PATH-CONNECTED SPACE

PATH-CONNECTED SPACE (LINTASAN TERHUBUNG) A. LINTASAN Misal I = [0,1] adalah interval unit tutup. Lintasan dari titik a sampai titik b dalam ruang topologi X adalah fungsi kontinu f : I X dengan f(0) = a dan f(1) = b. dalam hal ini, a disebut titik awal (initial point) dan b disebut titik terminal (titik akhir / terminal point) dari lintasan. 1 Gambar 1. Lintasan Contoh 1 Untuk suatu p X, fungsi konstan e p : I X yang didefinisikan oleh e p (s) = p adalah kontinu dan oleh karenanya e adalah lintasan. Fungsi tersebut disebut lintasan konstan di p. 2 Contoh 2 Bila f : I X lintasan dari a ke b, maka fungsi f : I X yang didefinisikan oleh f(s) = f(1 s) adalah lintasan dari b ke a. 3 1 Wahyudin. Dasar-Dasar Topologi. Bandung : Tarsito. 1987. hlm. 156. 2 Ibid. 3 Ibid. 1

Contoh 3 Misal f : I X lintasan dari a ke b dan g : I X lintasan dari b ke c. maka penjajaran dari dua lintasan f dan g, yang ditulis dengan f * g, adalah fungsi f * g : I X yang didefinisikan oleh ( )( ) { ( ) ( ) Adalah lintasan dari a ke c sebagai hasil lanjutan dari lintasan f dari a ke b dilanjutkan oleh lintasan g dari b ke c. 4 B. LINTASAN TERHUBUNG Sebuah ruang topologi adalah lintasan terhubung jika untuk setiap a dan b di X adalah lintasan pada X dari a ke b. 5 Teorema Setiap lintasan terhubung adalah terhubung. 6 Pembuktian : Untuk setiap pasang a, b pada X, ada sebuah lintasan f di X dari a ke b, jadi f([0,1]) adalah subset terhubung pada X yang terdiri dari a dan b. Dengan kata lain, setiap pasang titik pada X terdiri subset terhubung X. ini berarti X mempunyai satu komponen, dan demikian itu adalah terhubung. Contoh 4 Misalkan a A dan b C(A). X adalah lintasan terhubung sedemikian hingga f : [0,1] X sedemikian hingga f(0) = a, dan f(1) = b. Anggap B = {t f(t) Jelas 4 Ibid. 5 George L. Cain. Introduction To General Topology. USA : Addison-Wesley Publishing Company. 1993. hlm 70. 6 Ibid. 2

sekali B Ø ketika f(0) = a A. Dengan kata lain B [0,1] ketika f(1) = b A. Himpunan B keduanya adalah buka atau tertutup tetapi tidak keduanya ketika [0,1] adalah terhubung. Dengan kata lain, A dapat buka atau tutup tapi tidak keduanya. Ini adalah sebuah kontradiksi. Jadi, kita menyimpulkan bahwa setiap lintasan terhubung adalah terhubung. 7 Gambar 2. C. LOKAL TERHUBUNG DAN LINTASAN TERHUBUNG LOKAL Sebuah ruang topologi X adalah terhubung lokal di titik x pada X jika setiap persekitaran dari x meliputi sebuah persekitaran buka yang terhubung di x. Jika X adalah lintasan terhubung lokal di setiap titik, maka dikatakan terhubung lokal. 8 Sebuah ruang topologi X adalah terhubung lokal di titik X jika setiap persekitaran dari X terdiri dari sebuah lintasan persekitaran buka di x. jika X adalah lokal terhubung di setiap titiknya, maka dikatakan lintasan terhubung lokal. 9 7 Nate Black, 19 November 2007. Senior Math Presentation. Bob Jones University. 8 George L. Cain. Introduction To General Topology. USA : Addison-Wesley Publishing Company. 1993. hlm 72. 9 Ibid. 3

D. SET TERHUBUNG ARCWISE Subset E dari ruang topologi X disebut terhubung arcwise bila untuk sebarang dua titik a, b E ada lintasan f : I X dari a ke b yang termasuk dalam E yaitu f[1] E. 10 Subset subset terhubung arcwise maksimal dari X disebut komponen-komponen terhubung arcwise yang merupakan partisi dari X. hubungan antara keterhubungan dan keterhubungan arcwise dinyatakan pada teorema berikut : Teorema Set set terhubung arcwise adalah terhubung. 11 Konvers dari teorema tersebut tidak benar seperti ditunjukkan dalam contoh berikut : Contoh 5 Perhatikan subset-subset dari bidang R 2 berikut A = {(x,y) : 0 x 1, y =, n bilangan asli } B = {(x,0) : x 1 } Set A terdiri dari titik-titik pada segmen garis yang melalui titik asal (0,0) dan titik (1, ), n bilangan asli; dan B terdiri dari titik-titik pada sumbu x antara dan 1. Setset A dan B keduanya terhubung arcwise, jadi juga terhubung. Selanjutnya, A dan B tidak terpisah, karena tiap p B adalah titik kumpul dari A; dan A B terhubung. Tetapi A B tidak terhubung arcwise. Jadi, tidak ada lintasan dari suatu titik dalam A ke suatu titik dalam B. 12 10 Wahyudin. Dasar-Dasar Topologi. Bandung : Tarsito. 1987. hlm. 156. 11 Ibid. hlm. 157. 12 Ibid. 4

Gambar 3. Contoh 6 Perhatikan A dan B subset-subset dari R 2 berikut A = {(0,y) : y 1} B = {(x,y) : y = sin, 0 < x 1} A dan B adalah bayangan kontinu dari interval-interval, karenanya A dan B terhubung. Selanjutnya A dan B adalah set-set terpisah dan A B bukan terhubung arcwise; ternyata tidak ada lintasan dari titik dalam A ke suatu titik dalam B. 13 Topologi dari bidang R 2 adalah bagian esensial (pokok) dari teori variabel kompleks. Dalam hal ini, suatu daerah didefinisikan sebagai subset terhubung buka dari bidang R 2. Teorema berikut memegang peranan penting dalam teori tersebut. Teorema Subset terhubung buka dari bidang R 2 adalah terhubung arcwise. 14 13 Ibid. 14 Ibid. hlm 158. 5

E. LINTASAN HOMOTOPIK Misal f : I X adalah dua lintasan dengan titik awal yang sama p X dan titik terminal yang sama q X. maka f disebut homotopik dengan g. ditulis f g, bila ada fungsi kontinu H : I 2 X, sedemikian hingga 15 H(s,0) = f(s) H(s,1) = g(s) H(0,t) = p H(1,t) = q Contoh 7 Misal X adalah set dari titik-titik yang terletak diantara dua lingkaran konsentris (annulus). Maka lintasan f dan g dalam diagram di sebelah kiri adalah homotopik, sebaliknya f dan g dalam diagram di sebelah kanan tidak homotopik. 16 Gambar 4. Lintasan homotopik Contoh 8 Misal f : I X adalah suatu lintasan. Maka f f, yaitu f homotopik dengan dirinya. Karena untuk fungsi H : I 2 X yang didefinisikan oleh H(s,t) = f(s) adalah homotopik dari f ke f. 17 15 Ibid. 16 Ibid. 17 Ibid. hlm 159. 6

Contoh 9 Misal f g dan H : I 2 X adalah homotopik dari f ke g. Maka fungsi : I 2 X yang didefinisikan oleh (s,t) = H(s, 1 t) Adalah homotopik dari g ke f, dan juga g f. 18 Contoh 10 Misal f g dan g h ; katakanlah, F : I 2 X adalah homotopik dari f ke g dan G : I 2 X adalah dari g ke h. fungsi H : I 2 X didefinisikan oleh ( ) { ( ) ( ) Adalah homotopik dari f ke h dan f g. Homotopik H dapat diinterpretasikan secara geometri sebagai domain-domain dari F ke G ke dalam suatu bujur sangkar. 19 pemadatan Gambar 5. 18 Ibid. 19 Ibid. 7

F. RUANG TERHUBUNG SEDERHANA Lintasan f : I X dengan titik awal dan titik terminal yang sama, katakanlah f(0) = f(1) = p, disebut lintasan tutup di p X. Khususnya, lintasan konstan e p : I X yang didefinisikan oleh e p (s) = p adalah lintasan tutup di p. Lintasan tutup f : I X disebut mengkerut (contracable) ke suatu titik, bila lintasan tutup tersebut homotopik ke lintasan konstan. 20 (Lihat diagram) Gambar 6. Suatu ruang topologi disebut ruang terhubung sederhana bila dan hanya bila setiap lintasan tutup dalam X mengkerut ke suatu titik. 21 20 Ibid. hlm 160. 21 Ibid. 8

Contoh 11 Daerah buka dalam bidang R 2 adalah terhubung sederhana, sedangkan lingkaran konsentris (annulus) adalah bukan terhubung sederhana, karena terdiri dari kurva-kurva tertutup, seperti ditunjukkan oleh diagram berikut, yang tidak mengkerut ke suatu titik. 22 Gambar 7. 22 Ibid. hlm 161. 9