Seri Pendidikan Aktuaris Indonesia Ruhiyat 5+ Soal & Matematika Aktuaria
DRAF JAWABAN UJIAN PAI A6 - MATEMATIKA AKTUARIA 26 NOVEMBER 24 Ruhiyat Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 25
. Sebuah variable acak dari distribusi age-at-failure, didefinisikan sebagai berikut: F x (x). ( x) /2 untuk x. Carilah nilai E (X) yang paling mendekati, bila diketahui fungsi E (X) Sx (x) dx S x (t) F x (t). ( x) /2, t E (X) S x (t) dt. ( t) /2 dt [.2 ( t)3/2 3.2 ( ) 3 66.667 ] an: C. 66.67
2. Hitunglah nilai dari ä x:4, diketahui sebagai berikut: ] ä x:4 E [Ÿx:4 k ä k k q x..33 2.93.24 3 2.8.6 4 3.62. ä x:4 E [Ÿx:4 3 ä k k q x + ä 4 k ] k q x k4 (.) (.33) + (.93) (.24) + (2.8) (.6) + (3.62) (.33.24.6) 2.286 an: A. 2.286 2
3. Sebuah perusahaan mesin cuci menyediakan garansi perbaikan untuk setiap mesin baru yang di jual. Perusahaan mengharuskan customer membayar 5 (deductible) untuk setiap perbaikan. Tabel di bawah ini menunjukkan biaya perbaikan selama ini. Loss amount Event (x) A 25 B 52 C 7 D 75 E 5 Hitunglah berapa variance untuk biaya yang dibayarkan oleh perusahaan pada setiap kejadian kerusakan? Misalkan peubah acak X menyatakan biaya yang dibayarkan oleh perusahaan pada setiap kejadian kerusakan, maka {, x, 2, 2, 25, Pr (X x) 5, selainnya. ( ) E [X] () 5 E [ X 2] ( 2) ( ) 5 + (2) ( ) 5 + ( 2 2) ( 5 V ar [X] E [ X 2] (E [X]) 2 29 5 an: D. 34.44 ( ) ( ) ( ) + (2) + (25) + () 47 5 5 5 5 ) + ( 2 2) ( ) + ( 25 2) ( ) + ( 2) ( ) 5 5 5 ( ) 2 47 33 536 34.44 5 25 29 5 3
4. Sebuah asuransi seumur hidup sebesar untuk seorang berusia 4 tahun, dengan manfaat meninggal yang dibayarkan di akhir tahun kematian. Diketahui: (i) i 5% (ii) P 4.9972 (iii) A 4 A 4.822 (iv) 2 A 4 2 A 4.433 (v) Z adalah nilai sekarang variabel acak dari asuransi ini. Hitunglah V ar (Z). A x vq x + vp x A x+ A 4 vq 4 + vp 4 A 4 A 4.822 (.9972) +.5.5 (.9972) A 4 A 4.9972.5 A 4.28.5 +.822 (.9972 ) A 4.28.5.5 +.822 (.5.9972) A 4.28 + (.822) (.5) A 4.28 + (.822) (.5).5.9972.265 2 A x v 2 q x + v 2 p x 2 A x+ 2 A 4 v 2 q 4 + v 2 p 2 4 A 4 2 A 4.433 (.9972) +.52.5 (.9972) 2 A 2 4 2 A 4.5 (.9972) 2 A 2 4.28.5 +.433 [ 2 ].5 (.9972) A 2 4.28.5 +.433 [ 2.5 2.9972 ] 2 A 4.28 + (.433) (.5 2) an: C..2544 2 A 4.28 + (.433) (.52 ).5 2.9972.7926 V ar [Z] 2 A 4 (A 4 ) 2.7926 (.265) 2.254 4
5. Sebuah anuitas menaik (temporary annuity due) membayarkan 2 pada tahun pertama, 3 di tahun kedua dan 4 di tahun ketiga. Diketahui nilai berikut: p x.8 p x+.75 p x+2.5 v.9 Hitunglah variance terhadap nilai sekarang dari variabel acak anuitas ini (present value random variable) Kemungkinan : x meninggal di tahun pertama anuitas 2 peluang q x.8.2 Kemungkinan 2: x meninggal di tahun kedua anuitas 2 + 3v 2 + 3 (.9) 4.7 peluang p x q x+ (.8) (.75).2 Kemungkinan 3: x mencapai usia x + 2 anuitas 2 + 3v + 4v 2 2 + 3 (.9) + 4 (.9 2) 7.94 peluang 2 p x p x p x+ (.8) (.75).6 Nilai Harapan (2) (.2) + (4.7) (.2) + (7.94) (.6) 6.4 Momen Kedua ( 2 2 ) (.2) + ( 4.7 2) (.2) + ( 7.94 2) (.6) 43. 44 Ragam 43. 44 (6.4) 2 5.7852 an: C. 5.79 5
6. Jika X berdistribusi seragam pada (, 3), berapakah V ar (X)? an: B. /3 V ar [X] (3 )2 2 4 2 3 6
7. Aktuaris A dan B menggunakan tabel mortalita yang sama untuk menghitung premi dari suatu produk asuransi Dwiguna diskrit selama 2 tahun sebesar. (i) Aktuaris A menghitung premi sebesar 68 di tahun pertama dan 35 di tahun kedua. (ii) Aktuaris B menghitung level premi untuk tahun pertama dan kedua. (iii) d.5 Berapakah level premi yang dihitung Aktuaris B? (yang paling mendekati) A: B: 68 + 35vp x A x:2 π + πvp x A x:2 A x:2 A x:2 + A x:2 vq x + v 2 p x q x+ + v 2 2p x v ( p x ) + v 2 p x ( p x+ ) + v 2 p x p x+ v vp x + v 2 p x v 2 p x p x+ + v 2 p x p x+ v vp x + v 2 p x v d.5.95 68 + 35 (.95) p x (.95.95p x +.95 2 p x ) 68 + 332.5p x 95 95p x + 92.5p x 38p x 342 p x.9 an: C. 489 π + πvp x 68 + 35vp x π + π (.95) (.9) 68 + 35 (.95) (.9) π +.855π 97.25.855π 97.25 π 97.25.855 489.8 7
8. Tentukan nilai dari V ar (Y 95 ), bila menggunakan tingkat bunga tahunan 5% dan nilai sebagai berikut: l 95, l 96 7, l 97 4, l 98 2, l 99 4, l, a 95.2352 dan 2 a 95.43. d i + i.5.5 A x v da x A 95 v da 95.5.5.5 (.2352).893 6 δ 2δ e δ e 2δ v v 2.5 2.25 + i ( + i) 2 i ( + i) 2 (.5) 2.25 d i.25 + i.25 2 A x v d 2 a x 2 A 95 v d 2 a 95.25.25.25 (.43).8 an: A..933 V ar [Y 95 ] 2 A 95 (A 95 ) 2 d 2.8 (.893 6)2.933 8 (.5 ) 2.5
9. Suatu asuransi seumur hidup diskrit untuk seorang berusia 4 tahun sebesar. Diketahui: (i) i.6 (ii) ä 4: 7.7 (iii) ä 5: 7.57 (iv) A 4:2 6 (v) A 4.632 dan A 5.2495 dan A 6.3693 (vi) ä 4 4.866 (vii) E 4.53667 dan E 5.58 dan 2 E 4.2744 Pada tahun ke, tertanggung ingin memilih opsi membayar hanya untuk tahun berikutnya, tetapi tetap terproteksi sebesar selama seumur hidup. Berapakah premi yang harus di bayar untuk tahun berikutnya? P 4 ä 4 A 4 P 4 A 4 ä 4 (.632) 4.866.888 A 5 dä 5 ä 5 A 5 d.2495.6.6 3.267 an: D. 9 P 4 ä 5 P ä 5: P P 4ä 5 ä 5: (.888) (3.267) 7.57 9.82 9
. Sebuah select survival distribution didefinisikan sebagai berikut: ( S T (t; x) ), untuk x <, dan < t < 4 x. Tentukan e [3]. 4 x an: C. 5 S T (t; x) t, x < 4, < t < 4 x 4 x e [3] tp [3] dt S [3] ( + t; 3) dt S [3] (; 3) t ] [t t2 2 5 5 dt
. Sebuah anuitas ditunda tahun dengan pembayaran setahun di bayarkan setiap awal tahun ( year deferred annuity-due), di jual kepada Bapak X yang berusia 55 tahun, dengan premi neto tahunan yang dibayarkan selama masa penundaan. Sebagai tambahan, produk ini juga meyediakan pengembalian premi tanpa bunga bila Bapak X meninggal selama masa penundaan. Hitunglah premi level neto tahunan bila di ketahui: - ä 55: 8 - ä 55 2 - (IA) 55: 2.5 ä 55 ä 55 ä 55: 2 8 4 an: E. 7273 P ä 55: ä 55 + P (IA) 55: 8P (4) + 2.5P 5.5P 4 P 4 5.5 7272.7
2. Sebuah kontrak dwiguna selama n tahun, dengan premi tunggal netto sebesar 6. Kontrak ini akan membayarkan sebesar bila tertanggung hidup di akhir tahun n, tetapi hanya akan membayarkan premi netto tunggal bila tertanggung meninggal dalam n tahun. Diketahui: A x:n.8. Hitunglah n E x. A x:n A x:n + n E x.8 A x:n + n E x A x:n.8 n E x an: C..3 6 n E x + 6A x:n 6 n E x + 6 (.8 n E x ) 6 n E x + 48 6 n E x 4 n E x 2 ne x.3 2
3. Tentukan nilai dari ( 2V x:3 V x:3 ), bila menggunakan tingkat bunga tahunan 6% dan nilai sebagai berikut: l x, l x+ 9, P x:3.325 tv x:n A x+t:n t P x:n ä x+t:n t V x:3 A x+:2 P x:3 ä x+:2 2V x:3 A x+2: P x:3 ä x+2: ( ) 2V x:3 V x:3 [( ) ( )] A x+2: P x:3 ä x+2: Ax+:2 P x:3 ä x+:2 [ )] A x+2: A x+:2 P x:3 (äx+2: ä x+:2 A x+2: v k+ kp x+2 q x+2+k + vp x+2 k vq x+2 + vp x+2 v A x+:2 v k+ kp x+ q x++k + v 2 2p x+ k vq x+ + v 2 p x+ q x+2 + v 2 p x+ p x+2 vq x+ + v 2 p x+ v ( p x+ ) + v 2 p x+ v vp x+ + v 2 p x+ A x+2: A x+:2 v ( ) v vp x+ + v 2 p x+ vp x+ v 2 p x+ ä x+2: v k kp x+2 k ä x+:2 v k kp x+ k + vp x+ ä x+2: ä x+:2 ( + vp x+ ) 3 vp x+
p x+ l x+ l x 9.9 ( 2V x:3 V x:3 ) [ A x+2: A x+:2 P x:3 (äx+2: ä x+:2 )] [( ) vp x+ v 2 p x+ Px:3 ( vp x+ ) ] [ ] vp x+ ( v) + Px:3 [(.6 (.9) ) ] +.325.6 324.9 an: E. tidak ada jawaban yang benar. 4
4. Tentukan nilai dari a 95, bila menggunakan tingkat bunga tahunan 6% dan nilai sebagai berikut: l 95, l 96 6, l 97 5, l 98 3, l 99 6, l. an: D..3 a 95 vp 95 + v 2 2p 95 + v 3 3p 95 + v 4 4p 95 + v k kp 95 k5 v l 96 + v 2 l 97 + v 3 l 98 + v 4 l 99 + l 95 l 95 l 95 l 95 6.6 + 5.6 2 + 3.6 3 + 6.6 4.34 5
5. Diketahui λ x (x) (8 x) /2, for < x < 8. Manakah dari nilai di bawah ini yang paling mendekati median dari distribusi T 2? λ (x) (8 x) /2, < x < 8 S (t) exp [ [ exp t t ] λ (y) dy ] (8 y) /2 dy [ ( exp 2 (8 y) /2) ] t exp [2 (8 t) /2 2 (8) /2] F 2 (t) S (2 + t) S (2) exp [2 (6 t) /2 2 (8) /2] exp [2 (6) /2 2 (8) /2] exp [2 (6 t) /2 2 (6) /2] an: D. 5.249 Pr (T 2 t).5 [ exp 2 (6 t) /2 2 (6) /2].5 [ exp 2 (6 t) /2 2 (6) /2].5 2 (6 t) /2 2 (6) /2 ln.5 2 (6 t) /2 2 (6) /2 + ln.5 (6 t) /2 (6) /2 + ln.5 2 6 t [(6) /2 + 2 ] 2 ln.5 t 6 [(6) /2 + 2 ] 2 ln.5 5.249 6
6. Sebuah tabel penurunan multiple (multiple decrement table) dengan kejadian meninggal (), ketidakmampuan- disability (2) dan batal (3) dimana pembatalan hanya terjadi pada akhir tahun. Diketahui: (i) q () 6. (ii) q (2) 6.5 (iii) q (3) 6. (iv) Kejadian meninggal dan ketidakmampuan berdistribusi seragam sepanjang usia yang diasosiasikan dengan tabel penurunan single. Hitunglah q (3) 6. an: A..94 7
7. Hitunglah premi neto tahunan dari produk asuransi selama 2 tahun dimana manfaat meninggal sebesar dibayarkan pada akhir tahun kematian. Premi neto tahunan dihitung berdasarkan equivalence principle. Diketahui: v.9, q x. dan q x+.2 ä x:2 + vp x + (.9) (.9).8 A x:2 vq x + v 2 p x q x+ (.9) (.) + (.9) 2 (.9) (.2).2358 an: C. 3.27 P ä x:2 A x:2 (.2358) P.8 3.276243 8
8. Bila di ketahui informasi berikut: ) V ar (a Tx 9 δ 4k µ x+t k untuk semua t Tentukanlah nilai dari k. tp x e t µ x+r dr e t kdr e kt A x k 5 k δ + k k 4k + k v t tp x µ x+t dt e δt e kt kdt e (δ+k)t dt 2 A x k 2δ + k k 8k + k v 2t tp x µ x+t dt e 2δt e kt kdt 9 9
) V ar (a Tx 9 2 A x A x δ 2 9 ( ) 2 9 5 6k 2 9 225k 2 9 k 2 9 225 k 3 5 k.2 an: A..2 2
9. Tabel kehidupan diberikan seperti di bawah ini: x l x 9748 2 97259 3 976 4 978 Berapakah yang akan meninggal antara usia 2 dan 4 tahun? an: B. 78 l 2 l 4 97259 978 78 2
2. Hitunglah p 38, bila di ketahui sebagai berikut: 2 23V 5.585 2 24V 5.6 i.8 { h Ax+t h P x ä t V x x+t:h t, t < h, A x+t, t h. 2 23V 5 A 38 2 24V 5 A 39 A x vq x + vp x A x+ an: C..925 A 38 vq 38 + vp 38 A 39 A 38 v ( p 38 ) + vp 38 A 39 A 38 v vp 38 + vp 38 A 39 A 38 v p 38 (va 39 v) p 38 A 38 v v (A 39 ).585.8 (.6 ).8.925 22
2. Sebuah Anuitas seumur hidup ditunda yang dibayarkan di awal periode (deferred annuity due) dengan masa penundaan selama 3 tahun, di jual kepada seseorang berusia 35 tahun. Di tawarkan juga fitur tambahan bila tertanggung meninggal selama masa penundaan, premi tunggal netto yang telah di bayarkan akan di kembalikan. Hitunglah premi tunggal netto per unit dari produk asuransi tersebut bila diketahui sebagai berikut: ä 65 9.9 A 35:3.2 A 35:3.7 v 3 3p 35 A 35:3 A 35:3 A 35:3.2.7.4 an: A..4932 P 3 ä 35 + P A 35:3 P ä 65 v 3 3p 35 + P A 35:3 P (9.9) (.4) + P (.7).93P.386 P.386.93.4932258 23
22. Diketahui tingkat kematian (force of failure) untuk perokok adalah 2 kali lipat bukan perokok, untuk semua usia diatas 55 tahun. Bila variable acak untuk age-at-failure berdistribusi seragam dengan ω 75, hitunglah nilai dari e 65:55, jika (65) adalah bukan perokok dan (55) adalah perokok dan saling independen. tp 65 t, t ( ) 2 2 t tp 55, t 2 2 tp 65:55 ( ) ( ) 2 t 2 t 2 4 ( t) (2 t)2, t an: C. 3.5467 e 65:55 tp 65:55 dt ( 4 8t + 5t 2 t 3) dt 4 [ 4t 4t 2 + 5 4 3 t3 ] 4 t4 ( 4 4 + 5 ) 4 3 4 3.54666667 24
23. Sebuah survival model didefinisikan sebagai berikut: S x (x) c x, untuk x c. Kemudian, sebuah tabel kehidupan (Life table) c + x disusun berdasarkan distribusi tersebut dengan radix. Dalam tabel tersebut, l 35 44. Diketahui pula ω 9. Hitunglah probabilitas dari seorang berusia tahun akan meninggal antara usia 3 dan 45. l 35 l S (35) 44 c 35 c + 35 25 c 35 c + 35 c + 385 25c 875 4c 26 c 9 l 9 9 + 8 l 3 9 3 9 + 3 5 l 45 9 45 9 + 45 3 2 5q 2 p 35 p l 3 l l 45 5 24 l 5 3 8 an: D. 5/24 25
24. Sebuah asuransi diskrit seumur hidup sebesar dengan informasi sebagai berikut: Biaya tetap tahun pertama sebesar 7 (terdiri dari 5 biaya akuisisi dan 2 biaya maintenance) dan biaya tetap tahun selanjutnya sebesar 2 (biaya maintenance). 3% dari setiap premi yang di bayarkan d.4, ä x 2 dan ä x:2 A x v da x v d (ä x ) v dä x + d d dä x + d dä x (.4) (2).2 Gä x:2 5 + 2ä x +.3Gä x:2 + A x G 5 + 4 +.3G + 2 9.7G 65 G 67.3928 an: E. 67. (Anulir) 26
25. Diketahui bahwa q x ().2 dan q x (2).. Kedua penurunan (decrement) tersebut berdistribusi seragam di antara interval (x, x + ) dalam konteks multiple decrement. Diketahui pula persamaan berikut: ( ) tp (j) q (j) x tq x (τ) x /q x (τ), dan t Tentukanlah nilai q (2) x. an: B..2 27
26. Diketahui µ x.4 untuk < x 4 dan µ x.5 untuk x > 4. Manakah dari pilihan nilai di bawah ini yang paling mendekati untuk e 25:25? tp x e t µ x+r dr Untuk t 5 tp 25 e t µ 25+r dr e t.4dr e.4t Untuk t > 5 tp 25 e t µ 25+r dr e ( 5 µ 25+r dr+ t 5 µ 25+r dr) e ( 5.4dr+ t 5.5dr) e.6.5(t 5) an: B. 5.6 e 25:25 25 5 5 tp 25 dt tp 25 dt + e.4t dt + 25 5 25 tp 25 dt 5 e.6.5(t 5) dt [ 25e.4t] 5 + [ 2e.6.5(t 5)] 25 5 ( 25e.6 + 25 ) + ( 2e. + 2e.6) 5.599 28
27. Sebuah bond korporasi dengan durasi tahun dan kupon sebesar 4 setahun, dengan tingkat gagal (default rate) 2% setahun. Bila bond tersebut default maka tidak akan ada lagi pembayaran kupon selanjutnya. Pada tingkat yield rate 6%, berapakah ekspektasi nilai sekarang dari kupon tersebut? Diketahui pula bahwa anuitas pasti (tidak ada kemungkinan gagal) dari a.6 adalah 7.36. an: C. 266.44 29
28. Suatu polis asuransi biasanya memuat klausa bahwa bila usia tertanggung diketahui tidak tepat pada saat diterbitkan, maka manfaat dari polis tersebut dapat disesuaikan sebesar selisih kalau polis tersebut dibeli dengan usia yang tepat. Suatu polis asuransi berjangka diskrit selama 3 tahun sebesar dijual kepada seseorang yang menyatakan berusia 3 pada saat penerbitan polis. Akan tetapi, pada tahun ke tiga, di ketahui sesungguhnya orang tersebut berusia 3 tahun pada saat penerbitan polis. Bila diketahui: i.4 q 3. q 3.2 q 32.3 q 33.4 Hitunglah berapa besar manfaat yang harus disesuaikan (besar manfaat yang dikurangkan). an: D. 335.9 3
29. T 8 dan T 85 adalah variabel acak independen berdistribusi seragam dengan ω. Hitunglah probabilitas bahwa kejadian kedua (second failure) terjadi 5 tahun dari sekarang. F 8 (t 8 ) t 8 2, < t 8 < 2 F 85 (t 85 ) t 85 5, < t 85 < 5 Pr (T 8 5, T 85 5) Pr (T 8 5) Pr (T 85 5) 5 5 2 5 2 an: A. /2 3
3. Asuransi diskrit berjangka 2 tahun( dijual ) untuk usia (x) dengan tingkat bunga (i). Jika diketahui q x.5 dan V ar Z.77. Hitunglah q x:2 x+. v + i A x:2 vq x + v 2 p x q x+.5 +.5q x+ an: E..54 2 A x:2 v 2 q x + v 4 p x q x+.5 +.5q x+ ( ) V ar Z.77 x:2 ( 2 2 A A x:2 x:2).77.5 +.5q x+ (.5 +.5q x+ ) 2.77.5 +.5q x+.25.5q x+.25 (q x+ ) 2.77.25 (q x+ ) 2.729 (q x+ ) 2.729.25 q x+.27.5.54 32