BASIS DAN DIMENSI Representasi Basis Jika S={v 1,v,...,v n ) adalah suatu basis dari ruang vektor V, maka tiap vektor v pada V dapat dinyatakan dalam bentuk v= c 1 v 1 + c v +... c n v n dengan cepat satu cara Bukti: karena S merentang V, maka sesuai definisi dari himpunan rentangan bahwa setiap vektor pada V dapat dinyatakan sesuai dengan sesuatu kombinasi linier dari vektor vektor pada S. Untuk melihat bahwa hanya terdapat satu cara untuk menyatakan suatu vektor sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor pada S. Kita misalkan beberapa vektor v dapat ditulis: V = c 1 v 1 + c v +... c n v n, atau V = k 1 v 1 + k v +... k n v n dengan mengurangkan persamaan kedua dengan persamaan menghasilkan 0 = v = (c 1 -k 1 )v 1 + (c -k )v +...(c n -k n )v n Karena ruas kanan dari persamaan ini adalah suatu kombinasi linier dari vektor-vektor pasa S, kebebasan linier dari S mengimplikasikan bahwa: c 1 -k 1 = 0, c -k = 0,... c n -k n = 0 yaitu c 1 = k 1,, c 1 = k 1,... c n = k n jadi, kedua pernyataan untuk v adalah sama Basis Standar untuk R 3 Misalkan i =(1,1,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1) Maka S = (i,j,k) adalah suatu himpunan bebas linier pada R 3. Himpunan ini juga merentang R 3 karena vektor sebarang v=(a,b,c) pada R 3 dapat ditulis sebagai V(a,b,c) = a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=ai + bj +ck Karena koordinat-koordinat v relatif terhadap basis standar adalah a,b,c sehingga
(v) s =(a,b,c) ck z k -(0,0,1) (a,b,c).j bj y.i(1,0,0) x (0,1,0) basis standar untuk R n misalkan maka e 1 =(1,0,0,...,0), e =(0,1,0,...,0),... e n =(0,0,0,...1) S={ e 1, e,...,e n } Adalah suatu himpunan bebas linier pada R n. Lebih lanjut, himpunan ini juga nerentang R n dapat ditulis sebagai v = v e + v e + + v e 1 1... n n Jadi basis S adalah suatu basis untuk R n disebut juga basis standar untuk R n sesuai dengan persamaan dikotak atas bahwa koordinat-koordinat v = (v 1, v,... v n ) relatif terhadap basis standar adalah v 1, v,... v n sehingga ( 1,,... n ) ( v ) v v v s = Memperlihakan bahwa Himpunan Vektor adalah suatu Basis
Misalkan v 1 = (1,,3), v = (,3,4), dan v 3 = (4,5, 6) tunjukkan bahwa himpunan S={ v 1, v, v 3 } adalah suatu basis untuk R 3. Penyelesaian: Untuk menujukkan bahwa himpunan S merentang R 3, kita harus menujukkan bahwa suatu vektor sebarang b=( b 1, b, b 3 ) dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier b = c1v 1 + cv + c3v3 Dari vektor-vektor pada S. Dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk komponen-komponen kita peroleh ( b, b, b ) = c (1,,3) + c (,3, 4) + c (4,5,6) 1 3 1 3 Atau b1 b b3 = c1 + c + c3 c1 + c + c3 c1 + c + c3 (,, ) ( 4, 3 5,3 4 6 ) Atau menyetarakan komponen- komponen yang bersesuaian, c + c + 4c = b 1 3 1 c + 3c + 5c = b 1 3 3c + 4c + 6c = b 1 3 3 Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, kita harus menunjukan bahwa satu-satunya solusi dari: c1v 1 + cv + c3v3 = 0 Mempersentasikan suatu vektor dengan menggunakan dua basis Misalkan s={v 1, v, v 3 } adalah basis untuk R n V 1 =(1,,1), v =(,9,0), v 3 =(3,3,4) a) Tentukan vektor koordinat dari V=(5,1,9) dalam S b) Tentukan vektor v pada R 3 yang vektor koordinatnya dalam basis S adalah (v) s =(-1,3,) Penyelesaian (a).
Kita harus menentukan skalar-skalar c1, c, c3 sedemikian rupa hingga v = c v + c v + c v 1 1 3 3 Atau, dalam bentuk komponen-komponennya (5,1,9) = c (1,,1) + c (,9, 0) + c (3,3, 4) 1 3 Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian kita peroleh c + c + 3c = 5 1 3 c + 9c + 3c = 1 1 3 c 1 + c3 + 4 = 9 Dengan menyelesaikan sistem ini, kita peroleh c 1 = 1, c = 1, c 3 = Sehingga ( v ) (1, 1, ) s = Penyelesaian (b) Menggunakan definisi dari vektor koordinat (v) s, kita peroleh v = ( 1) v + 3v + v 1 3 = ( 1)(1,,1) + 3(,9, 0) + (3,3, 4) = (11,31, 7) Basis standar untuk P n a) Tunjukan bahwa S={1,x,x,...x n } adalah basis untuk vektor P n yang terdiri dari polinomial-polinomial berbentuk a 0 +a 1 x+...+a n x n b) Tentukan vektor koordinat dari polinomial p= a 0 +a 1 x+a x relatif terhadap basis S={1,x,x } untuk P Penyelesaian(b) S adalah basis untuk P n dan di sebut sebagai basis standar untuk P n
Penyelesaian(b) Koordinat-koordinat p= a 0 +a 1 x+a x adalah koefesien-koefesien skalar dari vektor basis 1,x, dan x, sehingga (p) s =(a 0, a 1, a ) Basis standar untuk M mn 1 1 m1 =,, 3, 4 m = m m = = 1 0 0 1 Himpunan S={M 1, M,M 3,M 4 } adalah basis untuk ruang vektor M yang terdiri dari matriks x untuk melihat bahwa S merentang M perharikan bahwa suatu vektor (matriks) sebarng a c b d Untuk melihat bahwa S bebas linier, asumsikan bahwa Yaitu: 1 1 1 0 am1 + bm + cm 3 + dm 4 = 0 v1 = 0 danv 1 0 0 0 1 1 0 0 1 a b c d + + + = 1 0 0 1 Maka a b c d = Jadi a=b=c=d=0, sehingga S bebas linier. Basis S pada contoh ini disebut basis standar untuk M
Basis untuk subruang rentang S Definisi Suatu ruang vektor taknol V disebut berdimensi takerhingga jika terdiri dari himpunan-himpunan takhingga vektor-vektor {v 1,v,...v n } yang berbentuk suatu basis. Jika tidak terdapat himpunan semacam ini, V disebut sebagai berdimensi tak terhingga, selain itu akan mengangap ruang vektor nol sebagai berdimensi takterhingga. Bebrapa Ruang Berdimensi Terhingga dan Takterhingga Teorema Misalkan V adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan {v 1,v,...v n } adalah basis sebarang a. Jika suatu himpunan memiliki vektor dari n, maka himpunan tersebut bersifat tidak bebas linier b. Jika suatu himpunan memliki vektor kurang dari n, maka himpunan tersebut bersifat tidak merentang V Semua basis untuk ruang vektor berdimensi terhingga memilki jumlah vektor yang sma Definisi: Dimensi dari ruang vektor V yang berdimensi terhingga, dinotasikan dengan dim(v), didefinisikan sebagai banyaknya vektor-vektor pada suatu basis untuk V, selain itu kita mendefinisikan ruang vektor nol sebgai berdimensi nol Dimensi dari beberapa ruang vektor Dim (R n ) = n [basis standar memiliki n vektor Dim (P n )= n + 1[basis standar memiliki n + 1 Dim (M mn )= mn [basis standar memiliki mn]
Dimensi dari Ruang Solusi Tentukan basis dimensi dari ruang solusi sistem homogen x + x x +x 5 =0 1 3 -x 1 - x + x 3-3x 4 +x 5 =0 x 1 +x -x 3 -x 5 =0 x 3 + x 4 + x 5 =0 penyelesaian: x = s t, x = s, x = t, x = 0, x = t 1 3 4 5 Sehingga: x1 s t s t 1 1 x s s 0 1 0 x 3 = t = 0 + t = s0 + t 1 x4 0 0 0 0 0 x t 0 t 0 1 5 Yang menunjukan bahwa vektor vektor 1 1 1 0 v1 = 0 danv 1 0 0 0 1 Teorema plus/minus Misalkan S adalah himpunan takkosong vektor-vektor pada ruang vektor V a. Jika S adalah himpunan bebas linier, dan jika v adalah suatu vektor pada V yang terletak diluar rentang (S), maka himpunan S {v} yang diperoleh dengan menyisipkan v ke dalam S masih bersifat bebas linier b. Jika v adalah suatu vektor pada S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lainya pada S, dan jika S {v} menotasikan himpunan yang diperoleh dengan mengeluarkan v dari S,maka S dan S-{v} merentang ruang yang sama yaitu Rentang (S)= rentang (S-{v})
Memeriksa basis Teorema Misalkan S adalah suatu himpunan terhingga dari vektor-vektor pada ruang vektor V berdimensi terhingga a. Jika S merentang V, tetapi bukan suatu basis untuk V, maka S dapat direduksi menjadi suatu basis untuk V dengan mengeluarkan vektor-vektor yang sesuai dengan S b. Jika S adalah himpunan bebas linier yang belum merupakan basis untuk V, maka S dapat diperbesar menjadi suatu basis untuk V dengan menyisipkan vektor-vektor yang sesuai ke daam S