PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Transkripsi

1 METODE KUASA DAN APLIKASINYA PADA MESIN PENCARI INTERNET Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Disusun oleh: Lina Meiliana NIM: PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 211

2 POWER METHOD AND ITS APPLICATION TO INTERNET SEARCH ENGINES Thesis Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain SARJANA SAINS Degree In Mathematics By: Lina Meiliana Student Number: MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 211 ii

3

4

5 Sang Till Friheten (Engkaulah yang Terbaik yang Aku Kenal) Engkaulah yang terbaik yang aku kenal Engkaulah yang terkasih di dunia ini Engkau seperti bintang, seperti angin, seperti gelombang, seperti burung, seperti bunga di ladang. Engkaulah pembimbing dan sahabatku. Engkaulah kebenaranku, harapanku, kekasihku. Engkaulah darahku, nafasku, mataku, bahuku, tanganku, dan hatiku. Kebebasan adalah namamu yang indah. Persahabatan adalah ibumu yang bangga. Perhatian adalah saudaramu lelaki. Perdamaian adalah saudaramu perempuan. Keberanian adalah ayahmu. Masa depan adalah tanggung jawabmu. Engkaulah yang terbaik di dunia ini. Karya sederhana ini kupersembahkan untuk: Papa dan Mama Tercinta Cici, Koko, Adik, dan Sang Jagoan Kecil Romo Susilo, Teman-teman, dan Segenap Keluarga Besar Seseorang yang mengisi kisahku Sahabat-sahabat terbaikku v

6

7

8 ABSTRAK Metode Kuasa adalah metode hampiran yang menggunakan barisan pangkat untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen dominan suatu matriks. Pada aplikasinya, Metode Kuasa digunakan untuk mengembangkan suatu algoritma pencarian yang disebut algoritma PageRank. Algoritma tersebut digunakan dalam mesin pencari Google untuk mengonstruksikan matriks yang menggambarkan struktur perujukan halaman-halaman yang sesuai dengan pencarian. Kemudian dengan menggunakan vektor eigen dominan dari matriks itu disusun daftar situs-situs yang dicari dengan urutan tertentu untuk menentukan peringkat situs-situs tersebut dalam urutan kepentingannya sebagai otoritas dan hub. viii

9 ABSTRACT The Power Method is an approximation method using power sequence to obtain dominant eigenvalue and eigenvector of a matrix. In its application, the Power Method is used to develop a search algorithm called the PageRank algorithm. The algorithm in fact is used in Google search engine to construct a matrix which describes the structure of the referring pages that match the search. Then using the dominant eigenvector of the matrix, sites will be listed in importance order as an authority and hub. ix

10 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis persembahkan kepada Tuhan Yesus Kristus, yang karena berkat-nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang disusun untuk memenuhi syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis merasa bahwa skripsi ini tidak akan terwujud tanpa bantuan, bimbingan, dukungan dan dorongan dari berbagai pihak yang sangat berarti bagi penulis. Karena itu, dengan rendah hati penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Kaprodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi yang telah membantu dan membimbing penulis secara akademik baik di dalam maupun di luar kelas. 2. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing skripsi yang telah banyak memberikan waktunya untuk memberikan bimbingan, pengarahan, masukan, kritik, saran dan dukungan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. 3. Ibu Maria Vianney Anny Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji yang pernah memberikan masukan untuk penulis. 4. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing sementara. Terimakasih atas lelucon, ide, dan semangat yang diberikan. 5. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen yang menginspirasiku secara tak langsung lewat canda tawa. 6. Bapak/Ibu Dosen Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi yang telah mendidik penulis selama menjalani studi di Fakultas Sains dan Teknologi ini. Terima kasih atas bimbingan dan arahannya selama ini. 7. Bapak Zaerilus Tukija, Ibu Erma Linda Santyas Rahayu, Ibu Chatarina Maria sri Wijayanti, Mas Dwiratno Susilo dan para staff lain yang telah banyak memberikan bantuan di sekretariat FST dan laboratorium atas pelayanan administrasi dan bantuan yang diberikan. x

11 8. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staff yang telah menyediakan fasilitas dan pelayanan kepada penulis selama masa perkuliahan. 9. Mama dan Papa tercinta dan terkasih, terima kasih buat semua doa, didikan, bimbingan, nasehat, dukungan dan kepercayaan yang diberikan pada penulis untuk mengambil keputusan dan langkah dalam menjalani kehidupan ini. 1. Grace Dalinartha dan Esther Natalia, S.Sn., kedua kakakku yang cerewet tapi baik hati ini. Terima kasih untuk bantuan yang tak terhingga kalian untukku. 11. Kie Van Ivanky Saputra, S.Si., Ph.D., yang banyak membantu aku menjelaskan dan memecahkan persoalan-persoalan mata kuliah dan skripsi. 12. Untuk Sang Pemberi Kisah dalam hidupku yang tidak ingin disebutkan namanya, yang mengajariku untuk selalu tegar untuk setiap cobaan. 13. Teman-teman Universitas Kristen Maranatha, khususnya Reymon Marlisyuniardi dan Yohanes Daniel Pangaribuan yang bersedia membantu dalam penjelasan-penjelasan bidang IT yang dibahas dalam skripsi ini. 14. Teman-teman Kost Wisma Manunggal, Riko, Doddy, Qnoy, Pipin, Desy yang tidak pernah lelah memberikan semangat untukku. 15. Teman-teman Matematika, terima kasih untuk keceriaan, kebersamaan, dinamika, pertemuan, dan dukungan. 16. Semua pihak yang belum penulis sebutkan satu per satu di sini, terima kasih untuk semua dukungan dan perhatiannya. Penulis juga menyadari bahwa tulisan ini jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan adanya saran dan kritikan dari pembaca yang dapat membangun penulis untuk mengembangkan kemampuan penulis menjadi lebih baik. Penulis berharap agar skripsi ini dapat menjadi inspirasi bagi pembaca. Penulis, Lina Meiliana xi

12 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... iii HALAMAN PENGESAHAN... iv HALAMAN PERSEMBAHAN... v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... vi LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS... vii ABSTRAK... viii ABSTRACT... ix KATA PENGANTAR... x DAFTAR ISI... xii BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang Masalah... 1 B. Rumusan Masalah... 6 C. Batasan Masalah... 7 D. Tujuan Penulisan... 7 E. Metode Penulisan... 7 F. Manfaat Penulisan... 7 G. Sistematika Penulisan... 8 BAB II NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN... 9 A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen... 9 B. Nilai Eigen Matriks Segitiga C. Nilai Eigen Matriks Pangkat D. Nilai Eigen Kompleks E. Kegandaan Aljabar xii

13 F. Nilai Eigen Matriks G. Nilai Eigen Matriks Simetrik H. Determinan dan Teras Dinyatakan dalam Nilai Eigen I. Diagonalisasi... 3 BAB III METODE KUASA A. Metode Kuasa B. Metode Kuasa dengan Perskalaan Euclides C. Metode Kuasa dengan Perskalaan Entri Maksimum D. Laju Konvergensi Hasil Bagi Rayleigh E. Prosedur Penghentian Iterasi F. Aplikasi Metode Kuasa pada Mesin Pencari Internet BAB IV PENUTUP... 6 DAfTAR PUSTAKA xiii

14 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Internet dapat diartikan sebagai jaringan komputer luas dan besar yang mendunia, yaitu menghubungkan pemakai komputer dari suatu negara ke negara lain di seluruh dunia, di mana di dalamnya terdapat berbagai sumber daya informasi dari mulai yang statis hingga yang dinamis dan interaktif. Sejarah internet dimulai pada 1969 ketika Departemen Pertahanan Amerika, melalui U.S. Defense Advanced Research Projects Agency (DARPA) memutuskan untuk mengadakan riset tentang bagaimana menghubungkan sejumlah komputer sehingga membentuk jaringan organik. Program riset ini dikenal dengan nama ARPANET. Pada 197, sudah lebih dari 1 komputer yang berhasil dihubungkan satu sama lain sehingga mereka bisa saling berkomunikasi dan membentuk sebuah jaringan. Tahun 1972, Roy Tomlinson berhasil menyempurnakan program e- mail yang ia ciptakan setahun yang lalu untuk ARPANET. Program ini begitu mudah sehingga langsung menjadi populer. Pada tahun yang sama, juga diperkenalkan sebagai lambang penting yang menunjukkan "at" atau "pada". Tahun 1973, jaringan komputer ARPANET mulai dikembangkan ke luar Amerika Serikat. Komputer University College di London merupakan komputer pertama yang ada di luar Amerika yang menjadi anggota jaringan Arpanet. Pada tahun yang sama, dua orang ahli

15 2 komputer yakni Vinton Cerf dan Bob Kahn mempresentasikan sebuah gagasan yang lebih besar, yang menjadi cikal bakal pemikiran internet. Ide ini dipresentasikan untuk pertama kalinya di Universitas Sussex. Hari bersejarah berikutnya adalah tanggal 26 Maret 1976, ketika Ratu Inggris berhasil mengirimkan dari Royal Signals and Radar Establishment di Malvern. Setahun kemudian, sudah lebih dari 1 komputer yang bergabung di ARPANET membentuk sebuah jaringan. Pada 1979, Tom Truscott, Jim Ellis dan Steve Bellovin, menciptakan newsgroups pertama yang diberi nama USENET. Tahun 1981 France Telecom menciptakan gebrakan dengan meluncurkan telpon televisi pertama, dimana orang bisa saling menelpon sambil berhubungan dengan video link. Karena komputer yang membentuk jaringan semakin hari semakin banyak, maka dibutuhkan sebuah protokol resmi yang diakui oleh semua jaringan. Pada tahun 1982 dibentuk Transmission Control Protocol atau TCP dan Internet Protokol atau IP yang kita kenal semua. Sementara itu di Eropa muncul jaringan komputer tandingan yang dikenal dengan Eunet, yang menyediakan jasa jaringan komputer di negara-negara Belanda, Inggris, Denmark dan Swedia. Jaringan Eunet menyediakan jasa dan newsgroup USENET. Untuk menyeragamkan alamat di jaringan komputer yang ada, maka pada tahun 1984 diperkenalkan sistem nama domain, yang kini kita kenal dengan DNS atau Domain Name System. Komputer yang tersambung dengan jaringan yang ada sudah melebihi 1 komputer lebih. Pada 1987 jumlah

16 3 komputer yang tersambung ke jaringan melonjak 1 kali lipat menjadi 1. lebih. Tahun 1988, Jarko Oikarinen dari Finland menemukan dan sekaligus memperkenalkan IRC atau Internet Relay Chat. Setahun kemudian, jumlah komputer yang saling berhubungan kembali melonjak 1 kali lipat dalam setahun. Tak kurang dari 1. komputer kini membentuk sebuah jaringan. Tahun 199 adalah tahun yang paling bersejarah, ketika Tim Berners Lee menemukan program editor dan browser yang bisa menjelajah antara satu komputer dengan komputer yang lainnya, yang membentuk jaringan itu. Program inilah yang disebut www, atau World Wide Web. Tahun 1992, komputer yang saling tersambung membentuk jaringan sudah melampaui sejuta komputer, dan di tahun yang sama muncul istilah surfing the internet. Tahun 1994, situs internet telah tumbuh menjadi 3 alamat halaman, dan untuk pertama kalinya virtual-shopping atau e-retail muncul di internet. Dunia langsung berubah. Di tahun yang sama Yahoo! didirikan, yang juga sekaligus kelahiran Netscape Navigator 1.. Secara umum ada banyak manfaat yang dapat diperoleh apabila seseorang mempunyai akses ke internet. Berikut ini sebagian dari apa yang tersedia di internet : 1. Informasi untuk kehidupan pribadi: kesehatan, rekreasi, hobi, pengembangan pribadi, rohani, dan sosial.

17 4 2. Informasi untuk kehidupan profesional/pekerja: sains, teknologi, perdagangan, saham, komoditas, berita bisnis, asosiasi profesi, asosiasi bisnis, berbagai forum komunikasi. Satu hal yang paling menarik adalah keanggotan internet tidak mengenal batas negara, ras, ekonomi, ideologi, atau faktor-faktor lain yang biasanya dapat menghambat pertukaran pikiran. Internet adalah suatu komunitas dunia yang sifatnya sangat demokratis serta memiliki kode etik yang dihormati segenap anggotanya. Manfaat internet terutama diperoleh melalu kerjasama antar pribadi atau kelompok yang tanpa mengenal batas jarak dan waktu. Keberadaan situs tidak ada gunanya dibangun tanpa dikunjungi atau dikenal oleh masyarakat atau pengguna internet. Karena efektif atau tidaknya situs sangat tergantung dari besarnya pengunjung dan komentar yang masuk. Untuk mengenalkan situs kepada masyarakat memerlukan apa yang disebut publikasi atau promosi. Publikasi situs di masyarakat dapat dilakukan dengan berbagai cara seperti dengan pamflet-pamflet, selebaran, baliho dan lain sebagainya tapi cara ini bisa dikatakan masih kurang efektif dan sangat terbatas. Cara yang biasanya dilakukan dan paling efektif dengan tak terbatas ruang atau waktu adalah publikasi langsung di internet melalui mesin pencari-mesin pencari (search engine, seperti : Yahoo, Google, Search Indonesia, dan sebagainya). Cara publikasi di mesin pencari ada yang gratis dan ada pula yang membayar. Yang gratis biasanya terbatas dan cukup lama untuk bisa masuk dan dikenali di mesin pencari terkenal seperti Yahoo atau Google. Cara efektif

18 5 publikasi adalah dengan membayar, walaupun harus sedikit mengeluarkan biaya, akan tetapi situs cepat masuk ke mesin pencari dan dikenal oleh pengguna. Teori yang mendasari cara kerja mesin pencari internet ini adalah Metode Kuasa yang berkaitan dengan nilai eigen dan vektor eigen. Banyak penerapan yang mengharuskan kita menemukan suatu matriks taknol sedemikian sehingga λ, dengan A adalah matriks n n yang diketahui dan λ adalah skalar. Masalah ini dinamakan masalah nilai eigen dan merupakan masalah matriks kedua yang paling sering dijumpai selain masalah pemecahan sistem persamaan linear. Nilai eigen matriks bujursangkar, secara teori dapat ditemukan dengan menentukan persamaan karakteristik. Namun, prosedur ini memiliki begitu banyak kesulitan perhitungan yang hampir tidak pernah digunakan dalam aplikasi. Metode Kuasa akan membahas sebuah algoritma yang dapat digunakan untuk mendekati nilai eigen dengan nilai mutlak terbesar dan vektor eigen yang sesuai. Nilai eigen dan vektor eigen yang sesuai sangat penting karena mereka muncul secara alami dalam berbagai proses iteratif. Metode yang akan dibahas dalam bagian ini telah diterapkan untuk menghasilkan mesin pencari internet yang sangat cepat, dan akan dijelaskan bagaimana hal tersebut dilakukan. Metode Kuasa adalah metode hampiran yang menggunakan barisan pangkat dari suatu matriks untuk mendapatkan nilai eigen dominan suatu matriks yang memenui sifat untuk 2, 3,,, dengan merupakan nilai eigen dominan.

19 6 Pengurutan hasil pencarian pada mesin pencari saat ini menjadi titik fokus bagi mesin pencari untuk menampilkan hasil pencarian yang penting. Sistem pengurutan diharapkan memberikan hasil yang signifikan. PageRank merupakan sistem pengurutan yang digunakan Google dan merupakan salah satu sistem pengurutan yang bekerja berdasarkan analisa jalur. Perhitungan pengurutan dengan menggunakan algoritma PageRank saat ini menjadi banyak perbincangan para peneliti karena perhitungan tersebut menghabiskan waktu yang lama, dan berhari-hari sehingga jika ada halaman baru tiap detik, maka PageRank tidak secara langsung memperbaharui halaman tersebut tetapi menunggu waktu perhitungan PageRank selanjutnya yang akan dilakukan secara offline. Untuk mempercepat perhitungan PageRank, dalam penelitian digunakan Hasil Bagi Rayleigh. Hasil Bagi Rayleigh dapat mempercepat konvergensi dengan cara menentukan nilai eigen dominan sehingga perhitungan galat berdasarkan selisih nilai eigen dominan tersebut dengan nilai eigen dominan sebelumnya. Berdasarkan analisa dari hasil uji coba, didapatkan bahwa waktu perhitungan PageRank dengan menggunakan Hasil Bagi Rayleigh lebih cepat dibandingkan dengan tanpa menggunakan Hasil Bagi Rayleigh. B. Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud dengan Metode Kuasa? 2. Bagaimana aplikasi metode kuasa pada mesin pencari internet?

20 7 C. Batasan Masalah Dalam skripsi ini, penulis hanya membahas aplikasi pada mesin pencari internet berdasarkan operasi-operasi matriks. D. Tujuan Penelitian Penulisan skripsi ini bertujuan untuk mengetahui prinsip dan landasan teori yang digunakan dan bagaimana mesin pencari internet bekerja sehingga menghasilkan kecepatan yang sangat tinggi dalam menyajikan suatu informasi. E. Metode Penulisan Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal ilmiah, dan makalah yang telah dipublikasikan. Oleh karena itu dalam skripsi ini tidak disajikan hal baru dalam bidang matematika. F. Manfaat Penulisan Memahami cara kerja mesin pencari internet dengan kecepatan yang sangat tinggi dalam penyajian suatu informasi.

21 8 G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi gambaran secara umum tentang isi skripsi yang meliputi latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan. BAB II NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Bab ini berisi beberapa teori yang melandasi pembahasan, yaitu nilai eigen dan vektor eigen, nilai eigen pada matriks segitiga, matriks pangkat, nilai eigen kompleks, kegandaan aljabar, nilai eigen matriks 22, nilai eigen matriks simetris 22, dan nilai eigen dalam determinan dan teras suatu matriks. BAB III METODE KUASA DAN APLIKASINYA PADA MESIN PENCARI INTERNET Bab ini membahas tentang metode kuasa, metode kuasa dengan perskalaan Euclides dan entri maksimum, dan aplikasinya yang digunakan pada mesin pencari internet. BAB IV PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dari keseluruhan materi yang telah dipaparkan.

22 BAB II NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Banyak aplikasi dari Aljabar Linear yang melibatkan sistem dengan n persamaan linear dan n variabel yang dinyatakan dalam bentuk, (2.1.1) dengan λ adalah suatu skalar, x adalah suatu sebarang vektor taknol di, dan A adalah suatu matriks n n. Sistem semacam ini sebenarnya merupakan sistem linear yang tersamar, karena persamaan (2.1.1) dapat ditulis kembali sebagai, atau dengan menyisipkan suatu matriks identitas dan memfaktorkannya menjadi. (2.1.2) Masalah utama yang harus diperhatikan untuk sistem linear yang terbentuk pada persamaan (2.1.2) adalah bagaimana menentukan nilai λ sehingga sistem tersebut memiliki penyelesaian taktrivial. Nilai λ yang demikian disebut nilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks A, dan penyelesaian taktrivial dari persamaan (2.1.2) disebut vektor eigen dari A yang terkait dengan λ. Sistem (λi A)x = memiliki penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika (2.1.3) yang disebut persamaan karakteristik dari A. Nilai-nilai eigen dari A dapat dicari dengan menyelesaikan λ pada persamaan ini. Determinan

23 1 adalah sebuah polinomial dalam variabel λ yang disebut polinomial karakteristik matriks A. Definisi Jika A adalah sebuah matriks n n, maka skalar λ disebut nilai eigen dari A jika terdapat vektor taknol x sedemikian sehingga. Jika λ adalah nilai eigen dari A, maka vektor taknol x sedemikian hingga disebut vektor eigen dari A yang berkaitan dengan λ. Cara untuk menentukan nilai eigen dari matriks A adalah dengan menulis kembali persamaan menjadi. Persamaan tersebut mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika. Skalar-skalar λ yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen dari A. Teorema Jika matriks A adalah sebuah matriks n n dan λ adalah skalar, maka pernyataan berikut adalah ekivalen : (a) λ adalah nilai eigen dari A. (b) λ adalah penyelesaian persamaan. (c) Sistem linear mempunyai penyelesaian taktrivial.

24 11 Bukti : Berdasarkan definisi, λ adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat vektor taknol x sedemikian sehingga, yang ekivalen dengan. yaitu sistem persamaan linear homogen ini mempunyai penyelesaian taktrivial, yang terjadi jika dan hanya jika. yaitu λ adalah penyelesaian dari persamaan tersebut. Contoh Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen terkait dari matriks Mencari nilai eigen dengan persamaan karakteristik Persamaan karakteristik dari A adalah , , 32 12, 3 1, 2 5. (2.1.4)

25 12 Jadi nilai eigen dari A adalah 2 dan 5. Untuk menentukan vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen tersebut, harus diselesaikan sistem penyelesaian (2.1.5) Untuk 2, persamaan (2.1.5) akan menjadi , Penyelesaian ini memberikan hasil,, (2.1.6) maka vektor eigen yang berkaitan dengan 2 adalah vektor taknol berbentuk Periksa 1. (2.1.7) Dengan cara yang sama untuk 5, penyelesaiannya memberikan hasil,, (2.1.8) dan vektor eigen yang berkaitan dengan 5 adalah vektor taknol berbentuk. (2.1.9) 1

26 13 Jika λ adalah nilai eigen dari A dan x adalah vektor eigen yang terkait, maka, sehingga perkalian dengan A memetakan ke dalam suatu perkalian skalar dengan dirinya sendiri. Pada dan, ini berarti bahwa perkalian dengan A memetakan setiap vektor eigen x ke suatu vektor yang terletak pada garis yang sama dengan. Operator linear memperkecil dengan suatu faktor λ jika 1 atau memperbesar dengan suatu faktor λ jika 1. Jika, maka membalik arah, dan memperkecil vektor yang telah diputar tersebut dengan suatu faktor λ jika 1 atau memperbesar vektor yang telah diputar tersebut dengan suatu faktor λ jika 1. Contoh Akan dicari nilai eigen dari matriks Dari determinan 1 det (2.1.1) didapatkan persamaan karakteristik (2.1.11) Untuk mencari penyelesaian persamaan ini, akan dimulai dengan mencari penyelesaian bilangan bulatnya. Penyelesaian bilangan bulat (jika memang ada) untuk sebuah persamaan polinomial dengan koefisien-koefisien bilangan bulat

27 14 haruslah merupakan faktor-faktor pembagi dari konstanta. Sehingga, penyelesaian bilangan bulat yang mungkin dari persamaan (2.1.11) hanyalah faktor-aktor pembagi dari bilangan 4, yaitu 1, 2, dan 4. Dengan mensubstitusi nilai tersebut secara berturut-turut ke dalam persamaan (2.1.11) akan menghasilkan 4 sebagai sebuah penyelesaian bilangan bulatnya. Sebagai konsekuensinya, 4 haruslah merupakan salah satu faktor dari ruas kiri persamaan (2.1.11), sehingga persamaan (2.1.11) dapat ditulis kembali menjadi Maka, penyelesaian persamaan (2.1.11) adalah 4, 2 3, 2 3. Definisi Ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen disebut ruang eigen dari matriks A yang berkaitan dengan nilai eigen λ. Vektor-vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen λ adalah adalah vektor-vektor taknol dalam ruang eigen. B. Nilai Eigen Matriks Segitiga Jika A adalah matriks segitiga n n dengan entri diagonal,,,, maka adalah matriks segitiga dengan entri diagonal,,,. Jadi polinomial karateristiknya adalah,

28 15 yang secara tidak langsung menyatakan bahwa nilai eigen dari A adalah,,, Teorema Jika A adalah matriks segitiga n n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka nilai-nilai eigennya adalah entri diagonal utama dari matriks A. Bukti : Misalkan A adalah matriks segitiga atas. Telah diketahui bahwa nilai determinan sebuah matriks segitiga adalah hasil kali entri-entri yang terletak pada diagonal utamanya, maka det,, sehingga diperoleh persamaan karakteristiknya dan nilai-nilai eigennya adalah,,,,, yang merupakan entri-entri diagonal utama matriks A.

29 16 Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula untuk matriks segitiga bawah dan matriks diagonal. Jadi terbukti bahwa nilai eigen matriks segitiga adalah entri-entri diagonal utamanya. C. Nilai Eigen Matriks Pangkat Ketika nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks A telah ditemukan, tidaklah sulit untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari pangkat bilangan bulat positif sebarang dari A. Sebagai contoh, jika λ merupakan nilai eigen dari A dan x merupakan vektor eigen terkaitnya, maka, yang menunjukkan bahwa nilai eigen dari dan x adalah vektor eigen kaitannya. Teorema Jika λ adalah nilai eigen dari matriks A, x adalah vektor eigen kaitannya, dan k adalah sebarang bilangan bulat positif, maka adalah nilai eigen dari matriks dan x adalah vektor eigen yang terkait dengannya. Bukti : Misalkan A adalah matriks persegi dan x adalah vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen λ. Maka, yaitu Teorema benar untuk k = 1. Andaikan. Akan dibuktikan bahwa.

30 17 Sehingga. Jadi Teorema benar untuk setiap bilangan bulat positf k. D. Nilai Eigen Kompleks Bukanlah hal yang mustahil bahwa persamaan karakteristik sebuah matriks yang entri-entrinya bilangan real memiliki penyelesaian bilangan kompleks. Sebagai contoh, polinomial karakteristik dari matriks adalah 2 1 (2.4.1) , (2.4.2) sehingga persamaan karakteristiknya adalah 1. Akar-akar persamaan karakteristiknya merupakan bilangan kompleks dan. Dengan demikian, kita harus berurusan dengan nilai eigen bilangan kompleks, bahkan untuk matriks real sekalipun. Penyelesaian kompleks dari persamaan karakteristik disebut nilai eigen kompleks.

31 18 E. Kegandaan Aljabar Jika A adalah matriks n n, maka suatu bentuk khusus dari determinan adalah polinomial berderajat n di mana koefisien adalah 1, yaitu, (2.5.1) bentuk polinomialnya adalah, (2.5.2) yang disebut polinomial karakteristik dari A. Sebagai contoh, polinomial karakteristik dari matriks A 2 2 dalam Contoh adalah polinomial berderajat dua, 3 1 (lihat persamaan (2.1.4)) dan polinomial karakteristik matriks A 3 3 dalam Contoh adalah polinomial berderajat tiga, (lihat persamaan (2.1.11)). Salah satu dari ketiga hal di bawah ini dapat terjadi untuk faktorfaktor polinomial karakteristik, 1. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar real yang berbeda, sebagai contoh Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar real yang berbeda, namun terdapat pengulangan beberapa faktor, sebagai contoh

32 19 3. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar kompleks, sebagai contoh Dapat dibuktikan bahwa jika nilai eigen kompleks dimungkinkan, maka polinomial karakteristik dari matriks A n n dapat difaktorkan menjadi (2.5.3) di mana,, adalah nilai-nilai eigen dari A. Hal ini disebut pemfaktoran linear lengkap dari polinomial karakteristik. Jika k faktorfaktor pertama berbeda, dan sisanya merupakan pengulangan dari k faktorfaktor pertama, maka persamaan (2.5.3) dapat ditulis kembali menjadi (2.5.4) di mana,, adalah nilai-nilai eigen yang berbeda dari A. Pangkat disebut kegandaan aljabar dari nilai eigen yang menggambarkan berapa kali pengulangan nilai eigen dalam pemfaktoran linear lengkap dari polinomial karaktersitik. Jumlahan dari kegandaan aljabar nilai eigen dalam persamaan (2.5.4) harus sama dengan n, karena polinomial karaktersitik berderajat n. Sebagai contoh, jika A matriks 6 6 dengan polinomial karakteristiknya adalah maka nilai eigen berbeda dari A adalah, 1, dan 2, dan kegandaan aljabar nilai eigen ini berturut-turut adalah 3, 2, 1, yang jumlahannya sampai dengan 6.

33 2 Teorema Jika A adalah matriks n n, maka polinomial karakteristik dari A dapat dinyatakan sebagai di mana,, adalah nilai eigen yang berbeda dari A dan. Bukti : Polinomial karakteristik dari A adalah :, di mana,,, adalah pengulangan faktor yang berbeda sedemikian sehingga jumlahan yang sama dengan pangkat tertinggi dari λ. F. Nilai Eigen Matriks 2 2 Definisi Jika A adalah sebuah matrks bujursangkar, maka teras dari A, yang dinyatakan sebagai, adalah jumlahan entri-entri pada diagonal utama A.

34 21 Selanjutnya, akan dibahas nilai-nilai eigen matriks 2 2 dalam Teorema berikut. Teorema Jika A adalah matriks 2 2 dengan entri bilangan real, maka persamaan karakteristik dari A adalah, dan (a) A mempunyai dua nilai eigen real yang berbeda bila 4 ; (b) A mempunyai satu nilai eigen real yang berulang bila 4 ; (c) A mempunyai dua nilai eigen kompleks bila 4. Bukti : Misalkan dengan,,,. Polinomial karakteristik dari A adalah det. Karena teras dari matriks A adalah dan determinan dari matriks A adalah, maka

35 22 (2.6.1) sehingga persamaan karakteristik dari matriks A adalah (2.6.2) Akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah, 4det 2 (a) Jika 4, maka A mempunyai dua nilai eigen real berbeda, yaitu (b) Jika 4, maka,, yaitu A mempunyai satu nilai eigen real yang berulang. dan. (c) Jika 4, maka 4 merupakan bilangan kompleks, sehingga A mempunyai dua nilai eigen kompleks, yaitu dan. Contoh Dengan menggunakan persamaan karakteristik pada persamaan (2.6.2) akan dicari nilai eigen dari (a) , (b), (c) Diketahui 7 dan 12, maka persamaaan karakteristik dari A adalah 712,

36 23 hasil pemfaktorannya adalah 4 3, maka nilai eigennya 4 dan 3. Dengan cara yang sama, maka nilai eigen pada soal (b) adalah 1, dan nilai eigen pada soal (c) adalah 23. G. Nilai Eigen Matriks Simetrik 2 2 Teorema Matriks simetrik 2 2 dengan entri real mempunyai nilai eigen real. Jika A berbentuk, (2.7.1) maka A mempunyai satu nilai eigen berulang, yakni. Bukti : Misalkan matriks simetrik 2 2 adalah, maka 4 4 4, sehingga dengan Teorema (a) dan (b), A mempunyai nilai eigen real. Jika, maka 4 4 4, sehingga A mempunyai satu nilai eigen berulang, yaitu.

37 24 Teorema (a) Jika sebuah matriks simetrik 2 2 dengan entri real mempunyai nilai eigen berulang, maka ruang eigen terkaitnya adalah. (b) Jika sebuah matriks simetrik 2 2 dengan entri real mempunyai dua nilai eigen berbeda, maka ruang eigen terkaitnya adalah dua garis tegak lurus yang melalui titik pada. Bukti : (a) Misalkan matriks simetrik 2 2 adalah. Jika A mempunyai nilai eigen berulang, maka 4 4. Karena 4 jika hanya jika dan, maka matriks, sehingga nilai eigen berulangnya adalah λ. Menu- rut Definisi 2.1.2, ruang eigen yang terkait dengan nilai eigen λ adalah ruang penyelesaian dari sistem persamaan linear homogen yaitu setiap titik dalam. Maka ruang eigen terkaitnya adalah. (b) Jika A mempunyai dua nilai eigen berbeda, maka 4 4. Kedua nilai eigen tersebut adalah

38 25 dan. Ruang eigennya adalah ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen Untuk, maka. Misalkan dan, maka. Selanjutnya dengan operasi baris elementer diperoleh 1. yang menghasilkan 2 dan 4. Penyelesaian tersebut merupakan garis melalui di yang berkaitan dengan.

39 26 Dengan cara yang sama, untuk akan diperoleh penyelesaian 2 dan 4. yang merupakan garis melalui di yang berkaitan dengan. Kedua garis tersebut saling tegak lurus karena Jadi terbukti bahwa ruang eigen terkaitnya adalah dua garis tegak lurus yang melalui titik pada. Contoh Tentukan ruang eigen dari matriks simetrik Karena 6 dan 5, maka persamaan karakteristik dari A adalah

40 27 sehingga nilai eigen dari A adalah 1 dan 5. Ruang eigennya adalah ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen (2.7.2) Untuk 1, persamaan menjadi Penyelesaian ini menghasilkan,, (2.7.3) yang merupakan persamaan parameter dari garis. Garis ini adalah ruang eigen yang terkait dengan 1. Dengan cara yang sama, untuk 5 akan dihasilkan penyelesaian,, (2.7.4) yang merupakan persamaan parameter dari garis. (λ = 1) y = x y (λ = 5) y = x (-1, 1) (1,1) x Gambar 2.1 Garis dan adalah dua garis tegak lurus yang melalui di, seperti dikatakan dalam Teorema (b). Vektor-vektor pada persamaan dan dapat ditulis dengan bentuk

41 dan 1 1, dengan vektor perentangnya adalah 1 1 dan 1 (2.7.5) 1 yaitu dua vektor eigen yang orthogonal. H. Determinan dan Teras Matriks Dinyatakan dalam Nilai Eigen Teorema Jika A adalah matriks n n dengan nilai eigen,,, (mungkin ada yang berulang), maka (a) b Bukti : (a) Dengan menulis polinomial karakteristik dalam bentuk faktorisasi: (2.8.1) dan dengan memasukkan, dihasilkan 1. Karena 1, maka. (2.8.2) (b) Misalkan, maka (2.8.3)

42 29 Bila dihitung dari determinan tersebut dengan membentuk jumlahan dari perkalian elementer bertanda, maka perkalian elementer yang memuat entri yang tidak berada pada dari diagonal utama dari sebagai faktor, akan memuat paling banyak 2 faktor yang melibatkan λ. Jadi koefisien dari dalam sama dengan koefisien dari dalam perkalian Dengan mengembangkan perkalian tersebut, akan diperoleh (2.8.4) Dan dengan mengembangkan persamaan pada 2.8.1, akan diperoleh sehingga didapatkan Contoh Akan dicari determinan dan teras dari matriks 3 3 yang mempunyai karakteristik polinomial 32. (2.8.5) Polinomial tersebut dapat difaktorkan menjadi 1 2, maka nilai eigennya adalah 1, 1, dan 2. Jadi, 2 dan.

43 3 I. Diagonalisasi Definisi Sebuah matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalkan jika terdapat sebuah matriks P yang yang taksingular sedemikian sehingga adalah sebuah matriks diagonal. Matriks P dikatakan mendiagonalkan matriks A. Definisi Matriks A dan B yang berukuran n n dikatakan similar jika terdapat matriks P yang taksingular sedemikian sehingga. (2.9.1) Teorema Jika A adalah sebuah matriks n n, maka A dapat didiagonalkan jika hanya jika matriks A memiliki n vektor eigen yang bebas linear. Bukti: Misalkan matriks A berukuran n n dan memiliki n buah vektor eigen yang bebas linear, yaitu,,,. Vektor-vektor eigen tersebut dapat disusun sebagai kolom-kolom dari matriks P berukuran n n.

44 31 Matriks P tersebut taksingular karena mempunyai n vektor kolom di yang bebas linear. Maka A A λ λ (2.9.2) karena, dengan adalah nilai eigen yang berkaitan dengan vektor eigen 1, 2,,. Misalkan D matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal nilai eigen. Maka λ λ λ (2.9.3) λ λ. Maka. Karena P taksingular, maka: (2.9.4) Jadi matriks A dapat didiagonalkan. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika matriks A dapat didiagonalkan, maka A mempunyai n buah vektor eigen yang bebas linear. Misalkan matriks A similar dengan matriks diagonal D dengan

45 32 elemen-elemen diagonalnya,,,, dan adalah matriks taksingular sedemikian sehingga. Maka. Karena (2.9.5) dan (2.9.6) maka untuk 1, 2,,. Hal ini berarti bahwa merupakan vektor eigen dari matriks A dengan adalah nilai eigen yang berkaitan untuk 1, 2,,. Karena P adalah matriks yang taksingular, maka vektor-vektor,,, bebas linear. Jadi A mempunyai n buah vector eigen yang bebas linear. Dari bukti di atas, didapatkan langkah-langkah untuk mendiagonalikan sebuah matriks A berukuran n n, sebagai berikut : Langkah 1 : Tentukan vektor-vektor eigen yang bebas linear dari A. Langkah 2 : Susun vektor-vektor eigen tersebut sebagai kolom-kolom dari matriks P. Langkah 3 : Tentukan Langkah 4 : Tentukan di mana D adalah matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonalnya adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.

46 33 Contoh Diketahui matriks yang mempunyai nilai eigen 2 dan 3 dan vektor eigen yang berkaitan adalah 1,1 dan 7, 2. Dengan mengambil , maka 7 2, se- 1 1 hingga Definisi Sebuah matriks bujursangkar A disebut matriks ortogonal jika. Dengan kata lain untuk matriks A tersebut berlaku. Definisi Matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalkan secara orthogonal jika terdapat matriks orthogonal P dan matriks diagonal D sedemikian sehingga. Teorema Matriks bujur sangkar A dapat didiagonalkan secara orthogonal jika dan hanya jika A matriks simetrik.

47 34 Bukti: Misalkan A adalah matriks yang dapat didiagonalkan secara orthogonal. Maka terdapat matriks orthogonal P dan matriks diagonal D sedemikian sehingga, sehingga. (2.9.8) Karena D adalah matriks diagonal, maka, sehingga yaitu A adalah matriks simetrik. Sebaliknya, dengan induksi matematis, akan dibuktikan bahwa jika A matriks simetrik, maka A dapat didiagonalkan secara orthogonal. Untuk matriks berukuran 1 1, jelas bahwa A dapat didiagonalkan secara orthogonal. Untuk 2, asumsikan bahwa setiap matriks simetrik 1 1 dapat didiagonalkan secara orthogonal. Misalkan A matriks simetrik berukuran, maka A selalu mempunyai nilai eigen real λ. Misalkan vektor eigen yang berkaitan dengan λ, dan, sehingga 1. Selanjutnya dengan menggunakan algoritma Gram-Schmidt ditentukan vektor-vektor,, sehingga,,, adalah himpunan vektor-vektor othonormal. Misalkan. Maka Q adalah matriks orthogonal, dan

48 35 dan. Karena,,, orthonomal, maka dengan * adalah elemen yang mungkin taknol. Tetapi Karena matriks A simetrik, maka matriks B juga simetrik. Oleh karena itu, baris pertama dari matriks B sama dengan kolom pertamanya. Jadi, bentuk B adalah di mana C adalah matriks simetrik berukuran 1 1. Berdasarkan asumsi, ada matriks orthogonal R dan matriks diagonal sedemikian sehingga. Dibentuk matriks

49 36 1 yang juga merupakan matriks orthogonal, karena vektor-vektor kolomnya orthonormal. Selanjutnya 1 1. Jadi yang merupakan matriks diagonal. Misalkan, maka merupakan matriks orthogonal karena dan matriks-matriks orthogonal, dan Jadi, matriks dapat didiagonalkan secara orthogonal.

50 37 Teorema Vektor-vektor eigen yang berkaitan dengan nilai-nilai eigen yang berbeda dari matriks simetrik adalah orthogonal Bukti: Misalkan A matriks simetrik, dan adalah nilai-nilai eigen berbeda dari matriks A, dan, vektor-vektor eigen yang berkaitan. Akan ditunjukkan bahwa. Perhatikan bahwa dan (2.9.7) Selanjutnya Dengan demikian, kedua ruas kanan dari persamaan (2.9.7) adalah sama, yaitu Karena, maka.

51 38 Contoh Diketahui matriks simetrik yang mempunyai nilai eigen 2 2 6, 6, dan 9 dan vektor-vektor eigen yang berkaitan adalah 4,1,1,,1,1, dan 1,2,2, dengan yaitu vektor-vektor eigen tersebut adalah orthogonal.

52 BAB III METODE KUASA A. Metode Kuasa Dalam banyak aplikasi suatu vektor dalam seringkali dikalikan secara berulang-ulang dengan matriks A berukuran n n sehingga menghasilkan suatu barisan,,,,,. Bentuk seperti ini disebut barisan kuasa yang dibangun oleh A. Dalam tulisan ini, akan dibahas kekonvergenan barisan kuasa tersebut dan hubungannya dengan nilai eigen dan vektor eigen. Definisi Jika nilai-nilai eigen yang berbeda dari sebuah matriks A adalah,,,, dan jika lebih besar dari,,, maka disebut nilai eigen dominan dari A. Vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen dominan disebut vektor eigen dominan dari A. Contoh Diketahui nilai-nilai eigen sebuah matriks adalah 4, 2, 1, dan 3. Nilai 4 merupakan nilai eigen dominan karena 4 lebih besar dari nilai mutlak nilai eigen lainnya. Namun, jika diketahui nilainilai eigen sebuah matriks adalah 7, 7, 2, dan 5, maka 7, sehingga tidak terdapat nilai eigen yang nilai mutlak-

53 4 nya lebih besar daripada semua nilai eigen lainnya, sehingga tidak terdapat nilai eigen dominan. Teorema Misalkan A adalah matriks simetrik n n dengan nilai eigen dominan positif. Jika adalah vektor satuan dalam yang tidak ortogonal terhadap ruang eigen yang terkait dengan, maka barisan kuasa ternormalkan,,,,, (3.1.1) konvergen ke vektor eigen dominan satuan dari matriks A, dan barisan,,,,, (3.1.2) konvergen ke nilai eigen dominan dari matriks A. Bukti : Misalkan matriks A simetrik berukuran n n, maka A dapat didiagonalkan secara orthogonal, sehingga A mempunyai n vektor eigen bebas linear,,, yang berkaitan dengan nilai eigen,,, dan membentuk basis di. Misalkan adalah nilai eigen dominan positif dari A, dan adalah vektor satuan dalam yang tidak orthogonal terhadap ruang eigen yang terkait dengan. Maka merupakan kombinasi linear dari vektorvektor basis :, sehingga

54 41 dan. karena lebih besar dari,,, maka untuk setiap i = 2, 3,, n, 1. Jadi untuk setiap i = 2, 3,, n, bila, sehingga untuk. Barisan dapat dinyatakan dengan,,,,, dan barisan tersebut konvergen ke vektor eigen dominan satuan karena, untuk. Terbukti barisan konvergen ke vektor eigen dominan satuan dari A. Karena konvergen ke, maka akan konvergen ke yang merupakan nilai eigen dominan dari matriks A.

55 42 B. Metode Kuasa dengan Perskalaan Euclides Teorema memberikan suatu algoritma untuk pendekatan nilai eigen dominan dan vektor eigen dominan satuan yang terkait dari sebuah matriks simetrik A, asalkan nilai eigen dominannya positif. Algoritma ini disebut metode kuasa dengan perskalaan Euclides, dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Langkah 1 : Pilihlah sebarang vektor satuan. 2. Langkah 2 : Tentukan dan normalkan untuk mendapatkan pendekatan pertama terhadap vektor eigen dominan satuan. Kemudian tentukan untuk memperoleh pendekatan pertama ke nilai eigen dominan. 3. Langkah 3 : Tentukan dan normalkan untuk mendapatkan pendekatan kedua terhadap vektor eigen dominan satuan. Kemudian tentukan untuk memperoleh pendekatan kedua ke nilai eigen dominan. 4. Langkah 4 : Tentukan dan normalkan untuk mendapatkan pendekatan ketiga terhadap vektor eigen dominan satuan. Kemudian tentukan untuk memperoleh pendekatan ketiga ke nilai eigen dominan. Lanjutkan langkah-langkah tersebut sampai menghasilkan barisan yang cukup untuk menghasilkan pendekatan yang terbaik untuk nilai eigen dominan dan vektor eigen dominan satuan yang terkait.

56 43 Contoh Akan digunakan metode kuasa dengan perskalaan Euclides pada matriks dengan 1 dan akan dibandingkan hasil penghitungan pada x 5 dengan nilai eigen dan vektor eigen dominan yang eksak. Pada Contoh 2.8.1, telah diketahui bahwa nilai eigen dari matriks A adalah 1 dan 5, maka nilai eigen dominan matriks A adalah 5. Ruang eigen yang terkait dengan 5 juga telah ditunjukkan pada Contoh 2.8.1, yang merupakan sebuah garis yang dsajikan oleh persamaan parameter x dan x, yang dapat ditulis dalam bentuk vektor sebagai 1 (3.2.1) 1 Jadi dengan mengambil dan akan diperoleh dua vektor eigen satuan dominan, yaitu dan (3.2.2) Sekarang akan digunakan metode kuasa untuk memperoleh pendekatan terhadap nilai eigen dan vektor eigen dominan

57 Jadi adalah pendekatan nilai eigen dominan dengan ketepatan lima angka desimal dan x 5 adalah pendekatan terhadap vektor eigen dominan dengan ketepatan tiga angka desimal C. Metode Kuasa dengan Perskalaan Entri Maksimum Variasi dari metode kuasa adalah metode di mana setiap iterasinya diskalakan dengan entri maksimum. Akan digunakan notasi max untuk menyatakan nilai mutlak terbesar dari entri-entri dalam vektor. Teorema Misalkan A adalah matriks simetrik n n dengan nilai eigen dominan positif. Jika adalah vektor taknol dalam yang tidak ortogonal terhadap ruang eigen yang terkait dengan, maka barisan,,,,, (3.3.1)

58 45 konvergen ke vektor eigen yang berkaitan dengan, dan barisan,,,,, (3.3.2) konvergen ke. Bukti : Misalkan matriks A simetrik berukuran n n, maka A dapat didiagonalkan secara orthogonal, sehingga A mempunyai n vektor eigen bebas linear,,, yang berkaitan dengan nilai eigen,,, dan membentuk basis di. Misalkan adalah nilai eigen dominan positif dari A, dan vektor satuan dalam yang tidak orthogonal terhadap ruang eigen yang terkait dengan. Maka merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor basis:, sehingga dan.

59 46 karena lebih besar dari,,, maka untuk setiap i = 2, 3,, n, 1. Jadi untuk setiap i = 2, 3,, n, bila, sehingga untuk. Barisan dapat dinyatakan dengan, max, max,, max, dan barisan tersebut konvergen ke vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen dominan, yaitu, karena untuk. Terbukti barisan konvergen ke vektor eigen dominan dari A. Karena konvergen ke, maka akan konvergen ke yang merupakan nilai eigen dominan dari matriks A. Definisi Hasil bagi Rayleigh dari vektor terhadap matriks A didefinisikan sebagai

60 47 Langkah-langkah Metode Kuasa dengan Perskalaan Entri Maksimum : 1. Langkah 1 : Pilihlah sebuah vektor taknol. 2. Langkah 2 : Tentukan dan kalikan dengan untuk menghasilkan pendekatan pertama terhadap vektor eigen dominan. Tentukan hasil bagi Rayleigh dari untuk menghasilkan pendekatan pertama terhadap nilai eigen dominan. 3. Langkah 3 : Tentukan dan kalikan dengan untuk menghasilkan pendekatan kedua terhadap vektor eigen dominan. Tentukan hasil bagi Rayleigh dari untuk menghasilkan pendekatan kedua terhadap nilai eigen dominan. 4. Langkah 4 : Tentukan dan kalikan dengan untuk menghasilkan pendekatan ketiga terhadap vektor eigen dominan. Tentukan hasil bagi Rayleigh dari untuk menghasilkan pendekatan ketiga terhadap nilai eigen dominan. Lanjutkan langkah-langkah tersebut sampai menghasilkan barisan yang cukup untuk pendekatan yang terbaik terhadap nilai eigen dominan dan vektor eigen yang berkaitan. Contoh Akan dihitung ulang Contoh dengan metode ini

61 Jadi adalah pendekatan terhadap nilai eigen dominan dengan ketelitian lima angka desimal, dan adalah pendekatan terhadap vektor eigen dominan 1 1 dengan mengambil 1 dalam persamaan D. Laju Konvergensi Hasil Bagi Rayleigh Jika A adalah matriks simetrik yang nilai-nilai eigennya yang berbeda dapat disusun sebagai berikut :,

62 49 maka laju hasil bagi Rayleigh konvergen ke nilai eigen dominan bergantung pada nilai perbandingan, yaitu konvergensi tersebut lambat bila per- bandingan itu mendekati 1 dan cepat bila perbandingan itu bernilai besar. Dengan kata lain, makin besar nilai perbandingan tersebut, makin cepat konvergensinya. Contoh Akan dibandingkan laju konvergensi Hasil Bagi Rayleigh pada matriks dengan nilai eigen 5 dan 1 dan matriks dengan nilai eigen 6 dan 1. Perbandingan pada matriks A adalah 5, dan perbandingan pada matriks B adalah 6. Maka laju konvergensi pada matriks B berjalan lebih cepat dibandingkan laju konvergensi pada matriks A. E. Prosedur Penghentian Iterasi Jika λ adalah nilai eksak dari nilai eigen dominan, dan adalah hasil pendekatan metode kuasa pada iterasi ke-k, maka (3.5.1) disebut galat relatif dalam. Jika nilai tersebut dinyatakan dalam prosentase, maka disebut galat prosentase dalam. Dalam aplikasi, biasanya ditentukan galat relatif E yang dapat diterima terhadap nilai eigen

63 5 dominan, dan tujuannya adalah untuk menghentikan langkah-langkah iterasi setelah galat relatif dalam pendekatan terhadap nilai eigen kurang dari E. Namun, terdapat masalah dalam menghitung galat relatif dengan menggunakan persamaan 3.5.1, karena nilai eigen λ tidak diketahui. Untuk menghindari masalah ini, biasanya λ diestimasi dengan λ k dan menghentikan iterasi ketika (3.5.2) di mana 2. Ruas kiri ketaksamaan disebut galat relatif estimasi dalam, dan bentuk prosentasenya disebut galat prosentase estimasi dalam. Contoh Akan ditentukan nilai terkecil dari k pada Contoh sedemikian sehingga galat prosentase estimasi dalam kurang dari.1% Pendekatan Galat Relatif Galat Prosentase : : : : % %.5.5%. % Jadi adalah pendekaan pertama yang galat prosentase estimasinya kurang dari.1%.

64 51 F. Aplikasi Metode Kuasa pada Mesin Pencari Internet Metode kuasa baru-baru ini telah digunakan untuk mengembangkan sebuah algoritma pencarian jenis baru yang didasarkan tidak pada isi halaman tetapi pada hipertaut (hyperlink) antara halaman-halaman. Algoritma itu, yang disebut algoritma PageRank, digunakan dalam mesin pencari Google dan dikembangkan pada tahun 1996 oleh Larry Page dan Sergey Brin di Universitas Stanford. Ide dasar di belakang metode tersebut adalah mengonstruksikan matriks-matriks yang sesuai yang menggambarkan struktur perujukan halaman-halaman yang sesuai dengan pencarian, dan kemudian menggunakan vektor eigen dominan matriks-matriks itu untuk menyusun daftar halaman-halaman tersebut dengan urutan menurun sesuai dengan kriteria terntentu. Cara kerja mesin pencari Google adalah sebagai berikut : 1. Bila pengguna meminta Google untuk mencari suatu kata atau frasa, langkah pertama adalah menggunakan mesin pencari standar berbasis teks untuk menemukan himpunan awal S dari situs-situs yang relevan, biasanya beberapa ratus atau lebih. 2. Karena kata-kata dapat memiliki beberapa makna, himpunan S biasanya juga memuat situs-situs yang tidak relevan, dan karena kata-kata dapat memiliki sinonim, himpunan S mungkin tidak memuat situs-situs penting yang menggunakan terminologi yang berbeda untuk kata-kata yang dicari. Oleh karena itu, Google kemudian mencari situs-situs yang merujuk ke situs-situs dalam S dan memperluas himpunan S menjadi himpunan S

65 52 yang lebih besar yang berisi situs-situs itu. Pengandaian yang melandasinya adalah bahwa himpunan S akan memuat situs-situs yang paling penting yang terkait dengan kata-kata yang dicari. Himpunan ini disebut himpunan pencarian. 3. Karena himpunan pencarian dapat memuat ribuan situs, tugas utama mesin pencari adalah mengurutkan situs-situs tersebut berdasarkan relevansinya dengan kata-kata yang dicari. Dalam bagian ini dari pencarian tersebut metode kuasa dan algoritma PageRank memainkan peranan. Untuk menjelaskan algoritma PageRank, misalnya himpunan pencarian S memuat n situs. Didefinisikan matriks damping dari S, yaitu matriks di mana 1 jika situs i merujuk situs j dan jika situs i tidak merujuk situs j. Dengan pengandaian bahwa tidak ada situs yang merujuk dirinya sendiri, maka entri diagonal dari A adalah nol. Contoh Matriks A di bawah ini adalah matriks damping dari himpunan pencarian S yang memuat empat situs internet : Situs yang dirujuk Situs yang merujuk (3.6.1) Entri 1 berarti situs 1 merujuk situs 3 dan situs 4. Entri 1 berarti situs 2 merujuk situs 1, dan seterusnya. Secara umum, entri 1

66 53 berarti situs i merujuk situs j, dan entri berarti situs i tidak merujuk situs j. Ada dua peran dasar yang dapat dimainkan oleh suatu situs dalam proses pencarian, yaitu : 1. Situs tersebut memainkan peranan sebagai hub, artinya situs tersebut merujuk banyak situs lainnya. 2. Situs tersebut memainkan peranan sebagai otoritas, artinya situs tersebut dirujuk oleh banyak situs lainnya. Suatu situs biasanya berperan sebagai hub maupun sebagai otoritas, yang berarti bahwa situs tersebut merujuk maupun dirujuk. Pada umumnya, jika A adalah matriks damping dari himpunan n buah situs internet, maka jumlahan elemen-elemen pada kolom dari A merupakan ukuran aspek otoritas dari situs-situs itu dan jumlahan elemen-elemen pada baris dari A merupakan ukuran aspek hub dari situs-situs itu. Sebagai contoh, jumlahan elemen-elemen pada kolom dari matriks A pada Contoh adalah 3, 1, 2, dan 2, yang berarti bahwa situs 1 dirujuk oleh tiga situs lainnya, situs 2 dirujuk oleh 1 situs lain, dan seterusnya. Begitu juga jumlahan elemen-elemen pada baris dari A adalah 2, 1, 2, dan 3, yang berarti bahwa situs 1 merujuk dua situs lain, situs 2 merujuk satu situs lain, dan seterusnya. Jika A adalah suatu matriks damping, maka vektor h, yaitu vektor jumlahan elemen-elemen baris dari matriks A, disebut vektor hub awal dari matriks A, dan vektor a, yaitu vektor jumlahan elemen-elemen kolom dari matriks A, disebut vektor otoritas awal dari matriks A. Dengan demikian, a