METODE GAUSS TUJUAN DASAR TEORI Eliminasi Gauss PEMBAHASAN Analisis :

Transkripsi

1 METODE GAUSS TUJUAN 1. Menentukan sistem persamaan linier dari kasus fisika 2. Mengubah bentuk sistem persamaan linier kedalam bentuk matriks 3. Membuat program metode eliminasi Gauss (hingga membentuk eselon baris) DASAR TEORI Eliminasi Gauss Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode eliminasi Gauss. Metode ini diberi nama Gauss untuk menghormati CarlFriedrich Gauss. Metode Gauss ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon (row echelon form). Metode Eliminasi Gauss : metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable yang bebas. PEMBAHASAN Pada praktikum kali ini, contoh sistem persamaan linier yang dijadikan latihan adalah sebagai berikut. 2X1 + 4X2 + X3 = 3 4 X1 + 6X2 + 3 X3 = 4 8 X1 + 2 X2 + 8X3 = 9 Dari persamaan linier diatas dapat diubah kedalam bentuk matriks A.X = B x 1 3 ( 4 6 3) ( x 2 ) = ( 4) x 3 9 Dimana, untuk mencari nilai X, maka digunakan persamaan X = A -1 B Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai didalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris ehingga matriks tersebut menjadi matriks eselon baris. Algoritma atau langkah-langkah dalam menyelesaikan sistem persamaan linier (SPL) dengan menggunakan metode eliminasi gauss yaitu : 1. Mengubah matriks tersebut kedalam bentuk teraugmentasi dan mengoperasikannya sehingga membentuk matriks segitiga bawah (eselon-baris). 2. Melakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut. Namun, dalam laporan ini hanya akan dibahas hingga langkah pertama saja. Analisis : Langkah pertama adalah melakukan eliminasi pertama (eliminasi ke-1)

2 Matrik yang akan diubah bentuknya menjadi matriks eselon baris yaitu (matriks A) ( ) 9 Agar A21 ( matriks A baris 2 kolom 1) bernilai 0, maka bilangan pada A11 menjadi bilangan utamanya, sehingga operasi bilangannya adalah sebagai berikut. J = 1 s/d 4; dengan j adalah nilai variabel untuk kolom ke 1 hingga 4. B2 = B2 2B1 [B2 (baris kedua yang baru) = B2(baris kedua yang lama) 2*B1 (baris pertama yang lama)] B3 = B3 4B1 [B3 (baris kedua yang baru) = B3(baris kedua yang lama) 4*B1 (baris pertama yang lama)] Sehingga, pada coding delphi dapat menggunakan script sebagai berikut. A1(2,j) = A(2,j) 2A(1,j) atau A1(2,j) = A(2,j) (A(2,1)/A(1,1))*A(1,j) A1(3,j) = A(2,j) 4A(1,j) atau A1(3,j) = A(2,j) (A(3,1)/A(1,1))*A(1,j) [ A adalah matriks sebelum dieliminasi, A1 adalah matriks setelah dilakukan eliminasi.] Sehingga diperoleh : Matris A Matriks A1 ( ( ) 9 3 ) 2 3 Langkah kedua adalah melakukan eliminasi kedua (eliminasi ke-2) Matrik yang akan diubah bentuknya menjadi matriks eselon baris yaitu (matriks A1) ( ) Agar A32 bernilai 0, maka bilangan pada A22 menjadi bilangan utamanya, sehingga operasi bilangannya adalah sebagai berikut. 2 3 J = 2 s/d 4; dengan j adalah nilai variabel untuk kolom ke 2 hingga 4. B3 = B3 7*B2

3 [B3 (baris ketiga yang baru) = B3 (baris ketiga yang lama) + 7*B2 (baris kedua yang lama)] Sehingga, pada coding delphi dapat menggunakan script sebagai berikut. A2(3,j) = A1(3,j) -7A(2,j) atau A2(3,j) = A1(3,j) (A1(3,2)/A(2,2))* A(2,j) [ A1 adalah matriks sebelum dieliminasi, A2 adalah matriks setelah dilakukan eliminasi.] Dan diperoleh : Matris A1 Matriks A2 ( ( ) ) 11 Langkah ketiga adalah mencari nilai X1, X2 dan X3. Dari matriks A2 diatas kita peroleh sistem persamaan linier sebagai berikut. -3X3 = 11, X3 = -11/3 = -3,67-2 X2 + X3 = -2, X2 = ( /3)/(-2) = -5/6 = -0,83 2X1+ 4X2+ X3 = 3, X1 = (3 4*0,83 3,67 )/2 = -1,995 Langkah ketiga disebut substitusi balik sehingga diperoleh nilai X1 = - 1,995 ; X2 = - 0,83 ; X3 = 3,67. Dari hasil pembahasan tersebut, dapat dibuat analisis script deplhi sebagai berikut. Untuk matriks 3x3 (jxj), diperoleh script untuk eliminasi ke 1 yaitu : A1(2,j) = A(2,j) (A(2,k)/A(1,1))*A(1,j) A1(3,j) = A(2,j) (A(3,k)/A(1,1))*A(1,j) Untuk eliminasi ke 2 yaitu : A2(3,j) = A1(3,j) (A1(3,j)/A(2,2))* A(2,j) Ak(i,j) = A(i,j)-pivot*A(kj), pivot = A(i,k)/A/(kk) Sehingga, jika variabel k untuk menunjukkan eliminasi ke k, dan variabel i untuk menunjukkan baris ke i dan j adalah untuk menunjukkan kolom ke j, maka : for k:=0 to 1 do for i:=k+1 to 2 do pivot:=matriksa[i,k]/matriksa[k,k];

4 for j:=k to 3 do matriksa[i,j]:=matriksa[i,j]-pivot*matriksa[k,j]; Pada pembuatan script delphi untuk membuat eliminasi gauss diperlukan Stringgrd1 untuk input data matriks sebelum dieliminasi, Stringgrid 2 data untuk menampilkan data setelah dieliminasi dan Button untuk eksekusi eliminasi Gauss Dari pembahasan diatas, diperoleh script Delphi untuk menyelesaikan SPL dengan eliminasi Gauss yaitu : Var matriksa:array[0..10,0..10] of real; i,j,k:integer; pivot:real; //MENGAMBIL DATA DARI STRINGGRID1 with stringgrid1 do for i:=0 to 2 do //jumlah baris 3 for j:=0 to 3 do // jumlah kolom 4 matriksa[i,j]:=strtofloat(cells[j,i]); // matriksa(baris,kolom) dan cells(kolom,baris) //PROSES ELIMINASI GAUSS for k:=0 to 1 do // eliminasi ke-k for i:=k+1 to 2 do // yang dieliminasi adalah baris k+1 hingga jumlah baris pivot:=matriksa[i,k]/matriksa[k,k]; for j:=k to 3 do // jumlah kolom matriksa[i,j]:=matriksa[i,j]-pivot*matriksa[k,j]; //MENAMPILKAN HASIL ELIMINASI GAUSS with stringgrid2 do for i:=0 to 3 do for j:=0 to 2 do cells[i,j]:=floattostr(matriksa[j,i]);

5 end. Hasil running delphi TUGAS 1. Contoh soal matriks untuk matriks 4 x Script delphinya Var matriksa:array[0..10,0..10] of real; i,j,k:integer; pivot:real; with stringgrid1 do for i:=0 to 3 do // jumlah baris for j:=0 to 4 do // jumlah kolom matriksa[i,j]:=strtofloat(cells[j,i]); for k:=0 to 2 do for i:=k+1 to 3 do pivot:=matriksa[i,k]/matriksa[k,k]; for j:=k to 4 do

6 matriksa[i,j]:=matriksa[i,j]-pivot*matriksa[k,j]; with stringgrid2 do for i:=0 to 3 do //jumlah baris for j:=0 to 4 do // jumlah kolom cells[j,i]:=floattostr(matriksa[i,j]); hasil tampilan running tanpa fungsi pembulatan adalah sebagai berikut. 2. Lima orang penerjun payung duhubungkan dengan kabel tanpa berat. Gayagaya yang berpengaruh adalah gaya gravitasi dan gaya gesek udara Fu = cv. Pada saat jatuh bebas kecepatannya 9 m/dt. a) Selesaikan kasus di atas menjadi sistem persamaan linier! b) Buat program metode Eliminasi Gauss untuk menentukan percepatan tim tersebut, tegangan tali T1, T2, T3, dan T4 bila diberikan

7 Penyelesaian Tugas : Catatan: Gunakan x1=a; x2=t1; x3=t2, x4=t3; x5=t4 dan urutan persamaan sesuai dengan urutan penerjun, g=10 m/dt. a) Dengan menggunakan prinsip hukum Newton F = ma, diperoleh SPL dari sistem tersebut yaitu : 392 = 50a + T1 692 = 8a T1 + T2 474 = 60a T2 + T3 556 = 70a T3 + T4 810 = 90a T4 b) Program Eliminasi Gauss Var matriksa:array[0..10,0..10] of real; i,j,k:integer; pivot:real; with stringgrid1 do for i:=0 to 4 do // jumlah baris for j:=0 to 5 do //jumlah kolom matriksa[i,j]:=strtofloat(cells[j,i]); for k:=0 to 3 do for i:=k+1 to 4 do pivot:=matriksa[i,k]/matriksa[k,k]; for j:=k to 5 do matriksa[i,j]:=matriksa[i,j]-pivot*matriksa[k,j]; with stringgrid2 do for i:=0 to 4 do //jumlah baris for j:=0 to 5 do // jumlah kolom

8 cells[j,i]:=floattostr(matriksa[i,j]); hasil running delphinya :

9 LAMPIRAN Lampiran (1) Flowchart Metode Gauss Mulai Input data Matriks di stringgrid1 Looping k (eliminasi ke-k) Looping i (baris) pivot:= matriksa[i,k]/matri ksa[k,k]; Looping j (kolom) Selesai matriksa[i,j]:=matriks A[i,j]- pivot*matriksa[k,j]; Selesai Tampil matriksa[i,j]di stringgrid2 Selesai

10 Lampiran (2) Script delphi menggunakan fungsi Pembulatan. function bulatkan(bilangandesimal:real;bildibelakangkoma:integer):string ; var s:string ; str(bilangandesimal:0:bildibelakangkoma,s); //s adalah jumlah angka dibelakang koma result := trim(s) ; pendeklarasian fungsi pembulatan Var matriksa:array[0..10,0..10] of real; i,j,k, bildibelakangkoma:integer; pivot,bilangandesimal:real; bulatkan(bilangandesimal,bildibelakangkoma) ; with stringgrid1 do for i:=0 to n do // ganti n dengan jumlah baris for j:=0 to p do //ganti p dengan jumlah kolom matriksa[i,j]:=strtofloat(cells[j,i]); for k:=0 to q do // ganti q dengan banyak eliminasi for i:=k+1 to n do // ganti n dengan jumlah baris pivot:=matriksa[i,k]/matriksa[k,k]; for j:=k to p do //ganti p dengan jumlah kolom matriksa[i,j]:=matriksa[i,j]-pivot*matriksa[k,j]; with stringgrid2 do for i:=0 to 4 do //jumlah baris for j:=0 to 5 do // jumlah kolom cells[j,i]:=(bulatkan(matriksa[i,j],2));

11 dengan script coding yang sama dan dengan perubahan pada bagian yang di-bold maka diperoleh hasil running dari tugas 1 dan 2 sebagai berikut.