SMA IPA Kelas 0 A. Relasi (Hubungan). Pengertian Dasar Hubungan (relasi) berarti arus ada dua kelompok (impunan) yang diubungkan dengan nama ubungan tersebut. Definisi Relasi Relasi (ubungan) dari impunan A ke Himpunan B adala pemasangan anggota (elemen) A dengan anggota B. Notasi relasi R : A B Himpunan A disebut daera asal (domain) Himpunan B disebut daera kawan (kodomain) Pasangan terurut anggota A di B disebut daera asil (range). Penyajian Suatu Fungsi Dalam menyajikan suatu relasi (ubungan) kita dapat melakukannya dalam bertuk diagram pana ( ekspresi simbolik), impunan pasangan berurutan, dan grafik Kartesius. a. Relasi sebagai diagram pana Relasi sebagai diagram pana dinyatakan dengan dua daera (lingkaran/elips), ara pana, dan nama relasi. Daera pada pangkal ara pana disebut daera asal (domain), daera pada ujung ara pana disebut daera lawan (kodomain), dan pasangan dari pangkal ara pana disebut daera asil (range). Agar mamaimi konsep dan penyajian relasi dalam diagram pana, silakan pelajari conto berikut ini. Conto : Menyajikan Relasi sebagai Digram Pana Diketaui A = {,, } dan B = {,, 4,, 6}. Gambarla relasi sebagai diagram pana yang menyatakan relasi satu kurang dari impunan A ke impunan B. Domain : A = {,, } Kodomain : B = {,, 4,, 6} Nama relasi : A satu kurang dari B Model matematika : R( x) x atau R : x x
SMA IPA KELAS 0 Relasi sebagai Diagram Pana Daera asil (range),, dan 4. Ditulis {,, 4} dengan dan 6 tidak memiliki pasangan. Relasi sebagai pasangan terurutan Suatu relasi dari impunan A ke impunan B dapat dinyatakan sebagai impunan pasangan (x,y) dengan x Adan kawan dari x Aadala y B. Semua pasangan terurut (x,y) memenui relasi yang ditetapkan. Pelajari conto berikut agar lebi memaami cara menuliskan relasi sebagai pasangan terurut. Conto : Menuliskan Pasangan Terurut Diberikan relasi sebagai diagram pana berikut. Tuliskanla :. daera asal (domain). daera kawan (kodomain). nama relasi 4. daera asil (range) sebagai impunan pasangan berurutan.. daera asal (domain) A {,8,7,64,8}. daera kawan (kodomain) B {,,,4,}. nama relasi A pangkat tiga dari B 4. daera asil (range) {,,,4} Karena,, 8, 7, dan terurut : {(,),(8,),(7,),(64,4)} 64 4, tapi 8. Daera asil sebagai pasangan Relasi sebagai diagram Kartesius Agar memaami cara melukiskan relasi sebagai diagram Kartesius silakan peratikan conto soal berikut ini.
SMA IPA Kelas 0 Conto : Melukiskan Diagram Kartesius Diberikan A = {,,, 4} dan B = {Rp00.000,00; Rp00.000,00; Rp00.000,00; Rp400.000,00; Rp00.000,00} dengan relasi dari impunan A ke impunan B menunjukan arga barang sebanyak A.. Tuliskan pasangan terurut dari relasi tersebut. Gambar diagram Kartesiusnya. Diketaui, A = {,,, 4} sebagai banyak barang, menyatakan domain B = {,,, 4, } dalam ratusan ribu sebagai arga barang sebanyak elemen A, menyatakan kodomain.. Himpunan pasangan terurutan {(,), (,), (,), (4,4)}. Diagram Kartesius. Soal A. Diketaui K = {,,, 7, 9} dan N = {, 4, 6, 8}. Hubungan K dengan N dinyatakan ole lebi dari. a. Lukiskan digram pana dari ubungan tersebut Tuliskan pasangan terurutan dari ubungan tersebut Lukiskan grafik kartesius dalam kertas grafik.. P = {,, 4, 8, 0} dan T = {0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9}. Relasi P ke T menyatakan satu kurangnya dari. a. Lukiskan digram pana dari ubungan tersebut Tuliskan pasangan terurutan dari ubungan tersebut Lukiskan grafik kartesius dalam kertas grafik. Diketaui T = {, 4, 6, 8, 0} menyatakan tarif parkir dalam ribuan rupia dan L = {,,, 4} menyatakan lamanya parker dalam itungan jam. Relasi yang diberlakukan dari L ke T dengan aturan jam searga Rp6.000,00, selanjutnya merupakan kelipatan tarif per jam. a. Lukiskan digram pana dari relasi tersebut. Lukiskan grafik Kartesiusnya Soal B. Relasi yang tepat untuk menyatakan ubungan kedua impunan berikut.. Arya selalu bersepeda seat pada ari Kamis, Jumat, dan Sabtu. Pada ari lainnya, Arya selalu joging. Kawannya Anton selalu bersepeda pada ari Sabtu, Senin, dan Selada dan selalu jogging pada ari lainnya. Pada suatu ari, keduanya berkata kemarin saya bersepeda. Pada ari apa mereka mengucapkan perkataan tersebut?
SMA IPA KELAS 0. Diberikan pasangan terurutan (0,) (,4), (,9), (,6), dan (4,). a. Apa nama relasi yang sesuai dengan pasangan terurutan tersebut Lukiskan grafik Kartesiusnya Tuliskan rumus relasinya. Soal C. Relasi pada impunan K = {,,,...00} menyatakan jika dibagi akan bersisa dua. a. Tentukan impunan A yang merupakan impunan pengganti x yang memenui relasi tersebut. Lukiskan grafik Kartesius relasi tersebut pada kerta grafik. Ulangi nomor untuk relasi yang dinyatakan ole : a. jika x dibagi akan bersisa sebagai impunan B. jika x dibagi tidak bersisa sebagai impunan C. B. Fungsi (Pemetaan). Pengertian Dasar Sebua fungsi (pemetaan) merupakan relasi kusus. Relasi kusus ini memiliki pengertian bawa setiap anggota domain arus tepat memiliki satu pasangan anggota di kodomainnya. Setiap fungsi pasti relasi, tapi tidak semua relasi merupakan fungsi. Kekususan tersebut tertuang dalam syarat-syarat berikut ini. a. Domain arus ada dan tidak kosong Kodomain juga arus ada dan tidak kosong Semua anggota domain arus semuanya dipasangkan ke daera kodomain. d. Tidak ada satu pun anggota domain yang bercabang petanya (tidak bole dua peta). e. Range dari sebua fungsi merupakan bagian atau sama dengan kodomain.. Penyajian Suatu Fungsi Kerana fungsi merupakan relasi kusus, berarti penyajian suatu fungsi mengikuti aturan relasi dengan sifat kusus. a. Fungsi sebagai diagram anak pana Sebua fungsi sebagai diagram pana arus mempunya dua daera yaitu domain dan kodomain, ara pana, dan nama fungsi, serta arus memenui persyaratan relasi kusus (fungsi). Sebagai ilustrasi, diberikan beberapa bentuk fungsi berikut. Peratikan conto berikut dan pelajari agar Anda memaami penyajian fungsi sebagai diagram pana. Conto : Fungsi sebagai Diagram Pana Manaka yang merupakan pemetaan atau fungsi dari masing-masing diagram pana berikut? 4
SMA IPA Kelas 0. Merupakan fungsi, karena memenui sifat-sifat fungsi. Bukan fungsi, karena elemen d di A petanya bercabang di B.. Bukan fungsi, karena ada anggota A, yaitu a tidak punya pasangan (peta) di B. Fungsi sebagai pasangan terurutan Sebua fungsi sabagai pasangan terurutan (x,y) dengan x Adan y Bdengan f : A B, arus memenui sifat berikut. ) Setiap x A(domain) arus semuanya dipetakan pada setia anggota B (kodomain) ) Setiap x Aanya memiliki satu eta y B. Sebagai conto, agar lebi memaami tentang penyajian fungsi sebagai pasangan terurutan. Conto : Fungsi Sebagai Pasangan Terurutan Manaka di antara pasangan terurutan berikut yang merupakan fungsi?. {(,), (,), (,), (,4)}. {(4,), (,), (,), (,)}. {(,), (,), (,), (4,)}. Bukan fungsi, karena mempunyai 4 bua peta, yaitu,, dan 4. Fungsi, karena memenui sifat fungsi. Fungsi, karena memenui sifat fungsi Fungsi sebagai digram/grafik Kartesius Diagram/grafik Kartesius dari sebua fungsi sama dengan diagram/grafik Kartesius dari sebua relasi, tapi mempunyai sifat kekususan yaitu titik-titik pada domain ditarik ke atas dan bawa ataupun kiri dan kanan anya memotong kurva satu titik saja. Sebagai ilustrasi y f ( x) dengan x domain pada grafik Kartesius berikut. ) Merupakan fungsi, karena di sepanjang sumbu X ketika ditarik ke atas dan ke bawa anya memotong kurva saat ditarik ke atas. ) Bukan fungsi, karena x a ditarik ke atas dan ke bawa memotong kurva di dua titik.
SMA IPA KELAS 0. Melukiskan Grafik Fungsi pada Sistem Koordinat Kartesius a. Sistem koordinat Kartesius Sistem koordinat Kartesius dikenal juga sebagai system koordinat persegi panjang seperti pada gambar disamping. Sumbu mendatar dikenal sebagai absis (pada sumbu X). Sumbu tegak dikenal sebagai ordinat (pada sumbu Y). Pasangan terurut (x,y) disebut koordinat titik (absis, ordinat). Pada sistem koordinat Kartesius terbagi dalam empat kuadran yaitu kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV. Titik O(0,0) merupakan titik pusat koordinat. Agar memaami tentang system koordinat Kartesius, kerjakan latian dibawa ini.. Lukiskan titik-titik berikut pada sistem koordinat Kartesius dan tuliskan letak titik tersebut. a. A (0,9) B(,0) C( 0, 8). Terletak di kuadran manaka keadaan berikut? a. x0 atau y 0 x0 atau y 0 xy 0 x d. 0 y Melukiskan kurva dengan menggunakan titik ke titik Dasar dari geometri analitik selalu berubungan dengan bentuk aljabar. Keterubungan anatara aljabar dan geometri tertuang dalam suatu persamaan. Peratikan dua variable berikut. y 9 x...( * ) Penyelesaian dari persamaan ()merupakan * pasangan terurut ( ab, ) dengan b9 a. Himpunan penyelesaian (HP) dari persamaan () * merupakan impunan semua pasangan terurut a a (,9 ) dengan a bilangan real. Melukis grafik kurva y 9 x dilakukan dengan mengubungkan titik ke titik setiap impunan pasangan terurut itu ingga terbentuk sebua kurva mulus. Untuk memaami cara melukiskan kurva dengan mengubungkan titik ke titik berikut. Conto : Melukiskan Kurva dengan Mengubungkan Titik ke Titik Lukiskan grafik kurva y 9 x pada kertas grafik Dalam melukiskan kurva y 9 x dengan mengubungkan titik ke titik, kita cukup mengambil beberapa bilangan pada domainnya, lalu membuat table berikut. Ambil nilai x pada bilangan bulat. x -4 - - - 0 4 6
SMA IPA Kelas 0 y -7 0 8 9 8 0-7 (x,y) (-4,-7) (-,0) (-,) (-,8) (0,9) (,8) (,8) (,0) (4,-7) Titik ( xy, ) dilukiskan pada kertas grafik lalu diubungkan seingga terbentuk kurva mulus dari persamaan y 9 x, seperti terliat pada gambar berikut. Sketsa grafik y 9 x 4. Penentuan Unsur-unsur Fungsi y = f(x) Unsur-unsur fungsi y f ( x) yang ditentukan meliputi persyarat domain, nilai fungsi, dan range fungsi y f ( x) a. Penentuan domain fungsi y = f(x) Dalam menentukan domain fungsi y f ( x), Anda arus memami syarat-syarat operasi bilangan real. Agar Anda memaami cara menentukan domain fungsi y f ( x). Pelajari conto berikut. Conto : Menentukan Domain Fungsi y = f(x) Tentukan domain dengan x variable bebas dari fungsi yang dinyatakan ole persamaan berikut. y 4 x Penentuan domain untuk y real, berarti kita menentukan syarat numerus di bawa tanda akar. 4, 0 0, dan 4 tidak real, al ini mengaruskan kita mengasumsikan bawa 4 x 0 x 4. Jadi, domainnya adala x 4 (notasi pertidaksamaan) atau (, 4] (notasi interval). Conto : Menentukan Domain Suatu Fungsi Carila domain dari fungsi berikut... f( x) x g( x) x. ( x) ( x )( x ) 7
SMA IPA KELAS 0. f( x) x merupakan fungsi pecaan, untuk f ( x ) real, dengan x 0 atau x. Jadi, domain f adala x atau bisa ditulis x atau x.. g( x) x merupakan fungsi kuadrat (polinom kuadrat dua). Untuk gx ( ) real, maka x real. Jadi domain g adala semua bilangan real x.. ( x) ( x )( x ) merupakan fungsi irasional (di bawa tanda akar), untuk x ( ) real, berarti ( x )( x ) 0 x atau x. Jadi, domain adala x atau x (notasi pertidaksamaan) atau (, ] atau [, ) (notasi interval) Menentukan nilai suatu fungsi Suatu fungsi y f ( x) dapat dituliskan dalam notasi diagram pana disamping. Untuk x bilangan real, maka nilai f(x) juga real. Sebagai ilustrasi, misalkan. f ( x) x Penentuan nilai f() ditentukan dengan mensubstitusikan x = ke fungsi f, diperole. f () () 7 f () 7 Berikut conto untuk menentukan nilai suatu fungsi. Agar Anda lebi memaaminua, pelajari conto dibawa ini. Conto : Menentukan Nilai Suatu Fungsi Diketaui f( x) x, g( x) x, dan ( x) x Carila : a. f (6) g( ) () a. f (6) 6 4 g( ) ( ) 4 () 4 Menentukan bentuk suatu fungsi Pengembangan nilai fungsi y f ( x) dengan x bilangan real, dalam permasalaan seari-ari dapat pula x merupakan uruf maupun kombinasi antar uruf. 8
SMA IPA Kelas 0 Agar Anda memaami cara menentukan ekspresi suatu fungsi, peratikan conto berikut. Conto : Menentukan Bentuk Suatu Fungsi Diketaui a. f( a ) f ( a ), carila : f ( x) x x 7 f ( a ) f ( a) a. f ( a) a a 7 f ( a ) ( a ) ( a ) 7 a a a 7 f ( a ) f ( a) a a a 7 ( a a 7) a (a ) a d. Identitas fungsi Dalam menguba suatu fungsi ke bentuk fungsi lainnya berarti kita tela membaas identitas fungsi tersebut. Dalam melakukan pembuktian identitas fungsi, kita diaruskan menguba ruas kiri menjadi ruas kanan ataupun sebaliknya. Dalam buku ini,ita akan membuktikan identitas fungsi dari ruas kiri menjadi ruas kanan, Untuk memaami lebi lanjut, pelajari conto berikut ini. Conto : Membuktikan Identitas Fungsi f ( x) f () Diberikan f ( x) x x. Buktikan x x Ruas kiri : f ( x) f () ( x x) (.) x x x x0 x ( x)( x) ( x ) f ( x) f () x (terbukti) x Soal A. Manaka yang merupakan fungsi? a. Domain 7 Range 0 Domain - - - Range 7 9 9
SMA IPA KELAS 0 Domain 4 Range 6 7 8 d. d. e. Domain 6 9 Domain - - 0 Range 6 Range. Dengan menarik garis pada sumbu X ke atas dan ke bawa, tunjukkan manaka yang merupakan fungsi y f ( x)? a. 6. Diberikan f ( x) x dan g( x) x x. Hitungla masing-masing bentuk fungsi berikut. a. f () g () g() f() d. f() f() e. g(). f (0) f. g(0). f( ) g. g( ) f( ). g() f( ) i. j. g( ) f ( ) g( ) f () 4. Tentukan batasan domain masing-masing fungsi berikut. a. f ( x) x x x x ( ) x 4 x gx ( ) x d. g( x) 7 x e. t( x) x f. 4 k( x) 7 x x 0 x. Diberikan f( x) x a. f ( ) f ( ) 4. Carila nilai dari : 9
SMA IPA Kelas 0 f () d. f () Soal B. Tentukan batasan domain masing-masing fungsi berikut. a. d. x f( x) x x4 x 7 gx ( ) x x6 f() t 7 t f() t t. x Diberikan Rx ( ) x a. Domain dan range dari R. R (0) R d. R( ) e. f. Rx ( ) R x g. Ra ( ). Rx ( ). Pernyataan fungsi f perkalian kuadrat dari elemen domain dengan dan dikurangi tuju mempunyai model matematika f ( x) x 7. Nyatakan masing-masing pernyataan berikut ke bentuk model metamtika berikut ini. a. Fungsi g kurangkan lima dari dua kali kubik dari elemen domain. Fungsi f perkalian elemen domain dengan - dan asilnya ditamba 4. Fungsi g perkalian akar kuadrat dari elemen domain dengan dan asilnya dikurangi kuadrat elemen domainnya. d. Fungsi f perkalian kubik dari elemen domain dengan -8 dan asilnya ditamba dengan kali akar kuadrat. Soal C. Tentukan dan sederanakan bentuk fungsi aljabar : f ( a ) f ( a) Untuk masing-masing fungsi berikut. a. f ( x) 4x f ( x) 4x 7x 6 f( x) x. Diberikan luas persegi panjang L p l dan kelilingnya K p l a. Luas suatu persegi panjang adala cm, nyatakan kelilingnua K( x ), sebagai fungsi dari lebar l dan tentukan batas domain tersebut. Luas suatu persegi panjang adala 8 cm, nyatakan kelilingnua K( p ), sebagai fungsi dari lebar p dan tentukan batas domain tersebut. Keliling suatu persegi panjang adala 00 meter, nyatakan luas L( p) sebagai fungsi dari panjang p dan tentukan batasan domain fungsi tersebut.. Diberikan fungsi permintaan p( x) 7 x, x 0 dan data penjualan cip dari computer mikro. x (dalam jutaan unit) p ($) 9 4 0 a. Lukiskan sketsa grafik fungsi permintaan tersebut. Berapa perkiraan arga percip untuk permintaan 7 juta cip dan untuk permintaan juta cip? 7 6 48