STUDI TENTANG SPECTRUM DARI OPERATOR LINIER TERBATAS PADA RUANG BANACH SKRIPSI AZHAR NOER PANE 020803030 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2007
STUDI TENTANG SPECTRUM DARI OPERATOR LINIER TERBATAS PADA RUANG BANACH SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains AZHAR NOER PANE 020803030 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2007
i PERSETUJUAN Judul : STUDI TENTANG SPECTRUM DARI OPERA- TOR LINIER TERBATAS PADA RUANG BA- NACH Kategori : SKRIPSI Nama : AZHAR NOER PANE Nomor Induk Mahasiswa : 020803030 Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Medan, Oktober 2007 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2 Pembimbing 1 Dra. Mardiningsih, M.Si Drs. Pangeran Sianipar, MS. NIP.131803344 NIP. 130422437 Diketahui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Dr. Saib Suwilo, MSc NIP. 131796149
ii PERNYATAAN STUDI TENTANG SPECTRUM DARI OPERATOR LINIER TERBATAS PADA RUANG BANACH SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Oktober 2007 AZHAR NOER PANE 020803030
iii PENGHARGAAN Segala puji bagi Allah SWT, Rabb semesta alam yang memberikan segala nikmat dan karunianya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Studi Tentang Spectrum dari Operator Linier Terbatas Pada Ruang Banach ini dengan baik. Skripsi ini merupakan salah satu mata kuliah wajib yang harus diselesaikan oleh seluruh mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Pada skripsi ini saya melakukan Studi Tentang Spectrum dari Operator Linier Terbatas Pada Ruang Banach. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Eddy Marlianto, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, dan Bapak Drs. Henry Rani S, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika di FMI- PA USU Medan. Bapak Drs. Pangeran Sianipar, MS, selaku dosen pembimbing I dan Dra. Mardiningsih, M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah memberi dukungan moral, motivasi dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan penelitian ini. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Ayahanda dan Ibunda tercinta yang selalu memberikan dukungan moril dan materiel serta doa yang tiada hentinya kepada penulis serta kepada Abangda Nuhri Pane, Kakanda Yulpida, dan Kakanda Endang Sutiah tercinta yang telah memberikan dorongan semangat kepada penulis. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada sahabat - sahabat tercinta di Ikwah Gaul Matematika (IGM) yang selalu bersama dalam suka duka selama perkuliahan, teman - teman reuni tahunan, serta stambuk 02 yang memberikan perhatian dan dukungannya dalam penyelesaian skripsi ini. Tak lupa, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada rekan - rekan seperjuangan di UKMI Al-Falak FMIPA USU, keluarga besar IM 3, yang memberikan motivasi untuk melangkah dalam hidup. Juga buat senior penulis stambuk 99, stambuk 00, stambuk 01 serta buat seluruh adik -adik mahahasiswa stambuk 03, stambuk 04, dan stambuk 05 atas perhatian dan dukungannya. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas kebaikan - kebaikan yang telah diberikan kepada penulis. Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian. Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan ini berguna bagi yang membutuhkan.
iv ABSTRAK Suatu Ruang linier bernorm kompleks E adalah ruang linier yang memenuhi aksioma - aksioma norm di dalamnya. operator linier terbatas T pada E adalah suatu transformasi linier T yang memetakan ruang linier X ke dirinya sendiri. Dan T disebut regular jika memiliki invers dan sebuah bilangan kompleks λ disebut titik regular dari T jika dan hanya jika operator λi T adalah regular, sehingga himpunan semua titik regular dari T disebut himpunan resolvent dari T. Spectrum dari T atau sp(t ) adalah komplemen daerah kompleks C dari himpunan resolvent T. Penelitian ini memberikan kondisi dari sp(t ) dengan λ sp(t ) yang berada di ruang Banach (dimana ruang Banach adalah ruang linier bernorm lengkap) dengan terlebih dahulu memperlihatkan kondisi dari sp(t ) dengan λ sp(t ) di E.
v STUDY ABOUT SPECTRUM OF BOUNDED LINEAR OPERATOR IN BANACH SPACE ABSTRACT A complex normed linear space E is linear space which satisfies of norm axioms. Bounded linear operator T on E is a linear transfomation of a linear space E into itself. And T is called regular if have a invers, and a complex number λ is said to be a regular point of T if only if the operator λi T is regular, so the set of all regular points of T is called the resolvent set of T. Spectrum of T or sp(t ) is the complement in complex plane C of the resolvent set of T. This paper determine the condition of sp(t ) with λ sp(t ) whenever in Banach space (which Banach space is complete normed linear space) with first of determine the condition of sp(t ) with λ sp(t ) whenever in E.
vi DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI i ii iii iv v vi BAB 1. PENDAHULUAN 1 1.1. Latar Belakang 1 1.2. Identifikasi Masalah 2 1.3. Tinjauan Pustaka 2 1.4. Tujuan Penelitian 3 1.5. Manfaat Penelitian 4 1.6. Metodologi Penelitian 4 2. LANDASAN TEORI 5 2.1. Ruang Metrik 5 2.2. Ruang Linier Bernorm 20 2.3. Ruang Banach 24 2.4. Ruang Metrik Compact 27 2.5. Operator Linier Terbatas 37 2.6. Spectrum dari Operator Linier Terbatas 48 3. KONDISI SPECTRUM 51 3.1. Spectrum dari operator linier terbatas pada ruang linier Bernorm 51 3.2. Spectrum dari operator linier terbatas pada ruang Banach 53 4. KESIMPULAN DAN SARAN 55 4.1. Kesimpulan 55 4.2. Saran 55 DAFTAR PUSTAKA 56