Seri Pendidikan Aktuaris Indonesia Donny C Lesmana

Transkripsi

1 Seri Pendidikan Aktuaris Indonesia Donny C Lesmana Matematika Keuangan Elementer

2 Matematika Keuangan Donny Citra Lesmana Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

3

4

5 Daftar Isi 1 Pendahuluan Bunga Tabungan Bunga Pinjaman Bunga Sederhana Bunga Majemuk Perbandingan bunga sederhana dan bunga majemuk Latihan Teori Tingkat Bunga Tingkat Bunga Tingkat Bunga Nominal Faktor Akumulasi Force of Interest Catatan Force of Interest Nilai Kini (Present Value) Formula Stoodley Nilai Kini bagi Arus Kas Diskret Nilai Kini bagi Arus Kas Kontinu Penilaian Arus Kas Generalisasi Arus Kas Pendapatan Bunga Latihan Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar Persamaan Nilai dan Yield Suatu Transaksi Persamaan Nilai Anuitas Pasti - Nilai Kini dan Akumulasi Hubungan antar formula Sifat-sifat Anuitas Anuitas Tunda (Deferred Annuities) Anuitas Kontinu Anuitas Bervariasi iii

6 Daftar Isi DAFTAR ISI 3.7 Anuitas Bervariasi Kontinu Penjadwalan Hutang Umum Penjadwalan Hutang Untuk Anuitas Tabel Pembayaran Hutang Latihan Tingkat Bunga Nominal: Anuitas yang Dibayarkan p-kali Bunga dibayarkan p-kali Hubungan Matematis Pembayaran Ekivalen Anuitas yang dibayarkan p-kali: Nilai Kini dan Akumulasi Rumus Anuitas Rumus Akumulasi Rumus-rumus anuitas Anuitas yang dibayarkan pada waktu r > Penjadwalan Hutang untuk Anuitas p-kali Latihan Arus Kas Terdiskon Arus kas terdiskon Net Present Value dan Yields Profitabilitas Perbandingan Dua Proyek Investasi Perbedaan Suku Bunga Discounted Payback Period Kasus Khusus DPP Pengaruh Inflasi Latihan

7 Bab 1 Pendahuluan Bunga (interest) didefinisikan sebagai pembayaran oleh satu pihak (yang disebut peminjam (borrower)) kepada pihak lain (yang disebut pemberi pinjaman (lender)) atas penggunaan aset selama jangka waktu tertentu. Aset tersebut disebut juga sebagai modal (capital). Modal dapat berupa apa saja, misalnya tanah, bangunan, kendaraan, peralatan, uang, dan lain sebagainya. Dalam pembahasan ini, modal yang dimaksud adalah berupa uang. Jika bunga dinyatakan sebagai persentase dari modal, maka disebut juga sebagai tingkat bunga (interest rate). Dalam penggunaannya, tingkat bunga lebih sering dinyatakan dalam satuan tahun, namun dapat juga dinyatakan dalam satuan waktu yang lain, misalnya harian atau bulanan. Terdapat dua perspektif yang harus dipertimbangkan dalam berinvestasi. Yang pertama adalah perspektif pemberi pinjaman, yang mengharapkan imbalan atas penggunaan modal yang dimilikinya. Perspektif kedua adalah perspektif peminjam, yang harus menyerahkan sejumlah pembayaran atas penggunaan modal yang dimiliki pemberi pinjaman. Peminjam membayarkan bunga kepada pemilik modal. Pemberi pinjaman akan menetapkan tingkat bunga yang lebih tinggi jika terdapat risiko gagal bayar. Risiko gagal bayar adalah kemungkinan bagi peminjam untuk tidak mampu mengembalikan pinjamannya. Jika terdapat risiko seperti ini, maka secara umum pemberi pinjaman akan menetapkan tingkat bunga yang lebih tinggi daripada yang biasanya. 1

8 2 Bab Bunga Tabungan Misalkan seseorang mendepositokan uangnya sebesar $1000 pada sebuah bank. Setelah satu tahun, uangnya terakumulasi menjadi $1050. Akumulasi tersebut terdiri atas pengembalian modal sebesar $1000 dan pembayaran bunga sebesar $50. Sedangkan tingkat bunga untuk contoh ini adalah sebesar = = 0.05 = 5%. Secara umum, bunga yang diperoleh dari waktu t hingga t + s adalah sebesar A t+s A t, (1.1) dengan A t adalah nilai akumulasi pada saat t. Sedangkan tingkat bunga tahunan (i) dari waktu t hingga t + 1 adalah sebesar dengan t diukur dalam satuan tahun. i = A t+1 A t A t, (1.2) 1.2 Bunga Pinjaman Selain menabung, seseorang juga dapat meminjam uang ke bank. Sebagai ilustrasi, misalkan seseorang meminjam uang ke bank sebesar $ Pinjaman tersebut harus dikembalikan dalam satu tahun sebesar $ Maka besarnya tingkat bunga tahunan untuk pinjaman tersebut adalah = = = 6.5%.

9 Bab 1. Pendahuluan Bunga Sederhana Jika dana sejumlah C diinvestasikan selama n tahun dengan tingkat bunga sederhana sebesar i per tahun, maka saat investasi tersebut ditutup, dana tadi terakumulasi menjadi sebesar C (1 + ni). (1.3) Jumlah tersebut terdiri atas pengembalian modal sebesar C dan pembayaran bunga sebesar nic. Contoh 1.1. Misalkan dana sebesar $860 didepositokan pada tabungan yang memberikan bunga sederhana sebesar % per tahun. Jika diasumsikan tidak ada penarikan dan penambahan dana selama jangka waktu deposito, hitunglah akumulasi dana setelah: a. 6 bulan, b. 10 bulan, c. 1 tahun. Jawab ( ( ) a. n = 1/2, sehingga A = C (1 + ni) = (5 ) ) 3 8 = $ ( ( b. n = 10/12, sehingga A = C (1 + ni) = (5 ) 3 12) ) 8 = $ c. n = 1, sehingga A = C (1 + ni) = 860 ( 1 + (1) ( 5 3 8)) = $ Bunga Majemuk Misalkan seseorang menabung sebesar C dengan bunga sederhana sebesar i per tahun. Setelah 1 tahun, orang tersebut mendapat sebesar C (1 + i). Jika dia menutup

10 4 Bab 1 tabungannya kemudian menabungkan lagi dananya yang sebesar C(1 + i), maka setelah 1 tahun kemudian dananya menjadi ( C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i) 2 = C 1 + 2i + i 2). (1.4) Jika dana sebesar C tadi tidak diambil selama 2 tahun, maka setelah 2 tahun dananya menjadi sebesar C (1 + 2i). Hal ini tidak praktis bagi perbankan, sehingga diperkenalkanlah suku bunga majemuk. Misalkan dana sebesar C diinvestasikan selama n tahun dengan suku bunga majemuk sebesar i per tahun. Maka setelah n tahun dana tersebut menjadi C (1 + i) n. (1.5) Jumlah tersebut terdiri atas pengembalian modal sebesar C dan pembayaran bunga sebesar C [ (1 + i) n 1 ]. Sebagai ilustrasi perbedaan bunga sederhana dan bunga majemuk, perhatikan contoh berikut. Contoh 1.2. Misalkan dana sebesar $100 diinvestasikan pada tabungan yang memberikan bunga sebesar 4% per tahun. Hitunglah akumulasi dana tersebut setelah (a) 5 tahun, (b) 10 tahun, (c) 20 tahun, dan (d) 40 tahun. Jawab Jangka waktu (tahun) Bunga Sederhana Bunga Majemuk

11 Bab 1. Pendahuluan Perbandingan bunga sederhana dan bunga majemuk Dari contoh di atas, terlihat bahwa bunga majemuk memberikan nilai yang lebih besar untuk waktu yang semakin lama. Imbalan yang diberikan oleh bunga sederhana dan bunga majemuk dapat dilihat pada Gambar 1.1. GAMBAR 1.1: Akumulasi tabungan menggunakan bunga sederhana dan bunga majemuk 1.6 Latihan 1. Anita menabung sebesar $3 200 pada tanggal 1 Januari Pada tanggal 31 Desember 2013, uangnya menjadi sebesar $ Hitunglah besarnya tingkat bunga yang diterima Anita selama setahun tersebut. 2. Sebuah bank memberikan tingkat bunga sederhana sebesar 6% per tahun. Andi menabung sebesar $100 pada bank tersebut selama 2 tahun. Pada saat yang sama, Budi juga menabung sebesar $100 pada bank tersebut. Namun, setelah 1 tahun, Budi mengambil hasil tabungannya dan langsung menabungkannya kembali di bank tersebut selama 1 tahun lagi. Periksalah siapakah yang mendapatkan hasil tabungan lebih besar pada akhir tahun kedua? 3. Nenek buyut anda telah menabung sebesar $10 pada tanggal 1 Juli 1876 di sebuah bank yang memberikan tingkat bunga efektif tahunan yang tetap sebesar

12 6 Bab 1 7% per tahun. Jika diasumsikan tidak ada penambahan tabungan dan juga penarikan, berapakah akumulasi tabungan nenek buyut anda tersebut pada tanggal 1 Januari 2014? 4. Pinjaman sebesar $ dikembalikan sebesar $ setelah 36 bulan. Hitunglah tingkat bunga efektif tahunan untuk pinjaman ini. 5. Sebuah bank memberikan tingkat bunga efektif tahunan sebesar 4% untuk 5 tahun terakhir ini. Sebelumnya, tingkat bunga efektif tahunannya adalah sebesar 5%. Sebuah tabungan tunggal yang dilakukan 8 tahun yang lalu telah terakumulasi menjadi $ saat ini. Hitunglah besarnya tabungan tersebut ketika pertama kali dilakukan.

13 Bab 2 Teori Tingkat Bunga 2.1 Tingkat Bunga Misalkan investasi sebesar 1 satuan selama jangka waktu 1 satuan waktu dimulai saat t. Misalkan pula saat t + 1 dana terakumulasi menjadi 1 + i(t). Maka i(t) disebut sebagai tingkat bunga efektif. Secara umum, akumulasi (A) dari dana sebesar C dari waktu 0 sampai n adalah sebesar A = C [1 + i(0)] [1 + i(1)]... [1 + i(n 1)]. (2.1) Jika tingkat bunga tidak bergantung pada waktu t, maka i(t) = i. Sehingga akumulasi dari dana sebesar C setelah n periode adalah sebesar A = C (1 + i) n. (2.2) 2.2 Tingkat Bunga Nominal Misalkan investasi dilakukan selama h satuan waktu, dengan h > 0 dan h tidak harus bilangan bulat. Didefinisikan i h (t) sebagai tingkat bunga nominal per satuan waktu 7

14 8 Bab 2 untuk transaksi yang dilakukan saat t selama h periode, yaitu tingkat bunga sedemikian sehingga tingkat bunga efektif untuk periode sepanjang h yang dimulai saat t adalah sebesar hi h (t). Sehingga, sejumlah C yang diinvestasikan pada saat t selama h satuan waktu akan terakumulasi pada saat t + h menjadi sebesar C [1 + hi h (t)]. (2.3) Jika h = 1, tingkat bunga nominal sama dengan tingkat bunga efektif, yaitu i 1 (t) = i(t). Dalam banyak kasus, i h (t) tidak bergantung pada t, sehingga i h (t) = i h untuk setiap t. Jika h = 1 p, dengan p Z+, maka tingkat bunga dituliskan sebagai i (p) = i 1/p. Sehingga investasi sebesar 1 satuan untuk jangka waktu 1/p akan menghasilkan akumulasi sebesar 1 + i(p) p i (p) disebut sebagai tingkat bunga nominal yang payable p-kali, atau convertible p-kali. Contoh 2.1. Misalkan diberikan data bunga nominal sebagai berikut

15 Bab 2. Teori Tingkat Bunga 9 Jangka Waktu Tingkat Bunga Nominal (%) 1 hari hari hari bulan bulan Hitunglah akumulasi dari investasi sebesar $1000 yang dilakukan saat ini setelah (a) 1 minggu; (b) 1 bulan. Jawab Dari tabel, diperoleh data sebagai berikut: Jangka waktu (h) 1/365 2/365 7/365 1/12 1/4 i h (t 0 ) Sehingga akumulasi dana menjadi a. A = 1000 [1 + hi h (t 0 )] = 1000 [ (0.115)] = $ ] b. A = 1000 [ ( ) = $ Faktor Akumulasi Untuk t 1 t 2, didefinisikan A(t 1, t 2 ) sebagai akumulasi pada saat t 2 dari investasi sebesar 1 satuan yang dilakukan saat t 1 selama periode (t 2 t 1 ). Dari definisi tersebut, diperoleh A (t, t + h) = 1 + hi h (t) (2.4) Didefinisikan pula A(t, t) = 1 untuk setiap t. Sehingga A(t 1, t 2 ) disebut sebagai faktor akumulasi, sebab investasi sebesar C yang dilakukan pada saat t 1 akan menjadi CA(t 1, t 2 ) pada saat t 2.

16 10 Bab 2 Misalkan t 0 t 1 t 2. Pada pasar yang konsisten, berlaku Prinsip Konsistensi, yaitu A(t 0, t 2 ) = A (t 0, t 1 ) A (t 1, t 2 ) (2.5) Secara umum, A (t 0, t n ) = A (t 0, t 1 ) A (t 1, t 2 )... A (t n 1, t n ) (2.6) untuk setiap n dan barisan naik bilangan t 0, t 1,..., t n. Contoh 2.2. Misalkan waktu diukur dalam tahun dan untuk setiap t 1 t 2, A (t 1, t 2 ) = exp [0.05 (t 2 t 1 )] a. Periksa bahwa Prinsip Konsistensi Berlaku. b. Hitung akumulasi selama 15 tahun dari investasi sebesar $600. Jawab a. Misalkan t 1 t 0 t 2. Maka A (t 1, t 2 ) = exp [0.05 (t 2 t 0 + t 0 t 1 )] = exp [0.05 (t 2 t 0 )] exp [0.05 (t 0 t 1 )] = A (t 1, t 0 ) A (t 0, t 2 ) b. A 15 = 600A(0, 15) = 600 exp [0.05 (15 0)] = $

17 Bab 2. Teori Tingkat Bunga Force of Interest Force of interest, dinotasikan dengan δ(t), disebut juga sebagai tingkat bunga nominal yang convertible sesaat, didefinisikan sebagai berikut: δ(t) = lim i h(t) h 0 + [ ] A(t, t + h) 1 = lim. (2.7) h 0 + h Hubungan antara faktor akumulasi dan force of interest diberikan pada teorema berikut. Teorema 2.1. Jika δ(t) dan A(t 0, t) adalah fungsi kontinu dari t untuk t t 0, dan Prinsip Konsistensi berlaku, maka untuk t 0 t 1 t 2, [ t2 ] A (t 1, t 2 ) = exp δ(t) dt t 1 (2.8) Contoh 2.3. Misalkan δ(t) diberikan oleh: (1) δ(t) = δ; dan (2) δ(t) = a + bt. Tentukan formula untuk akumulasi pada saat t 2 dari investasi sebesar 1 satuan yang dilakukan pada saat t 1. Jawab 1. A (t 1, t 2 ) = exp [δ (t 2 t 1 )], 2. A (t 1, t 2 ) = exp [ t2 t 1 ] [( ) ( )] (a + bt) dt = exp at bt2 2 at bt Catatan Force of Interest Pada kasus δ(t) = δ untuk setiap t, A (t 0, t 0 + n) = e δn (2.9)

18 12 Bab 2 untuk setiap t 0 dan n 0. Sehingga, i = e δ 1 (2.10) dan e δ = 1 + i. (2.11) Maka A (t 0, t 0 + n) = (1 + i) n. (2.12) Contoh 2.4. Misalkan δ(t) = 0.12 untuk setiap t. Hitunglah tingkat bunga nominal per tahun dari deposito selama (a) 7 hari, (b) 1 bulan, dan (c) 6 bulan. Jawab Dengan δ(t) = 0.12, diperoleh i h = i h (t) = exp (0.12h) 1. h Sehingga a. untuk h = 7/365, i h (t) = 12.01%. b. untuk h = 1/12, i h (t) = 12.06%. c. untuk h = 1/2, i h (t) = 12.37%. Misalkan F(t) = A (t 0, t) dengan t 0 tetap dan t 0 t. Maka F(t) adalah akumulasi pada saat t dari investasi sebesar 1 satuan yang dilakukan pada saat t 0. Dari rumus sebelumnya, diperoleh log F(t) = t t 0 δ(s) ds. Sehingga, untuk t t 0 δ(t) = d dt log F(t) = F (t) F(t). (2.13)

19 Bab 2. Teori Tingkat Bunga 13 Contoh 2.5. Sebuah bank memberikan bunga berdasarkan force of interest yang berubah-ubah. Pada 1 Juli 1983, seorang nasabah menabung sebesar $ Pada 1 Juli 1985, uang nasabah tersebut berkembang menjadi sebesar $ Jika diasumsikan force of interest per tahun adalah fungsi linear terhadap waktu pada periode tersebut, hitunglah force of interest per tahun pada 1 Juli Jawab Misalkan waktu diukur sejak 1 Juli 1983, maka diperoleh F(0) = 1 dan F(2) = 59102/50000 = Karena δ(t) adalah fungsi linear terhadap t, maka δ(1) = 1 [log F(2) log F(0)] 2 = 1 ( ) 2 = Sehingga force of interest pada 1 Juli 1984 adalah sebesar %. 2.5 Nilai Kini (Present Value) Misalkan t 1 t 2. Maka nilai kini pada saat t 1 dari dana sebesar C pada t 2 adalah sebesar [ t2 ] C exp δ(t) dt. (2.14) t 1 Secara khusus, nilai kini pada saat 0 dari dana sebesar 1 satuan pada saat t dinotasikan sebagai v(t), dengan [ t ] v(t) = exp δ(s) ds. (2.15) 0 Contoh 2.6. Misalkan diberikan force of interest sebagai berikut 0.09 untuk 0 t < 5 δ(t) = 0.08 untuk 5 t < untuk t 10

20 14 Bab 2 Tentukan formula bagi v(t) untuk setiap t 0. Jawab v(t) = = [ exp ] t 0 [ 0.09 ds exp exp ; untuk 0 t < 5 ( ds + t ds)] ; untuk 5 t < 10 [ ( ds ds + t ds)] ; untuk t 10, exp ( 0.09t) ; untuk 0 t < 5 exp ( 0.08t 0.05) ; untuk 5 t < 10 exp ( 0.07t 0.15) ; untuk t Formula Stoodley Selain menggunakan rumusan di atas, force of interest juga diberikan oleh Formula Stoodley sebagai berikut: δ(t) = p + s, (2.16) 1 + rest dengan p, r, dan s adalah parameter. Menggunakan force of interest tersebut, diper-oleh formula untuk nilai kini sebagai berikut: dengan v 1 = e (p+s) dan v 2 = e p. v(t) = r vt 1 + r 1 + r vt 2, (2.17) Contoh 2.7. Misalkan diberikan nilai parameter pada formula Stoodley sebagai berikut: p = , r = 0.5, dan s = Sehingga δ(t) = exp( t). Tentukan formula untuk v(t), dan gunakan formula tersebut untuk menghitung nilai kini untuk dana sebesar 1 satuan yang jatuh tempo 10 tahun kemudian.

21 Bab 2. Teori Tingkat Bunga 15 Jawab Dari formula Stoodley diperoleh: v(t) = 2 3 e t e t Sehingga v(10) = 2 3 e e Nilai Kini bagi Arus Kas Diskret Nilai kini bagi arus kas sebesar c t1, c t2,..., c tn yang jatuh tempo pada t 1, t 2,..., t n (dengan 0 t 1 < t 2 < < t n ) adalah sebesar c t1 v(t 1 ) + c t2 v(t 2 ) + + c tn v(t n ) = n c tj v(t j ). (2.18) j=1 Jika arus pembayarannya tak berhingga, maka formula untuk nilai kini arus pembayaran tersebut menjadi c tj v(t j ). (2.19) j=1 2.7 Nilai Kini bagi Arus Kas Kontinu Misalkan ρ(t) adalah laju pembayaran pada saat t, dengan 0 t T. Maka nilai kini dari arus kas kontinu adalah sebesar T 0 v(t)ρ(t) dt. (2.20)

22 16 Bab 2 Jika T tak berhingga, maka nilai kininya menjadi 0 v(t)ρ(t) dt. (2.21) Contoh 2.8. Misalkan waktu diukur dalam tahun, dan diberikan force of interest sebagai berikut: 0.04 untuk t < 10 δ(t) = 0.03 untuk t 10 Tentukan v(t) untuk setiap t, dan hitung nilai kini dari pembayaran kontinu dengan laju pembayaran sebesar $1 per tahun selama 15 tahun yang dimulai saat t = 0. Jawab v(t) = = [ exp ] t ds ; untuk t < 10 [ exp ( ds + t ds)] ; untuk t 10, exp ( 0.04t) ; untuk t < 10 exp ( 0.03t 0.1) ; untuk t 10. Sehingga Nilai Kini (PV) dari pembayaran kontinu tersebut adalah sebesar v(t) dt = 10 0 = 1 e = $ e 0.04t dt e 0.03t 0.1 dt + e 0.1 e 0.3 e Penilaian Arus Kas Misalkan diberikan waktu t 1 dan t 2, dengan t 2 tidak harus lebih besar daripada t 1. Nilai pada saat t 1 dari pembayaran sebesar C pada saat t 2 didefinisikan sebagai: akumulasi C dari waktu t 2 sampai dengan t 1, jika t 1 t 2, atau

23 Bab 2. Teori Tingkat Bunga 17 nilai kini dari C pada saat t 1 yang jatuh tempo pada saat t 2, jika t 1 < t 2. Sehingga nilai pada saat t 1, yang dinotasikan dengan A 1, dari dana sebesar C yang jatuh tempo pada t 2 adalah sebesar Karena t2 [ t2 ] A 1 = C exp δ(t) dt. (2.22) t 1 t 1 δ(t) dt = t2 0 δ(t) dt t1 0 δ(t) dt, maka nilai pada saat t 1 dari dana sebesar C yang jatuh tempo pada t 2 adalah A 1 = C v(t 2) v(t 1 ). (2.23) 2.9 Generalisasi Arus Kas Nilai pada saat t 1 dari arus kas yang dibuat saat t 2 adalah nilai arus kas pada saat t 1 = nilai arus kas pada saat t 2 [ ] v(t2 ) v(t 1 ) atau nilai arus kas [v(t 1 )] = nilai arus kas [v(t 2 )] (2.24) pada saat t 1 pada saat t 2 Secara Umum nilai arus kas pada saat t = nilai arus kas pada saat ini [ ] 1. (2.25) v(t) Contoh 2.9. Misalkan seorang pengusaha berhutang pada suatu bank senilai $1000 pada 1 Januari 1986; senilai $2500 pada 1 Januari 1987; dan senilai $3000 pada 1 Juli Dengan menggunakan asumsi bahwa force of interest bernilai konstan 0.06 per tahun, hitunglah nilai hutang pengusaha tersebut pada (i) 1 Januari 1984 dan (ii) 1 Maret 1985.

24 18 Bab 2 Jawab Misalkan waktu dihitung sejak tanggal 1 Januari Maka nilai hutang pengusaha pada tanggal tersebut (PV) adalah sebesar PV = 1000v(2) v(3) v(3.5) = 1000e e e 0.21 = $ Nilai hutang tersebut pada tanggal 1 Maret 1985 adalah sebesar ( exp ) = $ Pendapatan Bunga Misalkan t > t 0 dan seorang investor mendepositokan dananya sebesar C pada saat t 0 dan akan diambil saat t. Misalkan n > 1 dan investor tersebut akan menerima pembayaran bunga sebanyak n-kali dengan periode waktu yang sama panjang, yaitu pada t 0 + h, t 0 + 2h,..., t 0 + nh, dengan h = (t t 0 ) /n. Bunga dibayarkan pada waktu t 0 + (j + 1)h, untuk periode t 0 + jh sampai dengan t 0 + (j + 1)h, sebesar Chi h (t 0 + jh). Sehingga total bunga yang dibayarkan dari t 0 hingga t adalah sebesar n 1 C j=0 hi h (t 0 + jh). (2.26) Jika h mendekati 0 maka total bunga konvergen menuju I(t) = C t t 0 δ(s) ds

25 Bab 2. Teori Tingkat Bunga 19 dan laju pembayaran pendapatan bunga menjadi sebesar I (t) = Cδ(t). Jika investor tersebut menarik uangnya pada saat T, maka nilai kini untuk pendapatan bunga dan modal menjadi sebesar T C δ(t) v(t) dt + Cv(T). (2.27) Latihan 1. Pada tahun tertentu, force of interest merupakan fungsi linear terhadap waktu, dengan nilai sebesar 0.15 pada awal tahun dan 0.12 pada akhir tahun. Tentukan nilai pada awal tahun untuk tingkat bunga nominal per tahun pada transaksi selama (a) 3 bulan (b) 1 bulan (c) 1 hari (d) Tentukan juga nilai pada tengah tahun untuk soal (a), (b), dan (c) 2. Sebuah bank memberikan bunga menggunakan force of interest yang ber-ubahubah. Pada awal tahun, investor menabung sebesar $ Uang tersebut berakumulasi menjadi sebesar $ pada tengah tahun dan menjadi sebesar $ pada akhir tahun. Jika waktu diukur dalam tahun, dan force of interest diasumsikan linear terhadap waktu, nyatakan rumus untuk force of interest dan hitung akumulasi dari investasi tersebut setelah 3 4 tahun. 3. Seorang nasabah memiliki kewajiban untuk mengembalikan hutang sebesar $6 280 pada tahun keempat, sebesar $8 460 pada tahun ketujuh, dan sebesar $7 350 pada tahun ketiga belas. Sebagai alternatif untuk pembayaran ini, nasabah tersebut ditawarkan pilihan sebagai berikut:

26 20 Bab 2 (a) pembayaran tunggal yang dilakukan pada tahun kelima, atau (b) membayar total hutang tersebut (yaitu sebesar $22 090) dengan pembayaran tunggal di masa depan yang belum ditentukan waktunya. Dengan menggunakan force of interest per tahun sebesar , hitunglah pembayaran tunggal yang dimaksud pada soal (a), dan waktu yang sesuai untuk soal (b) sehingga alternatif pembayaran tersebut dapat diterima. 4. Misalkan δ(t) diberikan oleh formula berikut δ(t) = p + s 1 + re st dengan p = , s = , dan r = 1/3. (a) Tunjukkan bahwa v(t) = 1 4 (1.06) t (1.1) t (b) Seorang investor sepakat untuk membuat 12 pembayaran tahunan, masingmasing sebesar $600, dan pembayaran pertama dilakukan saat ini. Sebagai pengembalian atas pembayaran itu, investor tersebut akan menerima salah satu dari yang berikut: i. Akumulasi dari pembayarannya yang diterima 12 tahun dari sekarang. ii. Rangkaian 12 pembayaran tahunan dengan jumlah yang tetap, dan pembayaran pertama dilakukan 12 tahun dari sekarang. Hitunglah besarnya pembayaran untuk kedua alternatif tersebut. 5. Sebuah bank memberlakukan force of interest sebesar 0.15 pada awal tahun, sebesar 0.10 pada pertengahan tahun, dan sebesar 0.08 pada akhir tahun. Hitunglah akumulasi pada akhir tahun dari tabungan sebesar $5 000 yang dilakukan di awal tahun jika force of interest diasumsikan (a) fungsi kuadratik terhadap waktu, (b) fungsi linear pada setengah tahun pertama, dan fungsi linear juga pada setengah tahun kedua.

27 Bab 2. Teori Tingkat Bunga Misalkan force of interest diberikan sebagai berikut δ(t) = 0.08 untuk 0 t < untuk 5 t < untuk t 10 (a) Tentukan formula untuk v(t ). (b) Seorang investor membuat kontrak dengan melakukan 15 kali pembayaran (premi) tahunan yang dibayarkan di awal tahun dan akan terakumulasi dengan force of interest seperti di atas. Premi tahunan sebesar $600 dan pembayaran pertama dilakukan saat t = 0. Sebagai pengembalian untuk investasi ini, investor tersebut akan menerima alternatif pembayaran berikut: i. Akumulasi pembayaran tunggal yang dibayarkan setahun setelah premi terakhir dibayarkan, ii. Anuitas yang dibayarkan tahunan selama 8 tahun, dengan pembayaran pertama dilakukan setahun setelah premi terakhir dibayarkan. (c) Hitunglah pembayaran tunggal pada pertanyaan (i) dan anuitas tahunan pada pertanyaan (ii). 7. Misalkan force of interest per tahun diberikan sebagai berikut: δ(t) = ae bt (a) Tunjukkan bahwa nilai kini dari pembayaran sebesar 1 satuan yang dilakukan pada saat t adalah sebesar [ a ( )] v(t) = exp e bt 1 b (b) Dengan mengasumsikan bahwa force of interest diberikan seperti di atas dan nilainya akan turun sebesar 50% pada tahun kesepuluh dari nilai awalnya

28 22 Bab 2 sebesar 0.10 pada saat t = 0, hitunglah nilai kini dari 4 pembayaran tahunan yang masing-masing sebesar $1 000 dengan pembayaran pertama dibuat saat t = 1.

29 Bab 3 Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar 3.1 Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar Misalkan diberikan force of interest yang konstan sepanjang waktu, yaitu δ(t) = δ dengan δ konstan untuk setiap t. Sehingga nilai pada saat s dari 1 satuan yang jatuh tempo pada s + t adalah [ s+t ] exp δ(r) dr = exp( δt) (3.1) s dan tidak bergantung pada s. Sehingga nilai pada sebarang waktu dari 1 satuan yang jatuh tempo setelah t periode adalah sebesar v(t) = e δt (3.2) = v t (3.3) = (1 d) t (3.4) 23

30 24 Bab 3 dengan d adalah tingkat diskon (atau disebut juga dengan tingkat diskon efektif per satuan waktu). Hubungan antar variabel diringkaskan pada tabel berikut δ i v d δ e δ 1 e δ 1 e δ i log(1 + i) (1 + i) 1 i (1 + i) 1 v log v v v d log(1 d) (1 d) d 3.2 Persamaan Nilai dan Yield Suatu Transaksi Misalkan sebagai pengembalian atas modal sebesar X yang diberikan seorang investor pada saat t = 0, investor tersebut akan menerima sebesar jx pada t = 1, 2,..., n beserta pengembalian modal sebesar X pada t = n. Maka j disebut sebagai yield per satuan waktu dari investasi tersebut. Secara umum, misalkan sebagai pengembalian atas pengeluaran sebesar a t1, a t2,..., a tn pada saat t 1, t 2,..., t n, seorang investor akan menerima pembayaran sebesar b t1, b t2,..., b tn pada waktu tersebut secara berturut-turut. (Pada kebanyakan kasus, hanya salah satu a tr atau b tr bernilai tak-nol). Akan dicari tingkat bunga yang membuat rangkaian pengeluaran sama dengan rangkaian pemasukan, yaitu n a tr e δt n r = b tr e δt r (3.5) r=1 r=1 atau dengan n c tr e δt r = 0 (3.6) r=1 adalah arus kas bersih pada waktu t r. c tr = b tr a tr

31 Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar Persamaan Nilai Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai Persamaan Nilai atau Persamaan Yield sebagai berikut atau dapat juga ditulis sebagai berikut n c tr (1 + i) t r = 0 (3.7) r=1 n c tr v t r = 0. (3.8) r=1 Jika terdapat pembayaran kontinu, maka Persamaan Nilai menjadi n c tr e δt r + ρ(t)e δt dt = 0. (3.9) r=1 0 Teorema 3.1. Untuk setiap transaksi di mana seluruh arus kas negatif mendahului seluruh arus kas positif, maka Persamaan Yield terdefinisi baik (memiliki solusi) Teorema 3.2. Misalkan t 0 < t 1 <... < t n dan arus kas bersih investor pada saat t i sebesar c ti (dengan sebagian nilai {c ti } bernilai positif dan sebagian bernilai negatif). Untuk i = 0, 1,..., n, misalkan A i = i r=0 c t r, sehingga A i menyatakan akumulasi total yang diterima investor sampai dengan t i. Misalkan pula A 0 dan A n keduanya taknol. Dengan menghilangkan A i yang bernilai nol, dan jika {A 0, A 1,..., A n } memiliki tepat 1 perubahan tanda, maka Persamaan Yield memiliki tepat satu solusi positif. Contoh 3.1. Misalkan sebagai pengembalian atas modal sebesar $500 yang diberikan oleh investor pada t = 0 dan sebesar $200 dua tahun kemudian, investor tersebut akan mendapatkan sebesar $1000 setelah 5 tahun. Hitunglah yield dari transaksi tersebut. Jawab Persamaan Nilai (pada t = 0) untuk transaksi tersebut adalah f (i) = (1 + i) (1 + i) 5 = 0.

32 26 Bab 3 Dari teorema, persamaan tersebut memiliki akar positif yang tunggal. Diperoleh juga f (0.08) = dan f (0.09) = , maka yield berada antara 8% dan 9% per tahun. Dengan interpolasi linear, diperoleh i = ( ) ( ) = Contoh 3.2. Sebagai pengembalian atas hutang sebesar $100, peminjam sepakat untuk mengembalikan sebesar $110 setelah 7 bulan. Hitunglah Tingkat bunga per tahun Tingkat diskon per tahun Force of interest per tahun Sesaat setelah menerima pinjaman, peminjam meminta agar diijinkan mengembalikan sebesar $50 pada waktu yang telah dijanjikan, dan memberikan pembayaran kedua pada saat 6 bulan setelah waktu tersebut. Misalkan pemberi pinjaman sepakat dengan pembayaran ini dengan tingkat bunga sebesar tingkat bunga pada kesepakatan awal. Hitunglah besarnya pembayaran kedua tersebut. Jawab Tingkat bunga per tahun diberikan oleh Persamaan Nilai berikut 100(1 + i) 7/12 = 110 sehingga i = = 17.75% Tingkat diskon per tahun diberikan oleh 100 = 110 (1 d) 7/12 sehingga d = = 15.07%

33 Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar 27 Force of interest diberikan oleh 100e (7/12)δ = 110 sehingga δ = = 16.34% Besarnya pembayaran kedua diberikan oleh 100e (13/12)δ 50e (1/2)δ X = 0 sehingga X = $ Anuitas Pasti - Nilai Kini dan Akumulasi Misalkan diberikan rangkaian pembayaran sebagai berikut t t + 1 t + 2 t + 3 t + n 1 t + n dengan pembayaran ke-r dilakukan pada waktu t + r. Nilai dari rangkaian pembayaran tersebut 1 satuan waktu sebelum pembayaran pertama dilakukan, dinotasikan sebagai a n (immediate annuity-certain), sebesar a n = v + v 2 + v v n = 1 vn. (3.10) i Sedangkan nilai rangkaian pembayaran tersebut pada saat pembayaran pertama dilakukan, dinotasikan dengan ä n (annuity-due), sebesar ä n = 1 + v + v v n 1 = 1 vn. (3.11) d

34 28 Bab 3 Nilai dari rangkaian pembayaran tersebut pada saat pembayaran terakhir dilakukan, dinotasikan dengan S n, sebesar S n = (1 + i) n 1 + (1 + i) n 2 + (1 + i) n = (1 + i)n 1. (3.12) i Sedangkan nilainya pada 1 satuan waktu setelah pembayaran terakhir dilakukan, dinotasikan dengan S n, sebesar S n = (1 + i) n + (1 + i) n 1 + (1 + i) n (1 + i) = (1 + i)n 1. (3.13) d Hubungan antar formula Dari definisi di atas, diperoleh dan untuk n 2, ä n = (1 + i) a n, (3.14) ä n = 1 + a n 1. (3.15) S n = (1 + i) S n, (3.16) serta atau S n+1 = 1 + S n, (3.17) S n = S n+1 1. (3.18) Sifat-sifat Anuitas Untuk n tetap,

35 Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar 29 a n dan ä n adalah fungsi turun dalam i. S n dan S n adalah fungsi naik dalam i. Untuk i tetap, a n, ä n, S n dan S n adalah fungsi naik dalam n. Untuk n, anuitas (atau anuitas-due) disebut sebagai perpetuitas (atau perpetuitasdue), dinotasikan sebagai a dan ä, sebesar a = lim n a n = 1 i, (3.19) ä = lim n ä n = 1 d. (3.20) Contoh 3.3. Misalkan seseorang dihadapkan pada permasalahan berikut: 1. Pinjaman sebesar $2400 harus dikembalikan dalam bentuk 20 pembayaran seragam tahunan. Tingkat suku bunga sebesar 10% per tahun. Hitung besarnya pembayaran tahunan jika pembayaran dilakukan pada: (a) akhir tahun, (b) awal tahun. 2. Setiap tanggal 15 November, dari tahun 1964 hingga tahun 1979 seorang investor menabung sebesar $500. Pada 15 November 1983 investor tersebut menarik seluruh tabungannya. Jika bank memberikan bunga sebesar 7% per tahun, hitunglah jumlah uang yang ditarik investor tersebut. 3. Seorang nasabah sepakat untuk mengembalikan pinjaman sebesar $3000 dengan 15 pembayaran tahunan sebesar $500. Pembayaran pertama dilakukan setelah 5 tahun. Hitunglah yield tahunan untuk transaksi ini. Jawab 1. Misalkan X dan Y berturut-turut adalah besarnya pembayaran tahunan yang dilakukan di akhir tahun dan di awal tahun. Maka

36 30 Bab 3 a = Xa 10i=0.1 X = 2400 a 10i=0.1 = = $ b = Xä 10i=0.1 X = 2400 ä 10i=0.1 = = $ Ada sebanyak 16 rangkaian pembayaran rutin dari tahun 1964 hingga tahun Akumulasi pembayaran ini pada tahun 1979 kemudian akan berakumulasi lagi selama 4 tahun (hingga tahun 1983). Sehingga nilai rangkaian pembayaran tersebut pada tahun 1983 adalah sebesar (1.07) 4 500S 16i=0.07 = ( ) 500 ( ) = $ Akan dicari yield yang memenuhi persamaan nilai berikut: 3000 = v 4 500a 15i. 3.4 Anuitas Tunda (Deferred Annuities) Misalkan m dan n adalah bilangan bulat taknegatif. Nilai pada t = 0 dari n pembayaran, masing-masing sebesar 1, yang jatuh tempo pada (m + 1), (m + 2),..., (m + n)

37 Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar 31 dinotasikan dengan m a n m m + 1 m + 2 m + n Nilai dari anuitas tunda tersebut sebesar m a n = v m+1 + v m v m+n = ( v m v + v v n) = v m a n = a m+n a m Sehingga diperoleh a m+n = a m + v m a n (3.21) 3.5 Anuitas Kontinu Misalkan n adalah bilangan taknegatif. Nilai pada t = 0 dari anuitas yang dibayarkan kontinu pada t = 0 hingga t = n, dengan tingkat pembayaran konstan sebesar 1, dinotasikan dengan ā n, sebesar ā n = n 0 e δt dt Sedangkan nilai dari anuitas kontinu tunda sebesar m ā n = = = 1 vn. (3.22) δ m+n m m+n 0 e δt dt = ā m+n ā m e δt dt m 0 e δt dt = v m ā n. (3.23)

38 32 Bab 3 Dari (3.22) diperoleh ( 1 v n ) ā n = i δ i = i δ a n (untuk δ = 0) 3.6 Anuitas Bervariasi Secara umum, nilai kini dari sebarang anuitas adalah sebesar n X i v t i, i=1 dengan pembayaran ke-i sebesar X i dilakukan pada waktu t i. Untuk kasus khusus X i = t i = i, anuitas tersebut disebut sebagai Anuitas Naik dan nilai kininya dinotasikan dengan (Ia) n. Sehingga dan (Ia) n = v + 2v 2 + 3v nv n = än nv n, (3.24) i (Iä) n = 1 + 2v + 3v nv n 1 = (1 + i) (Ia) n (3.25) = 1 + a n 1 + (Ia) n 1 (3.26)

39 Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar Anuitas Bervariasi Kontinu Kasus 1. Tingkat pembayaran konstan sebesar r pada periode ke-r, dinotasikan dengan (Iā) n. Nilai kini untuk kasus ini sebesar (Iā) n = n ( r ) rv t dt r=1 r 1 = än nv n. (3.27) δ Kasus 2. Tingkat pembayaran sebesar t pada waktu t, dinotasikan dengan (Īā) n. Nilai kini untuk kasus ini sebesar (Īā) n = t 0 tv t dt = ān nv n. (3.28) δ (Is) n = (1 + i) n (Ia) n, (3.29) (I s) n = (1 + i) n (Iä) n, (3.30) (I s) n = (1 + i) n (Iā) n, (3.31) (Ī s) n = (1 + i) n (Īā) n. (3.32) Sedangkan Anuitas Tunda Bervariasi menjadi sebesar m (Ia) n = v m (Ia) n. (3.33) Contoh 3.4. Anuitas dibayarkan tahunan di akhir periode selama 20 tahun. Pembayaran pertama sebesar $8000 dan berkurang sebesar $300 setiap tahun. Hitunglah nilai kini dari anuitas tersebut jika diketahui tingkat bunga sebesar 5% per tahun. Jawab

40 34 Bab 3 Cara 1. Misalkan nilai kini tersebut sebesar X. Maka X = 8000v v v v 20 dan (1 + i) X = v v v 19 Dengan mengurangi kedua persamaan tersebut, diperoleh ( ix = v + v v 19) 2300v 20 Sehingga X = a v20 i = $ Cara 2. Memandang anuitas ini sebagai anuitas pasti sebesar $8 300 per tahun dikurangi anuitas bervariasi dengan pembayaran ke-r sebesar $300 r. Sehingga ( X = 8300 v + v v 20) 300 (v + 2v 2 + 3v v 20) = 8300a (Ia) 20 = $ Penjadwalan Hutang Umum Misalkan seorang investor meminjamkan uangnya sebesar L. Atas dana tersebut, investor tadi akan menerima n rangkaian pembayaran, dengan pembayaran ke-r sebesar x r yang jatuh tempo pada saat r (1 r n). Misalkan pula pinjaman tadi dihitung menggunakan suku bunga efektif tahunan sebesar i r pada tahun ke-r (1 r n).

41 Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar 35 Dana yang diinvestasikan merupakan nilai kini dari rangkaian pembayaran tersebut, yaitu L = x 1 (1 + i 1 ) 1 + x 2 (1 + i 1 ) 1 (1 + i 2 ) 1 +x 3 (1 + i 1 ) 1 (1 + i 2 ) 1 (1 + i 3 ) 1 + +x n (1 + i 1 ) 1 (1 + i 2 ) 1... (1 + i n ) 1. Dari pembayaran tersebut akan ditentukan besarnya bagian pembayaran bunga dan pembayaran sisa pokok (capital). Misalkan F 0 = L dan, untuk t = 1, 2,..., n, misalkan F t adalah sisa hutang sesaat setelah pembayaran pada saat t dilakukan. Sehingga F t = F t 1 (x t i t F t 1 ) = (1 + i t ) F t 1 x t (3.34) Secara rekursif, diperoleh F t = (1 + i 1 ) (1 + i 2 )... (1 + i t ) L (1 + i 2 ) (1 + i 3 )... (1 + i t ) x 1 (1 + i 3 ) (1 + i 4 )... (1 + i t ) x 2... (1 + i t ) x t 1 x t (3.35) Alternatif lain F t = (1 + i t+1 ) 1 x t+1 + (1 + i t+1 ) 1 (1 + i t+2 ) 1 x t (1 + i t+1 ) 1 (1 + i t+2 ) 1... (1 + i n ) 1 x n. (3.36) Jika i t = i t+1 = i, maka (F t F t+1 ) = (1 + i) (F t 1 F t ) + x t+1 x t. (3.37)

42 36 Bab 3 Misalkan f t menyatakan besarnya hutang yang dibayarkan pada saat t. Maka formula tersebut dapat dituliskan menjadi f t+1 = (1 + i) f t + x t+1 x t. (3.38) Penjadwalan Hutang Untuk Anuitas Misalkan hutang sebesar a n dibuat pada saat t = 0 dan akan dikembalikan dengan n rangkaian pembayaran, yang masing-masing sebesar 1, dan akan dibayarkan saat t = 1, 2,... n. Sesaat setelah pembayaran ke-t dilakukan, masih terdapat n t pembayaran yang tersisa. Sehingga F t = a n t. (3.39) Hutang yang dibayarkan pada saat t sebesar f t = F t 1 F t = a n t+1 a n t (3.40) = v n t+1. (3.41) Tabel Pembayaran Hutang Ringkasan penjadwalan hutang diberikan pada tabel berikut. Pmbyrn Pmbyrn Bunga Pokok Sisa Hutang 1 ia n = 1 v n v n a n v n = a n 1 2 ia n 1 = 1 v n 1 v n 1 a n 1 v n 1 = a n t ia n t+1 = 1 v n t+1 v n t+1 a n t+1 v n t+1 = a n t.... n 1 ia 2 = 1 v 2 v 1 a 2 v 2 = a 1 n ia 1 = 1 v v a 1 v = 0

43 Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar 37 Secara umum, pinjaman sebesar L yang dikembalikan dengan n rangkaian pembayaran, masing-masing sebesar L a n, akan memiliki jadwal hutang seperti pada tabel tersebut yang dikalikan dengan faktor L a n. Contoh 3.5. Hutang sebesar $10, 000 akan dibayarkan selama 10 tahun menggunakan anuitas pasti bulanan yang dibayarkan di akhir periode. Besarnya pembayaran dihitung menggunakan suku bunga efektif sebesar 1% per bulan. Tentukan 1. besarnya pembayaran bulanan, 2. total pembayaran pokok dan bunga pada: a. tahun pertama, b. tahun terakhir, 3. setelah bulan ke berapa sisa hutang untuk pertama kali kurang dari $5, 000? 4. pada bulan ke berapa pembayaran pokok untuk pertama kali melebihi pembayaran bunga? Jawab 1. Misalkan 1 bulan adalah satuan waktu, sehingga i = Misalkan pula pembayaran bulanan sebesar x, maka xa 120 = 10, 000 x = Perhatikan pula bahwa total pembayaran setahun sebesar 12x = 1, Pembayaran pokok dan bunga. a. Sisa hutang setelah pembayaran tahun pertama sebesar xa 108 = 9, Sehingga pembayaran pokok sebesar (10, 000 9, ) = , dan pembayaran bunga sebesar (1, ) = 1, Alternatif lain, pembayaran pokok untuk bulan pertama sebesar ( , 000) =

44 38 Bab Maka total pembayaran pokok selama 1 tahun menjadi 43.47S 12 = b. Pembayaran pokok tahun terakhir adalah sebesar sisa hutang pada awal tahun terakhir, yaitu sebesar a 12 = 1, Bunga yang dibayarkan sebesar (1, , ) = Setelah pembayaran ke-t, sisa hutang menjadi sebesar a 120 t. Sehingga a 120 t = 5000 a 120 t = Karena a 43 = dan a 44 = 35.45, maka sisa hutang untuk pertama kali kurang dari $5, 000 adalah saat 120 t = 43, yaitu t = Pembayaran pokok ke-t adalah sebesar (1.01) t 1. Akan dicari t yang membuat (1.01) t 1 > t > Sehingga t yang dimaksud adalah sebesar Latihan 1. Misalkan sebuah bank memberikan force of interest sebesar berikut: δ(t) = 0.05 untuk 0 t < untuk 2 t < untuk t 5 (a) Tentukan formula untuk v menggunakan force of interest tersebut.

45 Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar 39 (b) Pak Fahmi menabung sebesar $500 pada tahun ketiga, sebesar $400 pada tahun kelima, dan sebesar $800 pada tahun kedelapan. Hitunglah akumulasi dari tabungan Pak Fahmi setelah sepuluh tahun, menggunakan formula v yang diperoleh pada (a). 2. Andi ingin merencanakan masa depannya sebaik-baiknya. Untuk itu, dia membeli asuransi pendidikan yang mengharuskannya membayar premi tahunan selama 10 tahun sebesar $1000 per tahun. Untuk premi tersebut, Andi akan menerima pembayaran sebesar X per tahun untuk biaya kuliahnya selama empat tahun yang dibayarkan dua tahun setelah premi terakhir dibayarkan. Jika suku bunga yang digunakan bank adalah sebesar 10% per tahun, hitunglah pembayaran tahunan yang diterima Andi. 3. Tuti berinvestasi sebesar $1000 pada t = 0. Untuk investasinya ini, Tuti akan mendapatkan rangkaian pembayaran, masing-masing sebesar X, yang akan dia terima pada akhir tahun ke-15, ke-16, dan seterusnya hingga tahun ke-25. Dengan menggunakan tingkat bunga efektif sebesar 7% per tahun, hitunglah X. 4. Pak Budi ditawari 2 alternatif proyek sebagai berikut. (a) Proyek A memberikan pembayaran tahunan sebesar $1000 per tahun selama 10 tahun. Suku bunga yang ditawarkan pada proyek ini adalah sebesar 10% per tahun untuk 5 tahun pertama, dan sebesar 5% per tahun untuk 5 tahun berikutnya. (b) Proyek B memberikan suku bunga tetap selama 10 tahun sebesar 10% per tahun. Untuk proyek ini, pembayaran yang diberikan adalah sebesar $1000 untuk 5 tahun pertama, namun berkurang sebesar $100 per tahun mulai tahun keenam hingga tahun kesepuluh. Bantulah Pak Budi menentukan nilai kini dari kedua proyek tersebut. 5. Sebagai pengembalian atas investasi sebesar $1000, sebuah proyek usaha menawarkan alternatif keuntungan sebagai berikut: (1) pembayaran lump sum sebesar $1330 setelah 3 tahun;

46 40 Bab 3 (2) pembayaran lump sum sebesar $1550 setelah 5 tahun; atau (3) empat pembayaran tahunan masing-masing sebesar $425, dengan pembayaran pertama dilakukan setelah 5 tahun. Setiap investor harus memilih alternatif keuntungan mana yang mereka kehendaki ketika melakukan investasi awal. (a) Tentukan Persamaan Nilai untuk setiap transaksi dan hitung yield tahunannya. (b) Misalkan investor memilih alternatif (1) dan setelah 3 tahun dia mendepositokan hasilnya selama 2 tahun dengan tingkat bunga tetap. Berapakah besarnya tingkat bunga tersebut agar dia menerima sebesar $1550 di akhir masa investasinya? (c) Misalkan seorang investor memilih alternatif (2) dan setelah 5 tahun dia menggunakan hasil investasinya untuk membeli anuitas-due yang dibayarkan selama 4 tahun, dengan besarnya pembayaran tahunan dihitung menggunakan tingkat bunga tetap Berapakah besarnya tingkat bunga tersebut agar pembayaran tahunannya sebesar $425? 6. Misalkan seorang investor harus memilih Rencana Tabungan sebagai berikut: (1) membayar sebesar $100 per tahun yang dibayarkan di awal tahun selama 10 tahun dan akan menerima sebesar $1700 setelah 10 tahun; atau (2) lima belas kali pembayaran tahunan, masing-masing sebesar $100 dan dibayarkan di awal tahun, yang akan memberikan hasil sebesar $3200 setelah 15 tahun. Investor tersebut harus menentukan pilihan investasinya ketika membayar premi pertama. (a) Hitunglah yield untuk setiap pilihan investasi. (b) Misalkan investor tersebut memilih alternatif (1). Misalkan pula setelah 10 tahun, investor tersebut mendepositokan hasilnya pada deposito yang

47 Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar 41 memberikan tingkat bunga tetap. Selain itu, investor tersebut juga menabung setiap tahun sebesar $100 per tahun selama 5 tahun, dengan tabungan pertama dilakukan ketika investasi pertama berakhir. Berapakah tingkat bunga yang membuat nilai investasi investor tersebut menjadi sebesar $3200 setelah 15 tahun? 7. Sebuah produk investasi menawarkan m pembayaran tahunan sebesar $Y per tahun atas premi sebesar $X per tahun (yang dibayarkan di awal periode) selama n tahun. Pembayaran tersebut diberikan setahun setelah premi terakhir dibayarkan. (a) Tunjukkan bahwa Persamaan Nilai untuk transaksi tersebut dapat dinyatakan dalam formula berikut: i. Ya m+n (X + Y) a n = 0; atau ii. (X + Y) S m XS m+n = 0. (b) Misalkan X = 1000, Y = 2000, dan n = 10. i. Hitunglah yield per tahun untuk transaksi tersebut jika m = 10. ii. Untuk nilai m berapakah sehingga yield per tahun akan berkisar antara 8% dan 10%. (c) Misalkan X = 1000, Y = 2000, dan m = 20. Untuk nilai n berapakah sehingga yield per tahun berkisar antara 8% dan 10%. 8. Misalkan sebuah Perusahaan Mainan menawarkan penjualan mainan kepada retailer sebagai berikut: I. Pembelian tunai sebesar 30% di bawah harga pasar; atau II. Pembelian kredit selama 6 bulan seharga 25% di bawah harga pasar. (a) Hitunglah tingkat diskon efektif per tahun yang diberikan Perusahaan Mainan tersebut untuk retailer yang membayar dengan tunai. Hitung pula tingkat bunga efektif per tahun untuk retailer yang memilih membayar secara kredit.

48 42 Bab 3 (b) Misalkan Perusahaan Mainan tersebut mengubah kontrak kreditnya sedangkan pembayaran tunai tidak berubah. Andaikan pembayaran kredit selama 6 bulan tidak lagi tersedia dan digantikan dengan kredit selama 3 bulan dengan harga sebesar 27.5% di bawah harga pasar. Apakah pilihan kredit ini memberikan tingkat diskon efektif per tahun yang lebih tinggi atau lebih rendah kepada retailer yang memilih membayar secara tunai? Catatan: Asumsikan harga pasar dari mainan tersebut sebesar $ Sebuah anuitas dibayarkan selama 20 tahun. Pembayaran tersebut sebesar $5 untuk 6 tahun pertama, kemudian menjadi $7 selama 9 tahun berikutnya, dan berubah menjadi $10 untuk 5 tahun terakhir. (a) Tunjukkan bahwa nilai dari anuitas tersebut pada saat pembayaran pertama dilakukan dapat dinyatakan sebagai berikut: i. 5ä ( 6 ä 9 ) + 10 ( 15 ä 5 ); atau ii. 10ä 20 3ä 15 2ä 6 ; atau iii a 19 3a 14 2a 5. (b) Tunjukkan bahwa nilai anuitas tersebut pada saat pembayaran terakhir dilakukan sebesar: i. 5 (1 + i) 14 S (1 + i) 5 S S 5 ; atau ii. 5S S S Seorang investor sepakat untuk membayar 20 premi tahunan yang dibayarkan setiap awal tahun. Pada akhir tahun kedua puluh, investor tersebut akan menerima sebesar akumulasi pembayarannya. Jumlah tersebut dihitung menggunakan suku bunga efektif sebesar 8% per tahun untuk lima tahun pertama, 6% per tahun untuk tujuh tahun berikutnya, dan 5% per tahun untuk delapan tahun terakhir. Hitunglah jumlah yang akan diterima investor tersebut untuk pembayaran premi sebesar $100. Hitung juga yield per tahun untuk transaksi tersebut.

49 Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar Pinjaman sebesar $3000 akan dikembalikan menggunakan anuitas pasti yang dibayarkan setiap akhir tahun selama 25 tahun dan dihitung menggunakan suku bunga sebesar 12% per tahun. (a) Hitunglah i. besarnya pembayaran tahunan ii. besarnya pembayaran pokok dan bunga pada akhir tahun kesepuluh dan pada tahun terakhir iii. setelah pembayaran keberapa sisa hutang pertama kali kurang dari $1800? iv. pada pembayaran keberapa pembayaran pokok mele-bihi pembayaran bunga? (b) Sesaat setelah melakukan pembayaran kelima belas, peminjam memohon agar jangka waktu pinjaman diperpanjang selama enam tahun lagi, sehingga besarnya pembayaran tahunan perlu disesuaikan. Jika pemberi pinjaman setuju dengan permohonan ini dan tetap menggunakan suku bunga yang sama, hitunglah besarnya pembayaran tahunan setelah direvisi. 12. Pinjaman sebesar $16, 000 akan dikembalikan dalam bentuk anuitas pasti yang dibayarkan tiap akhir tahun selama 10 tahun menggunakan suku bunga sebesar 8% per tahun. Kontrak perjanjian memungkinkan bagi pemberi pinjaman untuk mengubah suku bunga yang membuat besarnya pembayaran tahunan perlu disesuaikan. (a) Hitunglah besarnya pembayaran tahunan. (b) Sesaat setelah pembayaran keempat dilakukan, suku bunga pinjaman dinaikkan menjadi 10% per tahun. Hitunglah besarnya pembayaran tahunan yang telah disesuaikan.

50 44 Bab 3 (c) Sesaat setelah pembayaran ketujuh dilakukan, suku bunga pinjaman diturunkan menjadi 9% per tahun. Setelah ini tak ada lagi perubahan suku bunga. Hitunglah besarnya pembayaran tahunan setelah disesuaikan dan tentukan pula besarnya suku bunga efektif yang dibayarkan peminjam untuk transaksi keseluruhan. 13. Hutang sebesar $2000 akan dikembalikan menggunakan anuitas pasti yang dibayarkan tiap akhir tahun selama delapan belas tahun. Besarnya pembayaran tahunan dihitung menggunakan suku bunga sebesar 10% per tahun untuk enam tahun pertama dan sisanya sebesar 9% per tahun. (a) Hitunglah i. besarnya pembayaran tahunan ii. besarnya pembayaran pokok pada pembayaran keempat dan pembayaran kedua belas. (b) Sesaat setelah melakukan pembayaran kedua belas, peminjam melakukan pembayaran pokok tambahan sebesar $100, yang membuat pembayaran tahunan akan disesuaikan. Jika suku bunga tetap seperti perjanjian semula, hitunglah besarnya pembayaran tahunan yang telah disesuaikan.

51 Bab 4 Tingkat Bunga Nominal: Anuitas yang Dibayarkan p-kali 4.1 Bunga dibayarkan p-kali Misalkan pinjaman sebesar 1 satuan pada saat t = 0 akan dikembalikan pada saat t = 1. Atas pinjaman ini, bunga dibayarkan dengan besaran yang sama sebanyak p-kali selama interval waktu tersebut. Total bunga yang dibayarkan dinotasikan dengan i (p), yaitu total bunga yang dibayarkan dengan p pembayaran dan dibayarkan di akhir setiap subinterval ke-p. Sedangkan d (p) didefinisikan sebagai total bunga yang dibayarkan dengan p pembayaran dan dibayarkan di awal setiap subinterval ke-p. i (p) dan d (p) berturut-turut disebut juga sebagai tingkat bunga nominal dan tingkat diskon nominal yang konvertibel p-kali. 45

52 46 Bab Hubungan Matematis Untuk memperoleh formula tingkat bunga dan tingkat diskon nominal, digunakan definisi. Sehingga diperoleh atau p t=1 i (p) p i (p) p ( 1 + i ) (p t)/p = i (4.1) [ ] (1 + i) 1 (1 + i) 1/p = i. (4.2) 1 Sehingga tingkat bunga nominal yang konvertibel p-kali diberikan oleh formula berikut. [ ] i (p) = p (1 + i) 1/p 1 (4.3) dan [ 1 + i(p) p ] p = 1 + i. (4.4) Perhatikan bahwa i (1) = i. (4.5) Dengan cara yang serupa, diperoleh formula untuk tingkat diskon nominal yang konvertibel p-kali sebagai berikut. atau p d (p) p (1 d)(t 1)/p = d (4.6) t=1 d (p) Formula tersebut dapat disederhanakan menjadi p [ ] 1 (1 d) 1 (1 d) 1/p = d. (4.7) [ d (p) = p 1 (1 d) 1/p] (4.8) dan [ ] p 1 d(p) = 1 d. (4.9) p

53 Bab 4. Tingkat Bunga Nominal: Anuitas yang Dibayarkan p-kali 47 Perhatikan pula bahwa d (1) = d. (4.10) Contoh 4.1. Misalkan diberikan tingkat bunga sebesar 12% per tahun yang dibayarkan per triwulan. Hitunglah tingkat bunga efektif per tahun. Jawab Diketahui i (4) = Maka (1 + i) = [ 1 + i(4) 4 ] 4 = (1.03) 4 i = %. 4.2 Pembayaran Ekivalen Hubungan antara tingkat bunga efektif, tingkat bunga nominal, tingkat diskon efektif, dan tingkat diskon nominal diberikan pada diagram waktu berikut. (1) d (2) d (p) p 0 1 p 2 p 3 p... d (p) p (3) i (p) p d (p) p i (p) p d (p) d p... (p) p i (p) p p 1 p 1 Waktu i (p) i p... (p) p (4) i (5) δ Contoh 4.2. Misalkan diberikan δ = 0.1, hitunglah Pembayaran ekivalen (a) i, i (4), i (12), i (52), i (365), (b) d, d (4), d (12), d (52), d (365).