Mahyudi Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Bengkulu

Transkripsi

1 PENENTUAN TITIK-TITIK BATAS OPTIMUM STRATA PADA PENARIKAN CONTOH ACAK BERAPIS DENGAN PEMROGRAMAN DINAMIK (Kasus : Pengeluaran per Kapita Propinsi Jawa Timur Tahun 008) Mahyudi Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Bengkulu didimahyudi1@gmail.com Abstract Optimum stratification is the method of choosing the best boundaries that make strata internally homogeneous, given some sample allocation. In order to make the strata internally homogenous, the strata should be constructed in such a way that the strata variances for the characteristic under study be as small as possible. This could be achieved effectively by having the distribution of the main study variable known and create strata by cutting the range of the distribution at suitable points. The problem of finding Optimum Strata Boundaries (OSB) is considered as the problem of determining Optimum Strata Widths (OSW). The problem is formulated as a Mathematical Programming Problem (MPP), which minimizes the variance of the estimated population parameter under Neyman allocation subject to the restriction that sum of the widths of all the strata is equal to the total range of the distribution. The distributions of the study variable are considered as continuous with standard normal density functions. The formulated MPPs, which turn out to be multistage decision problems, can then be solved using dynamic programming technique proposed by Bühler and Deutler (1975). After the counting process using C++ program received the width of each stratum. From these results the optimal boundary point can be determined for each stratum. For the two strata to get the optimal point on the boundary x 1 = For the formation of three strata obtained the optimal point on the boundary x 1 = and x = For the formation of four strata obtained optimal boundary point is x 1 = , x = and x 3 = In forming five strata obtained optimal boundary point x 1 = , x = , x 3 = and x 4 = The establishment of a total of six strata obtained the optimal point on the boundary x 1 = -1.67, x = , x 3 = 0.005, x 4 = and x 5 = Keywords : Stratified Random Sampling, Optimum Stratification, Standard Normal Distribution, Mathematical Programming, Dynamic Programming PENDAHUUAN Penarikan contoh (sampling) dalam survei adalah suatu proses untuk memilih sebagian anggota dari suatu populasi dengan prosedur tertentu sehingga dapat digunakan untuk menduga parameter populasi secara sah. Untuk mencapai tujuan tersebut diperlukan metode penarikan contoh yang sesuai. Salah satu teknik penarikan contoh adalah penarikan contoh acak berlapis (stratified random 18

2 sampling). Pada penarikan contoh acak berlapis, perlu diperhatikan peubah yang digunakan sebagai dasar pembentukan strata. Apabila peubah kualitatif digunakan untuk stratifikasi, pada umumnya pembentukan strata tidak terlalu mengalami masalah, misalnya berdasarkan tingkat pendidikan, pekerjaan dan jenis kelamin. Sebaliknya, jika peubah yang digunakan untuk stratifikasi adalah peubah kuantitatif maka diperlukan teknik tertentu untuk menentukan batas antar strata sesuai dengan kaidah teknik ini. Pertimbangan dasar yang diperhatikan dalam penentuan batas-batas optimum strata adalah bahwa anggota populasi dalam strata harus sehomogen mungkin dan antar strata seheterogen mungkin, dengan perkataan lain ragam dalam strata harus sekecil mungkin dibandingkan ragam antar strata. Masalah yang timbul adalah penentuan titik optimum batas stratifikasi yang akan membagi populasi menjadi dua atau lebih strata sehingga memenuhi kriteria di atas. Metode dalam penentuan titik batas optimum strata telah dikemukakan oleh beberapa peneliti. avallée dan Hidiroglou (1988) mengusulkan suatu algoritma untuk menentukan batas-batas strata suatu alokasi kuasa untuk contoh yang distrata dari unit-unit contoh yang tidak tentu. Hidiroglou dan Srinath (1993) dalam Khan (008) menyajikan suatu algoritma yang lebih umum, yaitu dengan memberikan nilai-nilai yang berbeda untuk mengoperasikan parameter-parameter yang menghasilkan alokasi kuasa, alokasi Neyman, atau gabungan dari alokasialokasi ini. Sweet dan Sigman (1995) dalam Khan (008) dan Rivest (00) meninjau kembali algoritma avallée dan Hidiroglou dan mengusulkan algoritma versi modifikasi yang menggabungkan hubungan berbeda antara stratifikasi dan peubah-peubah yang diteliti. Nicolini (001) mengusulkan suatu metode yang diberi nama Natural Class Method (NCM), untuk menentang metode Dalenius dan Hodges yang paling banyak digunakan, tetapi kedua metode tersebut tidak terbukti lebih efisien dari yang lain. ednicki dan Wieczorkowski (003) dalam Khan (008) mengajukan metode stratifikasi menggunakan metode simpleks dari Nelder dan Mead (1965) dalam Khan (008). Kemudian Kozak (004) menyajikan algoritma pencarian secara acak yang dimodifikasi sebagai metode stratifikasi optimum. Algoritma 19

3 Kozak benar-benar lebih cepat dan efisien dibandingkan dengan algoritma Rivest, dan ednicki dan Wieczorkowski dilihat dari kemampuan mengendalikan nilai yang lebih kecil pada fungsi objektif tetapi hal itu tidak dapat menjamin bahwa algoritma tersebut menunjukkan optimum global. Mengingat bahwa masalah penentuan batas optimum strata ekuivalen dengan masalah menentukan lebar optimum strata Khan et al. (00) dalam Khan (008), mengatakan bahwa masalah lebar optimum strata sebagai masalah pemrograman matematika. Khan et al. (00) menerapkan prosedurnya untuk menentukan batas optimum strata terhadap populasi yang memiliki sebaran uniform dan segitiga siku-siku. Kemudian Khan et al. (005) memperluas pendekatan pemrograman dinamik untuk menentukan batas optimum strata terhadap peubah eksponensial. Khan et al. (008) juga melakukan pendekatan pemrograman dinamik terhadap peubah yang memiliki sebaran normal baku. Salah satu pemrograman matematika yang dapat digunakan dalam menentukan lebar optimum strata adalah pendekatan pemrograman dinamik Bühler dan Deutler (1975). Formulasi masalah pemrograman matematika dengan meminimumkan ragam dari parameter populasi yang diduga berdasarkan alokasi Neyman dengan batasan bahwa jumlah lebar dari semua strata sama dengan total jarak dari sebaran peubah yang diamati. Penentuan Batas Optimum Strata Untuk Peubah Kuantitatif Misalkan b 0, b 1,, b adalah batas-batas strata. Strata h mengandung semua unit dengan satu nilai X dalam interval b, b untuk = 1,,, sehingga b 0 = min X dan b = max X + 1, dengan min X dan max X masing-masing adalah nilai minimum dan maksimum peubah stratifikasi (Baillargeon 010). Misalkan X adalah peubah acak, diskret atau kontinu dengan fungsi kepadatan peluang f x, a x b. Untuk menduga rataan populasi µ dengan contoh acak distratifikasi, X dipartisi menjadi strata a, x 1, x 1, x,, x, b, sehingga a = x 0 x 1 x,, x x = b (1) Anggap bahwa dari strata h ( h = 1,,..., ) mengandung N h unit, sebuah contoh berukuran n h dipilih dari y hj unit ( h = 1,,..., ; j = 1,,..., n h ). Kemudian 130

4 rataan stratifikasi x st = W x adalah dugaan tak bias untuk µ dengan ragam V x st = W σ W n 1 N () DenganW = N, x N = 1 n y n j, σ 1 N = y N j μ j j danμ = (Cochran 1977). N 1 N y j j Apabila fungsi frekuensi f x diketahui, nilai-nilai W h dan σ pada persamaan () dapat diperoleh dengan W = σ = x f x dx(3) x 1 x x f x dx μ W (4) x dengan μ = 1 W x xf x dx (5) x adalah rataan dan x, x adalah batas-batas dari strata ke- h. Kemudian persamaan () dibaca sebagai fungsi dari titik-titik batas strata dan ukuran contoh dengan V x st = V x st x 1,, x, n 1,, n. Jika n h ditetapkan, tujuan stratifikasi optimum adalah untuk menentukan titik-titik batas optimum strata x 1,, x sehingga V x st Selain itu, jika rasio pengambilan contoh n N adalah minimum. kecil atau pengambilan contoh dengan pengembalian, maka masalah pengoptimuman berikut diperoleh, tergantung pada tipe dari alokasi ukuran total contoh n = (Cochran 1977). 1. Alokasi proporsional n = n W Minimumkan W σ dengan kendala a = x 0 x 1 x,, x x = b (6) n pada strata. Alokasi sama n = n Minimumkan W σ dengan kendala a = x 0 x 1 x,, x x = b (7) 3. Alokasi Neyman n = Minimumkan n W σ W σ W σ dengan kendala a = x 0 x 1 x,, x x = b (8) Masalah pada persamaan (6) dan (8) memiliki struktur sebagai berikut : 131

5 Minimumkan x, x dengan kendala a = x 0 x 1 x,, x x = b (9) Bühler dan Deutler (1975) telah menyarankan suatu metode pengoptimuman rekursif untuk menyelesaikan persamaan (9) menggunakan teknik pemrograman dinamik sebagai berikut. Misalkan f(x) merupakan fungsi frekuensi dan x 0 dan x adalah nilai x terkecil dan terbesar. Jika rataan populasi diduga berdasarkan alokasi Neyman, maka masalah penentuan batas-batas strata adalah untuk memotong jarak, x x 0 = d (10) pada titik-titik tengah x 1 x,, x sehingga W σ pada persamaan (8) minimum. Perhatikan bahwa f(x) memiliki n fungsi bagianlinear atau non linear sebagai berikut : f x = g 1 x ; x 0 = a 0 x a 1 g x ; a 1 < x a (11) g n x ; a n < x a n = x Juga diasumsikan bahwa ada strata, l i jumlah strata yang dibentuk berdasarkan fungsi kepadatan g i x ; i = 1,,, n dan Jika f x n i l i =. pada persamaan (11) dapat diintegralkan, menggunakan pernyataan persamaan (3), (4) dan (5), W, σ dan μ diperoleh sebagai suatu fungsi dari titik-titik batas x dan x. Sehingga fungsi objektif pada persamaan (8) dapat dinyatakan sebagai fungsi dari titik-titik batas pada x dan x. Ambil x, x = W σ, sehingga masalah persamaan (8) dapat diperlakukan sebagai masalah optimasi untuk menentukan x 1, x,, x seperti dinyatakan pada persamaan (9). Ambil y = x x 0 yang menunjukkan lebar dari strata ke- (1,,, ). Dengan definisi dari y di atas, jarak dari sebaran yang diberikan pada persamaan (10) dinyatakan sebagai fungsi dari lebar strata sebagai y = x x = x x 0 = d (1) Stratifikasi ke- k titik x k ; k = 1,,..., 1 dinyatakan sebagai: x k = x 0 + y 1 + y + + y k = x k + y k yang merupakan fungsi lebar strata ke- k dan batas strata ke (k 1). 13

6 Perhatikan bahwa dengan menambahkan persamaan (1) sebagai batas/ kendala baru, masalah persamaan (9) dapat ditulis kembali sebagai masalah yang ekuivalen dengan penentuan lebar optimum strata sebagai berikut: Minimumkan y, x, dengan kendala y = d, dan y 0; = 1,,, (13) Nilai awal x 0 diketahui. Oleh karena itu, syarat pertama 1 y 1, x 0 pada fungsi objektif persamaan (13) adalah suatu fungsi dari y 1 itu sendiri. Jika y 1 diketahui, titik stratifikasi selanjutnya x 1 = x 0 + y 1 akan diketahui dan syarat kedua pada fungsi objektif y, x 1 akan menjadi fungsi dari y itu sendiri. Fungsi objektif merupakan fungsi y itu sendiri, sehingga masalah pemrograman matematika persamaan (13) dinyatakan sebagai: Minimumkan Φ y, dengan kendala y = d, dany 0; = 1,,, (14) Prosedur Solusi Menggunakan Teknik Pemrograman Dinamik Sebuah model pemrograman dinamik pada dasarnya adalah sebuah persamaan rekursif berdasarkan prinsip optimalisasi Bellman. Persamaan rekursif ini menghubungkan tahapan yang berbeda dalam suatu metode yang menjamin bahwa tiap tahap solusi layak optimal, juga optimal dan layak untuk semua masalah. Perhatikan submasalah berikut dari persamaan (14) untuk k(< ) strata k k pertama: Minimumkan y, dengan kendala y = d k, dan y 0; = 1,,, k (15) dengan d k < d adalah lebar total yang tersedia untuk bagian dalam k strata atau nilai tertentu pada k langkah. Catatan bahwa d k = d untuk k =. Fungsi transformasi diberikan oleh: d k = y 1 + y + + y k, d k = y 1 + y + + y k = d k y k, d k = y 1 y + + y k = d k y k, d = y 1 + y = d 3 y 3, d 1 = y 1 = d y, 133

7 Ambil Φ k d k persamaan (15), yaitu: Φ k d k = min sebagai notasi nilai minimum fungsi objektif dari k k y y = d k, dan y 0; = 1,,, k. Dari definisi Φ k d k tersebut, masalah pemrograman matematika persamaan (14) ekuivalen untuk menentukan Φ d secara rekursif dengan menentukan Φ k d k untuk k = 1,,, dan 0 d k d. Φ k d k = min k y k + k k y y = d k y k, dan y 0; = 1,,, k 1 Untuk suatu nilai tetap dari y k ; 0 y k d k Φ k d k = k y k k + min y = 1,,, k 1 k y = d k y k, y 0; Menggunakan prinsip pengoptimalan Bellman, diperoleh hubungan berulang dari teknik pemrograman dinamik sebagai berikut: min Φ k d k 0 y k d k k y k + Φ k d k y k, k (16) Untuk langkah pertama, yaitu untuk k = 1: Φ 1 d 1 = 1 d 1 y 1 = d 1, (17) dengan y 1 = d 1 adalah lebar optimum strata pertama. Hubungan persamaan (16) dan (17) diselesaikan secara rekursif untuk tiap k = 1,,, dan 0 d k d dan Φ d diperoleh. Dari Φ d, lebar optimum strata ke-, y, diperoleh. Dari Φ d y lebar optimum strata ke- -1, y, diperoleh dan begitu seterusnya sampai y 1 diperoleh. Pemrograman Matematika Untuk Sebaran Normal Misalkan peubah penelitian x memiliki sebaran normal baku dengan fungsi kepadatan peluang diberikan oleh: f x = 1 π exp x ; < x < Menurut Bühler dan Deutler (1975), dengan menggunakan definisi persamaan (3), (4) dan (5), dapat dilihat bahwa: W = erf y + x μ = exp x π erf y +x erf x (18) exp y +x erf x, dan 134

8 σ = π x exp x erf y + x (y + x ) exp y + x erf y + x +(y + x ) exp y +x exp x erf x xp y +x + π erf y +x π erf y +x erf x erf x x exp x erf x (19) dengan y = x x, erf x erf x = = 1,,,. x x π exp u du Dengan demikian, dengan menggunakan nilai pada persamaan (18) dan (19), masalah pemrograman matematika persamaan (14) dapat dinyatakan sebagai berikut: Minimumkan Sqrt 1 x π exp x x ) exp y +x erf y +x +(y + x ) exp y +x exp x π 1 erf y +x erf x exp y +x dan y 0; = 1,,, (0) (y + x exp x erf y +x dengan kendala erf x erf x dan y = d, dengan sqrt adalah square root, exp adalah eksponensial, dan erf adalah error function. METODE PENEITIAN Data Data yang digunakan dalam penelitian ini menggunakan data SUSENAS Propinsi Jawa Timur Tahun 008 berupa data pengeluaran per kapita penduduk sebanyak 8607 Kepala Rumah Tangga. Metode Penelitian Pembentukan strata dengan menggunakan teknik pemrograman dinamik terbagi menjadi beberapa tahapan sebagai berikut. Tahap 1. Penyusunan model/ fungsi objektif. angkah yang dilakukan pada tahap 1 adalah pembentukan fungsi objektif seperti pada persamaan (0) di mana fungsi kendala y = d, dengan d = x x 0. Kemudian tentukan fungsi lebar strata ke- ( 1), yaitu x. 135

9 Substitusikan nilai x ini ke dalam fungsi objektif yang telah disusun. Gunakan persamaan (16) dan (17) untuk mendapatkan persamaan rekursifnya. Tahap. Penyelesaian persamaan rekursif. berikut. angkah-langkah dalam penyelesaian persamaan rekursif adalah sebagai 1. Mulai dengan k = 1. Tetapkan Φ 0, d 0 = 0.. Hitung Φ 1 d 1, nilai minimum RHS (right hand side) dari persamaan rekursif yang diperoleh untuk y 1 = d 1, 0 y 1 d 1 dan 0 d 1 d. 3. Simpan nilai Φ 1 d 1 dan y Untuk k =, nyatakan peubah penjelas sebagai d k = d k y k. 5. Tetapkan Φ k d k = 0 jika y k > d k, di mana 0 d k d. 6. Hitung Φ k d k, nilai minimum RHS dari persamaan rekursif yang diperoleh untuk y k ; 0 y k d k. 7. Simpan nilai Φ k d k dan y k. 8. Untuk k 3,,, kembali ke langkah Pada k =, Φ d diperoleh sehingga nilai optimum y dari y diperoleh. 10. Pada k = 1, gunakan penghitungan mundur untuk d = d y, baca nilai dari Φ d, sehingga nilai optimum y dari y. 11. Ulangi langkah ke-10 sampai nilai optimum y 1 dari y 1 diperoleh dari Φ 1 d 1. Penyelesaian persamaan rekursif tersebut menggunakan Program C++. Tahap 3. Penghitungan nilai optimum fungsi objektif. Sebagai tahapan terakhir adalah menghitung nilai optimum fungsi objektif untuk setiap strata yaitu. y = W σ Untuk mengetahui karakteristik antar strata dilakukan pengujian kehomogenan ragam. Metode statistika untuk menguji kehomogenan ragam adalah uji khi-kuadrat yang dikenal dengan uji Bartlett. Hipotesis yang diuji pada uji Bartlett adalah: H 0 : σ 1 = σ = = σ i H 1 : paling sedikit ada satu pasang σ i σ i i = 1,,, k, untuk setiap i i, di mana Uji Bartlett dapat dilakukan untuk ulangan sama atau tidak sama. Uji khikuadarat untuk jumlah ulangan tidak sama adalah: 136

10 χ itung = 1 + db i lns gab db i lns i 1 3 k 1 1 db 1 (1) i db i dengan db i adalah derajat bebas strata ke-i, s i adalah ragam dari strata ke-i dan s gab adalah ragam gabungan untuk semua strata. Dengan kaidah keputusan sebagai berikut: Apabila χ itung > χ α,k, maka H 0 ditolak artinya kehomogenan ragam tidak dapat dipenuhi. Dan jika sebaliknya hipotesis kehomogenan ragam diterima. HASI DAN PEMBAHASAN Data Pengeluaran Per Kapita Propinsi Jawa Timur Tahun 008 Jawa Timur adalah provinsi yang terdiri dari 9 kabupaten dan 9 kota. Secara umum wilayah provinsi Jawa Timur dapat dibagi menjadi dua bagian besar yaitu Jawa Timur daratan dan Pulau Madura. uas wilayah Jawa Timur daratan hampir mencapai 90 persen dari luas keseluruhan, sedangkan wilayah Madura hanya sekitar 10 persen. Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data pengeluaran per kapita penduduk Jawa Timur tahun 008 dengan jumlah contoh n = 8607 Kepala Rumah Tangga. Data ini diperoleh dari publikasi BPS dari hasil SUSENAS. Dari data tersebut dapat diperoleh informasi bahwa rata-rata pengeluaran per kapita penduduk Jawa Timur adalah Rp ,93 dan ragam Rp8.49 x Pengeluaran minimum adalah sebesar Rp41.349,94 dan pengeluaran maksimum sebesar Rp ,45. Setelah dilakukan uji kenormalan Kolmogorov Smirnov terhadap data pengeluaran per kapita tersebut, hasilnya menunjukkan bahwa adanya penyimpangan asumsi tesebut. Karena metode dalam penelitian ini memerlukan asumsi kenormalan, maka data penelitian tersebut harus ditransformasi, dalam hal ini menggunakan transformasi log. Penentuan Titik-titik Batas Optimum Strata Untuk data contoh pengeluaran per kapita (nilai setelah diubah menjadi normal standar) dengan n = 8607 diperoleh nilai terkecil dan nilai terbesar masing-masing adalah x 0 = dan x = Ini menunjukkan bahwa jarak dari distribusi adalah d = x x 0 =5.169 (-3.30) = Sehingga fungsi objektif persamaan (0) dapat dinyatakan sebagai: 137

11 Minimumkan Sqrt 1 x π exp x x ) exp y +x erf y +x +(y + x ) exp y +x erf x exp x π 1 erf x exp y +x dany 0; = 1,,, () Stratifikasi ke- (k-1) diberikan oleh = y 1 + y + + y k x exp x x k = x 0 + y 1 + y + + y k = d k 3.30 = d k y k 3.30 erf y +x erf x erf y +x (y + dengan kendala y = Substitusikan nilai x k kedalam persamaan (1) dan dengan mengunakan persamaan (16) dan (17), persamaan rekursif untuk menyelesaikan masalah pemrograman matematika persamaan (1) ditentukan sebagai berikut. Φ 1 d 1 = Sqrt Untuk tahap pertama (k = 1): 1 π d exp d exp exp erf d exp d erf d erf 3.30 erf d erf 3.30 erf d π exp exp d Pada y 1 = d 1 (3) Untuk tahap k =, 3,, 138

12 Φ k d k = min 0 y k d k Sqrt d k 3.30 exp d k exp d k y k 3.30 d k 3.30 exp d k 3.30 erf d k y k π d k y k 3.30 exp d k y k 3.30 erf d k 3.30 erf d k y k 3.30 erf d k y k 3.30 erf d k 3.30 d k y k erf d k exp d k y k 3.30 π xp d k Φk d k y k (4) Penyelesaian persamaan rekursif () dan (3) menggunakan pemrograman C++ suntuk menentukan lebar strata optimum y. Tabel 1 menunjukkan hasil dari penyelesaian ini disertai dengan nilai optimum fungsi objektif y = W σ untuk =, 3, 4, 5 dan 6. Tabel 1 Titik-titik batas optimum strata dari sebaran normal baku Jumlah Strata 3 4 ebar Optimum Strata (y ) y 1 =3.303 y =5.167 y 1 =.756 y.098 y 3 =4.617 y 1 =.43 y =0.873 y 3 =0.875 y 4 =4.91 Titik-titik Batas Optimum Strata (x = x + y ) x 0 = x 1 = 0.00 x = x 0 = x 1 = x =0.55 x = x 0 = x 1 = x =0.003 x 3 =0.878 x = Nilai Optimum Fungsi Objektif y = W σ y 1 =.06 y =0.765 y 3 =0.670 y 4 =0.767 y 5 =4.06 y 1 =.035 y =0.698 y 3 =0.574 x 0 = x 1 = x = x 3 =0.339 x x = x 0 = x 1 =-1.67 x = x 3 =

13 y 4 =0.574 y 5 =0.70 y 6 =3.888 x 4 =0.579 x 5.80 x = Pengujian Kehomogenan Ragam Hasil uji khi-kuadrat untuk setiap strata disajikan pada Tabel. Tabel Hasil uji khi-kuadrat untuk setiap jumlah strata Jumlah Strata Jumlah Contoh Tiap Strata n 1 = 4755 n = 385 n 1 = 74 n = 3683 n 3 = 00 n 1 = 1667 n = 3093 n 3 = 364 n 4 = 1483 n 1 = 983 n = 534 n 3 = 300 n 4 = 1668 n 5 = 11 n 1 = 606 n = 03 n 3 = 16 n 4 = 1711 n 5 = 14 n 6 = 908 Ragam Tiap Strata s 1 = 0.3 s = 0.58 s 1 = 0.13 s = 0.09 s 3 = 0.51 s 1 = 0.10 s = 0.06 s 3 = 0.06 s 4 = 0.48 s 1 = 0.09 s = 0.05 s 3 = 0.04 s 4 = 0.05 s 5 = 0.46 s 1 = 0.08 s = 0.04 s 3 = 0.03 s 4 = 0.03 s 5 = 0.39 s 6 = 0.44 Nilai χ itung P-value Dari Tabel terlihat bahwa untuk semua jumlah strata, menghasilkan nilai khi-kuadrat yang lebih besar daripada nilai khi-kuadrat tabel baik pada taraf nyata 5% maupun pada taraf nyata 1%. Ini berarti bahwa kehomogenan ragam ditolak, yaitu uji menunjukkan perbedaan yang nyata antara ragam-ragam pada setiap jumlah strata. Hasil ini juga menunjukkan bahwa ada perbedaan keragaman pada masing-masing strata. Hal ini berarti bahwa antar strata lebih bervariasi karakteristiknya (heterogen). Pembentukan Strata Pengeluaran Per Kapita Jawa Timur Tahun 008 ebar strata dan titik-titik batas optimum strata pada Tabel 1 merupakan hasil yang didapatkan dari data yang sudah ditransformasi. Untuk data pengeluaran per kapita Propinsi Jawa Timur Tahun 008 disajikan pada Tabel 3. Tabel 3 Titik-titik batas optimum strata pengeluaran per kapita Jawa Timur 008 Jumlah Strata ebar Optimum Strata (y ) Titik-titik Batas Optimum Strata Nilai Ragam Strata s 140

14 y 1 = y = y 1 = y = y 3 = y 1 = y = y 3 = y 4 = y 1 = y = y 3 = y 4 = y 5 = y 1 = y = y 3 = y 4 = y 5 = y 6 = x 0 = x 1 = x = x 0 = x 1 = 07.8 x = x = x 0 = x 1 = x = x 3 = x = x 0 = x 1 = x = x 3 = x 4 = x = x 0 = x 1 = x = x 3 = x 4 = x 5 = x = s 1 = s.81e+11 s 1 = s = s 3.746E+11 s 1 = s = s 3 = s 4 =.159E+11 s 1 = s = s 3 = s 4 = s 5 =.49E+11 s 1 = s = s 3 = s 4 = s 5 = s 6 =.774E+11 SIMPUAN DAN SARAN Simpulan Penentuan titik-titik batas optimum strata dapat dianggap sebagai masalah pemrograman matematika dan dapat diselesaikan dengan teknik pemrograman dinamik. Metode ini dapat diterapkan pada data dengan sebaran yang berbeda karena memiliki fungsi objektif yang berbeda pula sesuai dengan sebaran datanya. Metode ini memberikan hasil berupa lebar masing-masing strata. Oleh karena itu dapat ditentukan titik-titik batas optimum strata dan juga jumlah contoh pada masing-masing strata. Titik-titik batas yang diperoleh menghasilkan ragam di dalam strata sehomogen mungkin dan ragam antar strata seheterogen mungkin. Untuk dua strata diperoleh titik batas optimum pada x 1 = 0.00.Untuk pembentukan tiga strata diperoleh titik batas optimum pada x 1 = dan x = Untuk pembentukan sebanyak empat strata diperoleh titik batas optimum adalah x 1 = , x = dan x 3 = Pada pembentukan sebanyak lima strata diperoleh titik batas optimum x 1 = , x = , x 3 = dan x 4 = Sedangkan untuk pembentukan sebanyak enam strata diperoleh titik batas optimum pada x 1 = -1.67, x = , x 3 = 0.005, x 4 = dan x 5 =

15 Metode pemrograman dinamik ini juga memberikan nilai optimum fungsi objektif untuk tiap jumlah strata. Hasilnya menunjukkan bahwa semakin banyak jumlah strata maka nilai optimum fungsi ini akan semakin kecil. Nilai optimum fungsi objektif untuk jumlah strata, 3, 4, 5, dan 6 berturut-turut adalah 0.599, 0.44, 0.38, 0.67 dan 0.5. Saran Penentuan strata untuk peubah kuantitatif dengan metode pemrograman dinamik dapat menjadi salah satu alternatif dalam menentukan stratifikasi dalam penelitian survei dan dapat dilakukan untuk data dengan sebaran yang lain selain sebaran normal dengan penentuan sebarannya terlebih dahulu. DAFTAR PUSTAKA Aoyama H A Study of Stratified Random Sampling. Annals of The Institute of Statistical Mathematics 6:1-36. Bühler W and Deutler T Optimal Stratification and Grouping by Dynamic Programming. Metrika : BPS [Badan Pusat Statistik] Provinsi Jawa Timur Pendataan Potensi Desa 008 Propinsi Jawa Timur. Jawa timur: Badan pusat Statistik. Baillargeon S and Rivest P Univariate Stratification of Survey Populations with The Package Stratification. Paper in Progress. Cochran WG Sampling Techniques, 3rd Edition. New York: John Willey & Sons. Khan EA, Khan MGM, Ahsan MJ. 00. Optimum Stratification: A Mathematical Programming Approach. Culcutta Statistical Association Bulletin 5 (special): Khan MGM, Najmussehar, Ahsan MJ Optimum Stratification for Exponential Study Variable Under Neyman Allocation. Journal of Indian Society of Agriculture Statistics 59(): Khan MGM, Niraj Nand, Nesar Ahmad Determining The Optimum Strata Boundary Points Using Dynamic Programming. Survey Methodology 34: Kish Survey Sampling.New York: John Willey & Sons. Kozak M Optimal Stratification Using Random Search Method in Agricultural Surveys. Statistics in Transition 6(5): avallée P Two-way Optimal Stratification using Dynamic Programming. Procedings of The Section on Survey Research Methods; Virginia: avallée P, Hidiroglou M On The stratification of Skewed populations. Survey Methodology 14: evy, Paul S, Stanley Sampling of Populations Methods and Applications Third Edition.New York: John Willey & Sons. Nicolini G A Method to Define Strata Boundaries. Departmental Working Papers Department of Economics, University of Milan, Italy. 14

16 Rivest P. 00. A Generalization of avallée and Hidiroglou Algorithm for Stratification in Business Survey. Survey Methodology 8: Siagian P.006. Penelitian Operasional: Teori dan Praktek. UI-PRESS. 143