PENERAPAN PERSAMAAN VERHULST UNTUK MENGHITUNG MAHASISWA AKTIF UNIVERSITAS

Transkripsi

1 ENERAAN ERSAMAAN VERHULST UNTUK MENGHITUNG MAHASISWA AKTIF UNIVERSITAS Rojali ABSTRACT To know population of active students in a university is very important because this matter assists the management in preparing facilities, resources and others. This study focuses on calculating the population of active students majoring in Information System in a university by using Verhulst equation. Result of calculation indicates that the number of active students taking Information System as major will reach around 366 or more in the year 7. Keywords: Verhulst equation, population dynamics, active students ABSTRAK Mengetahui populasi jumlah mahasiswa aktif suatu Universitas menjadi penting karena dengan diketahuinya hal tersebut dapat membantu manajemen dalam hal penyediaan fasilitas, sumber daya, dan lainnya. Artikel membahas perhitungan populasi jumlah mahasiswa aktif jurusan sistem informasi suatu universitas menggunakan persamaan Verhulst. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa jumlah mahasiswa aktif jurusan tersebut akan menuju kestabilan sekitar 366 mahasiswa pada tahun 7 atau lebih. Kata kunci: persamaan Verhulst, dinamika populasi, mahasiswa aktif Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Bina Nusantara, Jl. K.H. Syahdan No. 9, almerah, Jakarta Barat 48, rojali@binus.edu enerapan ersamaan Verhulst (Rojali) 49

2 ENDAHULUAN emakaian persamaan diferensial sudah banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang aplikasi. Misalnya dalam bidang fisika untuk meneliti kecepatan gerak benda, kimia dalam proses peluruhan radiaktif, biologi dalam proses populasi bakteri, hewan dan lain sebagainya. Dalam makalah ini diuraikan penggunaan persamaan diferensial dalam dunia pendidikan untuk mengetahui populasi jumlah mahasiswa aktif. Untuk penyederhanaan model maka digunakan pemodelan dinamika populasi untuk mengetahui populasi mahasiswa aktif jurusan sistem informasi di suatu Universitas. Dengan diketahuinya populasi mahasiswa aktif jurusan ini maka setidaknya pengelola jurusan bisa mengambil langkah langkah kedepan untuk kemajuan jurusan, misalnya penyediaan fasilitas, sumberdaya dan lain sebagainya. DINAMIKA OULASI emodelan dinamika populasi memperlihatkan hubungan populasi dengan laju perubahan populasi dan parameter lainnya. ada permasalah ini, perubahan populasi terjadi karena adanya individu yang lahir maupun yang mati. Misalnya populasi terjadi saat t ditulis sebagai. Asumsi dasarnya adalah merupakan fungsi kontinu dari populasi sebenarnya. L( dan M( masing-masing menyatakan banyaknya individu yang lahir dan mati pada saat t. Tingkat kelahiran λ( dan tingkat kematian μ( adalah jumlah kelahiran dan kematian dalam satuan waktu dan satuan populasi. Secara matematis dinyatakan sebagai berikut L( t + h) L( λ ( lim h h μ ( M ( t + h) M ( lim h h dl dm Maka t + h) Ρ ( lim h h [ L( t + h) L( ] [ M ( t + h) M ( ] ( lim h h Dengan demikian Ρ ( [ λ ( μ ( ] () ( Suku λ( μ( menyatakan laju perubahan populasi per individu populasi yang lazim disebut tingkat pertumbuhan populasi, ditulis r( λ( - μ(. Model populasi yang paling sederhana terjadi bila tingkat kelahiran dan kematian keduanya tetap atau konstan sehingga dl dm 5 Jurnal Mat Stat, Vol. 8 No. Juli 8: 49-57

3 d [ λ μ] r. Sehingga rt ( e () untuk model ini populasi tumbuh secara eksponensial. Maka model () ini disebut model pertumbuhan eksponensial. Sedangkan () disebut model atau persamaan populasi umum. ada kenyataannya, tingkat kelahiran dan tingkat kematian, λ( dan μ(, tidak diketahui, bahkan seringkali bergantung kepada, fungsi yang justru sedang ditentukan. Maka, kemungkinan model populasi lainnya adalah model persamaan () dengan λ( dan μ( adalah fungsi dari Jika λ( fungsi linear terhadap, yaitu λ λ + λ, dimana λ, λ >. dan Bila μ μ + μ maka diperoleh model d [( λ + λ ) ( μ + μ )] k ( D ) (3) dimana k μ λ dan λ μ D Misalnya μ μ λ λ > dan λ < μ sehingga D>. ersamaan ini dinamakan persamaan Verhulst atau persamaan logistik. ersamaan ini dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel d D ) k Jawabnya adalah D + ( D ) e kdt.... 4) dengan lim D dan ( ), t opulasi hasil dari persamaan ini tidak lagi tumbuh eksponensial seperti pada model (). Bilangan D dapat diartikan sebagai daya dukung lingkungannya. Jika > D, maka dari (3) didapat akibatnya <. Maka turun menuju D. Sedangkan bila < D, maka naik menuju D. Turunan kedua adalah d' " ( ' ( kd k)( k D )) (5) dp D D Sehingga grafik mempunyai titik belok pada. Karena < D, titik belok ini hanya D terjadi bila grafik naik menuju D, yaitu pada kasus < D. Sesudah tecapai, yaitu pada saat t to maka p( akan menaik dengan laju menurun. erhatikan gambar t ln D kd enerapan ersamaan Verhulst (Rojali) 5

4 Gambar Kestabilan populasi mahasiswa aktif dengan populasi berbeda Terdapat fenomena yang berkaitan dengan kestabilan. Setiap solusi dengan, secara asimptotik menuju nilai D, seakan-akan menjauhi nilai. Tapi bila Ρ, maka solusinya adalah. Solusi D disebut solusi stabil (secara asimptotik), titik D juga disebut titik stabil asimptotik sedangkan disebut solusi tidak stabil dan juga disebut titik tidak stabil. Dari Gambar dapat pula terlihat bahwa untuk interval range (,D/) maka grafik akan naik dan cekung ke atas, sedangkan pada range interval (D/,D) grafik akan naik dan cekung ke bawah, serta garfik akan turun cekung ke atas pada interval range [D, ). DATA DAN ANALISIS ENGUKURAN Berikut ini akan ditampilkan jumlah mahasiswa baru, lulus dan populasi mahasiswa aktif jurusan sistem informasi dari periode tahun ajaran 995 hingga 6 pada tabel dan juga ditampilkan grafik ketiga data, dalam gambar L,L dan L3. 5 Jurnal Mat Stat, Vol. 8 No. Juli 8: 49-57

5 Tabel Data historis mahasiswa masuk, lulus dan populasi aktif Tahun Mahasiswa Baru Mahasiswa Lulus Mahasiswa Aktif Mahasiswa Masuk Jurusan Sistem Informasi Lulusan Mahasiswa Jurusan Sistem Informasi Jumlah Mahasiswa Tahun Jumlah Mahasiswa Tahun Gambar L : Grafik mahasiswa baru Gambar L : Grafik kelulusan mahasiswa Jumlah Mahasiswa opulasi Mahasiswa aktif Jurusan Sistem Informasi Tahun Gambar L3 : Grafik opulasi mahasiswa aktif endekatan fungsi parabolis jumlah mahasiswa baru terhadap waktu dipergunakan teorema regresi kuadratis yang berformula y a + bx + cx enerapan ersamaan Verhulst (Rojali) 53

6 Dimana nilai a,b dan c dinyatakan dalam persamaan berikut : y na + b x + c x + 3 xy a x b x + c x x y a x b x + c x Sehingga dihasilkan 45 A + 78 B + 65 C A + 65 B C A B + 67 C Setelah diselesaikan diperoleh jawab A 3.75 B 33 C-7.73 Sehingga persamaan regresinya menjadi y x 7.73x Untuk menguji persamaan regresi tersebut bisa digunakan R k y.x.x...x ( Y - Y ) ( Y - Ŷ) ( Y - Y) Harga-harga untuk menghitung R k y.x.x...x Berdasarkan Ŷ t t Y Tabel 3: engujian korelasi mahasiswa masuk terhadap tahun Ŷ Y - Ŷ ( Y - Ŷ) Y Y ( ) Y Y Total R sehingga R.745 y.x.x y.x.x 54 Jurnal Mat Stat, Vol. 8 No. Juli 8: 49-57

7 Berdasarkan dari ketiga grafik diatas maka apabila dilakukan pendekatan fungsi parabolis untuk ketiga fungsi diatas didapat fungsi sebagai berikut : M( t t dengan y.x.x t 36.8 t y.x.x R.745 dan S e L( + dengan R.887 dan S e t t dengan y.x.x R.884 dan dan S e 4.7 Di mana M( adalah fungsi populasi mahasiswa masuk, L( fungsi populasi mahasiswa lulus dan fungsi populasi mahasiswa aktif.untuk menghasilkan fungsi tingkat penambahan mahasiswa baru λ( dan tingkat kelulusan mahasiswa μ( dalam satuan waktu dan satuan populasi dinyatakan sbb: Tabel 4: Fungsi tingkat penambahan mahasiswa baru λ( dalam satuan waktu Tahun Masuk opulasi M dm λ ( t ) λ () t Δ M Δ t Sehingga dihasilkan.935 a b c a b + 4,834 x c a + 4,834 x b + 4,8839x 6 c diperoleh a.54 b.6 c -9x - sehingga λ ( Karena koefisen terlalu kecil maka didekati λ ( enerapan ersamaan Verhulst (Rojali) 55

8 dengan cara yang sama diperoleh μ ( x -7 Karena koefisien terlalu kecil maka didekati μ ( , sehingga d [ λ - μ] d x d [ ] d. 4 ( ) [ ] dengan k.4 dan D setelah diselesaikan. Sehingga penyelesaian persamaan 4 menjadi 366 (.4*366* t + (366 ) e Dimana D 366,75 atau didekati menjadi 366 mahasiswa dengan 4985 dan k.4. enggambaran grafik populasi ini digambarkan dalam gambar sebagai berikut. Gambar Grafik opulasi mahasiswa Berdasarkan gambar diatas terlihat populasi aktif mahasiswa akan terjadi pada tahun Jurnal Mat Stat, Vol. 8 No. Juli 8: 49-57

9 ENUTU opulasi jumlah mahasiswa aktif Universitas Bina Nusantara Jurusan Sistem Informasi akan menuju kestabilan sekitar 366 mahasiswa pada tahun 5 atau lebih. Kemudian penulis menemukan beberapa saran yang kiranya dapat berguna yaitu data yang dikumpulkan lebih banyak, agar diperoleh grafik dan persamaan yang lebih baik dan kiranya perlu dilakukan pengujian pada model-model lain untuk membuktikan kebenaran hasilnya lebih baik. DAFTAR USTAKA Chapra, S. C. dan Canale, R.,. (99) Metode Numerik Untuk Teknik. UI.Jakarta. Kartono. (994). enuntun Belajar ersamaan Diferensial. Andi Offset. Yogyakarta. Lindfield, G. & enny, J. (995). Numerical Methods Using MATLAB. Ellis Horwood. USA. Lukas, S. (999). enggunaan ersamaan Differensial Orde Masalah Dinamika opulasi, Seminar penerapan matematika di FMIA Universitas Bina Nusantara, Jakarta. Manurung, A. D. (99). Teknik eramalan Bisnis Dan Ekonomi. Rineka. Jakarta. Sudjana. (99). Teknik Analisis Regresi Dan Korelasi. Tarsito. Bandung. Tarumingkeng, R. C. (994) Dinamika opulasi. ustaka Sinar Harapan. Jakarta. enerapan ersamaan Verhulst (Rojali) 57