TINJAUAN PUSTAKA ( ) ( ) ( )

Transkripsi

1 TINJAUAN PUSTAKA Penarikan Contoh Acak Berlapis Penarikan contoh acak berlapis adalah suatu rancangan penarikan contoh acak yang membagi N unit dari populasi ke dalam L strata yang tidak saling tumpang tindih, sehingga setiap strata memiliki N i unit (i = 1, 2,..., L. Seperti dinyatakan oleh Cochran (1977, salah satu alasan stratifikasi adalah dapat menghasilkan keuntungan tingkat keakuratan dalam pendugaan karakteristik total populasi. Dalam pelaksanaannya, penarikan contoh acak berlapis diambil dengan cara yang sama seperti penarikan contoh acak sederhana, tetapi penarikan contoh dilakukan secara terpisah dan saling bebas dalam tiap strata. Jika N 1, N 2,..., N L merupakan jumlah populasi dalam tiap strata dan n 1, n 2,..., n L merupakan sampling unit yang terpilih secara acak dalam tiap strata, maka jumlah total contoh acak stratifikasi yang mungkin adalah sama dengan ( ( ( yang lebih kecil atau sama dengan (, jumlah total contoh acak sederhana yang mungkin. Sebagai contoh, jika ada tiga strata dengan N 1 = 3, N 2 = 5 dan N 3 = 6, jumlah total contoh yang mungkin dari n 1 = 1 contoh dari strata pertama, n 2 = 2 contoh dari strata kedua, dan n 3 = 4 contoh dari strata ketiga adalah ( ( ( Jumlah total contoh acak sederhana 7 contoh dari 14 contoh dalam populasi adalah ( Peluang suatu contoh terpilih pada suatu strata tertentu dapat ditunjukkan sama dengan (jika contoh dalam strata h. Seperti pada kasus di atas, peluang contoh terpilih adalah 1/3 untuk contoh dalam strata pertama, 2/5 untuk contoh dalam strata kedua, dan 4/6 untuk contoh dalam strata ketiga.

2 Menurut Dalenius dalam Singh (1986, pada penerapan rancangan contoh berlapis perlu diperhatikan: 1. Pemilihan peubah stratifikasi; 2. Pemilihan jumlah L strata; 3. Penentuan cara populasi distratifikasi; 4. Pemilihan ukuran contoh n h yang diambil dari strata ke- h; 5. Pemilihan rancangan penarikan contoh di dalam strata. Dalam pembentukan strata, diusahakan agar anggota-anggota yang hampir sama dimasukkan ke dalam satu strata sehingga ragam di dalam masing-masing strata menjadi homogen. Selain itu, akan lebih baik lagi jika perbedaan rata-rata karakteristik antar strata dibuat sebesar mungkin. Prinsip-prinsip yang dapat digunakan dalam stratifikasi populasi adalah sebagai berikut: 1. Strata tidak boleh tumpang tindih (non-overlapping dan harus melibatkan populasi secara keseluruhan; 2. Stratifikasi populasi harus dilakukan sehingga membuat strata homogen secara internal dengan mempertimbangkan karakteristik peubah penelitian; 3. Dalam beberapa situasi praktis ketika stratifikasi sulit untuk mempertimbangkan karakteristik peubah penelitian, kesesuaian administrasi dapat dianggap sebagai dasar untuk stratifikasi. Pebedaan mendasar untuk strata adalah nilai kuantitas y yang diukur dalam survei. Jika kita dapat membuat strata dengan nilai y, tidak akan terjadi tumpang tindih antar strata, dan ragam di dalam strata akan jauh lebih kecil daripada ragam keseluruhan terutama jika terdapat beberapa strata. Keuntungan penerapan penarikan contoh berlapis: 1. Dapat diperoleh nilai dugaan dengan tingkat keakuratan lebih tinggi untuk setiap strata maupun untuk populasi secara keseluruhan; 2. Pada setiap strata dapat dipergunakan rancangan penarikan contoh yang berbeda, tergantung keadaan setiap strata dan kebutuhannya; 5

3 3. Setiap strata dapat dianggap sebagai populasi tersendiri sehingga bisa saja menentukan presisi yang dikehendaki pada setiap strata dan disajikan tersendiri; 4. Secara administratif, pelaksanaannya menjadi lebih mudah. 5. Biaya pengumpulan dan analisis data seringkali dapat diperkecil dengan adanya pembagian populasi yang besar menjadi strata-strata yang lebih kecil. Adapun kerugian penerapan penarikan contoh berlapis adalah: 1. Sering dijumpai kenyataan bahwa dasar yang tepat untuk mengelompokkan data sulit diperoleh. Akibatnya strata yang dibuat tidak sesuai dengan tujuan; 2. Diperlukan sebuah kerangka contoh yang terpisah dan berbeda untuk setiap kelompok. Prinsip Pemrograman Dinamik Pemrograman dinamik adalah prosedur matematika yang terutama dirancang untuk memperbaiki efisiensi perhitungan masalah pemrograman matematika tertentu dengan menguraikannya menjadi bagian-bagian masalah yang lebih kecil. Pemrograman dinamik pada umumnya menjawab masalah dalam tahap-tahap, dengan setiap tahap meliputi tepat satu peubah optimisasi. Perhitungan di tahap yang berbeda-beda dihubungkan melalui perhitungan rekursif yang menghasilkan pemecahan optimal yang mungkin bagi seluruh masalah. Pendekatan pemrograman dinamik didasarkan pada prinsip optimisasi Bellman dalam Siagian P ( 2006 yang mengatakan: suatu kebijakan optimal mempunyai sifat bahwa apa pun keadaan dan keputusan awal, keputusan berikutnya harus membentuk suatu kebijakan optimal dengan memperhatikan keadaan dari hasil keputusan pertama. Teori utama dalam pemrograman dinamik adalah prinsip optimalitas. Prinsip itu pada dasarnya menentukan bagaimana suatu masalah yang diuraikan dengan benar dapat dijawab dalam tahap-tahap (bukannya sebagai satu kesatuan melalui perhitungan rekursif. Ini berarti bahwa keadaan yang diakibatkan oleh 6

4 suatu keputusan didasarkan pada keadaan dari keputusan sebelumnya dan merupakan landasan bagi keputusan berikutnya. Jika proses menghitung perolehan optimal sampai pada tahap ke- n, maka selesailah prosedur perhitungan berdasarkan pendekatan pemrograman dinamik. Langkah selanjutnya adalah menentukan keputusan optimal untuk seluruh persoalan. Dimulai dari keputusan optimal pada tahap ke- n dan kemudian menelusuri keputusan optimal pada tahap-tahap sebelumnya. Diketahui pada tahap ke- n sehingga keputusan optimal untuk tahap ke- n dapat ditentukan, misalnya pada alternatif k. Tentu, yaitu biaya yang diperlukan untuk alternatif k sudah dapat diketahui. Karena itu. Setelah melakukan perhitungan pada tahap (n-1, keputusan optimal pada tahap ini dapat ditentukan sesuai jumlah. Misalkan keputusan diperoleh pada alternatif j sehingga pun dapat diketahui, sehingga. Proses ini dilanjutkan terus, sampai diperoleh nilai sehingga dapat ditentukan keputusan optimal pada tahap ke- 1. Keputusan optimal untuk seluruh persoalan adalah kumpulan dari semua keputusan optimal pada masing-masing tahap. Penentuan Batas Optimum Strata Untuk Peubah Kuantitatif Misalkan adalah batas-batas strata. Strata h mengandung semua unit dengan satu nilai X dalam interval [ untuk sehingga dan, dengan dan masing-masing adalah nilai minimum dan maksimum peubah stratifikasi (Baillargeon Misalkan X adalah peubah acak, diskret atau kontinu dengan fungsi kepadatan peluang. Untuk menduga rataan populasi µ dengan contoh acak distratifikasi, X dipartisi menjadi L strata [ ] ( ] ], sehingga (1 Anggap bahwa dari strata h ( h = 1, 2,..., L mengandung N h unit, sebuah contoh berukuran n h dipilih dari y hj unit ( h = 1, 2,..., L; j = 1, 2,..., n h. Kemudian 7

5 rataan stratifikasi adalah dugaan tak bias untuk µ dengan ragam ( (2 dengan * + ( dan (Cochran Apabila fungsi frekuensi diketahui, nilai-nilai W h dan pada persamaan (2 dapat diperoleh dengan (3 (4 dengan (5 adalah rataan dan adalah batas-batas dari strata ke- h. Kemudian persamaan (2 dibaca sebagai fungsi dari titik-titik batas strata dan ukuran contoh dengan. Jika n h ditetapkan, tujuan stratifikasi optimum adalah untuk menentukan titik-titik batas optimum strata sehingga adalah minimum. Selain itu, jika rasio pengambilan contoh kecil atau pengambilan contoh dengan pengembalian, maka masalah pengoptimuman berikut diperoleh, tergantung pada tipe dari alokasi ukuran total contoh pada strata (Cochran Alokasi proporsional Minimumkan dengan kendala (6 2. Alokasi sama ( Minimumkan dengan kendala (7 3. Alokasi Neyman 8

6 Minimumkan dengan kendala (8 Masalah pada persamaan (6 dan (8 memiliki struktur sebagai berikut : Minimumkan dengan kendala (9 Bühler dan Deutler (1975 telah menyarankan suatu metode pengoptimuman rekursif untuk menyelesaikan persamaan (9 menggunakan teknik pemrograman dinamik sebagai berikut. Misalkan merupakan fungsi frekuensi dan dan adalah nilai x terkecil dan terbesar. Jika rataan populasi diduga berdasarkan alokasi Neyman, maka masalah penentuan batas-batas strata adalah untuk memotong jarak, (10 pada titik-titik tengah sehingga pada persamaan (8 minimum. Perhatikan bahwa memiliki n fungsi bagian linear atau non linear sebagai berikut : { (11 Juga diasumsikan bahwa ada L strata, l i jumlah strata yang dibentuk berdasarkan fungsi kepadatan dan. Jika pada persamaan (11 dapat diintegralkan, menggunakan pernyataan persamaan (3, (4 dan (5,, dan diperoleh sebagai suatu fungsi dari titik-titik batas dan. Sehingga fungsi objektif pada persamaan (8 dapat dinyatakan sebagai fungsi dari titik-titik batas pada dan. Ambil, sehingga masalah persamaan (8 dapat diperlakukan sebagai masalah optimasi untuk menentukan seperti dinyatakan pada persamaan (9. Ambil yang menunjukkan lebar dari strata ke-. 9

7 Dengan definisi dari di atas, jarak dari sebaran yang diberikan pada persamaan (10 dinyatakan sebagai fungsi dari lebar strata sebagai (12 Stratifikasi ke- k titik k = 1, 2,..., L 1 dinyatakan sebagai: yang merupakan fungsi lebar strata ke- k dan batas strata ke (k 1. Perhatikan bahwa dengan menambahkan persamaan (12 sebagai batas/ kendala baru, masalah persamaan (9 dapat ditulis kembali sebagai masalah yang ekuivalen dengan penentuan lebar optimum strata sebagai berikut: Minimumkan dengan kendala, dan (13 Nilai awal diketahui. Oleh karena itu, syarat pertama pada fungsi objektif persamaan (13 adalah suatu fungsi dari itu sendiri. Jika diketahui, titik stratifikasi selanjutnya akan diketahui dan syarat kedua pada fungsi objektif akan menjadi fungsi dari itu sendiri. Fungsi objektif merupakan fungsi itu sendiri, sehingga masalah pemrograman matematika persamaan (13 dinyatakan sebagai: Minimumkan dengan kendala, dan (14 Prosedur Solusi Menggunakan Teknik Pemrograman Dinamik Sebuah model pemrograman dinamik pada dasarnya adalah sebuah persamaan rekursif berdasarkan prinsip optimalisasi Bellman. Persamaan rekursif ini menghubungkan tahapan yang berbeda dalam suatu metode yang menjamin bahwa tiap tahap solusi layak optimal, juga optimal dan layak untuk semua masalah. 10

8 Perhatikan submasalah berikut dari persamaan (14 untuk k pertama: Minimumkan strata dengan kendala, dan (15 dengan adalah lebar total yang tersedia untuk bagian dalam k strata atau nilai tertentu pada k langkah. Catatan bahwa untuk. Fungsi transformasi diberikan oleh:,,,,, Ambil sebagai notasi nilai minimum fungsi objektif dari persamaan (15, yaitu: [ dan ]. Dari definisi tersebut, masalah pemrograman matematika persamaan (14 ekuivalen untuk menentukan secara rekursif dengan menentukan untuk dan. [ dan ] Untuk suatu nilai tetap dari ; [ dan ] Menggunakan prinsip pengoptimalan Bellman, diperoleh hubungan berulang dari teknik pemrograman dinamik sebagai berikut: [ ] (16 11

9 Untuk langkah pertama, yaitu untuk k = 1: (17 dengan adalah lebar optimum strata pertama. Hubungan persamaan (16 dan (17 diselesaikan secara rekursif untuk tiap dan dan diperoleh. Dari, lebar optimum strata ke- L,, diperoleh. Dari lebar optimum strata ke- L-1,, diperoleh dan begitu seterusnya sampai diperoleh. Pemrograman Matematika Untuk Sebaran Normal Misalkan peubah penelitian x memiliki sebaran normal baku dengan fungsi kepadatan peluang diberikan oleh: ( ; Menurut Bühler dan Deutler (1975, dengan menggunakan definisi persamaan (3, (4 dan (5, dapat dilihat bahwa: ( ( (18 ( * ( ( + * ( ( +, dan, * ( ( ( ( ( ( ( ( + * ( ( + * ( ( + } * ( ( + (19 12

10 dengan ( dan. Dengan demikian, dengan menggunakan nilai pada persamaan (18 dan (19, masalah pemrograman matematika persamaan (14 dapat dinyatakan sebagai berikut: Minimumkan, * ( ( ( ( ( ( ( ( + * ( ( + * ( ( + } dengan kendala, dan (20 dengan sqrt adalah square root, exp adalah eksponensial, dan erf adalah error function. 13