap tahun, dan waktu menabung = t tahun. Maka, Bunga selama tahun= M B% Bunga selama t tahun = M B% t B Bunga selama bulan = M % B Bunga selama t bulan = M % t Jumlah tabungan = M+ Bunga Pedagang buah apel fuji super membeli dengan harga Rp 0.000,00 per kilogram. Jika apel tersebut dijual dengan harga Rp 5.000,00 per kilogram, maka a. Untung atau rugi pedagang tersebut? b. Jika untung, berapa keuntungannya? Dan jika rugi, berapa kerugiannya? a. Harga pembelian Rp 0.000,00. Harga penjualan Rp 5.000,00. Maka, Harga pembelian < harga penjualan, Rp 0.000,00 < Rp 5.000,00. Sehingga, pedagang mendapat keuntungan. b. Besar keuntungan = harga jual harga beli = Rp 5.000,00 Rp 0.000,00 = Rp 5.000,00 Jadi, pedagang mendapatkan keuntungan sebesar Rp 5.000,00. Pustaka Widyatama 00 3

24 C. Persentase Untung dan Rugi Persentase untung rugi harga pembelian Untung Persentase Untung = 00% Harga Pembelian Untung = 00% Modal Rugi Persentase Rugi = 00% Harga Pembelian Rugi = 00% Modal Adam menjual roti dengan modal Rp ,00 dan hasil yang didapat dari penjualan roti adalah Rp 0.000,00. Berapa persen keuntungan Adam? Keuntungan = Harga jual modal = Rp 0.000,00 Rp ,00 = Rp ,00 Untung = = Modal = 00% = 50% Persentase Untung 00% 00% Jadi, keuntungan Adam 50 %. D. Menentukan Harga Pembelian dan Penjualan dari Persentase Kerugian atau Keuntungan 00% Pembelian = Untung Persen Untung 00% = Untung Persen Rugi ( ) ( ) Penjualan untung = Pembelian + Untung Penjualan rugi = Pembelian Rugi Seorang pedagang es keliling setiap hari mendapat keuntungan 30 % atau Rp 8.000,00. Hitunglah harga pembelian dan penjualannya! Persentase untung = 30 %. Besarnya keuntungan = Rp 8.000,00 00% Pembelian = = = % 30 Penjualan = pembelian + untung = Rp ,00 + Rp 8.000,00 = Rp ,00 Jadi, harga pembelian Rp ,00 dan dijual dengan harga Rp ,00. 4 Pustaka Widyatama 00

25 E. Rabat, Bruto, Netto dan Tara Rabat Bruto Netto Tara = potongan harga (diskon) = berat kotor = berat bersih = selisih bruto dan netto Bruto Netto Tara = Netto + Tara = Bruto Tara = Bruto Netto Pada sebuah kantong semen yang sering kita lihat terdapat tulisan netto 50 kg. Jika berat kantongnya 300 gram, berapa brutonya? Netto = 50 kg. Tara = 300 gram = 0,3 kg. Bruto = Netto + Tara = 50 kg + 0,3 kg = 5,3 kg Jadi, berat bruto semen adalah 5,3 kg. Pustaka Widyatama 00 5

26 B. Himpunan Bagian HI MPUNAN A. Himpunan Kosong, Himpunan Nol, dan Himpunan Semesta Jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B maka A disebut himpunan bagian atau subset B. Penulisan notasi himpunan bagian seperti berikut. A B dibaca A himpunan bagian B. A Bdibaca A bukan himpunan bagian B. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dinotasikan dengan Ø atau { }. Himpunan nol adalah himpunan yang beranggotakan himpunan nol. Himpunan nol dituliskan {0}.. A = {siswa kelas VIII yang memiliki tinggi lebih dari 3 meter}, artinya A = Ø atau A = { }.. X = {bilangan ganjil yang habis dibagi dengan }, artinya X = Ø atau X = { }. 3. B = {bilangan cacah kurang dari }, artinya B = {0}. Himpunan semesta adalah suatu himpunan yang memuat semua anggota dalam pembicaraan. Himpunan semesta dilambangkan S.. A = {a, b, c, d, e} dan X = {f, g, h, i}, maka S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} atau S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}.. B = {,, 3}, maka S = {bilangan asli} atau S = {bilangan bulat}. Sifat Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan, dituliskan A. Setiap himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan itu sendiri, dituliskan A A. Jika jumlah anggota suatu himpunan A adalah n(a)=n, maka banyaknya anggota himpunan bagian dari A sebanyak N. P = {c, b, f}, himpunan bagian P adalah {c}, {b}, {f}, {c, b}, {c, f}, {b, f}, {c, b, f} dan { }. Jadi, banyaknya himpunan bagian P adalah 3 = 8, termasuk himpunan kosong ({ }) dan P itu sendiri, yaitu {c, b,f}. 6 Pustaka Widyatama 00

27 C. Diagram Venn dan Hubungan Antarhimpunan Diagram Venn adalah diagram yang digunakan untuk menunjukkan hubungan antara dua himpunan atau lebih. Beberapa hubungan antarhimpunan berikut dapat ditunjukkan dengan diagram Venn. a. Saling lepas Dua himpunan X dan Y dikatakan saling lepas jika tidak ada satu pun anggota himpunan X yang menjadi anggota himpunan Y. Begitu juga sebaliknya. X = {, 4, 5} dan Y = {p, q, r} Jadi, X dan Y saling lepas, dan hubungan ini dapat dinyatakan dengan diagram Venn berikut. X 4 5 b. Berpotongan (Beririsan) Himpunan X dan Y dikatakan berpotongan atau beririsan jika ada anggota himpunan X yang menjadi anggota himpunan Y. Y p q r X= {p, r, i, n, c, e}, Y = {p, a, r, i, s}, diagram Venn nya adalah: S c. Himpunan bagian Suatu himpunan yang seluruh anggotanya merupakan bagian dari himpunan yang lain. Dinotasikan X Y. Himpunan X = {, 3, 5} dan Y = {,, 3, 4, 5}. Diagram Venn nya adalah: d. Himpunan ekuivalen Dua himpunan X dan Y dikatakan ekuivalen bila n(x) = n(y). Himpunan X dan Y yang saling ekuivalen dinotasikan X ~ Y. X = {p, e, r, s, i, b},y = {t, e, r, t, i, b} Karena n(x) = n(y) = 6, maka X ~ Y. S X i n i c i e X i i 3 i 5 p i r i j Y Y i a i s i a i s e. Himpunan yang sama Dua himpunan X dan Y dikatakan sama jika setiap anggota himpunan X merupakan Pustaka Widyatama 00 7

28 anggota himpunan Y. Begitu juga sebaliknya. Notasinya adalah A = B. X = {bilangan cacah antara dan 8} Y = {bilangan asli antara dan 8} Diagram Venn: Jadi, X = Y = {3, 4, 5, 6, 7} D. Operasi Himpunan S X i 3 i 4 i 5 i 6 i 7 Operasi antar himpunan di antaranya adalah operasi irisan, gabungan, dan komplemen.. Irisan (Intersection) Irisan himpunan X dan Y adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota X dan juga anggota Y. Dinotasikan: X Y dibaca irisan himpunan X dan Y X = {p, r, i, n, c, e}, Y = {p, a, r, i, s}. Diagram Venn: Y X Y = {p, r, i}.. Gabungan (Union) Gabungan adalah himpunan yang anggotaanggotanya merupakan gabungan dari anggota anggota himpunan yang lain. Dinotasikan: X Y, dibaca X union Y atau gabungan dari X dan Y. X = {s, i, u, n, g}, Y = {i, n, d, a, h} Diagram Venn: 3. Komplemen Komplemen suatu himpunan X adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan A, ditulis X c. X = {himpunan bilangan asli kurang dari 9} Y = {himpunan bilangan prima kurang dari } 8 Pustaka Widyatama 00

29 F. Hukum De Morgan Pada operasi himpunan berlaku hukum De Morgan berikut. Artinya Y c = {, 4, 6, 8} E. Sifat-sifat Operasi Himpunan ( ) ( ) c c c X Y = X Y c c c X Y = X Y Operasi antarhimpunan mempunyai sifat komutatif dan assosiatif.. Komutatif ( X Y) Z= X ( Y Z) ( X Y) Z= X ( Y Z) X Y Z = X Y X Z X Y= Y X ( ) ( ) ( ). Assosiatif ( X Y) Z= X ( Y Z) ( X Y) Z= X ( Y Z) X Y Z = X Y X Z ( ) ( ) ( ) G. Jumlah Anggota Himpunan Perhatikan diagram Venn dari himpunan X dan himpunan Y berikut. S X i i i 4 Diperoleh hubungan berikut. nx ( Y) = nx ( ) + ny ( ) nx ( Y) Sedangkan untuk tiga himpunan, akan digunakan rumus: nx ( Y Y) = nx ( ) + ny ( ) + nz ( ) nx ( Y) nx ( Z) ny ( Z) + nx ( Y Z) Y Pustaka Widyatama 00 9

30 Contoh Soal. Diketahui n(s) adalah banyaknya anggota himpunan semesta. Jika n(x) = a; n(y) = b; dan n(x Y) = c, maka n( X Y) =.... Jawab: n(x) = a ; n(y) = b, dan n(x Y) = c, maka dengan rumus gabungan dua himpunan diperoleh: nx ( Y) = nx ( ) + ny ( ) nx ( Y) nx Y = a+ b c ( ). Bentuk sederhana dari ( C A) ( A B) adalah.... Jawab: Cara pertama, menggunakan sifat: C A A B = A B C A ( ) ( ) ( ) ( ) = ( A B) ( A C) = A ( B C) Atau dengan cara kedua, yaitu dengan melihat diagram Venn untuk bentuk tersebut, yaitu: Daerah yang diarsir adalah bentuk dari: C A A B, dan daerah tersebut ( ) ( ) = A ( B C) 3. Dari 40 orang, 6 orang memelihara burung, memelihara kucing, dan orang memelihara burung dan kucing. Jumlah orang yang tidak memelihara burung ataupun kucing adalah sebanyak... orang. Jawab: S = {banyaknya anak} n(s) = 40 B = {anak yang memelihara burung} n(b) = 6 C = {anak yang memelihara kucing} n(c) = B C= {anak yang memelihara burung dan kucing} n(b C) = Diagram Venn: Jika ( B C) = {jumlah seluruh anak yang memelihara burung digabung dengan jumlah yang memelihara kucing}, nb C = nb + nc nb C maka ( ) ( ) ( ) ( ) nb ( C) = 6+ = 5 Dan ( B C) c ={anak yang tidak memelihara burung ataupun kucing} ( ) c = ( ) ( ) nb C ns nb C = 40 5 = 5 ( ) C C C B C = B C 30 Pustaka Widyatama 00

31 Artinya, jumlah anak yang tidak memelihara burung ataupun kucing adalah 5 orang. Sudut bertolak belakang sama besar HUBUNGAN ANTAR SUDUT 4 3 A. Hubungan Antarsudut Hubungan antarsudut ada bermacam macam, di antaranya sudut saling berpenyiku (berkomplemen), sudut saling berpelurus (bersuplemen), sudut bertolak belakang, sudut sehadap, sudut berseberangan, sudut elevasi, dan sudut depresi. Sudut saling berpenyiku/komplemen Dua sudut αdan β saling berpenyiku jika berlaku: Perhatikan gambar: bertolak belakang dengan 3 = 3 bertolak belakang dengan 4 = 4 Sudut sehadap sama besar Untuk memahami sudut sehadap sama besar, perhatikan penjelasan gambar berikut: B A A B β α o α+β=90 Sudut saling berpelurus/suplemen Dua sudut α dan β saling berpelurus jika berlaku: o A sehadap denganb A = B o A sehadap denganb A = B o A3 sehadap denganb3 A3 = B3 o A4 sehadap denganb4 A4 = B4 o α+β=80 β α Pustaka Widyatama 00 3

32 Sudut berseberangan sama besar Perhatikan penjelasan gambar berikut! X4 berseberangan dengan Y X4 = Y X berseberangan dengan Y X = Y 3 3 Sudut elevasi dan sudut depresi Pada gambar di bawah, α merupakan sudut elevasi, dan β merupakan sudut depresi. B. Besar Sudut pada Bangun Datar Jumlah sudut pada segitiga A B A α β C B A B Jumlah sudut pada Segitiga: A+ B+ C = 80 o Jumlah sudut segi empat D C Jumlah sudut pada Segi empat: A+ B+ C+ D o A = 360 B Sudut sudut pada segi n beraturan Besar tiap sudut pada segi n beraturan adalah: Contoh Soal o ( n ) 80 n. Besar tiap sudut pada segi 6 beraturan adalah: o ( n ) 80 = ( 6 ) 80 4 = 80 o = 0 n 6 6. Perhatikan gambar berikut. C D O 45 O 65 A B E Jika pada gambar di atas garis AC//BD, maka besar sudut DBE adalah.... Pembahasan: Garis AC//BD, maka CAB = DBE (merupakan pasangan sudut sehadap) ACB = CBD = 45 o (pasangan sudut berseberangan) 3 Pustaka Widyatama 00

33 CBA + CBD + DBE = 80 o o o DBE = 80 o o DBE = 80 ( ) o o o DBE = 80 0 = Besar sudut yang dilewati jarum pendek sebuah jarum jam dari pukul.00 hingga pukul.35 adalah.... Pembahasan: Sudut jarum pendek = jam + 5menit o 360 o Sudut jarum pendek jam = 30 =, Sudut jarum pendek / jam = Sudut jarum pendek 5 menit = o 30 o o 5 =, o o,5 =. 30 Jadi, sudut yang dibentuk jarum dari pukul o o o.00 hingga.35 adalah = 5 +,5 = 7,5. 4. Perhatikan gambar berikut. Q P g m B sudut berpelurus jumlahnya 80 o sudut bertolak belakang sama besarnya sudut sehadap sama besarnya Sehingga: Jadi, p + x = 3,5 o + 6 o = 58,5 o. 5. Pada gambar di bawah ini, garis p//q, dan garis r//s. Jika besar sudut D = 60 o, maka besar C + B4 + A =.... Pembahasan: A = C pasangan sudut sehadap o A + A = D + D = 80 ( ) ( ) A = D pasangan sudut sehadap, Sehingga: A = 80 D = = 0 o o o o ( ) B4 = C4 pasangan sudut sehadap, Sehingga: C4 = D4 dan D4 = D Diketahui garis g//m. o Jika P = 50, P3 = 5x, dan Q = 4p. Nilai p + x adalah.... Pembahasan: Ingat sifat hubungan antara sudut: ( pasangan sudut bertolak belakang ). o Artinya B4 = D = 60. Dapat disimpulkan: C + B + A = = Pustaka Widyatama 00 o o o o 33

34 PEMFAKTORAN SUKU ALJABAR 3. Perpangkatan Operasi perpangkatan juga dapat dilakukan pada bentuk aljabar. Perhatikan bentuk umum perpangkatan bentuk aljabar berikut. (x + y) n = (x + y)(x + y)... (x + y) A. Operasi Hitung Aljabar. Perkalian antarsuku dua Pada perkalian suku dua dengan suku dua digunakan sifat distributif berikut. ( x+ y)( p+ q) = x(p+ q) + y( p+ q) = xp + xq + yp + yq (x + 4)(x ) = x(x ) + 4(x ) = (x x) + (4x 8)= x + x 8 (x + )(3x + ) = x(3x + ) + (3x + ) = (6x + 4x) + (3x + ) = 6x + 7x + (dengan (x + y) sebanyak n) Misal, pada (x + y) n. (x + y) 0 = (x + y) = x + y (x + y) = x + xy + y (x + y) 3 = x 3 + 3x y + 3xy + y 3 (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y 4 (x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 0x 3 y + 0x y 3 + 5xy 4 + y 5 Misal, pada (x y) n. (x y) 0 = (x y) = x y (x y) = x xy + y (x y) 3 = x 3 3x y + 3xy y 3 (x y) 4 = x 4 4x 3 y + 6x y 4xy 3 + y 4 (x y) 5 = x 5 5x 4 y + 0x 3 y 0x y 3 + 5xy 4 y Pembagian bentuk aljabar Pembagian antarbentuk aljabar dapat menghasilkan pecahan bentuk aljabar dan bilangan. x + 4x ( ) x x + x+ = = 4x 4x 8xy 64xy ( ) = = 64xy 64xy (x + 3) = x +. x = x + 6x + 9 (x ) = x. x. + = x 4x + 4 B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar Pemfaktoran bentuk aljabar dapat berupa perkalian suatu bilangan dengan suku dua, perkalian antarsuku dua, dan bentuk kuadrat. Pustaka Widyatama 00

35 . Pemfaktoran yang menghasilkan perkalian suatu bilangan dengan suku dua Bentuk umum dari pemfaktoran jenis ini dituliskan sebagai berikut. a. kx + ky = k( x + y) Jadi, bentuk kx + ky bila difaktorkan menjadi k(x + y). b. kx ky = k(x y) Jadi, bentuk kx ky bila difaktorkan menjadi k(x y). Bentuk umum tersebut diperoleh berdasarkan sifat asosiatif dan distributif. x + 4y = (x + y) 8xy 54x = 8x(y 3). Pemfaktoran bentuk kuadrat yang menghasilkan perkalian antarsuku dua Bentuk kuadrat memiliki bentuk umum sebagai berikut. ax + bx + c = 0 Bila a =, maka bentuk kuadrat menjadi x + bx + c = 0. Ingatlah kembali perkalian antarsuku dua berikut. (x + p)(x + q) = x + px + qx + pq = x + (p + q)x + pq Dengan demikian, b = p + q dan c = pq. Kesimpulan: p dan q merupakan faktor dari c. Sedangkan, b merupakan hasil penjumlahan p dan q (faktorfaktor dari c). Kesimpulan tersebut digunakan untuk mencari pemfaktoran bentuk kuadrat. x + 5x + 6 = 0 Diperoleh a =, b = 5, dan c = 6. Faktor dari 6 yang bilamana dijumlahkan menjadi 5 adalah dan 3. Dengan demikian, pemfaktoran: x + 5x + 6 = (x + )(x + 3) Bila a, maka bentuk umumnya tetap menjadi ax + bx + c = 0. Ingatlah contoh perkalian antarsuku dua berikut. (3x + )(x + ) = 3x + x + 6x + = 3x + 7x + Dengan demikian, pemfaktoran 3x + 7x + adalah: 3x + 7x + = 3x + x + 6x + = x(3x + ) + (3x + ) Dengan menggunakan sifat asosiatif diperoleh: = (3x + )(x + ) 3. Pemfaktoran dari bentuk selisih dua kuadrat Perhatikan bentuk perkalian antarsuku dua berikut. (a b)(a + b) = a ab + ab b = a b Pustaka Widyatama 00 35

36 Bentuk a b disebut selisih dua kuadrat. Jadi, a b memiliki bentuk perkalian (a b)(a + b) atau (a + b)(a b). x 5 = x 5 = (x + 5)(x 5) x 49 = x 7 = (x 7)(x + 7) C. Penyederhanaan Bentuk Pecahan Aljabar Agar dapat menyederhanakan bentuk pecahan aljabar, terlebih dahulu teknik pemfaktoran harus dikuasai. x + 7x+ ( x+ 3) ( x+ 4) ( x+ 4) = = x x ( x+ 3) ( x 4) ( x 4) x 9x+ 8 ( x 3) ( x 6) ( x 6) = = x + x 5 x 3 x+ 5 ( x+ 5) Contoh Soal ( )( ) Selesaikan operasi berikut.. x x+ 7= ( x 3)( x 9). x = x = (x )(x + ) 3. x 8x+ 5 ( x 5)( x 3) x 5 = = x 3x 8 x 3 x + 6 x ( )( ) PERSAMAAN GARIS LURUS A. Bentuk Umum Persamaan Garis Lurus Bentuk umum persamaan garis lurus adalah: y B. Gradien Garis Lurus () Gradien dari dua titik P(x,y ) dan Q(x,y ). Rumus gradien garis yang melalui titik P dan Q adalah: y y m = x x Tentukan gradien garis lurus yang melewati titik P(,3) dan Q(4,9). y y Gradien = m = = = = 3 x x 4 Persamaan garis lurus dengan gradien (kemiringan) tertentu x y= ax+ b ax + by + c = 0 36 Pustaka Widyatama 00

37 () Gradien garis dari persamaan garis lurus a. Jika persamaan garis lurus berbentuk: y = mx+ c gradien = m Jika dimiliki persamaan garis y = 3x + 5, artinya gradien = m = 3 b. Jika persamaan garis lurus berbentuk: ax + by + c = 0 gradien = a b Jika dimiliki persamaan garis x + 7y + 3 = 0, maka gradien persamaan garis tersebut adalah: ax + by + c = 0 m = a b x + 7y + 3 = 0 m = 7 C. Menentukan Persamaan Garis Lurus Cara menentukan persamaan garis lurus: () Persamaan garis melalui titik P(a,b) dengan gradien m, Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik P(5,7) dengan gradien 3. Pembahasan: y 7= 3( x 5) y 7= 3x 5 y= 3x 5+ 7 y= 3x 8 () Persamaan garis melalui dua titik P(x, y ) dan Q(x, y ). Bentuk persamaan garis yang melalui dua titik yaitu: y y x x = y y y y x x atau y y = ( ) x x x x Tentukan persamaan garis yang melalui P(, 3) dan Q(3, 8)! Pembahasan: y y x x Bentuk = y y x x y 3 x = Dengan perkalian silang, diperoleh: y 3 3 = x 8 3 y 3= 5 x = 5x 0 ( )( ) ( )( ) ( ) y = 5x 0+ 3= 5x 7 (3) Persamaan garis yang melalui titik potong sumbu sumbu koordinat, yaitu P(p, 0) dan Q(0, q). ( ) y b= m x a Pustaka Widyatama 00 37

38 y q (0,q) py + qx= pq Tentukan persamaan garis yang melalui P(3, 0) dan Q(0, 6). Dengan menggunakan rumus: py + qx = pq 6x + 3y = 6 3 6x + 3y = 8 Jika kedua ruas dibagi 3 akan diperoleh persamaan garis: 3x + y = 6 D. Hubungan Antara Dua Garis () Dua garis saling berpotongan p Persamaan garis yang melalui titik titik potong sumbu koordinat: (p,0) x y= ax+ b y= cx+ d ax + b = cx + d Garis g: y = 3x dan garis h: y = x + 6 saling berpotongan di titik Q, maka koordinat titik Q adalah.... Pembahasan: Dari persamaan g: y = 3x dan h: y = x + 6 3x = x + 6 x = 6 x = 3 karena x = 3, maka y = 3x y = 3(3) = 9. Jadi, garis g dan h berpotongan di Q(3, 9). () Dua garis berpotongan saling tegak lurus k Garis g dan k saling tegak lurus, dan dinotasikan: g k g p(x,y) g : y = ax + b Hubungan yang berlaku antara garis g dan k yang saling tegak lurus tersebut adalah: g : y = cx + d Titik potong P(x, y) diperoleh dari himpunan penyelesaian PLDV: m m = g Jika garis 3x + by = 0 tegak lurus dengan x+ y+ 7= 0. Tentukan nilai b! h 38 Pustaka Widyatama 00

39 Pembahasan: 3 Jika g: 3x + by = 0 mg = b k: x+ y+ 7= 0 mk = karena g k, maka m m = 3 3 = =. b b 3 3 Jadi : = 3= b b= b g Diketahui suatu persamaan garis lurus yang melewati titik P(k, 4) dan tegak lurus garis x+ y+ = 0 adalah y = m(x + ), maka nilai k adalah.... Pembahasan: Dengan menggunakan rumus, jelas gradien garis x+ y+ = 0 adalah. Garis y = m(x + ) memiliki gradien m. Karena kedua garis tersebut tegak lurus, berlaku hubungan: m m = = m= m= Jadi, persamaan garis y = m(x + ) menjadi : y = (x + ). Garis y = (x + ) melewati titik (k, 4) maka 4 = (k + ) 4 = k + k = 4 k = k = h (3) Dua garis yang sejajar y h g Garis px + 3y 3 = 0 sejajar dengan garis x y + 4 = 0. Tentukan nilai p! Pembahasan: p Jika g: px + 3y 3 = 0 mg =, h: x y + 4 = 0 mh =. Karena g//h, artinya p mg = m h = p = 4 p = 4. Jadi, nilai p = 4. E. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Bentuk umum Persamaaan Linear Dua Variabel (PLDV) ax + by = c () px + qy = r () Garis g sejajar dengan garis h dinotasikan g//h, dan berlaku m = m x h g Pustaka Widyatama 00 39

40 Mencari himpunan penyelesaian untuk dapat dilakukan dengan metode substitusi, eliminasi, dan campuran. () Metode Substitusi Untuk dapat memahami metode substitusi, perhatikan contoh berikut: Tentukan Himpunan Penyelesaian dari: 3x + y = 9 () x 3y= 6 () Dari PLDV di atas diperoleh: 3x + y = 9 x = 3y 6...(3) Persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (): 3(3y 6) + y = 9 9y 8 + y = 9 7 0y = 7 y = 0 Nilai y = 7 disubstitusikan ke pers. (): 0 7 3x + y = 9 3x + = x = 9 = = = x = = Jadi, HP = {, 0 0 } () Metode Eliminasi Metode ini dilakukan dengan cara mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel yang ada dalam PLDV, yaitu variabel x atau y. Langkah penyelesaian dengan metode eliminasi: () Samakan koefisien salah satu variabel x atau y, () Eliminasikan persamaan tersebut sehingga suku yang sama hilang (dengan operasi penjumlahan atau pengurangan), selesaikan dan tentukan nilai satu variabel, (3) Substitusikan nilai variabel yang ditemukan untuk menemukan nilai variabel yang lain, atau ikuti langkah sampai 3 untuk variabel yang lain. Tentukan Himpunan penyelesaian dari: 3x + y = 9 () x 3y= 6 () Pembahasan: Pertama, kita akan coba mengeliminasi varibel x, 3x + y = 9 3x + y = 9 x 3y= 6 3 3x 9y = 8 0y = 7 y = 7 0 Nilai y dapat langsung disubstitusi ke salah satu PLDV yang dimiliki, misalnya disubstitusi ke (): 7 3x + y = 9 3x + = x = 9 = = = x = = Jadi, HP = { 7, 0 0 } 40 Pustaka Widyatama 00

41 Contoh Soal. Koordinat titik pada garis y = x 5 yang terdekat dengan titik (0,0) adalah.... Garis yang melalui titik (0,0) memiliki persamaan y = mx. Jika garis ini melalui titik terdekat yang kita cari, maka garis ini akan tegak lurus y = x 5. Garis y = mx tegak lurus y = x 5. Sehingga m. = m =. Sehingga diperoleh persamaan y = x. Artinya garis y = x akan memotong y = x 5. Sehingga dapat ditemukan titik potongnya dengan syarat: x = x 5 5 x + x = 5 x = 5 x = 6 Jika, x = 6 menjadi y =. 6 5 = 3. Jadi titik terdekat pada garis y = x 5 ke titik (0, 0) adalah (6, 3).. Diketahui sebuah garis g: x 3y + 5 = 0. Persamaan garis yang melalui titik (, ) dan tegak lurus persamaan garis g adalah.... g : x 3y + 5 = 0 m = = 3 3 persamaan garis yang garis g artinya: mm =, sehingga: m = m = 3 3 Artinya, persamaan garis yang kita cari bergradien 3. Persamaan garis tersebut juga melewati titik (, ), sehingga: y = m ( x ( ) ) = 3( x+ ) = 3x 6 y= 3x+ 5 Jadi, persamaan garis tersebut adalah y = 3x Terdapat dua buah bilangan. Bilangan yang besar jika ditambah empat kali bilangan yang kecil = 99. Bilangan yang kecil ditambah tiga kali bilangan yang besar = 0. Tiga kali bilangan yang kecil ditambah empat kali bilangan yang lebih besar nilainya adalah.... Penyelesaiannya sebagai berikut. Bilangan yang kecil = x Bilangan yang besar = y Hubungan yang diperoleh: 4x + y = 99 3 x + 3y = 97 x + 3y = 0 x + 3y = 0 _ x = 87 Jadi, x = 7 cm. Substitusikan x = 7 ke salah satu persamaan. 4x + y = y = y = 99 y = y = 3 Dengan demikian, 3x + 4y = = = 75 Jadi, harga 3x + 4y adalah 75. Pustaka Widyatama 00 4

42 4. Diketahui titik P(,) dan Q(3,7). Maka sumbu garis PQ adalah.... i. Jika titik S adalah titik tengah garis PQ maka koordinat titik C adalah: x= ( + 3) = 4 = dan y= ( + 7) = 9 Jadi, kita peroleh C ( ), 9 dan gradien AB 7 5 dapat dihitung, yaitu mab = = 3 ii. Garis yang melalui titik C dan AB akan mempunyai gradien mtl = 5. Ini diperoleh karena hubungan mab mtl = iii. Jadi, persamaan garis tersebut adalah: 9 4 y = ( x ) = x y= x+ + = x Kalikan kedua ruas dengan 0, akan didapatkan: 0y = 4x x + 0y 53 = 0 STATISTIKA DAN PELUAN A. Statistika Statistika adalah ilmu yang mempelajari cara cara pengumpulan data, penyusunan data, pengolahan data, dan penyajian data. Dalam statistika dikenal istilah populasi dan sampel. Populasi adalah sekumpulan objek dengan karakteristik sama. Sampel adalah bagian dari populasi yang akan dijadikan objek pengamatan langsung. Data dapat disajikan dalam bentuk diagram. Selain itu, data dapat diolah dalam bentuk pemusatan data.. Penyajian Data Diagram merupakan salah satu cara untuk menyajikan data. Diagram banyak macamnya. Di antaranya diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran, dan histogram. a. Diagram batang (histogram) Data untuk jumlah beras impor dan beras lokal di pasar: 4 Pustaka Widyatama 00

43 d. Histogram atau Poligon Frekuensi Histogram dan poligon digunakan untuk menyajikan data dari suatu distribusi frekuensi. b. Diagram garis Data untuk jumlah produksi gula dari Pabrik Gula Manis Manja periode Berikut adalah histogram dan poligon dari data tinggi badan siswa. c. Diagram lingkaran Data berbentuk lingkaran yang dibagi menjadi beberapa luasan juring untuk menunjukkan perbandingan kuantitas atau jumlah (dalam persentase atau derajat). Diagram lingkaran berikut menunjukkan data nilai ujian matematika siswa di suatu SMP, dengan keterangan sebagai berikut: Nilai ujian 90 adalah 0% Nilai ujian antara 90 dan 50 adalah 45% Nilai ujian 50 adalah 45%. Ukuran Pemusatan data Ukuran pemusatan data ada bermacam mcam. Di antaranya nilai rata rata (mean), nilai tengah (median), nilai yang sering muncul (modus), dan kuartil. a. Mean = X (Rata Rata) Mean atau rata rata hitung adalah jumlah semua data atau nilai dibagi dengan banyaknya data. Rumus Mean: x i X = n Dengan: X = Rata rata hitung Pustaka Widyatama 00 in = i = n x = jumlah semua data (dibaca sigma x ) i = Banyaknyadata i 43

44 b. Modus = M (Nilai yang paling sering muncul) Perhatikan data berikut. ) Data:,3,4,4,5,7 Modus = 4. ) Data:,4,6,6,7,8,8,9 Modus = 6 dan 8. 3) Data: 4,4,5,5,6,6 Modus = tidak ada. c. Median = Mt (Nilai Tengah) Median adalah nilai tengah dari kelompok data yang dimiliki, setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar. ) Letak Median untuk n (jumlah data ) genap n n Mt = letaknyadi antara datake danke + ) Letak Median untuk n (jumlah data) ganjil ( n+ ) Mt = datake. Jika dimiliki data: 9,,,3,5,6. maka median dari data tersebut adalah = = =,5 (data ke 3 dan ke 4) Jika dimiliki data: 7,8,8,9,0,,,3,7. maka median dari data tersebut adalah = 0 (data ke 5) d. Kuartil Kuartil membagi sekelompok data menjadi empat bagian yang sama banyak. Dengan: Q = kuartil bawah Q = kuartil tengah = M t = median Q 3 = kuartil atas Jika dimiliki data: 3,4,5,5,7,. maka: Q = 4 ; Q = = 5 ; Q 3 = 7 3. Ukuran Penyebaran Data Ukuran penyebaran data di antaranya adalah jangkauan dan jangkauan interkuartil. a. Jangkauan (Rentang) suatu data Jangkauan adalah selisih antara data tertinggi dan terendah. Jangkauan = data tertinggi data terendah Jika dimiliki data:, 5, 6, 4, 8, 4, maka Jangkauan dari data tersebut adalah = 8 = 6 44 Pustaka Widyatama 00