BAB II SEGI BANYAK A. Kurva Kurva adalah bangun geometri yang merupakan kumpulan semua titik yang digambar. Terdapat dua jenis kurva, yaitu kurva tertutup dan kurva tidak tertutup. Kurva tertutup dibagi menjadi kurva tertutup sederhana dan kurva tertutup tidak sederhana. Salah satu contoh kurva tertutup sederhana yang dibentuk dari beberapa segmen garis adalah segi banyak. Beberapa contoh segi banyak antara lain, segi tiga dan segi empat (yang akan dibahas lebih lanjut pada bagian selanjutnya. B. Segitiga Segitiga adalah poligon (segi banyak) yang memiliki tiga sisi. Segi tiga merupakan bangun geometri yang dibentuk oleh tiga buah ruas garis yang berpotongan di tiga titik sudut. A A A 3
Alas segitiga merupakan salah satu sisi dari segitiga tersebut. Tinggi segitiga tegak lurus dengan alas dan melalui titik sudut yang berhadapan dengan alas. Segitiga dapat dikelompokkan menurut panjang sisi dan salah satu besar sudutnya. Berikut ini pengelompokkan segitiga berdasarkan panjang sisi nya ) Segitiga Sebarang, adalah segitiga yang semua sisinya tidak sama panjang. Segitiga sembarang memiliki ciri-ciri sebagai berikut : a. Panjang ketiga sisinya berlainan. b. Besar ketiga sudutnya tidak sama. c. Tidak memiliki simetri lipat d. Tidak mempunyai simetri putar ) Segitiga Sama Kaki, adalah segitiga yang memiliki dua buah sisi yang sama panjang, Segitiga sama kaki memiliki ciri-ciri sebagai berikut : a. Dua buah sisinya sama panjang (panjang AB = panjang AC). b. Mempunyai dua buah sudut sama besar (sudut B = sudut C). c. Memiliki satu simetri lipat. d. Tidak Memiliki simetri putar 3) Segitiga Sama Sisi, adalah segitiga yanng semua sisinya sama panjang. Segitiga sama sisi memiliki ciri-ciri sebagai berikut : a. Ketiga sisinya sama panjang (panjang AB = panjang BC = panjang AC).
b. Sudut-sudutnya sama besar, yaitu masing-masing 60 (sudut A = sudut B = sudut C). c. Memiliki tiga simetri lipat. d. Memiliki tiga simetri putar. Jenis Segitiga Ditinjau dari Besar Sudut-sudutnya ) Segitiga ancip, adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip. ) Segitiga Siku-siku, adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku. 3) Segitiga Tumpul, adalah segitiga yang salah satu sudutnya tumpul. Besar seluruh sudut pada segitiga adalah 80 0. Pembuktian besar seluruh sudut pada suatu segitiga 80 0, dapat dilakukan seperti gambar derikut ini: Dalil Pythagoras: C b a c B Gambar tersebut adalah segitiga siku-siku ABC. Sisi AB dan AC adalah sisi siku-siku, sedangkan sisi BC disebut hipotenusa atau sisi miring Dalil Pythagoras untuk segitiga ABC di atas dirumuskan menjadi: (BC) = (AC) + (AB) BC = ( AC) + (AB) 3
C. Segi Empat Segiempat adalah poligon yang memiliki empat sisi. Segi empat dapat dibentuk dari empat buah garis dan empat buah titik dengan tiga titik tidak kolinier. Sebelum membahas lebih lanjut mengenai macam-macam segi empat dan karakteristiknya, perhatian diagram berikut ini: SEGI EMPAT Tepat memiliki sepsang sisi sejajar pasang sisi berhadapan sejajar TRAPESIUM JAJAR GENJANG ayanglayang Keempat sudutnya sikusiku PERSEGI PANJANG Keempat sisinya sama panjang BEAH KETUPAT Keempat sisinya sama panjang PERSEGI Keempat sudutnya sikusiku. Trapesium Trapesium adalah segiempat yang memiliki tepat sepasang sisi sejajar. Trapesium dapat dikelompokkan menjadi: () trapesium sembarang, adalah trapesium yang tepat memiliki sepasang sisi sejajar dengan panjang tidak sama serta besar sudutnya tidak ada yang 90 0. 4
() trapesium sama kaki, adalah trapesium yang tepat memiliki sepasang sisi sejajar dan sepasang sisi yang lain sama panjang. (3) trapesium siku-siku, adalah trapesium yang tepat memiliki sepasang sisi sejajar dengan dua sudut yang besarnya 90 0. Pada suatu trapesium, jumlah sudut yang berdekatan pada suatu trapesium adalah 80 0.. Jajar Genjang Jajargenjang adalah segiempat dengan sisi-sisi yang berhadapan sejajar, serta sudut-sudut yang berhadapan sama besar. Jajargenjang dapat dibentuk dari gabungan suatu segitiga dan bayangannya setelah diputar setengah putaran dengan pusat titik tengah salah satu sisinya. Beberapa sifat jajargenjang, antara lain: a. Pada setiap jajargenjang, sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar. b. Pada setiap jajargenjang, sudut-sudut yang berhadapan sama besar. c. Jumlah dua sudut yang berdekatan dalam jajargenjang adalah 80 0. Nah, bagaimana jika terdapat sebuah bangun jajargenjang tetapi besar salah satu sudutnya adalah 90 0, apakah bangun tersebut adalah sebuah jajargenjang?coba analisislah! 5
3. Belah Ketupat Belah ketupat merupakan segiempat yang khusus. Belah ketupat didefinisikan sebagai segiempat dengan sisi yang berhadapan sejajar, keempat sisinya sama panjang, dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar. Belah ketupat juga merupakan jajargenjang yang semua sisinya sama panjang. Oleh karena itu, semua sifat yang berlaku pada jajargenjang berlaku pula pada belah ketupat. Keistimewaan belah ketupat adalah dapat dibentuk dari gabungan segitiga sama kaki dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya. Berikut ini adalah sifat-sifat khusus belah ketupat: a. Semua sisinya sama panjang b. Diagonal-diagonal belah ketupat menjadi sumbu simetri c. Kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus dan saling membagi dua sama panjang. d. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya. Nah, bagaimana jika terdapat sebuah bangun belah ketupat tetapi besar salah satu sudutnya adalah 90 0, apakah bangun tersebut adalah sebuah belahketupat?coba analisislah! 6
4. Persegi panjang Persegi panjang adalah jajar genjang yang besar keempat sudutnya 90 0. Persegi panjang adalah segiempat yang kedua pasang sisinya sejajar dan keempat sudutnya 90 0. Beberapa sifat persegi panjang: a. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar b. Setiap sudutnya sama besar, yaitu 90 0 c. Diagonal-diagonalnya sama panjang d. Diagonal-diagonalnya berpotongan dan saling membagi dua sama panjang. 5. Persegi Persegi adalah persegi panjang yang keempat sisinya sama panjang. Beberapa sifat persegi adalah: a. Sisi-sisinya sama panjang b. Diagonalnya sama panjang c. Diagonalnya saling berpotongan dan membagi dua sama panjang. d. Sudut-sudut dalam setiap persegi dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya. e. Diagonal-diagonalnya merupakan sumbu simetri. f. Diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus. 6. ayang-layang ayang-layang adalah segiempat yang mempunyai sisi yang berdekatan sama panjang dan kedua diagonalnya saling tegak lurus. ayang-layang juga merupakan segiempat yang terdiri dari dua segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang dan saling berimpit. 7
A B D Beberapa sifat layang-layang: a. Pada setiap layang-layang sepasang sisinya sama panjang. b. Pada setiap layang-layang terdapat sepasang sudut berhadapan yang sama besar. c. Salah satu diagonal layang-layang merupakan sumbu simetri. d. Salah satu diagonal layang-layang membagi dua sama panjang dan tegak lurus terhadap diagonal lainnya. 8. ingkaran ingkaran adalah kumpulan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik (pusat lingkaran). 8
BAB III KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN A. Kesebangunan Perhatikan gambar tersebut. Dua persegi panjang tersebut merupakan conroh dua persegi panjang yang sebangun. Dua atau lebih bangun dikatakan sebangun jika mempunyai syarat:. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut memiliki perbandingan yang sama.. Sudut-sudut yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut sama besar. Pada bangun segitiga, dua atau lebih segitiga dikatakan sebangun jika memenuhi salah satu syarat sebagai berikut:. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama (sisi sisi sisi). Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (sudut sudut sudut) 3. Dua sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama dan sudut bersesuaian yang diapit sama besar (sisi sudut sisi) Berdasarkan uraian tersebut, coba identifikasi pada bangun datar di bawah ini ada berapakah segitiga yang sebangun? 9
B. Kekongruenan Perhatikan gambar tersebut, persegi satuan yang terdapat pada gambar memiliki besar yang sama besar. Dua bangun atau lebih dikatakan kongruen jika bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama serta sudut yang bersesuaian sama besar (sama dan sebangun). Pada bangun segitiga, dua atau lebih segitiga dikatakan kongruen jika memenuhi salah satu syarat sebagai berikut:. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi sisi sisi). Dua sisi yang bersesuaian yang sama panjang dan sudut yang diapit sama besar (sisi sudut sisi) 3. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang. 0
BAB IV KEIING DAN UAS DAERAH BANGUN DATAR A. Keliling Perhatikan gambar tersebut! Bagaimanakah cara menghitung keliling bangun tersebut? Untuk mengilustrasikan kepada siswa, kita dapat gunakan cerita berapakah jarak yang ditempuh untuk mengelilingi tanah atau taman yang berbentuk seperti gambar tersebut. Keliling adalah jarak perpindahan titik dari lintasan awal sampai ke lintasan akhir (titik awal dan titik akhir adalah titik yang sama). Atau dengan kata lain Keliling adalah jumlah keseluruhan panjang sisi yang membatasi suatu bangun. Kasus berbeda pada saat kita ingin menentukan keliling lingkaran. angkah yang dapat kita lakukan adalah sebagai berikut: Dari benda yang berbentuk lingkaran, siswa menentukan panjang diameter (dengan menggunakan tali), dan diameter lingkaran. Setelah itu tentukalah, hasil yang diharapakan adalah nilai phi( Karena maka keliling =
B. uas Daerah Jika kita memiliki sebuah daun dan ingin menghitung berapa luas daun tersebut, bagaimanakah cara kita menghitung daun tersebut? Untuk memudahkan kita akan membimbing siswa membuat persegi satuan, tetapi bagaimana siswa menentukan luas tersebut? Untuk memudahkan memahami konsep luas, permasalahan yang diberikan kepada siswa dapat menggunakan bangun yang beraturan. Perhatikan gambar berikut ini: Untuk menentukan luas dua bangun tersebut, kita dapat membimbing siswa dengan bantuan persegi satuan seperti di bawah ini
uas bangun datar adalah luas daerah yang dibatasi oleh sisi-sisi bangun datar tersebut.. uas Persegi panjang uas persegi panjang adalah luas daerah yang dibatasi oleh sisi persegi panjang tersebut. Rumus luas persegi panjang adalah: panjang lebar Untuk membantu siswa menemukan rumus tersebut, salah satu cara yang dapat dilakukan sebagai berikut: 3
. uas Persegi Sedangkan luas persegi adalah luas daerah yang dibatasi oleh sisi persegi tersebut. Karena persegi memiliki ukuran panjang dan lebar yang sama yang disebut sisi, maka rumus luas persegi adalah: sisi sisi Untuk membantu siswa menemukan rumus tersebut, salah satu cara yang dapat dilakukan sebagai berikut: Contoh: Tentukan luas persegi jika panjang sisi persegi tersebut adalah (a + b)! Jawab: Untuk menentukan luas persegi tersebut, perhatikan gambar berikut ini: a b uas = uas I + uas II + uas III + uas IV a I II (a+b)(a+b) = a + ab + ab + b = a + ab + b b III IV 4
3. uas Segitiga () () Perhatikan ketiga bangun tersebut, segitiga () dan segitiga (), dapat diperleh dari setengah persegi panjang. Sehingga luas segitiga adalah setengah dari luas persegi panjang. ABD = = = x alas x tinggi Untuk menentukan luas segitiga tersebut, dapat ditentukan dengan: ABC = ABD + CBD = = = x alas x tinggi Untuk menentukan luas segitiga tersebut, dapat ditentukan dengan: ABC = CB - AB = 5
= = x alas x tinggi Menentukan luas segitiga juga dapat dilakukan dengan langkah berikut ini: uas segitiga = alas tinggi = a t Coba buktikan untuk rumus luas segitiga sama sisi! 4. uas Jajargenjang Perhatikan dua bangun jajargenjang tersebut. Untuk menetukan luas jajargenjang Dalam menentukan luas jajargenjang dapat menggunakan konsep luas segitiga. jajargenjang = 6
a t a t Dengan menggunakan konsep luas persegi panjang, maka luas jajargenjang juga dapat ditentukan sebagai: jajargenjang = a t. Jadi, untuk setiap jajargenjang, dengan alas a, tinggi t, serta luas, maka berlaku: = a t 5. uas Belah Ketupat Karena belah ketupat merupakan jajargenjang, maka tentu saja luas belah ketupat pun memiliki rumus yang sama dengan rumus luas jajargenjang, yaitu menggunakan konsep luas segitiga: ACD ABC AC DP diagonal AC ( DP BP) AC BD AC BP diagonal 6. uas layang-layang uas layang-layang dapat dihitung sebagai jumlah luas dua segitiga, yaitu: A B P D ACD ABC AC DP diagonal AC ( DP BP) AC BD AC BP diagonal C 7
7. uas Trapesium Untuk menghitung luas trapesium, kita tarik garis diagonal sehingga membagi daerah trapesium menjadi dua buah segitiga. Trapesium terbagi manjadi dua bagian yaitu ABD dan BCD. A a D t B b C trapesium ABD BCD a t ( a b) t b t jumlah sisi sejajar tinggi Pembuktian rumus luas di atas dicontohkan untuk trapesium siku-siku, sekarang coba buktikan rumus luas trapesium sembarang?apakah sama? 8. uas ingkaran uas lingkaran merupakan luas daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran. Misalkan, diketahui sebuah lingkaran yang dibagi menjadi buah juring yang sama bentuk dan ukurannya. Kemudian, salah satu juringnya dibagi dua lagi sama besar. Potongan-potongan tersebut disusun sedemikian sehingga membentuk persegipanjang. Susunan potongan-potongan juring tersebut menyerupai persegipanjang dengan ukuran panjang mendekati setengah keliling lingkaran dan lebar sebesar jari-jari, sehingga luas bangun tersebut adalah 8
uas lingkaran = uas persegi panjang = p x l = = = Jadi, luas daerah lingkaran tersebut dinyatakan dengan rumus sebagai berikut. uas ingkaran = 9