0/8/009 Pemrograma Diamis (Dyamic Programmig) Kuliah 04-05 TI Peelitia Operasioal II Materi Pegatar Masalah pemrograma diamis determiistik Masalah pemrograma diamis probabilistik TI Peelitia Operasioal II
0/8/009 Pedahulua Pemrograma diamis (dyamic programmig) merupaka tekik matematis yag dapat bergua utuk membuat suatu uruta keputusa yag salig berkaita. Pemrograma diamis tidak mempuyai rumusa yag baku. Tiap permasalaha memerluka perumusa tertetu. Tekik pemrograma diamis dikeal juga dega multistage programmig. TI Peelitia Operasioal II Klasiikasi Pemrograma Diamis tatus diskret tatus kotiyu Tuggal Majemuk Tuggal Majemuk Determiistik Probabilistik TI Peelitia Operasioal II 4
0/8/009 Karakteristik Masalah Pemrograma Diamis () Masalah dapat dibagi atas tahap (stage) dimaa keputusa (decisio) harus dibuat pada tiap tahap. Tiap tahap mempuyai sejumlah status (state). Eek dari keputusa pada tiap tahap adalah megubah status saat ii mejadi status yag berkaita dega tahap berikutya. TI Peelitia Operasioal II 5 Karakteristik Masalah Pemrograma Diamis () Prosedur pemecaha didesai utuk medapatka kebijaka optimal (optimal policy) utuk keseluruha masalah. Diberika status saat ii kebijaka optimal utuk tahap tersisa adalah idepede terhadap kebijaka yag diambil dalam tahap berikutya (disebut priciple o optimality dari pemrograma diamis). TI Peelitia Operasioal II 6
0/8/009 Karakteristik Masalah Pemrograma Diamis () Associated with each stage there is a retur uctio that evaluates the choice made at each decisio i term o cotributio that the decisio ca make to the overall objective Each stage N the total decisio process is related to its adjoiig stage by a quatitative relatioship called a trasitio uctio A recursive relatioship is always used to relate the optimal policy at stage to the (-) stage. TI Peelitia Operasioal II 7 Pegambila Keputusa () Tahap (tage) Titik dimaa suatu keputusa dibuat tatus (tate) Parameter masuka Trasormasi (Trasormatio) Atura yag megarahka keputusa TI Peelitia Operasioal II 8 4
0/8/009 Pegambila Keputusa () Keputusa Masuka Tahap Keluara Trasormasi TI Peelitia Operasioal II 9 uatu Tahap Tuggal ~ g r ~ g = status iput (iput state) = status ouput (output state) = keputusa (decisio) = ugsi pegembalia (retur uctio) TI Peelitia Operasioal II 0 5
0/8/009 istem Bayak-Tahap (Multi-tage ystem) N ~ // ~ // N N ~ N g g ~ i N i i g N TI Peelitia Operasioal II Prosedur Pemecaha Prosedur pemecaha Rekursi maju (orward recursio) Rekursi mudur (backward recursio) Perbedaa prosedur Cara medeiisika status dalam sistem. Prosedur rekursi mudur secara umum lebih eisie. TI Peelitia Operasioal II 6
0/8/009 Rekursi Maju Proses perhituga mulai dari tahap = higga tahap = N N ~ // ~ // N N ~ N g g g N TI Peelitia Operasioal II Rekursi Mudur Proses perhituga mulai dari tahap = N higga tahap = N ~ // ~ // N N ~ N g g g N TI Peelitia Operasioal II 4 7
0/8/009 Fugsi Trasisi (Trasitio Fuctio) Rekursi maju : Rekursi mudur : TI Peelitia Operasioal II 5 Beberapa Cotoh Fugsi Trasisi + - Fugsi Trasisi Maju Mudur TI Peelitia Operasioal II 6 8
0/8/009 9 TI Peelitia Operasioal II 7 Hubuga Rekursi Maju N r opt 0 0 0 N r N TI Peelitia Operasioal II 8 Hubuga Rekursi Mudur opt N r N 0 N N N r N
0/8/009 Lagkah-lagkah Pemecaha Tetuka prosedur pemecaha (maju atau mudur). Tetuka tahap (stage). Deiisika variabel status (state) pada tiap tahap. Deiisika variabel keputusa pada tiap tahap. Deiisika ugsi pegembalia pada tiap tahap. Deiisika ugsi trasisi. Deiisika ugsi rekursi. Perhituga. Tetuka solusi optimal dega backtrackig. TI Peelitia Operasioal II 9 Beberapa Cotoh Masalah Pemrograma Diamis Determiistik tagecoach problem Cargo loadig problem Ivetory problem Reliability problem Noliear programmig problem Liear programmig problem igle-state discrete determiistic DP igle-state cotiuous determiistic DP Multiple-state cotiuous determiistic DP TI Peelitia Operasioal II 0 0
0/8/009 TI Peelitia Operasioal II tagecoach problem A B D E C G F H I J 7 4 6 4 4 5 4 6 4 TI Peelitia Operasioal II A B D E C G F H I J 4 Tahap = regio ( = 4)
0/8/009 tatus: = simpul saat ii pada tahap Variabel keputusa = simpul tujua berikutya pada tahap Fugsi pegembalia g c c ( ) ( ) jarak dari simpul ke simpul TI Peelitia Operasioal II Fugsi trasisi (mudur): Hubuga rekursi (mudur) 4 4 mi c( ) mi c( ) 0 5 5 TI Peelitia Operasioal II 4
0/8/009 Perhituga Tahap = 4 0 5 5 4 c 4 4 4 4 4 4 4 ( 4 ) 4 J H J I 4 4 J TI Peelitia Operasioal II 5 Tahap = c 4 ( ) H I E + = 4 4 + 4 = 8 4 H F 6 + = 9 + 4 = 7 7 I G + = 6 + 4 = 7 6 H TI Peelitia Operasioal II 6
0/8/009 Tahap = c ( ) E F G B 7 + 4 = 4 + 7 = 6 + 6 = E F C + 4 = 7 + 7 = 9 4 + 6 = 0 7 E D 4 + 4 = 8 + 7 = 8 5 + 6 = 8 E F TI Peelitia Operasioal II 7 Tahap = d c ( ) B C D A + = 4 + 7 = + 8 = C D TI Peelitia Operasioal II 8 4
0/8/009 Backtrackig = = = = 4 4 4 ( 4 ) A C C E E H H J (C E H J) A D D E E H H J (D E H J) A D D F F I I J (D F I J) A C E H J A D E H J A D F I J TI Peelitia Operasioal II 9 Cargo Loadig Problem (Kapsack Problem) Item i Berat w i Nilai v i 65 80 0 Kapasitas karug = 5 TI Peelitia Operasioal II 0 5
0/8/009 Iteger Liear Programmig (ILP) Model maksimisasi i w i Z i i i v i i W 0 da bilaga bulat TI Peelitia Operasioal II Tahap = item ( = ) tatus: = pada tahap kapasitas yag tersedia Variabel keputusa = utuk tiap jeis item jumlah yag dimuat TI Peelitia Operasioal II 6
0/8/009 Fugsi Pegembalia: Fugsi Trasisi: Hubuga Rekursi: w ma v d ma v w d 0 4 4 g v TI Peelitia Operasioal II Perhituga Tahap = 0 4 4 v ( ) 0 4 5 0 0 - - - - - 0 0 0 0 - - - - 0 0 0 60 - - - 60 0 0 60 90 - - 90 4 0 0 60 90 0-0 4 5 0 0 60 90 0 50 50 5 TI Peelitia Operasioal II 4 7
0/8/009 Tahap = v w ( ) 0 0 0-0 0 0-0 0 60-60 0 90 80 90 0 4 0 0 0 0 5 50 40 50 0 TI Peelitia Operasioal II 5 Tahap = v w ( ) 0 0 0 - - 0 0 0 - - 0 0 60 65-65 90 95-95 4 0 5 0 0 5 50 55 60 60 TI Peelitia Operasioal II 6 8
0/8/009 Backtrackig w = = = w = w = w = ( ) 5 0 ( 0 ) TI Peelitia Operasioal II 7 Masalah Persediaa (Ivetory Problem) Permitaa: Bula Okt Nov Des Ja Feb Mar Permitaa 40 0 0 40 0 0 Biaya pembelia = $4/uit Ukura lot yag dibeli dari pemasok: 0 0 0 40 da 50 TI Peelitia Operasioal II 8 9
0/8/009 Disko harga Ukura lot Disko (%) 0 4 0 5 0 0 40 0 50 5 Biaya pesa: tetap = $ variabel = $8/uit Kapasitas gudag (persediaa) 40 uit Biaya simpa = $0./uit/bula (dihitug pada persediaa pada akhir bula) TI Peelitia Operasioal II 9 Permasalaha Meetuka jumlah produk yag dipesa (diorder) pada tiap bula yag memiimumka biaya total (mecakup biaya pembelia biaya pesa da biaya simpa) Asumsi: Persediaa pada awal Oktober da akhir Maret adalah ol. TI Peelitia Operasioal II 40 0
0/8/009 Tahap: = bula ( = 6) tatus: = jumlah persediaa pada awal tahap Variabel keputusa: = jumlah produk yag dipesa pada tahap TI Peelitia Operasioal II 4 Fugsi pegembalia: g ( ) = biaya pembelia da pemesaa (ugsi dari ) = biaya simpa pada tahap h D = permitaa pada tahap h D Fugsi trasisi: D TI Peelitia Operasioal II 4
0/8/009 Hubuga rekursi: 6 h D mi 6 mi h D D 0 7 7 TI Peelitia Operasioal II 4 Ukura lot Harga ($/uit) Disko (%) Biaya pembelia ($) Biaya pesa ($) Biaya pembelia + pesa ($) 0 4 4 8 0 48 0 4 5 76 0 86 0 4 0 08 0 8 40 4 0 8 0 8 50 4 5 50 0 60 TI Peelitia Operasioal II 44
0/8/009 Perhituga: Tahap = 6 0 7 7 7 6 6 D6 6 6 6 6 6 6 ( 6 ) 6 6 0 0 0 0 - - 86 86 0 0-48 - 48 0 0 0 - - 0 0 0 TI Peelitia Operasioal II 45 Tahap = 5 5 5 5 5 h5 5 5 D5 6 5 5 D5 5 5 ( 5 ) 5 5 0 0 0 0 40 50 0 - - - 04 86 64 64 50 0 - - 7 68 4-4 40 0-4 6 - - 0 0 86 98 90 - - - 86 0 40 50 5 - - - - 50 0 TI Peelitia Operasioal II 46
0/8/009 Tahap = 4 4 4 4 4 h4 4 4 D4 5 4 4 D4 4 4 ( 4 ) 4 4 0 0 0 0 40 50 0 - - - - 0 04 0 40 0 - - - 8 8 86 8 040 0 - - 50 6 64 5 50 0 0-0 44 0 8 8 0 40 64 9 0 96-64 0 TI Peelitia Operasioal II 47 Tahap = h D 4 D ( ) 0 0 0 0 40 50 0 - - - 40 4 44 44 50 0 - - 88 40 9 84 84 50 0-50 70 7 6 50 0 0 40 4 0-0 0 40 84 0 0 90 - - 84 0 TI Peelitia Operasioal II 48 4
0/8/009 Tahap = h D D ( ) 0 0 0 0 40 50 0 - - 500 504 474 468 474 50 0-46 47 454 446 45 446 40 0 44 44 4 46 40-44 0 0 86 84 94 40 - - 84 0 40 6 56 78 - - - 6 0 TI Peelitia Operasioal II 49 Tahap = h D D ( ) 0 0 0 0 40 50 0 - - - - 606 608 606 40 TI Peelitia Operasioal II 50 5
0/8/009 Backtrackig D = = = = 4 = 5 = 6 D = 40 D = 0 D = 0 D 4 = 40 D 5 = 0 D 6 = 0 4 4 5 5 6 6 0 40 0 50 0 0 0 40 0 50 0 0 (40 50 0 40 50 0) TI Peelitia Operasioal II 5 Masalah Keadala (Reliability Problem) Kompoe I Kompoe II Kompoe III Permasalaha: Meetuka jumlah uit paralel yag dipasag pada tiap kompoe agar diperoleh reliabilitas sistem yag maksimum dega mempertimbagka daa yag tersedia. TI Peelitia Operasioal II 5 6
0/8/009 Jumlah uit paralel yag dipasag k Kompoe I II III r c r c r c 06 07 05 08 08 5 07 4 09 09 6 09 5 r i = reliabilitas kompoe i (diberika jumlah uit paralel k) c i = biaya pemasaga kompoe i (diberika jumlah uit paralel k) [dalam jutaa rupiah] Daa yag tersedia utuk peracaga sistem = Rp 0 juta TI Peelitia Operasioal II 5 Tahap Jeis kompoe ( = ) tatus Utuk tiap tahap status adalah bayakya daa yag tersedia yag dapat dialokasika pada tahap Variabel keputusa Utuk tiap tahap (kompoe) keputusa adalah adalah bayakya uit paralel yag dipasag. TI Peelitia Operasioal II 54 7
0/8/009 Fugsi pegembalia: g r Fugsi trasisi: Hubuga rekursi: c ma r ma r c 4 4 TI Peelitia Operasioal II 55 Perhituga Tahap = 4 4 r r = 05; r = 07; r = 09; c = c = 4 c = 5 ( ) 05 - - 05 05 - - 05 4 05 07-07 5 05 07 09 09 6 05 07 09 09 TI Peelitia Operasioal II 56 8
0/8/009 Tahap = r c r = 07; r = 08; r = 09; ( ) c = c = 5 c = 6 5 05 - - 05 6 05 - - 05 7 049 040-049 8 06 040 045 06 9 06 056 045 06 TI Peelitia Operasioal II 57 Tahap = r c r = 06; r = 08; r = 09; ( ) c = c = c = 6 00 - - 00 7 00 080-080 8 094 080 05 05 9 078 09 05 09 0 078 0504 044 0504 TI Peelitia Operasioal II 58 9
0/8/009 c = = = c = c = c = ( ) 0 8 5 ( ) TI Peelitia Operasioal II 59 Noliear Programmig Problem () maksimisasi Z dega pembatas-pembatas: i 0 i i i i TI Peelitia Operasioal II 60 0
0/8/009 Noliear Programmig Problem () Tahap = ma 0 TI Peelitia Operasioal II 6 Noliear Programmig Problem () Tahap = ma 0 ma 0 ma 0 9 9 0 9 TI Peelitia Operasioal II 6
0/8/009 Noliear Programmig Problem (4) Tahap = ma 0 ma 7 0 9 TI Peelitia Operasioal II 6 Noliear Programmig Problem (5) 7 9 7 ugsi cove 9 / 7 TI Peelitia Operasioal II 64
0/8/009 Noliear Programmig Problem (6) Kebijaka keputusa optimal: 0 0 atau Titik diperoleh melalui: 7 9 7 9 TI Peelitia Operasioal II 65 Noliear Programmig Problem (7) 7 8 9 9 Kebijaka keputusa optimal tersedia utuk sebarag status masuka. TI Peelitia Operasioal II 66
0/8/009 Noliear Programmig Problem (8) Nilai solusi utuk beberapa ilai status masuka. ( ) 7 0 0 8 6 54 0 0 6 9 8(54) 0 0(9) 4 7 0 60 TI Peelitia Operasioal II 67 Pemrograma Liier (Liear Programmig) Maksimisasi Z 4 8 0 5 dega pembatas-pembatas: TI Peelitia Operasioal II 68 4
0/8/009 Tahap: = aktivitas ( = ) tatus: Jumlah ketersediaa masig-masig sumber pada tahap (P Q R ) yag dapat dialokasika utuk tahap (aktivitas) + Variabel keputusa = jumlah dari aktivitas TI Peelitia Operasioal II 69 Tahap = P Q R c P Q R ma ; 5 Q R mi Q R TI Peelitia Operasioal II 70 5
0/8/009 6 TI Peelitia Operasioal II 7 Tahap = a R a Q a P R Q P r q p 8 4 8 5mi 5mi R Q R Q P ; R Q P c R Q P TI Peelitia Operasioal II 7 8 5mi ; R P Q 4 5 9 0 6 5 4 45 0 0 5
0/8/009 7 TI Peelitia Operasioal II 7 4 45 0 0 ma 5 4 0 R Q P 4 45 0 0 ma 9 4 0 6 Q R P TI Peelitia Operasioal II 74 () 8 4 R Q P 6 mi
0/8/009 Pemrograma Diamis Probabilistik Dalam pemrograma diamis probabilistik (probabilistic dyamic programmig) status pada tahap berikutya ditetuka oleh: tatus da keputusa saat ii Probabilitas dari status berikutya TI Peelitia Operasioal II 75 truktur Dasar Pemrograma Diamis Probabilistik Tahap Tahap + tatus: Keputusa Probabilitas p p p C C C. TI Peelitia Operasioal II 76 8
0/8/009 Hubuga atara ( ) dega + ( + ) bergatug pada betuk dari ugsi tujua secara keseluruha. Cotoh: tujua adalah memiimumka jumlah ekspektasi kotribusi dari tahap idividual ( ) meujukka jumlah ekspektasi miimum dari tahap ke depa dega diberika status da keputusa pada tahap masig-masig da. TI Peelitia Operasioal II 77 Akibatya d p C i dega i i mi i i N i TI Peelitia Operasioal II 78 9
0/8/009 Beberapa Cotoh Masalah Pemrograma Diamis Determiistik Reject allowace Permaia TI Peelitia Operasioal II 79 Reject Allowaces Perusahaa meerima order utuk membuat satu item dari suatu jeis produk tertetu. Karea pemesa meetapka stadar kualitas yag ketat perusahaa harus memproduksi lebih dari item agar produk dapat diterima. Jumlah tambaha item yag diproduksi disebut reject allowace. TI Peelitia Operasioal II 80 40
0/8/009 Perusahaa megestimasi bahwa tiap item yag diproduksi dapat diterima dega probabilitas sebesar / da cacat (tapa dapat dirework) dega probabilitas sebesar /. Jumlah item yag diproduksi yag dapat diterima dari suatu ukura lot L mempuyai distribusi biomial. Probabilitas memproduksi item yag tak diterima dari suatu lot adalah (½) L TI Peelitia Operasioal II 8 Biaya produksi satua = $00 per item. Kelebiha item = tak berilai. Biaya set-up = $00 per productio ru. Productio ru berikutya dilakuka apabila belum dapat diperoleh item yag diterima Perusahaa mempuyai kesempata utuk membuat item higga tiga kali productio ru. Jika pada akhir productio ru belum diperoleh item yag dapat diterima maka perusahaa aka kehilaga pedapata da dikeaka biaya pealti sebesar $600. TI Peelitia Operasioal II 8 4
0/8/009 Permasalaha: Meetuka kebijaka optimal terhadap ukura lot ( + reject allowace) utuk productio ru yag diperluka yag memiimasi ekspektasi biaya total bagi perusahaa. TI Peelitia Operasioal II 8 Perumusa Pemrograma Diamis Tahap = productio ru ( = ) tatus = jumlah item yag acceptable yag masih dibutuhka ( atau 0) jika mulai dari tahap Variabel keputusa = ukura lot utuk tahap TI Peelitia Operasioal II 84 4
0/8/009 Pada tahap tatus = Jika palig sedikit satu item yag dapat diterima diperoleh berikutya status berubah ke = 0 dimaa tidak ada tambaha biaya yag diperluka. TI Peelitia Operasioal II 85 ( ) = ekspektasi biaya total utuk tahap jika sistem mulai dalam status pada tahap keputusa dega (0) = 0 mi 0 TI Peelitia Operasioal II 86 4
0/8/009 Kotribusi biaya dari tahap (tapa memadag status berikutya) = K( ) + 00 dimaa K( ) adalah ugsi dari K( ) = 0 jika = 0 = 00 jika > 0 TI Peelitia Operasioal II 87 Utuk = K 00 0 K 00 4 () = 600 biaya akhir jika tidak ada item yag dapat diterima yag diperoleh setelah tahap ke-. TI Peelitia Operasioal II 88 44
0/8/009 Hubuga rekursi mi K 0 utuk = TI Peelitia Operasioal II 89 Tahap = K 00 600 0 4 5 0 0 0 0 600 00 900 800 800 850 800 atau 4 TI Peelitia Operasioal II 90 45
0/8/009 Tahap = K 00 ( ) 0 4 0 0 0 0 800 800 700 700 750 700 atau TI Peelitia Operasioal II 9 Tahap = K 00 ( ) 0 4 700 750 675 687.5 74.75 675 TI Peelitia Operasioal II 9 46
0/8/009 Productio ru Kebijaka optimal (optimal policy) Memproduksi item Jika tidak ada item yag acceptable maka produksi sebayak atau item Jika ada tidak ada item yag acceptable maka produksi atau 4 item Ekspektasi biaya dari kebijaka = $675 TI Peelitia Operasioal II 9 Permaia Diberika suatu permaia mirip Russia Roulette yag memutar sebuah ligkara yag diberi agka beruruta yaitu atara higga. Probabilitas bahwa ligkara aka berheti pada suatu agka j setelah satu putara adalah p i. eorag membayar $ utuk permaia sebayak m putara. Payo kepada pemai adalah dua kali agka yag dihasilka dalam putara terakhir. Tetuka strategi optimal bagi pemai. TI Peelitia Operasioal II 94 47
0/8/009 Tahap diyataka sebagai putara ( =.. m) tatus j dari sistem pada tahap i diyataka sebagai salah satu agka dari higga yag diperoleh pada putara terakhir. Alterati keputusa pada tiap tahap mecakup baik pemutara sekali lagi atau meghetika permaia. TI Peelitia Operasioal II 95 Misal i (j) = Ekspektasi retur utuk permaia pada tahap (putara) i dega hasil putara terakhir adalah j = j jika permaia berakhir k p k i ( k ) jika permaia berlajut TI Peelitia Operasioal II 96 48
0/8/009 Hubuga rekursi : j m j i j 0 j ma p k k p k k ik k k jika permaia berheti i m jika permaia berlajut TI Peelitia Operasioal II 97 Pada saat putara pertama (i = ) status sistem adalah j = 0 (permaia dimulai) Maka (0) = p () + p () +... + p () Pada putara terakhir (i = m) permaia harus berheti tapa memadag bagaimaa hasil j pada putara ke-m. ehigga m+ (j) = j (0) diperoleh dari perhituga rekursi yag merupaka ekspektasi retur dari m putara. Net retur adalah (0) - TI Peelitia Operasioal II 98 49
0/8/009 Putar Berheti Putar Berheti Putar Berheti m- Putar m Berheti m+ TI Peelitia Operasioal II 99 Cotoh umerik Ligkara diberi agka beruruta mulai dari higga 5. Probabilitas bahwa ligkara aka berheti pada omor j adalah sebagai berikut: p = 0; p = 05; p = 00; p 4 = 05; p 5 = 00 Pemai membayar $5 utuk permaia sebayak 4 putara. Tetuka strategi optimal dari empat putara utuk memaksimumka et retur. TI Peelitia Operasioal II 00 50
0/8/009 Tahap = 5 5 ( 5 ) = j d 5 ( 5 d 5 ) 5 5 ( 5 ) d 5 5 Berheti Berheti 4 4 Berheti 6 6 Berheti 4 8 8 Berheti 5 0 0 Berheti TI Peelitia Operasioal II 0 Tahap = 4 4 ( 4 ) = ma{j p 5 () + p 5 () + p 5 () + p 4 5 (4 + p 5 5 (5)} = ma{j 5} j d 4 4 ( 4 d 4 ) 4 ( 4 ) d Berheti Putar 5 5 Putar 4 5 5 Putar 6 5 6 Berheti 4 8 5 8 Berheti 5 0 5 0 Berheti TI Peelitia Operasioal II 0 5
0/8/009 Tahap = d ( d ) ( ) d Berheti Putar 65 6.5 Putar 4 65 6.5 Putar 6 65 6.5 Putar 4 8 65 8.00 Berheti 5 0 65 0.00 Berheti TI Peelitia Operasioal II 0 Tahap = d ( d ) ( ) Berheti Putar 685 685 Putar 4 685 685 Putar 6 685 685 Putar 4 8 685 80000 Berheti 5 0 685 00000 Berheti TI Peelitia Operasioal II 04 5
0/8/009 Tahap = d ( d ) ( ) d Putar 0 7 7 Putar TI Peelitia Operasioal II 05 Putara trategi optimal Permaia mulai putar 4 Lajutka jika putara meghasilka atau ; jika tidak berheti Lajutka jika putara meghasilka atau ; jika tidak berheti. Lajutka jika putara meghasilka atau ; jika tidak berheti Ekspektasi pedapata bersih = 7. 5 =. TI Peelitia Operasioal II 06 5