BAB I DASAR-DASAR GEOMETRI

Transkripsi

1

2 DAFTAR ISI BAB I DASAR DASAR GEOMETRI..... BAB II SEGI BANYAK... 6 A. Kurva... 6 B. Segitiga... 6 C. Segi Empat... 9 BAB III KESEBANGUNAN dan KEKONGRUENAN A. Kesebangunan B. Kekongruenan BAB IV KELILING dan LUAS BANGUN DATAR A. Keliling B. Luas Daerah BAB V BANGUN RUANG... 5 A. Prisma... 6 B. Limas... 7 BAB VI LUAS PERMUKAAN DAN VOLUME... 8 A. Luas Permukaan... 8 B. Volume... 31

3 Capaian Pembelajaran: 1. Menguasai materi pelajaran Matematika secara luas dan mendalam meliputi menganalisis kompetensi (capaian pembelajaran) sebagai dasar pemilihan materi dan menerapkan serta mengevaluasi materi, struktur, konsep, dan pola pikir keilmuan yang mendukung pengembangan ilmu pengetahuan, teknologi, dan seni (Ipteks).. Menguasai teori, aplikasi, pendekatan, teknik, atau metode keilmuan, teknologi, atau seni yang relevan dengan pembelajaran matematika. Sub Capaian Pembelajaran: 1. Menganalisis unsur-unsur pada geometri.. Memahami konsep teoritis materi geometri (bangun datar dan bangun ruang khususnya segi tiga, segi empat, prisma dan limas) secara mendalam. 3. Memahami pengetahuan konseptual dan prosedural pada materi geometri (bangun datar dan bangun ruang khususnya segi tiga, segi empat, prisma dan limas). 4. Melakukan pemecahan masalah matematis pada materi geometri (bangun datar dan bangun ruang khususnya segi tiga, segi empat, prisma dan limas) serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. 5. Mengembangkan pembelajaran geometri (bangun datar dan bangun ruang khususnya segi tiga, segi empat, prisma dan limas) pada saat workshop penyusunan perangkat pembelajaran.

4 PENDAHULUAN Kegiatan belajar ini menyajikan bahasan mengenai Geometri. Secara rinci kegiatan belajar ini menyajikan tentang: 1. Dasar-dasar geometri. Segi banyak (Kurva, segi tiga dan segi empat). 3. Kesebangunan dan kekongruenan 4. Keliling dan luas bangun datar (segi tiga dan segi empat) 5. Bangun ruang (prisma dan limas) 6. Luas permukaan dan volume (prisma dan limas) serta debit Kegiatan belajar ini selain disajikan dalam modul berisi materi utama, juga dilengkapi oleh materi penunjang yang dapat dipelajari untuk lebih memperkuat konsep dan pemahaman mengenai pembelajarannya di Sekolah Dasar yang berupa video, ppt, dan contoh pengembangan lembar kerja pada materi geometri di Sekolah Dasar. Selain itu juga dilengkapi dengan link rujukan yang dapat dipelajari mengenai konsep geometri. Setelah mempelajari modul pada materi utama serta materi penunjang, peserta diharapkan mampu: 1. Menganalisis unsur-unsur pada geometri.. Memahami konsep teoritis materi geometri (bangun datar dan bangun ruang khususnya segi tiga, segi empat, prisma dan limas) secara mendalam. 3. Memahami pengetahuan konseptual dan prosedural pada materi geometri (bangun datar dan bangun ruang khususnya segi tiga, segi empat, prisma dan limas). 4. Melakukan pemecahan masalah matematis pada materi geometri (bangun datar dan bangun ruang khususnya segi tiga, segi empat, prisma dan limas) serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. 5. Mengembangkan pembelajaran geometri (bangun datar dan bangun ruang khususnya segi tiga, segi empat, prisma dan limas) pada saat workshop penyusunan perangkat pembelajaran. 1

5 BAB I DASAR-DASAR GEOMETRI Struktur geometri modern menyepakati istilah dalam geometri, yaitu: 1)unsur yang tidak didefinisikan, ) unsur yang didefinisikan, 3) aksioma/postulat, 4) teorema/dalil/postulat. Unsur yang tidak didefinisikan merupakan konsep yang mudah dipahami dan sulit yang dibuatkan definisinya, contoh titik, garis dan bidang. Unsur yang didefinisikan merupakan konsep yang dikembangkan dari unsur yang tidak dapat didefinisikan dan merupakan konsep yang memiliki batasan, contoh sinar garis, ruas garis, segitiga. Aksioma/postulat merupakan konsep yang disepakati benar tanpa harus dibuktikan kebenarannya, contoh postulat garis sejajar. Teorema/dalil/rumus adalah konsep yang harus dibuktikan kebenarannya melalui serangkaian pembuktian deduktif, contoh Teorema Phytagoras. A. Titik Titik merupakan salah satu unsur yang tidak dapat didefinisikan. Titik merupakan konsep abstrak yang tidak berwujud atau tidak berbentuk, tidak mempunyai ukuran dan berat. Titik disimbolkan dengan noktah... A P B. Garis Garis juga merupakan salah satu unsur yang tidak dapat didefinisikan. Garis merupakan gagasan abstrak yang lurus, memanjang kedua arah, tidak terbatas. B m A

6 Sinar garis merupakan bagian dari garis yang memanjang ke satu arah dengan panjang tidak terhingga. B A Ruas garis merupakan bagian dari garis yang dibatasi oleh dua buah titik di ujung dan pangkalnya. A B Dua garis g dan h dikatakan sejajar (g // h) jika kedua garis tersebut tidak mempunyai titik sekutu (titik potong). g k h m (a) (b) Aksioma Kesejajaran Melalui sebuah titik P di luar sebuah garis g, ada tepat satu garis h yang sejajar dengan g. h g C. Bidang Bidang merupakan sebuah gagasan abstrak, sehingga bidang termasuk unsur yang tidak didefinisikan. D C A B D. Ruang Ruang diartikan sebagai unsur geometri dalam konteks tiga dimensi. 3

7 E. Sudut Sudut terbentuk oleh dua sinar garis yang berhimpit di titik pangkalnya. Ukuran sudut berkaitan dengan besar putaran. Untuk mengukur besar sudut, dapat menggunakan busur derajat. Sudut Suplemen (Pelurus) AOC suplemen COB, atau COB suplemen AOC. Dua Sudut Kongruen AOB kongruen dengan CPD (biasanya ditulis sebagai: APD CPD). Dua buah sudut dikatakan kongruen jika besar ukuran dua sudut sama. A C O B P D (a) (b) Sudut Siku-siku Sudut siku-siku adalah sudut yang kongruen dengan suplemennya dan mempunyai besar sudut AOC COB dan AOC suplemen COB, maka AOC dan COB sudut siku-siku. 4

8 Sudut Bertolak Belakang Andaikan terdapat dua buah garis yang saling berpotongan, Maka AOB = COD BOC = AOD Sudut AOB dan sudut COD disebut bertolak belakang, begitu pula dengan BOC dan AOD, keduanya bertolak belakang. 5

9 BAB II SEGI BANYAK A. Kurva Kurva adalah bangun geometri yang merupakan kumpulan semua titik yang digambar. Terdapat dua jenis kurva, yaitu kurva tertutup dan kurva tidak tertutup. Kurva tertutup dibagi menjadi kurva tertutup sederhana dan kurva tertutup tidak sederhana. Salah satu contoh kurva tertutup sederhana yang dibentuk dari beberapa segmen garis adalah segi banyak. Beberapa contoh segi banyak antara lain, segi tiga dan segi empat (yang akan dibahas lebih lanjut pada bagian selanjutnya. B. Segitiga Segitiga adalah poligon (segi banyak) yang memiliki tiga sisi. Segi tiga merupakan bangun geometri yang dibentuk oleh tiga buah ruas garis yang berpotongan di tiga titik sudut. A 1 A A 3 6

10 Alas segitiga merupakan salah satu sisi dari segitiga tersebut. Tinggi segitiga tegak lurus dengan alas dan melalui titik sudut yang berhadapan dengan alas. Segitiga dapat dikelompokkan menurut panjang sisi dan salah satu besar sudutnya. Berikut ini pengelompokkan segitiga berdasarkan panjang sisi nya 1) Segitiga Sebarang, adalah segitiga yang semua sisinya tidak sama panjang. Segitiga sembarang memiliki ciri-ciri sebagai berikut : a. Panjang ketiga sisinya berlainan. b. Besar ketiga sudutnya tidak sama. c. Tidak memiliki simetri lipat d. Tidak mempunyai simetri putar ) Segitiga Sama Kaki, adalah segitiga yang memiliki dua buah sisi yang sama panjang, Segitiga sama kaki memiliki ciri-ciri sebagai berikut : a. Dua buah sisinya sama panjang (panjang AB = panjang AC). b. Mempunyai dua buah sudut sama besar (sudut B = sudut C). c. Memiliki satu simetri lipat. d. Tidak Memiliki simetri putar 3) Segitiga Sama Sisi, adalah segitiga yanng semua sisinya sama panjang. Segitiga sama sisi memiliki ciri-ciri sebagai berikut : a. Ketiga sisinya sama panjang (panjang AB = panjang BC = panjang AC). 7

11 b. Sudut-sudutnya sama besar, yaitu masing-masing 60 (sudut A = sudut B = sudut C). c. Memiliki tiga simetri lipat. d. Memiliki tiga simetri putar. Jenis Segitiga Ditinjau dari Besar Sudut-sudutnya 1) Segitiga Lancip, adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip. ) Segitiga Siku-siku, adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku. 3) Segitiga Tumpul, adalah segitiga yang salah satu sudutnya tumpul. Besar seluruh sudut pada segitiga adalah Pembuktian besar seluruh sudut pada suatu segitiga 180 0, dapat dilakukan seperti gambar derikut ini: Dalil Pythagoras: C b a L c B Gambar tersebut adalah segitiga siku-siku ABC. Sisi AB dan AC adalah sisi siku-siku, sedangkan sisi BC disebut hipotenusa atau sisi miring Dalil Pythagoras untuk segitiga ABC di atas dirumuskan menjadi: (BC) = (AC) + (AB) BC = ( AC) + (AB) 8

12 C. Segi Empat Segiempat adalah poligon yang memiliki empat sisi. Segi empat dapat dibentuk dari empat buah garis dan empat buah titik dengan tiga titik tidak kolinier. Sebelum membahas lebih lanjut mengenai macam-macam segi empat dan karakteristiknya, perhatian diagram berikut ini: SEGI EMPAT Tepat memiliki sepsang sisi sejajar pasang sisi berhadapan sejajar TRAPESIUM JAJAR GENJANG Layanglayang Keempat sudutnya sikusiku PERSEGI PANJANG Keempat sisinya sama panjang BELAH KETUPAT Keempat sisinya sama panjang PERSEGI Keempat sudutnya sikusiku 1. Trapesium Trapesium adalah segiempat yang memiliki tepat sepasang sisi sejajar. Trapesium dapat dikelompokkan menjadi: (1) trapesium sembarang, adalah trapesium yang tepat memiliki sepasang sisi sejajar dengan panjang tidak sama serta besar sudutnya tidak ada yang

13 () trapesium sama kaki, adalah trapesium yang tepat memiliki sepasang sisi sejajar dan sepasang sisi yang lain sama panjang. (3) trapesium siku-siku, adalah trapesium yang tepat memiliki sepasang sisi sejajar dengan dua sudut yang besarnya Pada suatu trapesium, jumlah sudut yang berdekatan pada suatu trapesium adalah Jajar Genjang Jajargenjang adalah segiempat dengan sisi-sisi yang berhadapan sejajar, serta sudut-sudut yang berhadapan sama besar. Jajargenjang dapat dibentuk dari gabungan suatu segitiga dan bayangannya setelah diputar setengah putaran dengan pusat titik tengah salah satu sisinya. Beberapa sifat jajargenjang, antara lain: a. Pada setiap jajargenjang, sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar. b. Pada setiap jajargenjang, sudut-sudut yang berhadapan sama besar. c. Jumlah dua sudut yang berdekatan dalam jajargenjang adalah Nah, bagaimana jika terdapat sebuah bangun jajargenjang tetapi besar salah satu sudutnya adalah 90 0, apakah bangun tersebut adalah sebuah jajargenjang?coba analisislah! 10

14 3. Belah Ketupat Belah ketupat merupakan segiempat yang khusus. Belah ketupat didefinisikan sebagai segiempat dengan sisi yang berhadapan sejajar, keempat sisinya sama panjang, dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar. Belah ketupat juga merupakan jajargenjang yang semua sisinya sama panjang. Oleh karena itu, semua sifat yang berlaku pada jajargenjang berlaku pula pada belah ketupat. Keistimewaan belah ketupat adalah dapat dibentuk dari gabungan segitiga sama kaki dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya. Berikut ini adalah sifat-sifat khusus belah ketupat: a. Semua sisinya sama panjang b. Diagonal-diagonal belah ketupat menjadi sumbu simetri c. Kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus dan saling membagi dua sama panjang. d. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya. Nah, bagaimana jika terdapat sebuah bangun belah ketupat tetapi besar salah satu sudutnya adalah 90 0, apakah bangun tersebut adalah sebuah belahketupat?coba analisislah! 11

15 4. Persegi panjang Persegi panjang adalah jajar genjang yang besar keempat sudutnya Persegi panjang adalah segiempat yang kedua pasang sisinya sejajar dan keempat sudutnya Beberapa sifat persegi panjang: a. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar b. Setiap sudutnya sama besar, yaitu 90 0 c. Diagonal-diagonalnya sama panjang d. Diagonal-diagonalnya berpotongan dan saling membagi dua sama panjang. 5. Persegi Persegi adalah persegi panjang yang keempat sisinya sama panjang. Beberapa sifat persegi adalah: a. Sisi-sisinya sama panjang b. Diagonalnya sama panjang c. Diagonalnya saling berpotongan dan membagi dua sama panjang. d. Sudut-sudut dalam setiap persegi dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya. e. Diagonal-diagonalnya merupakan sumbu simetri. f. Diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus. 6. Layang-layang Layang-layang adalah segiempat yang mempunyai sisi yang berdekatan sama panjang dan kedua diagonalnya saling tegak lurus. Layang-layang juga merupakan segiempat yang terdiri dari dua segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang dan saling berimpit. 1

16 A B D Beberapa sifat layang-layang: a. Pada setiap layang-layang sepasang sisinya sama panjang. b. Pada setiap layang-layang terdapat sepasang sudut berhadapan yang sama besar. c. Salah satu diagonal layang-layang merupakan sumbu simetri. d. Salah satu diagonal layang-layang membagi dua sama panjang dan tegak lurus terhadap diagonal lainnya. 8. Lingkaran Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik (pusat lingkaran). 13

17 BAB III KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN A. Kesebangunan Perhatikan gambar tersebut. Dua persegi panjang tersebut merupakan conroh dua persegi panjang yang sebangun. Dua atau lebih bangun dikatakan sebangun jika mempunyai syarat: 1. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut memiliki perbandingan yang sama.. Sudut-sudut yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut sama besar. Pada bangun segitiga, dua atau lebih segitiga dikatakan sebangun jika memenuhi salah satu syarat sebagai berikut: 1. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama (sisi sisi sisi). Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (sudut sudut sudut) 3. Dua sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama dan sudut bersesuaian yang diapit sama besar (sisi sudut sisi) Berdasarkan uraian tersebut, coba identifikasi pada bangun datar di bawah ini ada berapakah segitiga yang sebangun? 14

18 B. Kekongruenan Perhatikan gambar tersebut, persegi satuan yang terdapat pada gambar memiliki besar yang sama besar. Dua bangun atau lebih dikatakan kongruen jika bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama serta sudut yang bersesuaian sama besar (sama dan sebangun). Pada bangun segitiga, dua atau lebih segitiga dikatakan kongruen jika memenuhi salah satu syarat sebagai berikut: 1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi sisi sisi). Dua sisi yang bersesuaian yang sama panjang dan sudut yang diapit sama besar (sisi sudut sisi) 3. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang. 15

19 BAB IV KELILING DAN LUAS DAERAH BANGUN DATAR A. Keliling Perhatikan gambar tersebut! Bagaimanakah cara menghitung keliling bangun tersebut? Untuk mengilustrasikan kepada siswa, kita dapat gunakan cerita berapakah jarak yang ditempuh untuk mengelilingi tanah atau taman yang berbentuk seperti gambar tersebut. Keliling adalah jarak perpindahan titik dari lintasan awal sampai ke lintasan akhir (titik awal dan titik akhir adalah titik yang sama). Atau dengan kata lain Keliling adalah jumlah keseluruhan panjang sisi yang membatasi suatu bangun. Kasus berbeda pada saat kita ingin menentukan keliling lingkaran. Langkah yang dapat kita lakukan adalah sebagai berikut: Dari benda yang berbentuk lingkaran, siswa menentukan panjang diameter (dengan menggunakan tali), dan diameter lingkaran. Setelah itu tentukalah keliling diameter, hasil yang diharapakan adalah nilai phi(π = 3,14. = 7 ) Karena π = keliling maka keliling = π x diameter = πd = πr diameter 16

20 B. Luas Daerah Jika kita memiliki sebuah daun dan ingin menghitung berapa luas daun tersebut, bagaimanakah cara kita menghitung daun tersebut? Untuk memudahkan kita akan membimbing siswa membuat persegi satuan, tetapi bagaimana siswa menentukan luas tersebut? Untuk memudahkan memahami konsep luas, permasalahan yang diberikan kepada siswa dapat menggunakan bangun yang beraturan. Perhatikan gambar berikut ini: Untuk menentukan luas dua bangun tersebut, kita dapat membimbing siswa dengan bantuan persegi satuan seperti di bawah ini 17

21 Luas bangun datar adalah luas daerah yang dibatasi oleh sisi-sisi bangun datar tersebut. 1. Luas Persegi panjang Luas persegi panjang adalah luas daerah yang dibatasi oleh sisi persegi panjang tersebut. Rumus luas persegi panjang adalah: L = panjang lebar Untuk membantu siswa menemukan rumus tersebut, salah satu cara yang dapat dilakukan sebagai berikut: 18

22 . Luas Persegi Sedangkan luas persegi adalah luas daerah yang dibatasi oleh sisi persegi tersebut. Karena persegi memiliki ukuran panjang dan lebar yang sama yang disebut sisi, maka rumus luas persegi adalah: L = sisi sisi Untuk membantu siswa menemukan rumus tersebut, salah satu cara yang dapat dilakukan sebagai berikut: Contoh: Tentukan luas persegi jika panjang sisi persegi tersebut adalah (a + b)! Jawab: Untuk menentukan luas persegi tersebut, perhatikan gambar berikut ini: a b Luas = Luas I + Luas II + Luas III + Luas IV a I II (a+b)(a+b) = a + ab + ab + b = a + ab + b b III IV 19

23 3. Luas Segitiga (1) () Perhatikan ketiga bangun tersebut, segitiga (1) dan segitiga (), dapat diperleh dari setengah persegi panjang. Sehingga luas segitiga adalah setengah dari luas persegi panjang. L ABD = 1 L ABCD = 1 AB X AD 1 = x alas x tinggi Untuk menentukan luas segitiga tersebut, dapat ditentukan dengan: L ABC = L ABD + L CBD = 1 (AD)(BD) + 1 (CD)(BD) 1 = (AD + CD)(BD) 1 = x alas x tinggi Untuk menentukan luas segitiga tersebut, dapat ditentukan dengan: L ABC = L LCB - L LAB = 1 (LC)(LB) 1 (LA)(LB) 0

24 1 = (LC LA)(LB) 1 = x alas x tinggi Menentukan luas segitiga juga dapat dilakukan dengan langkah berikut ini: Luas segitiga = 1 alas tinggi = 1 a t Coba buktikan untuk rumus luas segitiga sama sisi! 4. Luas Jajargenjang Perhatikan dua bangun jajargenjang tersebut. Untuk menetukan luas jajargenjang Dalam menentukan luas jajargenjang dapat menggunakan konsep luas segitiga. L jajargenjang = L 1

25 1 = a t = a t Dengan menggunakan konsep luas persegi panjang, maka luas jajargenjang juga dapat ditentukan sebagai: L jajargenjang = a t. Jadi, untuk setiap jajargenjang, dengan alas a, tinggi t, serta luas L, maka berlaku: L = a t 5. Luas Belah Ketupat Karena belah ketupat merupakan jajargenjang, maka tentu saja luas belah ketupat pun memiliki rumus yang sama dengan rumus luas jajargenjang, yaitu menggunakan konsep luas segitiga: L L L L L ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD = L = = = ACD + L ABC AC DP + 1 = diagonal 1 1 AC ( DP + BP) AC BD AC BP diagonal 6. Luas layang-layang Luas layang-layang dapat dihitung sebagai jumlah luas dua segitiga, yaitu: A B P D L L L L L ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD = L = = = ACD + L ABC AC DP + 1 = diagonal 1 1 AC ( DP + BP) AC BD AC BP diagonal C

26 7. Luas Trapesium Untuk menghitung luas trapesium, kita tarik garis diagonal sehingga membagi daerah trapesium menjadi dua buah segitiga. Trapesium ABCD terbagi manjadi dua bagian yaitu ABD dan BCD. A a D t L B b C trapesium ABCD = L ABD + L BCD = = 1 1 a t + 1 ( a + b) t b t 1 = jumlah sisi sejajar tinggi Pembuktian rumus luas di atas dicontohkan untuk trapesium siku-siku, sekarang coba buktikan rumus luas trapesium sembarang?apakah sama? 8. Luas Lingkaran Luas lingkaran merupakan luas daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran. Misalkan, diketahui sebuah lingkaran yang dibagi menjadi 1 buah juring yang sama bentuk dan ukurannya. Kemudian, salah satu juringnya dibagi dua lagi sama besar. Potongan-potongan tersebut disusun sedemikian sehingga membentuk persegipanjang. Susunan potongan-potongan juring tersebut menyerupai persegipanjang dengan ukuran panjang mendekati setengah keliling lingkaran dan lebar sebesar jari-jari, sehingga luas bangun tersebut adalah 3

27 Luas lingkaran = Luas persegi panjang = p x l = 1 keliling lingkaran x r = 1 xπr x r = πr Jadi, luas daerah lingkaran tersebut dinyatakan dengan rumus sebagai berikut. Luas Lingkaran = πr 4

28 BAB V BANGUN RUANG Bangun ruang adalah bagian ruang yang dibatasi oleh himpunan titik-titik yang terdapat pada seluruh permukaan bangun tersebut. Permukaan yang dimaksud pada definisi tersebut adalah bidang atau sisi. Perpotongan dari dua buah sisi adalah rusuk. Perpotongan tiga buah rusuk atau lebih adalah titik sudut. Diagonal sisi atau diagonal bidang adalah garis yang menghubungkan dua buah titik sudut yang berhadapan pada sebuah sisi. Diagonal ruang adalah garis yang menghubungkan dua buah titik sudut yang saling berhadapan pada sebuah ruang. Pada bangun ruang sisi datar, terdapat hubungan antara banyaknya sisi, banyaknya titik sudut dan banyaknya rusuk. Hubungan tersebut dinamakan Kaidah EULER. Kaidah Euler menyatakan bahwa banyaknya sisi ditambah dengan banyaknya titik sudut adalah sama dengan banyaknya rusuk ditambah dengan (S + T = R + ) Untuk lebih jelasnya buatlah sebuah tabel untuk membuktikan kaidah euler! 5

29 A. PRISMA Prisma adalah bidang banyak yang dibentuk oleh dua daerah polygon kongruen yang terletak pada bidang sejajar, dan tiga atau lebih daerah jajaran genjang yang ditentukan oleh sisi-sisi dua daerah polygon tersebut sedemikian hingga membentuk permukaan tertutup sederhana. Dua daerah polygon kongruen yang terletak pada bidang sejajar dapat berupa segitiga, segiempat, segilima, dan lain-lain. Bidang banyak yang keenam sisinya persegi yang kongruen disebut kubus.jika bidang banyak tersebut memili tiga pasang sisi yang kongruen maka disebut balok. Dan jika dua polygon tersebut berbentuk menyerupai lingkaran akan disebut tabung (silinder). 6

30 B. Limas Limas adalah bidang banyak yang ditentukan oleh daerah polygon (yang disebut alas), suatu titik yang tidak terletak pada bidang polygon dan segitigasegitiga yang ditentukan oleh titik tersebut dan sisi-sisi dari polygon. Alas-alas dari suatu limas dapat berupa segitiga, segiempat, segilima, dan lain lain. Dan jika alas limas itu menyerupai lingkaran maka dinamakan kerucut. 7

31 BAB VI LUAS PERMUKAAN DAN VOLUME BANGUN RUANG A. Luas Permukaan Perhatikan gambar-gambar berikut ini: Gambar tersebut merupakan prisma (balok) dan jaring-jaringnya. Untuk menentukan luas permukaan sebuah bangun ruang, kita perlu menghitung jumlah masing-masing luas sisi yang membatasinya. Luas permukaan adalah jumlah seluruh luas sisi yang membatasi sebuah bangu ruang. Sehingga luas permukaan balok tersebut di atas = x (8 x 5) + x (5 x 3) + (8 x 3) = x (p x l) + x (l x t) + x (p x t) = x (pl + lt + pt) Jadi, Luas permukaan Balok = x (pl + lt + pt) Perhatikan gambar kubus berikut ini: Kubus merupakan sebuah balok yang panjang seluruh rusuknya sama. 8

32 Untuk menetukan luas permukaan kubus, ingat kembali rumus luas permukaan balok yaitu: x (pl + lt + pt), karena pada kubus p = l = t = rusuk (s), maka: Luas permukaan kubus = x (pl + lt + pt) = (s + s + s ) = 6 s Jadi luas permukaan kubus = 6 s Untuk menentukan rumus luas prisma perhatikan kembali rumus luas balok: luas permukaan balok = x (p x l) + x (l x t) + x (p x t) Luas alas Luas sisi tegak Atau dapat disimpulkan: Luas permukaan prisma = (luas alas) + (jumlah luas sisi tegak) Dimana luas sisi tegak = keliling alas x tinggi (perhatikan gambar jaring jaring balok di atas) Perhatikan gambar tabung dan jaring-jaringnya berikut ini! 9

33 Luas permukaan tabung = (luas alas) + (luas selimut tabung) = (luas alas) + (kel alas x tinggi) = πr + (πrt) Jadi, Luas permukaan Tabung = πr + (πrt) Perhatikan gambar limas dan jaring-jaringnya berikut ini: Seperti halnya pada prisma, luas permukaan limas adalah luas seluruh permukaan (sisi) sebuah limas. Luas permukaan limas ABCD = Luas ABCD + (Luas ABE + Luas BCE + Luas CDE + Luas ADE) = Luas alas + jumlah luas sisi tegak Jadi Luas Permukaan Limas = Luas Alas + Jumlah Luas Sisi Tegak Perhatikan gambar kerucut dan jarig-jaringnya berikut ini: Jaring-jaring kerucut berbentuk lingkaran (sebagai alas kerucut) dan juring dari lingkaran yang lain (sebagai selimut kerucut). Untuk menentukan luas selimut sebuah kerucut perhatikan gambar berikut ini: 30

34 Perhatikan juring lingkaran sebagai selimut kerucut, diperoleh perbandingan (antara juring dan lingkaran besar) sebagai berikut: luas juring luas lingkaran = luas selimut kerucut πs panjang busur keliling lingkaran = πr πs Luas selimut kerucut = πr πs πs luas selimut kerucut = πrs Sehingga luas permukaan kerucut = luas lingkaran + luas selimut = πr + πrs = πr(r + s) Luas permukaan kerucut = πr(r + s) B. VOLUME Hakikat volume adalah isi yang memenuhi sebuah bangun ruang berongga. Untuk menemukan volume bangun ruang kubus dan balok, salah satu cara yang dapat dilakukan adalah sebagai berikut: 31

35 Bentuk Bangun Hubungan (panjang Panjang Banyak Kotak rusuk dan banyak rusuk Satuan kotak) 8 x x = x 3 x 3 = x 4 x 4 = 64 S s x s x s s S s Sehingga dapat disimpulkan volume kubus = s x s x s, dimana s = panjang rusuk kubus. Untuk menentukan volume balok, perhatikan tabel berikut : 3

36 Bentuk Bangun Panjang Lebar Tinggi (t) Banyak Hubungan p, (p) (l) kubus l, t, dan satuan kubus satuan x 4 x 1 = x x 3 = x x 3 = 4 t P l t P x l x t p l Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa untuk menentukan volume balok adalah V= panjang x lebar x tinggi Untuk menentukan volume prisma, perhatikan gambar berikut ini: Perhatikan volume prisma tegak segitiga tersebut. Prisma segitiga tersebut diperoleh dari membelah sebuah balok dan membaginya pada salah satu bidang diagonalnya, sehingga 33

37 Volume prisma tegak segitiga = 1 Volume balok = 1 (pl)t = ( 1 pl)t = luas alas x tinggi Jadi, dapat disimpulkan VOLUME PRISMA = LUAS ALAS X TINGGI Setelah kita menemukan volume prisma, maka kita akan dapat menentukan rumus volume tabung. Karena Volume prisma = luas alas x tinggi, dimana alas tabung berbentuk lingkaran, maka: Volume prisma = luas alas x tinggi = πr t Jadi, volume tabung = πr t Perhatikan gambar prisma berikut ini! Jika dicermati pada prisma ABCD.EFGH (semua sisi prisma kongruen) tersebut terdapat 6 limas segiempat yang kongruen (limas T. ABCD, T.BCGH, T.DCGH, 34

38 T.ADHE, T.ABFE, T.EFGH) dengan alas limas kongruen dengan alas prisma dan tinggi limas = 1 tinggi prisma atau tinggi prisma = tinggi limas. Sehingga, Volume prisma Volume limas = 6 x volume limas = 1 6 volume prisma = 1 6 Jadi, Volume limas = 1 luas alas x tinggi prisma = 1 luas alas x x tinggi limas 6 = 1 luas alas x tinggi 3 3 luas alas x tinggi Perhatikan gambar tabung dan kerucut berikut ini: Untuk menentukan volume kerucut, siswa sapat melakukan praktik melalui kegiatan berikut ini: Siapkan sebuah tabung dan kerucut yang memiliki alas dan tinggi yang sama. Siswa diminta untuk menakar jagung, beras, ataupun pasir. Dari hasil tersebut diperoleh hasil bahwa untuk memenui tabung tersebut dibutuhkan 3 kerucut yang memiliki alas dan tinggi yang sama. Sehingga siswa dapat menyimpulkan: VOLUME LIMAS = 1 LUAS ALAS X TINGGI 3 = 1 3 πr t Permasalahan dalam kajian volume tidak hanya sekedar menghitung berapa volume dari sebuah bangun ruang tetapi juga berhubungan juga dengan Debit. Debit merupakan ukuran untuk mengukur volume zat cair yang mengalir untuk setiap satuan waktu. Satuan yang biasa digunakan adalah volume persatuan waktu (m 3 /detik, m 3 /jam, liter/menit, liter/detik ataupun liter/jam). 35

39 Contoh: debit = volume waktu 1. Sebuah drum dengan jari-jari 60cm dan tinggi 1m ingin diisi dengan air hingga penuh. Jika waktu yang dibutuhkan untuk mengisi drum tersebut adalah 15menit, berapakah debit airnya? Sebelum menentukan debit, sebelumnya tentukan lah dahulu volume drum. Volume drum = πr t debit = volume waktu debit = 1884 liter 15 menit = 3,14 x 0,6m x 1m = 1,884 m 3 = 1884 liter debit = 15,07liter/menit. Sebuah kolam renang memiliki kedalaman di tempat yang dangkal adalah 1m dan kedalaman kolam di tempat yang paling dalam adalah,5m. Jarak antara dinding kolam bagian dangkal dan dalam adalah 10 m, dan jarak antara dinding yang kongruen adalah 3 m. Pada pukul 07.5 kolam tersebut diisi air dengan menggunakan pompa dengan debit 15 liter per menit, dan pada pukul pompa tersebut sempat mati selama 45 menit. Pada pukul berapa kolam renang tersebut penuh terrisi air? Berdasarkan permasalahan tersebut, kolam renang tersebut berbentuk prisma dengan alas trapesium (mengapa?coba gambarkan!) Volume prisma = luas alas x tinggi Waktu = volume debit = = ((1 +,5)/ x 10) x 3 = 5,5 m 3 = liter 36

40 = 40 menit Mulai diisi pukul 07.5 dan pada pukul terhenti selama 45 menit jadi akan penuh pada pukul (mengapa?) 37

41 KEGIATAN BELAJAR 1. KEGIATAN BELAJAR GEMETRI LINK a. MODES/PENDIDIKAN_MATEMATIKA_II/PEND.MAT_II- BBM_3_%8PEMB.BANGUN-BANGUN_DATAR_I.pdf b. c. d. e. f. g.

42 RANGKUMAN KEGIATAN BELAJAR GEOMETRI BAB I DASAR DASAR GEOMETRI 1. Pada geometri, terdapat beberapa istilah, yaitu: 1)unsur yang tidak didefinisikan, ) unsur yang didefinisikan, 3) aksioma/postulat, 4) teorema/dalil/postulat.. Unsur yang tidak didefinisikan merupakan konsep yang mudah dipahami dan sulit yang dibuatkan definisinya, contoh titik, garis. 3. Unsur yang didefinisikan merupakan konsep yang dikembangkan dari unsur yang tidak dapat didefinisikan dan merupakan konsep yang memiliki batasan, contoh sinar garis, ruas garis, segitiga. 4. Aksioma/postulat merupakan konsep yang disepakati benar tanpa harus dibuktikan kebenarannya, contoh postulat garis sejajar. 5. Teorema/dalil/rumus adalah konsep yang harus dibuktikan kebenarannya melalui serangkaian pembuktian deduktif, contoh Teorema Phytagoras. 6. Titik merupakan salah satu unsur yang tidak dapat didefinisikan. Titik merupakan konsep abstrak yang tidak berwujud atau tidak berbentuk, tidak mempunyai ukuran dan berat. Titik disimbolkan dengan noktah. 7. Sinar garis merupakan bagian dari garis yang memanjang ke satu arah dengan panjang tidak terhingga. 8. Ruas garis merupakan bagian dari garis yang dibatasi oleh dua buah titik di ujung dan pangkalnya. 9. Dua garis g dan h dikatakan sejajar (g // h) jika kedua garis tersebut tidak mempunyai titik sekutu (titik potong). 10. Melalui sebuah titik P di luar sebuah garis g, ada tepat satu garis h yang sejajar dengan g. 11. Bidang merupakan sebuah gagasan abstrak, sehingga bidang termasuk unsur yang tidak didefinisikan. 1. Ruang diartikan sebagai unsur geometri dalam konteks tiga dimensi. 13. Sudut merupakan gabungan dari sinar garis yang berhimpit di titik pangkalnya. BAB II SEGI BANYAK 1. Kurva adalah bangun geometri yang merupakan kumpulan semua titik yang digambar.. Terdapat dua jenis kurva, yaitu kurva tertutup dan kurva tidak tertutup.

43 3. Segitiga adalah poligon yang memiliki tiga sisi. 4. Segi tiga merupakan bangun geometri yang dibentuk oleh tiga buah ruas garis yang melalui tiga buah titik tidak kolinier (Segaris) yang berpotongan di tiga titik sudut. 5. Alas dan tinggi segitiga selau tegak lurus 6. Segitiga Sebarang, adalah segitiga yang semua sisinya tidak sama panjang. 7. Segitiga Sama Kaki, adalah segitiga yang memiliki dua buah sisi yang sama panjang, 8. Segitiga Sama Sisi, adalah segitiga yanng semua sisinya sama panjang. 9. Segitiga Lancip, adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip. 10. Segitiga Siku-siku, adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku. 11. Segitiga Tumpul, adalah segitiga yang salah satu sudutnya tumpul. 1. Segiempat adalah poligon yang memiliki empat sisi. 13. Trapesium adalah segiempat yang tepat memiliki sepasang sisi sejajar. 14. Jajargenjang adalah segiempat dengan sisi-sisi yang berhadapan sama ajar, serta sudut-sudut yang berhadapan sama besar. 15. Belah ketupat didefinisikan sebagai segiempat dengan sisi yang berhadapan sejajar, keempat sisinya sama panjang, dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar. 16. Persegi panjang adalah jajar genjang yang besar keempat sudutnya Persegi adalah persegi panjang yang keempat sisinya sama panjang. 18. Layang-layang adalah segiempat yang mempunyai sisi yang berdekatan sama panjang dan kedua diagonalnya saling tegak lurus. 19. Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik (pusat lingkaran). BAB III KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN 1. Dua atau lebih bangun dikatakan sebangun jika mempunyai syarat: a. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut memiliki perbandinagn yang sama. b. Sudut-sudut yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut sama besar.. Pada bangun segitiga, dua atau lebih segitiga dikatakan sebangun jika memenuhi salah satu syarat sebagai berikut: a. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama (sisi sisi sisi) b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (sudut sudut sudut) c. Dua sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama dan sudut bersesuaian yang diapit sama besar (sisi sudut sisi)

44 3. Dua bangun atau lebih dikatakan kongruen jika bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama serta sudut yang bersesuaian sama besar (sama dan sebangun). 4. Dua atau lebih segitiga dikatakan kongruen jika memenuhi salah satu syarat sebagai berikut: a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi sisi sisi) b. Dua sisi yang bersesuaian yang sama panjang dan sudut yang diapit sama besar (sisi sudut sisi) c. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang. BAB IV KELILING DAN LUAS DAERAH BANGUN DATAR 1. Keliling adalah jumlah keseluruhan panjang sisi yang membatasi suatu bangun.. Luas bangun datar adalah luas daerah yang dibatasi oleh sisi-sisi bangun datar tersebut. BAB V BANGUN RUANG 1. Bangun ruang adalah bagian ruang yang dibatasi oleh himpunan titik-titik yang terdapat pada seluruh permukaan bangun.. Permukaan bangun ruang berbentuk bangun datar biasa disebut dengna bidang atau sisi. 3. Perpotongan dari dua buah sisi adalah rusuk. 4. Perpotongan tiga buah rusuk atau lebih adalah titik sudut. 5. Diagonal sisi atau diagonal bidang adalah garis yang menghubungkan dua buah titik sudut yang berhadapan pada sebuah sisi. 6. Diagonal ruang adalah garis yang menghubungkan dua buah titik sudut yang saling berhadapan pada sebuah ruang. 7. Kaidah Euler menyatakan bahwa banyaknya sisi ditambah dengan banyaknya titik sudut adalah sama dengan banyaknya rusuk ditambah dengan (S + T = R + ) BAB VI LUAS PERMUKAAN DAN VOLUME BANGUN RUANG 1. Luas permukaan adalah jumlah seluruh sisi-sisi yang membatasi bangun ruang tersebut.. Volume adalah isi yang emmenuhi bangun ruang berongga.

45 3. Debit merupakan ukuran untuk mengukur volume za cair yang mengalir untuk setiap satuan waktu.

46 TUGAS KEGIATAN BELAJAR GEMETRI 1. Buktikanlah rumus luas segitiga sama sisi = 1 4 s 3!. Berdasarkan rumus luas segitiga, temukanlah rumus luas segi 6 beraturan! 3. Hitunglah luas persegi yang panjang sisi nya (a + b + c)! Lengkapi dengan ilustrasi gambarnya. 4. Bu Ani ingin memberikan renda pada sekeliling taplak meja di rumahnya, jika panjang renda yang dimiliki bu Ani adalah 1meter. Berapakah luas taplak meja Bu Ani? 5. Coba buktikan rumus luas trapesium sembarang! 6. Buatlah sebuah tabel untuk membuktikan Kaidah Euler!

47 1. Rani hendak membuat model kerangka prisma segitiga beraturan dari kawat. Jika prisma yang diinginkan berukuran tinggi 8 cm dan sisi-sisi segitiganya 4 cm, maka panjang kawat yang diperlukan untuk membuat model kerangka prisma segitiga tersebut adalah... A. 3 cm. B. 48 cm. C. 56 cm. D. 60 cm.. Sebuah balok memuat empat tabung seperti gambar di bawah ini. Bila tabung berjari-jari r dan tinggi tabung adalah t maka persentase ruang pada kubus yang tidak termuati oleh keempat tabung adalah... a. 18%. b. 1% c. 5%. d. 30%. 3. Perbandingan panjang rusuk kubus ABCD.EFGH dan kubus PQRS.TUVW adalah 1. Volume kedua kubus tersebut adalah 115 cm 3. Jika akan dibuat model kerangka dari kawat untuk kedua kubus itu, panjang kawat yang dibutuhkan adalah A. 10 cm. B. 180 cm. C. 160 cm. D. 10 cm. 4. Volume tabung tanpa tutup adalah 308 m 3. Jika tinggi tabung m maka luas seluruh permukaan tabung tanpa tutup tersebut adalah... m.

48 A. 1 B. C. 3 D Diketahui ABC siku-siku di A, DEF siku-siku di D, ABC = 50 0,, dan DEF = Diantara pernyataan berikut yang tidak mungkin benar adalah... A. Segitiga ABC kongruen dengan segitiga DEF B. Segitiga ABC sebangun dengan segitiga DEF C. CAB = FDE D. ACB DFE 6. Pasangan bangun datar berikut yang kedua diagonalnya tidak sama panjang adalah. A. Trapesium sama kaki dan belah ketupat B. Jajar genjang dan layang-layang C. Persegi panjang dan persegi D. Layang-layang dan persegi panjang 7. Tersedia empat alat peraga luas bangun datar yaitu alat peraga luas trapesium, segitiga, persegi panjang, dan jajar genjang. Urutan penggunaan alat peraga yang benar adalah. A. Persegi panjang, segitiga, jajar genjang, kemudian yang terakhir trapesium B. Persegi panjang, trapesium, segitiga, kemudian yang terakhir jajar genjang C. Segitiga, persegi panjang, jajar genjang, kemudian yang terakhir trapesium D. Segitiga, persegi panjang, trapesium, kemudian yang terakhir jajar genjang 8. Volume tabung perjal diketahui 154 m 3. Jika tinggi tabung 1 m maka luas seluruh permukaan tabung tersebut adalah. m A. 198 B. 46 C. 308 D. 35

49 9. Pompa A mampu memompa air dengan debit 80 liter/menit dan pompa B dengan 100 liter/menit. Kedua pompa tersebut digunakan secara bersama-sama untuk menguras air sebanyak liter. Setelah lima jam pertama pemakaian ternyata pompa A rusak sedangkan pompa B tetap bisa digunakan hingga selesai. Lama waktu untuk menguras seluruh isi kolam tersebut adalah.. jam A. 5 B. 6 C. 7 D Panjang sisi-sisi sejajar suatu trapesium berbeda 4 cm. Tinggi trapesium tersebut adalah 4 cm dan luas daerah trapesium 56 cm. Pernyataan berikut yang berkaitan dengan trapesium tersebut adalah... A. sisi-sisi sejajar adalah 8 cm dan 16 cm. B. sisi-sisi sejajar adalah 8 cm dan 1 cm. C. sisi-sisi sejajar adalah 1 cm dan 16 cm. D. sisi-sisi sejajar adalah 16 cm dan 0 cm.

50 DAFTAR PUSTAKA Bennet, A., Burton, L., Nelson, L. (011). Mathematics for Elementary Teachers. USA: Mc Graw Hill Musser, G., Burger, W., Peterson, B. (011). Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach. USA: John Willey & Sons Prabawanto, S, Tiurlina, Nuraeni, E. ( 008). Pendidikan Matematika II. Bandung: UPI Press Russeffendi. (006). Pengantar kepada Guru Mengembangkan Kompetensinya dalam pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA. Bandung: Tarsito Sobel, Max., Maletsky, Evan. (1999). Teaching Mathematics: A Sourcebook of Aids, Activities, And Strategies. Needham Heights: Viacom Company Thomas, David. (001). Modern Geometry. Pasific Grove: Brooks/Cole Walle, John. (007). Elementary and Middle School Mathematics. Pearson Prentice Hall Windayana, H., Haki, O., Supriadi. (008). Geometri dan Pengukuran. Bnadung: UPI Press