PENAKSIR UNTUK RASIO POPULASI DENGAN VARIABEL BANTU YANG DITRANSFORMASI PADA METODE PASCA STRATIFIKASI ABSTRACT

Transkripsi

1 PEAKSIR UTUK RASIO POPULASI DEGA VARIABEL BATU YAG DITRASFORMASI PADA METODE PASCA STRATIFIKASI Marthel Lock, Arisman Adnan 2, Haposan Sirait 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya, Pekanbaru marx3390@outlook.co.id ABSTRACT This article discusses three estimators of ratio population R) of the population mean of variable X and Y in post stratified sampling scheme, using transformed auxiliary variables X. The three estimators that discussed in this article are the estimator proposed by Onyeka et al.[open Journal Statistics 5205): -9 ]. Bias and MSE of the three estimators show by approximation MacLaurin series. Furthermore, the suitable condition for an estimator is more efficient than another estimator discovered. Keywords: Transformed auxiliary variable, ratio of population, post stratification method ABSTRAK Artikel ini membahas tiga penaksir untuk rasio populasi R) dari rata-rata populasi variabel X dan Y pada metode sampling pasca stratifikasi dengan menggunakan variabel bantu X yang ditransformasi. Ketiga penaksir yang dibahas pada artikel ini merupakan penaksir yang diajukan oleh Onyeka et al. [2]. Bias dan MSE dari ketiga penaksir ditunjukkan melalui pendekatan deret MacLaurin. Selanjutnya ditunjukkan kondisi yang sesuai untuk suatu penaksir agar relatif lebih efisien dari penaksir lainnya. Kata kunci: Variabel bantu yang ditranformasi, rasio populasi, metode pasca stratifikasi. PEDAHULUA Informasi tambahan dapat digunakan untuk memaksimalkan presisi suatu penaksir parameter populasi yang sedang diamati. Peneliti sering mendapatkan informasi tambahan tersebut saat sedang melakukan observasi pada unit sampel. Informasi Repository FMIPA

2 tambahan yang diperoleh bisa lebih dari satu variabel. Tetapi, artikel ini hanya menggunakan satu variabel bantu, yaitu X dan variabel yang sedang diamati adalah Y. Kedua variabel dapat digunakan untuk menentukan suatu rasio pada populasi. Rasio populasi yang dimaksud adalah rasio antara rata-rata populasi variabel Y dan rata-rata populasi variabel X. Rasio populasi yang umum digunakan adalah R = Ȳ X. ilai R dapat ditaksir dengan ˆR = ȳ, merupakan penaksir untuk R yang diperoleh dari sampel []. Apabila x nilai ˆR tidak sama dengan nilai R, maka ˆR digolongkan kedalam penaksir bias. Tetapi, terdapat cara untuk mengurangi bias yang dihasilkan oleh ˆR, yaitu dengan menggunakan variabel bantu yang ditransformasi. Penaksir untuk rasio dengan variabel bantu yang ditransformasi telah digunakan pada metode Sampling Acak Sederhana oleh Onyeka et al. [3]. Dalam artikel ini akan dibahas tiga penaksir untuk rasio populasi dengan variabel bantu yang ditransformasi dari sampel yang diperoleh berdasarkan metode Pasca Stratifikasi, yang dapat direview dari artikel Onyeka et al. [2]. Metode Pasca Stratifikasi dipilih untuk menentukan penaksir, karena metode ini menyajikan nilai variansi yang relatif lebih kecil dari metode sampling acak sederhana. 2. PEAKSIR UTUK RASIO POPULASI Sampel berukuran n diperoleh berdasarkan sampling acak sederhana, kemudian unit-unit sampel di tempatkan pada stratum yang sesuai, sehingga stratum h pada sampel memiliki ukuran dan = n, dengan L menyatakan bayak stratum. Unit yang terdapat di dalam stratum h dinotasikan dengan x ih untuk unit yang berkarakter X. Variabel bantu X yang ditransformasi berdasarkan metode pasca stratifikasi dinotasikan oleh X yang unitnya dinyatakan dengan x ih = X nx ih n dengan i =, 2,... h da =, 2,...L. Rata-rata untuk x ih pada metode pasca stratifikasi dinyatakan dengan ) x ps = + π) X π x ps 2) dengan x ps = W h x h adalah rata-rata sampel untuk x ih dan π = n n. ilai π dapat diasumsikan akan mendekati nol apabila ukuran populasi besar. Dengan menggunakan rata-rata sampel untuk variabel X, Y, dan X pada metode pasca stratifikasi, maka akan dikenalkan tiga penaksir untuk rasio, sebagai berikut ˆR = ȳps x ps x ps X ˆR 2 = ȳps X x ps x ps ˆR 3 = ȳps x ps 3) 4) 5) Repository FMIPA 2

3 3. SIFAT-SIFAT PEAKSIR RASIO Metode pasca stratifikasi memiliki sedikit perbedaan dengan metode sampling acak stratifikasi. Variansi rata - rata sampel berdasarkan sampling acak stratifikasi dinyatakan oleh V ȳ st ) = WhS 2 yh 2 ). 6) h Menurut Cochran [], variansi rata-rata sampel berdasarkan metode pasca stratifikasi adalah rata-rata keseluruhan variansi pada persamaan 6), karena bervariasinya nilai. Untuk memperoleh variansi sebenarnya ȳ ps ditentukan dari ekpektasi persamaan 6), yaitu V ȳ ps ) = E V ȳ ps )) ) V ȳ ps ) = WhS 2 yhe 2 W h Syh. 2 7) Untuk menyelesaikan persamaan 7), maka akan diikuti nilai dari E ) yang digunakan oleh Cochran [2] untuk 0. yaitu ) E nw h + W h n 2 W 2 h. 8) Selanjutnya, substitusikaasil persamaan 8) ke persamaan 7), sehingga diperoleh V ȳ ps ) W h Syh 2 + n 2 L W h )S 2 yh. 9) ilai variansi pada persamaan 9) dapat didekati untuk ukuran sampel yang relatif besar [4], menjadi V ȳ ps ) W h S yh. 2 0) Serupa untuk mendapatkan V ȳ ps varriansi dari x ps dinyatakan dengan V x ps ) W h S xh. 2 ) Diperlukan juga nilai kovariansi antara x ps dan ȳ ps yang dinyatakan dengan Cov x ps, ȳ ps ) = W h S xyh. 2) Repository FMIPA 3

4 Untuk memudahkan dalam menentukan besar bias dan MSE, maka akan digunakan rasio error, yaitu e 0 = ȳps Ȳ Ȳ 3) e = x ps X X. 4) Dengan asumsi yang menggunakan persamaan 3) dan 4), adalah Ee 0 ) = Ee ) = 0 5) Ee 2 0) = n W h Syh 2 n 6) Ee 2 ) = n n Ee 0 e ) = XȲ Ȳ 2 X 2 n n W h Sxh 2 7) W h S xyh. 8) Untuk menentukan bias dan MSE dari masing-masing penaksir, tiap-tiap penaksir akan dinyatakan dalam bentuk rasio error dari persamaan 3) dan 4), dan melakukan pendekatan melalui Deret Maclaurin. Bias dan MSE dari masing-masing penaksir sebagai berikut B ˆR ) X2 [ + π)rm x + π)m xy ] 9) B ˆR 2 ) X2 [ π + π 2 )RM x π)m xy ] 20) B ˆR 3 ) X2 [π 2 RM x + πm xy ] 2) MSE ˆR ) X2 [M y + + π) 2 M x 2R + π)m xy ] 22) ) MSE ˆR 2 ) [M y + π ) 2 R 2 M x 2R π)m xy ] 23) MSE ˆR 3 ) X2 X2 n n ) [M y + π 2 R 2 M x + 2πRM xy ]. 24) 4. EFISIESI PEAKSIR Berdasarkaasil MSE masing-masing penaksir yang ditunjukkan oleh persamaan 22), 23), dan 24), akan ditentukan penaksir yang relatif efisien terhadap penaksir Repository FMIPA 4

5 lain, melalui selisih MSE. Selisih MSE antar penaksir diberikan pada persamaan berikut, MSE ˆR ) MSE ˆR 2 ) X2 4π)R[RM x M xy ], 25) MSE ˆR ) MSE ˆR 3 ) X2 + 2π)R[RM x 2M xy ], 26) MSE ˆR 2 ) MSE ˆR 3 ) X2 R[ 2π)RM x 2M xy ]. 27) Hasil yang ditunjukkan oleh persamaan 25), 26), 27) dapat bernilai positif atau negatif, yang masing-masing ditentukan dari suku terakhir masing-masing selisih, maka diperoleh hasil efisiensi antar penaksir sebagai berikut,. Apabila nilai kovariansi antara variabel X dan Y bernilai negatif, maka penaksir ˆR 2 dan ˆR 3 merupakan penaksir yang lebih efisien daripada ˆR. 2. Dengan kovariansi bernilai negatif dan n < 3, penaksir ˆR 3 relatif lebih efisien daripada ˆR 2 3. Apabila nilai kovariansi antara variabel X dan Y bernilai positif, maka penaksir ˆR merupakan penaksir yang relatif lebih efisien daripada kedua penaksir lainnya. DAFTAR PUSTAKA [] Cochran, W. G Teknik Penarikan Sampel. Edisi ketiga. Terjemahan dari Sampling Techniques, oleh Rudiansyah & E. R. Osman. UI Press, Jakarta. [2] Onyeka, A. C., C. H. Izunobi & I. S. Iwueze Estimation of Population Ratio in Post Stratified Sampling Using Variable Transformation. Open Journal Statistics, 5: -9. [3] Onyeka, A. C., A. C. lebedim & C. H. Izunobi Estimation of Population Ratio in Simple Random Sampling Using Variable Transformation. Global Journal of Science Frontier Research, 3: [4] Singh. S Advance Sampling with Theory and Application. Springer, ew York. Repository FMIPA 5